八年级上册数学重难点总结
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八年级上册数学重难点总结
一、三角形。
1. 重点。
- 三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这一关系常用于判断三条线段能否组成三角形，以及在已知三角形两边长度时求第三边的取值范围。例如，已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是2 <
x < 8。
- 三角形内角和定理：三角形内角和为180°。可以利用这个定理求解三角形中未知角的度数。如在三角形ABC中，已知∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C=180° -
50° - 60° = 70°。
- 三角形的角平分线、中线和高的概念及性质。角平分线将角平分，中线将对边平分，高与对边垂直。
- 等腰三角形的性质与判定。性质包括两腰相等、两底角相等、三线合一（底边上的高、中线、角平分线重合）；判定方法是根据定义（有两边相等的三角形是等腰三角形）或者等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形）。
- 等边三角形的性质与判定。性质有三边相等、三个角都是60°；判定可以根据定义（三边相等的三角形是等边三角形）、三个角都相等的三角形是等边三角形或者有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2. 难点。
- 三角形全等的判定。全等三角形的判定定理有SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（直角、斜边、直角边，适用于直角三角形）。难点在于准确找出全等的条件，尤其是在复杂图形中，容易混淆条件或者遗漏条件。例如，在证明两个三角形全等时，可能会误将SSA（边边角）当作全等的判定条件。 - 等腰三角形性质与判定的综合应用。例如在一些几何证明题中，需要先判定一个三角形是等腰三角形，然后再利用等腰三角形的性质来求解其他问题，这就要求对等腰三角形的判定和性质有深入的理解并且能够灵活运用。
- 利用三角形的相关知识解决实际问题。比如在测量不可到达的两点间的距离时，需要构建三角形模型，运用三角形全等或者相似的知识来求解，这需要将实际问题抽象为数学模型的能力。
二、整式的乘除与因式分解。
1. 重点。
- 同底数幂的乘法：a^m× a^n=a^m + n（m、n为正整数）。例如2^3×2^4 =
2^3+4=2^7。
- 幂的乘方：(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数），如(3^2)^3=3^2×3=3^6。
- 积的乘方：(ab)^n=a^n× b^n（n为正整数），例如(2×3)^2 = 2^2×3^2。
- 整式的乘法，包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。如2x×3x = 6x^2（单项式乘以单项式）；2x(x + 3)=2x^2+6x（单项式乘以多项式）；(x + 2)(x+3)=x^2 + 3x+2x + 6=x^2+5x + 6（多项式乘以多项式）。
- 平方差公式：(a + b)(a - b)=a^2 - b^2，例如(3+2)(3 - 2)=3^2-2^2 = 5。
- 完全平方公式：(a± b)^2=a^2±2ab + b^2，如(x + 1)^2=x^2+2x + 1。
- 因式分解的概念和基本方法，包括提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。例如，对6x^2+3x进行因式分解，先提公因式3x得到3x(2x + 1)；对x^2 - 9因式分解，利用平方差公式得到(x + 3)(x - 3)。
2. 难点。 - 幂的运算法则的逆用。例如，已知a^m + n=a^m× a^n，逆用这个公式可以将2^5写成2^3×2^2。在一些复杂的计算和化简问题中，幂的运算法则逆用往往是解题的关键，但学生不容易想到这种方法。
- 完全平方公式的变形应用。完全平方公式有多种变形形式，如a^2 + b^2=(a
+ b)^2-2ab=(a - b)^2+2ab等。在解决一些求值问题或者证明题时，需要灵活运用这些变形公式，这对学生的综合运用能力要求较高。
- 因式分解的综合应用。在因式分解中，有时需要先提取公因式，再运用公式法，或者需要对多项式进行适当的变形后才能进行因式分解。例如，对x^3 - 2x^2+x进行因式分解，先提取公因式x得到x(x^2 - 2x + 1)，然后再利用完全平方公式将x^2 -
2x + 1分解为(x - 1)^2，最终结果为x(x - 1)^2。同时，因式分解在分式化简、解方程等方面的应用也比较复杂。
三、分式。
1. 重点。
- 分式的概念。分式是形如(A)/(B)（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子。例如(x)/(x + 1)是分式，而(3)/(5)不是分式。
- 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。即(A)/(B)=(A× C)/(B× C)（C≠0），(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。利用这个性质可以进行分式的约分和通分。
- 分式的运算，包括分式的加减法（同分母分式相加减、异分母分式相加减）、分式的乘除法、分式的乘方。如(1)/(x)+(1)/(y)=(y + x)/(xy)（异分母分式加法，先通分）；(x)/(y)×(y)/(x)=1（分式乘法）；((x)/(y))^2=(x^2)/(y^2)（分式乘方）。
- 分式方程的概念和解法。分式方程是分母中含有未知数的方程，如(1)/(x)+1=(2)/(x)。解分式方程的关键步骤是去分母，将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，最后要检验所得的解是否为原分式方程的增根。
2. 难点。 - 分式的通分和约分。通分是将异分母分式化为同分母分式的过程，约分是将分式的分子和分母中的公因式约去的过程。在通分和约分过程中，需要准确找出公因式或者最简公分母，这对于复杂的分式来说是比较困难的。例如，对于分式(1)/(x^2 - 1)和(1)/(x^2+2x + 1)，通分时分母分别为(x + 1)(x - 1)和(x + 1)^2，最简公分母为(x +
1)^2(x - 1)。
- 分式方程的增根问题。在解分式方程时，去分母后得到的整式方程的解可能会使原分式方程的分母为0，这样的解就是增根。理解增根产生的原因以及如何检验增根是分式方程学习中的一个难点。例如，在解分式方程(x)/(x - 1)-(1)/(x)=1时，去分母后得到x^2-(x - 1)=x(x - 1)，解得x=(1)/(2)，需要检验当x=(1)/(2)时，原分式方程的分母不为0，所以x=(1)/(2)是原方程的解。如果解得x = 1，则x = 1是增根，原分式方程无解。
- 分式的实际应用。分式在实际生活中有很多应用，如工程问题、行程问题等。将实际问题转化为分式方程模型，并进行求解和解释结果，需要学生具备较强的阅读理解能力和数学建模能力。例如，一项工程，甲单独做x天完成，乙单独做y天完成，两人合作需要多少天完成？可以列出分式方程(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(t)（t为两人合作完成的天数）来求解。
