2011年上海市八校区重点(新八校)二模数学卷理

2011年上海市某校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 若复数z满足i⋅(3+z)=−1（其中i为虚数单位），则z=________．2. 已知函数f(x)=arcsinx的定义域为[−1，1]，则此函数的值域为________．23. 有一组统计数据共10个，它们是：2，4，4，5，5，6，7，8，9，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为________．4. 某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的结果a=________．)=3的距离为________．5. 在极坐标系中，极点到直线ρcos(θ−π6)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B 6. 在二项式(√x+3x＝72，则n＝________．7. 已知集合A={x|ax−1<0}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是________．x−a8. 一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为________．9. 设圆x2+y2=4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为________．10. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意抽取三个数，其中至少有两个数是连续整数的概率是________．x|的定义域为[a, b]，值11. 定义区间[x1, x2](x1<x2)的长度为x2−x1，已知函数y=|log12域为[0, 2]，则区间[a, b]长度的最大值与最小值的差为________．12. 已知a为常数，a>0且a≠1，指数函数f(x)=a x和对数函数g(x)=log a x的图象分别为C1与C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）与曲线C1的另一个交点为N，若曲线C2上存在一点P，且点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，则点P的坐标为________．≥λa12对任何等差数列{a n}及任何正整13. 设S n为数列{a n}的前n项之和．若不等式a n2+S n2n2数n恒成立，则λ的最大值为________．14. 某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：①函数y=f(x)的图象是中心对称图形；②对任意实数x，f(x)>0均成立；③函数的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数k满足|k|>1时，函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a|>|b|；②a <b ；③a +b <ab ，④a 3>b 3，不正确的不等式的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 316. “函数f(x)在[a, b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a, b]上有最大值和最小值”的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 17. 已知△ABC 内接于单位圆，则长为sinA 、sinB 、sinC 的三条线段（ ）A 能构成一个三角形，其面积大于△ABC 面积的一半B 能构成一个三角形，其面积等于△ABC 面积的一半 C 能构成一个三角形，其面积小于△ABC 面积的一半D 不一定能构成一个三角形18. 已知直线y =k(x +2)(k >0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k =( ) A 13 B √23 C 23 D2√23三、解答题（共5小题，满分74分）19. 已知命题P:limn →∞c =0，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式|523x −c6418x|中第一行、第二列元素的代数余子式记为f(x)，且函数f(x)在(−∞,14]上单调递增．若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围．20. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且AB // CD ，∠BAD =90∘，PA =AD =DC =2，AB =4． (1)求证：BC ⊥PC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．21. 设a →=(a 1,a 2)，b →=(b 1,b 2)，定义一种向量运算：a →⊗b →=(a 1b 1,a 2b 2)，已知m →=(12,2a)，n →=(π4,0)，点P(x, y)在函数g(x)=sinx 的图象上运动，点Q 在函数y =f(x)的图象上运动，且满足OQ →=m →⊗OP →+n →（其中O 为坐标原点）． （1）求函数f(x)的解析式； （2）若函数ℎ(x)=2asin 2x +√32f(x −π4)+b ，且ℎ(x)的定义域为[π2，π]，值域为[2, 5]，求a ，b 的值．22. 将数列{a n}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{b n}，已知：①在数列{b n}中，b1=1，对于任何n∈N∗，都有(n+1)b n+1−nb n=0；②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q(q>0)的等比数列；③a66=25．请解答以下问题：（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求上表中第k(k∈N∗)行所有项的和S(k)；（3）若关于x的不等式S(k)+1k >1−x2x在x∈[11000，1100]上有解，求正整数k的取值范围．23. 在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为103．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q(t, m)是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y2=2px(p>0)写出一个更一般的结论，并加以证明．2011年上海市某校联考高考数学二模试卷（理科）答案1. −3+i2. [−π6，π2]3. 5.64. 1275. 36. 37. [13，12)∪(2,3]8. 2√63π9. 410. 81511. 312. (4, log a4)13. 1514. ①④⑤ 15. C 16. A 17. C 18. D19. 解：由已知命题P:limn →∞c =0，其中c 为常数，是真命题，得：c 为常数 三阶行列式|523x −c6418x|中第一行、第二列元素的代数余子式记为f(x)， 则f(x)=−x 2+cx −4，且函数f(x)在(−∞,14]上单调递增． ∴ c2≥14，⇒c ≥12，∵ 命题Q 是假命题，∴ c <12．∴ 命题P 是真命题，而命题Q 是假命题， 实数c 的取值范围是−1<c <12．20. 解：方法1(I)证明：在直角梯形ABCD 中，∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，AD =DC =2 ∴ ∠ADC =90∘，且 AC =2√2． 取AB 的中点E ，连接CE ，由题意可知，四边形AECD 为正方形，所以AE =CE =2， 又 BE =12AB =2，所以 CE =12AB ，则△ABC 为等腰直角三角形， 所以AC ⊥BC ，又因为PA ⊥平面ABCD ，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC(II)由(I)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC =C ， 所以BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PAC ，过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于F ，所以AF ⊥平面PBC ， 则AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离，在直角三角形PAC 中，PA =2，AC =2√2，PC =2√3， 所以 AF =2√63即点A 到平面PBC 的距离为 2√63 方法2∵ AP ⊥平面ABCD ，∠BAD =90∘∴ 以A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 ∵ PA =AD =DC =2，AB =4．∴ B(0, 4, 0)，D(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，P(0, 0, 2)(I)∴ BC →=(2,−2,0)，PC →=(2,2,−2) ∵ BC →⋅PC →=0∴ BC →⊥PC →，即BC ⊥PC(II 由∵ PB →=(0,4,−2)，PC →=(2,2,−2)设面PBC 法向量 m →=(a, b, c) ∴ {m →⋅PC →=0˙∴ {4b −2c =02a +2b −2c =0设a =1，∴ c =2，b =1∴ m →=(1, 1, 2) ∴ 点A 到平面PBC 的距离为 d =|m →|˙ =2√63∴ 点A 到平面PBC 的距离为2√6321. 解：（1）P(x, y)在函数g(x)=sinx 的图象上运动可得，y =sinx ，设Q(x 1, y 1)， ∵ Q 满足OQ →=m →⊗OP →+n →=(12x ，2ay)+(π4,0)=(2x+π4，2ay)∴ {x 1=2x+π4y 1=2ay ⇒{x =2x 1−π2y =sinx =y 12a又因为y =sinx代入可得y 1=2asin(2x 1−π2)=−2acos2x 1 即f(x)=−2acos2x （2）ℎ(x)=2asin 2x +√32f(x −π4)+b=2asin 2x −√3asin2x +b =a +b −2asin(2x +π6)∵ x ∈[π2，π]，2x +π6∈[76π, 136π]当a >0时，{a +b +2a =5a +b −a =2∴ a =1，b =2当a <0时，{a +b +2a =2a +b −a =5∴ a =−1，b =522. 解：（1）由(n +1)b n+12−nb n 2+b n+1b n =0，b n >0， 令 t =b n+1b n得t >0，且(n +1)t 2+t −n =0即(t +1)[(n +1)t −n]=0， 所以 b n+1b n=nn+1因此b 2b 1=12，b 3b 2=23，…，b nb n−1=n−1n，将各式相乘得 b n =1n；（2）设上表中每行的公比都为q ，且q >0．因为3+4+5+...+11=63，所以表中第1行至第9行共含有数列b n 的前63项，故a 66在表中第10行第三列，因此a 66=b 10⋅q 2=25又b 10=110所以q =2．则 S(k)=b k (1−q k+2)1−q =1k (2k+2−1)k ∈N ∗（3）当x ∈[11000，1100]时，∵ 1x −x 为减函数，∴ 最小值为100−1100，∴ 1k (2k+2−1)>100−1100，∴ k ≥823. 解：（1）依题意，椭圆过点(2, 53)，故4a2+259b 2=1，a 2−b 2=4，解得a 2=9，b 2=5，故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1．（2）设Q(9, m)，直线QA 的方程为y =m 12(x +3)，代入椭圆方程，整理得(80+m 2)x 2+6x +9m 2−720=0， 设M(x 1, y 1)，则−3x 1=9m 2−72080+m 2，解得x 1=240−3m 280+m 2，y 1=m 12(x 1+3)=40m 80+m 2，故点M 的坐标为(240−3m 280+m 2, 40m80+m 2)．同理，直线QB 的方程为y =m 6(x −3)，代入椭圆方程，整理得(20+m 2)x 2−6x +9m 2−180=0，设N(x 2, y 2)，则3x 2=9m 2−18020+m 2，解得x 2=3m 2−6020+m 2，y 2=m6(x 1−3)=−20m20+m 2，故点M 的坐标为(3m 2−6020+m 2, −20m20+m 2)． ①若240−3m 280+m 2=3m 2−6020+m 2，解得m 2=40，直线MN 的方程为x =1，与x 轴交与(1, 0)点；②若m 2≠40，直线MN 的方程为y +20m 20+m2=10m 40−m2(x −3m 2−6020+m 2)，令y =0，解得x =1，．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1, 0)．（3）结论：已知抛物线y 2=2px(p >0)的顶点为O ，P 为直线x =−q(q ≠0)上一动点，过点P 作X 轴的平行线与抛物线交于点M ，直线OP 与抛物线交于点N ，则直线MN 必过定点(q, 0)．证明：设P(−q, m)，则M(m 22p , m)，直线OP 的方程为y =−mq x ，代入y 2=2px ，得y 2+2pq my =0，可求得N(2pq 2m 2, −2pq m)，直线MN的方程为y−m=2pmm2−2pq (x−m22p)，令y=0，解得x=q，即直线MN必过定点(q, 0)．。

