北师大版必修5高中数学第三章《基本不等式》word教案1

3.1基本不等式[规范解答] 证明1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc(2分)精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

教学准备1. 教学目标不等式与绝对值不等式2. 教学重点/难点不等式与绝对值不等式3. 教学用具4. 标签教学过程命题点解绝对值不等式1．不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法．|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．方法1(分类讨论思想)：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集；方法2(函数与方程思想)：构造函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c，写出f(x)的分段解析式，作出图象，找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可．方法3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|x－a|＋|x－b|表示数轴上点P(x)到点A(a)，B(b)距离的和．关键是找出到A(a)，B(b)两点距离之和为c的点，“≤”取中间，“≥”取两边．注意：这里c≥|a－b|，若c<|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c的解集为∅，|x－a|＋|x－b|≥c的解集为R.2．绝对值不等式的性质(1)定理1：|a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，当且仅当ab≥0时等号成立；(2)定理2：如果a，b，c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立；(3)||a|－|b||≤|a＋b|.注意：含绝对值的三角不等式|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中，对于等号成立的条件应注意：|a＋b|＝|a|＋|b|中，ab≥0，而|a－b|＝|a|＋|b|中，ab≤0等．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得3(2)＜x＜1；当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.所以f(x)＞1的解集为＜x＜2(2).(2)由题设可得f(x)＝－x＋1＋2a，x＞a.(3x＋1－2a，－1≤x≤a，)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，0(2a－1)，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为3(2)(a＋1)2.由题设得3(2)(a＋1)2＞6，故a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．1．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能平方．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．2．解含参数的绝对值不等式问题的两种方法：(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数问题来解决．(2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式子的最值或值域，然后再根据题目要求求解．课时规范训练1. (2016·衡水中学质检)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若EB(EC)＝3(1)，EA(ED)＝2(1)，求AB(DC)的值；(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，第十四章不等式选讲∴∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△EBA，∴EB(ED)＝EA(EC)＝AB(DC)，∴EB(ED)·EA(EC)＝AB(DC)2，即2(1)×3(1)＝AB(DC)2，∴AB(DC)＝6(6).(2)证明：∵EF2＝FA·FB，∴FA(EF)＝FE(FB)，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠FBE，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.2. 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知FA(BC)＝EA(DC)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，得CE＝DC.又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为2(1).3．(2016·河南商丘二模)已知直线l经过点P，1(1)，倾斜角α＝6(π)，圆C 的极坐标方程为ρ＝·cos4(π).(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．解：(1)直线l的参数方程为.(π)(t为参数)即t.(1)(t为参数)．由ρ＝cos4(π)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得x2＋y2＝x＋y，即圆C的直角坐标方程为2(1)2＋2(1)2＝2(1).(2)把t.(1)代入2(1)2＋2(1)2＝2(1)，得t2＋2(1)t－4(1)＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2＝－4(1)，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝4(1).4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈2(π).(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为y＝sin t(x＝1＋cos t，)(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝3(π).故D的直角坐标为3(π)，即3().5．(2015·高考陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2＜ x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解：(1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a，则b－a＝4，(－b－a＝2，)解得b＝1.(a＝－3，)(2)＋＝＋≤＝2 ＝4，当且仅当3(4－t)＝1(t)，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.6.(2016·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，a∈R.(1)当a＝3时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)＝|x－1＋a|，求x的取值范围．解：(1)当a＝3时，f(x)＝|2x－1|＋|x－3|＝，(1)其图象如图所示，与直线y＝4相交于点A(0,4)和B(2,4)，∴不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤2}．(2)∵f(x)＝|2x－1|＋|x－a|≥|(2x－1)－(x－a)|＝|x－1＋a|，∴f(x)＝|x－1＋a|⇔(2x－1)(x－a)≤0，①当a<2(1)时，x的取值范围是2(1)；②当a＝2(1)时，x的取值范围是2(1)；③当a>2(1)时，x的取值范围是≤x≤a(1).。

课题: §3.1基本不等式第1课时授课类型：新授课【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】2a b +≤的证明过程； 【教学难点】2a b +≤等号成立条件 【教学过程】1.课题导入2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +2）2a b +≤用分析法证明：要证 2a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。

3.1 基本不等式（第一课时）一、教学目标1.知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算术平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2.过程与方法目标：启动观察、分析、归纳、总结等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3.情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

