高中数学选修2-1章末检测卷2：第三章 空间向量与立体几何

选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝135．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．66．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD →.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－2361211．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13 D.33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________. 14．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．18.(本小题满分12分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．19.( 本小题满分12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．20．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SO ⊥平面ABC ，侧面SAB 与SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，求二面角A —SC —B 的余弦值．21.(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证： AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题参考答案【第1题解析】如果O 、A 、B 、C 四点共面，则OA ，OB ，OC 共面，则OA ，OB ，OC 不可能为空间的一个基底.故选B.【第4题解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，由空间向量的基本定理知，x ＝y ＝12.故选C.【第5题解析】利用线面角的公式可以求得其中有BD ，11B D ，11,B A C D 四条直线对角线满足题意，由题得C 是正确答案，故选C.【第6题解析】∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确，④错误．故选C. 【第7题解析】32525x x -+-=∴=，故选C.【第8题解析】△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0.∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．故选B. 【第9题解析】建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，A C 1→＝(0,1,1)∴cos 〈BA 1→，A C 1→〉＝＝12·2＝12.∴〈BA 1→，A C 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.故选C.【第11题解析】∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.故选C.【第12题解析】以点D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，A C 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈A C 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD所成二面角的余弦值为13.故选C.【第13题解析】∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 故填2.【第14题解析】AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，由a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y z ＝－43y ，x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．故填2∶3∶(－4)【第15题解析】∵cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.故填60°或120°. 【第16题解析】建立如图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)， B C 1→＝(0,2，－2)， ∴cos 〈AD →，B C 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，B C 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.故填π6.【第18题答案】（1）证明见解析；（2）SA 与平面BED 所成的角为π6.【第18题解析】(1)证明 连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O .由底面是菱形，得BD ⊥AC . ∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO . 又AC ∩SO ＝O ， ∴BD ⊥面SAC .又AE ⊂面SAC ，∴BD ⊥AE . (2)解 由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ，∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2. ∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝||||||SC SA SC SA ⋅⋅＝|－3a 2＋a 2|3＋1a·3＋1a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.(2)ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴ (k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.【第20题答案】二面角A —SC —B 的余弦值为33. 【第20题解析】以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空直角坐标系Oxyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)，SC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.【第21题答案】（1）证明见解析；（2）455. 【第21题解析】(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)．∴PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，PA →＝(0,0，－2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0x ＝12，所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →＝(0,2,0)．∵n ·AB →＝0，∴n ⊥AB →.∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255. ∴＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4，0，0 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255＝455，∴点B 到平面PCD 的距离为455.于是S (0,0，62a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，0， SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.∴OC ⊥SD ，即AC ⊥SD .(2)由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量 OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ， 设所求二面角为θ，则cos θ＝＝32， 故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.。

章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 答案 5解析 ∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2， ∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________. 答案 －15解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行或重合解析 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 32解析 由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1. 由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形． 答案 直角解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)． 答案 ①解析 由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)， 设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确． 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________． 答案 120°解析 如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角， 由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]， ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案 －112AB →－13AC →＋34AD →解析 GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案 18解析 ∵AC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→，|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→) ＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324， ∴|AC ′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析 不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12. 因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12， 所以|SM →|＝12，|BN →|＝54， SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →| |BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105. 12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cos θ解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，83解析 设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →， 设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23， 故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③④解析 ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1—→是不共面的． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． 解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN→＝αAB →＋βAD →＋γAA 1—→，试求α，β，γ的值．解 (1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA 1—→＋BC →＋23AB → ＝EA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1F —→＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC 1—→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明 如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1—→＝(0，－2，－2)，AB 1—→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1—→·AB 1—→＝0－4＋4＝0， 即BC 1—→⊥AB 1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC 1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解 (1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系． 由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ. ∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)， BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0. 又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点O ，连结OD ，OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ， 所以AB ⊥DE .(2)解 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB . 所以OE ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)， E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)．最新中小学教案、试题、试卷设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DE →＝0，n 1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0， 令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33， 所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1， 同理可求得平面BCE 的一个法向量为 n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77， 所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解 假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12， 又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x 2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0， 解得⎩⎨⎧x 2＝－12，y 2＝33， 易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内， 所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。

第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。

A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形 C ．可构成钝角三角形 D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．（1，5）D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x+-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，A∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)2SD a =-，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量002OS =（，，），设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-（.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.（完）。

2018-2019高中数学选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（B ）解析版一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu vc ，用a ，b ，c 表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（ ）A ．()12+-b c a B ．()12+-a b c C ．()12-+a b cD ．()12--c a b 【答案】D【解析】()()111111222222MN ON OM OC OA OB =-=-+=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v c a b c a b ，故选D ．2．已知()cos ,1,sin αα=a 、()sin ,1,cos αα=b ，且∥a b ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ） A ．90° B ．60° C ．30° D ．0°【答案】A【解析】∵22=a ，22=b ，()()220+⋅-=-=a b a b a b ， ∴()()+⊥-a b a b ．故选A ．3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,C λ，若AB ⊥uu u v AC uuu v，则λ等于（ ）A ．28B ．28-C ．14D ．14-【答案】D【解析】()2,6,2AB =---u u u v ，()1,6,3AC λ=--u u u v，∵AB AC ⊥uu u v uuu v ，∴()2166230AB AC λ⋅=⨯-⨯--=u u u v u u u v，解得14λ=-，故选D ．4．若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2=+p a b ，2=-q a b 构成空间的另一个基底的向量是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．+a b【答案】C 【解析】∵1144=+a p q ，所以a 、p 、q 共面， 故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ； ∵1122=-b p q ，所以b 、p 、q 共面， 故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ； ∵3144+=-a b p q ，所以+a b 、p 、q 共面， 故+a b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C、(D ，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S =≠ B ．231S S S =≠ C ．132S S S =≠D ．123S S S ==【答案】B【解析】由题意可得112222S =⨯⨯=，2122S =⨯，3122S =⨯故231S S S =≠．故选B ．6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ∈，C 、D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥且2AB =，1CD =，则直线a 、b 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【答案】B【解析】由于AB AC CD DB =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()21AB CD AC CD DB CD CD ⋅=++⋅==uu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CD AB CD AB CD⋅==⇒=︒⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，故选B ． 7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1B E A A x A B y A D =++u uu v u u uv u uu v u u u v ，则（ ）A ．12x =-，12y =B ．12x =，12y =-C ．12x =-，12y =-D ．12x =，12y = 【答案】A【解析】()111111112BE BA AA A E AB AA A B A D =++=-+++u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v1111112222AB AA AB AD AB AA AD =-+++=-++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴12x =-，12y =．故选A ．8．已知()1,1,2A -、()1,0,1B -，设D 在直线AB 上，且2AD DB =uuu v uu u v ，设C 1,,13λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则λ的值为（ ） A ．116B ．116-C ．12 D ．13【答案】B【解析】设(),,D x y z ，则()1,1,2AD x y z =+--u u u v ，()2,1,3AB =--u u u v ，()1,,1DB x y z =----u u u v，∵2AD DB =uuu v uu u v ，∴()12112222x x y y z z +=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--⎩，∴13130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．∴11033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，113CD λλλ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭uu u v ，，， ∵CD AB ⊥uu u v uu u v ，∴()1231=03CD AB λλλ⎛⎫⋅=-+--- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ，∴116λ=-．故选B ．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（ ）A ．1BCD ．32【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(E 、F ⎛ ⎝⎭，所以EF = 故选C ．10．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2BC =，13AA =，则点B 到直线1A C 的距离为（ ）A ．27B C D ．1【答案】B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(),,x y z ， 则()10,0,3A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()11,2,3AC =-u u u v ，()1,,3A E x y z =-u u u v， ()1,,BE x y z =-u u u v．因为1110A E A CBE A C ⎧⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v uu u v uuu v ∥，所以31231230x y z x y z -⎧==⎪-⎨⎪-+-=⎩，解得5710767x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2106,,777BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ， 所以点B 到直线1A C的距离BE =uu u v ，故选B ．11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（ ）A ．12BC ．13D ．16【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1D 、()1,1,0E 、()1,0,0A 、()0,2,0C ．从而()11,1,1D E =-u u u v 、()1,2,0AC =-u u u v 、()11,0,1AD =-u u u v，设平面1ACD 的法向量为(),,a b c =n ，则100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuuv n n ，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩．令2a =，则()2,1,2=n ．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h ⋅+-===uuu v n n．故选C ． 12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD 的中心，G 是1CC 的中点，设GF 、1C E 与AB 所成的角分别为α，β，则αβ+等于（ ）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则()2,0,0B 、()2,2,0A 、()0,0,1G 、()1,1,0F 、()10,0,2C 、()1,2,1E ． 则()0,2,0BA =u u v 、()1,1,1GF =-u u u v 、()11,2,1C E =-u u u v，∴cos ,BA GF BA GF BA GF ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v111cos ,BA C E BA C E BA C E⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v ，∴cos α=，sin α=，cos β=sin β=，()cos 0αβ+=，∴90αβ+=︒．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知()1,2,0A 、()0,1,1B -，P 是x 轴上的动点，当AP BP ⋅uu u v uu v取最小值时，点P 的坐标为__________________． 【答案】1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),0,0P x ，则()1,2,0AP x =--u u u v ，(),1,1BP x =-u u v，()2171224AP BP x x x ⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭uu u v uu v ，∴当12x =时，AP BP ⋅uu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭．14．已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为__________________． 【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵2AB =，111A B =，∴AC BD ==1111AC B D == ∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO ∠为侧棱与底面所成的角，∴160B BO ∠=︒，设棱台高为h，则tan 60︒=，∴h =∴()0,A，1D ⎛ ⎝⎭，1B ⎝⎭，()C ，∴1AD ⎛= ⎝⎭uuuv，1B C ⎛= ⎝⎭uuu v ， ∴1111111cos ,4AD B C AD B C AD B C ⋅==⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14． 15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________． 【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E，则PE =AE =又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM =、BM =12CN =、DN =1MN =．由于BD BM MN ND =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()22BD BM MN ND =++uu u v uuu v uuu v uuu v()2222BM MN ND BM MN MN ND BM ND =+++⋅+⋅+⋅uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v()2225120002=+++++=⎝⎭⎝⎭，∴BD =uu u v三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA =uu va ，PB =uu vb ，PC =uu u vc ，试用基底{},,a b c 表示向量PG uuu v．【答案】212333PG =-+uu u v a b c ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BG BD =uu u v uu u v．又2BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=+-u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u va cb ，∴()221223333PG PB BG =+=++-=-+u u u v u u v u u u v b a c b a b c ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且12AB BC BB ===．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角． 【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB ⊄平面1BC D ，OD ⊂平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ． （2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则()0,0,0B 、()0,2,0A 、()12,0,2C 、()10,0,2B ．∴()10,2,2AB =-u u u v 、()12,0,2BC =u u u v．1111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ，设异面直线1AB 与1BC 所成的角为θ，则1cos 2θ=，∵0,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3θπ=． 19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BC CD ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小； （3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度． 【答案】（1）见解析；（2）45°;（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ． 又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD ． ∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD 中，BD =BH =又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1． 解法二：（1）同解法一．（2）设AB a =，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B 、()0,0,A a 、()0,1,0C 、()1,1,0D ，()1,1,0BD =u u u v 、()0,0,BA a =u u v．平面ABC 的法向量()1,0,0CD =u u u v ，设平面ABD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则有0BD x y ⋅=+=u u u v n ，0BA az ⋅==u u v n ，∴0z =，取1y =，则1x =-，∴()1,1,0=-n ．∴cos ,CD CD CD ⋅==⋅uu u v uu u v uu u v n n nC －AB －D 为锐角， ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）()0,1,AC a =-u u u v 、()1,0,0CD =u u u v 、()1,1,0BD =u u u v ．设平面ACD 的一个法向量是(),,x y z '''=m ，则0AC y az ''⋅=-=u u u v m ，0CD x '⋅==uu u v m ，令1z '=，∴y a '=，则()0,,1a =m ．∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos cos60BD BD BD ⋅⋅==︒⋅u u u v u u u v u u u v m m m ，解得1a =，∴AB ＝1． 20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知AB ＝2，15AA =，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ==．（1）求证：BE ⊥平面ACF ；（2）求点E 到平面ACF 的距离．【答案】（1）见解析；（2）53． 【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()10,0,5D 、()0,0,1E 、()2,2,4F ．∴()2,2,0AC =-u u u v 、()0,2,4AF =u u u v 、()2,2,1BE =--u u u v 、()2,0,1AE =-u u u v ．∵0BE AC ⋅=uu u v uuu v ，0BE AF ⋅=uu u v uu u v ， ∴BE AC ⊥，BE AF ⊥，且AC AF A =I ．∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v 为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE d BE⋅==uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53． 21．（12分）如图所示，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）求二面角B －DE －C 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PD DC a ==，则()0,0,0D 、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()0,,0C a ， ∴(),0,AP a a =-u u u v 、(),,0DB a a =u u u v 、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu v 、()0,,0DC a =u u u v ． （1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，则有1100DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n ，即11110022ax ay a a y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ∴()11,1,1=-n ．100AP a a ⋅=-++=u u u v n ，∴1AP ⊥uu u v n ，又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ．（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0=n ．12cos ,==n n B －DE －C22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，1AB =，12AC AA ==，AD CD =M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长． 【答案】（1）见解析；（2（32． 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0C 、()1,2,0D -、()10,0,2A 、 ()10,1,2B 、()12,0,2C 、()11,2,2D -，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,2,1N -．（1）依题意，可得()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu v ， 由此可得，0MN ⋅=u u u v n ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ． （2）()11,2,2AD =-u u u v 、()2,0,0AC =u u u v ，设()1111,,x y z =n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ，即111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =， 可得()10,1,1=n ．设()2222,,x y z =n 为平面1ACB 的一个法向量，则21200AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ， 又()10,1,2AB =u u u v ，得22222020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设21z =，可得()20,2,1=-n ．因此有121212cos ,⋅==⋅n n n n n n，于是12sin ,=n n ， 所以二面角11D AC B --（3）依题意，可设111A E A B λ=u u u v u u u u v ，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+u u u v ，又()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量， 由已知得1cos 3NE NE NE ⋅===⋅uu u v uu u v uu u v n ,n n， 整理得2430λλ+-=， 又因为[]0,1λ∈，解得2λ=，所以线段1A E 2．。

