弹塑性力学第三章

弹性力学 本构方程 刚度矩阵 柔度矩阵

弹性力学 本构方程 刚度矩阵 柔度矩

阵

中文名称:

弹性力学

英文名称:

theory of elasticity

其他名称:

弹性理论

定义:

研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。

所属学科:

水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科)

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件

在内的各种形状的弹性体。 弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

弹性力学的发展大体分为四个时期。

人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。

发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。 第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从

1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。

应力应变关系

我所认识的应力应变关系

一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。

在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即

,E ,,XX

在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律

本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。

(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下

(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下

(3)各向同性弹性体的本构方程

各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足:

,,,,,，，CCCxxyz111213

,,,,,，，CCCyxyz212223

,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3)

,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有

,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等 ，则可统一写为:

CCCa==,112233

CCCCCCb=====,122113312332 (2-4)

所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。

广义胡可定律如下式

,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz

2GE,,

,1,zx,,,,，[()]zx,,,,,,,zzxy,2GE,,

EGv泊松比 剪切模量 E:弹性模量/杨氏模量 ,2(1),，

第四章 应力与应变的关系（二）

物体由于受力而变形，如果将力去掉以后

能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性

变形。如果将力去掉以后，不能恢复原形状，其

中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉

及塑性变形的力学，就叫塑性力学。

4.6 塑性的基础知识

金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或

位错所致。因此塑性变形与剪切变形有关。

（1）塑性变形不引起体积的变化；

（2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。

其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微

观现象有很大的区别。① 其破坏主要归于微裂

纹的发展；② 塑性性状包含体积的改变；③ 拉

压特性存在很大的区别。

简单拉压时的塑性现象

① 

E

；

② 变形可恢复，但不成线性比例关系；

③ 屈服；

④ 强化；软化；

⑤ 卸载，再加载，后继屈服，

ss



1

初始屈服条件

s



；

后继屈服条件

s



。

s

与塑性变形的历史有关，)H(p

s



当

s



， 弹性阶段；

s



，





卸载加载

0d0d



⑥ Bauschinger 效应

4.7 应力张量的分解（对第三章的补充）





























mzyzxzzymyxyzxyxmxmmm

zyzxzzyyxyzxyxx

000000





记

2

ijm

mmm

000000















可得：

ijijmijs











zyzxzzyyxyzxyxx

ij

sss

s



mxxs



myys



mzzs



应力球张量只引起体积的变化，而没有形状

的改变。应力偏张量只引起形状变化，而没

有体积改变。

0sss)s(I

zyxij1

)()ssssss()s(I2

zx2

yz2

xyxzzyyxij2





3

)s(det)s(I

1 第二章 应力理论和应变理论

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：

σx=ax+by，σy=cx+dy-γy ， τxy=-dx-ay；

试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。

解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：

OA边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= γ1y ； Ty=0 则σx=-γ1y ； τxy=0

代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay 并注意此时：x=0

得：b=-γ1；a=0；

OB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0

则：cossin0cossin0xxyyxy………………………………（a）

将己知条件：σx= -γ1y ；τxy=-dx ； σy=cx+dy-γy代入（a）式得：

1cossin0cossin0ydxbdxcxdyyc

化简（b）式得：d =γ1ctg2β； 化简（c）式得：c =γctgβ-2γ1 ctg3β

2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa

试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103 σy=10×103 τxy=6×103，且该点的主应力可由下式求得：

222231.2333312101210610222217.08310113710116.0828104.9172410xyxyxyPa

则显然：3312317.083104.917100PaPa

σ1 与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）

22612sin22612102cos2xyxytg