一种基于区间直觉模糊数多属性决策排序方法
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基于可能度的区间直觉模糊数排序方法及其在决策中的应用
Ｗ ＥＩ Ｙａ ｎ— ｙ ａ ｎ，ＣＨＥＮ Ｚｉ — ｃ ｈ ｕ ｎ，ＸＵ Ｆ ｕ— ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ
一
一
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆＭａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｘ ｉ ｈ ｕ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ ６ １ ０ ０ ３ ９ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
能够体 现 区 间 直 觉模 糊 数 的这 种 不 确 定 性 ； 因此， 本 文提 出 一 种 用 区 问 数 表 达 的得 分 函数 和精 确 函
［ 。 ， ６ ］ｃ ［ ０ ， １ ］，［ ｃ ， ｄ ］ｃ ［ ０ ， １ ］ ， ｂ＋ｄ≤ １， 并给
了 区间直觉 模糊 数 的运 算法 则 与 集 成方 法 ， 其 中 集 成方 法有 区 间直 觉模 糊 加 权 与 有 序 加 权 算 术 平
问直觉 模糊 信息 的决策 方 法 。进一 步 ， 文献 ［ ５— ６ ］ 给 出了 区间 直 觉 模 糊 加 权 与 有 序 加 权 平 均 算 子 及 混合平 均算 子 、 加权 与 有 序 加权 几 何 算 子 及混 合 几
［ ０ ， １ ］区间 巾所有 闭子 区 间之集合 。一 个 上 的 间直觉 模糊 集 ４定 义为
定义 ３
，
间直觉 模糊 信息 环境 下 的多属性 决策 方法 。
ｌ 区 间直 觉 模 糊 集 的基本 知 识
为 了便 于讨 论 ， 下 面 介 绍 区 间直 觉 模 糊 集 的基
本定 义 与运算 性质 。
定义 １ 设 为 一 非 空论 域 ， 一 个 上 的直
设 Ｏ Ｌ Ｉ ＝（ ［ 。 Ｉ ， 厶 Ｉ ］ ， ［ ｃ １ ， ｄ Ｉ ］ ）和 Ｏ Ｌ ２＝
一
一
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆＭａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｘ ｉ ｈ ｕ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ ６ １ ０ ０ ３ ９ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
能够体 现 区 间 直 觉模 糊 数 的这 种 不 确 定 性 ； 因此， 本 文提 出 一 种 用 区 问 数 表 达 的得 分 函数 和精 确 函
［ 。 ， ６ ］ｃ ［ ０ ， １ ］，［ ｃ ， ｄ ］ｃ ［ ０ ， １ ］ ， ｂ＋ｄ≤ １， 并给
了 区间直觉 模糊 数 的运 算法 则 与 集 成方 法 ， 其 中 集 成方 法有 区 间直 觉模 糊 加 权 与 有 序 加 权 算 术 平
问直觉 模糊 信息 的决策 方 法 。进一 步 ， 文献 ［ ５— ６ ］ 给 出了 区间 直 觉 模 糊 加 权 与 有 序 加 权 平 均 算 子 及 混合平 均算 子 、 加权 与 有 序 加权 几 何 算 子 及混 合 几
［ ０ ， １ ］区间 巾所有 闭子 区 间之集合 。一 个 上 的 间直觉 模糊 集 ４定 义为
定义 ３
，
间直觉 模糊 信息 环境 下 的多属性 决策 方法 。
ｌ 区 间直 觉 模 糊 集 的基本 知 识
为 了便 于讨 论 ， 下 面 介 绍 区 间直 觉 模 糊 集 的基
本定 义 与运算 性质 。
定义 １ 设 为 一 非 空论 域 ， 一 个 上 的直
设 Ｏ Ｌ Ｉ ＝（ ［ 。 Ｉ ， 厶 Ｉ ］ ， ［ ｃ １ ， ｄ Ｉ ］ ）和 Ｏ Ｌ ２＝
基于直觉模糊集相似度量的多属性决策方法
２１ ０ ０年 ５月 第 １ 卷 第 ３期 ５
西 安 邮 电 学 院 学 报 Ｊ ＲＮ ＯＵ ＡＬＯ ＦＸＩＡ Ｕ ＶＥ Ｉ ＹＯ Ｏ Ｉ ＮＤＴ Ｌ Ｃ ’ Ｎ ＮＩ ＲＳＴ ＦＰ Ｓ ￣Ａ Ｅ Ｅ ＯＭＭＵＮＩＡ Ｏ Ｃ ＴＩ ＮＳ
Ｍａ ００ ｙ２ １ Ｖ １１ ｏ３ ｏ．５Ｎ ．
有效性。 关 键 词 ： 觉模 糊 集 ； 觉 模 糊 值 ； 似 度 量 ； 想 点 直 直 相 理
中图分类号 ： ２ ５ Ｃ ３ ０ ３ ， ９４
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ７３ ６ （００ ０ —０ ４０ １０ ．２ ４ ２ １ ）３０ ６ ．４
Ｏ 引言
直觉模 糊 集 【 理 论 已被 成 功 地 应 用 于模 式 识 １ Ｊ 别、 图像处 理 、 ｂ 务 质 量评 价 等 领域 ， 何 度 量 Ｗｅ 服 如 直 觉模 糊 集 的相 似 程 度是 应 用 中 的基 本 问题 。Ｌ ｉ 和 Ｃ ｅｇ ］ 出直 觉 模 糊 集 相 似 度 量 的公 理 化 定 ｈｎ ［ 提
体 的相似 度公 式 。此 外 ， 用 直觉 模 糊 集 的距 离 构 利 造 相似度 量也 是一 种 常 见 的方 式 击。本 文 主要 针 Ｊ
其 中映射 ， ｘ一 ［，］Ｏ ｘ一 ［ ，］ Ｕ Ａ： ０ １， Ａ： ０ １ 满足 Ｖ ∈ Ｘ，≤ （ ＋Ｕ （ ≤ ｌ这里 ， ｘ） ０ Ｘ） Ａ Ｚ） ｏ 表示元 素 ｚ对集合Ａ 的隶属度 ， （ 表示元素 Ｘ对集合 Ｕ ） Ａ Ａ 的非 隶属 度 。 令 （ 表示 Ｘ上 全体 直觉模糊 Ｘ） 集之 集 。
，
Ｕ （ ） Ａ Ｘ 为元素 对直觉模糊集 Ａ 的犹豫 Ａ Ｘ 一Ｕ （ ）
度。 特别地 ， 对于直觉模糊值 Ｘ＝（ ｘ Ｏ）称 ７ ，， ， ｒ Ｕ ｘ ｘ＝ １一 一 ｕ Ｘ 的犹 豫度 。 为
西 安 邮 电 学 院 学 报 Ｊ ＲＮ ＯＵ ＡＬＯ ＦＸＩＡ Ｕ ＶＥ Ｉ ＹＯ Ｏ Ｉ ＮＤＴ Ｌ Ｃ ’ Ｎ ＮＩ ＲＳＴ ＦＰ Ｓ ￣Ａ Ｅ Ｅ ＯＭＭＵＮＩＡ Ｏ Ｃ ＴＩ ＮＳ
Ｍａ ００ ｙ２ １ Ｖ １１ ｏ３ ｏ．５Ｎ ．
有效性。 关 键 词 ： 觉模 糊 集 ； 觉 模 糊 值 ； 似 度 量 ； 想 点 直 直 相 理
中图分类号 ： ２ ５ Ｃ ３ ０ ３ ， ９４
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ７３ ６ （００ ０ —０ ４０ １０ ．２ ４ ２ １ ）３０ ６ ．４
Ｏ 引言
直觉模 糊 集 【 理 论 已被 成 功 地 应 用 于模 式 识 １ Ｊ 别、 图像处 理 、 ｂ 务 质 量评 价 等 领域 ， 何 度 量 Ｗｅ 服 如 直 觉模 糊 集 的相 似 程 度是 应 用 中 的基 本 问题 。Ｌ ｉ 和 Ｃ ｅｇ ］ 出直 觉 模 糊 集 相 似 度 量 的公 理 化 定 ｈｎ ［ 提
体 的相似 度公 式 。此 外 ， 用 直觉 模 糊 集 的距 离 构 利 造 相似度 量也 是一 种 常 见 的方 式 击。本 文 主要 针 Ｊ
其 中映射 ， ｘ一 ［，］Ｏ ｘ一 ［ ，］ Ｕ Ａ： ０ １， Ａ： ０ １ 满足 Ｖ ∈ Ｘ，≤ （ ＋Ｕ （ ≤ ｌ这里 ， ｘ） ０ Ｘ） Ａ Ｚ） ｏ 表示元 素 ｚ对集合Ａ 的隶属度 ， （ 表示元素 Ｘ对集合 Ｕ ） Ａ Ａ 的非 隶属 度 。 令 （ 表示 Ｘ上 全体 直觉模糊 Ｘ） 集之 集 。
，
Ｕ （ ） Ａ Ｘ 为元素 对直觉模糊集 Ａ 的犹豫 Ａ Ｘ 一Ｕ （ ）
度。 特别地 ， 对于直觉模糊值 Ｘ＝（ ｘ Ｏ）称 ７ ，， ， ｒ Ｕ ｘ ｘ＝ １一 一 ｕ Ｘ 的犹 豫度 。 为
基于区间值直觉模糊集距离的多属性决策方法
的方法将 会失 去 效 用 。之所 以会 出现 这 种 现象 ， 究
Ｘ 上 的区 间值 直觉 模糊 集 Ａ 定 义为 Ａ ＝ ｛ｚ，［ ｆ；）ＭＡ （ ］ 八舡 （ ， （ ＭＡ （３， ｕ ｚ） ，［ 『 ｚ） ．３
ＮＡ （ ］ ｝ ｕ ｚ） ）Ｉ Ｅ Ｘ ， ｚ
其 中 ［ Ｌ ｚ）ＭＡ （ ］ （ ［ ，］ ［ ＭＡ （ ， ｕ ｚ） ＝ ０１ ， ＝
０ 引言
作 为模 糊 集 的一 种推 广 ， 觉 模糊 集 的特点 是 直
１ 区 间值直 觉 模糊 集 的 基本 概 念
定义 １ 设 Ｘ 是 非 空 有 限论 域 ， ａｄ Ｘ）＝ 。 ： Ｃ ｒ（
