高考专题23填空题解题方法(教学案)高考理数二轮复习精品资料含答案

填空题的解法【题型特色概括】1．填空题的特色填空题是不要求写出计算或推理过程，只要要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的差别：第一，填空题没有备选项，所以，解答时有不受诱误扰乱之利处，但也出缺少提示之不足；第二，填空题的结构常常是在一个正确的命题或断言中，抽出此中的一些内容(既能够是条件，也能够是结论)，留下空位，让考生独立填上，考察方法比较灵巧．从历年高考成绩看，填空题得分率向来不是很高，因为填空题的结果一定是数值正确、形式规范、表达式最简，稍出缺点，即是零分．所以，解填空题要求在“快速、正确”上下功夫，由于填空题不需要写出详细的推理、计算过程，所以要想“快速”解答填空题，则千万不行“小题大做”，而要达到“正确”，则一定合理灵巧地运用适合的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基根源则解填空题的基根源则是“小题不可以大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法：直接法、特例法、数形联合法、结构法、归纳推理法等．方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法例等知识，经过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要擅长透过现象看本质，自觉地、存心识地采纳灵巧、简捷的解法．例 1已知椭圆 C：x2＋y2＝ 1 的左，右焦点分别为F1， F2，椭圆 C 上点 A 知足 AF2⊥ F1F2 .若43→ →)点 P 是椭圆 C 上的动点，则 F1P·F2A的最大值为 (分析由椭圆方程知 c＝4－ 3＝1，所以 F1 (－1,0)，F2(1,0)，因为椭圆 C 上点 A 知足 AF2⊥ F 1F2，则可设 A(1， y0)，代入椭圆方程可得y02＝9，所43以 y0＝±2.设 P(x1， y1)，→→→ →则 F 1P＝ (x1＋1， y1)，F 2A＝ (0，y0)，所以 F 1P·F2A＝ y1y0，因为点 P 是椭圆 C 上的动点，所以－ 3≤y1≤→ → 3 3. 3， F1P·F2A的最大值为2答案33 2思想升华直接法是解决心算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要依据题目的要求灵巧办理，多角度思虑问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵巧应用，将计算过程简化进而获得结果，这是快速正确地求解填空题的重点．已知复数 z＝ a＋ (a－ 1)i(a∈R，i 为虚数单位 )为实数，则复数zi 在复平面上所对应的点的坐标为 ________．答案(0,1)分析因为复数 z＝a＋ (a－ 1)i( a∈R，i 为虚数单位 )为实数，所以 a－1＝ 0，解得 a＝1.所以复数 z＝ 1，所以 zi ＝i.所以复数 zi在复平面上所对应的点的坐标为 (0,1)．方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确立的量，但填空题的结论独一或题设条件中供给的信息暗示答案是一个定值时，能够将题中变化的不定量选用一些切合条件的适合特别值(或特别函数，或特别角，特别数列，图形特别地点，特别点，特别方程，特别模型等)进行办理，进而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例 2以下图，在平行四边形ABCD中， AP⊥ BD，垂足为 P，且→ →AP＝ 3，则 AP ·AC＝ ________.分析方法一→ →→→→→→ →→∵ AP·AC＝ AP·(AB ＋BC) ＝ AP·AB＋ AP·BC→ →→→→→ →→ →＝ AP·AB＋AP ·(BD ＋ DC )＝ AP·BD ＋2AP·AB，→ →∵ AP⊥ BD ，∴AP·BD ＝ 0.→ →→ →→ 2又∵ AP·AB＝ |AP||AB|cos∠ BAP＝ |AP|，→ →→ 2∴ AP·AC＝2|AP| ＝ 2×9＝ 18.方法二把平行四边形 ABCD 当作正方形，则 P 点为对角线的交点，→ →AC＝ 6，则 AP·AC＝ 18.答案18思想升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特别值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或许有多种答案的填空题，则不可以使用该种方法求解．