有限元误差估计

常微分方程近似计算和误差估计

常微分方程近似计算和误差估计是数值分析中的一个重要问题。在许多实际应用中，我们常常需要求解常微分方程，但由于各种原因（如方程的复杂性、求解区域的大小和形状、计算机的精度限制等），直接求解可能非常困难或几乎不可能。因此，我们需要使用数值方法来近似求解常微分方程。

下面是一些常见的常微分方程近似计算和误差估计的方法：

1.欧拉方法：欧拉方法是数值求解常微分方程最简单的方法之一。它的基本思想是用离散的点来近似代替连续的时间或空间，从而将微分方程转化为差分方程。欧拉方法的误差是O(Δt)，其中Δt是时间步长。

2.龙格-库塔方法：龙格-库塔方法是一种更精确的数值求解常微分方程的方法。它使用一系列线性插值来近似解的路径，并使用高阶公式来计算下一个点的值。龙格-库塔方法的误差是O(Δt^n)，其中n是方法的阶数。

3.辛普森方法：辛普森方法是一种基于有限差分的数值求解常微分方程的方法。它的基本思想是将微分方程转换为差分方程，然后使用辛普森公式来近似求解。辛普森方法的误差是O(Δt^2)。

4.高斯-勒让德方法：高斯-勒让德方法是一种基于高斯消去法的数值求解常微分方程的方法。它使用一系列的线性代数操作来求解常微分方程，误差是O(Δt^2)。

5.自适应步长方法：自适应步长方法是一种可以根据需要调整时间步长的数值求解常微分方程的方法。它使用一些准则来决定何时增加或减少时间步长，以确保计算的精度和稳定性。

对于这些方法的误差估计，通常可以使用一些稳定性分析和数值

实验的方法。例如，对于欧拉方法，我们知道其误差是O(Δt)，但对于其他方法，我们需要进行更详细的分析和实验来确定误差的上限。

另外，还有一些更高级的数值方法，如谱方法、有限元方法等，可以用于求解更复杂或更高维的常微分方程。这些方法的误差估计通常需要更多的数学和计算知识，并且需要进行更详细的数学证明和分析。

第３７卷第３期　２００８年５月　贵州工业大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＧＵＩＺＨＯＵ　ＵＮⅣＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　

ｆ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３７　Ｎｏ．３　Ｍａｙ．２００８　

文章编号：１００９—０１９３（２００８）０３—０００５一Ｏ３　

一种基于梯度恢复后验误差估计的ＺＺ改进方法　

黄辉，黄光辉，郑珊，岳书霞，郑洲顺　

（中南大学数学科学与计算技术学院，湖南长沙４１００８３）　

摘要：基于三角网格剖分线性插值，对ｈ型自适应有限元中的后验误差估计的ｚｚ方法进行　了改进，提出以单元为中心构造单元块的方法。数值实验表明，该方法比传统的ｚｚ方法有较　

高的精度及较快的收敛速度。　关键词：ｈ一自适应有限元；后验误差；残值；梯度恢复　

中图分类号：０２４　文献标识码：Ａ　

传统的有限元方法由于其一次性网格剖分和一次性计算，使得高精度和低计算量不能相协调。而自适　用有限元通过后验误差估计进行自适应改进，经过重新有限元计算，最终能以较少的计算量来满足高精度的　

要求。它能高效能弥补传统有限元的缺陷。后验误差估计在自适应有限元中起着至关重要的作用。一个好　的误差估计直接决定着算法收敛的精度。０．Ｃ．Ｚｉｅｎｋｉｅｗｉｃｚ和Ｊ．ＺＺｈｕ…在１９８７年提出了基于后处理技术的　

后验误差，由于其计算简单，易于理解，因而受到工程界的广泛的欢迎。随后，Ｚｉｅｎｋｉｅｗｉｃｚ和Ｚｈｕ　中研究超　

收敛特性对ｚ　进行了改进和发展。本文在此基础之上，提出以单元为中心构造单元块的方法，每个单元块　单元的数目限定为４个。数值实验表明，该方法比传统的ｚｚ方法有较高的精度和较快的收敛速度。　