2011年上海市高考数学模拟试卷2（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 矩阵A =[10−12]，B =[241−3]，则2A −3B =________．2. 参数方程{x =1+secαy =tanα（α为参数）化为普通方程，则这个方程是________．3. 在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB ＝CD ＝2，则四面体ABCD 的体积的最大值为________．4. 某组样本数据为2、3、−1、0、−3、4、2，试计算总体标准差的点估计值________．5. 若角α终边落在射线3x −4y =0(x ≤0)上，则tan[α+arccos(−√22)]=________．6. 如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…、P n …，记纸板P n 的面积为S n ，则limn →∞S n=________．7. 已知椭圆4x 2+y 2−8kx −4ky +8k 2−4=0（k 为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于√5，求直线方程________． 8. 不等式|1x −1|≥2的解集为________． 9. 设|z 1|=5，|z 2|=2，|z 1−z 2¯|=√13，求z 1¯z 2=________．10. 已知函数f(x)=3sin (ωx −π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x +φ)+1的图像的对称轴完全相同，若x ∈[0,π2]，则f(x)的取值范围是________． 11. 对任意的a 、b 、c ∈R +，代数式a 2+b 2+c 2ab+2bc的最小值为________．12. △ABC 内接于以O 为圆心半径为1的圆，且3OA →+4OB →+5OC →=0→，则△ABC 的面积S =________．13. 函数f(x)的定义域是D ，任意的a ，b ∈D ，有f(a)+f(b)=f(a+b1+ab )，f(x)的反函数为H(x)，已知H(a)，H(b)，则H(a +b)=________．14. 如图，4×4的方阵共16个黑点中，中间的4个点在一个圆内，其余的12个点内在圆外，若从这16个点中任取3个，使之构成三角形，且至少有一个顶点在圆内的三角形共有________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15. 行列式|(12)x7x 13456321|中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f(x)，1+f(x)的零点属于区间（ ）A (23, 1) B (12, 23) C (13, 12) D (0, 13)16. 函数f(x)、g(x)都是定义在R 上的函数，若x =g[f(x)]方程有解，则函数g[f(x)]不可能是（ ）A x 2+x −15 B x 2−15 C x 2+x +15 D x 2+1517. 设abc >0，二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象可能是（ ）A B C D18. 有一堆形状、大小都相同的珠子，其中有一颗比其它的要轻，假设用天平三次一定能找到这颗珠子，则这堆珠子最多有几颗（ ） A 24 B 27 C 30 D 33三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（本题满分74分）19.如图，直三棱柱容器ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，其容积为10(L)，高为4(dm)，且在棱AA 1和CC 1上有D 、E 两处泄露，DA 1=3(dm)，EC 1=2(dm)，则此容器最多能盛水多少．20. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C ，的对边，且cosBcosC =−b2a+c ． （1）求角B 的大小．（2）在△ABC 中，作角B 的角平分线，交AC 于D ，求证1AB +1CB =1BD ．21. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1（a ，b ∈R ），x ∈R ． (1)若函数f(x)的最小值是f(−1)=0，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，f(x)>x +k 在区间[−3, −1]上恒成立，试求k 的范围． 22. 已知{a k }数列是等差数列．（1）若m +n =p +q ，求证a m +a n =a p +a q ．（2）若a k =2k −1，求证a 12+a 22+...+a k 2=13k(4k 2−1)．（3）若对于给定的正整数s ，有a 12+a s+12=1，求S =a s+1+...+a 2s +a 2s+1的最大值．23. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)（1）若a =4，b =3，过点P(6, 3)的动直线l 与双曲线C 相交于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，求证点Q 总在某定直线上．（2）在双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，过双曲线外一点P(m, n)的动直线l 与双曲线C 相交于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，则点Q 在哪条定直线上？（3）试将该结论推广至其它圆锥曲线上，证明其中的一种情况，并猜想该直线具有的性质．2011年上海市高考数学模拟试卷2（理科）答案1. [−4−12−513]2. (x −1)2−y 2=13.4√334. √65. 17 6. π37. y =2x ±2 8. [−1, 0)∪(0, 13] 9. 2±32i 10. [−32,3] 11.2√55 12. 6513. H(a+b)=H(a)+H(b)1+H(a)⋅H(b)14. 31215. B16. C17. D18. B19. 解：由三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=π2 V ABC−A1B1C1=S△ABC⋅AA1=12⋅AC⋅BC⋅4=10，得：AC⋅BC=5V B−ADEC=1S四边形ADEC⋅BC=13⋅12(AD+CE)⋅AC⋅BC=2.5此容器最多能盛水：V ABC−A1B1C1−V B−ADEC=7.5(L)．20. 解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：cosB cosC =−sinB2sinA+sinC，整理得：2sinAcosB+sinCcosB=−sinBcosC，即2sinAcosB=−(sinBcosC+cosBsinC)=−sin(B+C)，又sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，∴ 2sinAcosB=−sinA，又sinA≠0，∴ cosB=−12，又B为三角形的内角，则B=120∘；（2）根据题意画出图形，如图所示：∵ ∠ABC=120∘，BD为角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD=60∘，又DE // AB，∴ ∠BDE=∠ABD=60∘，∴ ∠CBD=∠BDE=60∘，∴ △BDE为等边三角形，∴ BD=BE=DE，又DE // AB，∴ CEBE =CDAD，即BC−BEBE=CDAD，即BC−BDBD =CDAD，又BD为角平分线，可得BCAB =CDAD，∴ BC−BDBD =BCBD−1=BCAB，则两边同时除以BC得：BCBD ⋅1CB−1CB=BCAB⋅1CB，则1BD −1CB=1AB，即1AB+1CB=1BD．21. 解：(1)因为函数f(x)的最小值是f(−1)=0，所以a≠0．由题意有：f(−1)=a−b+1=0，同时说明f(x)的对称轴为−b2a=−1，故而a=1，b=2即f(x)=x2+2x+1．(2)由f(x)>x+k，有x2+x+1>k，问题转化为求函数g(x)=x2+x+1在x∈[−3, −1]上的最小值，又函数g(x)=x2+x+1的对称轴为x=−12，所以g(x)在[−3, −1]上为减函数，故g(x)min=g(−1)=1，所以k<1．22. 证明：（1）因为{a k}是等差数列，设其首项为a1，公差为d，所以a m+a n=a1+(m−1)d+a1+(n−1)d=2a1+(m+n−2)d．a p+a q=a1+(p−1)d+a1+(q−1)d=2a1+(p+q−2)d．因为m+n=p+q，所以2a1+(m+n−2)d=2a1+(p+q−2)d，所以a m+a n=a p+a q．（2）因为a k=2k−1，所以a k2=4k2−4k+1，所以a12+a22+...+a k2=4(12+22+...+k2)+4(1+2+3+...+k)+k=4k(k+1)(2k+1)6+4(1+k)k2+k=13k(4k2−1)．即a12+a22+...+a k2=13k(4k2−1)．（3）解：S=a s+1+a s+2+⋯+a2s+1=(s+1)(a s+1+a2s+1)2设a s+1+a2s+1=A，则A=a s+1+a2s+1+a1−a1=a s+1+2a s+1−a1=3a s+1−a1．则a s+1=A+a13，由a12+(A+a13)2=1，可得：10a12+2Aa1+A2−9=0，由△=4A2−40(A2−9)≥0，可得：−√10≤A≤√10．所以S =(s+1)(a s+1+a 2s+1)2=(s+1)A 2≤√10(s+1)2． 所以S =a s+1+...+a 2s +a 2s+1的最大值为m+12√10． 23. 解：（1）由题意得双曲线C 的方程为x 216−y 29=1．设点Q 、A 、B 的坐标分别为(x, y)，(x 1, y 1)，(x 2, y 2)． 由题设知|AP →|，|PB →|，|AQ →|，|QB →|均不为零，记λ=|AP →||PB →|=|AQ →||QB →|，则λ>0且λ≠1又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP →=−λPB →，AQ →=λQB →于是6=x 1−λx 21−λ，3=y 1−λy 21−λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ从而x 12−λ2x 221−λ2=6x①，y 12−λ2y 221−λ2=3y②，又点A 、B 在椭圆C 上，即x 1216−y 129=1③，x 2216−y 229=1④，①×9−②×16并结合③、④得9x −8y =24， 即点Q(x, y)总在定直线9x −8y =24上．（2）类似于（1）可得结论：在双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，过双曲线外一点P(m, n)的动直线l 与双曲线C 相交与不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，得出点Q 在定直线b 2mx −a 2ny =a 2b 2上； （3）该结论推广至其它椭圆上，有：在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)，过椭圆外一点P(m, n)的动直线l 与椭圆C 相交与不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，得出点Q 在定直线b 2mx +a 2ny =a 2b 2上； 类似于（1）得： 于是m =x 1−λx 21−λ，n =y 1−λy 21−λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ从而x 12−λ2x 221−λ2=mx①，y 12−λ2y 221−λ2=ny②，又点A 、B 在椭圆C 上，即x 12a 2+y 12b 2=1③，x 22a 2+y 22b 2=1④，①×b 2+②×a 2并结合③、④得b 2mx +a 2ny =a 2b 2， 即点Q(x, y)总在定直线b 2mx +a 2ny =a 2b 2上．。