同时考 虑隶 属 度 ， 隶 属 度 的 信 息 。这 使得 直 觉 模 非 糊集在 处理 带有 模 糊 性 和 不 确 定性 的 问题 时 ， 为 更 灵 活和 实 用 【 。Ａｔ ａｓｖ和 Ｇ ｒｏ ［ 对 直 觉 模 ， ａ ｓ ｎ ｏ ａｇｖ３ Ｊ 糊集 进一 步推 广 ， 出区 间值 直觉 模 糊集 。之后 ， 提 学 者们 对 区间值直 觉模 糊 集 的理论作 了广泛 而深入 的 研究 ［ ６。近 年来 ， 间值 直 觉 模 糊 集 被应 用 于 多 ４ －Ｊ 区 属性决 策领 域 。文 ［ ］ 过 定 义 加 权 算 术平 均 算 子 ７通 和加 权几何 平 均算 子对 备选 方案 的 区间值 直觉模 糊 信息进 行集 结 ， 到 一个 区 间值直 觉模 糊值 ， 得 利用 其 在得分 函数 和精 确 函数 下 的两个值 来共 同对 方案 进 行排序 选优 。需 要 指 出 ， 当两 个 区 间值 直觉 模 糊 值 在得分 函数 和精 确 函数 下的值 相 同时 ， ［］ 文 ７ 所提 供
Ａ ＶＢ ＝ ｛ｚ，ＭＡ （ ） Ｌ ｘ ， ｕ ） （ ［ ｔ ｚ Ｖ ＭＢ （ ）ＭＡ （
Ｘ 上 的区 间值 直觉 模糊 集 Ａ 定 义为 Ａ ＝ ｛ｚ，［ ｆ；）ＭＡ （ ］ 八舡 （ ， （ ＭＡ （３， ｕ ｚ） ，［ 『 ｚ） ．３
ＮＡ （ ］ ｝ ｕ ｚ） ）Ｉ Ｅ Ｘ ， ｚ
其 中 ［ Ｌ ｚ）ＭＡ （ ］ （ ［ ，］ ［ ＭＡ （ ， ｕ ｚ） ＝ ０１ ， ＝
０ 引言
作 为模 糊 集 的一 种推 广 ， 觉 模糊 集 的特点 是 直
１ 区 间值直 觉 模糊 集 的 基本 概 念
定义 １ 设 Ｘ 是 非 空 有 限论 域 ， ａｄ Ｘ）＝ 。 ： Ｃ ｒ（
同时考 虑隶 属 度 ， 隶 属 度 的 信 息 。这 使得 直 觉 模 非 糊集在 处理 带有 模 糊 性 和 不 确 定性 的 问题 时 ， 为 更 灵 活和 实 用 【 。Ａｔ ａｓｖ和 Ｇ ｒｏ ［ 对 直 觉 模 ， ａ ｓ ｎ ｏ ａｇｖ３ Ｊ 糊集 进一 步推 广 ， 出区 间值 直觉 模 糊集 。之后 ， 提 学 者们 对 区间值直 觉模 糊 集 的理论作 了广泛 而深入 的 研究 ［ ６。近 年来 ， 间值 直 觉 模 糊 集 被应 用 于 多 ４ －Ｊ 区 属性决 策领 域 。文 ［ ］ 过 定 义 加 权 算 术平 均 算 子 ７通 和加 权几何 平 均算 子对 备选 方案 的 区间值 直觉模 糊 信息进 行集 结 ， 到 一个 区 间值直 觉模 糊值 ， 得 利用 其 在得分 函数 和精 确 函数 下 的两个值 来共 同对 方案 进 行排序 选优 。需 要 指 出 ， 当两 个 区 间值 直觉 模 糊 值 在得分 函数 和精 确 函数 下的值 相 同时 ， ［］ 文 ７ 所提 供
Ａ ＶＢ ＝ ｛ｚ，ＭＡ （ ） Ｌ ｘ ， ｕ ） （ ［ ｔ ｚ Ｖ ＭＢ （ ）ＭＡ （
直觉模糊多属性决策方法综述
直觉模糊多属性决策方法综述一、本文概述随着信息时代的到来，决策问题变得越来越复杂，多属性决策问题在各个领域中都得到了广泛的研究和应用。
在多属性决策中，决策者常常面临属性值模糊、不完全或不确定的情况，这使得决策过程更加困难。
为了解决这些问题，直觉模糊多属性决策方法应运而生，它结合了直觉模糊集理论和多属性决策方法，为处理模糊信息提供了一种有效的工具。
本文旨在综述直觉模糊多属性决策方法的研究现状和发展趋势，分析不同方法的优缺点，为决策者提供更为全面和深入的理论支持和实践指导。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行概述，介绍直觉模糊集的基本概念和性质，以及其在多属性决策中的应用。
然后，将重点综述现有的直觉模糊多属性决策方法，包括基于直觉模糊集的权重确定方法、属性约简方法、决策规则等。
通过对这些方法的分析和比较，揭示各种方法的特点和适用范围。
本文将探讨直觉模糊多属性决策方法在实际应用中的挑战和解决方案。
针对决策过程中可能出现的模糊信息、不确定性等问题，提出相应的处理策略和方法，以提高决策的准确性和有效性。
本文将展望直觉模糊多属性决策方法的发展前景和趋势。
随着、大数据等技术的快速发展，直觉模糊多属性决策方法将在更广泛的领域得到应用，同时也将面临新的挑战和机遇。
因此，本文将分析未来的研究方向和发展趋势，为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行全面的综述和分析，旨在为决策者提供更为科学、有效的决策方法和工具，推动多属性决策理论和方法的发展和应用。
二、直觉模糊集理论直觉模糊集（Intuitionistic Fuzzy Sets, IFSs）是Zadeh模糊集理论的一种扩展，由Atanassov在1986年提出。
直觉模糊集不仅考虑了元素对模糊集合的隶属度，还考虑了元素对模糊集合的非隶属度和犹豫度，从而提供了更丰富的信息描述方式。
在直觉模糊集中，每个元素x在一个直觉模糊集A中的隶属度用μ_A(x)表示，非隶属度用ν_A(x)表示，而犹豫度π_A(x)则为1 - μ_A(x) - ν_A(x)。
基于区间直觉模糊的电子政务系统评价方法
合权重 同时反映主观和客观程度 ， 利用改进 Ｔ Ｐ Ｉ ０ Ｓｓ方法进行排 序。最后 通过算例说 明该方法的可行性和有效性 。
关 键 词 电子 政 务 系统 评 价 多属 性 决 策 区 间 直 觉模 糊数 主观权重 客观权重 平 均 差
中图分类号
Ｃ３ ９４
文献标识码
Ａ
文章编号
１０ — ９ ５ ２ １ ）０ ００ — ６ ０ ２ １６ （０ ２ １ — ｌ６ ０
第３卷 第 ｌ １ Ｏ期 ２１ ０ ２年 ｌ ０月
ＪＵ Ｎ ＬＯ Ｎ Ｅ Ｌ志 Ｅ Ｏ 情Ａ 报 杂ＬＩＥ Ｃ Ｒ ＦｉＴ Ｇ Ｎ
Ｖ １ １ Ｎ ．Ｏ ０． ｏ １ ３
０ｃ ． ２０１ ｔ ２
基于区间直觉模糊的电子政务系统评价方法 冰
曹 清 玮
（ 浙江师范大学 经济与管理学院 摘 要 金华 ３ １０ ） ２０ ４
Ｋｅ ｏ ｄ ｅ ｇ ｖ ｒｍｅｔ ｙｔｍ ｖ ｕ ｔ ｎ ｍｕｔ ａ ｒ ｕｅｄ ｉｏ － ｋｎ ｉｔｒａ－ ａ ｅ ｔｉｏ ｉｉ ｆｚｙｎ ｍ ｅｓ ｓｂｅ。 ｙｗ ｒｓ － ｏ ｅ ｎ ｎ ｓ ｅ ａ ａｉ ｓ ｅ ｌ ｏ ｌ－ ｔｉ ｔ ｅ ｓ ｎ ｍａｉｇ ｎｅｖ ｖ ｕ ｉ ｕｔ ｎｓｃｕ ｚ ｕ ｂ ｒ ｕｊ ｉ ｔｂ ｃ ｉ ｌ ｌ ｄ ｎ ｉ ｔ ｃ ｒ ｅｗｅ ｈ ｏｊ ｔ ｅｗｅｇｔ ｍｅ ｌ ｅｉｔ ｎ ｉ ｉ ｔ ｂｅ ｉ ｉ ￣ ｖａｏ ｓ ｖ ｇ ｃ ｖ ｈ ｌｄ ｉ
ｔ ｔｒａｉｅ ｒ ｒｅｅ ｙｉ ｒｖｄｔ ｈｉｕ ｒ ｒｅ ｒｆ ｅｃ ｙｓ ｌ ｉ ｏａ ｅｌ ｏｕｉｎ （ Ｏ ＳＳ） Ｆｎ ｌ。 ｕ ｒ ａ ｈ ａｅ ｔ ｓａｅｏｄ ｒｄｂ ｅｌ ｎ ｖ ｍｐｏ ｅ ｃｎｑｅｆ ｄｒ ｅｅ ｎｅｂ ｉ ａ ｔ ｔ ｎ ｉ ａ ｌｔ ｅ ｏｏ ｐ ｒ ｍｉｒ ｙ ｄ ｓ ｏ Ｔ Ｐ Ｉ ． ｉａ ｙ ａｎｍｖ ｒ ｍ ｅ ｙ ｔ ｍ ａ ｕ ｔｏ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆＥ－ ｏ ｅ ｎ ｎｔＳ ｓ ｅ Ｅｖ ｌ ａ ｉ ｎ ｓ ｄ ｏ Ｉ ｅｖ ｌ ｎｔ ｒ ａ －Ｖａ ｕ ｄ ｎ ｕ ｔｏ ｉ ｔｃ Ｆｕｚ ｙ Ｉ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｌ ｅ Ｉ ｔ ｉｉ ｎ ｓｉ ｚ ｎ ｏ ｍ ｔｏ
一种基于区间直觉模糊数多属性决策排序方法
Ａ
