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微分方程模型介绍

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1 微分方程模型介绍

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：

1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：

1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法

利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律

3）模拟近似法

在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

2 下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程：

一. 单种群模型

1. 马尔萨斯(Malthus)模型

假定只有一个种群，Nt表示t时刻生物总数，r表示出生率，0t表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为

00d,d(1)ttNtrNttNtN

不难得到其解为0()0rttNtNe.

2. 密度制约模型

由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

d(1)(2)dNtNtrNttK

其中K为最大容纳量，可以看出当NtK时，种群的规模不再增大。这个模型就是著名的Logistic模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t时刻个体共消耗了总资源的NtK此时资源剩余1NtK，因此Logistic模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。称为密度制约。显然当不考虑密度制约因素时，Logistic方程就变成了Malthus模型。

由方程(2)可见，种群规模有两个平衡态0;NtNtK，易知其解曲线的分布如下图

(可由函数单调性讨论得到)

二 两种群相互作用的模型

20世纪20年代，意大利生物学家Ancona在研究鱼类变化规律时，无疑中发现了第一次世界大战期间，意大利Finme港收购站的软骨掠肉鱼(鲨鱼等以其它鱼为食的鱼)在鱼类收购量中的下述比例资料：

3 年代 1914 1915 1916 1917 1918

百分比 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4

年代 1919 1920 1921 1922

1923

百分比 27.3 16.0 15.9 14.8

19.7

使Ancona感到惊奇的是：在战争期间掠肉鱼的捕获比例显著增加，起初他认为是这是由于战争使捕鱼量减少，掠肉鱼获得了更充裕的食物，从而促进了它们更快地繁殖生长，但再转念一想，捕获量的减少也应同样有利于非掠肉鱼，为什么会导致掠肉鱼的比例上升呢？Ancona无法用生物学的观点去解释这一现象，于是就去请教他当时的同事、意大利著名的数学家、后来成为他女婿的V.Volterra，希望他可以通过数学来解释这个现象。

V.Volterra把鱼分成两大类：掠肉鱼(捕食种群)和食用鱼(食饵种群)。为了建立数学模型，他用yt表示t时刻Finme港中掠肉鱼的数量，用xt表示t时刻食用鱼的数量。

1. 无捕捞情况下的模型

假定，若不存在捕食者yt时，食饵种群规模xt的增长符合马尔萨斯方程，即

ddxtaxtt

其中0a为增长率，当捕食者存在yt时，单位时间内每个捕食者对食饵的吞食量与食饵种群规模xt成正比，比例常数为0b从而有

ddxtaxtbxtytt

再假定捕食者吞食食饵以后，立即转化为能量，供给捕食种群的繁殖增长(略去时滞)，设转化系数为，捕食种群的死亡率与种群规模成正比，比例系数为d。于是有

ddytbxtytdytt

这样，Volterra便得到由捕食者与食饵所构成的两种群相互作用的数学模型

dd(3)ddxaxbxytycxydyt

其中cb。这是一个非线性微分方程，我们对它进行定性讨论。

A: 确定平衡点(驻点，稳定点)

由00axbxycxydy解得两个平衡位置(0,0);(,)daOMcb

B: 考虑各个平衡点的稳定性

对(0,0)O，考虑其一次线性近似系统 4 ddddxaxtydyt

得到其特征方程为()()0ab，得到特征根120;0ab，易知具有正实部的特征根，所以有常微分方程的知识知平衡点(0,0)O是不稳定的。

对平衡点(,)daMcb，作变换,daxxyycb，将坐标系平移，系统(3)化为

dd(4)ddxbdybxytcyacxcxytb

可用同样的方法讨论其稳定性。（稳定但非渐近稳定）

同号——结点

相异（非零）实根

实根 异号——鞍点(不稳定)

临界结点（正的不稳定，负的稳定）

重（非零）实根

退化结点（正的不稳定，负的稳定）

实部不为零——焦点

复根

实部为零——中心(稳定但非渐近稳定)

由matlab给出系统(3)的数值模拟：

假定1,0.1,0.02,0.5abcd

可由simulink仿真模拟出其解曲线的图形

验证了稳定而非渐近稳定

能否给出matlab的程序及其模拟情况？ 5 3. 考虑捕捞情况下的模型

假定由于海上捕捞，食饵与捕食者的数量分别以hx和hy的速率减少，其中h反映了捕捞能力，它由渔船的规模、设备与技术水平、下网次数等因素所确定ha，于是在捕捞情况下，系统(3)就变为

dd(5)ddxahxbxytycxydhyt

可以判断其平衡点及其稳定性的情况

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微分方程模型介绍

微分方程模型介绍

1 微分方程模型介绍

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：

1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：

1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法

利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律

3）模拟近似法

在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

2 下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程：

一. 单种群模型

1. 马尔萨斯(Malthus)模型

假定只有一个种群，Nt表示t时刻生物总数，r表示出生率，0t表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为

00d,d(1)ttNtrNttNtN

不难得到其解为0()0rttNtNe.