2011上海市某校高考数学模拟试卷（理科）一、填空题（本题共14小题，每小题4分，共56分） 1. 函数y =√1−lgx 的定义域为________．2. 过P(1, 2)，以n →=(3,4)为法向量的点法向式直线方程为________． 3. 若复数z 满足|z1−ii|=−1+2i ，则z 等于________． 4. 设集合A ={x|−2<x <1}，B ={x|x −a <0}，若A ⊊B ，则a 的取值范围为________． 5. 若函数f(x)=2+sin 2ωx(ω>0)的最小正周期与函数g(x)=tan x2的最小正周期相等，则正实数ω的值为________．6. 现有2010年上海世博会各展览馆卡片5张，卡片正面分别是中国馆、台湾馆、沙特馆、日本馆、韩国馆，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次性随机抽出两张，则抽到台湾馆的概率是________．7. 若(2x +√3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4)2−(a 1+a 3)2的值为________．8. 已知xy >0，且xy −x −y =0，则x +y 的最小值为________． 9. 已知|a →|=|b →|=2，a →与b →的夹角为π3，则a →+b →在a →上的投影为________．10. 在锐角△ABC 中，角B 所对的边长b =10，△ABC 的面积为10，外接圆半径R =13，则△ABC 的周长为________．且其数学期望Eξ=1.5，则a −b =________．12. 如右图所示，已知0为矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为旋转轴，旋转这个矩形所得的几何体体积为1，其中以OA 为母线的圆锥体积为14，则以OB 为母线的圆锥体积为________．13. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是________．14. 我们把形如y =b|x|−a (a >0,b >0)的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a =1，b =1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为________．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15. “α=2kπ+β，k∈Z”是“sinα=sinβ”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件16. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A f(x)=x2B f(x)=|x|x C f(x)=e x−e−xe x+e−xD f(x)=√x17. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A y=f(2x−12) B y=f(2x−1) C y=f(x2−1) D y=f(x2−12)18. 数列{a n}满足a1=1，a n+1⋅√1a n2+4=1(n∈N∗)，记S n=a12+a22+...+a n2，若S2n+1−S n≤m30对n∈N∗恒成立，则正整数m的最小值为（）A 10B 9C 8D 7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=2，∠BCA=90∘，AA1=4，E是A1B1的中点．（1）求CE与平面ACB所成的角．（2）求异面直线BA1与CB1所成的角．20. 设f(x)=2sin(π2−x 2)sin(π+x 2)+cos 2(π2−x 2)−cos 2(π+x2)（1）若x ∈(0,π2)，求f(x)的最小值； （2）设g (x)=f(2x −π4)+2m ，x ∈[π4,7π8]，若g (x)有两个零点，求实数m 的取值范围．21. 在平面直角坐标系中，直线L:y =mx +3−4m ，m ∈R 恒过一定点，且与以原点为圆心的圆C 恒有公共点．（1）求出直线L 恒过的定点坐标；（2）当圆C 的面积最小时，求圆C 的方程；（3）已知定点Q(−4, 3)，直线L 与（2）中的圆C 交于M 、N 两点，试问QM →⋅QN →⋅tan∠MQN 是否存在最大值，若存在则求出该最大值，并求出此时直线L 的方程，若不存在请说明理由．22. 已知点P n (a n , b n )满足a n+1=a n b n+1，b n+1=b n1−a n2，且P 0(13,23)(n ∈N)．（1）求点P 1坐标，并写出过点P 0，P 1的直线L 的方程； （2）猜测点P n (n ≥2)与直线L 的位置关系，并加以证明；（3）求数列{a n }与{b n }的通项公式，并求OP n →⋅OP n+1→的最小值（其中O 为坐标原点，n ∈N ∗）．23. 已知函数f 1(x)=e |x−2a+1|，f 2(x)=e |x−a|+1，x ∈R ．（1）若a =2，求f(x)=f 1(x)+f 2(x)在x ∈[2, 3]上的最小值；（2）若|f 1(x)−f 2(x)|=f 2(x)−f 1(x)对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围； （3）当4≤a ≤6时，求函数g(x)=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2在x ∈[1, 6]上的最小值．2011上海市某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. (0, 10]2. 3(x −1)+4(y −2)=03. 1+i4. a ≥15. 126. 257. 18. 49. 310. 10+10√3 11. 0 12. 11213. 395914. 3π15. A16. C17. B18. A19. 解：（1）过点E作EH垂直于AB于H，连接CH，则∠ECH就是所求的CE与平面ACB所成的角∵ EH=4，CH=√2∠ECH=arctan2√2即CE与平面ACB所成的角为arctan2√2；（2）在直三棱柱的下方补上一个全等的直三棱柱∵ CB1 // C2B∴ ∠A1BC2或其补角就是异面直线BA1与CB1所成的角∵ BA1=2√6，C2B=2√5，A1C2=2√17∴ 在△A1BC2中，由余弦定理可得∠A1BC2=arccos(−√3010)∴ 异面直线BA1与CB1所成的角为arccos√3010．20. 解：（1）∵ f(x)=2sin(π2−x2)sin(π+x2)+cos2(π2−x2)−cos2(π+x2)=−2cos 12xsin12x+sin212x−cos212x∴ f(x)=−sinx−cosx=−√2sin(x+π4)∵ π4<x+π4<3π4∴ x=π4，f min=−√2（2）设g(x)=−√2sin2x+2m，x∈[π4,7π8]∵ 函数g(x)有两个零点∴ 方程−√2sin2x+2m=0当x∈[π4,7π8]时有两个解∴ y =2m 与y =√2sin2x ，x ∈[π4,7π8]图象有两个交点则−√2<2m ≤−1 ∴ −√22<m ≤−1221. 解：（1）直线L:y =mx +3−4m 可化简为y =m(x −4)+3 所以直线恒过定点T(4, 3)（2）由题意，要使圆C 的面积最小，定点T(4, 3)在圆上， 所以圆C 的方程为x 2+y 2=25． （3）QM →⋅QN →⋅tan∠MQN=|QM →||QN →|⋅cos∠MQN ⋅tan∠MQN =|QM →|⋅|QN →|⋅sin∠MQN =2S △MQN （10分）由题意得直线L 与圆C 的一个交点为M(4, 3)，又知定点Q(−4, 3)， 直线L MQ :y =3，|MQ|=8，则当N(0, −5)时S MQN 有最大值32． 即QM →⋅QN →×tan∠MQN 有最大值为64， 此时直线L 的方程为2x −y −5=0． 22. 解：（1）由a 0=13，b 0=23， 得a 1=14，b 1=34， 得P 1坐标为(14,34)…2′显然直线L 的方程为x +y =1 ...4′ （2）由a 1=14，b 1=34， 得a 2=15，b 2=45，∴ 点P 2∈L ，猜想点P n (n ≥2, n ∈N)在直线L 上，…6′ 以下用数学归纳法证明： 当n =2时，点P 2∈L当n =k(k ≥2)时，点P k ∈L ， 即a k +b k =1， 则当n =k +1时，a k+1+b k+1=a k b k+1+b k+1=(1+a k )⋅b k 1−a k2=bk1−a k=1，∴ 点P k+1∈L ，∴ 点P n ∈L(n ≥2)…10′ （3）由a n+1=a n b n+1，b n+1=bn1−a n2，a n +b n =1， 得a n+1=a n b n1−a n2=a n1−a n1−a n2=a n 1+a n(a n ≠0)∴1a n+1=1a n+1...12′∴ {1a n}是等差数列，∴ 1a n=1a 0+n =n +3，∴ a n =1n+3，b n =n+2n+3 (14)′OP n →⋅OP n+1→=a n a n+1+b n b n+1=1−2n +5n 2+7n +12...16′令2n +5=t 则n =t−52，上式可化简化1−4tt 2+4t+3=1−4t+3t+4由单调性可得当t =7， n =1时，上式有最小值为1320所以1−2n+5n 2+7n+12(n ∈N ﹡)的最小值为1320． ...18′23. 解：（1）对于a =2，x ∈[2, 3]，f(x)=e |x−3|+e |x−2|+1=e 3−x +e x−1≥2√e 3−x ⋅e x−1=2e ，当且仅当e 3−x =e x−1，即x =2时等号成立，∴ f(x)min =2e ． （2）|f 1(x)−f 2(x)|=f 2(x)−f 1(x)对于任意的实数x 恒成立，即f 1(x)≤f 2(x)对于任意的实数x 恒成立，亦即e |x−2a+1|≤e |x−a|+1对于任意的实数x 恒成立， ∴ |x −2a +1|≤|x −a|+1，即|x −2a +1|−|x −a|≤1对于任意的实数x 恒成立． 又|x −2a +1|−|x −a|≤|(x −2a +1)−(x −a)|=|−a +1|对于任意的实数x 恒成立，故只需|−a +1|≤1，解得0≤a ≤2，∴ a 的取值范围为0≤a ≤2． （3）g(x)=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2={f 1(x)，f 1(x)≤f 2(x)f 2(x)，f 1(x)>f 2(x)∵ f 1(x)与f 2(x)的底数都同为e ，外函数都单调递增∴ 比较f 1(x)与f 2(x)的大小关系，只须比较|x −2a +1|与|x −a|+1的大小关系 令F 1(x)=|x −2a +1|，F 2(x)=|x −a|+1，G(x)={F 1(x)，F 1(x)≤F 2(x)F 2(x)，F 1(x)>F 2(x)其中4≤a ≤6，x ∈[1, 6]∵ 4≤a ≤6∴ 2a −1≥a ≥1，令2a −1−x =1，得x =2a −2，由题意可以如下图象：当4≤a≤6时，a≤6≤2a−2，G(x)min=F2(a)=1，g(x)min=e1=e；。

上海市宝山区、嘉定区2011学年中考预测数学试卷（测试时间：100分钟，满分150分） 2012.4. 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．考试不使用计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列计算正确的是 （ ）．（A ）422a a a =+； （B ）236a a a =÷； （C ）32a a a =⋅； （D ）532)(a a =． 2．如果b a <，0<c ，那么下列不等式成立的是（ ）．（A ）c b c a +<+； （B ） c b c a +-<+-； （C ）bc ac <； （D ）cbc a <． 3．一次函数1-=x y 的图像不．经过（ ）． （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限．4．在研究反比例函数图像与性质时，由于计算粗心，小明误认为（2-，3）、（2，3-）、（2-，3-）、 （3，2-）、（23-，4）五个点在同一个反比例函数的图像上，后来经检查发现其中有一个点不在， 这个点是（ ）．（A ）（2，3-）； （B ）（2-，3）； （C ）（2-，3-）； （D ）（23-，4）． 5．如图1，在编号为错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

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的四个三角形中，关于x 轴对称的两个三角形是（ ）．（A ）错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