在实际的决策问题 中． 决策者 由于 自身条件和外界环境 的不 同会 （ １ ， ｅ ｒ ， ｎ ） 的左右数学期望分别是 ： 有不同的心态。例如 ． 在 时间比较紧 ， 知识或数据 比较缺乏 ， 决策者 的 精力和信息处理能力有 限时 ，决策者进行决策时往往会非常谨慎 ， 持 悲观心态 ： 如果有关 的信息资料 比较 充足 ， 决策者精力 充沛和信息处 因此三角模糊数 ＝ ， ｒ ， Ｌ 就可 以转换成区间 （ ｆ ＋ ， ２ ， （ Ｍ ＋ 呐／ ２ ］ 。 理能力较强 ． 此 时决策者 的心态 比较温和 ： 当决策者 自认为是该决策 至此 ． 我们 已经可 以将 同时包含 区间数 、 语言数 、 三 角模糊数 、 区 问题方面 的专家时 ． 决策者进行决策时持乐观或激进心态。 一般来说 ， 决策者 的心态不 同会导致不同的决策结果 为此 ． 本 文引入 心态指 标 间直觉模糊数 等多种模糊信息 的混 合型不确定决策 矩阵化为较为简 来研究属性值为 区间直觉模糊数的多属性决策 ． 将区间直觉模 糊决策 单的区间型多数性决 策矩阵。 ４ ． 主要 结果 矩阵转化 为区间数决策矩阵 ， 再运用可能度进行排序 。 本文针对 同时包含区间数 、 语 言数 、 三角模糊数 、 区间直觉模糊 数 假设方案 在 属性 Ｇ ， 下的属性值为 区间直觉模糊数 ： （ ６ ， ［ ｃ 等模糊信息 的混合型决策矩阵求解其 排序 向量 ｄ ） ， ｉ ＝ １ … ２． ． ， Ｉ ｎ ＝ １ … ２ ｎ 。［ ％６ 表示方 案 Ａ 。 对属性 ｑ的满 足程度 ， ［ ｃ 具体算法步骤如下 ： 蝴表示方案 Ａ 。 不满足属性 Ｇ ， 的程度 ， ｉ ｉ ＝ 【 １ — ６ — ｄ ， １ 一 嘞一 ｃ 表示决策者 步骤 １ 输入 原始决策矩阵 Ａ ＝ ㈤… （ 卿 可能为 区间数 、语 言数 、 的犹豫度 ， 记决 策矩 阵 Ｄ ＝ （ ０ 。 三角模 糊数 或区间直觉模糊 数其中一种 ） 首先 ． 我们将原始混 合型决 决策矩 阵中元 素 。 ． 的隶属度Ｍ， ｂ ｄ 越大说 明方案 Ａ 。 满足 属性 Ｇ ｉ 策矩 阵 Ａ转换成 区间数决策矩阵 Ａ， － ， 其中 。 ＝ ， ｂ 。 的程度越大 。 我们考虑犹豫度［ １ — ６ 一 ， １ 一 哪 一 ｃ 中有一部分表示方案 Ａ 步骤 ２ １ ￣ Ｉ１ ＂ ． ３ 决策矩阵 Ａ 进行规范化得 ＝ （ 一， 公式为 ： 满足属性 Ｇ ｊ 的值 ， Ｎ￣ＮＶ ２ 给犹豫度适 当的系数 ， 将其合理分配 到 隶属度 中。 当 属 性 为 成 本型 属 性时： ｎ ∑ｎ ａ － ｄ ∑。 ～ ； 设 ∈ ［ ％６ 小 ∈ ［ 。 ｄ ｄ ， １ － ｘ ｏ － ｙ ｑ ∈【 １ － ｂ — ｄ ， １ 一 嘞一 ｃ ｄ ，则隶属 区间 当属性 为成本型属性 时 ： 可表示 为 ： ＾ “ （ １ — 。 其中 ∈［ ０ ， １ ］ 。当 ｋ 固定时 ， ｈ 是关 于 的增 函数 ， 关 于 的减 ａ ｌ ｇ ＝ （ １ ／ ａ ￣ ｉ ） ／ ∑“ 允 ） ａ ￣ ｏ ＝ （ １ ／ ａ ％ ） ／ ∑（ １ 。 函数 。因此 当 ＝ ａ ｏ ， ＝ 西时， ｈ 取最小值 （ １ 一 吩 一 ； 当 ＝ ６ ， ＝ 。 步骤 ３计算各个方案 的综合属性值的值 ： 时， ｈ 取最大值 ６ （ １ — ６ — ｃ 。故此时隶属度 的取值 区间为 ：
在实际的决策问题 中． 决策者 由于 自身条件和外界环境 的不 同会 （ １ ， ｅ ｒ ， ｎ ） 的左右数学期望分别是 ： 有不同的心态。例如 ． 在 时间比较紧 ， 知识或数据 比较缺乏 ， 决策者 的 精力和信息处理能力有 限时 ，决策者进行决策时往往会非常谨慎 ， 持 悲观心态 ： 如果有关 的信息资料 比较 充足 ， 决策者精力 充沛和信息处 因此三角模糊数 ＝ ， ｒ ， Ｌ 就可 以转换成区间 （ ｆ ＋ ， ２ ， （ Ｍ ＋ 呐／ ２ ］ 。 理能力较强 ． 此 时决策者 的心态 比较温和 ： 当决策者 自认为是该决策 至此 ． 我们 已经可 以将 同时包含 区间数 、 语言数 、 三 角模糊数 、 区 问题方面 的专家时 ． 决策者进行决策时持乐观或激进心态。 一般来说 ， 决策者 的心态不 同会导致不同的决策结果 为此 ． 本 文引入 心态指 标 间直觉模糊数 等多种模糊信息 的混 合型不确定决策 矩阵化为较为简 来研究属性值为 区间直觉模糊数的多属性决策 ． 将区间直觉模 糊决策 单的区间型多数性决 策矩阵。 ４ ． 主要 结果 矩阵转化 为区间数决策矩阵 ， 再运用可能度进行排序 。 本文针对 同时包含区间数 、 语 言数 、 三角模糊数 、 区间直觉模糊 数 假设方案 在 属性 Ｇ ， 下的属性值为 区间直觉模糊数 ： （ ６ ， ［ ｃ 等模糊信息 的混合型决策矩阵求解其 排序 向量 ｄ ） ， ｉ ＝ １ … ２． ． ， Ｉ ｎ ＝ １ … ２ ｎ 。［ ％６ 表示方 案 Ａ 。 对属性 ｑ的满 足程度 ， ［ ｃ 具体算法步骤如下 ： 蝴表示方案 Ａ 。 不满足属性 Ｇ ， 的程度 ， ｉ ｉ ＝ 【 １ — ６ — ｄ ， １ 一 嘞一 ｃ 表示决策者 步骤 １ 输入 原始决策矩阵 Ａ ＝ ㈤… （ 卿 可能为 区间数 、语 言数 、 的犹豫度 ， 记决 策矩 阵 Ｄ ＝ （ ０ 。 三角模 糊数 或区间直觉模糊 数其中一种 ） 首先 ． 我们将原始混 合型决 决策矩 阵中元 素 。 ． 的隶属度Ｍ， ｂ ｄ 越大说 明方案 Ａ 。 满足 属性 Ｇ ｉ 策矩 阵 Ａ转换成 区间数决策矩阵 Ａ， － ， 其中 。 ＝ ， ｂ 。 的程度越大 。 我们考虑犹豫度［ １ — ６ 一 ， １ 一 哪 一 ｃ 中有一部分表示方案 Ａ 步骤 ２ １ ￣ Ｉ１ ＂ ． ３ 决策矩阵 Ａ 进行规范化得 ＝ （ 一， 公式为 ： 满足属性 Ｇ ｊ 的值 ， Ｎ￣ＮＶ ２ 给犹豫度适 当的系数 ， 将其合理分配 到 隶属度 中。 当 属 性 为 成 本型 属 性时： ｎ ∑ｎ ａ － ｄ ∑。 ～ ； 设 ∈ ［ ％６ 小 ∈ ［ 。 ｄ ｄ ， １ － ｘ ｏ － ｙ ｑ ∈【 １ － ｂ — ｄ ， １ 一 嘞一 ｃ ｄ ，则隶属 区间 当属性 为成本型属性 时 ： 可表示 为 ： ＾ “ （ １ — 。 其中 ∈［ ０ ， １ ］ 。当 ｋ 固定时 ， ｈ 是关 于 的增 函数 ， 关 于 的减 ａ ｌ ｇ ＝ （ １ ／ ａ ￣ ｉ ） ／ ∑“ 允 ） ａ ￣ ｏ ＝ （ １ ／ ａ ％ ） ／ ∑（ １ 。 函数 。因此 当 ＝ ａ ｏ ， ＝ 西时， ｈ 取最小值 （ １ 一 吩 一 ； 当 ＝ ６ ， ＝ 。 步骤 ３计算各个方案 的综合属性值的值 ： 时， ｈ 取最大值 ６ （ １ — ６ — ｃ 。故此时隶属度 的取值 区间为 ：
基于区间值毕达哥拉斯模糊数的多属性决策方法
作者简介郝江锋!AJFA&"$男$安徽潜山人$讲师$硕士$从事模糊预测和决策分析研究H
第! 期
郝江锋等基于区间值毕达哥拉斯模糊数的多属性决策方法
FJ
平均 算子区间值毕达哥拉斯模糊加权 ![#\ZbL" '
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槡 槡 几何平均 算子提出了一种区间值毕达 ![#\ZbYL" $
哥拉斯模糊 方法用于解决不确定多属 <]<*0V< $ 性群决策问题 提出了诱导区间值毕达 为隶属于的犹豫度 * ^+9/6:9(JEA?) 哥子拉诱斯导模区糊间环值境毕下达有哥序拉加斯权模平糊均环境下混合加权算平 为了简便 称为的区元间素毕达哥拉斯模糊数 ' 均 算子区间值毕达哥拉斯模 记为 记为 
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｆｉｒｓｔｄｅｖｅｌｏｐａｎｅｗｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｒｖａｌｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙ（ＩＶＩＦ）ｓｅｔｓ，ｗｈｉｃｈ ｉｓｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｔｏｍｅａｓｕｒｅｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｅｄｅｇｒｅｅｏｆｖｅｃｔｏｒｓｔｈａｎｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｎｗｅａｐｐｌｙｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅＩＶＩＦｍｕｌｔｉｐｌｅａｔｔｒｉｂｕｔｅｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍ，ｉｎｗｈｉｃｈｔｈｅａｔｔｒｉｂｕｔｅｗｅｉｇｈｔｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｓ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ．Ｔｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｉｄｅａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ（ＰＩＳ）ａｎｄｎｅｇａｔｉｖｅｉｄｅａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ（ＮＩＳ）ａｒｅａｄｏｐｔｅｄｔｏｃａｌｃｕ ｌａｔｅｔｈｅａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｓ’ ｗｅｉｇｈｔｓ．