商人过河优化模型.docx

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。

数学建模课程作业论文题目：对商人过河问题的研究指导教师：黄光辉小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班牛凯春（20151927）电气工程05班文逸楚（20150382）工商管理02班一、问题重述3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二、问题分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。

对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。

对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。

三、模型假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。

四、符号说明第k次渡河前此岸的商人数第k次渡河前此岸的随从数过程的状态向量允许状态集合第k次渡船上的商人数第k次渡船上的随从数决策向量允许决策集合x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。

用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合:=又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为:因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是该式称为状态转移律。

求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态六、模型求解本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录):初始状态：可用图片表示为：X0=33状态为:S =3132303111220203010200决策为:D =0201020120112001020102七、模型推广该商人和随从过河模型可以完美解决此类商人过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。

数学建模作业（四）——商人过河问题一．问题描述有四名商人各带一名仆人过河，但船最多能载二人，商人已获得仆人的阴谋：在河的任一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取财物且安排如何乘船的权力掌握在商人手中。

试为商人制定一个安全过河的方案。

二．解决方案用递归的源程序如下：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）#include <stdlib.h>struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/ {int x;int y;int state;struct node *next;};typedef struct node state;typedef state *link;link PPointer1=NULL;link PPointer2=NULL;int a1,b1;int a2,b2;/*栈中每个数据都分为0，1状态*/void Push(int a,int b,int n){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(state));newnode-> x=a;newnode-> y=b;newnode-> state=n;newnode-> next=NULL;if(PPointer1==NULL){PPointer1=newnode;PPointer2=newnode;}else{PPointer2-> next=newnode;PPointer2=newnode;}}void Pop()/*弹栈*/{link pointer;if(PPointer1==PPointer2){free(PPointer1);PPointer1=NULL;PPointer2=NULL;}pointer=PPointer1;while(pointer-> next!=PPointer2)pointer=pointer-> next;free(PPointer2);PPointer2=pointer;PPointer2-> next=NULL;}int history(int a,int b,int n) /*比较输入的数据和栈中是否有重复的*/ {link pointer;if(PPointer1==NULL)return 1;else{pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){if(pointer-> x==a&&pointer-> y==b&&pointer-> state==n)return 0;pointer=pointer-> next;}return 1;}}int judge(int a,int b,int c,int d,int n)/*判断这个状态是否可行，其中使用了history函数*/{if(history(a,b,n)==0) return 0;if(a> =0&&b> =0&&a <=3&&b <=3&&c> =0&&d> =0&&c <=3&&d <=3&&a+c==3&&b+d==3){switch(n){case 1:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}case 0:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a> =b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}}}else return 0;}int Duhe(int a,int b,int n)/*递归法解决商人渡河问题，如果这一个状态符合*/ {/*则判断下一个状态，直至问题解决*/ if(a==0&&b==0) return 1;if(n==0)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1)){if(Duhe(a-1,b-1,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1)){if(Duhe(a,b-2,1)==1)return 1;}if(judge(a-2,b,5-a,3-b,1)){if(Duhe(a-2,b,1)==1)return 1;if(judge(a-1,b,4-a,3-b,1)){if(Duhe(a-1,b,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-1,3-a,4-b,1)){if(Duhe(a,b-1,1)==1)return 1;}else{Pop(0);return 0;}}if(n==1)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a+1,b+1,2-a,2-b,0)){if(Duhe(a+1,b+1,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+2,3-a,1-b,0)){if(Duhe(a,b+2,0)==1)return 1;}if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0)){if(Duhe(a+2,b,0)==1)return 1;}if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0)){if(Duhe(a+1,b,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0))if(Duhe(a,b+1,0)==1)return 1;}else{Pop(1);return 0;}}return 0;}main(){link pointer;Push(3,3,0);Duhe(3,3,0);pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){printf( "%d,%d---%d\n ",pointer-> x,pointer-> y,pointer-> state);pointer=pointer-> next;}getch();}。

