江苏省南通扬州泰州淮安徐州宿迁连云港2021届高三数学下学期4月第三次调研考试三模试题

1 江苏省南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港2021届高三数学下学期4月第三次调研考试（三模）试题

(满分：150分 考试时间：120分钟)

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合A＝{x|log2(x－1)≤1}，B＝{x21－x≥12}，则A∩B＝( )

A. (－∞，2] B. [1，2] C. (1，2] D. (1，3]

2. 已知复数z＝21＋i＋3i，则|z|＝( )

A. 5 B. 5C. 17D. 3＋2

3. 设a＝314，b＝log43，c＝414，则( )

A. c>b>a B. a>c>b

C. c>a>b D. a>b>c

4. 已知点A(1，1)，B(7，5)，将向量AB→绕点A逆时针旋转π2得到AC→，则点C的坐标为( )

A. (5，－5) B. (3，－7)

C. (－5，5) D. (－3，7)

5. “角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是( )

A. 32 B. 16 C. 5 D. 4

6. 已知双曲线E: x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为( )

A. 3B. 5C. 7D. 7

7. 在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和记为bn，则数列log3bn＋1bn的前78项和为( )

A. 3 B. log378 C. 5 D. log38

8. 已知函数f(x)＝21n x－x2ex＋1.若存在x0>0，使f(x0)≥ax0，则a的最大值为( )

A. 0 B. －1

C. 1－e D. 1－e2

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9. 在△ABC中，M是BC的中点．若AB→＝a, AC→＝b，则|AM→|＝( )

A. 12|a－b|B. 12|a＋b| 2 C. 122（a2＋b2）－（a－b）2D. 12a2＋b2

10. 在(2x2－1x)6的展开式中，下列说法正确的是( )

A. 各项系数和为1 B. 第2项的二项式系数为15

C. 含x3项的系数为－160 D. 不存在常数项

11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：|x|n＋|y|n＝1，则下列说法正确的是( )

A. 曲线C关于原点成中心对称

B. 当n＝－2时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2

C. 当n>0时，曲线C所围成图形的面积的最小值为π

D. 当n>0时，曲线C所围成图形的面积小于4

12. 已知菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝π3，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连接BD′.设二面角D′ACB的大小为θ，则下列说法正确的是( )

A. 若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝π3

B. 四面体D′ABC的体积最大值为1

C. 四面体D′ABC的表面积最大值为2(3＋2)

D. 当θ＝2π3时，四面体D′ABC的外接球的半径为213

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝6，cos B＝513，则sin

A＝__________．

14. 为了解某小区居民的家庭年收入x(万元)与年支出y(万元)的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y＝bx＋a．已知x＝20, y＝16，b＝0.76.若该小区某家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为__________万元．

15. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则直线y＝15x与函数y＝f(x)的图象的交点的个数为________．

16. 若矩形ABCD满足ADAB＝5－12，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图①所示的黄金矩形卡片ABCD，已知AD＝2x，AB＝2y，E是CD的中点，EF⊥CD，FG⊥EF，且EF＝FG＝x，沿EF，FG剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图②所示的几何模型．若连接这个几何模型的各个顶点，便得到一个正________面体；若y＝2，则该正多面体的表面积为________．(本题第一空2分，第二空3分) 3

四、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝35，且a1，a4－1，a7成等比数列．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前2n项和T2n.

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝3sin (2x＋φ)(－π2

(1) 试写出满足题意的2个条件的序号，并说明理由；

(2) 求函数g(x)＝f(x)＋6cos2x的值域．

19．(本小题满分12分)

面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm).

(1) 现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的概率分布及数学期望E(ξ)； 4 (2) 若新机床生产的零件直径X～N(120，4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率．

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954

5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 4，0.977 2510≈0.794 4，0.954 510≈0.627 7.

5 20. (本小题满分12分)

如图，A是以BD为直径的半圆O上一点，平面BCD⊥平面ABD，BC⊥BD.

(1) 求证：AD⊥平面ABC；

(2) 若BD＝2BC＝2，AD＝2AB，求二面角ACDB的余弦值．

21. (本小题满分12分)

已知圆M：x2＋(y－52)2＝4与抛物线E：x2＝my(m>0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB∥CD.

(1) 若OA→·OD→＝154，求实数m的值；

(2) 设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值．

21.(本小题满分12分) 6 已知函数f(x)＝asin2x－3x.

(1)若x＝π3是f(x)的一个极值点，试讨论f(x)在区间(0，π2)上的单调性；

(2) 设－2≤a≤2，证明：当x≠0时，xf(x)＜0.

7 2020～2021学年高三年级模拟考试卷

(南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港)

数学参考答案及评分标准

1. C 2. B 3. C 4. D 5. B 6. C 7. A 8. B 9. BC 10. AC 11. ABD 12. BCD

13. 813 14. 23.6 15. 7 16. 二十 1203－4015

17. 解：(1) 设数列{an}的公差为d(d＞0)，则S7＝7a4＝35，即a4＝5，(1分)

所以a1＝a4－3d＝5－3d，a7＝a4＋3d＝5＋3d.

因为a1，a4－1，a7成等比数列，所以(a4－1)2＝a1a7，

即42＝(5－3d)(5＋3d)，解得d＝－1(舍去)或d＝1，(3分)

所以an＝n＋1.(5分)

(2) 因为bn＋bn＋1＝an，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n

＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝a1＋a3＋…＋a2n－1(8分)

＝n（2＋2n）2＝n2＋n.(10分)

18. 解：(1) 满足题意的2个条件的序号为①③.(1分)

由条件①知，3sin (2×π12＋φ)＝0，

所以2×π12＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－π6(k∈Z).

因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π6.(3分)

由条件②知，3sin (2×5π12＋φ)＝3，

所以2×5π12＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，

即φ＝2kπ－π3(k∈Z).

因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(5分)

由条件③知，sin φ＝－12，即φ＝2kπ－π6或φ＝2kπ＋7π6(k∈Z).

因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π6.

综上，满足题意的2个条件的序号为①③.(7分)

(2) 由(1)知，f(x)＝3sin (2x－π6)，

所以g(x)＝3sin (2x－π6)＋6cos2x＝3(sin2x cos π6－cos 2x sin π6)＋6×1＋cos 2x2

＝332sin 2x＋32cos 2x＋3＝3sin (2x＋π6)＋3. (10分)

因为－1≤sin (2x＋π6)≤1，所以0≤g(x)≤6，