双指数混沌系统的动力学分析及数字实现

第37 "第# #杭州电子科技大学学报（自然科学版) 2017 年 11 月Journal of Hangzhou Dian2i University (Natural Sciences)Vol. 37 No. 6 Nov. 2017DOI：10. 13954/j. cnki. hdu. 2017. 06. 003双指数混沌系统的动力学分析及数字实现吴™，王光义(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018)摘要：为产生复杂的混沌伪随机信号，在经典的L o r e n z系统基础上，设计了含有双指数的混沌系统，其指数项的底数d可在一定范围内任意变化.对此混沌系统的一些基本动力学特性进行了理论分析和数值仿真，如平衡点、平衡点的稳定性、L y a p u n o v指数谱和分岔图等.利用D S P实现了该混沌系统，并对该系统的伪随机序列进行了 N I S T测试，结果表明与其它指数混沌系统相比，该系统产生的伪随机序列的随机性良好，在混沌加密应用中有着良好的前景.关键词：混沌；动力学特性；N I S T测试中图分类号：T N401文献标识码：A文章编号：1001-9146(2017)06-0009-05〇引言混沌现象的发现被称为第三次物理革命，它改变了确定性和随机性有分界线的说法[1].混沌系统主 要特点为内在随机性、初值敏感性及非规则有序性.其中前两种特性由其非线性项引起，并且非线性项 的选取影响着混沌系统动力学特性的复杂程度.混沌系统可以产生数字序列，其数字序列具有长周期、伪随机的特性，可广泛应用于保密通信和信息加密之中[2].其中混沌动力学特性越复杂，其混沌序列的 随机性就越好，密文的安全性就越高.因此，优良的混沌系统力求其数学结构简单，动力学特性复杂（].Lorenz混沌系统（]是第一个被发现的混沌模型，在混沌学的形成和发展中具有重要的参考价值.基于L o e n z系统的连续混沌系统设计主要分为两个方向，一种是将乘积项（巧，:r2，/)作为非线性项（]，另一种是将固定底数的指数项（典型的为e%e-S e=等）作为非线性项[6].非线性项决定了混沌系 统的复杂性（]，底数固定的指数非线性项（典型的为e%e'e=等），其复杂性比乘积非线性项（；y，：r2，y)的混沌系统复杂性更强.但底数固定的指数如自然指数其规律性强，使得其复杂性受到一定的限制.为此，本文提出了一个新的混沌系统，具有2个底数可变的指数(，，^2)，一方面提高了非线性函数的复杂性;另 一方面增加了一个可变的系统参数，扩展了参数空间和混沌序列的密钥空间，使其序列的安全性得以提高;更重要的是本文提出的系统提高了混沌序列的随机性能，其序列性能优于自然指数混沌系统.1 双指数混沌系统的构建本混沌系统的数学模型为:d：rd乙=ay E dzd乙=一尤 E ydz d乙cdx一+z(1)式中，状态变量分别为K，y，z，时间变量为.，系统参数a，+，c，d为实常数.当a= 10，+ = 3.5，c= 1.6,收稿日期！016-11-11基金项目：国家自然科学基金资助项目（60971046,61281230357);浙江省自然科学基金重点资助项目（L Z12F01001)作者简介：吴捃（987 —），女，山东枣庄人，硕士研究生，非线性电路与智能信息处理.通信作者：王光义教授，E-mail: w a n g g y i@163. com.10杭州电子科技大学学报（自然科学版"2017 年^ = 2.4,初始值（〇，30%〇]= [0. 01，0.01，0.01)时，系统产生单祸旋吸引子.通过Matlab仿真获得的混沛 时序和吸引子相图如图1所G，图1(a)为的时序图，图1(b)为相图，图1(c)为相图，图1(G) X I相图，可以 序的 光滑曲线，并不自 ，呈现复杂的结构纹路.图1混沌吸引子相图与时序图2 系统的理论证明和动力学特性分析2.1 耗散性及吸引子的存在性首先，从混沌系统的耗散性对系统！）进行动力学特性分析.系统的散度为%V= 1-b=-2 ' 0 (2)&X〇y dz系统 数形式dV/ck C e(1-b)，的过程中，所有包含系统的轨线的体积元以指数速率e(1-b)，混沌系统会演化到一 ，引子的存在.2.2 平衡点及其稳定性分析为了求系统的平衡点，令(a y E d z = 0"—x E y = 0(3)Ud x2—bz = 0当a = 10，b = 3.5，c = 1.6，d = 2.4 时，式（3)求解系统的平衡点 s = (—0. 150, 一0. 150,0. 466).系统在平衡点的Jacobian矩阵为#0 a d zlog(d)—110(4 )2cd(x )xlog(d)0 —b第#期吴捃，等：双指数混沌系统的动力学分析及数字实现11d d图2 Lyapunov 指数谱图3 分岔图由图3可以 ^参数的变化，当^ 0,3. 1]时，系统处于混沌状态，可以明显观察到3个期 ，此分岔图期分岔，系统从混沌状态期状态，当[3.1，3.8]时，系统|期期二，期期一.固定参数^ = 10，〔 = 1.6,6/ = 2.4，当系统的初始条件为（0.01，0.01，0.01)时，改变参数6，当6在 [1. 