高一数学竞赛培训讲义：组合数学培训系列1 排列组合常见题型及解题策略

排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。

复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。

一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。

三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。

下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。

排列组合问题的常见模型1知识内容1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中1有m种方法，……，在第n类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+m+L+m种2n12n不同的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m种不同的方法，做第二个1步骤有m种不同方法，……，做第n个步骤有m种不同的方法．那么完成这件事共有2nN=m⨯m⨯L⨯m种不同的方法．又称乘法原理．12n⑴加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2．排列与组合⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m表示．n排列数公式：A m=n(n-1)(n-2)L(n-m+1)，m，n∈N，并且m≤n．n+全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示．规定：0!=1．思维的发掘能力的飞跃1组合数公式： C m = n (n - 1)(n - 2)L (n - m + 1) = m ! m !(n - m )!⑴组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出m (m ≤ n) 个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号 C m 表示．n n n !， m , n ∈ N ，并且 m ≤ n ．+组合数的两个性质：性质 1： C m = C n -m ；性质 2： C m = C m + C m -1 ．（规定 C 0 = 1）nn n +1 n n n⑴排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排 列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成 m (m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排，从 n - 1个空中选 m -1 个空，各插一个隔板，有 C m -1 ．n -17．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成 n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！8．错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求 小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n = 2 ，3，4，5 时的错位数各为 1，2， 9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位 排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．2思维的发掘 能力的飞跃求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑴其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？思维的发掘能力的飞跃3【例3】7名同学排队照相．⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑴若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，若ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．4思维的发掘能力的飞跃2【例7】 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A ． 1440 种B ． 960 种C ． 720 种D ． 480 种【例8】 12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ． C 2A 283B ．C 2A 68 6C ． C 2A 28 6D ． C 2A 28 5【例9】 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排， 位老人相邻但不排在两端， 不同的排法共有（ ） A ．1440 种 B ．960 种 C ．720 种 D ．480 种【例10】在数字1，2 ，3 与符号 + ，- 五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ） A ． 6B ．12C ．18D ． 24【例11】计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩、4 幅油画、5 幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．思维的发掘 能力的飞跃52 3 4 5 6 7 a a a a a a【例12】6 人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例13】一条长椅上有 7 个座位，4 人坐，要求 3 个空位中，有 2 个空位相邻，另一个空位与 2 个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A ． 360 B ． 288 C ． 216 D ． 96【例15】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相 邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．【例16】在 1， ， ， ， ， ， 的任一排列 a ， ， ， ， ， ， 中，使相邻两数都互质的排列方1 2 3 4 5 6 7式共有（）种．A ． 288B ． 576C ． 864D ．11526思维的发掘 能力的飞跃Q R S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P Q R S 1 2 3 4 5 6 7 8 Q【例17】从集合 {P ， ， ， }与 {0 ，， ， ， ， ， ， ， ，}中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字 均 不 能 重 复 ）． 每 排 中 字 母 Q 和 数 字 0 至 多 只 能 出 现 一 个 的 不 同 排 法 种 数 是_________．（用数字作答）【例18】从集合 {O ， ， ， ， } 与 {0，， ， ， ， ， ， ， ，9}中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复） ．每排中字母 O ， 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例19】 6 个人坐在一排10 个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种?⑶ 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?【例20】 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ． 360B ． 288C ． 216D ． 96思维的发掘 能力的飞跃7【例21】12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（）A．C2A283B．C2A686C．C2A286D．C2A285【例22】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A．36种B．108种C．216种D．432种数字问题【例24】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？【例25】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？8思维的发掘能力的飞跃2 3 4 5 a a a a a a a 1 2 L 9 1 2 3 4 2 3 4【例26】在 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，在 0，2，4，6，8 中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】用 1， ， ， ， 排 成 一 个 数 字 不 重 复 的 五 位 数 a ， ， ， ， 12345a < a ， > a ， < a ， > a 的五位数有多少个？12233445， 满 足【例28】用 0 ，， ， ， 这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2 ，则这样的四位数共有多少个？【例29】用数字 0 ， ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例30】有 4 张分别标有数字 1， ， ， 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， ， ， 的蓝色卡片，从这 8思维的发掘 能力的飞跃9求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ，则不同的排法共有（ ）2 3 4 2 3 4张卡片中取出 4 张卡片排成一行．如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，则不同的排法 数一共有 种．432 ；【例31】有 8 张卡片分别标有数字1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要．．A ．1344 种B ．1248 种C ．1056 种D ． 960 种【例32】有 4 张分别标有数字 1， ， ， 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， ， ， 的蓝色卡片，从这 8张卡片中取出 4 张卡片排成一行．如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例33】用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例34】用数字1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（）A ． 48 个B ． 36 个C ． 24 个D ．18 个【例35】从 1，2 ，3 ，8 ，9 ，10 这 6 个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到不同偶数？个这样的10思维的发掘 能力的飞跃1 12345 12345高中数学讲义【例36】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例37】用数字0，，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．【例38】从0，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B．216C．180D．162【例39】从0，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B．216C．180D．162【例40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？思维的发掘能力的飞跃112 3 4 2 3 4 2 3 4 5 高中数学讲义⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】用 0 到 9 这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】有 4 张分别标有数字 1， ， ， 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， ， ， 的蓝色卡片，从这 8张卡片中取出 4 张卡片排成一行．如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，则不同的排法 共有______种（用数字作答）．【例43】在由数字 1， ， ， ， 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521的数 共有（ ）个A ． 56 个B ． 57 个C ． 58 个D ． 60 个【例44】由 0，1，2，3，4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列 {a }，则 a = _____．n 19 A ． 2014B ． 2034C ． 1432D ． 143012 思维的发掘 能力的飞跃--01234高中数学讲义【例45】从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0，其中有实数根的有几个？【例46】从{-3，2，1，，，，，}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?思维的发掘能力的飞跃13。

