第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案

习题

1. (1) 若A2 = E，证明A的特征值为1或1;

(2) 若A2 = A，证明A的特征值为0或1.

证明（1）22AEA所以的特征值为1，故A的特征值为1

（2）

22222,,()0,001AAAXAXAXXXX所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或

2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 1.

证明

1,1TTTAAAEAAAAA设是正交阵，故有与有相同的特征值，1故设的特征值是，有=，即

$

3．求数量矩阵A=aE的特征值与特征向量.

解

A设是数量阵，则

0000000000000aaAaEaaaEAa

所以：特征值为a(n重), A属于a的特征向量为 k1(1,0,…,0)T + k2(0,1,…,0)T + kn(0,0,…,1)T ，(k1,

k2, …, kn不全为0)

4．求下列矩阵的特征值与特征向量.

（1）113012002 （2）324202423

（3）122212221

~

（4）212533102

1112221211(5) , , (0,0)0.TTnnnnaabaabAbbbabaab其中，且

解（1）

1130120,1,2,002AEAX0,123求得特征值为:分别代入=求得

A属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k0)

A属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T，(k0)

解（2）

1313232494904922220242342312349(1)(1)(8)2AErrcc按第一列展开

第四章 矩阵的特征值和特征向量

例1 求下列矩阵的特征值与特征向量163053064A，并判断它能否相似对角化。若能，求可逆阵P，使APP1（对角阵）。

例2 已知三阶方阵A的三个特征值为4,3,2，则1A的特征值为_______，TA的特征值为_______，*A 的特征值为_______，EAA232的特征值为_______

例3 设矩阵0011100yxA 有三个线性无关的特征向量，则yx,应满足条件_______

例5 已知矩阵xA10200002与10000002yB相似，则____________yx

例6 设n阶方阵A满足0232IAA，求A的特征值

例7 已知向量Tk)1,,1(是矩阵211121112A的逆矩阵1A的特征向量，求常数k

例8 设A为非零方阵，且0mA (m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似

例9 设n阶方阵A满足01072IAA，求证：A相似于一个对角矩阵

结 论 总结

1 n阶方阵A有n个特征值，它们的和等于A的主对角线元素之和(即A的逆trA)，它们的乘积等于A的行列式A

2 如果m,,1是方阵A的特征值，mPP,,1是与之对应的特征向量，如m,,1互不相等时，mPP,,1线性无关

3 如果n阶方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值

4 如果n阶方阵A与对角阵相似，则的主对角线元素就是A的n个特征值 5 n阶方阵A与对角阵相似，即A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

6 如果n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似，即A可相似对角化

1 第五章 矩阵的特征值与特征向量

§1矩阵的特征值与特征向量

一、矩阵的特征值与特征向量

定义1：设A是n阶方阵,如果有数和n维非零列向量x使得xAx,则称数为A的特征值,非零向量x称为A的对于特征值的特征向量.

由xAx得0)(xEA,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0EA,此式称为A的特征方程,其左端是关于的n次多项式,记作)(f,称为方阵A特征多项式.

设n阶方阵)(ijaA的特征值为n,,,21,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：

nnnaaai221121)(

Aiin21)(

例1 设3阶矩阵A的特征值为2,3,.若行列式482A,求.

解：482A 64823AA 32A又 1

例2 设3阶矩阵A的特征值互不相同,若行列式0A, 求矩阵A的秩.

解：因为0A 所以A的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A与)0,,(21diag相似.所以A的秩为2.

定理1对应于方阵A的特征值的特征向量t,,,21,t,,,21的任意非零线性组合仍是A对应于特征值的特征向量.

证明 设存在一组不全为零的数tkkk,,,21且存在一个非零的线性组合为

ttkkk2211，因为t,,,21为对应于方阵A的特征值的特征向量。则有

),,2,1(1tikAkiii

所以)()(22112211ttttkkkkkkA

所以ttkkk2211是A对应于特征值的特征向量.

求n 阶方阵A的特征值与特征向量的方法：

第一步：写出矩阵A的特征多项式,即写出行列式EA.

2 第二步：解出特征方程0EA的根n,,,21就是矩阵A的特征值.

第四章 矩阵的特征值和特征向量

例1 求下列矩阵的特征值与特征向量163053064A，并判断它能否相似对角化。若能，求可逆阵P，使APP1（对角阵）。

例2 已知三阶方阵A的三个特征值为4,3,2，则1A的特征值为_______，TA的特征值为_______，*A 的特征值为_______，EAA232的特征值为_______

例3 设矩阵0011100yxA 有三个线性无关的特征向量，则yx,应满足条件_______

例5 已知矩阵xA10200002与10000002yB相似，则____________yx

例6 设n阶方阵A满足0232IAA，求A的特征值

例7 已知向量Tk)1,,1(是矩阵211121112A的逆矩阵1A的特征向量，求常数k

例8 设A为非零方阵，且0mA (m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似

例9 设n阶方阵A满足01072IAA，求证：A相似于一个对角矩阵

结 论 总结

1 n阶方阵A有n个特征值，它们的和等于A的主对角线元素之和(即A的逆trA)，它们的乘积等于A的行列式A

2 如果m,,1是方阵A的特征值，mPP,,1是与之对应的特征向量，如m,,1互不相等时，mPP,,1线性无关

3 如果n阶方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值

4 如果n阶方阵A与对角阵相似，则的主对角线元素就是A的n个特征值

5 n阶方阵A与对角阵相似，即A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 2 6 如果n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似，即A可相似对角化