此题中的方法二把平行四边形看作正方形，进而减少了计算量．→→ →→ →(1) 如图，在△ ABC 中，AD ⊥ AB，BC＝ 3 BD，|AD|＝ 1，则 AC·AD＝________.(2)cos2α＋ cos2(α＋120 °)＋ cos2( α＋ 240 °)的值为 ________________ ．3答案(1) 3(2)→分析(1) 不如取 |BD |＝ 2，→π则 |BC|＝ 23，∠ ADB＝，3→ →→ → →→→ →→∴ AC·AD＝ (BC－ BA ) ·AD＝ BC·AD － BA·ADπ＝ 2 3×1×cos ＋0＝ 3.3(2) 令α＝0°，则原式＝2223 cos 0°＋ cos 120 °＋ cos 240 °＝ 2.方法三数形联合法 (图解法 )对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则常常能够借助图形的直观性，快速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例 3已知函数f(x)＝ x|x－ 2|，则不等式f(2－ x) ≤f(1)的解集为 ________．分析函数 y＝ f(x)的图象如图，由不等式f( 2－ x)≤f(1) 知， 2－x≤ 2＋ 1，进而获得不等式f(2－ x)≤f(1) 的解集为 [－ 1，＋∞)．答案[－1，＋∞)思想升华图解法本质上就是数形联合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并联合所学知识即可直接获得相应的结论，这也是高考命题的热门．正确运用此类方法的重点是正确掌握各样式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的有关结论求出结果．x≥0，(2013 ·北京 )设 D 为不等式组 2x－ y≤0，表示的平面地区．地区 D 上的点与点 (1,0)x＋ y－3≤0之间的距离的最小值为 ________．答案255分析作不等式组表示的平面地区，以下图 (△OAB 及其内部 )，易察看知，所求最小值为点 P(1,0)到 2x－ y＝0|2 ×1－ 0|＝2 5 .的距离 d＝22＋－25方法四结构法结构型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特别性结构出新的数学模型，进而简化推理与计算过程，使较复杂的数学识题获得简捷的解决，它根源于对基础知识和基本方法的累积，需要从一般的方法原理中进行提炼归纳，踊跃联想，横向类比，从以前碰到过的近似问题中找寻灵感，结构出相应的函数、概率、几何等详细的数学模型，使问题快速解决．例 4 (1)如图，已知球O 的球面上有四点 A ， B ，C ， D ， DA ⊥平面 ABC ，AB ⊥BC ， DA ＝ AB＝ BC ＝ 2，则球 O 的体积等于 ________．e 4 ， e 5， e 6(2) 16 25 36(此中 e 为自然对数的底数 )的大小关系是 ________． 分析 (1) 如图，以 DA ，AB ，BC 为棱长结构正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以 |CD|＝2 2＋2 2＋2 2＝ 2R ，所以 R ＝6，故球 O 的体积V ＝4πR 323＝ 6π.e 4 e 4 e 5 e 5 e 6 e 6e xe 4，f(5)＝ e 5，f(6)＝ e 6(2) 因为 16 ＝ 42，25 ＝ 52， 36 ＝ 62，故可结构函数 f(x)＝ x 2，于是 f(4) ＝ 16 25 36.e x e x ·x 2－ e x ·2x e x x 2－ 2x 而f ′(x)＝ ( x 2) ＝′ x 4＝x 4，令 f ′(x)>0 得 x<0 或 x>2，即函数 f(x)在 (2，＋ ∞)上单一递加，所以有f(4)< f(5)< f(6)，即e 4e 5 e 616<25<36.e 4 e 5 e 6答案(1) 6π (2)16<25<36思想升华 结构法本质上是化归与转变思想在解题中的应用，需要依据已知条件和所要解决的问题确立结构的方向，经过结构新的函数、不等式或数列等新的模型，进而转变为自己熟习的问题．第 (1)题奇妙地结构出正方体，而球的直径恰巧为正方体的体对角线，问题很简单获得解决．1 －1 ， b ＝ ln1 － 1， c ＝ ln1 －1，则 a ， b ，c(1)已知 a ＝ ln 2 013 2 0132 0142 014 2 015 2 015的大小关系为 ________．