数学竞赛讲义第一讲 组合计数本讲概述组合数学是竞赛中最重要的一个板块，也是变化最多，最灵活，难以掌握，至今还没有一个系统体系的学科.解决竞赛中的组合数学问题，往往不需要太多专门的知识，而是要求深刻的洞察能力和强大的化归、转化能力.所谓“得组合者得天下”，在联赛一二试乃至冬令营、集训队、IMO 中，最后的胜者往往是成功完成组合问题的同学.因此，学习组合数学对于竞赛获奖以及数学能力的培养都有着十分重要的意义.从本讲开始，我们将用七讲来对组合数学做一个大致的勾勒.通过这七讲的学习，达到以下目的：1、掌握联赛一二试组合问题的特点与解法；2、对组合数学这门学科有一个初步的认识，为进一步学习打下基础；3、了解部分冬令营级别组合问题的难度与解题模式.七讲内容分别为：一、组合计数（1） 比高考略难的基本计数问题 二、组合计数（2） 需要较多技巧的专门计数问题 三、组合恒等式 较为重要和有趣味的组合恒等式 四、抽屉原理与存在性问题 五、容斥原理与极端性原理六、染色问题与操作问题 七、组合数学综合问题本讲中，假定各位同学已经大致学完了高考难度的排列组合模块内容，对加法原理、乘法原理等有一定的理解并能完成相关的问题.教师备注：本讲可与下一讲打通讲述，也可本讲专门讲常规的枚举、基本的组合问题，下一讲专门讲述一些较为高级的技巧.首先给出一些相关的基本知识： 1、 加法原理与乘法原理加法原理：完成一件事的方法可分成n 个互不相交的类，在第1类到第n 类分别有12,,...,n m m m 种方法，则总共完成这件事有121...nin i mm m m ==+++∑种方法.应用加法原理的关键在于通过适当的分类，使得每一类都相对易于计数.乘法原理：完成一件事的方法有n 个步骤，，在第1步到第n 步分别有12,,...,n m m m 种方法，则总共完成这件事有121...nin i m mm m ==∏种方法. 应用乘法原理的关键在于通过适当的分步，使得每一步都相对易于计数.由上可见，加法原理与乘法原理也是化归思想的应用，通过这两个原理以及它们的组合，可以将一个复杂的组合计数问题分解成若干个便于计数的小问题.2、 无重排列与组合阶乘：定义 !(1)(2)...21n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅，读作n 的阶乘无重排列：从n 个不同元素中任取m 个不同元素排成一列，不同的排列种数称为排列数，记为mnA （部分书中记为m n P ），由乘法原理得到!(1)...(1)()!m n n A n n n m n m ==⋅-⋅⋅⋅-+-无重组合：从n 个不同元素中任取m 个元素并为一组，不同的组合种数称为组合数，记为mn C ，其公式为(1)...(1)!!!()!!mmn nA n n n m n C m m n m m ⋅-⋅⋅⋅-+===- 3、 可重排列与组合（仅给出结论，请自证之）可重排列：从n 个不同元素中可重复地任取m 个元素排成一列，不同的排列种数有mn 种； 有限个重复元素的全排列：设n 个元素由k 个不同元素12,,...,k a a a 组成，分别有12,,...,k n n n 个（12...k n n n n +++=），那么这n 个元素的全排列数为12!!!...!k n n n n ⋅⋅⋅可重组合：从n 个不同元素中，任意可重复地选取m 个元素，称为n 个不同元素中取m 个元素的可重组合，其种数为1mn m C +-4、 圆排列（仅给出结论，请自证之）在n 个不同元素中，每次取出m 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．