Ｔｈｅｒｅｂｙ，ｔｈｅｕｎｋｎｏｗｎｗｅｉｇｈｔｓｏｆａｔｔｒｉｂｕｔｅｓａｒｅｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｏｂｊｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｓｕｂｓｅ ｑｕｅｎｔｌｙ，ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄｏｖｅｒａｌｌｒｅｌａｔｉｖｅｃｌｏｓｅｎｅｓｓｄｅｇｒｅｅｉｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｔｏｒａｎｋｔｈｅｏｒｄｅｒｉｎｇｏｆａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ， ａｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄｔｏｓｈｏｗｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙａｎｄａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｐｌｅａｔｔｒｉｂｕｔｅｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇ；ｉｎｔｅｒｖａｌｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ＴＯＰＳＩＳ
觉 模 糊 集 得 到 了 学 界 的 广 泛 关 注 ，相 应 的 成 果 也 较 为 丰 富 。 ［３～７］
觉 模 糊 集 得 到 了 学 界 的 广 泛 关 注 ，相 应 的 成 果 也 较 为 丰 富 。 ［３～７］
基于TOPSIS的模糊数直觉模糊多属性决策法
０ 引 言
多属 性决 策在 经济 、 军事 、 管理 、 环境 工程 等许 多领域 有着广 泛应 用 ， 在实 际决 策 中 由于人们 所考 虑 问
题 的复杂 性 、 不确定 性 以及人 类思 维 的模 糊性 不断增 强 ， 以有 关属 性不 确定 问题 的研 究 引起人 们广 泛关 所
注 。 自 １８ ９６年 ， ｔ ａｓｖｌ 出直觉 模糊集 的概念后 ， Ａａ ｓｏ【提 ｎ 有关 直 觉 模糊 集 多属 性 决 策理 论 与方 法 的研究 取 得 丰富研 究成 果 ， 但在 直觉模 糊集 中很难 用精 确 的实数 值来 表 达隶 属度 和 非隶 属度 两 个数 值 ， 此人 引， 为 们 开始对 直 觉模糊 集进 行推 广研 究 。Ａａａｓｖ和 Ｇ ｒｏ｜ 于 １８ ｔ ｓ ｎ ｏ ａｇｖ４ ９ ９年提 出 了区 间直 觉 模 糊集 的概 念 ， 即 用 区间数来 表示 隶属 度和非 隶属 度 ， 泽水 在 ２０ 徐 ０ ７年 给 出了 区间直 觉模 糊 数 的概 念 ， 给 出 了相 应 的 并
ｏ
其 他
其 中０ Ｍ ， ≤０ ≤口 ≤口 ≤１ ∈Ｒ ．
定义 ３ 设 是一个 非 空集合 ， （ 则称 ＝｛ ，ｊ ） （ ＜ 五 （ ， ）＞Ｉ ∈Ｘ｝ 为模 糊 数直 觉模 糊 集 ， 中 其 ｕ（ ｊ ）＝（ （ ， （ ， （ ） ｊ ）＝（ （ ， （ ， （ ）为 ［ １ 上 的三 角模 糊 数 ， 满 足条 ｕ ） “ ） “ ） ， （ ） ） ） ０，］ 且
ＳＳ的模糊 数直 觉模糊 数 多属性 决 策 方法 ， 方 法 首先 定 义 了两 个模 糊 数 直 觉模 糊 数之 间 的距 Ｉ 该 离， 然后 给 出 了方案 与理 想点 的相 对贴近度 ， 于相 对贴近 度对 方案进 行排序 。最后 进 行 了实例 基
属性权重不确知的区间直觉模糊群决策方法
给 出 了 有序 加 权 平 均 算 子 ，提 供 了 一 种 基 于 区 间直
定义 １设 ＝（ ｂ ［ 】 ，ｌｃ ） ， 为一个区间直觉模糊
数 ， 则 称 （ ＝ １（ ） 口一ｃ ＋６一 ） （） １
为 的 得 分 值 ， 其 中 Ｓ 为 的 得 分 函 数 ，
糊 数 ， 且 设 Ｉ ＨＡ ： ６ Ｉ Ｆ ６ ， 若
∞ ２
∞ ２
＝
一
（） ４
∞
∞
Ｉ ＨＡ （ｌ ２…， ） Ｊ ） ２ ） Ｉ Ｆ ， ， ＝ｏａ（ ０∞ ＆ （ ０… ０∞ （ ’ ｌ Ｉ ２ ）
其 中 ＝（ ， ， ， ） 待 定 的非 负 向量 ，满 足 ：… 为
Ｗ ∈ ０ 】 ＝ ， …，） Ｗ ＝ ． ） 加权 的区 间 【 ｌ １ ， Ｈ， １ ，（ ２ ∑ 是
ｉ ＝１
直 觉 模 糊 数 ，ｉ ，， ，）中第 个 最 大 的元 素 ， （＝１ … ｎ ２
匆＝
（ １， ，， ＝（ｌ ２ ０ ） ｆ ，… ， ， ３ 是区 间直 ＝２ ） 缈 …，
：
其 中 Ｗ＝（ 。 ， ， 是 与 函数 ＩＦ ｗ， … Ｗ ） Ｗ： ＩＨＡ 相 关 联 的 加 权 向 量 （ 位 置 向 量 ） ，
１。
３ 群 决策计 算方 法 与步 骤
根 据 上 述 分 析 ，对 于 属 性 权 重 事 先 不 确 知 的 区
觉 模 糊 数 和 区 间 直 觉 模 糊 数 的群 决 策 方 法 ，并 解 决 了属 性 权 重 不 确 知 的情 况 下 直 觉 模 糊 群 决 策 问题 。 因 此 ，笔 者将 其 推 广 到 属 性 权 重 不 确 知 的 区 间直 觉 模 糊群 决策中 。
定义 １设 ＝（ ｂ ［ 】 ，ｌｃ ） ， 为一个区间直觉模糊
数 ， 则 称 （ ＝ １（ ） 口一ｃ ＋６一 ） （） １
为 的 得 分 值 ， 其 中 Ｓ 为 的 得 分 函 数 ，
糊 数 ， 且 设 Ｉ ＨＡ ： ６ Ｉ Ｆ ６ ， 若
∞ ２
∞ ２
＝
一
（） ４
∞
∞
Ｉ ＨＡ （ｌ ２…， ） Ｊ ） ２ ） Ｉ Ｆ ， ， ＝ｏａ（ ０∞ ＆ （ ０… ０∞ （ ’ ｌ Ｉ ２ ）
其 中 ＝（ ， ， ， ） 待 定 的非 负 向量 ，满 足 ：… 为
Ｗ ∈ ０ 】 ＝ ， …，） Ｗ ＝ ． ） 加权 的区 间 【 ｌ １ ， Ｈ， １ ，（ ２ ∑ 是
ｉ ＝１
直 觉 模 糊 数 ，ｉ ，， ，）中第 个 最 大 的元 素 ， （＝１ … ｎ ２
匆＝
（ １， ，， ＝（ｌ ２ ０ ） ｆ ，… ， ， ３ 是区 间直 ＝２ ） 缈 …，
：
其 中 Ｗ＝（ 。 ， ， 是 与 函数 ＩＦ ｗ， … Ｗ ） Ｗ： ＩＨＡ 相 关 联 的 加 权 向 量 （ 位 置 向 量 ） ，
１。
３ 群 决策计 算方 法 与步 骤
根 据 上 述 分 析 ，对 于 属 性 权 重 事 先 不 确 知 的 区
觉 模 糊 数 和 区 间 直 觉 模 糊 数 的群 决 策 方 法 ，并 解 决 了属 性 权 重 不 确 知 的情 况 下 直 觉 模 糊 群 决 策 问题 。 因 此 ，笔 者将 其 推 广 到 属 性 权 重 不 确 知 的 区 间直 觉 模 糊群 决策中 。
基于集对分析的直觉三角模糊数多指标决策方法
２ ０ １ ３ 年 ９月
连 云港师 范高 等专科 学校 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｉ ａ ｎ ｙ ｕ ｎ ｇ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｍａ ａ ｌ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
Ｓ ｅ ｐ ｔ ， ２ ０１ ３ Ｎｏ． ３
第 ３期
基 于集 对分 析 的直 觉 三 角模 糊 数 多指标 研究 的信息更 加完 性群决策方法 。以上研究表明， 直觉三角模糊数多属 整。１ ９ ８ ９年 Ａ ｔ ａ ｎ ａ ｓ ｓ ｏ ｖ又将隶 属 度 和非 隶 属 度 由实 数 性 决策 问题 已成 为决策研 究者 的研究 热 点 。 推广到区间数 ， 对直觉模糊集进行 了拓展 ， 提 出了区 由赵克 勤提 出的集对 分析 理论 ， 已在直 觉模 糊 多 间直觉模糊集＿ ２ ］ 的概念 。刘锋 、 袁学海［ ３ 把隶属度和 屙 ｌ 生 决策 问题上有应用 ［ 】 卜 引， 本文借鉴文献［ １ 卜玎 中 非隶属度推广到三角模糊数 ， 提出模糊数直觉模糊数 关于集对分析联系数与直觉模糊集 的兼容性思想并 的概 念 ， 即 直觉 三角 模糊 数 ； 汪新 凡 － ４ 定 义 了直 觉 三 加 以创新 ， 探讨指标权重已知 ， 指标值 以直觉三角模 角模 糊 数 的一些 运算法 则 ， 并 基于 这些 法则 给 出了一 糊数表示的多指标决策问题的决策方法。