数学建模商人过河(hjh)
问题
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?
分析问题
（1）,数据及其关系？（2）如何存储？（3）过程中数据上的操作？
（4）操作过程中需借助什么结构实现？
解答
（1）数据：河两岸的商人数x∈（0，3）和随从人数y∈（0，3）
关系：线性关系
（2）存储：用二维数组来实现。

（3）操作：前进（过河）、后退（返回）
（4）操作过程中需借助栈结构实现
具体分析
此岸商人数与随从人数为C【x】【y】，彼岸商人数与随从人数为B【3-x】【3-y】，C与B数组中x必须大于等于y。

C与B数组中，各个数组中每相邻两个二维数组|x+y|之差不得超过2。

其中过河途中船上人数用数组A表示A【x1】【y1】，返回途中船上人数A【x2】【y2】。

x1，x2，y1，y2=0，1，2。

x1+y1=1或2；y2+x2=1或2。

从此岸来考察，要从最开始的C【3】【3】变到C【0】【0】。

1，C【3】【3】→C【3】【1】，C【3】【1】→C【3】【2】；
2，C【3】【2】→C【3】【0】，C【3】【0】→C【3】【1】；3，C【3】【1】→C【1】【1】，C【1】【1】→C【2】【2】；4，C【2】【2】→C【0】【2】，C【0】【2】→C【0】【3】；5，C【0】【3】→C【0】【1】，C【0】【1】→C【0】【2】；6，C【0】【2】→C【0】【0】。

操作过程中需借助栈结构实现，具体如下图所示：
此岸人数已经全部转移到彼岸，任务圆满完成，商人们安全过河。

商人们怎样安全过河摘要：四名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船至多容纳两人，由他们自己制定，随从约定，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀了越货。

但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，另外，当船的的容量增大为3，最多可以有几对商人安全过河。

商人们怎么才安全渡河，那将再此文中分析过河问题。

模型主要通图表法对过河的方案进行举例，然后根据小船的容量和商人们要安全过河为前提对各种方案进行层层筛选，最终得到商人安全过河方案。

关键词：多步决策图解法商人过河一、问题重述四名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船至多容纳俩人，由他们自己划行，随从约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀了越货。

另外，当船的的容量增大为3最多可以有几对商人安全过河但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。

现在需要解决的问题如下：1.四名商人在不被随从谋杀和小船最多能为2人的情况下，商人们将如何安全过河？2.如果有m名商人m名随从，小船的容量为3时，最多可以有多少商人各带一名随从过河。

二、模型的假设1.假设过河的过程中不会发生以外事故。

2.假设当随从人数多国商人时，不会改变杀人越货计划。

3.假设所有人最终都必须到达河对岸。

三、符号说明=0,1,2,3,4…;x k~第k次渡河前此岸的商人数x k,yk~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…,) ~过程的状态S ~ 允许状态集合xS={(x , y)x=0, y=0,1,2,3,..; x=m, y=0,1,2,3,..; x=y=1,2,3..}=0, 1, 2..;~第k次渡船上的商人数~第k次渡船上的随从数k=1,2,…=( , ) ~过程的决策 D ~允许决策集合D={(u , v)u+v=1, 2, ….，u, v=0, 1, 2,…}状态因决策而改变~状态转移律四、模型分析针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案，对该问题可将看为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过河。

案例名称:商人怎样安全过河学科分类：数学数学分支：初等数学模型预备知识：线性代数，解析几何，MATLAB适用对象：本科、专科学生1.问题的背景与问题提出这个案例是一个智力游戏。

3名商人各带1个随从乘船渡河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？2.问题的分析与模型建立：将一个智力游戏转化成数学问题。

商人渡河问题是一个多步决策问题。

首先由学生从玩游戏开始，在纸面上完成渡河过程；然后再由学生实际演绎，在黑板上记录渡河过程。

利用学生的演绎记录结果进行问题的分析与模型的建立。

分析整个操作过程，让模型的建立随着思考的深入自然而然的呈现。

Step1 变量的设置：用有序数对（x,y）表示岸上商人数和随从数，（u,v）表示船上的商人数和随从数，代数思想的自然渗入；Step2 过程的数学化表示：（x2,y2）=（x1,y1）-（u1,v1）（x3,y3）=（x2,y2）+（u2,v2）......（x i+1,y i+1）=（x i,y i）+(-1)i（u i,v i）规律即模型自然呈现。