； （B ）错误！未找到引用源。

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2011年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（填空每个4分，共56分）1. 函数y =lg(2011x −1)的定义域是________．2. 若sinx =13，x ∈[−π2,π2]，则x ＝________（结果用反三角函数表示） 3. 已知线性方程组的增广矩阵为[103210]，则其对应的方程组为________．4. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线DB 与B 1C 所成角的为________．5. 若复数3+i 是实系数一元二次方程x 2−6x +b =0的一个根，则b =________．6. 已知|a →|=|b →|=2，a →与b →的夹角为π3，则b →在a →上的投影为________． 7. 在二项式(x 2−1x )5的展开式中，含x 4的项的系数是________．8. 在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1⋅a 2•…•a 7⋅a 8=16，则a 4+a 5的最小值为________． 9. 已知双曲线k 2x 2−y 2=1(k >0)的一条渐近线的法向量是(1, 2)，那么k =________．10. 设函数y =f(x)=a x (a >0, a ≠1)，y =f −1(x)表示y =f(x)的反函数，定义如框图表示的运算，若输入x =−2，输出y =14，当输出y =−3时，则输入x =________．11. （理）如下表，已知离散型随机变量ξ的分布列，则Dξ为________．轴正半轴为极轴建立极坐标系，则M 的极坐标为________（角用反三角表示）13. 在平面直角坐标系中，设点P(X, Y)定义[OP]=|x|+|y|，其中O 为坐标原点，对于以下结论：①符合[OP]=1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；②设P 为直线√5x +2y −2=0上任意一点，则[OP]的最小值为1；③设P 为直线y =kx +b(k, b ∈R)上的任意一点，则“使[OP]最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k =±1”；其中正确的结论有________（填上你认为正确的所有结论的序号） 14. （理）在空间直角坐标系O −xyz 中，满足条件[x]2+[y]2+[z]2≤1的点(x, y, z)构成的空间区域Ω2的体积为V 2（[x]，[y]，[z]分别表示不大于x ，y ，z 的最大整数），则V 2=________．二、选择题（每个4分，共16分）15. 在△ABC 中，“ccosB =bcosC”是“△ABC 是等腰三角形”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件16. 已知数列{a n }的通项公式为a n ={2n1+2nn ≤100C 2n (2n−1)(n+1)n >100(n ∈N +)，则limn →+∞a n =( )A 1B 14 C 1或14 D 不存在17. （理）已知函数f(x)=2x +1，x ∈R ．规定：给定一个实数x 0，赋值x 1=f(x 0)，若x 1≤255，则继续赋值x 2=f(x 1) …，以此类推，若x n−1≤255，则x n =f(x n−1)，否则停止赋值，如果得到x n 后停止，则称赋值了n 次(n ∈N ∗)．已知赋值k 次后该过程停止，则x 0的取值范围是（ ）A (2k−9, 2k−8]B (2k−8−1, 2k−9−1]C (28−k −1, 29−k −1]D (27−k −1, 28−k −1] 18. 行列式|(12)x7x 13456321|中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f(x)，1+f(x)的零点属于区间（ ）A (23, 1) B (12, 23) C (13, 12) D (0, 13)三、解答题（12+14+16+18+18=78分）19. 用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x ，圆锥母线的长为y （1）建立y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为π3，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m 3）20. （理）设函数f(x)=ax +4x (x >0)，a ∈R +．（1）当a =2时，用函数单调性定义求f(x)的单调递减区间（2）若连续掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）得到的点数分别作为a 和b ，求f(x)>b 2恒成立的概率．21. （理）已知F 1(−√2,0)和F 2(√2,0)，点T(x, y)满足|TF 1→|+|TF 2→|=4，O 为直角坐标原点，（1）求点T的轨迹方程Γ；（2）任意一条不过原点的直线L与轨迹方程Γ相交于点P，Q两点，三条直线OP，OQ，PQ的斜率分别是k OP、k OQ、k PQ，k PQ2=k OP⋅k OQ，求k PQ．22. （理）已知函数f(x)=|sinx cosx−sinαcosα|，g(x)=|cosx sinxsinβcosβ|，α，β是参数，x∈R，α∈(−π2，π2)，β∈(−π2，π2)(1)若α=π4，β=π4，判别ℎ(x)=f(x)+g(x)的奇偶性；若α=−π4，β=π4，判别ℎ(x)=f2(x)+g2(x)的奇偶性；(2)若α=π3，t(x)=f(x)g(x)是偶函数，求β；(3)请你仿照问题(1)(2)提一个问题(3)，使得所提问题或是(1)的推广或是问题(2)的推广，问题(1)或(2)是问题(3)的特例．（不必证明命题）将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．23. 已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，a n+1={pa n+n−1(n为奇数)−a n−2n(n为偶数)．（1）若数列{b n}满足b n=a2n+a2n+1(n≥1)，试求数列{b n}前n项和T n；（2）若数列{c n}满足c n=a2n，试判断c n是否为等比数列，并说明理由；（3）当p=12时，问是否存在n∈N∗，使得(S2n+1−10)c2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．2011年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）答案1. (0, +∞)2. arcsin133. {x=32x+y=0 4. π35. 106. 17. 108. 2√29. 1210. 1811. 212. (√5，π−tan12)13. ①14. 715. A16. B17. C18. B19. 所制作的圆锥形容器容积0.99立方米20. 解：（1）f(x)=2x+4x根据耐克函数的性质，f(x)=2x+4x的单调递减区间是(0,√2]，证明如下：设任意0<x1<x2≤√2，则f(x1)−f(x2)=2x1+4x1−2x2−4x2=2(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=2(x1−x2)(1−2x1x2)∵ 0<x1<x2≤√2∴ x1−x2<0，0<x1x2<2，1−2x1x2<0∴ f(x1)−f(x2)>0所以f(x)=2x+4x的单调递减区间是(0,√2]（2）∵ f(x)min≥4√a∴ 16a>b4基本事件总数为6×6=36，当a=1时，b=1；当a=2，3，4，5时，b=1，2，共2×4=8种情况；当a=6时，b=1，2，3；目标事件个数为1+8+3=12．因此所求概率为13．21. 解：（1）由题意，点T的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且a=2,c=√2从而所求轨迹方程为x 24+y22=1（2）设直线L的方程：y=kx+t(t≠0){y=kx+tx24+y22=1消去y得：(1+2k2)x2+4ktx+2t2−4=0，x1x2=2t2−41+2k2消去x得：(1+2k2)y2−2yt+t2−4k2=0，y1y2=t2−4k21+2k2∴ k OP⋅k OQ=y1x1⋅y2x2=y1y2x1x2=t2−4k22t2−4=k2，∴ k2=12∴ k=±√2222. （理）解：(1)f(x)=sinx−cosα+cosx−cosα，g(x)=cosx⋅cosα−sinx⋅sinαf(x)=sin(x +α)，g(x)=cos(x +β)ℎ(x)=sin(x +π4)+cos(x +π4)=√2sin(x +π2)=√2cosx所以ℎ(x)是偶函数ℎ(x)=sin 2(x −π4)+cos 2(x +π4)=1−cos(2x −π2)2+1+cos(2x +π2)2=1−sin2x +1−sin2x 2=1−sin2x所以ℎ(x)是非奇非偶函数 (2)方法一（积化和差）：t(x)=f(x)⋅g(x)为偶函数， t(x)=sin(x +π3)⋅cos(x +β)=12[sin(2x +β+π3)+sin(π3−β)]t(x)=f(x)⋅g(x)为偶函数，所以sin(2x +β+π3)是偶函数， β+π3=kπ+π2，β∈(−π2，π2)， ∴ β=π6方法二（定义法）：t(x)=f(x)⋅g(x)为偶函数所以t(x)=t(−x),sin(x +π3)cos(x +β)=sin(−x +π3)cos(−x +β)展开整理sinx ⋅cosx ⋅(cosβ−√3sinβ)=0对一切x ∈R 恒成立 tanβ=√33，β∈(−π2，π2)，∴ β=π6方法三（特殊值法）：t(x)=f(x)⋅g(x)为偶函数所以t(x)=t(−x),sin(x +π3)cos(x +β)=sin(−x +π3)cos(−x +β)∴ t(π3)=t(−π3)，所以sin(π3+π3)cos(π3+β)=sin(−π3+π3)cos(−π3+β)=0 cos(π3+β)=0，β∈(−π2，π2)， ∴ β=π6(3)第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，1、α+β=π2，f(x)+g(x)是偶函数； 2、α+β=−π2，f(x)+g(x)是奇函数； 3、α−β=π2，f(x)+g(x)是非奇非偶函数； 4、α−β=−π2，f(x)+g(x)既奇又偶函数第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，1、α+β=π2，f 3(x)+g 3(x)是偶函数；（数字不分奇偶）2、α+β=−π2，f 5(x)+g 5(x)是奇函数α+β=−π2，f 4(x)+g 4(x)是偶函数（数字只能同奇数）3、α−β=π2，f 5(x)+g 5(x)是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但求相同）4、α−β=−π2，f 3(x)+g 3(x)是既奇又偶函数 （数字只能奇数） α−β=−π2，f 2(x)+g 2(x)是非奇非偶函数第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1、f 3(x)+g 3(x)是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则α+β=π2 2、f 5(x)+g 5(x)是奇函数（数字只能正奇数），则α+β=−π2f 2(x)+g 2(x)是偶函数（数字只能正偶数），则α+β=−π23、f 3(x)+g 3(x)是偶函数 （数字只能正奇数），则α−β=−π2第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以， 1、α+β=π2的充要条件是f(x)+g(x)是偶函数2、f 5(x)+g 5(x)是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是α+β=−π2 f 2(x)+g 2(x)是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是α+β=−π2 3、f 3(x)+g 3(x)是偶函数 （数字只能正奇数）的充要条件是α−β=−π2 第五层，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以，限于篇幅省略） 1、α+β=π2，n ∈N ∗时，f n (x)+g n (x)都是偶函数2、α+β=−π2，n ∈N ∗时，n 是正奇数，f n (x)+g n (x)是奇函数 α+β=−π2，n ∈N ∗时，n 是正偶数，f n (x)+g n (x)是偶函数3、α−β=−π2，n ∈N ∗时，n 奇数，f n (x)+g n (x)是既奇又偶函数4、α−β=−π2，n ∈N ∗时，n 偶数，f n (x)+g n (x)是非奇非偶函数23. 解：（1）据题意得b n =a 2n +a 2n+1=a 2n −a 2n −2×2n =−4n ，所以{b n }成等差数列，故T n =−2n 2−2n（2）当p =12时，数列{c n }成等比数列；当p ≠12时，数列{c n }不为等比数列理由如下：因为c n+1=a 2n+2=pa 2n+1+2n =p(−a 2n −4n)+2n =−pc n −4pn +2n ， 所以c n+1c n =−p +2n(1−2p)c n，故当p =12时，数列c n 是首项为1，公比为−12等比数列；当p ≠12时，数列{c n }不成等比数列 （3）当p =12时，a 2n =c n =(−12)n−1，a 2n+1=b n −a 2n =−4n −(−12)n−1 因为S 2n+1=a 1+b 1+b 2+...+b n =−2n 2−2n +2(n ≥1) ∵ (S 2n+1−10)c 2n =1，∴ 4n 2+4n +16=4n ，设f(x)=4x −4x 2−4x −16(x ≥2)， 则g(x)=f ′(x)=4x ln4−8x −4，∴ g ′(x)=(ln4)24x −8>0(x ≥2)，且g(2)=f ′(2)>0， ∴ f(x)在[2, +∞)递增，且f(3)=0，f(1)≠0， ∴ 仅存在惟一的n =3使得(S 2n+1−10)c 2n =1成立。