二、教学重点和难点重点：理解基本不等式，探索基本不等式的证明过程，并用不等式解决简单的最值问题． 难点：由重要不等式特殊化得到基本不等式，并理解证明基本不等式．三、教学过程：1．情景引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。

探究：这张“弦图”中的面积相等关系和不等关系？4个直角三角形的面积之和ab S 21=，正方形的面积222b a S +=．由图可知12S S >，即ab b a 222>+．特别地，当a>0,b>0时，在不等式abb a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．带着问题进入课堂。

2．新课探究问题1：不等式成立的条件（推广到一切实数）形的角度 数的角度重要不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）设计意图：利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。

不等式教学目的：1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法； 2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值； 3．掌握含绝对值的不等式的性质；4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质 授课类型：复习课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、讲解范例：例1 解关于x 的不等式ax x alog log<解：原不等式等价于x x a alog 1log<即 0log )1)(log 1(log <-+x x x a a a∴1log 01log <<-<x x a a 或若a>1 ，a x a x <<<<110或若0<a<1 ，11<<>x a a x 或例2 解关于x 的不等式)22(223xx x x m --<- 解：原不等式可化为02)1(24<+⋅+-m m x x ，即0)2)(12(22<--m x x 当m>1时， m x<<221 ∴m x 2log 210<<当m=1时，0)12(22<-x ∴x ∈φ当0<m<1时， 122<<xm ∴0log 212<<x m当m ≤0时， x<0例3 解关于x 的不等式34422+>+-m m mx x 解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-<m 时， x ∈R例4 解关于x 的不等式)20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x解：当1cot >θ即θ∈(0,4π)时， 0232<-+-x x ∴x>2或x<1当1cot =θ即θ=4π时， x ∈φ当)1,0(cot ∈θ即θ∈(4π,2π)时， 0232>-+-x x ∴1<x<2例5 满足13-≥-x x 的x 的集合为A ；满足0)1(2≤++-a x a x 的x 的集合为B1︒ 若A ⊂B 求a 的取值范围；2︒ 若A ⊇B 求a 的取值范围；3︒ 若A ∩B 为仅含一个元素的集合，求a 的值 解：A=[1,2] ， B={x|(x-a)(x-1)≤0}当a ≤1时， B=[a,1] 当a>1时 B=[1,a] 当a>2时， A ⊂B 当1≤a ≤2时， A ⊇B当a ≤1时， A ∩B 仅含一个元素 例6 方程)0,10(,021cos 21sin 2π≤≤<<=-++x a a x x a 有相异两实根，求a 的取值范围解：原不等式可化为01cos cos 22=--x x a令 x t cos = 则]1,1[-∈t ，设12)(2--=t at t f 又∵a>0 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⇒-<>≥≥->⇒<<-≥-=≥=->+=∆1414110811411022)1(02)1(081a a a a a a a a f a f a 或二、小结 ： 三、课后作业：1．01log )1(log 21221<++-x a a x⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈±=<<-<<<<<<<->φx a x a a a x a a aa a a 时时或当时或当1,)21()21(110)21()21(011112．}13|{-≥-=x x x A ，}0,|1||{>>-=a a x x B 若φ=⋂B A ，求a 的取值范围 (a ≥1)3．)0(,322>+>-a a x x a)02(<<-x a4．)0(,21log >>+a x a x x a )01,10(2222--<<>><<<<a x a x a a x aa 或时当时当5．当a 在什么范围内方程：01log 41)4(log 2222=-+--a x a x 有两个不同的负根⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃)24,4()41,0(6．若方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都对于2，求实数m 的范围 (]()4,5-四、板书设计（略）五、备用习题： 1选择题(1)不等式6x2+5x<4的解集为（ B ）A (-∞,-34)∪(21,+∞)B (- 34,21)C (- 21,43)D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a>0,b>0,不等式a>x 1>-b 的解集为（ C ） A-b 1 <x<0或0<x<a 1 B- a 1<x<b 1 Cx<-b 1或x>a 1 D- a 1<x<0或0<x<b 1 (3)不等式11+x (x-1)(x-2)2(x-3)<0的解集是（ B ）A (-1,1)∪(2,3)B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3) DR(4)若a>0,且不等式ax2+bx+c<0无解,则左边的二次三项式的判别式（C ） A Δ<0 B Δ=0 C Δ≤0 D Δ>0(5)A={x|x2+(p+2)x+1=0,x ∈R},且R*∩A=∅,则有（ B ） Ap>-2Bp ≥0 C-4<p<0 Dp>-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ D ）Am<-5或m>3 B3<m<9 Cm=0或m=8 Dm=8(7)已知不等式loga(x2-x-2)>loga(-x2+2x+3)在x=49时成立,则不等式的解集为（ B ）A{x|1<x<2} B{x|2<x<25} C{x|1<x<25} D{x|2<x<5} (8)设0<b<21,下列不等式恒成立的是（ C ）Ab3>b21Blogb(1-b)>1 Ccos(1+b)>cos(1-b) D (1-b)n<bn,n ∈N(9)若不等式x2-logax<0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ A ）A 161≤a<1 B 161<a<1 C0<a ≤161 D0<a<161(10)不等式112+<-x x 的解集是（ A ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D ［-1,1］(11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ D ）A ∅B (1,2)C (2,+∞)D (1,+∞)(12)不等式(x-1)2+x ≥0的解集是（ B ）A{x|x>1} B{x|x ≥1或x=-2} C{x|x ≥1} D{x|x ≥-2且x ≠1}(13)函数f(x)=822--x x 的定义域为A,函数g(x)=a x --11的定义域为B,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ D ）A{a|-1<a<3} B{a|-2<a<4} C{a-2≤a ≤4} D{a|-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x+a(a>0)的解集为（ B ）A (0,a)B (0,a ］C (0,+∞)∪(-∞,-54a) D ∅2填空题(1)不等式1≤|x-2|≤7的解集是 答案:［-5,1］∪［3,9］(2)不等式x 1>a 的解集是 a=0时x>0;a>0时,0<x<a 1;a<0时,x<a 1或x>0(3)不等式lg|x-4|<-1的解集是 答案:{x|4<x<1041或1039<x<4} (4)不等式x b c -<a(a>0,b>0,c>0)的解集是 答案:{x|x<b 或x>b-a c}(5)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x<5,则a= 答案:4(6)不等式1lg -x <3-lgx 的解集是 答案:10≤x<100 (7)函数f(x)=log2(x2-4),g(x)=2kx 2-(k<-1),则f(x)g(x)的定义域为 答案:［2k-2)∪(2,+∞) 3解下列不等式(1)(x+4)(x+5)2>(3x-2)(x+5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3解:(1)当x ≠-5时,(x+5)2>0,两边同除以(x+5)2得x+4>3x-2,即x<3且x ≠-5∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x-1)(x-3)(x+1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x<-1,当x=4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x|1≤x ≤3或x<-1或x=4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞)4设不等式(2x-1)>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解:①若x2-1=0,即x=±1,且2x-1>0,即x>21时,此时x=1,原不等式对|m|≤2恒成立;②若x2-1>0,要使1122--x x >m,对|m|≤2恒成立,只要1122--x x >2,即⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x<231+③若x2-1<0时,要使1122--x x <m,对|m|≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x<1综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x<231+。