Step3 模型的优化：引入集合的表示法状态允许集S=｛（x,y）:x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2｝允许决策集D={((u,v)):1≤u+v≤2，u,v=0,1,2}状态转移律 s k+1=s k+(-1)k d k求决策d k（k=1，2,...,n）使状态s k按照转移律，由初始状态s1=(3,3)经过有限步n到达状态s n+1=(0,0)。

3.模型的求解与结果检验求解方法1：符号操作法求解方法2：图解法（引入坐标系）求解方法3：穷举法编程上机4.模型的评注与应用用这种规格化的方法建立的多步决策模型可以用计算机来求解，从而具有推广的意义。

5.参考文献[1]姜启源.数学模型.4版.北京：高等教育出版社，2011×图1 符号法图2 安全渡河的图解法（1）图3 安全渡河的图解法（2）x3 2 1 0sn +139d11dxs n +1dmatlab上机程序：(1)function s=businessmann=input('输入商人数目：');nn=input('输入仆人数目：');nnn=input('输入船的最大容量：');if nn>nn=input('输入商人数目：');nn=input('输入仆人数目：');nnn=input('输入船的最大容量：');endk=1;for i=0:nnn %产生出所有的可能过河的决策for j=0:nnnif (i+j<=nnn) &(i+j>0)d(k,1:3)=[i,j,1]; %1表示从此岸到彼岸d(k+1,1:3)=[-i,-j,-1]; %-1表示从彼岸到此岸k=k+2;endendendk=1;for i=n:-1:0 %产生安全队列for j=nn:-1:0if ((i>=j) & ((n-i)>=(nn-j))) | ((i==0)|(i==n))A(k,1:3)=[i,j,1]; %1表示此岸安全k=k+1;endendend%队列数据结构，第一列表示商人数，第二列表示仆人数，第三列用于记录该结点的上一个结点，第四列表示船的运动方向（1表示此岸往彼岸运动，-1表示从彼岸往此岸运动）sq(1,1)=n;sq(1,2)=nn;sq(1,3)=0;sq(1,4)=1; %初始状态front=1;rear=1; %队列的头尾指针while(front<=rear)x=sq(front,1);y=sq(front,2);flag=0;if (sq(front,4)==1)for v=2:2:size(d,1)i=x+d(v,1);j=y+d(v,2);if (is_save(A,i,j)==1)rear=rear+1;sq(rear,1)=i;sq(rear,2)=j;sq(rear,3)=front;sq(rear,4)=-1;endif (i==0 && j==0)flag=1;endendendif (flag==1)break;endflag=0;if (sq(front,4)==-1)for v=1:2:size(d,1)i=x+d(v,1);j=y+d(v,2);if (is_save(A,i,j)==1) & (sq(sq(front,3),1)~=i | sq(sq(front,3),2)~=j)rear=rear+1;sq(rear,1)=i;sq(rear,2)=j;sq(rear,3)=front;sq(rear,4)=1;endif (i==0 && j==0)flag=1;endendendif (flag==1)break;endfront=front+1;(2)function a=is_save(A,x,y)for i=1:size(A,1)if (x==A(i,1) && y==A(i,2))break;endendif i<size(A,1)a=1;elsea=0;。

商人过河问题数学建模c语言商人过河问题是一个经典的数学建模问题，通过建立数学模型，我们可以更深入地理解问题的本质，并找到最优的解决方案。

本文将通过C语言来实现这个问题的数学建模。

一、问题描述假设有n个商人要过河，每艘船只能承载一定数量的货物，而过河需要消耗一定的时间。

为了在最短的时间内完成过河任务，我们需要考虑商人的数量、船只的承载量以及过河的时间等因素，建立相应的数学模型。

二、数学建模1. 变量定义我们需要定义一些变量来描述过河过程中的各种因素，如商人的数量、船只的数量、船只的承载量、过河的时间等。

2. 算法设计算法的核心思想是利用贪心策略，尽可能多地利用船只，以减少过河的时间。

具体步骤如下：(1) 分配船只：根据船只的承载量，将商人分配到不同的船只上；(2) 计算过河时间：根据当前船只的位置和目标河岸的位置，计算每艘船只的过河时间；(3) 更新船只位置：根据过河时间，更新每艘船只的位置；(4) 重复以上步骤，直到所有商人过河。