2011年上海高考数学试卷（理）解答一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 【答案】：12x+ 【解】：111222y x x x y y =⇒-=⇒=+-；12y x =+1()2f x x⇒=+。

【评注】：2、若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 【答案】：{}01(0,1)x x <<= 【解】：【评注】：3、设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则___m = 【答案】：16【解】：29516m m +=⇒= 【评注】：4、不等式13x x+≤的解为 【答案】：102x x <≥或【解】：11312113300002x x x x x x x x x x x ++---≤⇒-≥⇒≥⇒≥⇒<≥或。

【评注】：5、在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）【答案】：1arctan arcsin 2== 【解法一】：【解法二】：【评注】：6、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、B 两点之间的距离为 千米。

【答案】【解】： 【评注】：7、若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为【答案】 【解】： 【评注】： 8、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为【答案】：24【解法一】：展开后利用辅助角公式化为一角一函数，然后求最值。

利用诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式sin()cos()26y x x ππ=+-cos (cos cos sin sin )66x x x ππ=+1cos (cos sin )22x x x =+21sin cos 2x x x =+1cos 211sin 2222x x +=+⋅11(sin 22)22x x =+1sin(2)23x π=++12≤=。

2011年上海中考数学二模试题及答案一、 选择题： 1．3的倒数是（ ）A .-3B .3C .13 D .13- 2．计算232(3)x x ⋅-的结果是（ ）A .56x - B .56x C .62x - D .62x3．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A .相交B .相切C .相离D . 无法确定 4．使分式24xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A . 2x = B .2x ≠ C .2x =- D .2x ≠-5．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集是（ ）A .2x >B .3x <C .23x <<D .无解 6．如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD =40°，则∠DCF 等于（ ）A .80°B . 50°C . 40°D . 20° 7．如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图， 则搭成这个几何体的小正方体的个数是.（ ） A .3 B .4 C . 5 D . 68．观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民人均 收入每年比上一年增长率的统计图，下列说法正确的是（ ） A .2003年农村居民人均收入低于2002年B .农村居民人均收入比上年增长率低于9%的有2年C .农村居民人均收入最多时2004年OCFG DE俯视图左视图主视图时间：（年）20052004200320022001D .农村居民人均收入每年比上一年的增 长率有大有小，但农村居民人均收入在持续增加9．免交农业税，大大提高了农民的生产积极性，镇政府引导农民对生产的耨中土特产进行春节期间，这三种不同的包装的土特产都销售了1200千克，那么本次销售中，这三种包装的土特产获得利润最大是（ ）A .甲B . 乙C .丙D . 不能确定10.现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）。

2011年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分） 1. 不等式|1x −1x x +4|>1的解集是________．2. 若函数y =f(x)与y =e x+1的图象关于直线y =x 对称，则f(x)=________．3. 经过抛物线y 2=4x 的焦点，且以d →=(1,1)为方向向量的直线的方程是________．4. 计算：limn →+∞C n 22+4+6+⋯+2n=________．5. (x −√x)8展开式中x 5的系数为________． 6. 若数列{a n }为等差数列，且a 1+3a 8+a 15=120，则2a 9−a 10的值等于________．7. 已知直线m ⊥平面α，直线n 在平面β内，给出下列四个命题：①α // β⇒m ⊥n ；②α⊥β⇒m // n ；③m ⊥n ⇒α // β；④m // n ⇒α⊥β，其中真命题的序号是________．8. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同．若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数ξ的数学期望是________．9. 极坐标方程4ρsin 2θ2=5所表示曲线的直角坐标方程是________．10. 在△ABC 中，已知最长边AB =3√2，BC =3，∠A =30∘，则∠C =________．11. 已知函数f(x)=|lg(x +1)|，若a ≠b 且f(a)=f(b)，则a +b 的取值范围是________．12. 在平行四边形ABCD 中，AB =1，AC =√3，AD =2；线段 PA ⊥平行四边形ABCD 所在的平面，且PA =2，则异面直线PC 与BD 所成的角等于________（用反三角函数表示）．13. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 3S 2的取值范围是________．14. 已知函数f(x)满足：①对任意x ∈(0, +∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；②当x ∈(1, 2]时，f(x)=2−x ．若f(a)=f(2020)，则满足条件的最小的正实数a 是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15.如图给出的是计算1+13+15+⋯+12011的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A i ≤2011B i >2011C i ≤1005D i >1005 16. 已知函数f(x)={(3−a)x −ax <1log a x x ≥1是(−∞, +∞)上的递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A (1, +∞)B (−∞, 3)C [32, 3) D (1, 3)17. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1和直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为( )A BC D18. 已知有穷数列A:a 1，a 2，…，a n (n ≥2, n ∈N)．定义如下操作过程T ：从A 中任取两项a i ，a j ，将a i +aj1+a i aj的值添在A 的最后，然后删除a i ，a j ，这样得到一系列n −1项的新数列A 1 （约定：一个数也视作数列）；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列n −2项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k ．设A:−57，34，12，13，则A 3的可能结果是（ ） A 0 B 34C 13D 12三、解答题（共5小题，满分74分）19. 如图，用半径为10√2cm ，面积为100√2πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1cm 3）20. 已知向量a →=(sinx,cosx)，b →=(sinx,sinx)，c →=(−1,0)． (1)若x =π3，求向量a →、c →的夹角θ；(2)若x ∈[−3π8，π4]，函数f(x)=λa →⋅b →的最大值为12，求实数λ的值．21. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8．（1）设点Q(x, y)是圆C 上一点，求x +y 的取值范围；（2）如图，定点A(1, 0)，M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →=2AP →，NP →⋅AM →=0，求点N 的轨迹的内接矩形的最大面积． 22. 设虚数z 满足z 2−m t z +m 1004=0（m 为实常数，m >0且m ≠1，t 为实数）．（1）求|z|的值；（2）当t ∈N ∗，求所有虚数z 的实部和；（3）设虚数z 对应的向量为OA →（O 为坐标原点），OA →=(c,d)，如c −d >0，求t 的取值范围．23. 设二次函数f(x)=(k −4)x 2+kx ，k ∈R ，对任意实数x ，有f(x)≤6x +2恒成立；数列{a n }满足a n+1=f(a n )．（1）求函数f(x)的解析式和值域；（2）试写出一个区间(a, b)，使得当a 1∈(a, b)时，数列{a n }在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n ∈N ∗，都有log 3(112−a 1)+log 3(112−a 2)+⋯+log 3(112−a n)>(−1)n−12λ+nlog 32−1−1+(−1)n−12λ+nlog 32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．2011年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）答案1. (−1, 3)2. lnx −1，(x >0)3. x −y −1=04. 125. 286. 247. ①，④ 8. 1199. y 2=5x +25410. 135∘ 11. (0, +∞)12. arccos 37或2arcsin√14713. (2, +∞) 14. 36 15. A 16. C 17. C 18. B19.解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为ℎ、r ，则由题意得R =10√2，由12Rl =100√2π得l =20π；由2πr =l 得r =10；由R 2=r 2+ℎ2得ℎ=10；由V 锥=13πr 2ℎ=13⋅π⋅100⋅10≈1047.2cm 3所以该容器最多盛水1047.2cm 3 20. 解：(1)当x =π3时，a →=(√32,12)，所以cosθ=a →⋅c→|a →|⋅|c →|=−√321×1=−√32， 因而θ=5π6；(2)f(x)=λ(sin 2x +sinxcosx) =λ2(1−cos2x +sin2x)， f(x)=λ2(1+√2sin(2x −π4))，因为x ∈[−3π8，π4]，所以2x −π4∈[−π,π4]，当λ>0时，f max (x)=λ2(1+1)=12，即λ=12， 当λ<0时，f max (x)=λ2(1−√2)=12，即λ=−1−√2，所以λ=12或λ=−1−√2． 21. 解：（1）∵ 点在圆C 上，∴ 可设{x =−1+2√2cosαy =2√2sinαα∈[0, 2π)；x +y =−1+2√2(cosα+sinα)=−1+4sin(α+π4)， 从而x +y ∈[−5, 3]．（2）∵ AM →=2AP →，NP →⋅AM →=0． ∴ NP 为AM 的垂直平分线， ∴ |NA|=|NM|．又∵ |CN|+|NM|=2√2，∴ |CN|+|AN|=2√2>2． ∴ 动点N 的轨迹是以点C(−1, 0)，A(1, 0)为焦点的椭圆． 且椭圆长轴长为2a =2√2，焦距2c =2． ∴ a =√2，c =1，b 2=1． ∴ 点N 的轨迹是方程为x 22+y 2=1．所以N 为椭圆，其内接矩形的最大面积为2√2． 22. 解：（1）z =m t ±√m 100−m 2t i2，z =m t ±√m 100−m 2t i∴ |z|=√m 2t 4+m 100−m 2t 4=m 502（2）z 是虚数，则m100−m2t>0∴ m t <m 50，z 的实部为m t2；当m >1，得t <50且t ∈N ∗∴ S =2(m2+m 22++m 492)=m 50−m m−10<m <1，得t >50且t ∈N ∗∴ S =2(m 512+m 522+)=m 511−m ．（3）解：c =m t 2>0，d =±√m 100−m 2t2①d =−√m 100−22t2，c >dd =√m 100−m 2t2，d =−√m 100−22t2，c >d 恒成立，由m 100−m 2t >0∴ m t <m 50得，当m >1时，t <50；当0<m <1时，t >50． ②d =√m 100−m 2t2，如c >d ，则m t 2>√m 100−m 2t2∴ m2t>m 1002即m t>50√2，当m >1,{t <50t >50−12log m 2即50−12log m 2<t <50，50−12log m 2<t <50．当0<m <1,{t >50t <50−12log m2即50<t <50−12log m 2，50<t <50−12log m 223. 解：（1）由f(x)≤6x +2恒成立，即(k −4)x 2+(k −6)x −2≤0恒成立，从而得：{k −4<0(k −6)2+8(k −4)≤0， 化简得{k <4(k −2)2≤0，从而得k =2，所以f(x)=−2x 2+2x ，其值域为(−∞,12]． （2）当a 1∈(0,12)时，数列a n 在这个区间上是递增数列，证明如下：若数列{a n }在某个区间上是递增数列，则a n+1−a n >0；即a n+1−a n =f(a n )−a n =−2a n 2+2a n −a n =−2a n 2+a n >0⇒a n ∈(0,12)； a n ∈(0,12)，n ≥1时，a n+1=f(a n )=−2a n 2+2a n =−2(a n −12)2+12∈(0,12)，所以对一切n ∈N ∗，均有a n ∈(0,12)，且a n+1−a n >0；所以数列a n 在区间(0,12)上是递增数列．（3）由（2）知，a n ∈(0,12)，从而12−a n ∈(0,12)；当n ≥1时，12−a n+1=12−(−2a n 2+2a n )=2a n 2−2a n +12=2(a n −12)2，即12−a n+1=2(12−a n )2；令b n =12−a n ，则有b n+1=2b n 2，且b n ∈(0,12)；从而有lgb n+1=2lgb n +lg2，即lgb n+1+lg2=2(lgb n +lg2)； 所以数列{lgb n +lg2}是lgb 1+lg2=lg 13为首项，公比为2的等比数列； 从而得lgb n +lg2=lg 13⋅2n−1=lg(13)2n−1，即lgb n=lg(13)2n−12，所以b n =(13)2n−12=12(13)2n−1，所以112−a n=1b n=2⋅32n−1，所以log 3(112−a n)=log 3(2⋅32n−1)=log 32+2n−1，所以，log 3(112−a 1)+log 3(112−a 2)+⋯+log 3(112−a n)=nlog 32+1−2n 1−2=2n +nlog 32−1．即2n +nlog 32−12n +(log 32)n −1>(−1)n−12λ+nlog 32−1nlog 32−1，所以，2n−1>(−1)n−1λ恒成立当n为奇数时，即λ<2n−1恒成立，当且仅当n=1时，2n−1有最小值为1．∴ λ<1当n为偶数时，即λ>−2n−1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值为−2．∴ λ>−2所以，对任意n∈N∗，有−2<λ<1．又λ非零整数，∴ λ=−1．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（56分） 1．函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 。

