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(1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
b 1, 解:(1)由题意得 a 2.
x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 4
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d=
a 2 k b2k b2 a 2k 2
2
d=
b a k
2 2
2
1 k
整理得 d=
a 2 b2 b2 a 2 a 2k 2 b k2
2
,
b2 2 2 因为 a k + 2 ≥2ab, 所以 k
a 2 b2 b b a a k 2 k
2 2 2 2 2
≤
a 2 b2 b a 2ab
2 2 2 2
a2km b2 m 解得点 P 的坐标为 2 . , 2 2 2 2 2 b a k b a k
a 2k b2 , 又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 2 2 2 b2 a 2k 2 b a k .
(2)由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的距离
感悟备考
圆锥曲线中的定点、定值与最值问题是高考的热点问题,常为压轴
题,题目难度大,综合性强.其中定点问题主要是以直线、圆锥曲线 为载体,结合其他条件探究直线或曲线过定点.定值问题则是以直线 与圆锥曲线的位置关系结合一元二次方程、函数、数列等知识形成 交汇问题.而最值问题多以直线与圆锥曲线为背景,通过与解析式的 求法、函数最值、不等式等知识交汇考查求解最值的技巧与方法. 在备考时,应抓住这三类问题的解题思路,细致分析已知条件,进行 转化化归,提高运算能力.
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值与
最值问题
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x2 y 2 1.(2014 高考浙江卷,理 21)如图,设椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0),动直线 l 与 a b
椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P 在第一象限.
(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
2 2
=a-b,
当且仅当 k2=
b 时等号成立. a
所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.
x2 y 2 2.(2013 高考浙江卷,理 21)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2 + 2 =1(a>b>0) a b
的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的 两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.
y k x 12 8, 由 2 y 4 x,
得 ky2-4y+32-48k=0,
设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2= 又 y1+y2=k(x1+x2-24)+16, ∴x1+x2=
4 16 - +24, 2 k k
4 , k
2 2 8 ∴点 G 的坐标为 2 12, . k k k
k 2 [x-(2k -8k+12)], 2 k 4k 1
k (x-10). 2 k 4k 1
3 (1)解:∵ ON = OM ,点 M 的坐标为(12,8),可得点 N 的坐标为(9,6), 4
∴62=18p,∴p=2, 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.
(2)证明:由条件可知,直线 l1 的斜率存在且不为 0, 设 l1:y=k(x-12)+8,
1 则 l2 的方程为 y= (x-12)+8, k
热点透析
热点一 定点、定值问题
突典例
熟规律
【例 1】 (2014 浙江金华十校高三模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p>0),M 点
3 的坐标为(12,8),N 点在抛物线 C 上,且满足 ON = OM ,O 为坐标原点. 4
(1)求抛物线C的方程;
(2)以M点为起点的任意两条射线l1,l2的斜率乘积为1,并且l1与抛物线 C交于A、B两点,l2与抛物线C交于D、E两点,线段AB、DE的中点分别为G、 H.求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.
(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0),
y kx m, 由 x2 y 2 消去 y 得 2 2 1, b a
(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. 由于 l 与 C 只有一个公共点, 故Δ=0, 即 b -m +a k =0,
8 k2 1 所以|PD|= . 2 4k
设△ABD 的面积为 S,
1 8 4k 2 3 则 S= |AB|·|PD|= , 2 2 4k
所以 S=
32 4k 2 3 13 4k 3
2
ห้องสมุดไป่ตู้
≤
2
2
32 4k 3 13 4k 2 3
=
16 13 , 13
当且仅当 k=±
10 10 时取等号.所以所求直线 l1 的方程为 y=± x-1. 2 2
1 k 1
2
,
4k 2 3 所以|AB|=2 4 d =2 . 2 k 1
2
又 l2⊥l1, 故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
8k x ky k 0, 2 2 由 2 消去 y,整理得(4+k )x +8kx=0, 故 x0=, 2 2 4k x 4 y 4
用
1 代替 k,得到点 H 坐标为(2k2-8k+12,2k), k
1 2 k k 1 k ∴kGH= = = 2 1 8 2 1 k 4k 1 2 k 2 8k k 4 k k k
∴lGH:y-2k= 即 y=