中图分类 号： ０ ２ ２ ３ ； １ ２ ９ ３ ４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ９ —７ ７ ４ ０ ｛ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ —０ １ ０ ４— ０ ５
自从 １ ９ ８ ６年保加 利亚 学者 Ａ ｔ ａ ｎ ａ ｓ ｓ ｏ ｖ 提 出 直觉 模 建了基于关联 的加权平均集成算 子即直觉三角模糊 糊集 以来 … ， 利 用 其 隶 属度 和 非 隶 属度 ， 从 正 反 两 方 关 联算子 ， 构建 一种 属性值 为直 觉三 角模 糊 数 的多 属
连 云港师 范高 等专科 学校 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｉ ａ ｎ ｙ ｕ ｎ ｇ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｍａ ａ ｌ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
Ｓ ｅ ｐ ｔ ， ２ ０１ ３ Ｎｏ． ３
第 ３期
基 于集 对分 析 的直 觉 三 角模 糊 数 多指标 研究 的信息更 加完 性群决策方法 。以上研究表明， 直觉三角模糊数多属 整。１ ９ ８ ９年 Ａ ｔ ａ ｎ ａ ｓ ｓ ｏ ｖ又将隶 属 度 和非 隶 属 度 由实 数 性 决策 问题 已成 为决策研 究者 的研究 热 点 。 推广到区间数 ， 对直觉模糊集进行 了拓展 ， 提 出了区 由赵克 勤提 出的集对 分析 理论 ， 已在直 觉模 糊 多 间直觉模糊集＿ ２ ］ 的概念 。刘锋 、 袁学海［ ３ 把隶属度和 屙 ｌ 生 决策 问题上有应用 ［ 】 卜 引， 本文借鉴文献［ １ 卜玎 中 非隶属度推广到三角模糊数 ， 提出模糊数直觉模糊数 关于集对分析联系数与直觉模糊集 的兼容性思想并 的概 念 ， 即 直觉 三角 模糊 数 ； 汪新 凡 － ４ 定 义 了直 觉 三 加 以创新 ， 探讨指标权重已知 ， 指标值 以直觉三角模 角模 糊 数 的一些 运算法 则 ， 并 基于 这些 法则 给 出了一 糊数表示的多指标决策问题的决策方法。
中图分类 号： ０ ２ ２ ３ ； １ ２ ９ ３ ４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ９ —７ ７ ４ ０ ｛ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ —０ １ ０ ４— ０ ５
自从 １ ９ ８ ６年保加 利亚 学者 Ａ ｔ ａ ｎ ａ ｓ ｓ ｏ ｖ 提 出 直觉 模 建了基于关联 的加权平均集成算 子即直觉三角模糊 糊集 以来 … ， 利 用 其 隶 属度 和 非 隶 属度 ， 从 正 反 两 方 关 联算子 ， 构建 一种 属性值 为直 觉三 角模 糊 数 的多 属
基于一种新的信息熵的区间直觉模糊集多属性决策分析
区间 ， （ ） （ ） （ ） 为 ｘ ｚ 一［ ｚ ， ｚ ］ ＥＡ 的假隶属度
区间 ， 且
由于客观事物 的不确定性与复杂性 ， 直觉模糊 集 中 的真隶 属 度 与 假 隶 属 度 很 难 用 确 定 实 数 来 表
达 ， 比较 适 合 用 区 间 的形 式 来 表 示 。 为此 ， ａ 而 Ａｔ—
定义 ２２ ．Ｅ 设 ｘ是一个给定的论域， 则称
的一种排序方法 。文献［ ］ ２ 提出了直觉模糊集的得 分函数法 ， 文献［］ ３提出了区问直觉模糊集的得分函 数 法 ， 文对 此 方 法做 了 改进 。在 权 重 未 知 的情 况 本 下， 文献Ｅ ］ ４ 中定义 了基 于信 息熵 的多属性决策 方
为直 觉模糊 集 ， 中 ／ （ ） 其 Ｚ ｚ 和 （ ） Ａ ｚ 分别 为 Ｘ 中元 素 ｚ属 于 Ａ 的隶 属度 和非隶 属度 ， 即
：
糊集 的隶属函数值仅是 一个单一 的值 ， 保加利亚学 者 Ａｔｎ ｓｏ ａ ａｓｖ对 Ｚ ｄｈ的模 糊 集 进 行 了拓 展 ， 仅 ａｅ 把
考 虑隶 属度 的传 统模 糊 集 推 广到 同时 考 虑隶 属度 ， 非 隶属 度 和犹豫 度 这 三 方 面信 息 的直 觉 模糊 集 ， 并
些运算法则。文献［ ］ １ 定义了区间模糊数的概 念
其 中 丌 （ ） 一 （ ） Ａ１ 一１ ｚ ｚ 一 （ ）ｘＥＸ 表 示 Ｘ 中元 ｚ 素 ． 于 Ａ 的犹 豫度 。 ｚ属
并 给 出 了区问模 糊 数 的 基本 运 算 法 则 ， 出 了区 间 提 直 觉模 糊集 的加 权 平 均 算子 和加 权 几 何 算 子 ， 得 在 分 函数 与精 确 函数 的基础 上给 出 了区 间直觉模 糊 数
基于Pythagorean犹豫模糊集相似测度的多属性决策方法
基于Pythagorean犹豫模糊集相似测度的多属性决策方法缪森林;张俊芳;吴越;王熠【摘要】针对模糊信息下的决策问题,提出了一种基于Pythagorean犹豫模糊相似性测度的多属性决策方法.首先,基于最小公倍数的原理,介绍了一种新的扩充规则用以处理Pythagorean犹豫模糊集(PHFS)之间隶属度(非隶属度)长度不一致的情况,该方法能有效地保持原始信息的信息量.其次,定义了4种Pythagore-an犹豫模糊集的相似性测度,并讨论了其相关性质,考虑到决策问题中多个属性的权重,给出了几种加权相似性测度.最后,提出了一种基于Pythagorean犹豫模糊集的TOPSIS 方法用以解决多属性决策问题,并通过软件开发项目评估实例验证了该方法的可行性和有效性.%A multiple attribute decision making approach which bases on Pythagorean fuzzy similarity measure is proposed to solve decision problem under fuzzy environment. Firstly,a new method which bases on least common multiple principle is intro-duced. The method does not only solve the situation that the length of membership degrees(or non-membership degrees) is dif-ferent,but also assures the quantity of original message in Pythagorean hesitant fuzzy set(PHFS). Secondly, some similarity measure definitions based on PHFS are given,and interrelated characters are discussed. Considering weights of multiple attrib-utes in decision making problem, several weighted similarity measures are given. Finally, this paper gives a TOPSIS method based on Pythagorean hesitant fuzzy set,which is used to deal with multi-attribute decision making problem. And citing an ex-ample on software development program illustrates above methods effectiveness and feasibility.【期刊名称】《武汉理工大学学报（信息与管理工程版）》【年(卷),期】2018(040)002【总页数】6页(P219-223,229)【关键词】多属性决策;Pythagorean犹豫模糊集;最小公倍数拓展法;相似性测度;TOPSIS法【作者】缪森林;张俊芳;吴越;王熠【作者单位】安徽大学经济学院,安徽合肥230601;安徽大学数学科学学院,安徽合肥230601;安徽大学数学科学学院,安徽合肥230601;安徽大学数学科学学院,安徽合肥230601【正文语种】中文【中图分类】C934自ZADEH[1]首次提出模糊集的概念，学者对其进行了广泛而深入的研究。