3. C语言实现以下是一个简单的C语言程序，实现了上述算法：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main() {int n, m, t, i, j, k;scanf("%d%d", &n, &m); // 输入商人数量和船只数量int cargo[n], time[n]; // 定义变量数组，用于存储商人和船只的信息scanf("%d%d", &cargo[0], &time[0]); // 输入第一个商人和他的过河时间for (i = 1; i < n; i++) { // 输入剩余商人和他们的过河时间scanf("%d%d", &cargo[i], &time[i]);}int boat[m]; // 定义船只数组，用于存储船只的承载量和位置信息for (j = 0; j < m; j++) { // 输入船只的承载量和位置信息scanf("%d", &boat[j]);}for (k = 0; k < n; k++) { // 模拟过河过程for (j = 0; j < m; j++) { // 遍历所有船只if (boat[j] >= cargo[k]) { // 如果船只承载量足够承载当前商人time[k] += time[k] / boat[j]; // 根据过河时间和船只速度计算剩余时间boat[j] += cargo[k]; // 将商人转移到指定位置的船只上break; // 如果找到了足够承载商人的船只，跳出当前循环继续下一轮操作}}}printf("%d\n", time[n - 1]); // 输出最后一个商人的过河时间return 0;}```三、总结通过上述C语言程序，我们可以实现商人过河问题的数学建模。

商人渡河模型一：问题描述三名商人各带一个仆人乘船渡河，—只小船只能容纳二人，仆人们密约，在河的任一岸，一旦仆人的人数比商人多，就杀人越货．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？二：问题分析：安全渡河问题可以视为一个多步决策过程（多步决策：决策过程难以一次完成，而要分步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法）。

每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人仆人各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比仆人数少)，在有限步内使人员全部过河．用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律．问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到渡河的目标。

三：模型建立：a)定义允许状态集合记第k次渡河前此岸的商人数为X k，仆人数为Y k，k=1，2，3…..；X k，Y k取值0，1，2，3。

定义二维向量： S k =（X k，Y k）为状态。

定义安全渡河允许状态集合：S = {（X，Y）|X=0，Y=0，1，2，3；X=Y=1，2；X=3，Y=0，1，2，3}b)定义允许决策集合记第k次船上的商人数为U k，仆人数为V k，k=1，2，3…..；定义二维向量：D k =（U k，V k）为决策。

定义允许决策集合：D={（U，V）|1=<U+V<=3,u,v=0,1,2}c)人数变化规律当渡河次数k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时，船由彼岸驶向此岸，此时状态S k和D k的变化规律为：S k+1 = S +（-1）K D Kd) 问题转化经过分析，问题可转化为求决策D k，使状态S k按照人数变化规律变化，由初始状态S k=（3，3）经过有限步N到达状态S N+1=（0，0）。