数学人教A 选修2-1第三章 空间向量与立体几何单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )． A ．(－4，－8,6) B ．(－4，－8，－6) C ．(－6，－8,4) D ．(4,8，－6)2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255- 4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B C ．4 D ．8 5．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b c B ．2133++a b c C ．2133-+a b c D ．2133-+a b c 6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B ．10a C ．10a D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________．11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a ba b ，知89==λ＝－2或255．4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ．6答案：A 解析：设PA ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝⎫⎪⎪⎝⎭． 则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n．7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n ． 9答案：32解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足，则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3． ∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1，∴cos θ＝11212AB CD AB CD⋅==⨯． 由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ． 又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．在直角△PAC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(0,，M 3,22⎛-- ⎝，N 3,22⎛- ⎝，Q 33⎛ ⎝⎭． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM＝32-⎝，AN＝32-⎝，知30,230.2x y x y -+=+=取z ＝－1，得m ＝(0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛- ⎝⎭，QN＝32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)． 于是cos 〈m ，n〉＝·||||33=m n m n ． 所以二面角A －MN －Q的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BDAB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ． 所以PB ＝PC ＝PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ， 则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝PA ＝，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝2.在直角△PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =cos ∠AEQ ＝222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q ． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1， ∴111C P C D xAC CD x==-． 由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭， ∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ，高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0． 由此可得12x =，故CD ＝C 1D ． 答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ． 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． (3)求点C 到平面B 1DP 的距离． 答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)， 则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。

章末综合检测(三)(时间：120分钟，总分值：150分)一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．以下说法中不正确的选项是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 解析：选D ．只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确．2．假设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1，0，1)，n ＝(－2，0，0) B ．a ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1) C ．a ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1) D ．a ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)解析：选D ．假设l ∥α，那么a ·n ＝0，只有选项D 中a ·n ＝0.3．假设向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，a ，b 夹角的余弦值为89，那么λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：选C ．cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2－λ＋4λ2＋5×9＝89，所以λ＝－2或255. 4．A (1，2，1)，B (－1，3，4)，C (1，1，1)，AP →＝2PB →，那么|PC →|为( ) A ．773 B ． 5 C ．779D ．779解析：选A ．设P (x ，y ，z )，由AP →＝2PB →得： (x －1，y －2，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，所以x ＝－13，y ＝83，z ＝3，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3，所以PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53，－2，所以|PC →|＝773.应选A ．5．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，那么两平面间的距离是( )A ．32B ．22C ． 3D ．3 2解析：选B ．两平面的一个单位法向量n |n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，故两平面间的距离d ＝|OA →·n|n ||＝22.6．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，假设E 为A 1C 1的中点，那么与直线CE 垂直的直线是( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B ．以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，那么A (0，0，0)，C (1，1，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，所以CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，AC →＝(1，1，0)，BD →＝(－1，1，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)．显然CE →·BD →＝12－12＋0＝0，所以CE →⊥BD →，即CE ⊥BD .7．a ，b 是两条异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，那么直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°解析：选B ．因为AB →＝AC →＋CD →＋DB →， 所以AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1.cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，应选B ．8．将图①中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图②)，那么在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直 解析：选C ．在题图①中的等腰直角三角形ABC 中，斜边上的中线AD 就是斜边上的高，那么AD ⊥BC ，翻折后如题图②，AD 与BC 变成异面直线，而原线段BC 变成两条线段BD 、CD ，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC .9．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，那么( )A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面解析：选B ．由得OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，而16＋13＋12＝1，所以四点P ，A ，B ，C 共面．10.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，假设点P 满足BP →＝12BA→－12BC →＋BD →，那么|BP →|2的值为( ) A ．32 B ．3 C ．74D ．94解析：选D ．由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2. 〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.所以|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 11.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，那么直线EF 与BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B ．以点B 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，设各棱长为2，那么E (0，1，0)，F (0，0，1)，C 1(2，0，2)，B (0，0，0)那么EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)， 所以cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，所以〈EF →，BC 1→〉＝60°，所以直线EF 与BC 1所成的角为60°.12．正四棱锥S ­ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，那么AE 与平面SBC 所成的角的余弦值为( )A ．223B ．13C ．33D ．23解析：选B ．设AE 与平面SBC 所成的角为θ，以底面中心O 为原点，以射线OA 为x 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为2，那么A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，所以BC →＝(－1，－1，0)，SB →＝(0，1，－1)，EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12，设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，y －z ＝0，令x ＝1，所以n ＝(1，－1，－1)，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝EA →·n |EA →||n |＝223，所以cos θ＝13.应选B ．二、填空题：此题共4小题，每题5分．13．假设a ＝(2，－3，5)，b ＝(－3，1，－4)，那么|a －2b |＝________． 解析：因为a －2b ＝(8，－5，13)， 所以|a －2b |＝ 82＋(－5)2＋132＝258. 答案：25814．a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，假设a ，b ，c 共面，那么λ＝__________．解析：易知a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，那么必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.答案：65715．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，那么AC ′的长为________．解析：因为AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，所以AC ′→2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′→|2＋2 AB →·AD →＋2 AB →·AA ′→＋2 AD →·AA ′→＝1＋4＋9＋2×1×2cos 90°＋2×1×3cos 60°＋2×2×3cos 60°＝23，即|AC ′→|＝23.故AC ′的长为23.答案：2316.如图，二面角α­l ­β的平面角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，假设AB ＝BC ＝CD ＝1，那么AD 的长为________．解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos (π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ.答案：3－2cos θ三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题总分值10分)设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)． (1)当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求λ的值； (2)当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求λ的值． 解：(1)因为a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)， 所以a －3b ＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)．λa ＋b ＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)．因为(λa ＋b )∥(a －3b )， 所以λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13. (2)由(a －3b )⊥(λa ＋b )⇔(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0 ⇔7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.18．(本小题总分值12分)如下图，在四棱锥M ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB ，AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →，并求BN 的长．解：BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12CM →＝AD →＋12(AM →－AC →)＝AD →＋12[AM →－(AD →＋AB →)]＝－12AB →＋12AD →＋12AM →.所以BN →＝－12a ＋12b ＋12c ，|BN →|2＝BN →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c 2＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a·b －2a·c ＋2b·c )＝174， 所以|BN →|＝172，即BN 的长为172.19. (本小题总分值12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，CP ＝m ，试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.解：建立如下图的空间直角坐标系，那么A (1，0，0)，B (1，1，0)，P (0，1，m )，C (0，1，0)，D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)．那么BD →＝(－1，－1，0)，BB 1→＝(0，0，1)，AP →＝(－1，1，m )，AC →＝(－1，1，0)． 又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知，AC →⊥BD →，AC →⊥BB 1→， 那么AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，那么sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2. 依题意得22＋m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝63. 故当m ＝63时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20. (本小题总分值12分)如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 解：(1)证明：连接OC ，因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD . 因为BO ＝DO ，BC ＝CD ，所以CO ⊥BD .在△AOC 中，由可得AO ＝1，CO ＝ 3.而AC ＝2， 所以AO 2＋CO 2＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD . (2)以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，那么B (1，0，0)，D (－1，0，0)，C (0，3，0)，A (0，0，1)，BA →＝(－1，0，1)，CD →＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →||CD →|＝24，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 21. (本小题总分值12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B ­D ′A ­C 的正弦值． 解：(1)证明：由得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，HD →的方向为y 轴正方向，HD ′→的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz .那么H (0，0，0)，A (－3，－1，0)，B (0，－5，0)，C (3，－1，0)，D ′(0，0，3)，AB →＝(3，－4，0)，AC →＝(6，0，0)，AD ′→＝(3，1，3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0， 所以可取m ＝(4，3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3，1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525，sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B ­D ′A ­C 的正弦值是29525.22．(本小题总分值12分)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)假设AD ＝3，求二面角A ­EC ­D 的平面角的余弦值．解：(1)如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD ，AP 分别为x 轴、y 轴，z 轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz .设D (0，a ，0)，那么B (6，0，0)，C (6，a ，0)，P (0，0，6)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0，62.因此，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0，62，BC →＝(0，a ，0)，PC →＝(6，a ，－6)．那么AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)设平面AEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0，62，AC →＝(6，3，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧62x 1＋62z 1＝0，6x 1＋3y 1＝0.令x 1＝－1，得y 1＝2，z 1＝1， 所以n 1＝(－1，2，1)．设平面EDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 因为EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，3，－62，CD →＝(－6，0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧62x 2＋3y 2－62z 2＝0，－6x 2＝0，令z 2＝2，得y 2＝1. 所以n 2＝(0，1，2)． 故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝63.所以二面角A ­EC ­D 的平面角的余弦值为63.。

