第7章线理

第七章 平行线的证明 7.1 为什么要证明一、基本知识点1、证明的必要性；凭经验、观察甚至实验得到的数学结论不一定是正确，在数学上要判断一个结论是否正确，必须进行推理，且是有根据的推理。

2、检验数学结论的常用方法有：实验验证、举出反例、推理证明。

检验数学结论过程是：观察、度量、实验、猜想归纳、结论、推理、正确答案。

3、有些结论不需要推理论证的——公理。

二、知识巩固、练习、提高1、用同样的黑色棋子按如图的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？2、大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，例如：23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19， ……。

若m 3“分裂”后，其中有一个奇数是2013，则m 的值为（ ） A 、43 B 、44 C 、45 D 、463、观察下列算式：①1×3－22=3－4= －1;②2×4－32 = －1；③3×5－42= －1 ；……④ 。

（1）请按照上面规律写出第4个算式。

（2）把这个规律用含字母的式子表示出来。

（3）你认为（2）中式子成立吗？并说明理由。

4、如图，用火柴摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆10根（即n=10）时，需要火柴总数为多少根？5、我们知道，32－12=8,52－32=16,72－52=24，并且它们都能被8整除，那么任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？说明理由。

6、当x 为任意实数时，说明x 2－4x+5的值大于零。

第1个 第2个 第3个 第4个7.2定义与命题一、基本知识：1、定义的概念：是对于一个概念的特征性质的描述。

2、命题：判断一件事情的语句。

3、命题的构成：条件和结论两部分构成的。

4、命题的一般形式：“如果……那么……”的形式。

5、命题种类：真命题、假命题。

（公理、定理、证明）。

二、知识巩固与拓展1、下列叙述：①两点确定一条直线；②同位角相等；两直线平行，内错角相等；④点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，其中是定义的是（ ） A 、① B 、② C 、③ D 、④2、命题：“直角都相等”的条件是 ，结论是 。