(2) 已知 a 、b 为不垂直的异面直线， α是一个平面，则 a 、b 在 α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上边的结论中，正确结论的序号是________( 写出全部正确结论的序号 )．答案 (1) a>b>c (2) ①②④分析(1) 令 f(x)＝ ln x － x ，则 f ′(x)＝ 1－ 1＝1－xxx.当 0<x<1 时， f ′(x)>0 ，即函数 f(x)在 (0,1)上是增函数．∵1>111， ∴ a>b>c. 2 013>2 014>2 015>0(2) 用正方体 ABCD — A 1B 1C 1 D 1 例 明 A 1 D 1 与 BC 1 在平面 ABCD 上的投影 相互平行， AB 1 与 BC 1 在平面ABCD上的投影相互垂直， BC 1 与DD 1 在平面ABCD上的投影是一条直 及其外一点．故①②④ 正确．方法五推理法做对于 推理的填空 的 候，一般是由 目的已知能够得出几个(或直接 出了几个)，而后依据 几个 能够 出一个更一般性的 ，再利用 个一般性的 来解决 ． 推理是从个 或特别 到一般性 的推演 程， 里能够勇敢地猜想．例 5察以下算式： 13 ＝1,23＝ 3＋ 5,33＝ 7＋ 9＋ 11,43＝ 13＋ 15＋ 17＋ 19，⋯ ，若某数 m 3按上述 律睁开后， 等式右 含有“2 015 ”个数，m ＝ ________.分析由 意可得第n 个算式的左 是 n 3，右 是n 个 奇数的和， 第 n 个算式的第一个数 a n ， 有 a 2－ a 1＝3－ 1＝ 2，a 3－ a 2＝ 7－ 3＝ 4，⋯，a n － a n － 1＝2(n － 1)，以上 n － 1 个式n －＋n －＝ 1 981，a 46＝ 2 071，子相加可得a n － a 1＝，故 a n ＝ n 2－ n ＋ 1，可得 a 452故可知 2 015 在 453 的睁开式中，故 m ＝45.答案 45思 升 推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的 中，一般在数列的推理中常波及．即通 前几个等式或不等式出 ，找出其 律，即找出一般的 与 数之 的关系，一般的有平方关系、立方关系、指数 化关系或两个相 的自然数或奇数相乘基本关系，需要 相 的数字的 律 行 察、 ，一般 等式或不等式中的 的 构保持一致．(1) 古希腊 达哥拉斯学派的数学家研究 各样多 形数，如三角形数 1,3,6,10，⋯，第 n 个三角形数nn ＋＝ 1n 2＋ 1n ， 第 n 个 k 形数 N(n ， k)( k ≥ 3)，以以下出了部分222k 形数中第 n 个数的表达式：三角形数1 21N(n,3)＝n＋ n ，22正方形数 N(n,4)＝ n 2，五 形数3 21N(n,5)＝n－ n ，22六 形数N(n,6)＝ 2n 2－ n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯能够推N(n ， k)的表达式，由此 算N(10,24)＝ ____________.(2) 用火柴棒 “金 ”，如 所示：依据上边的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ________．答案(1)1 000 (2)6n＋ 2分析22k－ 22＋4－ k(1) 由 N(n,4)＝ n ，N(n,6)＝ 2n － n，能够推断：当 k 为偶数时， N(n，k)＝n2n，2∴ N(10,24)＝24－2×100＋4－ 24×1022＝ 1 100－ 100＝ 1 000.(2) 察看题图①，共有 8 根火柴，此后挨次增添 6 根火柴，即组成首项为8，公差为6 的等差数列，所以，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋ 2.1．解填空题的一般方法是直接法，除此之外，对于带有一般性命题的填空题可采纳特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形联合法．解题时，经常需要几种方法综合使用，才能快速获得正确的结果．2．解填空题不要求求解过程，进而结论是判断能否正确的独一标准，所以解填空题时要注意以下几个方面：(1)要仔细审题，明确要求，思想谨慎、周祥，计算有据、正确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的查验及书写的规范性．。

