初中数学复习数的开方与二次根式教案

第6课 数的开方与二次根式

〖知识点〗

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、

同类二次根式、二次根式运算、分母有理化

〖大纲要求〗

1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；

3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

内容分析

1．二次根式的有关概念

(1)二次根式

式子)0(aa叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．

(2)最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

(3)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质

).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22bababababaabaaaaaaaaa

3．二次根式的运算

(1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．

(2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

).0,0(baabba

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

〖考查重点与常见题型〗

1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。

3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。

考查题型

1．下列命题中，假命题是（ ）

（A）9的算术平方根是3 （B）16的平方根是±2

（C）27的立方根是±3 （D）立方根等于－1的实数是－1

说明：考查平方根、算术平方根、立方根的概念。

2．在二次根式45， 2x3， 11， 54， x4中，最简二次根式个数是（ ）

（A） 1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

说明：考查最简二次根式的概念。

（2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ）

（A）136，32 （B）35，15 （C）1212，13 （D）8，23

说明：考查同类二次根式概念。

3. 化简并求值，a+abab+b＋ab－ba－ab，其中a＝2＋3，b＝2－3

4．2＋1的倒数与2－3的相反数的和列式为 ，计算结果为

5．（－14）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，49的算术平

方根是 ，4981的平方根是 .

说明：考查平方根、算术平方根、立方根的概念。

考点训练： 1．如果x2＝a，已知x求a的运算叫做 ，其中a叫做x的 ；已知a求x的运算叫做 ，其中x叫做a的 。

2．(－2 )2的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。

3．当a<0时，化简∣a∣＋a2 ＋3a3 ＝ 。（注意符号）

4．若错误!=，错误!=，错误!=，则x等于（ ）

（A） （B） （C） （D）

5．设x是实数，则(2x＋3)(2x－5)＋16的算术平方根是（ ）

（A）2x－1 （B）1－2x （C）∣2x－1∣ （D）∣2x＋1∣

6．x为实数，当x取何值时，下列各根式才有意义：

（1）－3x－2 （ ）（2）x2＋5 （ ）（3）1x2 （ ）

（4）1 31－x （ ）(5)1 1－x＋2 （ ）（6）x ＋－x （ ）

7．等式3－xx＋2 ＝3－x x＋2 成立的条件是（ ）

（A）－2－2 （D）x≤3

8．计算及化简：

（1）(－727 )2 （2）ab2(c＋1)2 （3）错误!

（4）2a23b b3a4－b2a4 （b>1） （5）xx－3y x2y－6xy2＋9y3x （x>3y）

（6）(48 －6错误!)(4错误!＋错误!)－(2错误!－3错误!)2

说明：考查二次根式的计算或化简求值。

（7）已知方程4ｘ2－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，

化简4ａ2－12ａ＋9 ＋｜ａ－6｜

解题指导：

1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

说明：考查平方根、算术平方根、立方根的概念。

2．已知错误!=，错误!=，错误!=，则错误!等于（ ） （A） （B） （C） （D）

3．当1

（A）－1 （B）2x－1 （C）1 （D）3－2x

4．(x－2)2 ＋(2－x )2的值一定是（ ）

（A）0 （B）4－2x （C）2x－4 （D）4

5．比较大小：

（1）315 114

（2）7 －2

22 －1 （3）35 －34 34 －33

6．化简：aa－2b a2b－4ab2＋4b3a （2b>a）

7．计算：（32 ＋错误!－2错误!）－（错误!－错误!错误!）

8．已知a＝3－23＋2 ，b＝3＋23－2 ，求a2－5ab＋b2的值。

9．计算：945 ÷315 ×32 223 10．化简：632－23

11.设5+15-1 的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋12 ａｂ＋ｂ2的值。

独立训练：

1．2

－3 的倒数是 ；2

－3 的绝对值是 。

2．8 的有理化因式是

，x－y 的有理化因式是

。

3．1x－x－1 与1x－1＋x 的关系是

。

4．三角形三边a＝750 ，b＝472 ，c＝298 ，则周长是

。

5．直接写出答案：

（1）3 ·2 ÷30 ＝

，（2）4xy2x

= ，（3）(3 －2)8(3 ＋2)8= 。

6．如果a －b 的相反数与a ＋b 互为倒数，那么（ ） （A）a、b中必有一个为0 （B）∣a∣＝∣b∣（C）a＝b＋1 （D）b＝a＋1

7．如果(2－x)2 ＋(x－3)2 ＝（x－2）＋（3－x），那么x的取值范围是（ ）

（A）x≥3 （B）x≤2 （C）x>3 （D）2≤x≤3

8．把（a－b）－1a－b 化成最简二次根式，正确的结果是（

）

（A）b－a （B）a－b （C）－b－a （D）－a－b

9．化简－3xx －1x ＋4x3 的结果必为（ ）

（A）正数 （B）负数 （C）零 （D）不能确定

10．计算及化简：

（1）（5827 ·113 ·354 ） （2）18 ＋22－1 －412 －2(2 ＋1)0

（3）（3x2 xy －25 3xy +13 xy2 ）÷x2 xy （4） aa－b a2－aba3－2a2b+ab2

（a>b）

说明：考查二次根式的计算或化简求值。

11.已知ｘ＋3ｘ＋2 ＝13+2+1 ,求x-32x－4 ÷(5x－2 －的值x－2)。

12.先化简,再求值:( ｘ＋2xy +yx ＋y + 1x - y

)+ ｘ- y+1x

其中x=2 - 3

,y=2 + 3

13.设11－62 的整数部分为m，小数部分为n，求代数式m＋n＋2n 的值。

14.试求函数ｔ＝2－－3ｘ2＋12ｘ－9 的最大值和最小值。

15.如果ａ＋ｂ＋｜ｃ－1 －1｜＝4ａ－2 ＋2ｂ＋1 －4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值

教后记：

1.平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2.最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。

3.二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。