2. 密度制约模型

由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

d(1)(2)dNtNtrNttK

其中K为最大容纳量，可以看出当NtK时，种群的规模不再增大。这个模型就是著名的Logistic模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t时刻个体共消耗了总资源的NtK此时资源剩余1NtK，因此Logistic模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。称为密度制约。显然当不考虑密度制约因素时，Logistic方程就变成了Malthus模型。

微分方程模型介绍 2

微分方程模型介绍 2

1 微分方程模型介绍

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：

1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：

1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法

利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律

3）模拟近似法

在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

2 下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程：

一. 单种群模型

1. 马尔萨斯(Malthus)模型

假定只有一个种群，Nt表示t时刻生物总数，r表示出生率，0t表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为

00d,d(1)ttNtrNttNtN

不难得到其解为0()0rttNtNe.

2. 密度制约模型

由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

d(1)(2)dNtNtrNttK

其中K为最大容纳量，可以看出当NtK时，种群的规模不再增大。这个模型就是著名的Logistic模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t时刻个体共消耗了总资源的NtK此时资源剩余1NtK，因此Logistic模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。称为密度制约。显然当不考虑密度制约因素时，Logistic方程就变成了Malthus模型。

基于偏微分方程的图像修复模型介绍

基于偏微分方程的图像修复模型介绍

科技信息　博士・专家论坛　

基于偏微分方程帕图像修复模型介绍　

莱芜职业技术学院计算机系　张福美　

［摘要］本文主要从修复原理、修复方法等方面介绍了微观仿真技术、整体变分模型、曲率驱动扩散、弹性修复模型、Ｍｕｍｆｏｒｄ—ｓｈａｈ　

修复模型、Ｍ　ｍｆｏｒｄ—ｓｈａｈ—Ｅｕ１ｅｒ六种基于偏微分方程的修复模型，了解六种模型的修复特点。　

［关键词］偏微分方程　微观仿真　整体变分　弹性修复　

基于偏微分方程的图像修复算法主要有以下几种方法，下面简单　

的介绍一下。　

一、微观仿真技术（ＢＳＣＢ）　Ｍ．Ｂｅｒｔａｌｍｉ０和Ｇ．Ｓａｐｉ　Ｉ等人于２０００开始研究数字图像修复，从此　

图像修复问题弓Ｉ起了学者们的普遍关注，开创了偏微分方程在图像修　

复中的先河。他们把图像修复叫ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ，就是画家在图画破损的地　方重新画上丢失的信息。他们模仿流体动力学中的Ｎ—Ｓ方程，建立了一　

个等照度线光滑延伸的修复算法。该修复方法基于模拟微观的修复机　

制，通过传递、扩散以及它们的结合等过程，将受损区域周围的信息沿　等照度线方向延伸至受损区域内部，称为微观仿真技术，因为是有　

Ｂｅｒｔ￣ｍｉ０，Ｓａｐｉ　Ｓａｓｅｌｌｅｓ，Ｂｅｌｌｅｓｔｅｒ４人提出该模型日，有的称ＢＳＣＢ模型。　

修复区域内不同的区域是由边界线划分的，根据修复区域边界信息来　填充破损区域的信息。图像的修复过程就是逐渐扩散平滑的过程，这个　

过程的一系列巾间结果看作是一个连续迭代的变化图像。这个算法对　

修复区域的拓扑结构没有任何要求，适应性好，但修复速度较慢。　

图１微观仿真示意图　

二、整体变分模型（ＴＶ模型）　

Ｌ　

（ａ）待修复图像（ｂ）若ｌ＜ｗ时ＴＶ修复结果（ｃ）若ｌ＞ｗ时Ｔｖ修复结果　

图２矩形遮挡修复　数字图像由于在获取（数字化过程）和传输过程中受各种因素的影　

响，会受到噪声的污染。对有噪声的图像，可以看作一个连续函数的离　散化，图像可以分为边缘信息和非边缘信息，边缘位置上的图像信息变　

微分方程模型

微分方程模型

（微分方程模型）

1． 一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？

2． 从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4

（1） 求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）

（2） 如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？

3． 一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？

4． 容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。

5． 一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？

6． 设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？

7． 某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。

8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。

9． 证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角 的正切为一常数，（ ）

10． 实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？