人教新课标版数学高一必修4导学案 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(一)

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像平移及解析式的求法

【知识点梳理及分析】

一、有关正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)基础知识

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

2.当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：

定义域 R

值域 __________

周期性 T＝____________

奇偶性 φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是__________函数

单调性 单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到

4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

二、图像的平移转换

图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变换

（1）左右平移：由y＝sinx的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象.

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学习目标

1.理解振幅、周期、频率、相位和初相与A, ω,φ的关系。

2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.

学习重点：1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；2.图象变换过程的理解；3.一些相关概念.

学习过程

课前准备：

复习1：学生口答完成以下练习

（1）xy2sin的图象如何变换可得到42sinxy的图象？

（2）)4sin(xy的图象如何变换可得到42sinxy的图象？

（3）sin(2)6yx向左平移6，横坐标缩短为原来的二倍，求所得函数解析式？

（4）)42sin(2xy可由xysin如何变换得到？

方法一：

方法二：

新课导学：

情境设置：简谐运动中单摆对平衡位置的位移y随时间x的变化关系为函数Asin()[0,)(0,yxxA，其中，物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率、相位、初相，你知道它们与A, ω,φ的关系吗？

新知：A就是这个简谐运动的 ，它是做简谐运动物体离开

的

；

这个简谐运动的

是T= ,这是做简谐运动物体往返运动一次所需的时间；这个简

谐运动的 由公式f= = 给出，它是做简谐运动物体在单位时间内往返运动的

次数；:x称为 .0x时的相位称为 。

典例精析：

例1：图示是某简谐运动的图象，

(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？

(2) 从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

人教版2017高中数学

—PPT课件—

1

(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系;

(2)y=sinx与y=sinx的图象关系;

(3)y=sinx与y=Asinx的图象关系;

(4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.

2y

xO1

1232)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(:关键点***复习回顾***

的图象]2,0[,sinxxy

Y

2223

OX

-11

4432

332454749

667

35例1画出函数y=Sin (X+ ),y=Sin(X-) ,的简图。3

4

00-101-π/35π/37π/62π/3π/602π3π/2ππ/2

Sin(X+ )Xx+3

3

00-101π/49π/47π/45π/43π/402π3π/2ππ/2

Sin(X-)Xx-4

41.y=sin(x+)与y=sinx的图象关系:

所有的点向左(>0)或向右(<0)平移

| |个单位一、函数y=sin(x+)图象:

函数y=sin(x+)(0) 的图象可以看作是把

y=sinx 的图象上所有的点向左(当>0时)或

向右(当<0时)平行移动||个单位而得到的.

y=sinxy=sin(x+)

的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

这个变换叫平移变换

43oy

2

232x

434

11例2画出函数y=sin2x，x∈R，y=sinx，x∈R的简图21

x2

x2sin22

230

42

430

x21sinxx

1001022230x21

1001023401）列表：

2）描点、连线：

xy21sinxysiny=sin2x

函数、与的图象

间的变化关系.xy21sinxysinxy2sin

-12y

Ox241

xy21sinxy2sin

所有的点横坐标缩短(>1)或伸长(0< <1) 1/倍二、函数y=sinx(>0)图象:

1 1.5.2 函数的y=Asin(ωx+φ) 图象与性质（1）

【学习目标】

1. 了解)sin(xAy的实际意义，会用五点法画出函数)sin(xAy的简图.

2.会对函数xysin进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会“由简单到复杂，从特殊到一般”的化归思想.

（预习教材P49~ P53，完成下列问题）

【新知自学】

知识回顾：

1、函数y=sinx，y=cosx的图象、性质

2、“五点法”作图

新知梳理：

1、情景引入：物体作简谐运动时，位移s与时间t的关系为

)sin(xAs)0,0(A，请你思考一下，能说出简谐运动的振幅，周期，频率，相位，初相是什么吗？它的图象与xysin有何关系？

2、新知探索

问题1，在同一坐标系中，画出xysin,)4sin(xy,)4sin(xy的简图，思考)4sin(xy与xysin的图象有什么关系?

数)sin(xy的图象可以看做将函结论：一般地,函数xysin的图象上所有的点

(当0)平移个单位长度而得到 (当0)或

的.

问题2，3sinyx，1sin3yx与xysin的图象有什么关系?

数)1,0(sinAAxAy的图象可结论： 一般地,函以看做将函数xysin的图象上所有的点的纵坐标变为原来的 倍 (横坐标不变) 而得到的.

问题3. xyxy21sin,2sin与xysin的图象有什么关系?

数)1,0(sinxy的图象可以结论：一般地,函看做将函数xysin的图象上所有的点的横坐标变为原来的 O x y

O x y

O x y 2 倍(纵坐标不变) 而得到.

对点练习：

1、函数sinxy的图象经过 、 、 即得到函数)3x2sin(3y的图象。