5,6.4]的 化时，系统的Lyapunov 指数 图4所示，状态 x 随参数^变化的分岔图如图5所示.图4 Lyapunov 指数图分图图4和图5可见，系统的Lyapunov 指数谱与分岔图所表现运行轨线的稳定与定一致，系统 期岔 期，期岔混沌，最后系统经期岔期.3混沌系统的数字化混沌系统产生的伪随机序列进行数字化处理，结合D S P 仿真实验，用到的实验仪器是TSM 320V C 5509A 数字信号处理器和ICETEK -V C 5509A 实验箱.首先采用欧 对此混沌系统产生的连续信号进行离散化处理，将式！）转化为#(x ^n ) = x (n — 1) E t (ay (n — 1) E dz )\ y {n ) = y (n — 1) E t ( — x (n — 1) E y (n — 1))lz (n ) = z (n — 1) E t (bz (n — 1) E cd x (n —1))(5)特征方程I J —AE | = 0，E •在平衡点s 处的特％ = 0. 450 3 E 3. 150 2z ，A )=0. 450 3 — 3. 150 2z ，A 3 =— 3. 400 5,由此可见A 1和A )是实部为正数的共辗复根，A3为负实根；根据Routh -Hurwitz 条件，平衡点s 定 点.2. 3Lyapunov 指数谱与分岔图当系统的初始条件为（0. 01，0. 01，0.01)时，固定参数a = 10，b = 3.5，c =1.6，改变参数d ，当d 在[2.0，. 8] 化时，系统（1)的Lyapunov 指数图2所示，状态x 随参数d 变化的分岔图图 3 所示 .ooooI X 11l x1X lx----------^12杭州电子科技大学学报（自然科学版"2017 年固定参数10, 1. #% = 3. 5, ^ = 2. 4,当系统的初始条件为（0. 01，0. 01，0. 01)时，取量化f = 0. 001，根据式（5)进行迭代求解得到混沌离散序列.D S P 实验程序编写在CCS下进行，并通过J T A G 下载到DSP ，利用模拟示波器进行，系统的时序图如图6(a )所示，混沌吸引子相图如图6(b ) —（d )所示，与图1中的M atlab 仿真图进行比较％参 数条件下，D S P 的仿真与M atlab 数值仿真合，验数混沌信号可进行数字化处理，并且产生的伪随机序列具有实际应用的可能.D S P 实验中所使用的仪器及实验现 口图 7 所 示 "4 指数混沌序列性能分析为研究本文构建的指数混沌系统在保密通信中性能是否良好，采用美国国家技术标准局NIST 的测试软件包S T S ，对混沌系统进行了一系列参数的，以便其离散化后的伪随机序列的详细随机特性.利用M atlab 编程 伪随机序列，采用〇deD 5函数对混沛方程进行积 ，初始x = 0. 01，^ =0.01，= 0.01，选取x 作为伪随机数，每次对x 进行量化，选取小数点后 第D、第5位、第6位、第7位、第8位的数字进行比较，大于等于5 伪随机序列文件写入“1”，小于5入“0”，得到伪随机序列文件chaos , txt ，然后对chaos , txt 进行NIST.生成伪随机序列总长度n = 1 000 000 000,对其进行分组处理，分组M = 1 000,每组序列长度N = 1 000 000. NIST 序列的均勻性与率，其P -valu :示序列的均勻性％SM = 1 000的情况下，P -value 的值大于0. 001序列的分布是均勻的，通过率Proportion 的值须大于0. 980 5.取自然指数混沌系统如下#E :—x E ((6)样的条件下，进行的 1所示，式（1)指数混沌序列具有良好的随机性，15项 ：均勻性 率，而式（6)所示的混沌系统产生的伪随机序列Serial 选项的均勻性和均勻性没有，数的混沌系统产生的序列优于自然指数混沌系统产生的序列，并且此混沌系统产生的伪随机序列的随机性，应用于信息加密和保密通信的大.d xd ^( dt第6期吴捃，等:双指数混沌系统的动力学分析及数字实现13表1指数混沌系统伪随机序列与自然指数系统的伪随机序列N IS T测试结果不固定底数的指数混沌自然指数混沌P-V A L U E P R O P O R T IO N P-V A L U E P R O P O R T IO N Frequency0.935 9080. 998 00.9203830.989 0 Block Frequency0.926 0690.99300.2178570.9920C um ulative Sum s0.501 3110.99200.4708560.9910R uns0.741 9180.99800.6123450.9910 L ongest R un0.844 6910.98100.8129050.9870 R an k0.9454900.99400.1223250.9860F F T0.0738720.98900.0248550.9790N onO verlapping T em p late0.9807550.99400.6537730.9880O verlapping T em p late0.3570000.99000.2622490.9880 U niversal0.8368330.98500.5564600.9910A pp rox im ate E ntropy0.7695270.98900.4446910.9160R an d om E xcursions0.9217040.99900.2317560.9867 R an d om E xcursions V ariant0.9217040.99900.3711010.9867 Serial0.4472570.99900.0000000.8930 Linear C om plexity0.9033380. 