方法3.2 填空题的解法填空题的特征：填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基本原则：解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．【方法要点展示】方法一直接法：直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最常用的策略．这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1函数，的定义域都是，直线（），与，的图象分别交于，两点，若的值是不等于的常数，则称曲线，为“平行曲线”，设（，），且，为区间的“平行曲线”，，在区间上的零点唯一，则的取值范围是．思路分析：本题是一道函数的新定义问题，函数与方程，可转化为导数与函数的单调性来解的参数，从而得到关于参数的不等式，解不等式可求出参数的取值范围.【答案】.唯一零点等价于函数与函数有唯一交点，，当时，，函数在区间上单调递增，所以函数与函数有唯一交点等价于，即，即的取值范围是.点评：本题考查新定义问题、函数与方程、导数与函数的单调性，以及学生综合运用知识的能力及运算能力，属难题；高考对函数零点的考查多以选择题或填空题形式出现，根据函数零点或方程的根所在区间求参数的范围应分三步：1.判断函数的单调性；2.利用函数存在性定理，得到参数所满足的不等式；3.解不等式求参数范围.例2【广西南宁市2018届期末】分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点（点在右支上），若为等边三角形，则双曲线的方程为__________．思路分析：本题是双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出的关系是解题的关键．【答案】【规律总结】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．【举一反三】1.在各项均为正数的等比数列中，有，则．【答案】4【解析】，又等比数列的各项均为正数，所以.2. 为的边上一点，，过点的直线分别交直线于，若，其中，则________．【答案】3【解析】因为，所以方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例3已知函数（）为奇函数，则 .思路分析：根据奇函数的特点，带入特殊值即可求出的值.【答案】【规律总结】求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的发现函数过一个定点是本题的运用特值法的前提条件，从而减少了计算量．【举一反三】1. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.【答案】【解析】把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Ven n 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例4若满足，则的最小值为 ．思路分析：本题是一道线性规划问题，作出图像，结合图像即可． 【答案】【规律总结】图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果． 【举一反三】1. 【湖南省郴州市一中2018届高三十二月月考】点分别是函数、图像上的点，若关于原点对称，则称是一对“关联点”.已知，，则函数、图像上的“关联点”有__________ 对．【答案】2方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例5 已知奇函数定义域为为其导函数,且满足以下条件①时,；②；③,则不等式的解集为 . 思路分析：本题是一道函数问题，由条件可构造函数，由函数的单调性即可求解．【答案】【解析】时，令，又为奇函数，所以为偶函数，因为，所以，，从而解集为点评：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等【举一反三】1. 【华大新高考联盟2018届1月】设函数为自然对数的底数），当时，恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例6图中是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们彩用“坐标”来表示图乙各行中的白圈黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为，第二行记为，第三行记为，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_________．思路分析：本题中如何求出第四行中白圈与黑圈的“坐标”是解题的一个关键，也是一个难点，观察所给条件不难发现运用特殊到一般的规律进行处理，进而求解．【答案】【规律总结】这类问题是近几年高考的热点．解决这类问题的关键是找准归纳对象．如本题把函数的前几个值一一列举出来．观察前面列出的函数值的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得问题．【举一反三】1.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数）.如：；；.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如，，……，按此规律，可表示为．【答案】【解析】因为，又由，解得．所以＝．从考试的角度来看，解填空题只要做对就行，不需要中间过程，正因为不需要中间过程，出错的概率大大增加.我们要避免在做题的过程中产生笔误，这种笔误很难纠错，故解填空题要注意以下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确.(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论.(3)要重视对所求结果的检验.(4)注意从不同的角度分析问题，从而比较用不同的方法解决题目的速度与准确度，从而快速切题，达到准确解题的目的.填空题的主要特征是题目小，跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了.。