基于区间语言直觉模糊集及信息熵的TOPSIS方法
基于区间语言直觉模糊集及信息熵的TOPSIS方法刘培德;秦西友【摘要】区间语言直觉模糊集以不确定语言词作为隶属度和非隶属度,能更好地处理定性的决策信息,弥补区间直觉模糊集处理定性信息方面的不足.基于区间语言直觉模糊数,定义了区间语言直觉模糊数的汉明距离及信息熵的公式,并针对属性权重未知的多属性决策问题,提出了基于信息熵的客观权重确定方法,并将TOPSIS方法扩展到区间语言直觉模糊集,根据各方案贴近度对每个方案进行排序.最后,通过一个工厂选址的实例证明该方法的有效性和可行性.%Interval-valued linguistic intuitionistic fuzzy numbers(IVLLFNs),whose membership and non-member-ship are represented by interval-valued linguistic terms,can deal with the qualitative decision information better and make up for the deficiency of dealing with the quantitative information in the interval-valued intuitionistic fuzzy num-bers. Based on interval-valued linguistic intuitionistic fuzzy numbers,the formulas of Hamming distance and informa-tion entropy of interval-valued linguistic intuitionistic fuzzy numbersare are defined,then the objective weights of the attributes are determined by information entropy with respect to multiple attribute decision making problems with un-known weights,and then an extended TOPSIS method is proposed to deal with interval-valued linguistic intuitionistic fuzzy information and ranking of alternatives is produced based on the degree of closeness of each alternative. Finally, an example for site selection is given to demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed method.【期刊名称】《经济与管理评论》【年(卷),期】2018(034)003【总页数】8页(P87-94)【关键词】区间语言直觉模糊集;区间语言直觉模糊熵;TOPSIS方法;多属性决策【作者】刘培德;秦西友【作者单位】山东财经大学管理科学与工程学院,山东济南 250014;山东财经大学管理科学与工程学院,山东济南 250014【正文语种】中文【中图分类】F272一、引言多属性决策是指在具有不可共度、相互冲突的多个属性的情况下，根据已知的决策信息，通过一定的决策方法对给出的多个备选方案进行大小排序或选择最佳方案。
基于投影的直觉模糊数多属性决策方法
献 Ｅ ３ 对 权 系 数 不 完 全 确 定 和 准 则 值 题 ， 出 了 信 息 不 完 全 提
Ｗ Ｅ ＩＧｕｉ ｕ ｗ
（ ｏ ｇ ｉ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ Ａｒ ｓ ａ ｄ Ｓ ｉ ｎ ｅ ，Ｃｈ ｎ ｑ ｎ，Ｃｈ ｎ ） Ｃｈ ｎ ｑ ｎ ｉ ｅ ｓ ｔ ｏ ｔ ｎ ｃｅ ｃ ｓ ｙ ｏ ｇ ｉ ｉａ
Ａｂｓ ｒ ｃ ｔ ａ ｔ：Ｗ ｉｈ ｅ ｐ ｃ ｏ ｔ ｒ ｂｌｍ ｕｌｉ ｅ ａ ｔ ｉ ｕｔ ｄ ｃｓｏｎ ｍ ａ ｎｇ，ｉ ｔ ｒ ｓ ｅ ｔ ｔ ｈｅ ｐ ｏ ｅ ｏｆｍ ｔｐｌ ｔ ｒｂ ｅ ｅ ｉｉ — ｋｉ ｎ ｗｈｉｈ ｔ ｔ ｃ ｈｅ ａ — ｔ ｉ ｕｔ ａ ｕ ｓａ ｅ ｇ ｖ ｎ ｉ ｅ ｍｓｏ ｎ ｕｉｉ ｉ ｔｃｆ ｚ ｕｍｂｅ ｓ，ａ ｎ ｕｉｉ ｎｉｔｃｆ ｚ ｙ ｄｅ ｉｉ ｎ ｍａ ｎ ｒｂ ｅ ｖ ｌ ｅ ｒ ｉ ｅ ｎ ｔ ｒ ｆｉ ｔ ｔｏｎ ｓ ｉ ｕｚ ｙ ｎ ｒ ｎ ｉ ｔ ｔｏ ｓ ｉ ｕ ｚ ｃ ｓｏ ｋｉ ｇ
ａ ｌｕ ｔ ａ ｅ ｘ ｍｐｌ ｓ ｉ ｈ ｓ ｐ ｐｅ ｈ ｎ ｉ ｓｒ ｔ ｄ ｅ ａ ｌ ｅ ｉ ｎ ｔ ｉ ａ ｒｓ ｏｗｓ ｔ ｅ ａ ｈ ｐｐｒ ｃ ｓ ｓｍ ｐ ｅ，ｅ ｆ ｃ ｉｅ ａ ｄ ｅ ｓ ｏａ ｈ ｉ ｉ ｌ ｆ ｅ ｔｖ ｎ ａ ｙ．
摘 要 ：针 对指 标取 值 以直 觉模糊 数 形 式给 出的 多属 性 决 策 问题 ， 出了一种 基 于投 影 的 提
直 觉模糊 决策 方 法。 方法依据 一般 投 影分 析 方法 的基本 思路 ， 出了解决属 性取 值 为直 觉模 该 给 糊数 的 多属性 决 策 问题 的计 算步骤 ， 其核 心是通 过 构建 并求 解每 个方 案在虚 拟 正 、 负理 想 方案 上 的投 影 ， 而 计算 出每 个 方案 对虚 拟 正、 进 负理 想方 案 的相 对 隶属 度 ， 可得 到 所有 方 案 的排 即 序 结果 。最后 给 出的数值 算例 表 明 ， 方 法 简单 、 效和 易于计算 。 该 有
基于概率语言和区间数的多属性决策ＴＯＰＳＩＳ 方法及其应用
ＴＯＰＳＩＳ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ￣ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ
ｌａｎｇｕａｇｅ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＰＥＮＧ Ｙｉ
( Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬＳｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｍｉｎｚｕ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＣｈｅｎｇｄｕ ６１００４１ꎬＣｈｉｎａ)
ｍａｔｉｏｎ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ｔｈｅ ｋｅｙ ｏｆ ｄｅｃｉｓｉｏｎ￣ｍａｋｉｎｇ Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｍｅａｓｕｒｅ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉ￣
ｌｉｓｔｉｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ｔｅｒｍ ｓｅｔ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｎｕｍｂｅｒꎬｔｈｅ ＴＯＰＳＩＳ ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ａｄａｐｔ ｔｏ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ￣ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ￣ｍａｋｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ
基于概率语言和区间数的多属性决策
ＴＯＰＳＩＳ 方法及其应用
彭 怡
( 西南民族大学数学学院 ꎬ四川 成都 ６１００４１)
摘 要:多属性决策过程中为了解决候选方案的评价信息表现为概率语言术语集和区间数情形的问题ꎬ相应模糊信息
的处理过程成为决策关键. 在构建概率语言术语集和区间数的序关系和距离测度基础上ꎬ改进 ＴＯＰＳＩＳ 多属性决策方
(１４)
根据各方案贴近度大小可排序选优.