１传统的ＺＺ法　

基于后处理的后验误差中以０．Ｃ．Ｚｉｅｎｋｉｅｗｃｚ与Ｊ．Ｚ．Ｚｈｕ提出的超收敛单元块梯度恢复算法（Ｓｕｐｅｒｃｏｎ．　

ｖｅｒｇｅｎｔ　Ｐａｔｃｈ　Ｒｅｃｏｖｅｒｙ）最为完善，并且计算简单而且高效。　

有限元⽅法的发展及应⽤

有限元⽅法的发展及应⽤

摘要：有限元法是⼀种⾼效能、常⽤的计算⽅法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它⼴泛地应⽤于以拉普拉斯⽅程和泊松⽅程所描

述的各类物理场中。⾃从1969年以来，某些学者在流体⼒学中应⽤加权余数法中的迦辽⾦法或最⼩⼆乘法等同样获得了有限元⽅程，因⽽有限元法可应⽤于

以任何微分⽅程所描述的各类物理场中，⽽不再要求这类物理场和泛函的极值

问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松⽅程化为求解泛函的极值问题。1有限元法介绍

1.1有限元法定义

有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是⽤较简单的问题代替复杂问题后再求解。它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应⽤数学、现代⼒学及计算机科学相互渗透、综合利⽤的边缘科学。

有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的⼩的互连⼦域

组成，对每⼀单元假定⼀个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总

的满⾜条件(如结构的平衡条件），从⽽得到问题的解。这个解不是准确解，⽽

是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于⼤多数实际问题难以得

到准确解，⽽有限元不仅计算精度⾼，⽽且能适应各种复杂形状，因⽽成为⾏

之有效的⼯程分析⼿段。有限元法最初应⽤在⼯程科学技术中,⽤于模拟并且解

决⼯程⼒学、热学、电磁学等物理问题。1.2有限元法优缺点

有限元⽅法是⽬前解决科学和⼯程问题最有效的数值⽅法，与其它数值⽅

法相⽐，它具有适⽤于任意⼏何形状和边界条件、材料和⼏何⾮线性问题、容

易编程、成熟的⼤型商⽤软件较多等优点。

（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层⾯上建⽴起对有限元法的理解，既可以通过⾮常直观的物理解释来理解，也可以建⽴基于严格的数学理论

分析。

（2）有很强的适⽤性，应⽤范围极其⼴泛。它不仅能成功地处理线性弹性

⼒学问题、费均质材料、各向异性材料、⾮线性应⽴-应变关系、⼤变形问题、动⼒学问题已及复杂⾮线性边界条件等问题，⽽且随着其基本理论和⽅法的逐步完善和改进，能成功地⽤来求解如热传导、流体⼒学、电磁场等领域的各类线性、⾮线性问题。他⼏乎适⽤于求解所有的连续介质和场问题，以⾄于⽬前开始向纳⽶量级的分⼦动⼒学渗透。

有限元方法 求解微分方程

有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解微分方程。在本文中，我们将介绍有限元方法的基本原理和求解微分方程的步骤。

有限元方法是一种将连续问题离散化的数值方法，它将连续的物理域划分为许多小的子域，称为有限元。这些有限元可以是简单的几何形状，如线段、三角形或四边形。通过在这些有限元上建立适当的数学模型，我们可以得到一个离散化的方程系统。

要求解微分方程，首先需要将微分方程转化为一个变分问题。变分问题是通过将微分方程左右两边乘以一个测试函数，然后对整个方程进行积分得到的。通过这样的转化，我们可以将微分方程问题转化为一个变分问题，这样就可以应用有限元方法进行求解。

在有限元方法中，我们选取一个适当的有限元空间，并在每个有限元上构建一个适当的试验函数空间。试验函数空间是由一组基函数生成的，这些基函数是在每个有限元上定义的。通过将基函数与试验函数空间上的权函数相乘，并在整个物理域上进行积分，我们可以得到一个离散化的方程系统。

接下来，我们需要对离散化的方程系统进行求解。通常，我们使用线性代数方法，如高斯消元法或迭代法，来解决这个离散化的方程系统。通过求解这个方程系统，我们可以得到有限元问题的近似解。

我们需要对有限元解进行后处理。这包括计算物理量的值和误差的估计。通过计算物理量的值，我们可以得到微分方程问题的数值解。通过计算误差的估计，我们可以评估数值解的精度。

有限元方法是一种常用的求解微分方程的数值方法。通过将微分方程转化为一个变分问题，然后应用有限元方法进行离散化和求解，我们可以得到微分方程的数值解。通过对数值解进行后处理，我们可以评估数值解的精度。有限元方法在工程和科学计算中有广泛的应用，可以解决各种不同类型的微分方程问题。