专题23 填空题解题方法与技巧数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备．解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．(1)根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：①定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系；②定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质．(2)根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：①单空题：与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；②多空题：是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍．一、单空题解题方法一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例1、若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1. 【答案】1【变式探究】设a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________．【解析】a ＋b ＝(m ＋2)i ＋(m －4)j ，a －b ＝m i －(m ＋2)j .∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m(m ＋2)i 2＋[－(m ＋2)2＋m(m －4)]i ·j －(m ＋2)(m －4)j 2＝0，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得m(m ＋2)－(m ＋2)(m －4)＝0，∴m ＝－2.【答案】－2【变式探究】已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是__________． 【解析】a ＋b ＝(m ＋2)i ＋(m －4)j ，a －b ＝m i －(m ＋2)j .∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m(m ＋2)i 2＋[－(m ＋2)2＋m(m －4)]i ·j －(m ＋2)(m －4)j 2＝0，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得m(m ＋2)－(m ＋2)(m －4)＝0，∴m ＝－2.【答案】⎝⎛⎭⎫12，＋∞解题方法二、特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．例2、若函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，则f (2 018)＝________.【解析】取x ＝1，y ＝0时，有f (0)＝f (1)＋f (1)＝12，取x ＝1，y ＝1时，有14＝f (2)＋f (0)，f (2)＝－14.取x ＝n ，y ＝1，有f (n )＝f (n ＋1)＋f (n －1)，同理f (n ＋1)＝f (n ＋2)＋f (n )，联立得f (n ＋2)＝－f (n －1)，可得f (n ＋6)＝f (n )，所以f (x )是以6为周期的函数，故f (2 018)＝f (2)＝－14.【答案】－14【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos Acos C＝__________．【解析】特殊化：令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，cos A ＝35，cos C ＝0，从而所求值为35.【答案】35 【变式探究】过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则1p ＋1q＝________． 【解析】设k ＝ 0，因抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a 把直线方程y ＝14a 代入抛物线方程得x ＝±12a，∴|PF|＝|PQ|＝12a ，从而1p ＋1q＝4a. 【答案】4a解题方法三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果．例3、 如果不等式4x －x 2＞(a －1)x 的解集为A ，且A {x|0＜x ＜2}，那么实数a 的取值范围是________．【解析】根据不等式解集的几何意义，作函数y ＝4x －x 2和y ＝(a －1)x 的图象(如图)，从图上容易得出实数a 的取值范围是[2，＋∞)．【答案】[2，＋∞)【变式探究】已知实数x ，y 满足(x －3)2＋y 2＝3，则y x －1的最大值是__________． 【解析】y x －1可看作是过点P(x ，y)与M(1，0)的直线的斜率，其中点P 在圆(x －3)2＋y 2＝3上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率y x －1最大，最大值为tan θ＝ 3.【答案】3解题方法四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．例4、不等式x ＞ax ＋32的解集为(4，b)，则a ＝__________，b ＝__________． 【解析】设x ＝t ，则原不等式可转化为：at 2－t ＋32＜0，∴a ＞0，且2与b(b ＞4)是方程的两根，由此可得a ＝18，b ＝36.【答案】18 36【变式探究】不论k 为何实数，直线y ＝kx ＋1与曲线x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是__________．【解析】题设条件等价于点(0，1)在圆内或圆上，∴a 2＋1≤2a ＋4.∴－1≤a≤3.【答案】[－1，3]解题方法五、图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．例5、已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．【解析】如图，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，∵(a －c )·(b －c )＝0，∴点C 在以AB 为直径，AB 的中点为圆心的圆上，故|OC |的最大值为圆的直径，即|AB |的长为 2.【答案】2【感悟提升】图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．【变式探究】不等式⎝⎛⎭⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________．【解析】在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π)． 【答案】⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π) 解题方法六、构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．例6、如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【解析】如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.【答案】6π【感悟提升】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【变式探究】在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.【解析】由a n ＋1＝2a n ＋3，则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，即a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列，即a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.【答案】2n ＋1－3解题方法七、并列式此种类型多空题的特点是：根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目．例7、已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.【解析】∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1. 【答案】2 1【变式探究】双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．【解析】由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x . 【答案】23 y ＝±22x解题方法八、分列式此种类型多空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．例8、(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg x 2＋1，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 【解析】(1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,4 cm,2 cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,2 cm ，4 cm.几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)，体积为2×2×4×2＝32(cm 3)．(2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0.当x ≥1时，x ＋2x －3≥2 x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立， 此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.【答案】(1)72 32 (2)0 22－3【变式探究】函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是____________．【解析】∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解之可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)．【答案】π ⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)解题方法九、递进式此种类型多空题的特点是：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答．例9、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.【解析】∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.【答案】1 121【变式探究】以坐标原点O 为圆心，且与直线x ＋y ＋2＝0相切的圆方程是________，圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．【解析】由题意所求圆的半径等于原点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离，即r ＝21＋1＝2，则所求圆的方程为x 2＋y 2＝2；因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2＝(0,1)，r 2＝2，且r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相交．【答案】x 2＋y 2＝2 相交。

