【原创】2014—2015学年高一数学必修四随堂练习及答案：平面向量的基本定理(1)

平面向量的综合测试1．已知A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32，有下列向量： ①a ＝⎝⎛⎭⎫143，3；②b ＝⎝⎛⎭⎫7，92；③c ＝⎝⎛⎭⎫－143，－3； ④d ＝(－7,9)．其中，与直线AB 平行的向量是2．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝3．在五边形ABCDE 中 (如图) AB ＋BC －DC ＝ 4．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b＝0，则实数k 的值为5．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝6．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ＝2CB ，则实数a 等于8．一艘船以5 km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2 km/h ，则船的实际航行速度范围是9．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（1）．P P 12·P P 13 （2）．P P 12·P P 14 （3）．P P 12·P P 15 （4）．P P 12·P P 16 10．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝11．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角θ为________．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝BA ·BC ＝1，那么c ＝________.13．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________. 14．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为________．15．(本小题满分12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值．17．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.18．(本小题满分14分)如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD (λ∈R)，|AB |＝|AD |＝2，|CB －CD |＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值； (2)求CB ·BA 的值．答案：1．解析：∵AB ＝(－7，－92)，∴与AB 平行的向量有①②③. 答案：①②③2．解析：AB ＝OB －OA ＝(13OA ＋23OC )－OA ＝23(OC －OA )，BC ＝OC －OB ＝OC －(13OA ＋23OC )＝13(OC －OA )，∴|AB |∶|BC |＝2∶1.答案：2：13．解析：∵AB ＋BC －DC ＝AC ＋CD ＝AD . 答案：AD4．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2) ＝ke 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22 ＝k －2＋(1－2k )cos 2π3＝2k －52，∵a·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54.答案：k ＝545．解析：∵BC 2＝16，∴|BC |＝4. ∴|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|CB |＝4. ∵M 为BC 中点，∴AM ＝12(AB ＋AC )，∴|AM |＝12|AB ＋AC |＝2.答案：26．解析：由题意知a ＋b ＝(－1，－2)，设a ＋b 与c 夹角为θ，∵(a ＋b )·c ＝52，∴|a ＋b |·|c |cosθ＝52，∴cos θ＝12，∴θ＝60°.又∵a ＋b ＝(－1，－2)＝－a ， ∴a 与c 夹角为120°. 答案：120°7．解析：设C (x ，y )，则AC ＝(x －7，y －1)，CB ＝(1－x,4－y )，∵AC＝2CB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.答案：28．解析：实际航行的速度为静水中的速度与河水流速的合速度，所以||v 静|－|v 水||≤|v |≤|v 静|＋|v 水|， 即|5－2|≤|v |≤|2＋5|,3≤|v |≤7. 答案：[3,7]9．解析：由于P P 12⊥P P 15，故其数量积是0，可排除（3）；P P 12与P P 16的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除（4）；设正六边形的边长是a ，则P P 12·P P 13＝|P P 12|·|P P 13|·cos 30°＝32a 2，P P 12·P P 14＝|P P 12|·|P P 14|·cos 60°＝a 2. 答案：（1）10．解析：由已知得BC ＝2，∠BCD ＝135°， 所以MA ·MD ＝(MB ＋BA )·(MC ＋CD ) ＝MB ·MC ＋MB ·CD ＋BA ·MC ＋BA ·CD ＝22×22×cos 180°＋22×1×cos 135°＋2×22×cos 45°＋2×1×cos 0°＝2. 答案：211．解析：设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.答案：π312．解析：由题知AB ·AC ＋BA ·BC ＝2， 即AB ·AC －AB ·BC ＝AB ·(AC ＋CB )＝AB 2＝2⇒c ＝|AB |＝ 2.答案： 213．解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)， 可得AE ·BD ＝1. 答案：114．解析：AO ＝12(AB ＋AC )＝m 2AM ＋n2AN ， NO ＝AO －AN ＝m 2AM ＋n －22AN ，NM ＝AM －AN .∵M 、O 、N 三点共线，∴m 2＝－n －22，∴m＋n＝2.答案：215．解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．∵0°<θ<120°，∴－12<cos θ<1，∴13<|c|<5，∴|c|的取值范围为(13，5)．16．解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－t OC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－t OC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－11 5.17．解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4) ∴|a－b|＝22＋(－4)2＝2 5.18．解：(1)因为BC＝λAD，所以BC∥AD，且|BC|＝λ|AD|.因为|AB|＝|AD|＝2，所以|BC|＝2λ.又|CB－CD|＝23，所以|BD|＝2 3.作AH⊥BD交BD于H，则H为BD的中点．在Rt△AHB中，有cos∠ABH＝BHAB＝32，于是∠ABH＝30°，所以∠ADB＝∠DBC＝30°.而∠BDC＝90°，所以BD＝BC·cos 30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC＝60°，|CB|＝4，所以CB与BA的夹角为120°，故CB·BA＝|CB|·|BA|cos 120°＝－4.。