在},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出m 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为mn A m．例题精讲板块一 利用加法、乘法原理以及枚举方法计数联赛一试的填空题中出现的计数问题有接近一半的问题不需要用到很高深的技巧，而是直接利用最基本的加法、乘法原理，以及枚举方法来计数.这主要是考虑到有一部分参加联赛的同学并未经过专业的竞赛训练.虽然如此，这部分计数问题枚举起来往往分类复杂，需要小心仔细.从往年的联赛试题来看，枚举法解决计数问题是最主要的题型之一，其难点在于做到“不重不漏”，这是加法原理的一个简单的应用.枚举过程中，采用恰当的分类、分步形式，往往会收到化难为易的效果.【例1】 (高考难度的热身问题)（1）等腰三角形的三边均为正整数．它们周长不大于10．这样不同的三角形的种数为A ．8B ．9C ．10D ．1l（2）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 A.234 B ．346 C. 350 D ．363 【解析】 （1）设三边为x,y ，z ，则x+y+z ≤10，由三边关系共有(1，1，1)，(1，2，2)，(1，3，3)，(1，4，4)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)共10种．（2）B 前排中间的3个座位不能坐，有排法220A ，其中相邻的分三类，在前排的其中的4个座位有322A ；则符合条件的排法种数中2222222201133A A A A ---=346，故选B （这是正难则反的思想，从总体中除去不符合要求的）另解：分三类：①两人坐在前排，按要求有4·6+4·5=44种坐法．②两人坐在后排，按要求有：211A =110种坐法．③两人分别坐在前后排，有8×12×2=192种∴共有346种排法．【例2】 （1）有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？（2）集合{1,2,...,100}的子集中共有多少个至少包含一个奇数？【解析】 （1）按照上题正难则反的思想，可以先找出所有的五位数，共有90000个，其中可被3整除的有30000个，下面研究这30000个数中不含数字6的数，最高位有8种选择，千、百、十位各有9种选择，个位数除不能为6外，还应满足恰各位数之和可被3整除，这恰有3种选择，例如当前四位除以3余2时，个位应为1,4,7之一；故能被3整除且不含数字6的有8999317496⨯⨯⨯⨯=个，故所求五位数有30000-17496=12504个（2）显然全部子集数为1002个，不包含任何奇数的子集即{2,4,6,...,98,100}的子集共有502个，故所求子集个数为1005022-个.(思考：请用最简洁的方法确定为何n 元集合子集数为2n个)【例3】 设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种【解析】 这是标准的联赛风格的枚举问题，所谓杀鸡焉用牛刀，用递归方法来解这类问题就太麻烦了.显然青蛙不能跳1，2,4次到达D 点，于是青蛙的跳法只有以下两种： （1）青蛙跳3次后到达D 点，有2种跳法； （2）青蛙跳5次后停止，跳3次有322-种，后两次有22种，共计24种； 所以，合计有26种跳法注 本题为1997年联赛试题【例4】 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。