技巧02 填空题的答题技巧【命题规律】高考的填空题绝大部分属于中档题目，通常按照由易到难的顺序排列，每道题目一般是多个知识点的小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．（1）基本策略：填空题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，尤其是对选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．（2）常用方法：填空题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，“小”题解准．求解的方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，对选择题还有排除法（筛选法）等．【核心考点目录】核心考点一：特殊法速解填空题核心考点二：转化法巧解填空题核心考点三：数形结合巧解填空题核心考点四：换元法巧解填空题核心考点五：整体代换法巧解填空题核心考点六：坐标法巧解填空题核心考点七：赋值法巧解填空题核心考点八：正难则反法巧解填空题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．【答案】[12+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)A A A A A A A ⎛-- ⎝,8A ⎛ ⎝，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+．2．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e .．3．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．【答案】 8 2-【解析】含2x 的项为：()()3232222244C 12C 14128x x x x x x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-+=，故28a =；令0x =，即02a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，∴123452a a a a a ++++=-，故答案为：8；2-．4．（2022·全国·统考高考真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．1【解析】[方法一]：余弦定理设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-，当且仅当311mm +=+即1m 时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m .1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系.则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD -+-+∴===-≥-++++++++==当且仅当即时等号成立。

数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质等，通过变形、推理、运算等过程，直接得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．适用范围：对于计算型的试题，多通过计算求结果．[典例1] (1)(2015·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________． 解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b .又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4.答案：4(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 2|＝2|PF 1|，则C 的离心率为________．解析：因为PF 1⊥F 1F 2，|PF 2|＝2|PF 1|，所以|PF 1|＝b 2a ，|PF 2|＝2b 2a，由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即2a 2＝3(a 2－c 2)，化简得a ＝3c ，故离心率e ＝c a ＝33. 答案：33[方法点津] 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．[对点演练]1．(2015·兰州模拟)若函数f (x )＝2sin(π8x ＋π4)(－2<x <14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(＋)·＝________．解析：∵－2<x <14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6，0)，而A (6，0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(＋)·＝2·＝2||2＝2×36＝72.答案：722．(2015·长春模拟)若三棱锥P -ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直且长都相等，其外接球半径为2，则三棱锥的表面积为________．解析：由三棱锥的外接球半径为2，可知P A ＝433，从而三棱锥的表面积为8＋833. 答案：8＋833当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．适用范围：求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．[典例2] 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则·＝________．解析：由题意知，·的值不受位置的限制，所以分别设通径的两个端点为A 、B ，则A ⎝⎛⎭⎫12，1，B ⎝⎛⎭⎫12，－1，∴·＝12×12＋1×(－1)＝－34. 答案：－34[方法点津] 填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件．[对点演练]1．若函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝________． 解析：由题意，对任意的x ∈R ，有f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8－x ，取f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4得a ＝－1. 答案：－12．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________． 解析：取特殊数列a n ＝n 满足题意．∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1316. 答案：1316对于一些含有几何背景的填空题，若能以数辅形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，如Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线、函数的零点等．适用范围：图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算．[典例3] (1)(2015·安徽高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．解析：函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12. 答案：－12(2)设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f (x ＋k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在x >0时，f (x )＝|x －a |－2a ，若f (x )为R 上的“2 015型增函数”，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得，当x >0时，f (x )＝⎩⎨⎧x －3a （x ≥a ），－x －a （x <a ）.①当a ≥0时，函数f (x )的图象如图(1)所示，考虑极大值f (－a )＝2a ，令x －3a ＝2a ，得x ＝5a .所以只需满足5a －(－a )＝6a <2 015，即0≤a <2 0156. ②当a <0时，函数f (x )的图象如图(2)所示，且f (x )为增函数，因为x ＋2 015>x ，所以满足f (x ＋2 015)>f (x )．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，2 0156. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，2 0156 [方法点津] 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．[对点演练]1．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________． 解析：|a |＝|b |＝1， a ，b ＝60°.∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t ×1×1×12＋(1－t )×1＝t 2＋1－t ＝1－t 2. ∵b ·c ＝0，∴1－t 2＝0，∴t ＝2. 答案：22．(2015·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________．解析：作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9，3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案：1构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．[典例4] (1)如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，。