必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。

故所求的向量或。

2 b ka t b20．解：（1）, 0. [( 3) ] ( ) 0.x y x y 即 a t2 22a b 0,a 4,b 1,4k t(t 3) 0,即k 142t(t 3).（2）由f(t)>0, 得1 2t(t 3) 0,即t(t 3) (t 3)0,则 3 t 0或4t 3.必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

黄图盛中学高一数学必修四第二章单元测试卷班级 姓名 座号一.选择题1．以下说法错误的是（ )A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ )A ．＋（B ．（C ．＋D ．；＋－3．已知=（3，4），=(5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知,均为单位向量，它们的夹角为+=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）A 。

)(21→→-b a B 。

)(21→→-a b C. →a ＋→b 21 D. )(21→→+b a 6．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A −→−AD ＝−→−BCB 。

−→−AD ＝2−→−BC C 。

−→−AD ＝－−→−BC D.−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是( ）A. 1 B 。

《平面向量》练习题及答案《平面向量》练习题及答案向量是近代数学中重要和基本的概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。

接下来小编为你带来《平面向量》练习题及答案,希望对你有帮助。

一、教材分析全章地位：平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理。

这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。

应用空间：平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。

二、教学目标【知识与能力】(1)了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示一向量，掌握两向量夹角的定义及两向量垂直的概念，会初步求解简单两向量的夹角;(2)培养学生作图、判断、求解的基本能力。

【过程与方法】(1)经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法;(2)让学生体会用基底表示平面内一向量的方法、求两简单向量的夹角的方法。

【情感态度与价值观】培养学生动手操作、观察判断的能力，体会数形结合思想。

三、教学重点平面向量基本定理及其意义，两向量夹角的简单计算。

四、教学难点平面向量基本定理的.探究，向量夹角的判断。

五、学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

六、学法指导教师平等地参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。

七、教学基本流程定理探究↓形成定理↓定理思考与应用↓定义形成与应用八、教学情境设计。

平面向量的基本定理及坐标表示、选择题1、若向量a=（1,1）,b=(1, - 1), c =( —1,2),则c 等于()13 1 3 . 3 1 -3 1 ,A、一a+ —bB、一a — bC、 a — bD、a+ b22 2 2 2 222 2、已知，A (2, 3), B （—4, 5）,则与AB共线的单位向量是( )—r 3.10.10 3.10 10 , 3 1010、A、e (, ---- -)B、e (——, ------ )或( -------- ,)101010 10 1010C、e (6,2)D、e ( 6,2)或(6,2)—*3、已知a，(1,2),b(3,2),ka b与a3b垂直时k值为( )A、171B、18C、19D、204、已知向量OP=(2, 1), OA =(1 , 7), OB =(5 , 1),设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么XA XB的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、若向量m (1,2),n（2,1）分别是直线ax+(b —a)y —a=0 和ax+4by+b=0 的方向向量，贝U a,b的值分别可以是( )A、 1 , 2B、—2 , 1C、 1 , 2D、2 , 16、若向量a=(cos,sin),b=(cos ,sin）,则a与b 一定满足( )A、a与b的夹角等于一B、(a + b)丄(a —b)C、a// bD、a 丄b7、设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP 3cos i3sin j ,(0,?),OQ i。