基本不等式（1）教学目标(a)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(b)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

基本不等式的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(c)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力（2）教学重点、难点教学重点：基本不等式的证明和几何解释教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵（3）学法与教学用具先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。

从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。

定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案投影仪（多媒体教室）（4）教学设想1、设置情境(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x 、y ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：y x 22+，y x 22+提问2：那4个直角三角形的面积和呢？生答：2xy提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，y x 22+≥2xy 。

什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x=y 时，正方形EFGH 变成一个点，这时有y x 22+=2xy2、新课讲授（1）一般地，对于任意实数 x 、y ，我们有xy y x 222≥+，当且仅当x=y 时，等号成立。

§3基本不等式教学目标：1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式2a b ab +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。

教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。

教学难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最值的前提条件。

教学过程：一、创设情景，引入新课(投影出图)(1) (2) (3)（一)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab(当且仅当a=b 时取等号)（1)几何证明：如图（1）根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，y x 22+≥2xy 。

什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x=y 时，正方形EFGH 变成一个点，这时有y x 22+=2xy（2）代数证明：y x 22+-xy 2=)(2y x -, 当y x ≠时)(2y x ->0 ,当x=y 时，等号成立。

所以 xy y x 222≥+二、讲授新课重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a1.a b 去替换222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条件？ ab 2a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。

2.推理证明：作差法说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.3）“当且仅当”的含义：当b a =时，等号成立，其含义是：如果b a =那么ab b a =+2仅当b a =时，等号成立，其含义是：如果ab b a =+2那么b a =综合起来：其含义是：b a =等价于ab b a =+2 4）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项问：a ，b ∈R －？3.(1)探究:(课本P88)如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。