第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。

第七章 面理和线理从几何学的角度来看，任何地质构造都可以概括成面状构造与线状构造两类。

断层面、节理面、褶皱的轴面以及劈理、片理、片麻理等都属于面状构造；褶皱枢纽、柱状矿物的定向排列、各种构造面的交线都属于线状构造。

面理和线理是面状构造和线状构造中比较广泛发育的两大类型。

两者均有原生及次生之分，根据面状构造与线状构造在岩体中的分布特点，可分为透人性的和非透人性的。

所谓透入性的构造是指在一个地质体中按一定的规律均匀而连续分布的构造，一般它们是呈隐蔽状态的，经风化后才显示出来。

它们反映了地质体的整体呈均匀地发生变形。

而非透人性构造是指仅仅产出于地质体的局部的构造，如在露头上见到的断层面或节理面，变形主要集中在断层面或节理面及其附近，其间的岩块很少或没有受到变形。

透入性与非透人性是相对于观察尺度而言的。

有些节理和断层在小型尺度范围内是透入性的，而在微型尺度上就不具有透入性。

同样，某些节理和断层，在小尺度范围内是非透入性，但从区域尺度观察（如从卫星照片上观察），则是平行排列均匀分布的断裂组就可以看作是透入性构造。

本章讨论的面理和线理，就是广泛分布于强烈变形岩石当中，在露头上和手标本上（即小型尺度上），所看到的透入性面状构造和线状构造。

第一节 面 理透入性的面状构造称为面理，原生的面理构造主要出现在沉积岩与岩浆岩中，次生的面理则发生在变质岩中。

本章主要介绍变形变质过程中形成的、展示于手标本和露头尺度上的次透入性面状构造。

面理可由矿物组分的分层、颗粒变化显示出来，也可由近平行的不连续面、不等轴矿物或片状矿物的定向排列，或某些显微构造组合所确定。

广泛发育于变形变质岩石中面理具有多种类型（图7-1），本章主要讨论劈理。

一、劈理的概念次生面理包括劈理、片理、片麻理等，是变质岩中最常见的构造现象。

劈理，是一种由裂面或潜在裂面将岩石按一定方向劈成平行密集的薄片或薄板的构造。

这种裂面或潜在裂面称为劈理面，相邻两劈理面之间所夹的薄板状岩片，称为微劈石(De Sitter，1964)。

第五节直线、平面垂直的判定及其性质[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理[常用结论]1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. ()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．故选B.]3．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]4．如图所示，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．4[∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角．即∠A ′OC ＝90°，又A ′O ＝CO ＝22a ， ∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为a .]【例1】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． [解] (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°. 所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455. ►考法2 直线与平面垂直的性质【例2】 (2017·江苏高考)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 所以EF ∥AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【例3】(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q-ABP的体积．[解](1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，且AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2. 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 13DC .由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q -ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.(2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C .(2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.【例4】AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在一点M，使得AC⊥BM，若存在求PMMC的值，并说明理由．[解](1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC ＝12·AB·AC·sin 60°＝32.由P A⊥平面ABC，可知P A是三棱锥P-ABC的高，又P A＝1，所以三棱锥P-ABC的体积V＝13·S△ABC·P A＝36.(2)在线段PC上存在一点M，使得AC⊥BM，此时PM MC＝13.证明如下：如图，在平面P AC 内，过点M 作MN ∥P A 交AC 于N ，连接BN ，BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .由MN ∥P A 知AN NC ＝PM MC ＝13. 所以AN ＝12，在△ABN 中，BN 2＝AB 2＋AN 2－2AB ·AN cos ∠BAC ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×12＝34，所以AN 2＋BN 2＝AB 2， 即AC ⊥BN .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN . 所以AC ⊥BM .如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，DC ＝2AB ＝2，DA ＝ 3.(1)线段BC 上是否存在一点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ？若存在，请给出BECE 的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．(2)若PD ＝3，线段PC 上有一点F ，且PC ＝3PF ，求三棱锥A -FBD 的体积．[解] (1)存在线段BC 的中点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ，即BECE ＝1.证明如下：连接DE ，PE ，∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝1，DA ＝3，∴BD ＝DC ＝2， ∵E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE ， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ， ∵DE ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面PDE ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PDE .(2)∵PD ⊥平面ABCD ，且PC ＝3PF ，∴点F 到平面ABCD 的距离为23PD ＝233，∴三棱锥A -FBD 的体积V A -FBD ＝V F -ABD ＝13×S △ABD ×233＝13×12×1×3×233＝13.【例5】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .图1 图2(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．[解] (1)证明：在题图1中，连接EC (图略)， 因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC . 即在题图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE . 即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高．由题图1知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.(2018·鄂州模拟)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝3，点E ，F分别在线段AB ，AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P -EF -B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P -EBCF 的侧面积．[解] (1)证明：在Rt △ABC 中，∵AB ＝BC ＝3，∴BC ⊥AB .∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， ∴EF ⊥平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)∵EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P -EF -B 的平面角， ∴∠PEB ＝60°，又PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3， ∴PB 2＋BE 2＝PE 2，∴PB ⊥BE ，∴PB ，BC ，BE 两两垂直， 又EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形． 由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2. 在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H (图略)，则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22， 由余弦定理可得cos ∠PFC ＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14， 则sin ∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin ∠PFC ＝152.∴四棱锥P -EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152.1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧︵CD 所在平面垂直，M 是︵CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． [解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为︵CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°。

第七章线理线理是岩石中小尺度透入性的一种线状构造。

根据成因，线理可以分为原生线理和次生线理。

原生线理是成岩过程中形成的线理，如岩浆岩中的流线；次生线理是指构造变形过程中形成的线理，如褶皱的枢纽、矿物拉伸线理、擦痕等。

构造地质学中往往关心的是次生线理。

1．小型线理在强烈变形岩石中，常常发育各种微型或小型的线理，其形态和成因各异，主要有以下几种：（1）拉伸线理拉长的岩石碎屑、砾石、鲕粒、矿物颗粒或集合体等平行排列而显示的线状构造，它们是岩石组分变形时发生塑性拉长而形成的，其拉长方向与应变椭球体中的最大主应变轴X 轴方向一致。

（2）矿物生长线理由针状、柱状或板状矿物顺其长轴定向排列而成，是岩石在变质作用中矿物在引张方向重结晶生长的结果，因而矿物及其纤维生长的方向往往指示岩石重结晶或塑性流动的拉伸方向。

在动力变质带内，在强大应力作用下，矿物生长往往不依其结晶习性，却屈服于应力而拉长，甚至使原来的短柱状或等轴状结晶的矿物出现纤维状结晶，例如断层面上常常看到的纤维状石英、方解石及纤闪石一类的擦抹晶体。

（3）皱纹线理由先存面理上微细褶皱的枢纽平行排列而成。

微细褶皱的波长和波幅常在数厘米以下，或仅以mm计。

皱纹线理的方向与其所属的同期褶皱的枢纽方向一致。

（4）交面线理两组面理相交或面理与层理相交形成的线理。

（5）擦痕地质体之间相对运动时在运动面上刻划出来的划痕。

如断层擦痕、冰川擦痕等，可以用来判定地质体的相互运动方向。

2．大型线理变形或变质岩石中常发育一些独特形态的粗大线理，一般不具透入性，但在大尺度上观察，也可看作是透入性的，主要有石香肠构造、杆状构造、窗棂（ling）构造等。

（1）石香肠构造又称布丁构造（boudinage）构造，是不同力学性质互层的岩系受到垂直岩层挤压而形成的一种构造，因其剖面形态似香肠，因而得名石香肠构造。

（2）杆状构造是由石英、方解石或其它成分单一的强硬岩石物质组成的比较细小的杆状体。

平面图形的认识（二）知识点梳理知识点一：认识三线八角如果两条线被第三条线所截，那么这两条线叫做被截线，这第三条线叫做截线。

这三条线一共可以组成八个角，简称三线八角。

同位角（F形）：位于截线的同侧，被截线的同侧。

内错角（Z形）：位于截线的两侧，被截线的内侧同旁内角（U形）：位于截线的同侧，被截线的内侧注意：以上三种角都有一条公共边。

知识点二：两直线平行的判定条件1.同位角相等，两直线平行。

几何语言：∵∠1=∠2，∴AB∥CD。

2.内错角相等，两直线平行。

几何语言：∵∠1=∠2，∴AB∥CD。

3.同旁内角互补，两直线平行。

几何语言：∵∠1＋∠2=180°，∴AB∥CD。

知识点四：平移1.概念：在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫作平移。

注意：平移改变的是图像的位置，不变的是图像的大小和形状。

2、平移的要素：方向、距离；3、平移作图的步骤：定、找、移、连。

①定：确定平移的方向和距离。

②找：找出表示图形的关键点。

③移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点。

④连：按原图形顺次连接对应点。

知识点五：三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

知识点六：多边形1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形内角和定理:n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180° 正多边形各内角度数为：n2)180-(n 3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。