若用来表示OP与OQ的夹角，贝U 等于（）A、B、—2c、—2D、8、设0 2 ，已知两个向量OR cos , sin , OP2 2 sin , 2 cos ，则向量P-l P2长度的最大值是( )A、、2B、.3C、32D、二、填空题9、已知点A(2 , 0), B(4 , 0)，动点P在抛物线y2=- 4x运动，则使AP BP取得最小值的点P的坐标是____________________________________ 、10、把函数y 、.3cosx si nx的图象，按向量a m,n (m>0)平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为____________________ 、11、_____________________________________________________________ 已知向量OA ( 1,2),OB (3,m),若OA AB,则m ________________________________ 、三、解答题12、求点A (- 3, 5)关于点P (- 1, 2)的对称点A、13、平面直角坐标系有点P(1, cosx), Q (cosx,1), x [,].4 4(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x);(2)求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x),OB ( cosx, 1)，其中x€ [0, 卜2(1)求f(x)= OA OB的最大值和最小值;um uuu uuu⑵当OA丄OB，求| AB卜215、已知定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P 满足：AP BP k|PC|、量P-l P2长度的最大值是( )(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；(2)当k 2时，求| AP BP |的最大值和最小值、4min14、解：⑴ f(x)= OAOB = -2sinxcosx+cos2x= 2cos(2x、选择题参考答案I 、 B ; 2、B ; 3、C ; 4、B ; 5、D ; 6、B ; 7、D ; 8、C 二、 填空题 9、 (0, 0)510、 m 一 6II 、 4 三、 解答题12、解：设A3 x2，则有L 25 y 2解得1、所以 A/(1，- 1)o13、解：(1)OP OQ 2cosx,|OP||OQ| 12cos x, cosOP OQ |OP| |OQ|2cosx 1 cos 2 xf (x)(2) COSf(x)2cosx 1 2cos2 cosxcosxcosx2T 1]2 cosx3.2cosx◎ f(x) 1,即 口33cos 1max2(2 arccos一 3AP BP(x, y1) (x, y 1) (2x,2y) •••I AP BP |5■/ 0$w ,_w2+— <— 2 4 4 4• ••当 2X+ —= 一，即 x=0 时，f(X )max =1 ；4 4当 2x+ 一= n,即 x= — n 时，f(x) min =- 2、4 8⑵ OA OB 即 f(x)=0 , 2x+ 一 = — , • x= 一、428此时 | AB |, (2sinx cosx)2 (cos2x 1)2=.4sin 2 x cos 2 x 4sin xcosx (cos2x 1)27 72— —cos2x 2sin2x cos 2x 2 22 7cos — 2sin — cos2 — 2 2 4 44=1 ■16 3.2、2的圆、|1 k|, 方 程化 为 (x 2)2 y 2115、解:(1 ）设动点P 的坐标为(x, y),则AP(x,y 1) , BP(x,y 1),PC (1 x,y)AP BP k | PC |2,• x 2y 21 k (x2 21) y即 (1 k)x 2(1 k)y 22kx k 10。