3.1 基本不等式阅读教材P 88～P 89阅读材料以上部分，完成下列问题． (1)基本不等式如果a ，b a ＝b 时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．(2)基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (3)意义①几何意义：半径不小于半弦．②数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 思考：(1)不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )成立吗？如何证明？[提示] 成立，证明如下：由a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，知a 2＋b 2≥2ab ． (2)设x ＞0，y ＞0，比较1x ＋1y和2xy的大小．[提示] 在不等式a ＋b ≥2ab 中令a ＝1x ，b ＝1y 可得1x ＋1y≥2xy.2．基本不等式的证明一般地，对于任意实数a ，b ，我们有a 2＋b 2≥2ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．特别地，如果a >0，b >0，我们用a ，b 分别代替a ，b 可得a ＋b ≥2ab ， 通常我们把上式写作ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)．下面我们来证明一下：要证a ＋b2≥ab ， ① 只要证 a ＋b ≥2ab ， ② 要证②只要证a ＋b －2ab ≥0， ③ 要证③只要证(a －b )2≥0，④显然④成立，当且仅当a ＝b 时④中的等号成立．1．给出下列条件：①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b≥2，故只须a 、b 同号即可，∴①③④均可以．] 2．不等式x ＋4≥4x (x ＞0)中等号成立的条件是________．x ＝4 [由a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)中等号成立的条件是a ＝b 知x ＝4.]3．比较大小：x 2＋32________3x .≥ [在不等式a 2＋b 22≥ab 中令a ＝x ，b ＝3，可得x 2＋32≥3x ，当x ＝3时等号成立．]4．设常数a >0，若9x ＋a 2x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ [由题意知，当x >0时，ƒ(x )＝9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a ≥a ＋1⇒a ≥15.]利用基本不等式比较大小【例1】 已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中哪一个最大？ [解] 因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ，所以四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2.又因为0<a <1,0<b <1，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， 所以a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大． (1)在使用基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)时，要注意不等式的双向性．①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；②从右到左：常使用a ＋b ≥2ab .(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法， 但要使特殊值具有一般性． 1．设a >0，b >0，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小，并说明理由． [解] 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b≥2ab；即ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时取等号)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24 ＝a 2＋b 22，所以a ＋b2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 而ab ≤a ＋b2，故a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时等号成立)．用基本不等式证明不等式【例2】 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋x y≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. [证明] (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y ＞0，y x＞0， ∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0，x 3＋y 3≥2x 3y 3＞0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立． 利用基本不等式证明不等式的注意点(1)在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立．(2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式．2．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．[证明] (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )≥ 2bc ·2ac ·2ab ＝8abc ． 当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立．基本不等式a ＋b2≥ab的几何解释[1．如何用a ，b 表示PQ 、OP 的长度？[提示] 由射影定理可知PQ ＝ab ，而OP ＝12AB ＝a ＋b2.2．通过OP 与PQ 的大小关系，你能得出怎样的不等式？ [提示] 半径OP ＝a ＋b2，显然，它大于或等于PQ ，即a ＋b2≥ab ，其中当且仅当点Q与圆心O 重合．如图所示，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直AB 于Q ，连结AP ，PB ．你能利用这个图形得出基本不等式a ＋b2≥ab 的几何解释吗？【例3】 已知a ，b ，c ＞0，求证：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca . 思路探究：利用基本不等式及不等式的性质证明． [证明] ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ， a ＋c ≥2ac ，∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ac )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 1．(变结论)例3的条件不变，求证：(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ．[证明] 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，a ＋c ≥2ac ＞0，所以(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ×2bc ×2ac ＝8abc ，即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．2．(变条件)例3的条件中添加“1a ＋1b ＋1c＝1”，试比较a ＋b ＋c 与9的大小关系．[解] 因为1a ＋1b ＋1c＝1，所以a ＋b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c )＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ≥3＋2b a ×ab ＋2c a ×a c ＋2c b ×bc＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 即a ＋b ＋c ≥9.利用基本不等式证明不等式的技巧(1)证明不等式时要对其进行合理的拆分，如例3中把a ＋b ＋c 拆分为a ＋b ，b ＋c 和c ＋a ，以便应用基本不等式得出不等关系．(2)证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、可乘性等． 1．在利用基本不等式时要注意等号成立的条件，特别是连续应用基本不等式时要注意各不等式等号成立的条件是否一致．2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理拆分或适当恒等变形，以便于利用基本不等式．3．由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b ∈R ＋)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab .( )(2)不等式a 2＋b 2≥2ab 中等号成立的条件是a ＝b ．( ) (3)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab 成立的条件是a ＞0，b ＞0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)×[提示] (1)错误，当a ＞0，b ＞0时，不等式才能成立；(2)正确；(3)错误，由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2＋2ab 4－ab＝a 2＋b 2－2ab 4＝14(a －b )2≥0可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab 对任意的a ，b ∈R 都成立． 2．若xy ＝3，则( ) A ．x 2＋y 2≥6 B ．x 2＋y 2≤6 C ．x 2＋y 2≥3D ．x 2＋y 2≤3A [由x 2＋y 2≥2xy 得x 2＋y 2≥6.]3．若a ∈R 时，下列不等式成立的是________． ①a 2＋14≥a ；②a (1－a )≤14；③1a ＋a ≥2；④a 2＋1a2≥2.①②④ [由基本不等式知，①④正确，②显然正确，③只有当a ＞0时才成立．] 4．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，且ab ＋bc ＋ac ＝1，求证a 2＋b 2＋c 2≥1. [证明] a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ， 相加可得(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ． 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1. 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．。