.
和负理想点
各方案与正负理想点的加权距离 ｄ ｉ＋ ꎬｄ ｉ－ ꎬ再计算与正
.
(１１)
(１２)
ꎬ５ 个决策属性都是
为 效 益 型 区 属 性ꎬ 语 言 值 为
不完全信息下的区间直觉模糊数的多属性决策方法
ｓ ｌｃｔｔ ｏｓ ｓｒ ｂｌ ｔ ｒ ｔｖｅ ． Ｆｉ ｌ ｅｅ ｈｅ ｍ ｔ ｄｅ ｉａ ｅ ａｌｅ ｎａ ｉ ｓ ｎａｌ ｙ．ａ ｎｕｍ ｅ ｉａｌｅ ｒｃ ｘａｍ ｐｌ Ｓ ｇｉ ｎ ｔ ｉｌ ｔ ａ ｅ ｅ ｉ ｖｅ ｏ ｌｕｓ ｒ ｔ
ａ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ＧＲＡ ｅ ｈ ｄ．Ｔｈ ｕ ｒ ｃ ｌｒ ｓ ｌｓ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｒ ｐｏ ｅ ｅ ｈ ｄ ｐ ｌ ｔｏ ｆｔ ｃ ｍ ｔｏ ｅ ｎ ｍｅ ｉ ａ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｐ ｏ ｓ ｄ ｍ ｔ ｏ ｓ ａ ｅ ｆａ ｉ ｌ ｎ ｆ ｃ ｉ ｅ ｒ ｅ ｂ ｅ ａ ｄ ｅ ｅ ｔｖ ． ｓ Ｋｅ ｙｗ ｏ ｄｓ Ｍ ｕ ｔ— ｒｔ ｒ ａ ｄ ｃｓｏ — ａ ｉ ｇ ｎ ｏ ｒ ｌｉｃ ｉｅ ｉ ｅ ｉｉ ｎ ｍ ｋ ｎ ，ｉ ｃ ｍｐ ｅ ｅ ｉ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｉ ｔ ｒ ａ — ａ ｕ ｄ ｌ ｔ ｎ ｏ ｍ ｔｏ ， ｎ ｅ ｖ ｌｖ ｌ ｅ
摘要 针对属性权 重信息不 完全 的区间直觉模 糊 的多属性决 策 问题 ，提 出灰色关联 分 析 的决 策方法．该方法首先确 定各属性 下的最佳和最劣 方案，确定各方案 与理想方案 的灰 色关联 系数，然后在属性 权重信息不完 全的情况 下，建立基 于理 想点 的最 优决策模 型，求 出属性权 重，进 而根 据与理想 方案的相对贴近 度对各方 案进 行排序 ，最后 用实例对该方 法 进行 了说 明，理论分 析和数据 结果表 明了方法 的可行性和 有效性 ． 关键词 多属性决策 ，不完全信 息，区 间直 觉模糊 集，灰 色关联分 析
ｉ ｕｉｉ ｓ ｉ ｕｚ ｙ ｅ ｓ ｒ ｙ ｅ ａ ｉ ｎｔ ｔｏｎｉｔｃ ｆ ｚ ｓ ｔ ．ｇ ｅ ｒ ｌ ｔｏｎ ａｎａ ｙｓｓ ｌ ｉ
ａ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ＧＲＡ ｅ ｈ ｄ．Ｔｈ ｕ ｒ ｃ ｌｒ ｓ ｌｓ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｒ ｐｏ ｅ ｅ ｈ ｄ ｐ ｌ ｔｏ ｆｔ ｃ ｍ ｔｏ ｅ ｎ ｍｅ ｉ ａ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｐ ｏ ｓ ｄ ｍ ｔ ｏ ｓ ａ ｅ ｆａ ｉ ｌ ｎ ｆ ｃ ｉ ｅ ｒ ｅ ｂ ｅ ａ ｄ ｅ ｅ ｔｖ ． ｓ Ｋｅ ｙｗ ｏ ｄｓ Ｍ ｕ ｔ— ｒｔ ｒ ａ ｄ ｃｓｏ — ａ ｉ ｇ ｎ ｏ ｒ ｌｉｃ ｉｅ ｉ ｅ ｉｉ ｎ ｍ ｋ ｎ ，ｉ ｃ ｍｐ ｅ ｅ ｉ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｉ ｔ ｒ ａ — ａ ｕ ｄ ｌ ｔ ｎ ｏ ｍ ｔｏ ， ｎ ｅ ｖ ｌｖ ｌ ｅ
摘要 针对属性权 重信息不 完全 的区间直觉模 糊 的多属性决 策 问题 ，提 出灰色关联 分 析 的决 策方法．该方法首先确 定各属性 下的最佳和最劣 方案，确定各方案 与理想方案 的灰 色关联 系数，然后在属性 权重信息不完 全的情况 下，建立基 于理 想点 的最 优决策模 型，求 出属性权 重，进 而根 据与理想 方案的相对贴近 度对各方 案进 行排序 ，最后 用实例对该方 法 进行 了说 明，理论分 析和数据 结果表 明了方法 的可行性和 有效性 ． 关键词 多属性决策 ，不完全信 息，区 间直 觉模糊 集，灰 色关联分 析
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一种直觉模糊多属性群决策方法及其在群决策中的应用
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基于熵权D-S理论和心态函数的区间直觉模糊多属性决策方法
基于熵权D-S理论和心态函数的区间直觉模糊多属性决策方法摘要：本文提出了一种权值信息未知且属性值为区间直觉模糊数的多属性排序方法。
该方法利用最大熵原理确定各属性权值，通过证据推理算法集成权值和属性值，进而得到各方案的区间直觉模糊数。
最后在传统得分函数和精确函数中引入心态函数来比较方案区间直觉模糊数的大小，得到方案的排序。
该方法克服了简单加权法的局限性，适合决策者无法提供属性权值的情况，并充分考虑决策者心态对决策行为的影响，具有广泛的应用价值。
关键词：多属性决策区间直觉模糊集熵权证据推理心态函数从广义上来说，多属性决策是多目标决策的一种，处理多属性决策问题有多种方法，如TOPSIS方法[1]，多属性效用理论和PROMETHEE[2]方法等。
当前研究的热点是模糊多属性决策。
对于保加利亚学者Atanassov提出的区间直觉模糊集[3]，目前主要研究其性质、相关性等方面，很少有文献讨论区间直觉模糊决策问题。
另外，在实际决策中，决策者较难给出属性权系数的确定值，或者较难对属性的重要性程度进行两两比较，因而不能使用AHP，ANP或CNP等方法确定属性的权系数。
为此，本文基于最大熵原理、证据推理算法和心态函数，提出一种属性权重未知且属性值为区间直觉模糊数的多属性决策集成方法，以满足实际决策问题的求解。
1、属性权重的确定对于权重完全未知的区间直觉模糊多属性决策问题。
设A={a1,a2,…aN}为方案集，C={c1,c2,…,cM}为属性集。
对方案ai∈A，按属性cj∈C进行测度，得到ai关于cj的属性值为区间直觉模糊数Xij=([aij,bij],[cij,dij])，从而得到决策矩阵A=(Xij)N*M。
试确定方案集A的排序。
本文利用熵权法来确定属性权重。
熵(Entropy)属于热力学的概念，它是物质系统状态的一个函数，用来表示系统的紊乱程度。
在决策系统中，当各评价方案在某指标上的值相差较大、熵值较小时，说明该属性向决策者提供了有用的信息同时还说明在该问题中，各方案在该指标上有明显差异，应重点考察；而指标的熵值越大，则该指标越不重要。
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一种基于区间直觉模糊数多属性决策排序方法
【摘要】本文首先提出了一种基于心态指标的区间直觉模糊多属性决策方法，该方法可将区间直觉模糊决策矩阵转化为区间数决策矩阵；并在这种方法的基础上解决了同时包含区间数、语言数、三角模糊数、区间直觉模糊数等模糊信息的混合型决策矩阵的排序问题.最后，经过实例说明了该方法的可行性和有效性。
【关键词】多属性决策；区间直觉模糊数；混合决策矩阵
1.预备知识
定义1.1 设X是一个非空集合，={|x∈X}为区间直觉模糊集，其中，（x）?[0，1]和（x）?[0，1]，且满足条件sup（x）+sup（x）≤1，?x∈X。