平面向量的基本定理（2）1．等腰直角三角形ABC 中，AB ⊥AC ，则AB u u u r 与BC u u u r 的夹角是________．2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD u u u r ＝a ，BE u u u r ＝b ，则BC u u u r ＝3．如图，在矩形ABCD 中，若BC u u u r ＝5e 1，DC u u u r ＝3e 2，则OC u u u r ＝ （用e 1,e 2 来表示）4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR u u u r 等于 （用a,b 来表示）5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．°6．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．若用基底AB u u u r ，AC u u u r 表示AD u u u r ，则AD u u u r ＝________________.7．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC u u u r ＝a ，CA u u r ＝b ，给出下列结论：①AD u u u r ＝－12a －b ；②BF u u u r ＝a ＋12b ； ③CF u u u r ＝－12a ＋12b ；④EF u u u r ＝12a . 其中正确结论的序号为________．8．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，试用a ，b 表示DC u u u r ，EF u u u r ，FC u u u r .9．如图，平行四边形ABCD 中，AD u u u r ＝b ，AB u u u r ＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线．答案：1.解析：作线段AB 的延长线AD ，则∠DBC 是AB u u u r 与BC u u u r 的夹角．又∠DBC ＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°.答案：135°2.解析：设AD 与BE 交点为F ，则AF u u u r ＝23a ，BF u u u r ＝23b . 由AB u u u r ＋BF u u u r ＋FA u u u r ＝0，得AB u u u r ＝23(a －b )， 所以BC u u u r ＝2BD u u u r ＝2(AD u u u r －AB u u u r )＝23a ＋43b .答案：23a ＋43b 3.解析：OC u u u r ＝12AC u u u r ＝12(AB u u u r ＋BC u u u r )＝12(DC u u u r ＋BC u u u r ) ＝12(5e 1＋3e 2)． 答案：12(5e 1＋3e 2) 4.解析：如图，a ＝12(OR u u u r ＋OQ uuu r )，b ＝12(OQ uuu r →＋OR u u u r )， 相减得b －a ＝12(OR u u u r －OP u u u r )． ∴PR u u u r ＝2(b －a )．答案：2(b －a )5.解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.答案：906.解析：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD u u u r ＝14BC u u u r ＝14(AC u u u r －AB u u u r ) ∴AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r ＝AB u u u r ＋14(AC u u u r －AB u u u r ) ＝34AB u u u r ＋14AC u u u r . 答案：34AB u u u r ＋14AC u u u r 7.解析：如图，AD u u u r ＝AC u u u r ＋CD u u u r＝－b ＋12CB u u u r ＝－b －12a ，①正确； BE u u u r ＝BC u u u r ＋CE u u u r ＝a ＋12b ，②正确； AB u u u r ＝AC u u u r ＋CB u u u r ＝－b －a ，CF u u u r ＝CA u u r ＋12AB uu u r ＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确；④EF u u u r ＝12CB uu u r ＝－12a ，④不正确．答案：①②③8.解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴FC u u u r ＝AD u u u r ＝a ，DC u u u r ＝AF u u u r ＝12AB u u u r ＝12b .EF u u u r ＝ED u u u r ＋DA u u u r ＋AF u u u r＝－12DC u u u r －AD u u u r ＋12AB u u u r＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .9.证明：在△ABD 中，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ，因为AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，所以BD u u u r ＝b －a .∵N 点是BD 的三等分点，∴BN u u u r ＝13BD u u u r ＝13(b －a )．∵BC u u u r ＝b ，∴CN u u u r ＝BN u u u r －BC u u u r ＝13(b －a )－b＝－13a －23b . ① ∵M 为AB 中点，∴MB u u u r ＝12a ，∴CM u u u r ＝－MC u u u r ＝－(MB u u u r ＋BC u u u r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b＝－12a －b . ② 由①②可得CM u u u r ＝32CN u u u r.由共线向量定理知CM u u u r ∥CN u u u r ，又∵CM u u u r 与CN u u u r 有公共点C ，∴C 、M 、N 三点共线．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作随堂练习：平面向量的基本定理（1）1．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AE ＝3．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为4．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2满足的关系为__________．5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .6．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD ＝e 1，AB＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量BC .答案：1.解析：AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b )．答案：12(a ＋b )2.解析：如图，∵AE ＝12(AO ＋AD )，且AO ＝12a ，AD ＝AO ＋OD＝12a ＋12b ，∴AE ＝12(12a ＋12a ＋12b )＝12a ＋14b .答案：12a ＋14b3.解析：如图，AD 与CD 的夹角为∠ADC ＝150°. 答案：150°4.解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)．∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2.∴λ1λ2＝1.答案：λ1λ2＝15.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧ e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136.解：如图，因为AB ＝e 2，DC ∥AB 且DCAB ＝k ，所以DC ＝k AB ＝ke 2.因为AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0，所以BC ＝－AB －CD －DA ＝－AB ＋DC ＋AD ＝e 1＋(k －1)e 2.。

2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理一、填空题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1 ②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2 ③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 ④e 1＋e 2，e 1－e 22．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 3．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝________.5．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →＝________.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AEEB＝________.二、解答题9. 如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.10．如图，▱OACB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .11. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展12. 如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．答案1．②④ 2.②③ 3.－74m ＋138n 4.11＋λa ＋λ1＋λb5．0 6.23b ＋13c 7.43 8.1109．解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．证明 设BE →＝λBA →.则OE →＝OB →＋BE →＝OB →＋λBA → ＝OB →＋λ(OA →－OB →)＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λa ＋(1－λ)b . OD →＝OB →＋BD →＝13a ＋b .∵O 、E 、D 三点共线，∴OE →与OD →共线， ∴λ13＝1－λ1，∴λ＝14.即BE ＝14BA . 11．证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →， BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.12．解 设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。