2．若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 。

3．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。

4．不等式13x x+<的解为 。

5．在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。

6．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是 千米。

7．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。

8．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。

9．马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。

据此，小牛给出了正确答案E ε= 。

10．行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。

11．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。

12．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

13．设()g x 是定义在R 上．以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。

14．已知点(0,0)O ．0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10P R 中的一条，?!?321P(ε=x )x记其端点为1Q ．1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q ．2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞= 。

2011年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2011•上海）函数的反函数为f﹣1（x）=，（x≠0）．【考点】反函数．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的表达式，解出用y表示x的式子，即可得到答案．【解答】解：设，可得xy﹣2y=1，∴xy=1+2y，可得，将x、y互换得．∵原函数的值域为y∈{y|y≠0}，∴，（x≠0）故答案为：，（x≠0）【点评】本题考查了求函数的反函数的一般步骤，属于简单题．2．（4分）（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．3．（4分）（2011•上海）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=16．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．从而得出m+9=25，解得m=16．故答案为：16．【点评】本题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a，b，c关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和运算能力，属于基本题型．4．（4分）（2011•上海）不等式的解为．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，注意分母不为0；再解二次不等式即可．【解答】解：原不等式同解于同解于同解于即解得故答案为：【点评】本题考查将分式不等式转化为整式不等式、注意：分母不为0；考查二次不等式的解法．5．（4分）（2011•上海）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）【考点】简单曲线的极坐标方程；两直线的夹角与到角问题．【专题】计算题．【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．【解答】解：∵ρ（2cosθ+sinθ）=2，ρcosθ=1∴2x+y﹣2=0与x=1∴2x+y﹣2=0与x=1夹角的正切值为直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan故答案为：arctan【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能进行极坐标和直角坐标的互，属于基础题．6．（4分）（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2011•上海）函数的最大值为．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值．【解答】解：=cosxcos（﹣x）=sin（+2x）+≤故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值，利用诱导公式和积化和差公式的化简求值．考查了考生对三角函数基础公式的熟练记忆．9．（4分）（2011•上海）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：x 1 2 3P（ξ=x）？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=2．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；整体思想．【分析】根据已知设出P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，且根据离散型随机变量分布列的性质知2a+b=1，根据离散型随机变量分布列的期望求法即可求得结果．在计算过程中注意整体性．【解答】解：设P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，则2a+b=1，Eξ=a+2b+3a=2（2a+b）=2，故答案为2．【点评】此题是个基础题．考查离散型随机变量的期望和方差，在计算过程中注意离散型随机变量分布列的性质和整体代换．10．（4分）（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是6．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．【解答】解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．11．（4分）（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．【点评】此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（4分）（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，故答案为：0.985【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．13．（4分）（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]．【考点】函数的周期性；函数的值域．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】根据已知中g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，由函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，结合函数的周期性，我们可以分别求出f（x）在区间[﹣10，﹣9]，[﹣9，﹣8]，…，[9，10]上的值域，进而求出f（x）在区间[﹣10，10]上的值域．法二：可根据g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，研究函数f（x）=x+g（x）的性质，得f（x+1）﹣f（x）=1，由此关系求出函数在f（x）在区间[﹣10，10]上的值域即可．【解答】解：法一：∵g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）又∵函数f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[﹣2，5]令x+6=t，当x∈[3，4]时，t=x+6∈[9，10]此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=[x+g（x）]+6所以，在t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11] (1)同理，令x﹣13=t，在当x∈[3，4]时，t=x﹣13∈[﹣10，﹣9]此时，f（t）=t+g（t）=（x﹣13）+g（x﹣13）=（x﹣13）+g（x）=[x+g（x）]﹣13所以，当t∈[﹣10，﹣9]时，f（t）∈[﹣15，﹣8] (2)…由（1）（2）…得到，f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]法二：由题意f（x）﹣x=g（x）在R上成立故f（x+1）﹣（x+1）=g（x+1）所以f（x+1）﹣f（x）=1由此知自变量增大1，函数值也增大1故f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]【点评】本题考查的知识点是函数的周期性及函数的值域，其中根据函数的周期性利用换元法将区间[﹣10，﹣9]…上的值域转化为区间[3，4]上的值域问题，是解答本题的关键．14．（4分）（2011•上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则=．【考点】数列与解析几何的综合；数列的极限．【专题】综合题；压轴题．【分析】由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：（），然后求出．【解答】解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，P n，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，P n的规律是本题解答的关键，考查逻辑推理能力．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．16．（5分）（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3C．y=2|x|D．y=cosx【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，将x用﹣x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．【解答】解：对于函数的定义域为x∈R且x≠0将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x∈（0，+∞）时，∵∴在区间（0，+∞）上单调递减的函数故选A．【点评】本题考查奇函数、偶函数的定义；考查利用导函数的符号判断函数的单调性．17．（5分）（2011•上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A．0 B．1 C．5 D．10【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案．【解答】解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，得（x1﹣x，y1﹣y）+（x2﹣x，y2﹣y）+（x3﹣x，y3﹣y）+（x4﹣x，y4﹣y）+（x5﹣x，y5﹣y）=，则有x=，y=；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选B．【点评】本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案．18．（5分）（2011•上海）设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同【考点】等比数列的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意可表示A i，先看必要性，{A n}为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．【解答】解：依题意可知A i=a i•a i+1，∴A i+1=a i+1•a i+2，若{A n}为等比数列则==q（q为常数），则a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；反之要想{A n}为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；故{A n}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2011•上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．【解答】解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．20．（12分）（2011•上海）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a•2x＞﹣2b•3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x 在R上为增函数；②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为减函数．（2）①若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，化简得a•2x＞﹣2b•3x，即＞，解得x＜；②若a＜0，b＞0，由f（x+1）＞f（x）可得＜，解得x＞．【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．21．（14分）（2011•上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β．求证：；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】综合题；转化思想．【分析】（1）此题由题意画出图形因为ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，且设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β，所以应先利用线面角及二面角的定义求出α，β，即可得证；（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出．【解答】解：（1）由题意画出图形为：∵ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，∴底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，∴，又因为二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，∴∠AO1A1=β，∴而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，∴，∴．（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用R t△AA1O1∽R t△CHA 得到，而，∴⇔⇒AA1=2，故正四棱锥的高为AA1=2．【点评】此题重点考查了线面角，二面角，点到面的距离这些定义，还考查了学生的空间想象能力及计算能力．22．（18分）（2011•上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．【考点】等差数列的通项公式；数列的概念及简单表示法．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项．（2）对于数列{a n}，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式．（3）对{a n}中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对{b n}中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项．【解答】解：（1）a1=3×1+6=9；a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13∴c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解对于a n=3n+6，当n为奇数时，设为n=2k+1则3n+6=2（3k+1）+7∈{b n}当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k﹣1+7不属于{b n}∴在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=a2k﹣1b3k﹣1=6k+5a2k=6k+6b3k=6k+7∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7∴当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4…∴【点评】本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法．23．（18分）（2011•上海）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．②A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）．③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．【考点】点到直线的距离公式；空间点、线、面的位置．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】（1）根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．（3）根据题意从三组点的坐标中选第一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．【解答】解：（1）点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S=22+π=4+π（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=﹣1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴．选第二组点来计算：A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2），根据第一组做出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是y轴非负半轴，抛物线，直线y=﹣x﹣1（x＞1）．选第三组来求解到两条线段距离相等的点，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0），根据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段距离相等的点在一三象限的角平分线上，方程是y=x，不是这条直线上的所有的点都合题意，根据所给的点到直线的距离知（1，1）点左下方的符合题意，所以所求的点的集合是y=x（0＜x≤1），（1＜x＜2），（x≥2）或x≤0，y≤0．【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．。