称π（x）=1-（x）-（x）为元素x属于X的犹豫度。
下面介绍一下区间数的运算法则：
定义1.2 设a=[al，au]，b=[bl，bu]为两个区间数，则有：
（1）a±b=[al+bl，au+bu] （2）a·b=[al·bl，au·bu] （3）λa=[λal，λau]
定义1.3 设a=[al，au]，b=[bl，bu]为两个区间数，且l（a）=au-al，l（b）=bu-bl，则称
p（a≥b）= （1）为a≥b的可能度。
2.基于心态指标的区间直觉模糊多属性决策方法
在实际的决策问题中，决策者由于自身条件和外界环境的不同会有不同的心态。
例如，在时间比较紧，知识或数据比较缺乏，决策者的精力和信息处理能力有限时，决策者进行决策时往往会非常谨慎，持悲观心态；如果有关的信息资料比较充足，决策者精力充沛和信息处理能力较强，此时决策者的心态比较温和；当决策者自认为是该决策问题方面的专家时，决策者进行决策时持乐观或激进心态。
一般来说，决策者的心态不同会导致不同的决策结果。
为此，本文引入心态指标来研究属性值为区间直觉模糊数的多属性决策，将区间直觉模糊决策矩阵转化为区间数决策矩阵，再运用可能度进行排序。
假设方案在属性Gj下的属性值为区间直觉模糊数ij=（[aij，bij]，[cij，dij]），i=1，2，...，m ，j=1，2，...，n。
[aij，bij]表示方案Ai对属性Gj的满足程度，[cij，dij]表示方案Ai不满足属性Gj的程度，πij=[1-bij-dij，1-aij-cij]表示决策者的犹豫度，记决策矩阵D=（ij）m×n。
决策矩阵中元素ij的隶属度[aij，bij]越大说明方案Ai满足属性Gj的程度越大。
我们考虑犹豫度[1-bij-dij，1-aij-cij]中有一部分表示方案Ai满足属性Gj的值，因此可以给犹豫度适当的系数kij，将其合理分配到隶属度中。
设xij∈[aij，bij]，yij∈[cij，dij]，1-xij-yij∈[1-bij-dij，1-aij-cij]，则隶属区间可表示为：hij=xij+kij（1-xij-yij）。
其中kij∈[0，1]。
当kij固定时，hij是关于xij的增函数，关于yij的减函数。
因此当xij=aij，yij=dij时，hij取最小值aij+kij（1-aij-dij）；当xij=bij，yij=cij时，hij取最大值bij+kij（1-bij-cij）。
故此时隶属度的取值区间为：
[aij+kij（1-aij-dij），bij+kij（1-bij-cij）] （2）
此时我们可以将区间直觉模糊决策矩阵D转化为区间数决策矩阵H，H中元素hij越大则说明方案Ai满足属性Gj的值越大。
显然，将区间直觉模糊决策矩阵转化为区间数决策矩阵后，我们可以灵活运用区间数决策矩阵的各种排序方法。
3.混合型决策矩阵的排序方法
由于客观事物的复杂性、不确定性以及人类思维的模糊性，在实际决策问题中，决策信息往往很难以实数形式表示，取而代之以语言数、三角模糊数、区间直觉模糊数，甚至有多种形式同时出现的决策矩阵（称为混合型决策矩阵）。
因此，对以混合型决策矩阵作为信息载体的多属性决策排序问题的研究有着较为重要的理论意义和实际价值。
首先，我们对区间数、语言数、三角模糊数和区间直觉模糊数一次进行简单说明，并将它们转化为统一的区间形式。
区间数作为最早被人们认识的模糊数，其形式较为简单：a=[al，au]，其中al≤au。
当考虑到决策者在进行定性测度时，一般需要适当的语言评估标度.本文考虑采用7个语言短语构成的语言评论：
S={s0=极差，s1=差，s2=稍差，s3=一般，s4=稍好，s5=好，s6=极好}
此时我们考虑将上述评论集合S转换成与之一一对应三角模糊数集合：
S’={s0=（0，0，0.1），s1=（0，0.1，0.3），s2=（0.1，0.3，0.5），s3=（0.3，0.5，0.7），s4=（0.5，0.7，0.9），s5=（0.7，0.9，0.1），s6=（0.9，1，1.0）}
有时侯决策者会采用三角模糊数=（l，m，n）来表示各个专家对某些对象不确定的评价效用值。
记=（l，m，n）表示三角模糊数，其左右隶属函数分别为f（x）=和f（x）=。
相应的逆函数分别为g=l+（m-l）y和g=u+（m-u）y。
显然它们在区间[0，1]上连续且严格单调。
=（l，m，n）的左右数学期望分别是：
E=g（y）dy=（l+m）/2和E=g（y）dy=（u+m）/2
因此三角模糊数=（l，m，n）就可以转换成区间数[（l+m）/2，（u+m）/2]。
至此，我们已经可以将同时包含区间数、语言数、三角模糊数、区间直觉模糊数等多种模糊信息的混合型不确定决策矩阵化为较为简单的区间型多数性决策矩阵。
4.主要结果
本文针对同时包含区间数、语言数、三角模糊数、区间直觉模糊数等模糊信息的混合型决策矩阵求解其排序向量。
具体算法步骤如下：
步骤1 输入原始决策矩阵A=（aij）m×n，（aij可能为区间数、语言数、三角模糊数或区间直觉模糊数其中一种）首先，我们将原始混合型决策矩阵A转换成区间数决策矩阵A’=（a’ij）m×n，其中a’ij=[a’ij，b’ij]。
步骤2 对区间决策矩阵A’进行规范化得=（ij）m×n，公式为：
当属性j为成本型属性时：lij=a’lij/a’ukj uij=a’uij/a’lkj；
当属性j为成本型属性时：
lij=（1/a’lij）/（1/a’ukj）uij=（1/a’uij）/（1/a’lkj）。
步骤3 计算各个方案的综合属性值的值：
zi=ijωj ，i=1，2，...，m。
其中zi=[zli，zui]为第个方案的综合属性值。
步骤4 计算可能度矩阵P：P=（pij）m×m其中pij通过可能度进行比较得出。
步骤5 最后运用公式λi=，i=1，2，...，m得出方案的排序向量。
5.实例分析
考虑A1，A2，A3三个大学的学校评估问题。
通常对大学的评估采用教学
（B1）、科研（B2）、后勤（B3）及学生就业情况（B4）这四个指标。
权重向量ω=（0.35，0.3，0.1，0.25）T。
决策者用区间数、实数、区间直觉模糊数和三角模糊数等多种形式来表示原始的决策矩阵A=（aij）m×n，，数据如下表。
下面用本文中的方法确定最佳候选人。
经过步骤1，2得规范化后的区间决策矩阵：
步骤3 计算各个方案的综合属性值的值：
z1=[0.249，0.411]；z2=[0.295，0.455]；z3=[0.253，0.389]
步骤4 计算可能度矩阵P=。
步骤5 最后得出方案的排序向量λ=（0.315，0.3867，0.3083）T所以我们综合四方面的指标得到A1，A2，A3三所大学的排序：z2>z1>z3，从而A2大学的综合评价最好。
【参考文献】
[1]徐玖平.多属性决策的理论与方法.北京：清华大学出版社，2006.
[2]张市芳，刘三阳.一种语言多属性群决策问题排序方法.决策参考，2007，24（9）：39-40.
[3]刘天虎，许维胜，吴启迪.一种基于残缺信息的多准则区间直觉模糊决策方法[J].2008.28（4）：936-938.
[4]徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J].控制与决策，2007，22（2）：215-219.。