第二讲 填空题速解方法对应学生用书P143填空题是高考题中的客观性试题，不要求书写推理或演算的过程，只要求直接填写结果，具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．因而求解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等．由于填空题和选择题相比，缺少选项的信息，所以高考题多以定量型问题出现．(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等，近几年又出现了定性型的具有多重选择性的填空题．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．《考试大纲》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．的基本方法．它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．例1 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.答案 1解析方法一：设数列{a n}的公差为d，由S2＝a3得，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又a1＝12，所以d＝12，故a2＝a1＋d＝1.方法二：由S2＝a3，得a1＋a2＝a3.则a3－a1＝a2，①又a3＋a1＝2a2，②②－①，得a2＝2a1＝1.探究提高直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.本题方法二巧妙利用等差中项，不需要计算公差，直接可求得结果，简化了运算.变式训练1[2015·西安八校联考]已知i是虚数单位，则i20151＋i＝________.答案－1－i2解析i20151＋i＝－i1＋i＝－i(1－i)2＝－1－i2.或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝______. 答案 18解析 方法一：∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC→＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB→， ∵AP ⊥BD ，∴AP →·BD→＝0. 又∵AP →·AB→＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2， ∴AP →·AC→＝2|AP →|2＝2×9＝18. 方法二：把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC→＝18. 探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.本题中的方法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量.变式训练2 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB→＝________. 答案 －34解析 方法一：如图，可取过焦点的直线为x ＝12，求出交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，所以OA →·OB →＝12×12＋1×(－1)＝－34. 方法二：设点A (x A ，y A )，点B (x B ，y B )，由题意，知p ＝1.则OA →·OB →＝(x A ，y A )·(x B ，y B )＝x A x B ＋y A y B ＝p 24－p 2＝－34p 2＝－34.符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．例3 定义在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．答案 23解析 如题图所示，线段P 1P 2的长即为sin xP 1的值，且其中的xP 1满足6cos x ＝5tan x ，解得sin x ＝23，即线段P 1P 2的长为23. 探究提高 进行图象分析的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.对于本题，若考虑通过求出点P 1，P 2的纵坐标来求线段长度，容易忽视线段长度的意义，忽略数形结合，导致思路受阻.变式训练3 设方程1x ＋1＝|lg x |的两个根为x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围________．答案 (0,1)解析 分别作出函数y ＝1x ＋1和y ＝|lg x |的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2，则|lg x 1|>|lg x 2|，∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1.模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．例4 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．答案 6π解析 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积 V＝4πR 33＝6π.。

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备．解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．方法一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例1设a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________．【变式探究】已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是__________．方法二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果．例2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos Acos C＝__________． 【变式探究】过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则1p ＋1q ＝________．方法三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果．例3、 如果不等式 4x －x 2＞(a －1)x 的解集为A ，且A {x|0＜x ＜2}，那么实数a 的取值范围是________． 【变式探究】已知实数x ，y 满足(x －3)2＋y 2＝3，则y x －1的最大值是__________．方法四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．例4、不等式x ＞ax ＋32的解集为(4，b)，则a ＝__________，b ＝__________．【变式探究】不论k 为何实数，直线y ＝kx ＋1与曲线x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是__________．【小结反思】1．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行正确的计算或者合乎逻辑的推演和判断．2．求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．。

2021年高三数学第二轮专题复习专题二填空题的解法教案【专题目标】：填空题和选择题都属于客观性试题，具有共同命题的特点，评分客观、公正、准确等。

但是基于填空题的特点：与选择题相比，没有备选项。

因此，解答时既有不受诱误的干扰，又有缺乏提示的帮助，对考查学生独立思考问题和求解，在能力和要求上会更高一些，长期以来，填空题的答对率一起低于选择题的答对率，应该引起同学们的高度重视，而近年来，填空题的题型又有了新的变化和发展，多了一些创新题型，如何都能正确、合理、迅速的完成一道填空题？这就是我们必须在本专题探讨的问题。

【知识网络】：填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及分析问题、解决问题的能力，填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，因此其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简，稍有毛病，便得零分。

填空题的主要特征是题目小、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力。

近年来，高考试卷把填空题当作创新改革题型的“试验田”，相继推出了一些题型新颖、构思巧妙，具有相当深度和明确导向的创新题型，使高考数学试卷充满活力，并随之加大了填空题的难度。

下面我们结合例题着重介绍填空题的几种常用方法以及解题中需注意的几个问题。

【经典例题】：一、直接法：就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得到正确的结论。

例1．展开式中的系数是_____________。

例2．如果函数，那么()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++4143132121f f f f f f f =_______。

例3．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出面MNP 的图形的序号是_____________。