章末检测一、选择题1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c2．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则( ) A ．α⊥βB ．α∥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对3．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD → ＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n·a|n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a|n||a |D ．sin θ＝|n·a||n||a |6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定7．在以下命题中，不．正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2B ．3C ．4D ．18.已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ， PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.PA →与CD →9．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．610.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ， BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2D. 311．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 12.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线 EF 和BC 1的夹角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB→＋λOC →，则λ＝________.14．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标是_______________________．15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．16.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ (θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2)， AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面N 内，BC 在l 上，CD 在平面M 内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________． 三、解答题17.已知四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中 点，问向量PA →、MB →、MD →是否可以组成一个基底，并说明理由． 18.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1， AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .19.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上 一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值． 21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平 面角的余弦值．22.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的 结论．答案1．B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10．C 11．C 12．B 13．－2 14．(5,0,2) 15．60°或120° 16.3－2cos θ17．解 PA →、MB →、MD →不可以组成一个基底，理由如下：连接AC 、BD 相交于点O ，∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 、BD 的中点，在△BDM 中，MO →＝12(MD →＋MB →)，在△PAC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12PA →，即PA →＝MD →＋MB →，即DA →与MD →、MB →共面．∴PA →、MB →、MD →不可以组成一个基底． 18．证明 由平行六面体的性质ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E → ＝12C 1D 1→－AD →＋13A 1A → ＝－12AB →－AD →－13AA 1→，NF →＝NB →＋BC →＋CF → ＝12AB →＋AD →＋13CC 1→ ＝12AB →＋AD →＋13AA 1→， ∴ME →＝－NF →，又M ，E ，N ，F 不共线， ∴ME ∥NF .19.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， D 1(0,0,1)．则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )， AC →＝(－1,1,0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知， AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2 依题意得22＋m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝63. 故当m ＝63时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．解 以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知AB ＝2，AA 1＝1，可得 A (0,0,0)，B (2,0,0)，F (1,0,1)．又AD ⊥平面AA 1B 1B ，从而直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA ＝30°，又AB ＝2，∴AD ＝233，从而易得D ⎝⎛⎭⎫0，233，0.易知平面AA 1B 1B 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的一个法向量，BF →＝(－1,0,1)，BD →＝⎝⎛⎭⎫－2，233，0，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0－2x ＋233y ＝0，令z ＝1，可得n ＝(1，3，1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝155. 即二面角A —BF —D 的余弦值为155. 21．(1)证明 连接BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线， 所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解 连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线 为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示． 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°， 得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AC .在直角△PAC 中， AC ＝23，PA ＝26，AQ ⊥PC ， 得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)P (－3，0,26)， M ⎝⎛⎭⎫－32，－32，6，N ⎝⎛⎭⎫－32，32，6，Q ⎝⎛⎭⎫33，0，263.设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量， 由AM →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，6，AN →＝⎝⎛⎭⎫32，32，6知⎩⎨⎧32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋6z ＝0.取z ＝－1，得m ＝(22，0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量，由QM →＝⎝⎛⎭⎫－536，－32，63，QN →＝⎝⎛⎭⎫－536，32，63知 ⎩⎨⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0.取z ＝5，得n ＝(22，0,5)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333. 22．解 设正方体的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz .(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)， 所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD →＝(0,1,0)． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量． 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1) (0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .。

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22C [a ＝(1，－3，2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.]2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝1，y ＝13 C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14D [AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→ ＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)， ∴x ＝1，y ＝14.应选A.]3．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9，2)B ．(－5，9，－2)C ．(5，9，－2)D ．(5，－9，－2) B [a ＝CA →＝(－1，0，－2)，b ＝CB →＝(－4，9，0)， ∴a ＋b ＝(－5，9，－2)．]4．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是( )A.13 B.23 C.773D.63C [设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x ，3－y ，4－z )， 由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773.]5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0D [如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．]6．设ABCD 的对角线AC 和BD 交于E ，P 为空间任意一点，如图所示，若P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝xPE →，则x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [∵E 为AC ，BD 的中点， ∴由中点公式得PE →＝12(P A →＋PC →)， PE →＝12(PB →＋PD →)．∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PE →.从而x ＝4.]7．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657D [∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2) ＝(2x －y ，－x ＋4y ，3x －2y )， 所以⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657.]8．若向量a ＝(x ，4，5)，b ＝(1，－2，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A ．3B ．－3C ．－11D ．3或－11A [因为a·b ＝(x ，4，5)·(1，－2，2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x 2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A.]9．若直线l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 C [∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量． ∴21＝112＝m 2.∴m ＝4.]10．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° C [建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，A 1(0，0，1)，C 1(0，1，1)， ∴BA 1→＝(－1，0，1)，AC 1→＝(0，1，1)，∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12×2＝12.∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成角为60°.]11．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13A [以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.]12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，（x ，y ，z ）·（－3，4，0）＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32，∴所求二面角为30°.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中： ①AB →－CB →＝AC →； ②AA ′→＝CC ′→；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 其中正确的有________．①② [①AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，正确；②显然正确；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝(AB →＋BC →)＋(BB ′→＋C ′C →)＝AC →＋0≠AC ′→，错误．]14．若向量m ＝(－1，2，0)，n ＝(3，0，－2)都与一个二面角的棱垂直，则m ，n 分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为________．－36565或36565 [∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n | ＝－1×3＋2×0＋0×（－2）5×13＝－36565.∴二面角的余弦值为－36565或36565.]15．如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．36 [建立坐标系如图，则B (1，1，0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DA 1→＝(1，0，1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．又OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1，∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|cos 〈OB →，DA 1→〉| ＝|OB →·DA 1→||OB →|·|DA 1→|＝1262×2＝36.] 16．设动点P 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD1B＝λ，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，设P (x ，y ，z )，则D 1P →＝(x ，y ，z －1)，D 1B →＝(1，1，－1)，由D 1P →＝λD 1B →， 得(x ，y ，z －1)＝λ(1，1，－1)， ∴⎩⎨⎧x ＝y ＝λ，z －1＝－λ，即P (λ，λ，1－λ)， ∴P A →＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝(－λ，1－λ，λ－1)， 由P A →·PC →<0得－2λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，解得13<λ<1. 由题意知P A →与PC →所成的角不可能为π，故13<λ<1.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是正方形，CC 1＝3，CD ＝2，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝60°.(1)设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示A 1C →； (2)已知O 为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心，求CO 的长． [解] (1)由CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，得CA 1→＝a ＋b ＋c ， 所以A 1C →＝－a －b －c .(2)O 为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心，即O 为线段A 1C 的中点． 由已知条件得|a |＝|b |＝2，|c |＝3，a ·b ＝0，〈a ，c 〉＝60°，〈b ，c 〉＝60°. 由(1)得CA 1→＝a ＋b ＋c ，则|CA 1→|2＝CA 1→2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 60°＋2×2×3×cos 60°＝29.所以A 1C 的长为29，所以CO 的长为292.18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .[证明] 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .(1)依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1，0，0)，AB →＝(0，0，1)，AQ →＝(0，1，0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC →＝(0，－2，1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC 平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ .19．(本小题满分12分)如图所示，已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小． (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．[解] (1)如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD ′分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设DA ＝1.则DA →＝(1，0，0)，CC ′→＝(0，0，1)． 连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m ，1)(m >0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22， 所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×12×1＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0，1，0)， 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D所成的角为30°.20．(本小题满分12分)如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值． [解] (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0， 不妨令x 2＝1，则n 2＝(1 3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64. 由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.21．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．[解]以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)．所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0， 于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角， 则m·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1­BC 1­B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值． [解] (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．所以A 1B →＝(0，3，－4)，A 1C 1→＝(4，0，0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎨⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(0，4，3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3，4，0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1­BC 1­B 1为锐角，所以二面角A 1­BC 1­B 1的余弦值为1625.(3)证明：假设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→(λ∈[0，1])，所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3，4)． 解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B . 此时BD BC 1＝λ＝925.。