黄浦区2011年高考模拟考数学试卷(理科)(2011年4月14日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数()f x =的定义域是 ． 2．已知全集{}2U =-，-1，0，1，2，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3．已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4．双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5．若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2l i m 1n n Sn →∞-= ． 7．直线110l y -+=，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ． 8．已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ．9．2151()x x -的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10．已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =- ，123b me e =+ ．若a b，则实数m = ．11．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为56，现用ξ表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．14．已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x xx x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 [答]( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()a π，(a 是正数)，则圆C 的极坐标方程是 [答]( )A ．32cos ()22a ππρ=-θ≤θ<． B ．cos (0)a ρ=θ≤θ<π． C ．32sin ()22a ππρ=-θ≤θ<． D ．sin (0)a ρ=θ≤θ<π．17．已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ． [答]( )A 相交B 相切C 相离D 不能确定A B CD C 1 D 1 A 1B 118．现给出如下命题：(1)若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面；(2)空间三点确定一个平面；(3) 先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； (4)样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 [答]( ) A ．(1)、(4)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)、(4)． D ．(3)、(4)．三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=≤≤，4S(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()()2cos 4f x x x π=++最小值． 20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ． (1)求点1C 到平面11AB D 的距离；(2)求平面11CDD C 与平面11AB D 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知函数42()(1)1x f x x x R x -=≠-∈+，，数列{}n a 满足 1(1)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当14a =时，记*2()1n n n a b n N a -=∈-，证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．(1)求实数m 的值，并写出区间D ；(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；(3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b 、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且21d d =． (1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C：22221(0x y a b c a b+=>>=，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．黄浦区2011年高考模拟考数学试卷(理科)(2011年4月14日)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。

2011年上海市某校重点（新八校）高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 已知集合A ＝{−1, 3, 2m −1}，集合B ＝{3, m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．2. 复数z =i 1+i对应复平面上的点Z 在第________象限．3. 已知[34x −257]=[3157]，则x 的値为________．4. 以点(±3, 0)为焦点，且渐近线为y =±√2x 的双曲线标准方程是________．5. 已知(x 3+1x 2)n 的展开式中，所有二项式系数的和为32，其展开式中的常数项为________（用数字答）．6. 已知F 1、F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|=________． 7. 函数f(x)=|cosxcos(π2−x)sinxsin(π2+x)|的最小正周期是________．8. 已知函数y =f(x)存在反函数y =f −1(x)，若函数y =f(x −1)的图象经过点(3, 1)，则f −1(1)的值是________．9. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是________．10. 已知定义在R 上的函数f(x)对于任意的x ∈R ，都有f(x +2)=−f(x)成立，设a n =f(n)，则数列{a n }中值不同的项最多有________项．11. 上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的概率是________．12. 如图，底面直径为20的圆柱被与底面成60∘二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为________．13. 观察以下等式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，将上述等式推广到一般情形：对n ∈N ∗，有等式：________． 14. 在实数R 中定义一种运算“*”，具有下列性质： （1）对任意a ，b ∈R ，a ∗b =b ∗a ； （2）对任意a ∈R ，a ∗0=a ；（3）对任意a ，b ，c ∈R ，(a ∗b)∗c =c ∗(ab)+(a ∗c)+(b ∗c)−2c ． 则函数f(x)=x ∗x2x ∈R 的单调递减区间是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 15. “直线l 与平面α无公共点”是“l // α”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 16. 圆x 2+y 2−2y −1=0关于直线x +y =0对称的圆方程是（ ）A (x −1)2+y 2=12B (x +1)2+y 2=2C (x +1)2+y 2=12D (x −1)2+y 2=217. 定义：称na1+a 2+⋯+a n为n 个正数a 1，a 2，…，a n 的“均倒数”，已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ，则lim n →∞na ns n( )A 0B 1C 2D 1218. 设函数y =f(x)在(−∞, +∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f K (x)={f(x)1f(x)f(x)≤Kf(x)>K取函数f(x)=a −|x|(a >1)．当K =1a时，函数f k (x)值域是（ ） A [0,1a]∪[1,a) B (0,1a]∪[1,a] C (0,1]∪[1a，a) D (0,1a]∪[1,a)三、解答题（共5小题，满分74分）19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足2bcosA =√3(ccosA +acosC)（1）求A 的大小；（2）若a =2，c =2√3，且b >c ，求△ABC 的面积．20.在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=4，过A 1、C 1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD−A1C1D1．（1）求几何体ABCD−A1C1D1的体积；（2）求直线BD1与面A1BC1所成角的大小．（用反三角表示）21. 已知动点M到定点F(1, 0)的距离与到定直线l:x=−1的距离相等，点C在直线l上．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设过定点F，法向量n→=(4,−3)的直线与（1）中的轨迹相交于A，B两点且点A在x轴的上方，判断∠ACB能否为钝角并说明理由．进一步研究∠ABC为钝角时点C纵坐标的取值范围．22. 对于两个定义域相同的函数f(x)，g(x)，若存在实数m、n使ℎ(x)=mf(x)+ng(x)，则称函数ℎ(x)是由“基函数f(x)，g(x)”生成的．（1）若f(x)=x2+3x和个g(x)=3x+4生成一个偶函数ℎ(x)，求ℎ(2)的值；（2）若ℎ(x)=2x2+3x−1由函数f(x)=x2+ax，g(x)=x+b(a、b∈R且ab≠0)生成，求a+2b的取值范围；（3）利用“基函数f(x)=log4(4x+1)，g(x)=x−1”生成一个函数ℎ(x)，使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数ℎ(x)的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．23. 已知点P1(a1, b1)，P2(a2, b2)，…，P n(a n, b n)（n为正整数）都在函数y=(1)x的图象上，2且数列{a n}是a1=1，公差为d的等差数列．（1）证明：数列{b n}是等比数列；（2）若公差d=1，以点P n的横、纵坐标为边长的矩形面积为c n，求最大的实数t，使c n≤1(t∈R, t≠0)对一切正整数n恒成立；t（3）对（2）中的数列{a n}，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入3k−1个3（如在a1与a2之间插入30个3，a2与a3之间插入31个3，a3与a4之间插入32个3，…，依此类推），得到一个新的数列{d n}，设S n是数列{d n}的前n项和，试探究2008是否为数列{S n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．2011年上海市某校重点（新八校）高考数学二模试卷（理科）答案1. 12. 一3. log434. x 23−y 26=15. 106. 87. π8. 29. i >10 10. 4 11. 4512. 20√313. n +(n +1)+(n +2)+...+(3n −2)=(2n −1)2 14. (−∞,−32)．15. C 16. B 17. C 18. D19. 解：（1）由2bcosA =√3(ccosA +acosC)利用正弦定理得：2sinBcosA =√3(sinCcosA +sinAcosC) 即：2sinBcosA =√3sin(A +C)=√3sinB 所以cosA =√32，A =π6（2）由余弦定理：a 2=b 2+c 2−2bccosA ⇒b 2−6b +8=0，又b >c 得b =4 所以S =12bcsinA =2√3也可利用正弦定理 （法二）由正弦定理可得a sinA=c sinC可得，sinC =csinA a=2√3×122=√32b >c 可得C 为锐角，故 C =60∘，B =90∘ S =12ac =12×2×2√3=2√320. 解（1）V ABCD−A 1C 1D 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V B−A 1B 1C 1=4A 1A −23A 1A =403（2）解以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示． 由题意：B(2, 2, 0)，D 1(0, 0, 4)，A 1(2, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， BD 1→=(−2,−2,4)，A 1B →=(0,2,−4)，A 1C 1→=(−2,2,0)，设面A 1BC 1的法向量是n →=(u,v,w)，则{2v −4w =0−2u +2v =0取v =2得，n →=(2,2,1)设n →与BD 1→的夹角为φ， 则cosφ=−√69设直线BD 1与面A 1BC 1所成的角为θ， 则sinθ=|cosφ|=√69得直线BD 1与面A 1BC 1所成的角为arcsin√6921. 解：（1）因为动点M 到定点F(1, 0)的距离与到定直线l:x =−1的距离相等，所以M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线， 则轨迹方程为y 2=4x ；（2）由题意，直线AB 的方程为4x −3y −4=0 故A 、B 两点的坐标满足方程组{y 2=4x4x −3y −4=0，解得A(4, 4)，B(14，−1)，设C(−1, y)，则CA →=(5,4−y)，CB →=(54,−1−y)， 由CA →⋅CB →=254+(4−y)(−1−y)=(y −32)2≥0，所以∠ACB 不可能为钝角．过B 垂直于直线AB 的直线方程为3x +4y +134=0，令x =−1，解得y =−116，当∠ABC 为钝角时，点C 纵坐标的取值范围是：y <−116(y ≠−83)．22. 解：（1）设ℎ(x)=m(x 2+3x)+n(3x +4)=mx 2+3(m +n)x +4n ， ∵ ℎ(x)是偶函数，∴ m +n =0，∴ ℎ(2)=4m +4n =0；（2）设ℎ(x)=2x 2+3x −1=m(x 2+ax)+n(x +b)=mx 2+(am +n)x +nb∴ {m =2am +n =3nb =−1得{a =3−n2b =−1n∴ a +2b =3−n 2−2n =32−n 2−2n由ab ≠0知，n ≠3，∴ a +2b ∈(−∞,−12)∪(72,+∞)（3）设ℎ(x)=mlog 4(4x +1)+n(x −1) ∵ ℎ(x)是偶函数，∴ ℎ(−x)−ℎ(x)=0，即mlog 4(4−x +1)+n(−x −1)−mlog 4(4x +1)−n(x −1)=0 ∴ (m +2n)x =0得m =−2n则ℎ(x)=−2nlog 4(4x +1)+n(x −1)=−2n[log 4(4x +1)−12x +12]=−2n[log 4(2x +12x)+12]∵ ℎ(x)有最小值1，则必有n <0，且有−2n =1∴ m =1．n =−12∴ ℎ(x)=log 4(2x +12x )+12ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数, 在(−∞, 0]上是减函数． 23. 解：（1）由已知b n =(12)a n ，所以，b n+1b n=(12)a n+1−a n =(12)d （常数），所以，数列{b n }是等比数列．（2）公差d =1，则a n =n ，得b n =(12)n ，∴ c n =n(12)n ，c n −c n+1=n(12)n −(n +1)(12)n+1=(12)nn−12≥0，∴ c 1=c 2>c 3>c 4>c n >数列{c n }从第二项起随n 增大而减小 ∴ 又c 1=c 2=12，则12≤1t ．得0<t ≤2最大的实数t 的值等于2（3）∵ a n =n ，∴ 数列{d n }中，从第一项a 1开始到a k 为止（含a k 项）的所有项的和是(1+2++k)+(31+32++3k−1)=k(k+1)2+3k −32，当k =7时，其和是28+37−32=1120<2008， 而当k =8时，其和是36+38−32=3315>2008．又因为2008−1120=888=296×3，是3的倍数， 所以存在自然数m ，使S m =2008．此时m =7+(1+3+32+...+35)+296=667．。