3．1 基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直AB 于Q ，连接AP ，PB .如何用a ，b 表示PO ，PQ 的长度？梳理 如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2称为a ，b 的________平均数，ab 称为a ，b 的________平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点二 基本不等式及其常见推论 思考 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)?梳理ab ≤a ＋b 2(a >0，b >0)．当对正数a ，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．类型一 常见推论的证明 引申探究 证明不等式(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是a ，b ∈R ，与基本不等式不同． (2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .类型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.反思与感悟 在(1)的证明中把y x ，x y分别看作基本不等式中的a ，b 从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 类型三 用基本不等式比大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，a ，b ，x 均大于零，则( ) A ．x ＝a ＋b2 B ．x ≤a ＋b2 C ．x ＞a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2反思与感悟 基本不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．52．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >a D ．b >a >a ＋b2>ab3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 4．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________．(填序号)1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．答案精析问题导学 知识点一思考 PO ＝AB 2＝a ＋b 2.易证Rt△APQ ∽Rt△PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ，即PQ ＝ab ，显然，a ＋b 2≥ab .梳理 算术 几何 知识点二思考 ∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 题型探究例1 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab . 引申探究证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ， 两边同除以4，即得(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．跟踪训练1 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 例2 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴xy >0，y x>0， ∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．跟踪训练2 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．例3 B [第二年的产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )， 第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )． 若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2.依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋a ＋＋b 22， ∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b2.]跟踪训练3 B [∵a ＞b ＞1， ∴lg a ＞lg b ＞0， ∴lg a ＋lg b2＞lg a ·lg b ， 即Q ＞P .① 又a ＋b2＞ab ，∴lga ＋b2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )， 即R ＞Q .②综合①②，有P ＜Q ＜R .] 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.①②③。

3.1 基本不等式教学目标：一、知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学重点1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.教学难点1.对基本不等式从不同角度的探索证明；2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.教学准备：多媒体及课件教学过程：导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）生应该先从此图案中抽象出几何图形.师此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）师同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来） ［过程引导］师 设直角三角形的两直角边的长分别为a 、b ，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.师 一定吗？（大家齐声：不一定，有可能相等）师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？生 每个直角三角形的面积为ab 21，四个直角三角形的面积之和为2ab .正方形的边长为22b a ，所以正方形的面积为a 2+b 2，则a 2+b 2≥2ab .师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a 2+b 2≥2ab 证明了吗？生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.师 回答得很好.（有的同学感到迷惑不解）师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a 2+b 2≥2ab .生 采用作差的方法，由a 2+b 2-2ab =(a -b )2，∵(a -b )2是一个完全平方数，它是非负数，即(a -b )2≥0，所以可得a 2+b 2≥2ab .师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生 正确.［教师精讲］师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.师这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）生作商，用商和“1”比较大小.师对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）［合作探究］师请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.生当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）师从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.生当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.师这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.（大家齐声）一致.（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）［过程引导］师这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b. 生完全可以.师为什么？生 因为不等式中的a 、b ∈R.师 很好，我们来看一下代替后的结果. 板书： ab b a ≥+2即2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0). 师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2b a +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？ （此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：ab b a ≥+2，① 只要证a +b ≥2ab ，②要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，③要证③，只要证：,0)(2≥-b a ④显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式. （此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度） ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，A C=a ,B C=b .过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结A D 、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）［合作探究］师 同学们能找出图中与a 、b 有关的线段吗？生 可证△A CD ∽△B CD,所以可得ab CD =. 生 由射影定理也可得ab CD =.师 这两位同学回答得都很好，那ab 与2b a +分别又有什么几何意义呢？ 生ab 表示半弦长，2b a +表示半径长. 师 半径和半弦又有什么关系呢？生 由半径大于半弦可得ab b a ≥+2. 师 这位同学回答得是否很严密？生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0). 课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab .生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式. 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用. 布置作业活动与探究：已知a 、b 都是正数，试探索b a 112+,ab ,2b a +,222b a +的大小关系，并证明你的结论.分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.（方法二）创设几何直观情景.设A C=a ,B C=b ，用a 、b 表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.。