高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题（时间：120分钟，满分：150分）5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中，有且只有一项答案 B3.设11的方向向量为a = （1,2, — 2）,12的方向向量为b = （— 2,3, m ）,若11丄12,则实数m 的值为（ ）1 A . 3 B .2 C . 1D.2解析 • h 丄 12,a 丄 b ,二 a b = 0, — 2+ 6 — 2m = 0, m = 2.答案 B4 .若a , b 均为非零向量，则 a b = |a||b|是a 与b 共线的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 ■/ a b = |a||b|cos 〈 a , b>,而 a b = ••• cos 〈 a , b > = 1, ••• 〈 a , b > = 0.••• a 与b 共线.反之，若 a 与b 共线，也可能a b =— |a| |b|,因此应选B. 答案 Bf f f f5 .在△ ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =（）1.向量a =(2x,1,3), b = (1, — 2y,9), 右a 与b 共线，则 ( )11A . x = 1, y = 1B . x =2, y =- 2112C . x = 6y = — 2D . x =— 6,y ==3解析由 a // b 知，a = ?b , • 2x =入1 =—2入y3= 9入 ；1 1 入 =3 x=6,y =答案 C2 .已知a =(—3,2,5), b = (1, x ,— 1 ），且a b = 2,贝U x 的值是（）A . 6B . 5C . 4D . 3是符合题目要求的）3 2.解析 a b =— 3 + 2x — 5 = 2,二 x = 5. 、选择题（本大题共12小题，每小题2 1A.3b+ 3C2 1C.3b —3c1 2D.3b+3c解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4),T••• AD = (— 1,— 2,2).T• |AD |= - . 1 + 4 + 4= 3. 答案 B&与向量a = (2,3,6)共线的单位向量是( )2 3 6 236A . (7, 7, 7)B . (—7,— 7,— ?)ff解析如图，AD = AB + BDT T2=AB + 3BC3T T T2=AB + 3(AC — AB)T T1 2=3AB+ 3AC1 2 =3c + 3b 答案 A起构成空间的另一个基底的是() A . a B.bC . cD .以上都不对 解析 I a , b,c 不共面，•- a + b ,a — b, c 不共面， • p , q , c 可构成空间的一个基底 7 .已知△ ABC 的三个顶点 A(3,3,2), B(4, — 3,7), C(0,5,1)，贝U BC 边上的中线长为(厂64D. 657解析 设平面ABC 的一个法向量为 n = (x , y , z),v AB= (— 5, — 1,1), AC = (— 4, — 2, — 1),f f由 n AB = 0 及 n AC = 0,得 —5x — y + z = 0,令 z = 1,—4x — 2y — z = 0, 得 x = 2 y =— 3• n = g — |, 1).f又AD = (— 2,— 1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为0,则2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 C - (7，- 7，— 7)和(—7，7，7) D . (7，7 7)和(_■?，— 7，— 7)解析|a|=- ‘22 + 32 + 62= 7, •••与a 共线的单位向量是 £(2,3,6)，故应选D. 答案 D9.已知向量 a = (2,4, x), b = (2, y,2)，若 |a|= 6 且 a 丄b ，则 x + y 为( )A . -3 或 1B . 3 或—1C . -3D . 1解析由|a|= 6, a 丄b ,4+ 16+ /= 36, 得 4+ 4y + 2x = 0,x = 4, 解得y = — 3,x = — 4, 或y = 1.•- x + y = 1，或一3.答案 A 10.已知 a = b = (3,2 — x , x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是()A . x>4x< — 4C . 0<x<4D . — 4<x<0.解析 ■/〈 a , b 〉为钝角，• a b = |a||b|cos 〈 a , b > <0, 即 3x + 2(2 — x)<0 , - - x< — 4.答案 B11. 已知空间四个点 A(1,1,1), B(— 4,0,2), C(— 3,— 1 , 的角为()0), D( — 1,0,4)，则直线 AD 与平面ABC 所成 A . 30 °B . 45 °C . 60 °D . 90 °sin 0=IAD n|f12, |AD||n|—1 +1 + 3••• 0= 30°答案 A12.已知二面角 a — l - B 的大小为50 ° P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面a 和平面B 所成的角都是25°的直线的条数为()A . 2B . 3C . 4D . 5解析 过点P 分别作平面 a, B 的垂线l i 和|2,则11与12所成的角为130或50 °问题转化为过点 P与直线l i , |2成65。

高二数学选修2-1第3章空间向量与立体几何单元测试题（含答案）空间向量是解立体几何的一种常用方法，以下是第3章空间向量与立体几何单元测试题，希望对大家有帮助。

一、填空题1.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为________.2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)①AB=AC+BC②AB=-AC-BC③AC与BC同向;④AC与CB同向.3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是________.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB，AD，AA1来表示向量AC1的表达式为___________________________________________________ _____________________.5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB+12(BD+BC)化简的结果是________.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)① +GH+PQ② -GH-PQ③ +GH-PQ④ -GH+PQ=0.7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC与AC是________向量，AB与BA是________向量.8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB+CD+BC+DA 的结果为________.二、解答题9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G 分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB+BC+CD，(2)AB+GD+EC，并标出化简结果的向量.10.设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心.求证：AG=13(AB+AC+AD).能力提升11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD 的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC=a，BD=b，则AF=______________________.12.证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.解析①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.2.④解析由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向.3.BD1解析如图所示，∵DD1=AA1，DD1-AB=AA1-AB=BA1，BA1+BC=BD1，DD1-AB+BC=BD1.4.AC1=AB+AD+AA1解析因为AB+AD=AC，AC+AA1=AC1，所以AC1=AB+AD+AA1.5.AM解析如图所示，因为12(BD+BC)=BM，所以AB+12(BD+BC)=AB+BM=AM.6.①解析观察平行六面体ABCDA1B1C1D1可知，向量EF，GH，PQ 平移后可以首尾相连，于是EF+GH+PQ=0.7.相等相反8.0解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量.9.解 (1)AB+BC+CD=AC+CD=AD.(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.BE=EC，EF=GD.AB+GD+EC=AB+BE+EF=AF.故所求向量AD，AF，如图所示.10.证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知BG=23BE.∵E为CD的中点，BE=12BC+12BD.AG=AB+BG=AB+23BE=AB+13(BC+BD)=AB+13[(AC-AB)+(AD-AB)]=13(AB+AC+AD).11.23a+13b解析 AF=AC+CF=a+23CD=a+13(b-a)=23a+13b.12.证明如图所示，平行六面体ABCDABCD，设点O是AC的中点，则AO=12AC=12(AB+AD+AA).设P、M、N分别是BD、CA、DB的中点.则AP=AB+BP=AB+12BD=AB+12(BA+BC+BB)=AB+12(-AB+AD+AA)=12(AB+AD+AA).同理可证：AM=12(AB+AD+AA)AN=12(AB+AD+AA).由此可知O，P，M，N四点重合.故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.第3章空间向量与立体几何单元测试题的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家新学期可以取得更好的成绩。

数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元测试一.选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)1.空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于()A.DBB.ADC.DAD.AC2.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1BE 等于()A.10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,0,14⎛⎫-⎪⎝⎭C.10,,14⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,0,14⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)4.若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a ，a ＋b ，a －bB.b ，a ＋b ，a －bC.c ，a ＋b ，a －bD.a ＋b ，a －b ，a ＋2b5.下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是()A.2OM OA OB OC=-- B.111532OM OA OB OC=++C.0MA MB MC ++=D.0OM OA OB OC +++=6.设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=，则BCD ∆是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定7.已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是()A.1B.15C.35 D.758.已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m = ，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为()A.45︒B.135︒C.45︒或135︒D.90︒9.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是()A.2 B.2 C.223D.23310.长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为()A.1010B.3010C.21510 D.10二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．12.已知三点A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的单位法向量为_______13.设平面α与向量()1,24a --＝,垂直，平面β与向量()2,3,1b ＝垂直，则平面α与β的位置关系是________．14.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为.三.解答题(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)．(1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内的任意一点，试写出x ，y ，z 满足的关系式．16.设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .17.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60 ，M 是PC 的中点，设AB =a ,AD =b ,AP =c．(1)试用,,a b c 表示出向量BM；(2)求BM 的长．18.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．19.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》测试答案一.选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)1.空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于()A.DBB.ADC.DAD.AC【答案】C2.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1BE 等于()A.10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,0,14⎛⎫-⎪⎝⎭C.10,,14⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,0,14⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C3.已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)【答案】B【点睛】本题考查空间向量的线性运算，是缁.4.若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a ，a ＋b ，a －bB.b ，a ＋b ，a －bC.c ，a ＋b ，a －bD.a ＋b ，a －b ，a ＋2b【答案】C5.下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是()A.2OM OA OB OC=-- B.111532OM OA OB OC=++C.0MA MB MC ++=D.0OM OA OB OC +++=6.设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=，则BCD ∆是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定【答案】B7.已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是()A.1 B.15C.35 D.75【答案】D8.已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m = ，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为()A.45︒B.135︒C.45︒或135︒D.90︒【答案】C9.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是()A.2 B.2C.3D.3【答案】D10.长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为()A.1010B.3010C.21510【答案】B二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB 与CA的夹角θ的大小是________．12.已知三点A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的单位法向量为_______【答案】(3，3，3)或(－3，－3，－3)【详解】三点()()()1,1,01,0,10,1,1A B C ，，，110101 AB AC ∴=-=-（，，），（，，），令平面ABC 的法向量为 n x y z =（，，），可得00n AB n AC ⎧⋅⎨⋅⎩＝＝，即 y x z x⎧⎨⎩＝＝，x y z∴==∵平面ABC 的法向量 n x y z =（，，）为单位法向量，2221x y z ∴++=，解得3x y z ===±，故平面ABC 的单位法向量是(3，3，3)或(－3，－3，－3).故答案为】(33，33，33)或(－33，－33，－33)．13.设平面α与向量()1,24a --＝,垂直，平面β与向量()2,3,1b ＝垂直，则平面α与β的位置关系是________．【答案】垂直【详解】由题意，()() 2,3,11,2,42640,a b ⋅⋅---+- ＝＝＝ ,a b ∴⊥ ∵根据平面α与向量()1,24a --＝,垂直，平面β与向量()2,3,1b ＝垂直，.αβ∴⊥故答案为垂直14.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为.【答案】23【详解】连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．三.解答题(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．【答案】(1)(－2,2，－2)(2)x－y＋z－2＝0.【详解】(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，∵⊥平面α，AM⊂α，∴⊥,∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化简得x－y＋z－2＝0.16.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k.【答案】(1)1-3 (2)1063【详解】k a＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，则＝＝，解得k＝－.(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60 ，M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c ===．(1)试用,,a b c 表示出向量BM ；(2)求BM的长．【答案】(1)111222a b c -++ (2)62【详解】(1)∵M 是PC 的中点，∴()()1122BM BC BP AD AP AB ⎡⎤=+=+-⎣⎦ ()11112222b c a a b c⎡⎤=+-=-++⎣⎦ (2)1,2,1,2AB AD PA a b c ===∴===由于0,60,0,21cos601AB AD PAB PAD a b a c b c ⊥∠=∠=∴⋅=⋅=⋅=⋅⋅=由于()1,2BM a b c =-++ 由于()()()222222221113211220114442BM a b ca b c a b a c b c ⎡⎤⎤⎡∴=-++=+++-⋅-⋅+⋅=+++-+=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦22BM BM ∴=∴ 的长为.【点睛】本题在四棱锥中用a b c r r r，，表示出向量BM，并根据给出的数据求BM 的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．18.18.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．【答案】(1)见解析(2)45°.【解析】(1)证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2)．又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(02，0)，F(12，1)．∴PC ＝(2,22，－2)，BF ＝(－12，1)，EF＝(1,0,1)．∴PC BF ⋅ ＝－2＋4－2＝0，PC EF ⋅＝2＋0－2＝0.∴PC BF ⊥，PC EF⊥∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF.又BF∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF.(2)由(1)知平面BEF 的一个法向量n 1＝PC＝(2,22，－2)，平面BAP 的一个法向量n 2＝AD＝(0,22，0)，∴n 1·n 2＝8.设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，则1212122cos cos ,2422n n n n n n θ⋅====⨯⋅，∴θ＝45°.∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.19.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．(1)证明：PF ⊥FD ；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)66.【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)．不妨令P (0,0，t )，则PF ＝(1,1，－t )，DF ＝(1，－1,0)．所以PF ·DF ＝1×1＋1×(－1)＋(－t )×0＝0，所以PF ⊥FD .(2)设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由(1)知PF ＝(1,1，－t )，DF＝(1，－1,0)，则由0,{0n PF n DF ⋅=⋅= ，得0,{0x y tz x y ＋－＝－＝，令z ＝1，则x ＝y ＝2t .故n ＝,,122t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭是平面PFD 的一个法向量．设G 点坐标为(0,0，m )，因为E 1,0,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,0,2EG m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n ＝0.即12⎛⎫-⎪⎝⎭×2t ＋0×2t ＋m ×1＝m －4t ＝0，所以m ＝14t ，从而PA 上满足AG ＝14AP 的点G 可使得EG ∥平面PFD .(3)易知AB ⊥平面PAD ，所以AB ＝(1,0,0)是平面PAD 的一个法向量．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，故∠PBA ＝45°，所以PA ＝1，则平面PFD 的一个法向量为n ＝11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos 〈AB ，n 〉＝n AB n AB ⋅⋅ 126，由题图可判断二面角为锐角．故所求二面角A －PD －F的余弦值为6.。