2011届高三第二次联考数学试题(理科)参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D 9.D 10.B 二、11.671313.45[,]33ππ3 15.①[3,)+∞；② 三、16.(Ⅰ)假设a ∥b ,则2cos (cos sin )sin (cos sin )x x x x x x +=-,……………………2分 即 222cos 2sin cos sin cos sin x x x x x x +=-,21sin cos cos 0x x x ++=,11cos 21sin 2022xx +++=,)3sin(2)442x x ππ+=-⇒+=-…………4分而sin(2)[1,1]4x π+∈-,12-<-,矛盾.故假设不成立,向量a 与向量b 不平行.…6分(Ⅱ)(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x ⋅=+-+a b 22cos sin sin 2cos 2sin 2x x x x x =-+=+s i n (2)4x π=+,……………………………………………………………………8分1sin(2)42x π⋅=⇒+=a b .又7[,0]2[,]444x x ππππ∈-⇒+∈-,…………………10分 ∴5244x ππ+=-,或244x ππ+=,∴34x π=-或4π.…………………………………12分17.解：(Ⅰ)男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人. …………………………2分选取的两名学生都是女生的概率2225110C P C ==,所求概率为:9110P -=.……………6分(Ⅱ)12213232(1)0.60.40.50.40.50.104P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=. ……………………9分用1ξ表示3个男生中考前心理状态好的人数,2ξ表示2个女生中考前心理状态好的人数,则1(3,0.6)B ξ ,2(2,0.5)B ξ ,于是1E 30.6 1.8ξ=⨯=,2E 20.51ξ=⨯=,于是12E E E 2.8ξξξ=+=.………………………………………………………………12分18.(Ⅰ)取AD 中点H ,连结EH ,则EH ⊥平面ABC D ,过H 作HF ⊥A C 于F ,连结EF ,则EF 在平面ABC D 内的射影为HF ,由三垂线定理得EF ⊥A C ,∴EFH Ð大小等于二面角E AC B --的补角大小.…………………………………………………………………3分∵EH a =,144H F BD ==,∴tan 4EH EFHHF?=∴二面角E A C B --的正切值为-…………………………………………6分 (Ⅱ)直线11A C 到平面的距离,即1A 到平面A C E 的距离，设为d .…………………8分11A EACC A AEV V --=111133EAC A AE EAC A AE S dS CDS dS CDD D D D ?邹? .∵4EF =,∴21132244EAC a S AC EF D =鬃==,而 121224A AEa aS a D =鬃=, ∴22344aa da ?邹3a d =.∴直线11A C 到平面A E C 的距离为3a .………………………………………12分19.(Ⅰ)2111111()12a S a a a ==+⇒=.…………………………………………………1分2n ≥时,22221111111()()022n n n n n n n n n n n a S S a a a a a a a a -----=-=+-+⇒---=,∴111()(1)01n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒-=,∴数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,∴n a n =.…………………………3分 于是1133n n n n n n b b b b ++=+⇒-=,121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-2133332n -=++++ 33332132nn-=+=-.………………………………………………6分(Ⅱ) 132nn c n =⋅,……………………………………………………………………7分 ∴21(13233)2nn T n =⋅+⋅++⋅ ,23113(13233)2n n T n +=⋅+⋅++⋅∴111211133(21)332(3333)(3)22134n n n nn n n T n n ++++--⋅+=⋅----=⋅-=- ,1(21)338n n n T +-⋅+=.…………………………………………………………9分∴11(21)33(21)338limlimlim3432n n n nnn n n nn T n n c n ++→∞→∞→∞-⋅+-⋅+==⋅⋅…………………………10分333133313l i m ()l i m l i m l i m l i m 244324432nnn n n n n nnn n →∞→∞→∞→∞→∞=-+⋅=-+⋅=.…………12分 20. （Ⅰ）依题意,点C 到定点M 的距离等于到定直线l 的距离，所以点C 的轨迹为抛物线，曲线E 的方程为y x 42=.………………………………………………………………3分 （Ⅱ）直线AB 的方程是162y x =+,即2120x y -+=.1D 1B 1A 1DCEBH F由⎩⎨⎧=+-=,0122,42y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)和(4,4)-.……………………5分 由y x 42=得241x y =,12y x '=.所以抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=.直线N A 的方程为19(6)3y x -=--,即1113y x =-+.① 线段AB 的中点坐标为13(1,)2,中垂线方程为132(1)2y x -=--,即1722y x =-+.②由①、②解得323(,)22N -.…………………………………………………………7分 于是,圆C 的方程为2222323323()()(4)(4)2222x y ++-=-++-,即 2125)223()23(22=-++y x . ………………………………………………………8分（Ⅲ）设)4,(211x x A ,)4,(222x x B ,(,1)Q a -.过点A 的切线方程为2111()42x x y x x -=-,即211240x ax --=.同理可得211240x ax --=,所以122x x a +=,421-=x x .…10分又21222144x x x x k AB --==124x x +,所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-,即121244x x x x y x +=-,亦即12ay x =+,所以1t =.………………………………………11分而211(,1)4x Q A x a =-+ ,222(,1)4x Q B x a =-+ , 所以221212()()(1)(1)44x x Q A Q B x a x a ⋅=--+++22221212121212()2()1164x x x x x x x x a x x a +-=-+++++22248421104a a a +=--++++=.…………………………………13分21.(Ⅰ)11()1x f x xx-'=-+=.……………………………………………………………1分在区间(0,1)上,()0f x '>,函数()f x 单调递增；在区间(1,)+∞上,()0f x '<,函数函数()f x 单调递减.∴当1x =时,()f x 取最大值(1)1f =-.…………………………………………………3分 (Ⅱ) 直线12P P 的斜率为2211212121ln ln ln ln ax x ax x x x k a x x x x +---==+--.……………………4分由(Ⅰ)的结论知,()ln 1f x x x =-+≤-,且仅当1x =时取等号. ∴222221212111111211ln ln 1ln1ln1ln ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---+<-⇒<-⇒-<⇒<-,111121212122222212ln ln 1ln1ln1ln ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---+<-⇒<-⇒->⇒>-.……7分∴21221121ln ln 1111x x a k a x x x x x x -<<⇒+<<+-.又在12(,)x x 上,21111()(,)f x a a a xx x '=+∈++,所以()f x 图象上存在点000(,)P x y ，满足102x x x <<，且()f x 图象上以0P 为切点的切线与直线12P P 平行.………………………8分(Ⅲ) 3()ln 2f x x x =+,31()2f x x'=+,∴1312n na a +=+.…………………………………9分32312a a =+,242322136313131222(32)2a a a a a a +=+=+=<++2222320a a ⇒-->,2221131(21)(2)022022a a a a a ⇒+->⇒>⇒+>⇒<<.……………………………11分下面我们证明:当102a <<时,222n n x x +<且*22()n x n >∈N .事实上: 当1n =时,121310222a a a <<⇒=+>,22242242221363(21)(2)02(32)2(32)a a a a a a a a a a ++--=-=-<⇒<++,结论成立.…………12分若当n k =时结论成立,即222k k x x +<且*22()k x n >∈N ,则212222131312222k k kk x x x x +++=+<⇒=+>,222222242222242222221363(21)(2)02(32)2(32)k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++++++++++--=-=-<⇒<++.由上述证明可知,1a 的取值范围是(0,2).……………………………………………14分。