(写出所有符合要求的图形的序号)例4．在平面几何里，有勾股定理：“设的两边AB 、AC 互相垂直，则。

数学填空题解题技巧常用方法与答题思路数学填空题是高中数学考试中常见的题型之一，要求我们根据给定的条件，填写合适的数值或表达式，完成题目。

为了提高解题效率和准确度，我们需要掌握一些常用的解题技巧和思路。

本文将介绍数学填空题的解题方法，以帮助读者更好地应对考试。

一、常用方法与技巧1. 查漏补缺法有时候，题目给出的条件并不足以直接求解填空，这时我们可以通过查漏补缺法，从其他已知条件中联想，找到解题的线索。

例如，在解方程填空题时，如果只给出了一元一次方程的表达式，我们可以通过观察找到一些特殊值代入，然后通过计算得到其他项的值，从而求解填空。

2. 利用等式性质在填空题中，往往会给出一些等式或不等式的条件，我们可以利用这些等式性质来进行填空。

例如，在解三角函数填空题时，可以利用正弦、余弦等函数的周期性和对称性质来求解。

3. 利用特殊性质有些题目中会出现一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来简化计算或者推导填空的解。

例如，在解几何填空题时，可以利用几何图形的对称性或者相似性质来求解。

4. 利用逆向思维有时候，我们可以利用逆向思维来解决填空题。

即从答案出发，反推回去寻找答案对应的条件。

例如，在解数列填空题时，可以从给出的答案逆推回去，得到数列的等差或者等比公式。

二、答题思路1. 仔细审题在解答数学填空题之前，我们必须仔细审题，理清题目的要求和条件。

特别需要注意的是，填空题通常会给出一些隐含条件，我们要善于发现这些条件，并且合理利用。

2. 分析解题条件在解答填空题时，我们要分析给出的条件，看是否可以通过已知条件直接求解填空。

如果无法直接求解，可以尝试利用已知条件与其他数学知识之间的联系，进行间接求解。

3. 使用合适的方法和技巧根据题目的不同特点，我们可以选择合适的解题方法和技巧进行求解。

比如，在解代数式填空题时，我们可以利用因式分解、配方法等技巧解题；在解几何填空题时，可以运用几何性质、相似三角形等方法。

4. 检查解答在填写答案之后，一定要仔细检查算式的正确性和合理性，确保填空的结果符合题目要求和已知条件。

高考填空题的解法 高考考点突破例1．若数列{}n a 中，)1(3,111≥==+n S a a n n ，则=n S[分析] 本题是简单的数列递推问题，解题的关键是能否由已知条件找出另一个递推关系。

[解析] 14-=n n S解法1：由)1(3,111≥==+n S a a n n 得：)2(31≥=-n S a n n ，两式相减得：)2(3)(311≥=-=--+n a S S a a n n n n n ，所以)2(41≥=+n a a n n ，又333112===a S a ，)2(41≥=∴+n a a nn ，故n a a a ,,32是首项为3，公比为4的等比数列，⎪⎩⎪⎨⎧≥=--+==∴-)2(441)41(31)1(11n n S n n n ，当1=n 时，141=-n ，即)1(41≥=-n S n n 。

解法2：)1(31≥=+n S a n n ，)1(31≥=-∴+n S S S n n n ，即)1(41≥=+n S S n n ，又111==a S ，)1(41≥=∴+n S S nn ，即{}n S 是首项为1，公比为 4 的等比数列，)1(41≥=∴-n S n n 。

[启迪] 以上两种解法体现了对关系式)1(31≥=+n S a n n 的两种不同的处理方式，这是解决n n S a ,有关的递推数列的常用转化方法。

本题两种解法中都要注意递推式中n 的适用范围，这也是此类问题最易出错的地方。

[变式训练]1．已知数列{}n a 满足121+=+n n a a ，11=a ，其中*N n ∈，则数列{}n a 的通项为 。

12-=n n a 由121+=+n n a a 可以转化为)1(211+=++n n a a ，则{}1+n a 是以211=+a 为首项，2 为公比的等比数列，故12-=n n a2．设505022105043)1()1()1(x a x a x a a x x x ++++=++++++ ，则=3a 451C 利用等比数列求和公式：左边=251)1()1()1()1(x x xx x +-+-+-+，由恒等的意义知3a 为51)1(x +的展开式中4x 项的系数，故=3a 451C 。