章末检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c [答案] B[解析] 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a·b ＝0.对于C ，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b .对于D ，a·b ＝a·c ，可以移项整理推得a ⊥(b －c )．2．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( ) A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1[答案] A[解析] a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15. 3．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45°C ．90°D ．180°[答案] C[解析] ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝2－25×6＝0，∴〈a ，b 〉＝90°.4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c [答案] D[解析] BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝－a ＋b ＋c .5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( ) A ．cos θ＝n·a|n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a|n||a |D ．sin θ＝|n·a||n||a |[答案] D[解析] 若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝n·a|n||a |，∴sin θ＝|cos β|＝|n·a||n||a|.6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定[答案] B[解析] 在△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0，∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．7．在以下命题中，不．正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2 B ．3C ．4D ．1[答案] C[解析] ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由向量的数量积的性质知，不正确．8.已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.P A →与CD →[答案] A[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD 的长、宽分别为a ，b ，P A 长为c ，则A (0,0,0)，B (b,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，P (0,0，c )．则PC →＝(b ，a ，－c )，BD →＝(－b ，a,0)，DA →＝(0，－a,0)，PB →＝(b,0，－c )，PD →＝(0，a ，－c )，AB →＝(b,0,0)，P A →＝(0，0，－c )，CD →＝(－b,0,0)． ∴PC →·BD →＝－b 2＋a 2不一定为0. DA →·PB →＝0，PD →·AB →＝0，P A →·CD →＝0.9．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( ) A ．(12，34，13)B ．(12，32，34)C ．(43，43，83)D ．(43，43，73)[答案] C[解析] 设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，可得：x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q (43，43，83)，故选C.10.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2D. 3[答案] C[解析] |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2.∴|CD →|＝ 2.11．已知正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于 ( ) A.23B.33C.23D.13[答案] A[解析] 方法一 如图(1)，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥BD . 因为CC 1⊥平面ABCD ，图(1)所以CC 1⊥BD . 又CC 1∩AC ＝C ， 所以BD ⊥平面CC 1O . 在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ， 垂足为H ，则BD ⊥CH . 又BD ∩C 1O ＝O ， 所以CH ⊥平面BDC 1，连接DH ，则DH 为CD 在平面BDC 1上的射影， 所以∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角． 设AA 1＝2AB ＝2. 在Rt △COC 1中，由等面积变换易求得CH ＝23.在Rt △CDH 中，sin ∠CDH ＝CH CD ＝23.方法二 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图(2)，图(2)设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)， 则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)． 设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)． 设CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n||DC →|＝23.12.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B[解析] 不妨设AB ＝BC ＝AA 1＝1，则EF →＝BF →－BE →＝12(BB 1→－BA →)，BC 1→＝BC →＋BB 1→，∴|EF →|＝12|BB 1→－BA →|＝22，|BC 1→|＝2，EF →·BC 1→＝12(BB 1→－BA →)·(BC →＋BB 1→)＝12，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →|·|BC 1→|＝1222×2＝12，∴〈EF →，BC 1→〉＝60°，即异面直线EF 与BC 1的夹角是60°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________. [答案] －2[解析] P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．14．设a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 在a 上，向量b 在b 上，a ＝(1,1,1)，b ＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________． [答案]315[解析] 由题意，得cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b||a||b|＝(1，1，1)·(－3，4，0)3·5＝315.15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______． [答案] 60°或120°[解析] cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.16.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．[答案]3－2cos θ[解析] AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0.即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.18．(12分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .证明 由平行六面体的性质 ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E → ＝12C 1D 1→－AD →＋13A 1A → ＝－12AB →－AD →－13AA 1→，NF →＝NB →＋BC →＋CF → ＝12AB →＋AD →＋13CC 1→ ＝12AB →＋AD →＋13AA 1→， ∴ME →＝－NF →，又M ，E ，N ，F 不共线，∴ME ∥NF .19．(12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)， D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0，0,1)．则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)． 又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知， AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2，依题意得22＋m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝63. 故当m ＝63时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．(12分)已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值．解 以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知AB ＝2，AA 1＝1，可得 A (0,0,0)，B (2,0,0)，F (1,0,1)．又AD ⊥平面AA 1B 1B ，从而直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA ＝30°，又AB ＝2，∴AD ＝233，从而易得D ⎝⎛⎭⎫0，233，0. 易知平面AA 1B 1B 的一个法向量为m ＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的一个法向量， BF →＝(－1,0,1)，BD →＝⎝⎛⎭⎫－2，233，0，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0－2x ＋233y ＝0，令z ＝1，可得n ＝(1，3，1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝155. 即二面角A —BF —D 的余弦值为155. 21．(12分)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解 设正方体的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz . (1)依题意，得B (1,0,0)， E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)， D (0,1,0)，所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD →＝(0,1,0)． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量． 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1) (0≤t ≤1)． 又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .22．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． (1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC .(2)解 在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＝03y 1－4z 1＝0∴取向量n 1＝(0,4,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0.取向量n 2＝(3,4,0) ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝1625. 由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)解 设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. ∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0 则λ＝925，因此BD BC 1＝925.综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为( )A ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14≤0B ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0C ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0[答案] B[解析] 全称命题的否定是特称命题． 2．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关[答案] C[解析] 依题意，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8.3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( ) A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) [答案] D[解析] 若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 正确．4．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2[答案] A[解析] ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0， 则x 1x 2＝p 24.则y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.6．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面 [答案] B[解析] 由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →， 得(OA →－OP →)＝2(OP →－OB →)＋3(OP →－OC →)， 即P A →＝2BP →＋3CP →.由共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面．7．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3B ．－1≤a ≤3C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤1[答案] B[解析] 根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1 B.32C ．2D ．3[答案] C[解析] e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， 而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12×3p ×p2＝3，可得p ＝2. 9.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC→＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32B ．2C.10－24D.94[答案] D[解析] 由题意可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2. 〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝⎝⎛⎭⎫12BA →－12BC →＋BD →2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD → ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 10．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log 12b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4[答案] B[解析] 对于命题p ，当a >b >0时，有log 12a <log 12b ，则必有log 12a <log 12b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log 12a <log 12b ＋1时，得log 12a <log 12b 2，得a >b2>0，不一定有a >b >0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．11．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3C.π4D.π6[答案] B[解析] 如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC －A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OPOA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.12．过M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1 (k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2C.12D ．－12[答案] D[解析] 设直线m ：y ＝k 1(x ＋2)，代入x 22＋y 2＝1，得：x 2＋2k 21(x ＋2)2－2＝0，整理，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，Δ＝(8k 21)2－4(1＋2k 21)(8k 21－2)>0，解得k 21<12. 设P 1P 2的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21.∴k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) [答案] 12a ＋14b ＋14c[解析] OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12⎝⎛⎭⎫12OB →＋12OC → ＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 14．给出下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧綈q ”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)． [答案] ①③[解析] 对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；对于②，当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③. 15．已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y 249＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面积等于________．[答案] 24[解析] 由于a 2＝49，a ＝7，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，所以|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又因为|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，且|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2.故△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24. 16．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．[答案] ±1[解析] 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝4x . 化简得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k. ∴x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k. 由(x 0－1)2＋(y 0－0)2＝2得： ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝4. ∴k ＝±1.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解 由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，m ≥2，m 无解． 当p 假q 真时应有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m <2，1≤m <2. 故实数m 的取值范围是1≤m <2.18．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．(1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围．故a ＝±1.19．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b . (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1，b ＝1， 故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m 3， 即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝5，解得m ＝±3. 20．(12分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x＝0,4y＝3z，令z＝4，则n＝(0,3,4)，所以平面BOE的一个法向量为n＝(0,3,4)．由FG→＝(－4,4，－3)，得n·FG→＝0，又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.21．(12分)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F 分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值．(1)证明因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以AB∥GH.(2)解方法一在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ.因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.又BP∩BQ＝B，所以AB⊥平面PBQ.由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ .又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH .同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2， 在Rt △PBC 中，由勾股定理得 PC ＝ 5.又H 为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53. 在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22×59＝－45.即二面角D －GH －E 的余弦值为－45.方法二 在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ →＝(－1,2，－1)，FQ →＝(0,2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1,2)． 设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ →＝0，m ·FQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP →＝0，n ·CP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝45. 因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45. 22．(12分)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，短轴的两个端点分别为B 1、B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，a 2－b 2＝1，解得a 2＝43，b 2＝13， 故椭圆C 的方程为x 243＋y 213＝1. (2)容易求得椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0， 解得k 2＝17，即k ＝±77. 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.。