四：模型求解1)图解法：在Oxy 平面坐标系中画出图（1）类型的方格，方格点表示状态s=（x，y），允许的状态集合S用圆点标出。

商人们怎样安全过河的数学模型示例文章篇一：话说啊，商人们遇到了一个棘手的问题：他们得带着随从们一起过河，但随从们可不是省油的灯，一有机会就想着害商人抢货。

这河又不宽不窄，一只小船每次只能载两个人，怎么过河才能确保安全呢？咱们来聊聊这个问题吧。

首先，商人们得明白，随从们人多势众，要是他们比商人多了，那可就危险了。

所以，商人们得想个法子，让随从们没法儿耍花招。

其实啊，这个问题可以变成一个数学模型。

想象一下，我们把每次过河的人都看成是一个状态，就像打游戏一样，每过一次河就是进入了一个新的关卡。

在这个关卡里，商人们得保证自己的人数不能少于随从们。

那具体怎么做呢？咱们得先设定一些规则。

比如说，每次过河的人数只能是两个，这是小船的容量决定的。

然后，商人们得选择让哪些人过河，这就得靠他们的智慧和策略了。

想象一下这个场景：商人们先让两个随从过河，然后一个商人再带一个随从回来。

这样，河对岸的随从人数虽然多了，但商人这边还有足够的人手可以应对。

接下来，两个商人再过河，这样河对岸的商人数就比随从数多了，安全就得到了保障。

然后，再让一个商人带一个随从回来，这样河这边也有足够的商人保护随从不敢造次。

最后，两个随从再过河，问题就解决了。

这个数学模型虽然简单，但却非常实用。

它告诉我们，在面对困难和挑战时，只要我们善于运用智慧和策略，就一定能够找到解决问题的方法。

所以，商人们要想安全过河，就得靠他们的智慧和勇气了。

示例文章篇二：话说啊，有这么一个古老的谜题，叫做“商人过河”。

话说有三名聪明的商人，他们各自带着一个狡猾的随从，准备乘船过河。

这船啊，一次只能载两个人，问题就在于，这些随从们心里都有个小九九，他们密谋着，只要到了河的对岸，随从人数多于商人人数，就立马动手抢货。

这商人们也不是吃素的，他们知道随从们的阴谋，但他们毕竟都是聪明人，于是就想出了一个绝妙的策略。

咱们来想想啊，这过河其实就是一个多步决策的过程。

每次渡河，船上的人员选择都至关重要。

商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。

随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？因这已经是一个相当清晰的理想化问题，所以直接讨论其模型描述以及模型求解。

这里将其描述为一个动态决策问题：记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为, k=1,…,n。

将二维向量定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S, 。

记第k次渡船上的商人数为，随从数为, k=1,…,n。

将二维向量定义为决策。

考虑小船载人数的限制，应满足，而称为允许决策集合。

因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸；k为偶数时，船从彼岸驶回此岸，所以状态随决策的变化规律是（状态转移规律）。

求决策，使状态按照状态转移规律，由初始状态经有限步n到达状态。

接下来讨论模型的求解，设是某个可行的渡河方案所对应的状态序列，若存在某，且同为奇数或同为偶数，满足，则称所对应的渡河方案是可约的。

这时也是某个可行的渡河方案所对应的状态序列。

显然，一个有效的渡河方案应当是不可约的。

设渡河已进行到第k步，为当前的状态，记，，为保证构造的渡河方案不可约，则当前的决策除了应满足：1），且当k为奇数时，，当k为偶数时，；还须满足：2）当k为奇数时，；当k为偶数时，。

通过作图，可以得到两种不可约的渡河方案，如下图：思考题：（1）四名商人各带一名随从的情况（小船同前）。

（2）n名商人各带n名随从的情况（小船同前）。

商人过河模型状态集合决策集合平面坐标图解法算法一、问题提出问题：三名商人各带一个随从过河，一只小船只能容纳两个人，随从们约定，只要在河的任何一岸，一旦随从人数多于商人人数就杀人越货，但是商人们知道了他们的约定，并且如何过河的大权掌握在商人们手中，商人们该采取怎样的策略才能安全过河呢？二、问题分析这个问题已经理想化了，所以我们无需对模型进行假设，该问题可以看作一个多步决策问题。

每一步，船由此岸划到彼岸或者由彼岸划回此岸，都要对船上的人员进行决策（此次渡河船上可以有几名商人和几名随从），在保证安全（两岸的随从都不比商人多）的前提下，在有限次的决策中使得所有人都到对岸去。

因此，我们要做的就是要确定每一步的决策，达到渡河的目标。

三、模型假设与建立记第次过河前此岸的商人数为, 随从数为,，定义状态：将二维向量定义为状态，将安全渡河状态下的状态集合定义为允许状态集合，记为记第次渡河船上的商人数为，随从数为、定义决策：将二维向量定义为决策；允许决策集合记作：因为小船容量为2，所以船上人员不能超过2，而且至少要有一个人划船，由此得到上式。