基本不等式教学设计（第一课时）教材分析与学情分析本节是北师大版高中数学必修5中第三章第3节基本不等式（第一课时）的内容。

它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用、研究最值问题是基本不等式必不可少的，在知识体系中它起到承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以应重点研究。

基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

教学目标1、知识与能力了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，初步掌握基本不等式的简单应用。

2、过程与方法通过引导能从“赵爽弦图”中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解，经历基本不等式几何解释的探究过程体会数形结合思想的直观性和重要性，进一步树立数形结合的意识。

3、情感、态度与价值观培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，激活学生的思维，培养学生的探索精神，提高其探究能力。

教学重点、难点重点：经历基本不等式几何解释的探究过程体会数形结合思想的直观性和重要性，初步掌握用基本不等式解决简单的问题。

难点：理解基本不等式的几何意义教学设计思路：（1）教法指导：本节课是通过7个教学环节，强调教学过程，在教师的引导下启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，理解其几何背景。

课堂教学以学生为主体、基本不等式为主线、数形结合为主导，在学生原有的认知基础上充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

（2）学法指导：定理的证明要留给学生充分的思考空间，引导学生自主探索，小组讨论与集体交流相结合，通过类比得到答案，体会合作学习的必要性和高效性。

通过对基本不等式几何解释的探究提高学生观察与交流，分析与解决问题的能力，渗透数学思想、培养合作意识。

3.3.12a b +≤ 授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】2a b +≤的证明过程； 【教学难点】2a b +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入2a b +≤的几何背景：(课本105页阅读材料) 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为x 、y 。

这样，4个直角三角形的面积的和是2xy ，正方形的面积为22x y +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222x y xy +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即x=y 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222x y xy +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈y x xy y x y x3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2y x xy y x -=-+当22,()0,,()0,x y x y y x y ≠->=-=时当x 时所以，0)(2≥-y x ，即 ：.222xy y x ≥+4．1） 2a b +≤x 、y ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +≤2）2a b +≤ 用分析法证明：要证 2a b +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2)要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。

《3.1 基本不等式》 本节主要目标是使学生了解基本不等式的代数、几何背景。

本节一开始，首先从代数角度导出基本不等式，然后利用几何背景素材加以阐释，给出了基本不等式的几何解释，并进一步探究交流了基本不等式的其他解释。

整小节的中心在于学生的探究，淡化不等式的证明，加强基本不等式与几何、日常生活的联系，特别是注重了基本不等式的几何背景。

由于前面已经学习了不等式的概念、性质，不等式的解法，根据学生的认知规律及特点，大部分学生都积累了一定的成功经验，积累了一定的学习兴趣及信心，因此教学时教师可放手大胆地让学生进行合作探究。

【知识与能力目标】通过本节探究，使学生学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。

【过程与方法目标】通过对基本不等式的不同解释，渗透“转化”的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识。

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【情感态度价值观目标】通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯。

【教学重点】 用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab b a ≥+2的多种解释。

【教学难点】发现并对基本不等式给出几何解释。

◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教材分析◆教学目标电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分 1.勾股定理的背景及推导赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。

2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？引导学生从面积关系得到不等式：222a b ab +≥,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH 缩为一个点时，有22=2a b ab +（2）总结结论：一般的，如()22,,2=a b R a b ab a b ∈+≥=那么当且仅当时“”成立（3）推理证明：作差法。