第三章综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ，则a 与c 的夹角为( ) A ．0 B ．π6C.π3D ．π2[[答案]] D[[解析]] a·c ＝|a |2－⎝⎛⎭⎫a·a a·b (a·b )＝|a |2－a·a ＝0，∴a ⊥b . 2．对于任意向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下面两个命题： ①a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3；②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量． 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [[答案]] A[[解析]] 由a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3⇒a ∥b 但a ∥b ⇒/ a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3；若a 1＝a 2＝a 3＝1，则|a |＝3，∴①②都不正确．故选A.3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( ) A ．(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)B ．(3210，4210，－22)C ．(－3210，－4210，22)D ．(3210，4210，22)和(－3210，－4210，－22)[[答案]] A[[解析]] 所求的单位向量e 与(－3，－4,5)方向相同或相反，且|e |＝1，求得(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)．4．若直线l 与平面α所成的角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) A ．[0，2π3]B ．[π3，2π3]C ．[π2，2π3]D ．[π3，π2][[答案]] D[[解析]] 由定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3.又l ，a 为异面直线，则所成角的最大值为π2.5．(2013·淄博模拟)已知空间四边形ABCD 中，M ，G 分别为BC ，CD 的中点，则AB →＋12(BD→＋BC →)等于( ) A.AG → B ．CG → C.BC → D ．12BC →[[答案]] A[[解析]] 如下图所示：12(BD →＋BC →)＝BG →，AB →＋BG →＝AG →. 6．已知ABCD 是四面体，O 为△BCD 内一点，且AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)，则AO →是O 为△BCD的重心的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件[[答案]] C[[解析]] 用向量的运算法则，充要条件的概念来判定．7．已知向量a ＝(8，x2，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0 [[答案]] B[[解析]] a ∥b ⇔存在λ∈R 使a ＝λb ⇔(8，x2，x )＝(λx ，λ，2λ)⇔⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝8x 2＝λx ＝2λ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝4.8．如下图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB .则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B ．25 C.35D ．45 [[答案]] D[[解析]] 用坐标法求向量夹角．9．已知向量n ＝(1,0，－1)与平面α垂直，且α经过点A (2,3,1)，则点P (4,3,2)到α的距离为( ) A.32B．22 C.2D ．322[[答案]] B[[解析]] P A →＝(－2,0，－1)，又n 与α垂直，所以P 到α的距离为|－2，0，－1·1，0，－1|12＋－12＝12＝22，故选B.10．在60°的二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是( ) A.3B ．2 3 C ．33D ．4 3 [[答案]] D[[解析]] 设二面α—l —β为60°，α内一点为A ，过A 作AB ⊥β于B ，AO ⊥l 于O ，连OB ，则OB ⊥l ，∴∠AOB ＝60°，∴AB ＝8sin60°＝4 3.11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A.OM →＝OA →＋OB →＋OC →B.OM →＝2OA →－OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →[[答案]] D[[解析]] 选项D 中的三个系数和：13＋13＋13＝1，故M 与点A ，B ，C 一定共面．12．如下图，P 是边长为a 的正六边形ABCDEF 平面外一点，P A ⊥AB ，P A ⊥AF ，为求P 与CD 的距离作PQ ⊥CD 于Q ，则( )A ．Q 为CD 的中点B ．Q 与D 重合C ．Q 与C 重合D ．以上都不对 [[答案]] C[[解析]] 连AC ，则AC ⊥CD ，由三垂线定理知PC ⊥CD ，∴Q 与C 重合． 故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确[答案]填在题中横线上) 13．三个平面两两垂直，它们交于一点O ，空间一点P 到三个面的距离分别为2，3和25，则PO ＝________. [[答案]] 5 [[解析]] PO ＝22＋32＋252＝5.14．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为________． [[答案]]65[[解析]] 因为|a |＝|b |，所以平行四边形为菱形．又a ＋b ＝(4,1,3)，a －b ＝(0，－3,1)，|a ＋b |＝26，|a －b |＝10， S ＝12|a ＋b ||a －b |＝12×26×10＝65. 15．给出命题：①在▱ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →；②在△ABC 中，若AB →·AC →>0，则△ABC 是锐角三角形；③在梯形ABCD 中，E 、F 分别是两腰BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)；④在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)．以上命题中，正确命题的序号是____．[[答案]] ①③④[[解析]] ①满足向量运算的平行四边形法则，①正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A >0⇒∠A <90°，但∠B 、∠C 无法确定，△ABC 是否是锐角三角形无法确定，②错误；③符合梯形中位线，正确；④如图：DC →＝DA →＋AC →；DC →＋AB →＝DA →＋AB →＋AC →＝DA →＋2AE →＝2(F A →＋AE →)＝2FE →，则FE →＝12(AB →＋DC →)．16．正△ABC 边长为a ，AD ⊥BC 于点D ，沿AD 把△ABC 折起来使∠BDC ＝90°，这时点B 到AC 的距离是______________． [[答案]]74a [[解析]] 过D 作DH ⊥AC 于H ，连BH ，则DH ＝34a ，∴BH ＝a 22＋34a 2＝74a .三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长． [[解析]] AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋22＋32＋2|AB →|·|AD →|·cos 〈AB →，AD →〉＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 〈AB →，AA 1→〉＋2|AD →|·|AA 1→|·cos 〈AD →，AA 1→〉＝14＋2×1×2cos90°＋2×1×3cos60°＋2×2×3cos60°＝23， ∴|AC 1→|＝23，即AC 1＝23.18．(本小题满分12分)在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．(1)求证：AEC 1F 是平行四边形； (2)求AE 和AF 之间的夹角的余弦值； (3)求四边形AEC 1F 的面积．[[解析]] (1)证明：如下图，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，E (0,0，a 2)，F (a ，a ，a2)，C 1(0，a ，a )．∴AE →＝(－a,0，a 2)，FC 1→＝(－a,0，a 2)．∴AE →＝FC 1→，∴AEC 1F 为平行四边形．(2)解：由AF →＝(0，a ，a 2)，得cos 〈AE →，AF →〉＝AE →·AF →|AE →||AF →|＝15.(3)解：由(2)知sin ∠EAF ＝25 6.∴S ▱AEC 1F ＝|AE →||AF →|sin ∠EAF ＝62a 2.19．(本小题满分12分)已知空间四边形OABC ，棱OA ，OB ，BC 互相垂直，OA ＝OB ＝BC ＝1，N 是OC 的中点，点M 在AB 上，且MN ⊥AB ，求AM AB 的值． [[解析]] 如下图所示，设AM AB＝x ，则AM →＝xAB →.OM →＝(1－x )OA →＋xOB →，ON →＝12OC →＝12(OB →＋BC →)，MN →＝ON →－OM →＝12OB →＋12BC →－(1－x )OA →－xOB →＝(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →.又知AB →＝OB →－OA →，MN ⊥AB ，所以MN →·AB →＝0. 即[(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →]·(－OA →＋OB →)＝0.进行向量运算，考虑到OA →、OB →、BC →互相垂直且它们的长度都为1，运算结果得12－x ＋1－x＝0.解得x ＝34.所以MN AB ＝34.20．(本小题满分12分)如下图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ，当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．[[解析]] 以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，从而D 1B →＝(1,1，－1)，D 1A →＝(1,0，－1)，D 1C →＝(0,1，－1)，D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)， PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于P A →·PC →<0， 即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，解得13<λ<1，因此λ的取值范围是(13，1).21．(本小题满分12分)已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．[[解析]] 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)．(1)CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)，因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM →⊥SN →，所以CM ⊥SN .(2)易得NC →＝(－12，1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧CM →·n ＝x －y ＋12z ＝0，NC →·n ＝－12x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝－2y ，取x ＝2，则y ＝1，z ＝－2，n ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈n ，SN →〉|＝|n ·SN →||n |·|SN →|＝22，所以SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.22．(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5. (1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．[[解析]] (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC ，因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如下图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)，设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.。

