2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)学案 新人教A版必修4
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1.2.1 任意角的三角函数(二)
学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点).3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)．
知识点1 三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos
x的定义域是R；正切函数y＝tan
x的定义域是{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}．
【预习评价】
函数y＝cos x的定义域为________．
解析 由cos x≥0得{x|2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z}．
答案 {x|2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z}
知识点2 三角函数线
1．相关概念
(1)单位圆：
以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．
(2)有向线段：
带有方向(规定了起点和终点)的线段．
规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
2．三角函数线
题型一 三角函数线及其作法 【例1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)π4；(2)2π3；(3)－3π4；(4)11π6．
解 作图，如图所示：
图(1)，(2)，(3)，(4)中的MP，OM，AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线．
规律方法 三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT．
【训练1】 (1)作出－π3的正弦线；(2)作出4π3的正切线．
解 (1)作出－π3的正弦线MP如图所示．
(2)作出43π的正切线AT如图所示．
考查 题型二 三角函数线的应用 方向
方向1 利用三角函数线比较大小
【例2-1】 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin2π3与sin4π5；(2)tan2π3与tan4π5．
解 如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin2π3＝MP，tan2π3＝AT；
4π5的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin4π5＝M′P′，tan4π5＝AT′，
由图可见，MP>M′P′>0，AT
所以(1)sin2π3>sin4π5，(2)tan2π3
方向2 利用三角函数线解不等式
【例2-2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥32；(2)tan α≥－1．
解 (1)作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为
a|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z．
(2)在单位圆过点A(1,0)的切线上取AT＝－1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，如图所示，所以α的取值集合是α|－π4＋kπ≤α
规律方法 1.利用三角函数线比较大小的两个注意点
(1)角的终边的位置要找准；
(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2．利用三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边范围．
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．
(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．
【训练2】 解不等式cos α≤－12．
解 作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z．
题型三 求三角函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝sin x·tan x；
(2)f(x)＝lg sin x＋9－x2．
解 (1)∵要使函数f(x)有意义，
∴sin x·tan x≥0，
∴sin x与tan x同号或sin x·tan x＝0， 故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角．
∴函数的定义域为{x|2kπ－π2
x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
(2)由题意，要使f(x)有意义，则 sin x>0，9－x2≥0.
由sin x>0得2kπ
由9－x2≥0得－3≤x≤3，
②
由①②得：f(x)的定义域为{x|0＜x≤3}．
规律方法 求三角函数定义域的方法
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
【训练3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝2cos x－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
解 (1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥12．
如图，
∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．
∴函数的定义域为
2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3 (k∈Z)．
(2)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<34，
∴－32
∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3∪2kπ＋2π3，2kπ＋4π3(k∈Z)．
即x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．
∴函数的定义域为kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．
课堂达标
1．下列四个命题中：
①α一定时 ，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是(
)
A．0 B．1
C．2
D．3
解析 由三角函数线的定义①③④正确，②不正确．
答案 B
2．如果π4
A．cos α
C．sin α
解析 方法一 (特值法)令α＝π3，则cos α＝12，tan α＝3，sin α＝32，故cos
α
tan α．
方法二 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，则OM
答案 A
3．比较大小：sin 1________sinπ3(填“>”或“<”)．
解析
因为0<1
答案 <
4．当x∈[0,2π]时，不等式sin x≥12的解集为________．
解析 如图所示，不等式的解集为{x|π6≤x≤5π6}．
答案
x π6≤x≤5π6
5．比较sin4π7与tan4π7的大小．
解 4π7的正弦线MP与正切线AT如图所示．
由图易知sin4π7>0，tan4π7<0，∴sin4π7>tan4π7．
基础过关
1．下列说法不正确的是( )
A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点
B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在 C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D．余弦线和正切线的始点都是原点
解析 根据三角函数线的概念，A，B，C是正确的，只有D不正确，因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．
答案 D
2．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A．－3π4，π4 B．－π2，π2
C．－π4，3π4 D．[0，π]
解析 如图所示，当x＝π4和x＝－3π4时，sin x＝cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是[－3π4，π4]．
答案 A
3．函数f(x)＝tan(2x－π4)的定义域为( )
A．{x|x≠3π8＋12kπ，k∈Z} B．{x|x≠3π8＋kπ，k∈Z}
C．{x|x≠3π8＋2kπ，k∈Z} D．{x|x≠5π8＋12kπ，k∈Z}
解析 易知2x－π4≠π2＋kπ，，k∈Z，即x≠3π8＋12kπ，k∈Z，故f(x)的定义域为{x|x≠3π8＋12kπ，k∈Z}．
答案 A
4．若θ∈(π2，5π4)，则sin θ的取值范围是________．
解析 如图所示，作出π2和5π4的正弦线，
可得sin θ∈(－22，1)．
答案 (－22，1)
5．比较大小：sin 1.2________sin 1.5(填“>”或“<”)．
解析
∵1.2∈(0，π2)，1.5∈(0，π2)，正弦线在(0，π2)内随角α的增大而增大，
∴sin 1.2
答案 <
6．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35．
解 (1)作直线y＝23交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－35交单位圆于M，N两点，则OM，ON为角α的终边，如图乙．
7．求函数f(x)＝1－2cos x＋lnsin x－22的定义域．
解 由题意，得自变量x应满足不等式组
1－2cos x≥0，sin x－22>0， 即 cos x≤12，sin x>22.
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
