2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷
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第1页（共9页） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）2024的绝对值是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）
A．0.29×107 B．2.9×106 C．29×105 D．290×104
4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．30° C．36° D．56°
5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D． 第2页（共9页） 6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＜|b| B．2a＞2b C．ab＞0 D．a＜﹣1
7．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）
A．∠BDA＝72° B．BD＝2AE C． D．CA2＝CD•CB
10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y＝2x+1图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A． B． C．2≤n≤3 D．1≤n≤3 第3页（共9页） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝
．
12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）
13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）
14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ．
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．
16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是 ． 第4页（共9页）
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝CF．
20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100
随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89． 第5页（共9页） 请根据以上信息，完成下列问题：
（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是
°；
（2）n＝ ，并补全图2中的频数分布直方图；
（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是 分；
（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
笔试 展演
甲 92 89
乙 90 95
21．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 遮阳篷前挡板的设计
问题背景 我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC的长．
测量数据抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB长为4m，其与墙面的夹角∠BAD＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m宽的阴影DF，如图3，求出BC的长即可． 第6页（共9页）
解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：
（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；
（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．
运算过程 …
该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．
（1）求证：∠ADE＝∠CAE；
（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．
23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 第7页（共9页） 24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）求△OEF的面积；
（3）求△OMN面积的最大值．
25．（12分）【问题情境】
如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是 ，的值是 ．
（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能第8页（共9页） 求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上．
（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围．
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