数学(文)一模答案

天津市五区县2015年高三质量调查试卷（一）

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

（1~4）ACBC （5~8） DDBA

二、填空题

（9）3（10）83（11）116（12）(1,2)（13）1()sin()26gxx（14）1(,1)e或a=0

三、解答题

（15）解：（I）在[50,60)内的频数为8，则80.16n，即50n.…………………2分

210.0045010y，0.10.040.0160.010.0040.03x. ……6分

（II）由（I）知，在[80,90)之间的有5人，分别记为12345,,,,AAAAA，[90,100]之间的2人，分别记为12,BB.……………………………8分

从[80,100]中随机抽取2人的基本事件空间{121314151112,,,,,AAAAAAAAABAB，232425212234353132454142515212,,,,,,,,,,,,,AAAAAAABABAAAAABABAAABABABABBB,}，共21个基本事件. ……………………………10分

设事件A=“抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]”，则A所包含的基本事件为：1121314151122232425212,,,,,,,,,,ABABABABABABABABABABBB共有11个，………12分

所求事件的概率为1121P.……………………………13分

（16）解：（I）由正弦定理得2coscossin2sincossinCAACBB，…………2分

即cossin2cossin2sincossincosABCBCBAB，所以cossinsincos2sincos2cossinABABCBCB，

sin()2sin()ABCB，…5分

而ABC，则sin2sinCA，即sin2sinCA，所以2ca. ………………7分

（II）因为2ca及2cos3B，所以222222272cos5433bacacBaaa，即213ba，……………………………10分

因为在ABC中2cos3B，则5sin3B，由2155sin236ABCSacBa求得22a，所以426b. …………13分

（17）解：（I）∵平面ABCD平面ABEF，ABBC，CB平面ABCD，平面ABCD平面ABEF=AB，∴CB平面ABEF.…………2分

∵AF平面ABEF，∴CBAF.

又∵AFBF，CBBF=B，CB平面CBF，BF平面CBF，

∴AF平面CBF. …………4分

（II）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=12CD.

又∵AO∥CD，AO=12CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN ………6分

又∵AN平面DAF，OM平面DAF，∴OM∥平面DAF.…………8分

（III）因为AF平面CBF，ABEF为梯形，且ABCB，BF是AB在平面CBF内的射影，故BFCB，ABF为二面角DBCF的平面角，故ABF=60.……9分

又因为AB=2，所以1BFEF且BFE=60，故BFE为等边三角形，取BF的中点H，连接EH，MH，由（I）知CB平面ABEF，CB平面CBF，故平面CBF平面ABEF，所以EH平面CBF，MH为直线EM在平面CBF上的射影，所以EMH为直线EM与平面CBF所成的角， …………11分

在RtEMH中，32EH，1122MHBC，tan3EHEMHMH，故直线EM与平面CBF所成的角的正切值为3.…………13分

（18）解：（I）设l的方程为1(1)2ykx，即22120kxyk；………1分

因为直线和圆相切，所以242544kk，解得12k，即:220lxy.…4分 令0x，得1y；令0y，得2x，

即2,1ab，所以椭圆1C的方程为2214xy.………7分

（II）两椭圆的离心率相等，且2C以1C的长轴为短轴，则2C：221416xy.……9分

因为2OBOA，即,,OAB三点共线，而且直线AB的斜率k存在，其方程设为ykx（0k），并设1122(,),(,)AxyBxy，将ykx分别代入2214xy与221416xy可得，221222416,144xxkk；………11分

又2OBOA，所以22214xx，解得21k，1k或1k，

从而直线AB的方程为yx或yx.………13分

（19）解：（I）因为()[1(1ln)]lnfxaxax，令()0fx，得1x. …2分

（1）当0a时，令()0fx，得01x，()fx单调递增；令()0fx，得1x，()fx单调递减.

（2）当0a时，令()0fx，得1x，()fx单调递增；令()0fx，得01x，()fx单调递减. ………6分

综上：0a时，函数()fx的单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)；0a时，函数()fx的单增区间为(1,)，单减区间为(0,1). ………7分

（II）因为()1e(1)lnxfxaxx，0x，所以1elnxaxx恒成立. ………9分

令1e()lnxhxxx，则2(1e)(1)()xxhxx，因为0x，1e0x，所以01x时，()0hx，1x时，()0hx.即函数()hx在(0,1)上单调递增，在(1,)单调递减.故max()(1)1ehxh，只需要1ea. ………12分

又因为0a，所以实数a的取值范围是(,0)(,)1e0. ………14分 （20）解：（I）在4(21)1nnSna（nN）中，令1n有11431aa，解得11a.………………………………2分

当2n时，有11(21)1(21)144nnnnnnanaaSS， …………4分

整理得12123nnanan，…………5分

从而1211212123312123251nnnnnaaannaanaaann. ………7分

当1n时，11a符合21nan，所求通项公式为21nan. …8分

（II）由()1nnnnnbaa得1(21)()2nnbn.………………………………9分

则23111111135232122222nnnTnn，

由此得23411111111352321222222nnnTnn，

两式相减可得231111111221222222nnnTn

21111112222112212nnn

1312322nn ………………………………………………11分

所以13232nnTn.…………………………………………………………12分

1111251112325230222222nnnnnnnTTnnnn 所以{nT}为递增数列，所以当1n时，nT最小，最小值为12. ………………14分