994 00.2622490.99105结束语本文设计了一个新的混沌系统，具有2个非线性项，且其指数项的底数可在一定范围内任意变化.通过数值仿真、平衡点求解与稳定性判断，对其分岔特性以及计算Lyapunov指数谱等动力学特性进行 分析，同时对此混沌系统进行了 DSP实验验证，DSP实验结果与数值仿真结果具有一致性.最后对此混 沌系统产生的伪随机序列进行N IST测试，分析结果显示，此混沌系统伪随机性优于自然指数的混沌系 统，可作为伪随机序列发生器的信号源，可应用于保密通信和信息加密中.参考文献[1]臧鸿雁，柴宏玉.一个二次多项式混沌系统的均匀化及其熵分析物理学报，2016,65(3)64-70.[2] Stankevich N V，K u z n etsov A P，P o p o v a E S，et al. Experimental diagnostics of multi-frequency quasiperiodicoscillations[J]. C o m m u n i c a t i o n s in Nonlinear Science h Numerical Simulation,2016 ?43 ：200-210.(]Lin X，Z h o u S，L i H.C h a o s and Synchronization in C o m p l e x Fractional-Order C h u a?s System[J]. C h a o s Solitons h Fractals,2016,39(4)：1595-1603.[4] Lorenz N. Deterministic Nonperiodic Flow. J. A t m o s.Sci[J]. Journal of the A t m o spheric Sciences，1962，20:130-141'[5] L e o n o v G A，K u z n etsov N V，K o r z h e m a n o v a N A，et a l.L y a p u n o v dimension formula for the global attractor of theLorenz system[J]. M a t h e m a t i c s，2015，41:84-103.[]袁方，王光义，靳培培.一种忆感器模型及其振荡器的动力学特性研究[J].物理学报，2015,64(21):210504.Dynamical Analysis and Digital Realization of a ChaoticSystem with Dual-exponentialW U J u n，W A N G G uangyi{School o$Electronic Information，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou Zhejiang 310018，China)A bstract； For generating complex chaotic pseudo random signals, based on Lorenz system，this paper designs a novel chaotic s ystem with two exponential terms，in which the base of exponential term d can be varied at a c ertain range. Some basic dynamical characteristics，such as equilibrium points，Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of this system，are analyzed simulated numerically. The proposed system is realized by DSP technology and tested by NIST criterion. Results show that proposed system possesses better randomness and complexity for its chaotic sequences compared with other exponent-based chaotic systems，and has good potential applications in chaotic encryptions.Keywords: chaos; dynamic；NIST test。