第3章 单元检测(A 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，使a ⊥b 成立的x 与使a ∥b 成立的x 分别为________．2．设a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，且a ∥b ，则xz 的值为________．3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.4．若向量(1,0，z )与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为25，则z ＝________. 5．已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是________．(填序号)①2a ，a －b ，a ＋2b ；②2b ，b －a ，b ＋2a ；③a,2b ，b －c ；④c ，a ＋c ，a －c .6．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.7．设直线a ，b 的方向向量是e 1，e 2，平面α的法向量是n ，则下列命题中错误的是________．(写出所有错误命题的序号)① ⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ∥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n e 2∥n ⇒a ∥b ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n b ⊄αe 1⊥e 2⇒b ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ⊥α. 8．如下图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________． 9．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为________．10．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则α与β的关系为________．11．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D 在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是________．12．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是________．13．已知力F1＝(1,2,3)，F2＝(－2,3，－1)，F3＝(3，－4,5)，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，－2，1)移到M2(3,1,2)，则合力作的功为________．14．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝______，y＝______.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)如下图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.16．(14分)在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，若F是AE的中点．求证：DF∥平面ABC.17．(14分)如下图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB ＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．18.(16分)如下图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．19．(16分)在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB ＝BC＝a，AD＝2a，且P A⊥底面ABCD，PD与底面所成的角为30°.(1)若AE⊥PD，垂足为E，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．20.(16分)如下图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：CF⊥平面BDE；(2)求二面角A－BE－D的大小．第3章 空间向量与立体几何 1.103，－6[解析] 若a ⊥b ，则－8－2＋3x ＝0，x ＝103； 若a ∥b ，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x ，x ＝－6.2．9[解析] ∵a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，且a ∥b ，∴存在实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ，4＝2λ，3＝zλ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，z ＝32.∴xz ＝9. 3．－9[解析] ∵l ⊥α，∴u ⊥v ，∴(1，－3，z )·(3，－2,1)＝0，即3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9.4．2或12[解析] 由题知1，0，z ·2，1，21＋z 2·3＝2＋2z 1＋z 2·3＝25， 即2z 2－5z ＋2＝0，得z ＝2或12. 5．③[解析] ∵a ，b 不共线，由共线向量定理知由a ，b 表示出的向量与a ，b 共面，即①、②中的向量因共面不能构成空间一个基底，同理④中的三向量也不能构成空间一个基底．6．16[解析] P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →(x 、y ∈R )，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4)＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.7．①8.413[解析] 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4，则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →＋0＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13，所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝|BF →·DE →||BF →||DE →|＝413. 9．60°[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，即〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°. 10．α∥β[解析] ∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β. 11.64[解析] 如下图所示，建立坐标系，易求点D ⎝⎛⎭⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64. 12．60°[解析] ∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝12，∴θ＝60°. 13．16[解析] 合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2,1,7)，F 对物体作的功即为W ＝F ·M 1M 2→＝(2,1,7)·(3,3,1)＝2×3＋1×3＋7×1＝16. 14.16 －32[解析] ∵a ∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32. 15．证明 如下图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz .设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)． 于是AE →＝(22，0，22)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)， 则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0.所以AE →⊥BC →，AE →⊥PC →，即AE ⊥BC ，AE ⊥PC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .16．证明 如下图所示，以点B 为原点，BA 、BC 、BE所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)．由中点坐标公式知F (1,0,1)．∴DF →＝(1，－2,0)，BE →＝(0,0,2)．∵BE ⊥平面ABC ，∴BE →是平面ABC 的一个法向量．∵DF →·BE →＝(1，－2,0)·(0,0,2)＝0，∴DF →⊥BE →.又∵DFD ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .17．解 因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225. 即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225. 18．解 如下图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D —xyz . (1)DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连结BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m,1) (m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1. 因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22， 所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12， 所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.19．(1)证明 以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A —xyz ，由题意知A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,2a,0)．∵PD 在底面的射影是DA ， 且PD 与底面所成的角为30°，∴∠PDA ＝30°，∴P ⎝⎛⎭⎫0，0，233a ，∵AE ⊥PD ， ∴|AE →|＝12|AD →|＝a ，E ⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a ， ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－a ，12a ，32a ，PD →＝⎝⎛⎭⎫0，2a ，－233a ， ∴BE →·PD →＝0·(－a )＋a 2·2a ＋3a 2·⎝⎛⎭⎫－23a ＝0， ∴BE →⊥PD →，即BE ⊥PD .(2)解 由(1)知AE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，3a 2， CD →＝(－a ，a,0)，∴AE →·CD →＝a 22，又|AE →|＝a ，|CD →|＝2a ， ∴cos 〈AE →，CD →〉＝AE →·CD →|AE →||CD →|＝24， ∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为24. 20．(1)证明因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如下图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，22，1)． 所以CF →＝(22，22，1)，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)． 所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF →⊥BE →，CF →⊥DE →，即CF ⊥BE ，CF ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以CF ⊥平面BDE .(2)解 由(2)知，CF →＝(22，22，1)是平面BDE 的一个法向量． 设平面ABE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧x ，y ，z ·2，0，0＝0，x ，y ，z ·0，－2，1＝0. 所以x ＝0，且z ＝2y .令y ＝1，则z ＝2，所以n ＝(0,1，2)．从而cos 〈n ，CF →〉＝n ·CF →|n ||CF →|＝32.因为二面角A －BE －D 为锐角， 所以二面角A －BE －D 的大小为π6.。

选修2-1第三章空间向量检测题(一)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(3，λ，152)平行，则λ＝( )A.23B.92 C ．－92 D ．－23 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( )A.AD 1→B.AC 1→C.AD →D.AB →3．若向量a ＝(1，m,2)，b ＝(2，－1,2)，若cos 〈a ，b 〉＝89，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2554．已知空间向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量的坐标是( ) A ．(0,1,2) B ．(0，－1，－2) C ．(0，15，25) D ．(0，－15，－25) 5．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 内任一点O ，下列条件中能确定M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝OA →＋OB →＋OC → B.OM →＝2OA →－OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →6.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝137.如图所示，已知三棱锥A －BCD ，O 为△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC→＋AD →)是O 为△BCD 的重心的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为( )A ．3 B.7 C.13 D ．99.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 与BC 1所成的角是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°10．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝90°，M在△ABC 内，∠MPA ＝60°，∠MPB ＝45°，则∠MPC 的度数为( ) A ．150° B ．45° C ．60°D ．120°12．已知直二面角α－PQ －β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°，那么二面角B －AC －P 的正切值为( )A ．2B ．3 C.12 D.1313．已知四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角的大小为________．15．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是边长为a 的正方形，AA 1＝b ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则AC 1的长为________．16.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知A(1，－2,11)，B(6，－1,4)，C(4,2,3)，D(12,7，－12)，证明：A，B，C，D四点共面．18．(12分)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上，∠PDA＝60°.所成角的大小；(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．(1)求DP与CC19.(12分)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．20.(12分)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝12CD＝a，PD＝2a.(1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．21.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．22.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．第三章单元质量评估(一)1．C ∵a ∥b ，∴b ＝m a (m ∈R )， ∴23＝－3λ＝5152，得λ＝－92.2．A AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→. 3．C a ·b ＝6－m ，|a |＝m 2＋5，|b |＝3，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝6－m 3m 2＋5＝89，解得m ＝－2或m ＝255.4．D 由已知得a ＋b ＝(0,1,2)且|a ＋b |＝5，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量为－15(0,1,2)＝(0，－15，－25)．故选D. 5．D6．D 连接ON ，∵M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，∴OM →＝12OA →，ON →＝12(OB →＋OC →)，∴OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →，∴x ＝16，y ＝z ＝13.故选D.7．C8．A BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝BA →＋BC →＋BB 1→，|BD 1→|2＝BD 1→2＝(BA →＋BC →＋BB 1→)2＝|BA →|2＋|BC →|2＋|BB 1→|2＋2BA →·BC →＋2BA →·BB 1→＋2BC →·BB 1→＝4＋4＋1＋0＋2×2×1×(－12)＋2×2×1×12＝9，|BD 1→|＝3，即BD 1的长为3.9．B以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)，B (0,0,0)，则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·22＝12，∴〈EF →，BC 1→〉＝60°，∴直线EF 与BC 1所成的角为60°.10．C 翻折后A ，B ，C ，D 四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC ⊥平面BAC ，设未折前正方形对角线的交点为O ，则∠DBO 即为BD 与平面ABC 所成的角，大小为45°.11.C如右图所示，过M 作MH ⊥面PBC 于H ，则MH ∥AP ，∴∠MPH ＝30°，∴cos45°＝cos ∠HPB ·cos30°，∴cos ∠HPB ＝63，∴cos ∠HPC ＝33.又cos ∠HPC ·cos30°＝cos ∠MPC ，∴33×32＝cos ∠MPC ，∴∠MPC ＝60°.12．A 在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于O ，连接OB .又α⊥β，则OC ⊥OB ，OC ⊥OA ，又CA ＝CB ，所以△AOC ≌△BOC ，故OA ＝OB .又∠BAP ＝45°，所以OA ⊥OB .以O 为原点，分别以OB ，OA ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．不妨设AC ＝2，由∠CAO ＝30°，知OA ＝3，OC ＝1.在等腰直角三角形OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，则OB ＝OA ＝3，所以B (3，0,0)，A (0，3，0)，C (0,0,1)，AB→＝(3，－3，0)，AC →＝(0，－3，1)，设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n 1·AC →＝－3y ＋z ＝0n 1·AB→＝3x －3y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n 1＝(1,1，3)，易知平面β的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝15×1＝55，又二面角B －AC －P 为锐角，由此可得二面角B －AC －P 的正切值为2.13．3a ＋3b －5c 解析：如图所示，取BC 的中点M ，连接EM ，MF ，则EF →＝EM →＋MF →＝12AB →＋12CD →＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c . 14.π2解析：由条件知AC ，BC ，CC 1两两垂直，如图，以C 为原点，CB ，CA ，CC 1分别为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(1,0，6)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62，A 1(0，3，6)，∴AB 1→＝(1，－3，6)， A 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－3，－62， cos 〈AB 1→，A 1M →〉＝0，∴〈AB 1→，A 1M →〉＝π2， 即直线AB 1与A 1M 所成角为π2. 15.2a 2＋b 2－2ab解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝a ，|c |＝b ，∴AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ，∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝2a 2＋b 2－2ab ，∴|AC 1→|＝2a 2＋b 2－2ab . 16.63解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)，AG →＝(a ，a,0)，AC →＝(0,2a,2a )，BG→＝(a ，－a,0)， 设平面AGC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，由⎩⎨⎧AG →·n 1＝0AC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝02ay 1＋2a ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝－1，故n 1＝(1，－1,1)．设GB 与平面AGC 所成的角为θ，则sin θ＝|BG →·n 1||BG→||n 1|＝2a 2a ×3＝63.17．证明：AB →＝(5,1，－7)，AC →＝(3,4，－8)，AD →＝(11,9，－23)，设AD→＝xAB →＋yAC →， 得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝11x ＋4y ＝9－7x －8y ＝－23，解得x ＝1，y ＝2.所以AD→＝AB →＋2AC →，则AD →，AB →，AC→为共面向量，又AB →，AD →，AC →有公共点A ，因此A ，B ，C ，D 四点共面．18．解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DA →＝(1,0,0)，CC 1→＝(0,0,1)，连接BD ，B 1D 1，在矩形BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H 点．设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，〈DH →，DA →〉＝60°，则DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1，得m ＝22， 所以DH →＝(22，22，1)．(1)cos 〈DH →，CC 1→〉＝DH →·CC 1→|DH →||CC 1→|＝12，所以〈DH →，CC 1→〉＝45°，即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量为DC →＝(0,1,0)，cos 〈DH →，DC →〉＝DH →·DC →|DH →|·|DC →|＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，故DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.19.(1)证明：如图所示，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，设E (0，a ，e )，则A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a,0)，A 1E →·BD →＝－a ·(－a )＋a ·(－a )＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，则A 1E ⊥BD .(2)解：当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .由题意可得DE ＝BE ，∴EO ⊥BD .同理A 1O ⊥BD ，∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角，EO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝32a ，A 1O ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝62a ，A 1E 2＝(2a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝94a 2，∴EO 2＋A 1O 2＝94a 2＝A 1E 2，∴∠A 1OE ＝90°，∴平面A 1BD ⊥平面EBD .20．解：∵四边形PDCE 是矩形，且平面PDCE ⊥平面ABCD ，平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，∴PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又∠ADC ＝90°，∴PD ，AD ，DC 两两垂直．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知，得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，2a )，E (0,2a ，2a )，C (0,2a,0)，B (a ，a,0)．(1)∵M 为P A 的中点，∴M (a 2，0，2a 2)，则AC →＝(－a,2a,0)，DM →＝(a 2，0，2a 2)，DE →＝(0,2a ，2a )． 设平面MDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由题意得⎩⎨⎧m ·DM →＝0m ·DE→＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2z ＝02y ＋2z ＝0，取m ＝(2,1，－2)．而AC →·m ＝(－a )·2＋2a ＋0＝0，且AC ⊄平面MDE ， ∴AC ∥平面MDE .(2)平面P AD 的一个法向量n 1＝(0,1,0)，PC →＝(0,2a ，－2a )，PB →＝(a ，a ，－2a )．设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎨⎧n 2·PC→＝0n 2·PB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0x ＋y －2z ＝0， 取n 2＝(1,1，2)．设平面P AD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，则有 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝12，则θ＝60°，∴平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为60°. 21．(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)解：如右图所示，以点A 为坐标原点，AB→，AD →，AP →所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，M (0,1,1)，则AC →＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD→＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC→，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，∴cos α＝33，∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.22．(1)证明：连接BD ，因为M ，N 分别为PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线，所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解法1：连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC→，OD →所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6，又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ，在直角三角形P AC 中，AC ＝23，P A ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4.由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32，6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，263.设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面AMN 的一个法向量，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，6，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，6，由m ⊥AM→，m ⊥AN →知⎩⎨⎧32x 1－32y 1＋6z 1＝0，32x 1＋32y 1＋6z 1＝0.取z 1＝－1，得m ＝(22，0，－1)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面QMN 的一个法向量，QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－536，－32，63，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－536，32，63.由n ⊥QM →，n ⊥QN →知⎩⎨⎧－536x 2－32y 2＋63z 2＝0，－536x 2＋32y 2＋63z 2＝0.取z 2＝5，得n ＝(22，0,5)．故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3333，所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.解法2：如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ＝3AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD ，所以PB ＝PC ＝PD ，所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN .取线段MN 的中点E ，连接AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角，由AB ＝23，P A ＝26，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝332.在直角三角形P AC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝22，QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝PB 2＋PC 2－BC 22PB ·PC ＝56，得MQ ＝PM 2＋PQ 2－2PM ·PQ cos ∠BPC ＝ 5.在等腰三角形MQN 中，MQ ＝NQ ＝5，MN ＝3，得QE ＝MQ 2－ME 2＝112.在△AEQ 中，AE ＝332，QE ＝112，AQ ＝22，得cos ∠AEQ ＝AE 2＋QE 2－AQ 22AE ·QE ＝3333，所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为33 33.。