由我们定义的状态和决策，我们可以发现它们之间是存在联系的：为奇数是表示船由此岸划向彼岸，为偶数时表示船由彼岸划回此岸状态是随着决策变化的，规律为：我们把上式称为状态转移律，因此渡河方案可以抽象为如下的多步决策模型：求决策, 使状态按照转移率，初始状态经有限步后到达状态。

到这里，整个数学模型就已经非常清晰了，接下来要做的就是求解模型得出结果。

四、模型求解在这个模型的求解中，我将会使用两种方法，一种是数学图解法，用于解决和当前题目一样的规模比较小的问题，优点是比较简便，但是对于规模比较大的问题就无能为力了，比如说有50个商人携带50个随从过河，第二种方法是通过计算机编程，使用程序来解决该问题，即使问题规模增大，我们也可以利用计算机强大的计算能力来解决。

4、1数学图解法我们首先在平面坐标系中画出如下方格，方格中的点表示状态起始状态（下图绿色点） , 终止状态（下图红色点）允许决策表示的是在方格中的移动，根据允许决策的定义，它每次的移动范围为1~2格，并且为奇数时向左或下方或左下方移动，位偶数时向右或上方或右上方移动。

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。

商人渡河问题的有解性分析
商人渡河问题是一个传统的组合优化问题，它的出现非常有趣，令人瞩目。

商人渡河问题介绍了一个商人需要运输他的货物从一个地方到另一个地方，在这条旅途中他需要渡河。

商人拥有一艘小船，由于它的容量有限，只能分开运送，但它无法运送所有的货物，这个原因，他只好选择一些货物来渡河，而剩下的部分会有一端被留下。

商人渡河问题必须解决的是，商人怎样有效地把所有的货物运送到目的地。

商人渡河问题有解性取决于具体的商人设置的情况。

理论上，对于任何一个给定的商人设置条件，都应该有一个可行的解决方案使得商人能够成功地把货物运送到目的地。

一般来说，为了确保存在一组可行解，商人渡河问题有解性条件就是“不能够有三位商人或以上一起乘船”，“狼不能够单独船乘陆”，“羊不能够单独船乘陆”，“家长不能够离开他们的孩子”和“船不能够空投着划”，只有满足这些条件才能保证可行解的存在。

除此之外，基本的图算法也可以用来解商人渡河问题，如果问题复杂度较小，它是一种很好的算法。

此外，还有其他一些更加复杂的算法，如模型驱动的算法，如遗传算法，这些算法被用来对比测试复杂问题，查看它是否具有可行解决方案。

总的来说，商人渡河问题的可解性取决于具体的商人设置，一般来说，为了确保可行解的存在，商人渡河问题被限制在一定的条件之下，如果条件被满足，商人渡河问题有解性，如果复杂度较小，基本的图算法可以用来解决这个问题，如果复杂度较高，可以使用更加复杂的算法来寻找可行的解决方案。

数学建模实验一报告实验题目：研究商人过河问题一、实验目的：编写一个程序（可以是C,C++或Mathlab ）实现商人安全过河问题。

二、实验环境：Turbo c 2.0、Microsoft Visual C++ 6.0、Matlab 6.0以上 三、实验要求：要求该程序不仅能找出一组安全过河的可行方案，还可以得到所有的安全过河可行方案。

并且该程序具有一定的可扩展性，即不仅可以实现3个商人，3个随从的过河问题。

还应能实现n 个商人，n 个随从的过河问题以及n 个不同对象且每个对象有m 个元素问题(说明：对于3个商人，3个随从问题分别对应于n=2,m=3)的过河问题。

从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安全过河方案。

四、实验步骤：第一步：问题分析。

这是一个多步决策过程，涉及到每一次船上的人员以及要考虑此岸和彼岸上剩余的商人数和随从数，在安全的条件下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。

第二步：分析模型的构成。

记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，2,1=k ，n y x k k 2,1,=，（具有可扩展性），将）（k k y x ,定义为状态，状态集合成为允许状态集合（S ）。

S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ，随从数为k v ，决策为),(k k v u ，安全渡河条件下，决策的集合为允许决策集合。

允许决策集合记作D ，所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k d 变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=-，此式为状态转移律。

制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S s k ∈按照转移律，由初始状态)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模型求解。