双曲线的简单几何性质(教案)(精)

双曲线的简单几何性质

第三课时

（一）教学目标

1．掌握直线与双曲线位置关系的判定，能处理直线与双曲线截得的弦长，与弦的中点

有关的问题．

2．能综合应用所学知识解决较综合的问题，提高分析问题与解决问题的能力．

（二）教学过程

【设置情境】

练习：求下列直线和双曲线的交点坐标（课本P108．5）

①

，02yx1

52022

yx

②

，

01634yx1

162522

yx

③，01yx322

yx

答案：①（6

，2）

，（，

）②（，3）③

143

32



425



12，

说出上边各例直线与双曲线的位置关系．

不少学生会认为直线与双曲线相切，让学生动手画图，很显01yx322

yx

然此时直线与双曲线相交，且只有一个交点．

为什么会出现这种情况呢？

【探索研究】

直线与双曲线的位置关系

通过对第③小题的研究发现直线与双曲线的渐近线平行，因而此时相交01yx

且只有一个公共点．从而得出结论

直线与双曲线相切—只有一个公共点（只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要条

件，但不是充分条件）．

直线与双曲线相离—没有公共点．

【例题分析】

例1 如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．（课本1kxy422

yxk

P132第13题）

解：由得即此方程无解．





41

22yxkxy





052122

kxxk直线与双曲线相交有两个公共点

有一个公共点（直线与渐近线平由得或











0120401

222

kk

k

25



k

25

k

则的取值范围为或．

k

25



k

25

k

引申：（1）如果直线与双曲线有两个公共点，求的取值范1kxy422

yxk

围．

解析：直线与双曲线有两个公共点式方程有两个不等的根



且



25

25

0120401

222











k

kkk

1k

（2）如果直线与双曲线只有一个公共点，求的取值范围．1kxy422

yxk

解析：此时等价于（﹡）式方程只有一解

选修 2-1 】§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质

（第一课时）

一、课标要求

掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，理解其简单的几何性质；

了解圆锥曲线的简单应用。

二、教材分析

本节教学内容是普通高中课程标准实验教科书 （人民教育出版社） 数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与 方程第三节第二部分：

双曲线的简单几何性质。 由曲线方程研究曲线的几何性质， 是高中阶段解析几何 所研究的主要问题之一。学生已经学习了椭圆及其标准方程、椭圆的简单几何性质，从而探究、归纳出 双曲线类似于椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率） ；并且进一步探究出双曲线独有的几何 性质（实轴、虚轴、渐近线） ；也为后续研究抛物线的几何性质打下了基础。因此这节课在教材中起承 上启下的作用，是培养学生利用曲线方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法以及概括、归纳能力 和逻辑思维能力的重要内容，同时本节内容也是高考的高频考点。

三、学情分析

本班学生是平行班的学生， 因此教师在引导的基础上还需要适当的讲解。 在此之前， 学生已经学习 了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研 究、归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的 几何性质（实轴、虚轴、渐近线） 。通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础 上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的 认识。

四、教学目标

一、知识与技能

1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。

2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。

二、过程与方法

通过观察、类比、探究来认识双曲线的简单几何性质。

三、情感态度与价值观

通过类比旧知识，探索新知识，培养我们学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇

于创新的精神。

课题：双曲线的简单几何性质（1）

一．教学目标：

1.知识与能力

了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.

2.过程和方法

通过观察、类比、探究来认识双曲线的几何性质.

3.情感态度与价值观

通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系．

二．教材分析：

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

三．学情分析：

学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆的几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质的思想方法有更深刻的认识。

四．重点难点： 重点：双曲线的简单几何性质

难点：由双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程

五．教学过程：

1.导入新课：

大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT）

在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)xyabab的哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率等）

这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质

2.学案反馈：

通过批改学案来了解学生对本节新课的理解和掌握情况，并对学案反馈出的问题做课堂讨论和解决。同时通过速记、提问方式加强记忆。

双曲线的几何性质教案

【教案】

一、教学目标：

1.了解双曲线的定义及基本特点；

2.学习双曲线的标准方程；

3.掌握双曲线的几何性质。

二、教学重点：

1.学习双曲线的标准方程；

2.掌握双曲线的几何性质。

三、教学内容：

1.双曲线的定义及基本特点：

双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。

双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。

双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。两条分支无限延伸，且永不相交。

2.双曲线的标准方程：

标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或

$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。 其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。

3.双曲线的几何性质：

(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；

(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；

(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；

(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；

(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；

(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。

四、教学过程：

1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。

2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。

3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。