新教材高中数学第2章函数2函数函数概念学案含解析北师大版必修第一册
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§2 函数
2.1 函数概念
学 习 目 标 核 心 素 养
1.能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域与值域．(难点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助函数的定义域与值域的求解，培养数学运算素养．
函数的概念
定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数．
三要素 对应关系 y＝f()x，x∈A
定义域 自变量x的取值范围A
值域 与x值对应的y值的集合{}f()x|x∈A
思考：若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数一定是相同函数吗？
提示：不一定．如y＝x，x∈[]0，1和y＝x2，x∈[]0，1的定义域都是区间[]0，1，值域也都是区间[]0，1，但它们不是相同函数．当且仅当两个函数的定义域与对应关系都分别相同时，这两个函数是同一函数．
1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是( )
A．π2 B．π C．π D．不确定
B [由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.]
2．函数y＝f()x的定义域是R，则在同一坐标系中y＝f()x的图象与直线x＝1的公共点的个数为( ) - 2 - A．0 B．1 C．2 D．0或1
B [由于1∈R，所以由函数的定义知：在值域中有唯一的像与之对应，故选B.]
3．函数y＝x的定义域________，值域是______．
[答案] [)0，＋∞ [)0，＋∞
4．已知函数f()x＝x＋1x＋2.
(1)求f(2)；
(2)若f(m)＝2，求m的值．
[解] (1)f()2＝2＋12＋2＝34.
(2)由f()m＝2，得m＋1m＋2＝2，解得m＝－3.
函数的概念
【例1】 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
[思路点拨] 依据函数的定义来判断．
[解] (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
1．判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一． - 3 - 2．在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同．值域相同，只是前两个要素相同的必然结果．
[跟进训练]
1．下列各组函数是同一函数的是(
) ①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；
②f(x)＝x与g(x)＝x2；
③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③ C．③④
D．①④
C [①f(x)＝－x－2x，g(x)＝x－2x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；
②f(x)＝x，g(x)＝x2＝|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；
③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝1x0＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．]
求函数值
【例2】 已知f(x)＝1－x1＋x(x≠－1).
(1)求f(0)及ff12的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x)).
[思路点拨] 先把自变量的值代入到函数的解析式中，再按解析式指明的运算进行运算．对于型如f(f(x))的求值，可由里向外，分层计算．
[解] (1)f(0)＝1－01＋0＝1.
∵f12＝1－121＋12＝13，
∴ff12＝f13＝1－131＋13＝12. - 4 - (2)f(1－x)＝1－（1－x）1＋（1－x）＝x2－x(x≠2).
f(f(x))＝f1－x1＋x＝1－1－x1＋x1＋1－x1＋x＝x(x≠－1).
求函数值的方法
(1)已知f()x的表达式时，只需用a代替表达式中的x，即得f()a.
(2)求f()g()x的函数值应遵循由里向外的原则．
[跟进训练]
2．已知f(x)＝11＋x(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f()g()a－1.
[解] (1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.
(3)g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
f()g()a－1＝f()a2－2a＋3＝11＋()a2－2a＋3＝1a2－2a＋4.
求函数的定义域
[探究问题]
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否先化简再求定义域？
提示：不能，这样定义域有可能扩大．
2．若函数y＝f()x＋1的定义域是[]1，2，则
(1)[]1，2是x的取值范围，还是x＋1的取值范围？
(2)y＝f()x的定义域是什么？
提示：(1)是x的取值范围．
(2)y＝f()x的定义域是函数u＝x＋1的值域[]2，3. - 5 - 【例3】 求下列函数的定义域．
(1)y＝3－12x；
(2)y＝2x－1－7x；
(3)y＝（x＋1）0x＋2；
[解] (1)函数y＝3－12x的定义域为R.
(2)由x≥0，1－7x≥0，得0≤x≤17，
所以函数y＝2x－1－7x的定义域为0，17.
(3)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝（x＋1）0x＋2的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．
1．函数f(x)＝xx－1的定义域为________．
{x|x≥0且x≠1} [要使xx－1有意义，需满足x≥0，x－1≠0，解得x≥0且x≠1，故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．]
2．函数f(x)＝2x＋3－12－x＋1x的定义域为________．
x－32≤x＜2，且x≠0 [要使函数有意义，
需2x＋3≥0，2－x>0，x≠0，解得－32≤x＜2，且x≠0，所以函数y＝f(x)的定义域为{x－32≤x＜2，且x≠0}．]
3．已知等腰三角形ABC的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则此函数的定义域为( )
A．R B．{x|x>0}
C．{x|0
D [∵等腰三角形的周长为10， - 6 - ∴x＞0，10－2x＞0，2x＞10－2x，∴52
求函数定义域的常用依据
(1)分式，分母不为零；
(2)偶次根式，被开方数大于或等于零；
(3)零次幂，底数不为零；
(4)实际问题，使实际问题有意义．
1．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．
2．我们可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.
3．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝1不是函数； ( )
(2)函数f：A→B的值域一定是集合B. ( )
[答案] (1)× (2)×
2．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是( )
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b) - 7 - [答案] C
3．函数f()x＝x－3||x－5的定义域为________．
{x|x≥3，且x≠5} [由x－3≥0||x－5≠0 ，得x≥3且x≠5.]
4．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝1x－|x|；
(2)f(x)＝x－1·4－x＋2；
(3)f(x)＝（x＋1）2x＋1－1－x.
[解] (1)当x－|x|≠0，即|x|≠x，也即x<0时，f(x)有意义，故函数f(x)的定义域为(－∞，0).
(2)要使函数有意义，应满足x－1≥0，4－x≥0，解得1≤x≤4.
故函数f(x)的定义域为[1，4].
(3)要使函数f(x)有意义，应满足1－x≥0，x＋1≠0，解得x≤1，且x≠－1.故函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1].
