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圆周角和圆心角定理

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《圆周角和圆心角的关系》第1课时教学设计

会昌县白鹅初中 邹焰辉

教学目标 教学知识点 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角定理的证明．

能力训练要求 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．

情感与价值观要求 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．

教学重点 圆周角概念及圆周角定理．

教学难点 周角和圆心角的关系与认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．

教学方法 讲授、讨论探索法

教学过程设计说明

[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角．

回顾旧知，导入新课 [生]学习了圆心角，它的顶点在圆心． 创设问题设置悬念，激发学生学[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆情境 习欲望。 心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？

[师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片

)A．13．3 在通过射门游戏引入圆周角的概念。

[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？

[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆

有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义) 探索新知

圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．

[师]请同学们考虑两个问题： 认识

概念

顶点在圆上的角是圆周角吗？(1)

圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？(2)

请同学们画图回答上述问题．

[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念让学生认识圆周角的两的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征： 个重要特征。

(1)角的顶点在圆上；

(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．

试 列举一些反例让学生进行辨析。

)1(出示投影片 一试

[师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，

他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关

系？

我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所

对的圆周角有什么关系？ 联想 建构 [师]请同学们动手画出⊙O中弧AC所对的圆心角和圆周角．观察弧AC所对的圆周角有几个？提出这一问题意在引起

它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到学生思考，为本节活动的？弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有埋下伏笔。 什么关系？

验[生] 弧AC所对的圆周角有无数个．通过测量的证猜方法得知：弧AC所对的圆周角相等，所对的圆 想 周角都等于它所对的圆心角的一半．

（教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角的关系）

[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其

论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．

[生]互相讨论、交流，寻找解题途径．

[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．(学 生口述，教师播放flash.)

(学生口述，教师播放flash

[师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？

你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)

[生甲]如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作通过这样的启发提问，出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的可提高学生的思维能力，为推理论证圆周角和即可证出．(学生口述，教师播放flash.)[生定理，打下了良好的基乙]在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是础。

作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．(学生口述，教师播放flash.) 解决困难问题的时间，首先考虑其特殊情形，还会有其他情况吗？请思考．][师 然后再设法解决一般问题。

不会有．[生]

经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？师][

意识地向学生渗透解决[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的问题的策略以及转化、一半． 分类、归纳等数学思想方法。

[师]这一结论称为圆周角定理．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特让学生积极主动参与到殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问学习活动中去。

题时常用的策略．今后我们在处理问题时，注意运用．

新知应用 出示幻灯片： P3．课本2、，随堂练习1 104 关注差异 分层练习。

巩固本课知识点，反馈教学信息。 课

时

小

结 [师]到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？相互之间有什么关系？

[生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 这节课我们学会了什么定理？是如何进行探[师]索的？ 我们学会了圆周角定理．通过分类讨论的思][生想方法，渗透了由特殊到一般的转化方法．对定理进行了研究和证明． 好，同学们今后在学习中，要注意探索问题][师方法的应用． 定理的条件是同一条弧所对的圆周角和注意：(1)圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．

圆周角“(2)不能丢掉一条弧所对的“而简单说成”．等于圆心角的一半”

作业 完成新课程练习册

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圆周角圆心角关系

圆周角圆心角关系

圆周角圆心角关系

圆周角和圆心角的关系

（一）定义

1. 圆周角：指圆的弧形轨迹沿着单位圆上某点旋转的路径轨迹水平方向的转角，量度单位是弧度，它与普通角相比拥有更高的精度。

2. 圆心角：指两个线段（线段A和线段B）与其中一个（以下简称A）所共享的端点，A的直角顶点定义的角。它的量度单位也是弧度。

（二）关系

1. 两种角的关系被称为帕斯卡定理：圆周角和圆心角之和为两线段所围成的平行四边形的角的三倍。

2. 圆周角的具体值可以通过求线段A、B与圆上的一个点之间的距离，和线段A、B的距离来确定，最终得出：圆周角=(线段A、B的距离－圆上点到线段A、B的距离)／2。

3. 若圆心角有定值，则可以通过圆周角得知圆上点到线段A、B的距离：圆上点到线段A、B的距离=线段A、B的距离－2*圆周角。

（三）应用

1. 圆周角和圆心角的关系最常见的应用就是用圆周角计算圆周上物体运动的路程。

2. 天文学中圆周角和圆心角的关系也有很多，例如行星运行轨迹和太阳系其他星系的位置等都是以圆周角和圆心角之间的关系来建立的。

3. 圆周角和圆心角在数学中也有很多应用，例如：确定三角形内某点的坐标，以及求山形线、圆锥线和圆柱曲线等的方法等。

初中数学圆心角和圆周角

初中数学圆心角和圆周角

圆心角和圆周角及之间的关系

内容（课题）:圆心角和圆周角及之间的关系

教学目的：1、了解圆周角的概念。

2、理解圆周角定理的证明。

3、通过圆周角定理的证明，培养学生对数学的逻辑严密性的体验，树立正确的数学学习观。

4、培养学生的合作交流意识和数学交流能力。

重难点（ 考点）分析：

要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性，同时结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题型，圆周角的概念和圆周角定理的证明，理解圆周角定理的证明中的分类证明思想。

教学过程：

一、圆周角与圆心角的定义

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个基本特征：

(1)顶点在圆上；

(2)两边都和圆相交。

圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：

练习：判 断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．

二、看一看

ABCO

有没有圆周角？∠BAC 有没有圆心角？∠BOC

它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧BC

三、猜想归纳：请画出弧BC所对的圆周角. 若按圆心O与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？圆周角的度数与什么有关系？动手量一量∠BOC与∠BAC有何数量关系？

ABCO ABCO

四、证明圆心角与圆周角之间的关系

1、首先考虑一种特殊情况：

当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.

∵∠BOC是△ACO的外角

∴∠BOC=∠C+∠A ∵OA=OC，

∴∠A=∠C

∴∠BOC=2∠A

即 ∠BAC = 1/2∠BOC

2、如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?

当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

圆心角和圆周角

圆心角和圆周角

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课 题 圆心角和圆周角

学习目标

1、掌握弧、弦、圆心角的关系

2、理解并掌握圆心角和圆周角的关系，应用直径所对的圆周角为直角

3、涉及圆心角和圆周角的题型有清晰的认识

重点、难点

圆心角和圆周角的关系的理解和灵活运用

一、热身练习

1. 下列说法正确的是（ ）

A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆

C．弦的垂线必过圆心 D．平分弦的直径垂直于弦

2．已知⊙O的直径为10，圆心O到弦的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）

A．4 B．6 C．7 D．8

3、 边长为2的等边三角形的外接圆半径长为（ ）

A. 1 B. 332 C. 21 D. 33

4、 若一个直角三角形的两条边分别为3cm和5cm，则此直角三角形的外接圆半径为 .

5.、如图，这是一个残破的轮片，量得AB=80cm，弧AB的中点C到AB的距离是20cm，则这个残破的轮片所在圆的半径是 cm．

6、已知⊙O的半径为3,OA=1,则过A点的最短的弦长为___________

圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析

圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析

圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析

一圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴2AOBACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角

∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵90C

∴90C ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或90C

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

二 圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴180CBAD 180BD

DAEC

利用圆周角定理的推论求角的度数 CBAODCBAOCBAOCBAOEDCBA例1 （2016·四川眉山）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）

A．64° B．58° C．72° D．55°

【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．

例2 （2016海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP= ．