人教版高中数学必修2、选修2-1知识点

人教版高中数学必修2、选修2-1知识点

a α a∩α=A

a∥α

2.2.1

直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b α => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示： a β b β a∩b = P β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a ∥α

a β a∥b

α∩β= b

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：直线L与平面α内的任意一条直线垂直，就说直线L与平面α垂直，记作L⊥α. 2、线面垂直判定定理：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B

α

2、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 说明：1.证线面平行、面面平行关键是证明线线平行，证明线线平行常用方法有：三角形中位线定理、平行四边形的性质定理、梯形中位线定理、平行线分线段成比例定理的推论。.

直线与直线平行判定性质直线与平面平行判定性质平面与平面平 2.证明线面垂直、面面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法有：等腰三角形三线合一的性质、勾股定理的逆定理等.

直线与直线垂直判定性质直线与平面垂直判定性质平

面与平面垂直 第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。即tank。 当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

注意： 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 当90,0时，0k；

当180,90时，0k； 当90时，k不存在。

②过两点P1 (x1,y1), P2 (x2,y2),x1≠x2的直线斜率公式：)(211212xxxxyyk

注意：当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

（3）直线方程

①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx

②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx

④截矩式：1xyab，其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。 （其中0,0ba）

⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）

注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：

倾斜角0°，k=0，此时为平行于x轴的直线：by（b为常数）；

倾斜角 90°时，直线的斜率不存在，它的方程

（4）两直线平行与垂直 ：当111:bxkyl，222:bxkyl时，

212121,//bbkkll；

12121kkll 斜率互为负倒数

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（5）两条直线的交点

0:1111CyBxAl 0:2222CyBxAl相交

交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。

方程组无解21//ll ； 方程组有无数解1l与2l重合

（6）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（），则222121||()()ABxxyy

（7）点到直线距离公式：点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd

（8）两平行直线距离公式

两平行线为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离2221BACCd注意点：x，y对应项系数应相等。 （9）平行直线与垂直直线设法： 1、圆定义：平面内到一定点的距离等于定长的

点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆半径。

2、圆的方程 （1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r； 特殊地，当0ba时，圆心在原点的圆的方程为：222ryx。 点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系如何判断？ （2）一般方程022FEyDxyx 当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122

当0422FED时，表示一个点； 当0422FED时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。 需三个独立条件，若用圆的标准方程，需求出a，b，r；若用一般方程，需要求出D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系(用圆心到直线的距离来判断)：

直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离22BACBbAad ，

0dr相离； 0dr相切； 0dr相交。

还可利用直线方程与圆的方程联立方程组2200AxByCxyDxEyF求解，通过解的个数来判断。

注:(1)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立 ②k存在，设点斜式方程，用圆心到直线距离=半径，求k，得方程 (2)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当rRd时两圆外离，此时有公切线四条； 当rRd时两圆外切，连心线过切点，公切线三条；

当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条公切线； 当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当rRd时，两圆内含，无公切线； 当0d时，为同心圆。 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线； 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。 5、中点坐标公式 6、两圆相交则连心线垂直平分相交弦 7、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距。 8、光线反射问题：入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上

4.3.1空间直角坐标系

OyxMM'RPQ 1、点M对应有序实数组),,(zyx，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标 2、有序实数组),,(zyx，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组),,(zyx来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M),,(zyx，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。 4.3.2空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点),,(1111zyxP到点),,(2222zyxP之间的距离公式

选修2－1

第一章：命题与逻辑结构

1、

2．真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性

没有关系．

3、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

4、（1）当p、q都是真命题时，pq是真命题；有一个是假命题时，pq是假命题．

（2）当p、q有一个是真命题时，pq是真命题；两个都是假命题时，pq是假命题．

（3）对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

5、（1）全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．

全称命题p：x，px，它的否定p：x，px。是特称命题。

（2）特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．

特称命题p：x，px，它的否定p：x，px。是全称命题。

第二章：圆锥曲线

1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化

①建立适当的直角坐标系；②设动点,Mxy及其他的点；③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

2、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆。12222MFMFaac

3、椭圆的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 222210xyabab 222210yxabab

范围 axa且byb bxb且aya

顶点 1,0a、2,0a

10,b、20,b 10,a、20,a

1,0b、2,0b