题目：排列组合常见种类与解题策略1. 排列组合的基本概念和含义排列组合是组合数学中的一个重要分支，用于计算对象的不同排列和组合方式。

在解题过程中，我们常常会遇到以下几种排列组合的形式：- 排列：从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序进行排列，记作A(n, m)或P(n, m)。

排列的计算公式为：A(n, m) = n! / (n-m)!。

- 组合：从n个不同元素中取出m个元素组成一个集合，不考虑元素的顺序，记作C(n, m)。

组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。

- 重复排列：从n个元素中重复取出m个元素进行排列，元素可重复使用，记作A(n, m)。

重复排列的计算公式为：A(n, m) =n^m。

- 重复组合：从n个元素中重复取出m个元素组成一个集合，元素可重复使用，记作C(n, m)。

重复组合的计算公式为：C(n, m) = C(n+m-1, m)。

2. 排列组合的解题策略在解题过程中，我们可以采取一些常见的解题策略来简化计算和提高效率。

以下是几种常见的解题策略：- 利用排列数和组合数的性质来简化计算，例如利用排列数的对称性质和组合数的等式关系进行变形。

- 将复杂的排列组合问题转化为简单的子问题，采用递推或递归的方法进行求解。

- 利用排列组合与计数原理的结合，通过计数问题的转化和分析来解决排列组合问题。

- 运用数学公式和计算器等工具来辅助计算，提高计算精确度和效率。

3. 示例和练题为了更好地理解排列组合的种类和解题策略，以下是一些示例和练题：- 示例题1：从A、B、C、D四个元素中取出3个元素进行排列，求有多少种排列方式？- 示例题2：从10个不同的数字中取出5个数字组成一个集合，求有多少种不同的组合方式？- 练题1：从1、2、3、4、5、6六个数字中取出3个数字进行排列，求有多少种排列方式？- 练题2：小明有3本不同的数学书和4本不同的英语书，他要从中选择2本书带去图书馆，求有多少种选择方式？通过解题练，可以加深对排列组合种类和解题策略的理解和掌握。

高中数学排列组合几种常见题型及解法摘要:排列、组合问题是高中数学的重要知识之一,或单独命题,或与概率内容相结合,一般以较易题出现,但由于解这类问题时方法灵活,切入点多,且抽象性极强,在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现,所以又成为学习的难点之一。

故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解,运用化归思想、比较分类思想和模型化思维方法,将问题简单化、常规化。

关键词:分类计数原理、分步计数原理、特殊元素、特殊位置、捆绑法、插空法、隔板法排列组合的学习虽然注意发散思维、逆向思维能力的培养,但如果能够掌握一些常见题型及其解题策略,则会降低学习这部分知识的难度。

本文就排列组合的基本题型、基本思路做以简略介绍:一、排列组合的基本思路1、排列、组合的应用问题(1)无限制条件的简单排列、组合应用问题,可直接用公式求解。

(2)有限制条件的排列组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。

2、排列、组合的综合问题排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排列问题。

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:(1)限制条件的排列问题常见命题形式:“在”与“不在”“相邻”与“不相邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:①“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排特殊元素或特殊位置。

②“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,即可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻问题最常用的方法。

③“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中。

④元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。

(2)限制条件的组合问题常见命题形式:“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。

(3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复、不遗漏按事件的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列组合问题的最基本,也是最重要的思想方法。

排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。

所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】五人并排站成一排，如果必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法数是52563600A A【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（数字作答）【解析】：111789A A A=504【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A＝3600【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。

(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。

1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。

把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。

例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。

对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。

例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。

4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

高中数学排列组合解题技巧在高中数学的学习中，排列组合是一种基础的数学概念，其应用范围广泛，尤其在数学竞赛中经常会涉及到。

对于初学者来说，掌握排列组合解题技巧是十分重要的，以下是我总结的一些技巧，希望能够帮助到大家。

一、排列组合的基本概念排列组合是指从若干元素中选择若干元素形成集合的方法。

其中，排列与组合的区别主要在于是否考虑元素的先后次序。

排列：从n个不同元素中取出m个元素按照一定的顺序排列，称为n 个不同元素中取m个元素的排列，通常表示为A（n，m）。

组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序的组合方式称为n个不同元素中取m个元素的组合，通常表示为C（n，m）。

二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法对于一个排列问题，我们可以采用以下的公式进行计算：A（n，m）= n! / (n - m)!这个公式的意思是，在n个元素中选择m个元素，有n!种不同的排列方式，但是对于每m个元素组成的排列，其内部元素顺序有m!种不同的排列方式，因此最终的排列结果就是n! / (n - m)!。

2. 组合的计算方法对于一个组合问题，我们可以采用以下的公式进行计算：C（n，m）= A（n，m）/ m! = n! / (m! * (n - m)!)这个公式的意思是，在n个元素中选择m个元素，有A（n，m）种不同的排列方式，但是由于我们不考虑元素的顺序，因此我们需要将这些排列方式除以m!（即m个元素内部可以互相交换的排列方式）。

最终的组合结果就是A（n，m）/ m! = n! / (m! * (n - m)!).三、排列组合问题的应用在解决排列组合的问题时，需要灵活掌握一些技巧，以下是一些常见的应用技巧。

1. 交换变量的位置对于一个排列问题，如果要求的是任意两个元素的不同排列方式数量，我们可以将两个元素的位置互换，得到不同的排列方式，因此需要将所有的不同排列数量乘以2。

2. 选择子集对于一个组合问题，如果需要求出n个元素中取m个元素的所有组合方式，我们可以先选择第一个元素，再从剩下的n-1个元素中选择m-1个元素，从而得到选择第一个元素的组合方式。