综合检测(三)第三章 空间向量与立体几何(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2013·佛山高二检测)与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A ．(13，1,1) B ．(－1，－3,2) C ．(－12，32，－1)D ．(2，－3，－22)【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2(－12，32，－1)． 【答案】 C2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝1，y ＝13 C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)， ∴x ＝1，y ＝14.应选D. 【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)， b ＝CB →＝(－4,9,0)， ∴a ＋b ＝(－5,9，－2)． 【答案】 B4．(2013·洛阳高二检测)棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( )A.AB →＝－C 1D 1→B.AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A 、B 、C 选项均正确． 【答案】 D5．已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之由于a 、b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B6．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设BC 中点为D ，则D (2,1,4)，∴AD →＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝(－1)2＋(－2)2＋22＝3，即BC 边上的中线长为3.【答案】 B7．(2013·岳阳高二检测)若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255【解析】 ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255.【答案】 C8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23 B.33 C.23D.63【解析】 设正方体的棱长为1，建系如图． 则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)． 平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1,1,1)． 又BB 1→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－(33)2＝63.【答案】 D9．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A ．(407，－157，－4) B ．(407，－157，－3) C ．(337，－157，4)D ．(337，－157，－3)【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)． ∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)×1＋y ×5＋(－3)×(－2)＝0，(x －1)×3＋y ×1＋(－3)×4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)．【答案】 D10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A －BD －P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝(3,0，－453)，BD →＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0n ·BD →＝0⇒⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(3，0，－453)＝0，(x ，y ，z )·(－3，4，0)＝0.即⎩⎨⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，34，543)．又n 1＝(0,0，453)为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32.∴所求二面角为30°. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．(2013·北京高二检测)若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3212．(2013·重庆高二检测)已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________．【解析】 ∵AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴AC →·BC →＝10－3－7＝0. ∴AC →⊥BC →，∴∠ACB ＝90°，又∵|AC →|≠|BC →|， ∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 直角三角形13．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长是________．【解析】 如图所示， 设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ， ∴a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝1×1×cos 60°＝12. 又AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， |AC 1→|＝(a ＋b ＋c )2＝3＋3×2×12＝ 6.【答案】 614．命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面； ③若a 与b 共线，则存在惟一的实数λ，使b ＝λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．【解析】 当b ＝0时，①不正确；a 、b 、c 共面于平面α，则a ，b ，c 所在的直线可能异面，但都与α平行，所以②不正确；③不正确．因为a ∥b ⇔b ＝λa (a ≠0)；由空间向量基本定理可知④正确．【答案】 ④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)图115．(本小题满分12分)如图1所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.【证明】 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)．又AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→. ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.图216．(本小题满分12分)如图2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.【证明】 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)， ∴DE →＝12AC 1→， ∴DE →∥AC 1→.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.图317．(本小题满分12分)如图3，四棱锥S －ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0＜λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．【解】(1)证明连接BD，AC，设BD与AC交于O.由底面是菱形，得BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥平面SAC.又AE⊂平面SAC，∴BD⊥AE.(2)由(1)知BD⊥SO，同理可证AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系，设SO＝x，则OA＝4a2－x2，OB＝2a2－x2.∵OA⊥OB，AB＝2a，∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x＝a.∴OA＝3a，则A(3a,0,0)，C(－3a,0,0)，S(0,0，a)．∵SC⊥平面EBD，∴SC→是平面EBD的法向量．∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α， 则sin α＝|SC →·SA →||SC →|·|SA →|＝|－3a 2＋a 2|(3＋1)a 2·(3＋1)a 2＝12，即SA 与平面BED 所成的角为π6.图418．(本小题满分14分)(2012·山东高考)在如图4所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．【解】 (1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， 所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .(2)由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建打印版高中数学 立如图所示的空间直角坐标系．不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)．因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1,1)． 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55， 所以二面角F －BD －C 的余弦值为55.。

选修 2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题一、选择题（每个小题 5 分）1．设 a,b,c 表示三条直线，，表示两个平面，下列命题中不正确的是（）aa ba B．b在内b cA ．//c是 a在内的射影b // ca //C．b在内 c //bD．c不在内b a2．如图，P为正方体ABCD A1 B1C1 D1的中心，△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）D 1C1A 1B1PD CA B(1)(2)(3)(4)A ．（ 1）、（ 2）、（ 3）、（4）B ．（ 1）、（ 3）C．（ 1）、（ 4） D ．（ 2）、（ 4）3．给出下列命题：（1）三点确定一个平面；（2）在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；（ 3）若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则//；（4）若直线a、 b、 c 满足a b、 a c, 则b //c ．其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知长方体的表面积是24cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（）A ．14cm B．4cm C． 3 2cm D ． 2 3cm5．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间 t 变化的可能图象是（）正视图侧视图俯视图h h h hOtOtOt OtA ．B ．C ．D ．6．如图：在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1 D 1 的交点。

若 AB a ， AD b ，AA 1 c ，则下列向量中与BM 相等的向量是（）1 a 1b c1 a 1b cD1C1M( A)( B) A1B12 2221 a 1b cDC(C)( D ) 1a1b cAB222 27. 已知 A 、B 、C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外的一点，则下列条件中，能得到 M ∈平面 ABC 的充分条件是（ ）（A ）OM1OA1OB1OC ；（B ） OM 1OA1OB OC ；2 2 23 3 （C ） OMOA OB OC ； （D ） OM2OA OB OC8.直三棱住 A 1B 1 C 1— ABC ，∠ BCA= 90 ，点 D 1、 F 1 分别是 A 1B 1、A 1C 1 的中点， BC=CA=CC 1，则 BD 1 与 AF 1 所成角的余弦值是（）30（B ）1 （ C ）30 15（ A ）2（ D ）1010159．用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）．A ．平面六边形B ．菱形C ．梯形D ．直角三角形10．在底面为正方形的长方体上任意选择4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4 个顶点，①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．这些几何形体是（）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（每个小题5 分）11.设向量 a 与 b 的夹角为 ， a (3,3) ， 2b a ( 1,1) ，则 cos．12. 设 M 、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点， DE ⊥ AB 于 E(如图 )．现将△ ADE 沿 DE 折起，使二面角 A － DE － B 为 45°，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B ，则 M 、 N 的连线与 AE 所成角的大小等于 _________ ．13．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号．．．．DCMNAA BMDCNEB是． （填写命题所对应的序号即可）①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．14. 已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于.15. 平面内有两定点 A ， B ，且 |AB|=4 ，动点 P 满足 | PA PB |4 ，则点 P 的轨迹是.三、简答题16（本题满分 12 分）如图，在四棱锥S ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与 BD 的交点为 O ， E 为侧棱 SC 上一点． （Ⅰ）当 E 为侧棱 SC 的中点时，求证： SA ∥平面 BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC；17．（本小题满分 12 分）如图，已知四棱柱ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， A 1D ⊥底面ABCD ，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱AA 1=2。