2015年昌平高三数学(理科)期末试卷

2015年北京高考数学（理科）真题本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A 【解析】i （2－i ）＝1＋2i2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为12-，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时z ＝4． 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】程序运行过程如下表所示故输出结果为（－4，0）4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“m β∥”是“αβ∥”的必要条件． 若“m β∥”，“αβ∥”不一定成立，反例如下图所示．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是俯视图侧(左)视图A．2 B．4 C．2+ D ．5 【答案】C 【解析】例题图形如下图所示：过P 点做AB 的垂线交AB 于点D ，12222112,1,,12.2ABC PBC PAC PAB S S S BC PC PB PA PD S =⨯⨯=======∴=⨯所以表面积222S =++6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 【解析】当d ＞0，∴ a 1a 3＝（a 2－d ）（a 2＋d ）＝a 22－d 2 ∵ a 22＞a 22－d 2 ∴2a7．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】如图，x ＝1时，f （x ）＝log 2（x ＋1）∴ f （x ）≥log 2（x ＋1）解集为（－1，1]，需要注意，log 2（x ＋1）定义域不包含－1，故选C ．8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】A ．问的是纵坐标最大值．B ．消耗1升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油C ．此时甲走过了80千米，消耗8升汽油D ．80km/h 以下丙“燃油效率”更高，更省油 所以选择D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【解析】()52x +中3x 的项为32352C x 所以系数为40．10．已知双曲线()22210x y a a -=>0y +=，则a =．【解析】0y +=所以有ba-=，有双曲线的方程2221x y a -=得b ＝1，且a ＞0.所以 a =．11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为 ．【答案】1 【解析】点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚对应的直角坐标系为点(1‚，极坐标方程()cos sin 6ρθθ+=对应的直角坐标方程为60x -=，根据点到直线的距离公式1361.2d +-==．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】由余弦定理可得2222536163cos ,22564b c a A bc +-+-===⨯⨯由正弦定理和二倍角公式可得，sin 22sin cos 322cos 2 1.sin sin 43A A A a A C C c ==⨯=⨯⨯=13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC = ．若MN xAB yAC =+，则x =；y =．【答案】11,26x y ==- 【解析】12()23112611,.26MN AN AMAB AC AC AB AC x y =-=+-=-∴==-14．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】① －1；② 1/2≤a ＜1或a ≥2【解析】 ①当a ＝1时，2x a -＞－1． 4（x －1）（x －2）＝4（x －1.5）2－1≥－1 当x ＝1.5时最小为－1．② 若函数()2x h x a =-在x ＜1时与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x ＝1时，(1)20x h a =->，所以0＜a ＜2，函数()()()42g x x a x a =--有一个交点，所以2a ≥1且a ＜1，所以1/2≤a ＜1 若函数()2x h x a =-与x 轴没有交点，()()()42g x x a x a =--有两个交点， 当a ≤0，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍）；当h （1）＝2－a 时，a ≥2，g （x ）的两个交点为x 1＝a ，x 2＝2a 都是满足题意的， 综上所述，a 的取值范围是1/2≤a ＜1或a ≥2三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】 【解析】（1）2()cos 2221cos sin 2sin cos sin()4x x xf x x x x x x π=-===+-∴ f （x ）的最小周期T ＝2π/1＝2π．（2）∵ －π≤x ≤0 ∴ 3444x πππ-≤+≤∴1sin()4x π-≤+≤∴1()0f x -≤≤∴()f x 在区间[π0]-，上的最小值为1--． 16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】（1）37；（2）1049；（3）a ＝11或a ＝8. 【解析】（1）13173(14)7C P t C ≥==（2）当a ＝25时，假设乙的康复时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天共4人； 乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天共3人； 乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天、16天共2人； 乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天共1人；乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为16天，均不合题意． 所以符合题意的甲、乙选择方式共：4＋3＋2＋1＝10种所有甲、乙组合情况共117749C C ⨯=．因为任何组合情况都是等可能的，故10().49P t t =乙甲>（3）a ＝11或a ＝8. 根据数据平移和调整顺序不影响方差易得． 17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．O FECBA【答案】 【解析】（1） ∵ △AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点 ∴ AO ⊥EF又 ∵ 平面AEF ⊥平面EFCB ， 且平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ∴ AO ⊥平面EBCF ∴ AO ⊥BE（2）取CB 的中点D ，连接OD如图分别以OE ，OD ，OA 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系(0,0,),(,0,0),(2,,0)A E a B(,0,),=(2,,0)AE a EB a =-设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =平面AEB 的法向量2(,,)n x y z(2))0ax a x a y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩所以21,1)n =-所以F —AE —B二面角的余弦值1212cos n n n n θ==因为F —AE —B 二面角为钝二面角，所以余弦值为 （3）由（1）知AO ⊥面FEBC∴ AO ⊥BE若BE ⊥平面AOC 仅需BE ⊥OC由（2）得=(2,,0)EB a -=(2,,0)OC -=0EB OC ，解得a ＝2（舍）或43a =．18．（本小题13分）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】【解析】（1）()1ln1xf x x +=-，x ∈（－1，1），()22'1f x x =-，()()'02,00f f ==， 所以切线方程为y ＝2x ．（2）原命题等价于()()301,203x x f x x ⎛⎫∀∈-+> ⎪⎝⎭，设函数()()()3ln 1ln 123x F x x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭()422'1x F x x=-，当()01x ∈，时，()'0F x >，函数F （x ）在()01x ∈，上是单调递增的， ()()00F x F >=，因此()()301,23x x f x x ⎛⎫∀∈>+ ⎪⎝⎭，（3）()()()()3342221ln ,01131()ln 0,011322'()1,0111x x k x x x x x t x k x x x kx k t x k x x x x⎛⎫+>+∈ ⎪-⎝⎭⎛⎫+⇔=-+>∈ ⎪-⎝⎭+-=-+=∈--，，，∴ [0,2]'()0k t x ∈≥，，函数()t x 是单调递增，()(0)0t x t =>显然成立． 当k ＞2时，令402'()0,(0,1)k t x x-==∈()(0)0t x t =<由此可知k 的最大值为2． 19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】椭圆()222210x y a b a b +=>>过()01P ，， ∴ b 2＝1离心率c e a ====∴ a =∴ 椭圆方程为2212x y +=∵ ()()01,P A m n ，， ． ∴ 直线PA 的方程为11n y x m--=，直线PA 与x 轴交于M ， 令y ＝0，则 ,,011M m m x M n n ⎛⎫=∴ ⎪--⎝⎭． （2）∵ ()()01,P B m n -，， ∴ 直线PB 的方程为11n y x m+-=-，直线PB 与x 轴交于N ， 令y ＝0，则 1N mx n=+． ∴ ,01m N n ⎛⎫⎪+⎝⎭ 设Q （0，y 0）00001tan ,(1)(1)tan ,1mm n OQM y n y y n y ONQ m mn-∠==-+∠==+∵ ,OQM ONQ ∠=∠∴ tan tan ,OQM ONQ ∠=∠ ∴ 00(1),(1)n y m n y m+=- ∴ 2220222,12m m y m n===- ∴ 02y =± ∴ 存在点(0,2)Q ，使,OQM ONQ ∠=∠．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）M ＝{6，12，24}；（2）略；（3）8．【解析】（1）a 1＝6，a 2＝12，a 3＝24，a 4＝2×24－36＝12，∴M ＝{6，12，24}．（2）用反证法证明a 1是3的倍数．否则若a 1不是3的倍数，用归纳法证明所有的a n 都不是3的倍数．n ＝1时，a 1不是3的倍数，假设n ＝k 时，a k 不是3的倍数，对于n ＝k ＋1，a k ＋1＝2a k 或2a k －36都不是3的倍数，则所有的a n 都不是3的倍数，这与{a n }中存在一个数是3的倍数矛盾．因此a 1是3的倍数，于是a 2＝2a 1或2a 1－36是3的倍数，以此类推，所有的a n 都是3的倍数．（3）M 的元素个数的最大值为8．首先，M 中的元素都不超过36，由a 1≤36，易得a 2≤36，类似可得a n ≤36．其次，M中的数最多除了前面两个数外，都是4的倍数．因为第二个数肯定是偶数，由a n定义可知第三个数及其后面的数肯定是4的倍数．再次，M中的数除以9的余数，由定义式可知，a n＋1与2a n除以9的余数一样．①若a n中有3的倍数，由（2）可知，所有的a n都是3的倍数，所以，a n除以9的余数为3，6，3，6，…或者6，3，6，3，…，或0，0，0，…，而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项最多4项．②a n中没有3的倍数，则an都不是3的倍数，对于a3除以9的余数，只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从a3起，a n除以9的余数，只能是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，…不断6项循环的（可能是从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，7，5且是4的倍数（≤36）只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前面两项最多8项．易知，a1＝1时，M＝{1，2，4，8，16，32，28，20}项数为8，所以M的元素最多个数为8．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学试题答案与解析1.解析()2i 2i 2i i 12i -=-=+.故选A.2.解析不等式组表示的可行域如图所示因此，可知目标函数在()0,1处取得最大值2.故选D.3.解析运行程序的过程如下：0s =，2t =，0x =，2y =，1k =；2s =-，2t =，2x =-，2y =，2k =；4s =-，0t =，4x =-，0y =，3k =；结束.所以输出的结果为()4,0-.故选B.4.解析根据面面平行的性质，若两个面平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行；根据面面平行的判定，若一个平面的两条相交直线分别平行另一个平面.才能推出面面平行，所以“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件.故选B.5.解析三视图对应的立体图形如图所示，12222ABC S =⨯⨯=△，AC BC==，1122ACP BCP S S===△△，AP BP ==ABP △是以AB 为底的等腰三角形，高122ABP S=⨯=△综上所述，表面积22S =+=+故选C.PCBA6.解析依题意，{}n a 是等差数列，若120a a +>，并不能推出230a a +>；故选项A 不正确.对于B 选项，若130a a +<，并不能推出120a a +<；故选项B 不正确.对于C 选项，若120a a <<，则210d a a =->，()()22213222a a a a a d a d -=--+=()2222220a a d d --=>，因此2a >C 正确.对于D 选项，若10a <，则()()221230a a a a d --=-…，并不能推出()()21230a a a a -->.故选C.7.解析函数不等式的求解，利用函数图像求解不等式.在同一坐标系中画出()y f x =及()2log 1y x =+的图像，如图所示.可知()()2log 1f x x +…的解集为(]1,1-.故选C.8.解析通过图像逐一研究.对于A 选项，由图可得，乙图纵坐标的最大值大于5，故选项A 不正确；对于B 选项，由图可得，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故选项B 不正确；对于C 选项，由图可得，甲车以80km /h 的速度行驶，其“燃油效率”为10km /L ，若甲车行驶1小时，消耗8升汽油，故选项C 不正确；对于选项D ，对于机动车最高限速80km /h ，相同条件下，丙车比乙车更省油.故选D.9.解析()52x +展开式的通项公式()515C 2,0,1,2,,5r r rr T x r -+== ，3x 的系数为325C 240=.10.解析依题意，双曲线()22210x y a a-=>的渐近线方程为x y a =±，则1a -=，得3a =. 11.解析极坐标中的点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中的点为(，极坐标方程()cos 6ρθθ=对应的直角坐标系方程为60x -=，根据点到直线的距离公式13612d +-==. 12.解析在ABC △中，sin 22sin cos sin sin A A A C C =，由正弦定理得sin sin A aC c=，由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因此sin 24321sin 64A C =⨯⨯=. 13.解析在ABC △中，点M 满足2AM MC = ，点N 满足BN NC =，则()111111323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=- ，因此12x =，16y =-.CB14.解析（1）若1a =，()()()21,1,412, 1.x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩….函数()f x 的值域为[)1,-+∞，因此()f x 的最小值为1-. （2）依题意，函数()21x y a x =-<至多有一个零点.若函数()f x 恰有两个零点，则有两种情形：① 函数2xy a =-在(),1-∞上无零点，则0a …或2a …，当0a …时，函数()()()42f x x a x a =--在[)1,+∞上无零点； 当2a …时，函数()()()42f x x a x a =--在[)1,+∞上有两个零点， 故2a …；② 函数2xy a =-在(),1-∞上有1个零点，则02a <<，此时函数()()()42f x x a x a =--在[)1,+∞上恰有一个零点，故121a a <⎧⎨⎩…，解得112a <…. 综上，若函数()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.15.解析（1）()1cos cos 222222x x x f x x x -==+-=πsin 42x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，函数()f x 的最小正周期2πT =.（2）当π0x -剎?时，3πππ444x -+剟，π1sin 42x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟，函数()f x 在区间[]π,0-的最小值为1--. 16. 解析（1）设甲的康复事件为ξ，则()3147P ξ=…，即甲的康复时间不少于14天的概率为37. （2）设乙的康复事件为η，集合{}10,11,12,13,14,15,16A =，{}12,13,14,15,16,17,25B =，则选取病人的基本事件空间为(){},,A B ξηξη∈∈，共49个基本事件，其中符合题意的基本事件为：()13,12，()14,12，()14,13，()15,12，()15,13，()15,14，()16,12，()16,13，()16,14，()16,15，共10个，从而()1049P ξη>=.（3）可以看出A 组7个连续的正整数，B 组为12至17共6个连续的正整数和a ，从而11a =或18时，两组离散程度相同，即方差相等.17. 解析（1）因为AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO EF ⊥，又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF 平面EFCB =EF ，AO ⊂平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB ，所以AO BE ⊥.（2）取BC 的中点为D ，连接OD ，因为四边形EBCF 是等腰梯形，所以OD EF ⊥. 以O 为原点OE ，OD ，OA ，为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，如图所示，则()A ，(),0,0E a，)()2,0B a -，所以(),03A E a a =，)()2,0BE a a =--，设平面AEF 的法向量为m ，显然()0,1,0=m ，设平面ABE 的法向量为(),,x y z =n ，则有00AE BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即())0220ax a x a y ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩，所以)1,1=-n .所以二面角F AE B --的余弦值的绝对值为cos ,⋅==m n m n m n ，又因为二面角F AE B --为钝二面角，则二面角F AE B --的余弦值为5-. （3）由（1）知AO BE ⊥，若BE ⊥平面A O C ，只需BE OC ⊥即可，由（2）知)()2,0BE a a =--，)()2,0OC a =--，0BE OC ⋅= ，得()()222320a a ----=，解得2a =（舍）或43a =. 18. 解析（1）由题可知函数()f x 的定义域是()1,1-，则()221f x x'=-，()02f '=，()00f =，从而曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =.（2）构造辅助函数证明不等式.设()()323x g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()00g =，()()4222222111x g x x x x '=-+=--，当()0,1x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递增，从而()()00g x g >=，即()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对任意()0,1x ∈恒成立.（3）构造函数()()31ln ,0,113x x P x k x x x ⎛⎫+=-+∈ ⎪-⎝⎭，又()00P =，若()0P x >对()0,1x ∀∈恒成立，则()00P '…，又()()()4222212111k x P x k x x x --'=-+=--，即()020P k '=-…，得2k …，又当2k =时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()0,1x ∈恒成立，因此k 的最大值为2.19. 解析（1）因为2c e a ==，所以2b a =，又点()0,1P 在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，则1b =，a =C 的方程为2212x y +=，直线PA 的方程：11n y x m -=+，令0y =，可得1mx n =-，所以点M 的坐标是,01m n ⎛⎫⎪-⎝⎭. （2）点B 与A 关于x 轴对称，所以(),B m n -，直线PB 的方程：11n y x m--=+，令0y =，所以可得1m x n =+，则,01m N n ⎛⎫⎪+⎝⎭，因为OQM ONQ ∠=∠， 所以tan tan OQM ONQ ∠=∠，所以OM OQ OQ ON=，即2OQ OM ON =， 因为2222111m m m OQ OM ON n n n ==⋅=-+-，又点()(),0A m n m ≠在椭圆C 上，所以2212m n +=，即2212m n -=，所以22222m OQ m ==，得(0,Q .20. 解析（1）6，12，24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩…，可归纳证明对任意n k …，n a 是3的倍数.如果1k =，则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >，因为12k k a a -=或1236k k a a -=-，所以12k a -是3的倍数，或1236k a --是3的倍数，于是1k a -是3的倍数.类似可得，2k a -，…，1a 都是3的倍数.从而对任意1n …，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数.（3）由136a …，*1a ∈N ，11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…，可归纳证明()362,3,n a n = ….因为1a 是正整数，112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…，所以2a 是2的倍数.从而当3n …时，n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数，由（2）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数，因此当3n …时，{}12,24,36n a ∈，这时，M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数n ，n a 不是3的倍数，因此当3n …时，{}4,8,16,20,28,32n a ∈，这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8.。

2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5分，共40分）1. （ 5 分）（2015?北京）复数 i （2- i ）=（ ）A . 1+2iB . 1 - 2iC . - 1+2iD . - 1 - 2i考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和复数. 分析：利用复数的运算法则解答.解答：解：原式=2i - i 2=2i -（ - 1） =1+2i ；故选：A .点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则•注意i 2= - 1.垃-2.（ 5分）（2015?北京）若x , y 满足-x+y<^L ，贝U z=x+2y 的最大值为（）A . 0B . 1C . JD . 2考点：简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用.分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，即可求出z 取得最大值. 解答：*，*），目标函数z=x+2y ，将直线z=x+2y 进行平移，当I 经过点A 时，目标函数z 达到最大值• • • z 最大值=故选：C .解：作出不等式组K -” x+y<l 表示的平面区域,Co得到如图的三角形及其内部阴影部分，由X- y=0解得A点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.3. ( 5分)(2015?北京)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )/輸出0』/| (S)A . ( - 2, 2) B. ( - 4, 0) C. ( - 4, - 4) D. (0,- 8)考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x, y, k的值，当k=3时满足条件k為, 退出循环，输出(-4,0).解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1 , y=1 , k=0s=0, i=2x=0 , y=2 , k=1不满足条件k為，s=- 2, i=2 , x= - 2, y=2 , k=2不满足条件k為，s= - 4, i=0 , x= - 4, y=0, k=3满足条件k為，退出循环，输出（-4, 0）,故选：B.点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x, y, k的值是解题的关键，属于基础题.4. （5分）（2015?北京）设a, B是两个不同的平面，m是直线且m? a, m H B是“a B” 的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分不要条件D .既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：简易逻辑.分析：m// B并得不到all B,根据面面平行的判定定理，只有a内的两相交直线都平行于B,而a// B,并且m? a,显然能得到m// B,这样即可找出正确选项.解答：解：m? a, m// B得不到a// B,因为a , B可能相交，只要m和a, B的交线平行即可得到m // B；a// B, m? a, ••• m 和B没有公共点，m // B,即all B能得到m// B；••• m//B是“a B的必要不充分条件.故选B.点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念.5. （5分）（2015?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A . 2+J 二B . 4+ .二C . 2+2 .口D . 5考点：由三视图求面积、体积.专题：空间位置关系与距离.分析：根据三视图可判断直观图为：A丄面ABC , AC=AB , E为BC中点，EA=2 , EA=EB=1 , OA=1，: BC 丄面AEO , A C W5, OE=V^判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积.解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA 丄面ABC , AC=AB , E 为BC 中点，EA=2, EC=EB=1 , OA=1 ,•••可得 AE 丄 BC , BC 丄 OA , 运用直线平面的垂直得出：BC 丄面AEO , AC= 口，OE=-xVs •2 2考点：等差数列的性质.专题：计算题；等差数列与等比数列. 分析：对选项分别进行判断，即可得出结论.解答：解：若a i +a 2>0,则2a i +d > 0, a 2+a 3=2a i +3d >2d , d >0时，结论成立，即A 不正确; 若 a i +a 2< 0,贝U2a i +d <0, a 2+a 3=2a i +3d < 2d , d < 0 时，结论成立，即 B 不正确； ｛a n ｝是等差数列，0<a i < a 2, 2a 2=a i +a 3>2 - . ., • a 2> . .「即卩 C 正确； 若 a i < 0,则（a 2- a i ） （a 2 - a 3） = - d 2< 0, 即卩 D 不正确.故选：C .点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础.7. （ 5分）（2015?北京）如图，函数f （x ）的图象为折线 ACB ，则不等式f （x ） ^g 2 （x+1 ） 的解集是（）•- S A ABC =「2X?=2 , S A OAC =S A OAB 2S A BCO =-2x =；故该三棱锥的表面积是2丨：,",点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用, 图，得出几何体的性质.空间想象能力，计算能力,关键是恢复直观6. （ 5分）（2015?北京）设｛a n ｝是等差数列, A .若 a i +a 2>0，贝U a 2+a 3>0若若 0v a i < a 2,贝U a 2F 列结论中正确的是（ ）B .若 a i +a 3< 0，则若 a i +a 2< 0,D .若 a i < 0 ,则（a 2 - a i ） （a 2 - a 3）> 0/'-1or-_2—rA . {x|—1v xO} B. {x| —1 纟<1} C. {x|—1 v x W} D. {x| - 1v x€}考点：指、对数不等式的解法.专题：不等式的解法及应用.分析：在已知坐标系内作出y=log 2(x+1)的图象，利用数形结合得到不等式的解集. 解答：解：由已知f (x)的图象，在此坐标系内作出y=log2 (x+1)的图象，如图满足不等式f (x) ^og2 (x+1 )的x范围是-1 v x<；所以不等式f (x) ^og2 (x+1) 的解集是{x| - 1 v x<}；故选C.点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移.& ( 5分)(2015?北京)汽车的燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )A .消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B .以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D .某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化.专题：创新题型；函数的性质及应用.分析：根据汽车的燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可.解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；对于选项B,以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10,故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D 正确.点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题.二、填空题（每小题5分，共30分）9. （5分）（2015?北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40 （用数字作答）考点：二项式定理的应用.专题：二项式定理.分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值.解答：解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+仁C^25 r x r,J所求x3的系数为：eg2，=40.故答案为：40.点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力.10. （5分）（2015?北京）已知双曲线王㊁-y2=1 （a> 0）的一条渐近线为V3x+y=0，则a=_Vs3 —考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：运用双曲线的渐近线方程为y= ±，结合条件可得丄=.一；，即可得到a的值.a a解答：2解：双曲线二7 —y2=1的渐近线方程为y= ±,J 3由题意可得一=•、: '■;,解得a= ■3故答案为：：;.3点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.■"l-!-11. （5分）（2015?北京）在极坐标系中，点（2,二~）到直线P（cos sin 0）=6的距离J为1 .考点：简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出.解答：解：点P （2,）化为P -.31直线p （cos0+J5sin 0）=6 化为_20.11+3 - E|•••点P到直线的距离d= =1.^1+ （V3）2故答案为：1.点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12. （5 分）（2015?北京）在△ ABC 中，a=4, b=5, c=6，则斗罟■ = 1 .sinC考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理.专题：计算题；解三角形.分析：利用余弦定理求出cosC, cosA，即可得出结论.解答：解：•/△ ABC 中，a=4, b=5, c=6 ,• sinC亍,sinA=（，si nC故答案为：1.点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础.13. （5分）（2015 ?北京）在△ ABC中，点M, N满足八「=2旷，m，若Vx^+y厂, 贝卩x= , y= -—.—2- ------------考点：平面向量的基本定理及其意义. 专题：平面向量及应用.分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量［了表示，然后利用平面向量基本定理得到x , y 值.解答：解：由已知得到r'.-".：':'戶二苜二厂：〜厂-二：厂- << 丄对一二广;由平面向量基本定理，得到x=—, y=「3 I 1故答案为：丄一 _.2 6点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对(x , y )使，向量等式成立.① 若a=1，则f (x )的最小值为 - 1;② 若f (x )恰有2个零点，则实数 a 的取值范围是二Wav 1或a 丝£考点：函数的零点；分段函数的应用. 专题：创新题型；函数的性质及应用.分析：① 分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；② 分别设h (x ) =2x - a , g (x ) =4 (x - a ) (x - 2a ),分两种情况讨论，即可求出 a 的范围.3,f (x ) min =f (=) = - 1 ,②设 h (x ) =2 - a , g (x ) =4 (x - a ) (x - 2a ) 若在x v 1时，h (x )=与x 轴有一个交点， 所以 a >0,并且当 x=1 时，h (1) =2 - a > 0，所以 0 v a v 2,而函数g (x ) =4 (x - a ) (x - 2a )有一个交点，所以 2a 》，且a v 1, 所以丄1,2若函数h (x ) =2x - a 在x v 1时，与x 轴没有交点，14. ( 5分)(2015?北京)设函数解答：解：①当a=1时,f (x )=y<l4 (x _ 1) (K _ 23,葢>1当 x v 1 时，f (x )当 x >1 时，f (x )=2x - 1 为增函数，f (x )>- 1,=4 (x - 1) (x - 2) =4 (x 2- 3x+2) =4 (x -—)当1v xv —时，函数单调递减，当 x，函数单调递增,故当贝U 函数g (x ) =4 (x - a ) (x - 2a )有两个交点，当aO 时，h (x )与x 轴无交点，g (x )无交点，所以不满足题意(舍去)，当h (1) =2 - a W 时，即卩a ^2时，g (x )的两个交点为x i =a , x 2=2a ，都是满足题意的, 综上所述a 的取值范围是丄毛V 1,或a^2.2点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能 力以及分类能力，属于中档题.三、解答题(共6小题，共80分)15. (13 分)(2015?北京)已知函数 f (x ) M^si£co 愛-逅sin 2— I ^3 (I )求f (x )的最小正周期；(H )求f (x )在区间［-n, 0］上的最小值.值.解: ( I ) f (x )=『!si2cof -'sin2 2则有f ( x )在区间［-n, 0］上的最小值为-1 -工2.2本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运 算能力，属于中档题.16. (13分)(2015?北京)A , B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单 位：天)记录如下： A 组：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 B 组；12, 13, 15, 16, 17, 14, a假设所有病人的康复时间相互独立，从 A , B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法; 专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质. 分析：三角函数的最值. (I )运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简 即可得到所求；f ( x ),再由正弦喊话说的周期,(n )由x 的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小解答:=_ sinx -2(1 - cosx ) =sin xcos =sin 71 +cosxs in-4斗-垃-)八(x )的最小正周期为)由-n 奚切，可得(x+2 n;点评: 1,(I )求甲的康复时间不少于14天的概率；(H )如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(川)当a为何值时，A , B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式.专题：概率与统计.分析：设事件A i为甲是A组的第i个人”事件B i为乙是B组的第i个人”，由题意可知P(A i) =P ( B i)=丄,i=1 , 2, ?? , 7(I )事件等价于甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；(I )设事件甲的康复时间比乙的康复时间长”>A4B1U A5B1U A6B1U A7B1U A5B2U A6B2U A7B2U A7B3U A6B6U A7B6,易得P(C) =10P (A4B1),易得答案；(川)由方差的公式可得.解答: 解：设事件A i为甲是A组的第i个人”，事件B i为乙是B组的第i个人”，由题意可知P (A i) =P ( B i)=二,i=1 , 2 , ?? , 7(I)事件甲的康复时间不少于14天”等价于甲是A组的第5或第6或第7个人”•••甲的康复时间不少于14天的概率P (A5U A6U A7) =P (A5) +P (A6) +P (A7)37 ；(n)设事件C为甲的康复时间比乙的康复时间长”，贝y C=A4B1 U A5B1U A6B1U A7B1 U A5B2U A6B2U A7B2U A7B3U A6B6U A7B6,• P (C) =P (A4B1) +P (A5B1) +P (A6B1) P+ (A7B1) +P (A5B2) +p (A6B2) +P (A7B2) +P (A7B3) +P (A6B6) +P (A7B6)=10P (A4B1) =10P (A4) P ( B1) -4 y(川)当a为11或18时，A , B两组病人康复时间的方差相等.点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题.17. (14分)(2015?北京)如图，在四棱锥A - EFCB中，△ AEF为等边三角形，平面AEF丄平面EFCB , EF// BC , BC=4 , EF=2a, / EBC= / FCB=60 ° O 为EF 的中点.(I )求证：AO丄BE.(II )求二面角F- AE - B的余弦值；(川)若BE丄平面AOC，求a的值.B考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质. 专题：空间位置关系与距离；空间角.分析：(I)根据线面垂直的性质定理即可证明AO丄BE .(II )建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F- AE - B的余弦值;(川)利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值解答：证明：(I) •••△AEF为等边三角形，0为EF的中点，••• A0 丄EF ,•/平面AEF丄平面EFCB , A0?平面AEF ,•A0丄平面EFCB•A0 丄BE .(I )取BC的中点G,连接0G,••• EFCB是等腰梯形，•0G 丄EF ,由(I )知A0丄平面EFCB ,•/ 0G?平面EFCB , • 0A 丄0G,建立如图的空间坐标系，贝U 0E=a, BG=2 , GH=a , BH=2 - a, EH=BHtan60 丄「一 - ■, 则E (a, 0, 0), A (0, 0,听a), B (2,亦(2一色),0),EA= (- a, 0, a), BE = (a- 2,- ^3(2 _ 巴),0),设平面AEB的法向量为i= (x, y, z),则n*EA=0,即 f "站血昭0:n*BE=0((a- 2) K+-/3 fa - 2)令z=1，贝U x=订E, y= - 1, 即n=(.二-1, 1),平面AEF的法向量为■；,>I Dn5cFEBzFGE18 5贝 Ucosvlln即-『=0,----- * ----- *o-''=-2 (a — 2 — 3 (a — 2) =0,解得a=-.贝U BE 丄OC•••=F = (a — 2,—:—厂;,0), 56= (— 2，衍 C2-a),0),点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法.(I )求曲线y=f (x )在点(0, f (0))处的切线方程；3(n )求证，当x € (0, 1)时，f (x )〔玄+专)；即二面角F - AE — B 的余弦值为 (川)若BE 丄平面AOC , (13分)(2015?北京)已知函数 f (x ) =ln —-1 一工3(川)设实数k 使得f (x ) >比(时兰一)对x € (0, 1)恒成立，求k 的最大值.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题：导数的综合应用. 分析：(1)利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程.(2) 构造新函数利用函数的单调性证明命题成立. (3)对k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数k 的取值范围. 解答：解答：(1)因为 f (x ) =ln (1+x )- In (1- x )所以f y X)叮J ‘严(0)弍1+x 1 _ x又因为f (0) =0,所以曲线y=f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为 y=2x .I 3(2)证明：令 g (x ) =f (x )- 2 (x+：')，贝U| 3 |22 Jg' (x ) =f (x )- 2 (1+x )=…一，1- d当 k >2 时，令 h (x ) =f (x )-上「-h (x )V h (0) =0,即 f (x )V,：芒'T _ !所以当k >2时，f (x )>忙.，.[.并非对x € (0, 1)恒成立.3 综上所知，k 的最大值为2.点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明•在高考中属常考题型, 难度适中.和点A (m , n ) ( m #))都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .因为 所以 g' ( x )> 0 ( 0V x V 1),所以g (x )在区间(0, 1) 上单调递增. g (x )> g (0) =0, x € (0, 1),3即当 x € (0, 1)时，f (x )> 2 (x+[).(3)由(2)知，当k 电时，f (x)>J ：, ' :对x € (0, 1)恒成立.所以当 减.V 0，因此h (x )在区间(0,'■) 上单调递19. (14分)(2015?北京)已知椭圆 ，点 P (0, 1)2h' (x ) =f (x )- k (1+x )h' (x ) C:=1 (a > b > 0)的离心率为(I )求椭圆C 的方程，并求点 M 的坐标(用m , n 表示)；(H )设0为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线 PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否 存在点Q ，使得/OQM= / ONQ ?若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析：(I )根据椭圆的几何性质得出a 2la求解即可.ID0) , N (. 1 -n |H-n,0),运用图形得出 tan / OQM=tan / ONQ ,2,求解即可得出即 y Q =X M ?X N ,+n 2,根据m , m 的关系整体求解.解答:解：(I )由题意得出b=l c V2 a - 22. 1 I呂-b +c解得：a= :, b=1, c=1• +y2=1，••• P (0 , 1)和点 A• PA 的方程为：y -(m , n ), — 1 v n v 1n _ 1 um x , y=0 时,x M =m1 _ n••• M ——0)1 _ nT 点B 与点A 关于x 轴对称，点 A ( m , n ) (m#))B (m , — n ) (m 崔))(II ) •••点 •••直线PB 交x 轴于点N ,••• N (0)，(II )求解得出M (1一—-■^**-*-L%•^―丿23 A/ iX-1\-2•••存在点 Q ,使得/ OQM= / ONQ , Q (0, y Q ),/• tan / OQM=tan / ONQ ,.\—=^'J ,g 卩 y Q 2=x M ?X N ,丄 + n 2=1% % 2I 2小2y Q = --------- =2,1- n 2二y Q =丨.爲故 y 轴上存在点 Q ,使得/ OQM= / ONQ , Q (0, . ■:)或 Q (0, -：?)点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题.20. （13 分）（2015?北京）已知数列{a n }满足：a i €N *, ai<36,且 a n+i = (n=1 , 2,…)，记集合 M={a 叫n€N }.(I )若a i =6，写出集合 M 的所有元素；(n )如集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是 3的倍数; (川)求集合M 的元素个数的最大值.考点：数列递推式.专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法. 分析：(I ) a i =6，利用 a n+i =24 ；(n )因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设 a k 是3的倍数，由36, ^>18(川)分a i 是3的倍数与a i 不是3的倍数讨论，即可求得集合 M 的元素个数的最大 值.『％^>18「如 ^<18可求得集合M 的所有元素为6, 12,a n+1=*(n=1, 2,…)，可归纳证明对任意 n 冰,a n 是3的倍数;故集合M 的所有元素为6, 12, 24;（n ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数，由如果k=1 , M 的所有元素都是 3的倍数；如果k > 1,因为a k =2a k -1,或a k =2a k -1- 36,所以2a k -1是3的倍数；于是 a k -1是3 的倍数； 类似可得，a k -2,…，a 1都是3的倍数； 从而对任意 n N, a n 是3的倍数；综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则集合M 的所有元素都是3的倍数IfSaa-l- a n <18（川）对a 1W 36, ai={（n=1,2，…）可归纳证明对任意 n 沫,a n v 36 （n=2 , 3, ••）r2ai ! a |^18因为a 1是正整数，a 2= .. ，所以a 2是2的倍数.2aj - 36, &!>18从而当n 绍时，a n 是2的倍数.如果a 1是3的倍数，由（n ）知，对所有正整数 n , a n 是3的倍数. 因此当n 绍时，a n €{12 , 24, 36}，这时M 的元素个数不超过 5. 如果a 1不是3的倍数，由（n ）知，对所有正整数 n , an 不是3的倍数.因此当n 绍时，an€{4 , 8, 16, 20, 28, 32}，这时M 的元素个数不超过 & 当 a 1=1 时，M={1 , 2,4, 8, 16, 20, 28, 32}，有 8 个元素.综上可知，集合M 的元素个数的最大值为 &点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算 能力，属于难题.解答:2%解：(I )右 a i =6，由于 a n+1 =2a… - 36, IL n 务6^>18(n =1, 2,…)，M={a n |n€N *}.a n+1 =务a^>18（n=1, 2,…），可归纳证明对任意n 冰,a n 是3的倍数.。

昌平区2015年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科) 2015.4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则AB 中元素的个数为A ．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个2.13(21)xdx -⎰等于A ．12- B. 23C. 1D. 63. 已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则 1a 等于A. 4-B. 6-C. 8-D. 10-4. “||2b <是“直线y b =+与圆2240x y y +-=相交”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件6,a5.右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球 总数s A. 6i <B. 7i < C. 8i < D. 9i <6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.36+ B. 33+ C.33+ D.7. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图 所示,则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是 A. 21y x =+ B. 2log y x =C. (0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. cos y x =8. 已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体ABCD -的体积的取值集合是 A ．1{,}212B ．1{6C ．{}1224D ．1{,}61224侧视图 俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.已知直线l 的极坐标方程为sin 2cos 30ρθρθ-+=，则直线l 的斜率是___________.10. 如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为 DC 延长线上一点，MN 与⊙O 相切于点N ，若AP ＝8, PB ＝6, PD ＝4, MC ＝2，则CP =_______,MN = .11. 在ABC ∆中，若a =b ，5π6B ∠=，则边c =__________.12.如图,在菱形ABCD 中,1AB =,60DAB ∠=,E 为CD 的中点,则AB AE ⋅的值是 .13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻， 且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）14. 如图，已知抛物线y x 82=被直线4y =分成两个区域21,W W （包括边界）， 圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.BCDEA MD三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分)已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E===是BC 的中点，AEBD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .（I ） 求证：1CD B DM ⊥平面； （II ）求二面角1D AB E --的余弦值；（III ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； (III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点. （i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交 于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.20. (本小题满分13分)如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第i 行，第j 列的数记作ij a ,*,i j ∈N ，如11232,16a a ==.（I ）写出155366,a a a ，的值；(II) 若502,ij a =求,i j 的值；(只需写出结论)（III ）设n n b a =，11422n nn c b +=-- (*∈N n ), 记数列{}n c 的前n 项和为n S ,求n S ；并求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．昌平区2015年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 2 10. 12, 6 11. 112. 1 13. 36 14. 3 , 4+三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分) 解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由 222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分 （II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ， 37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以ME AM =，故AE M B ⊥1. 又因为,AB BE M AE =为的中点,所以BM AE ⊥, 即.DM AE ⊥AD //BC 又因为, 2.AD CE ==所以四边形ADCE 是平行四边形. 所以//.AE CD 故CD DM ⊥.因为平面⊥AE B 1平面AECD , 平面 AE B 1平面AE AECD =,1B M ⊂平面AECD 所以⊥M B 1平面AECD .1.B M AE ⊥ 因为⊂CD 平面AECD , 所以⊥M B 1CD .因为M M B MD =1 , MD 、⊂M B 1平面MD B 1,所以⊥CD 平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y 轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C ,)3,0,0(1B , )0,0,1(-A , )0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD . 设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD , ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x,令1=z 得,)1,1,3(-=→m .所以55,cos >=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分 (III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ .则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD.因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ . 又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D . 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=,(10≤≤λ),C ，因为11MP MB B P =+.所以(2)MP λ=.因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=, 所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分18.（本小题满分13分）解：（I ）2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R 定义域为(0,)+∞'1()2,.f x x a a x=-+∈R依题意，'(1)0f =.所以'(1)30f a =-=，解得3a = ……………4分（II ）3a =时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时,()0f x '>， 当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2.----8分（III ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立， 令2ln ()x x g x x +=，则221ln ()x x g x x+-'= 令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x -'=-=> ()h x 所以在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> .故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数. ()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分 解法二：2112()2x ax f x x a x x+-'=+-= 令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即a -<<()0f x '>恒成立， 1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；(ii)当0∆=，即a =±()0f x '≥恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-(iii)当0∆>，即a <-a >方程()0g x =有两个实数根1244a a x x -+==若a <-120x x <<，当1x >时，()0f x '>，()f x 所以在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-若a >()0g x =的两个根120x x <<，()10f x a =-<因为，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=. 故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分 （Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以02120≠-x x .所以 2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=- . ……………9分 (ii) 证明：0k =时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ， 直线1:(2)2PB y x n=--, 1(3,)2N n -， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n =-+， 联立，可得交点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++.因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++， 所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分20. (本小题满分13分)解：（I ）1522a =，536652,122a a == . ……………4分(II) I =20 , j =3. …………8分(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50， b n 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n 个数，所以 b n = ( 2n – 1 ) 2 n – 2 ( n – 1 ) = 4 n 2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…； 因为 11422n n n c b +=--所以*11(N )2(1)n n c n n n =-∈+， 故 11()12n n S n n *=-∈+N.…………10分 因为 12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而()()()1112[1][1]22n n n n n n ++++---=()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得()()51551122n n n ++≤<， 所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．…………13分。

昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}(4)(2)0A x x x =-+=，{}|3B x x =≥，则AB 等于A. {2}-B. {3}C. {4}D. {2,4}-2．已知0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 22a b < B. 11a b> C. a b < D. 22a b >3. 执行如图所示的程序框图，输出a 的值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．324.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4D ．435. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，//m α，则//m βC. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥D. 若//m α，//m β，则//αβ6. 在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人7. 在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A ==则“60B =”是“b =的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是A ．甲 B. 乙 C ．丙 D.丁俯视图侧（左）视图正（主）视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 设复数12i z =-，则||z = .10. 5)21(x +的展开式中，2x 的系数是 .(用数字作答)11. 若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|-a b = .13. 已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率是2，则________,m =以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 . 14. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ∀∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④()12,0,1x x ∀∈，有1212()()()22x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． ( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.(I) 求,x y 的值；(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和ξ的分布列及数学期望.（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，… ,n x 的平均数.）17. （本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，PD =11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小；(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？ 若存在，请求出FQ 的长;若不存在，请说明理由.乙甲9 0 9x 2 1 5 y 8 6 0 2 018. (本小题满分13分）已知函数f (x ) ＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． ( I ) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；( II ) 若函数f (x )在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>> , 经过点P (1,. (I) 求椭圆C 的方程；(II) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足112a =，1222,,n n n a n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S ,2n n b a =，其中*n ∈N .(I) 求23a a +的值；(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III ) 是否存在*()n n ∈N ，使得21241?2n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.10. 40 11. 212. 2 13. 3；22(2)3x y -+= 14.② ③ ④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()sin 222xf x x +=+⨯sin 2cos 21x x =++)14x π=++ ………… 5分所以 22T π==π，故()f x 的最小正周期为π. ………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以2444x ππ5π≤+≤． …………9分当242x ππ+=时，即8x π=时， …………11分所以)(x f 1. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x +，所以中位数为1013x +=，得3x =；1(915101820)165x y =+++++=乙，得8y =．……………4分（II ）乙班整体水平高.或解： 1(912132026)165x =++++=甲， 2222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s =-+-+-+-+-=甲，1(915181820)165x =++++=乙，222222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855s =-+-+-+-+-==乙.因为22s s >甲乙，所以乙班的水平高. ……………7分 (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为ξ，则ξ＝27,28,30,31,35,38， 所以(P ξ1＝27)=9，(P ξ1＝28)=9，(P ξ2＝30)=9，(P ξ2＝31)=9，(P ξ1＝35)=9，(P ξ2＝38)=9.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为112212()272830313538999999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=32 . .……………13分17. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC 因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面 所以//DEF AC 平面 …………………4分(Ⅱ)如图以D .D xyz -5分则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),(1,1,0).P B C PB BC =-=-所以设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即0,0x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得,x xz =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得 11,x y z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以(1,1m = …………………7分因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量 所以2cos ,2n m n m n m⋅==⋅， 由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为.4π (9)分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件. 由1(,0,22F E设(01)FQ FE λλ=≤≤， 整理得1)(,2,)22Q λλλ-+，1)(,21,),22BQ λλλ++=--…………………11分 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以 1sin |cos ,|||622BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅， …………………13分则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且||||FQ EF == …………………14分18. (本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.'1()21f x x x=-+， 由'()0f x >，解得01x <<；由'()0f x <，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分 （Ⅱ）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立， 则'21()20f x a x a x=-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分① 当0a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. (9)分② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a=. 2(1)014g a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即22(1)2104g a a a a ⎧=--≥⎪⎨<⎪⎩，解得112104a a a a ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩或或 所以实数a 的取值范围是1,12a a ≤-≥. …………………13分（法二）'21()2f x a x a x =-+2221a x ax x-++=，定义域是(0,)+∞.①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分②0a ≠时，令'()0f x =，即22210a x ax --=，则1211,2x x a a=-=， …………………9分（i ）当0a >时，由'()0f x <，解得1x a>， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以11a≤，解得1a ≥. …………………11分（ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a>-， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -≤，解得12a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112a a ≤-≥或. …………………13分19.（本小题满分14分）解：（I）由222221334a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得 21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）方法一（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为 x ky m =+．由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224kmy y k +=-+……①, 212244m y y k -=+………②………………… 8分因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=．由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-，得1212(2)(2)0x x y y --+=． 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）．综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分方法二证明：(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5. …………………7分（2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M . 由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=.2216(41)0k m ∆=-+>1228,41km x x k -+=+ ……① 21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=-1122,.y kx m y kx m =+=+可得 1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=. …………………10分整理得 221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③把①②代入③整理得 222121650,41k km m k ++=+ 由题意可知 22121650,k km m ++=解得 62,.5m k m k =-=- （i ） 当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分（ii ） 65m k =-时，即6()5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6(,0)5 .…………………14分20. （本小题满分13分）解：(I) 因为231,3a a ==-，所以232a a +=-.（或者根据已知2122n n a a n ++=-，可得322a a +=-. ） ……………3分(II) 证明： 1222122242(2)422n n n n n n b a a n a n n a b +++==+=--+=-=-, 12121,b a a ===，故数列{}n b 是首项为1，公比为－2的等比数列. ……………7分(III )由 (II) 知1(2)n n b -=-，所以21212(2)2n n n b --=-=-.设*221(N ),c 2,n n n n c a a n n +=+∈=-则，又2112345221()()()n n n S a a a a a a a ++=+++++++112n a c c c =++++ 212n n =--+.则由212412n n S b +-=，得222404n n n ++=， 设2()42240(2)x f x x x x =---≥， 则'()()4ln 442x g x f x x ==--，'2()4ln 440(2)x g x x =->≥，所以()g x 在[)2,+∞上单调递增， ()(2)'(2)0g x g f ≥=>，即'()0f x >，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增 又因为(1)0,(3)0f f <=，所以仅存在唯一的3n =，使得212412n n S b +-=成立．……………13分。

北京市昌平区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)2015．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则A B I 中元素的个数为（ ）．A ． 0个B ． 1 个C ． 2个D ． 3个 2 ．130(21)x dx -⎰等于（ ）．A ．12-B ． 23C ． 1D ． 63．已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（ ）．A ． 4-B ． 6-C ． 8-D ． 10- 4．“||2b <”是“直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交”的（ ）．A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：队员i1 2 3 4 56三分球个数i a1a2a3a4a5a 6a下图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s 的程序框图，则图中的判断框内应填入的条件是（ ）．A ． 6i <B ． 7i <C ． 8i <D ． 9i <MBODP CNAB C DE A 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）．A ． 43336π+B ．83333π+C ． 434333π+D ． 433+π7．已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图所示，则在()2,0-上与 函数()f x 的单调性相同的是（ ）．A ． 21y x =+B ． 2log y x =C ． ()()e 0e 0xx x y x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ D ． cos y x =8．已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形． 那么四面体A BCD -的体积的取值集合是（ ）．A ．12,212⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭B ．13,612⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．232,,121224⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭D ．122,,61224⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知直线l 的极坐标方程为sin 2cos 30ρθρθ-+=，则直线l 的斜率是__________．10．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点， MN 与⊙O 相切于点N ，若8AP =，6PB =，4PD =，2MC =，则CP =__________，MN =__________．11．在ABC △中，若3a =，7b =，56B π∠=，则边c =__________．12．如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=o ， E 为CD 的中点，则 AB AE ⋅uu u r uu u r的值是__________．13．某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有__________种．（用数字作答）xyO1214．如图，已知抛物线28x y =被直线4y =分成两个区域12,W W （包括边界），圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最 小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有 公共点，则圆C 的半径是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()()sin 0,0,||,2f x A x A x ωϕωϕπ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()123g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间．13π12-22Oy xπ316．（本题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中 随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25． 专业 性别中文 英语 数学 体育 男 n1 m1 女1 111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，已知等腰梯形ABCD 中，1,22AD BC AB AD BC ===∥，E 是BC 的中点，AE I BD M =，将BAE △沿着AE 翻折成1B AE △，使平面1B AE ⊥平面AECD ．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面1B DM ； （Ⅱ）求二面角1D AB E --的余弦值；（Ⅲ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2()ln ,f x x ax x a =-+∈R（Ⅰ）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若1x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点()2,0F ，点()2,1D 在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点．（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-；（ii ）若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ）， 求证：A ，Q ，N 三点共线．20．（本小题满分13分）如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规 律填入各方格中．其中第i 行，第j 列的数记作ij a ，*,i j ∈N ，如11232,16a a ==． （Ⅰ）写出155366,,a a a 的值；（Ⅱ）若502,ij a =求,i j 的值；（只需写出结论） （Ⅲ）设n nn b a =，11422n n n c b +=-- ()*n ∈N ， 记数列{}n c 的前n 项和为 n S ，求n S ；并求正整数P ，使得对任意*n ∈N ，均有k n S S ≥．北京市昌平区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACABADC二、填空题（满分30分）9．2 10．12，6 11．112．1 13．36 14．3，442+三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，2A =，39412T π=，得T =π，2T ωπ==π，解得2ω=． 2sin 2233f ϕππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2232k k ππ+=+π,∈Z ϕ，||2ϕπ<， 所以 6ϕπ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ……………7分（Ⅱ）()2sin 22sin 212636g x x x ⎛ππ⎫⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 22x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin 22cos 2x x =-22sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由222,,242k x k k πππ-+π-+π∈Z ≤≤,88k x k k π3π-+π+π∈Z.≤≤ 故()g x 的单调递增区间是,,88k k k π3π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（Ⅱ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则1233310C C 11()C 12P B +==． ……………7分 （Ⅲ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人． 所以33310C 1(0)C 120P ξ===，1273310C C 217(1)C 12040P ξ====，2173310C C 6321(2)C 12040P ξ====，37310C 357(3)C 12024P ξ====．所以ξ的分布列为：ξ0 123P1120 7402140724所以1721721012312040402410E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以AM M E =，故1B M AE ⊥．又因为AB BE =，M 为AE 的中点，所以BM AE ⊥，即.DM AE ⊥又因为AD BC ∥， 2.AD CE == 所以四边形ADCE 是平行四边形． 所以.AE CD ∥故CD DM ⊥．因为平面1B AE ⊥平面AECD ， 平面1B AE I 平面AECD AE =， 1B M ⊂平面AECD所以1B M ⊥平面AECD ．1.B M AE ⊥ 因为CD ⊂平面AECD ， 所以1B M ⊥CD ． 因为1MD B M M =I ， MD 、1B M ⊂平面1B MD ， 所以CD ⊥平面1B MD ． ……………5分 （Ⅱ）以ME 为x 轴， MD 为y 轴， 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：E P DCBAFB 1z则(2,3,0)C ， 1(0,0,3)B ， (1,0,0)A -， (0,3,0)D ．平面1AB E 的法向量为(0,3,0)MD =u u u r．设平面1DB A 的法向量为(,,)m x y z =u r， 因为1(1,0,3)AB =u u u r ，(1,3,0)AD =u u u r ， 3030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1z =得， (3,1,1)m =-u r ． 所以5cos ,5m MD <>=u r uuu r ， 因为二面角1D AB E --为锐角，所以二面角1D AB E --的余弦值为55． ……………10分 （Ⅲ）存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ． ……………11分 法一：取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ ．则PQ CD ∥，且12PQ CD =．又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD ． 因为M 为AE 的中点，则//AM PQ ．所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ ． 又因为AQ ⊂平面1AB D ，所以MP ∥平面1AB D ． 所以在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，1112B P BC =． ……………14分 法二：设在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，设11B P B C λ=uuu r uuu r，()01λ≤≤，(2,3,0)C ，因为11MP MB B P =+u u u r u u u u r u u u r ．所以(2,3,33)MP λλλ=-u u u r．因为MP ∥平面1B AD ， 所以0MP m ⋅=uuu r u r，所以233330λλλ-++-=， 解得12λ=， 又因为MP ⊄平面1B AD ， 所以在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，1112B P BC =．……………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()ln ,f x x ax x a =-+∈R 定义域为()0,+∞1()2,f x x a a x'=-+∈R依题意，()10f '=．所以()130f a '=-=，解得3a = ……………4分（Ⅱ）3a =时，()2ln 3f x x x x =+-，定义域为()0,+∞，()2112323x xf x x x x +-'=+-=当102x <<或1x >时， ()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．----8分（Ⅲ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立，令()2ln x x g x x +=，则 ()221ln x xg x x +-'= 令()21ln h x x x =+-，则()2212120x h x x x x-'=-=> 所以()h x 在()1,+∞为增函数，()()120h x h >=> ．故()0g x '>，故()g x 在()1,+∞为增函数．()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(],1-∞． ……………13分解法二：()21122x axf x x a x x+-'=+-=令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即2222a -<<时，()0f x '>恒成立， 因为1x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(22,1⎤-⎦； （ii ）当0∆=，即22a =±时，()0f x '≥恒成立， 因为1x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以22a =-； （iii ）当0∆>，即22a <-或22a >时， 方程()0g x =有两个实数根221288,44a a a a x x --+-==若22a <-，两个根120x x <<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增， 则()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以22a <-； 若22a >，()0g x =的两个根120x x <<，因为()10f x a =-<，且()f x 在()1,+∞是连续不断的函数 所以总存在01x >，使得()00f x <，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(],1-∞． ……………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(2,0),(2,0)F F -，则12||||2DF DF a +=，解得22a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2222b ac =-=．故椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ……………5分（Ⅱ）（i ）证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=． 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以22010x x -≠． 所以 2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-． 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=- ． ……………9分（ii ）证明：0k =时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -． 设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ， 直线1:(2)2PB y x n =--， 1(3,)2N n-， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n=-+， 联立，可得交点2222(501)20,501501n n Q n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为222222(501)2024501501n n n n ⎡⎤--⎛⎫+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦， 所以点2222(501)20,501501n n Q n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭在椭圆22142x y +=上． 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1522a =，536652,122a a == ． ……………4分（Ⅱ）20,3i j ==． …………8分（Ⅲ）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2,10,26,50， n b 是依（Ⅱ）中排法的第21n -组的中间一个数，即第n 个数，所以 ()()()221221442412,1,2,3,n b n n n n n n n n =---=+=-+=⋅-⋯；因为11422n n n c b +=--，所以()*112(1)n n c n n n =-∈+N ， 故 ()*1112n n S n n =-∈+N ． …………10分 因为 12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()11121122n n n n n n ++++⎡⎤⎡⎤---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得()()51551122nn n ++<≤，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意*n ∈N ，恒有4n S S ≥，故4k =．…………13分北京市昌平期末区高三年级二模数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】{}{}23401,4A x x x =--==-Q ，{}4A B ∴=I ．故选B ． 2．【答案】A【解析】41310011(21)1222x x dx x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰．故选A ．3．【答案】C【解析】由题可知2314a a a =⋅，故()()21111468a a a a +=⋅+⇒=-． 故选C ．4．【答案】A【解析】||222b b <⇔-<<，直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交等价于圆心()0,2到直线3y x b =+的距离小于半径2r =，即222613b b -<⇔-<<+．故选A 5．【答案】B 【解析】列表：S1a 12a a +L126a a a +++L循环结束i1 23L7故7i <． 故选B ． 6．【答案】A【解析】由三视图可知该几何体左边为底面半径1的半圆，高3的半圆锥，右边为底面边长2的正方形，高3的四棱锥，所以体积1143334332336V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+．故答案为A ．7．【答案】D【解析】由奇函数在对称区间上的单调性一致，所以函数()f x 在()2,0-上单调递增，选项D 在(),0-π上单调递增，满足题意． 故答案选D ．8．【答案】C【解析】满足条件的四面体A BCD -如下图所示：图一：ABC △为边长1的等边三角形，,,ADC BDC ADB △△△都是直角边为22的等腰直角三角形，所以1122223222224V =⨯⨯⨯⨯=；图二：ABC △为边长1的等边三角形，,DAB DAC △△都是直角边为1的等腰直角三角形，所以11331132212V =⨯⨯⨯⨯=；图三：ABC △为边长1的等边三角形，,ACD ABD △△都是直角边为1的等腰直角三角形，过点D 作DE ⊥平面ABC ，连结,,EA EB EC ，可知2222222223122AE DE AD DE BD BE BE AE ⎧⎪+=⎪⎪=-⎨⎪⎛⎫⎪⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即2222222213122AE DE DE BE BE AE ⎧⎪+=⎪⎪=-⎨⎪⎛⎫⎪⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得63233DE AE ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以113621322312V =⨯⨯⨯⨯=．故答案选C ．二、 填空题9．【答案】2【解析】sin 2cos 30230y x -+=⇔-+=ρθρθ．故答案为2． 10．【答案】12，6【解析】由相交弦定理可知68124CP PD AP BP CP ⨯⋅=⋅⇒==； 由切割线定理可知()222124366MN MC MD MN =⋅=⨯++=⇒=．故答案为12，611．【答案】1【解析】由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，即()()2733410c c c c =++⇒+-=，所以1c =或4c =-（舍去）． 故答案为112．【答案】1【解析】联结BE ，易知90ABE ∠=o ，所以2237122AE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，127cos 772EAB ∠==，727cos 1127AB AE AB AE EAB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯=uu u r uu u r uu u r uu u r ．故答案为113．【答案】36【解析】甲乙相邻的个数为2424A A 48⋅=，其中甲在两端的个数为332A 12=，故满足题意的有481236-=种． 故答案为3614．【答案】3，442+【解析】对于（1），设抛物线上的动点为200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆心()0,3C ，所以()22222000188864x CP x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，当00x =时min 3CP =； 对于（2）由题意知()44r m m =->，联立方程()()222248x y m m x y⎧+-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2828160y m y m +-+-=，由于图形的对称性，可知圆与抛物线的两个公共点的纵坐标y 唯一，所以()()28248160842m m m ∆=---=⇒=±，由于4m >，所以8424442r =+-=+． 故答案为3，442+。

北京市昌平区2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知=b+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b等于( )A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．42．要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象( ) A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度3．如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③4．由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为( )A．1 B．C．D．5．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则①处应填的数字可以为( )A．4 B．5 C．6 D．77．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A．m＜2 B．2＜m≤3 C．2≤m≤3 D．m＞38．如图，直线MN过△ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m＞0，n＞0），则mn的最小值是( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是__________．10．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=__________．11．设x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的概率为__________．12．已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=__________，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为__________．13．已知函数f（x）=e x（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________．14．已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0）．设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是__________；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．（Ⅰ）求tan（C﹣）的值；（Ⅱ）若c=，求S△ABC的最大值．16．在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：表1：零件某年的每月产量（个/月）月份第一季度第二季度第三季度第四季度1 2 3 4 5 产量500 400 625 625 500 表2：零件市场价格（元/个）零件市场价格8 10概率0.4 0.6（Ⅰ）请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）（Ⅱ）随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；（Ⅲ）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望．17．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．（Ⅰ）求证：CF∥平面AED；（Ⅱ）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中点，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．19．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a≥0）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值．20．已知数列{a n}满足a1=4，a2=2，a n+2=a n+2[1﹣（﹣1）n]，n∈N*，k∈N*．（Ⅰ）求a3，a4，并直接写出a n；（Ⅱ）设S k=a1+a3+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+…+a2k，分别求S k，T k关于k的表达式；（Ⅲ）设W k=，求使W k＞2的所有k的值，并说明理由．北京市昌平区2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知=b+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b等于( )A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：首先由已知利用复数相等得到a，b的值，然后计算所求．解答：解：因为=b+i即a+3i=﹣1+bi，所以a=﹣1，b=3，所以a+b=2；故选C．点评：本题考查了复数的运算以及复数相等的性质；属于基础题目．2．要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数图象之间的关系进行求解即可．解答：解：f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）﹣），即由函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位即可得到f（x）=sin（2x+），故选：A点评：本题主要考查三角函数图象之间的关系，比较基础．3．如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正四棱锥，三棱锥，圆锥的三视图形状，举出满足条件的实例，分析三个命题的真假，可得答案．解答：解：正四棱锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为棱锥的侧高，底为底面边长，故①正确；将①中正四棱锥沿两条相对的侧棱分成两个三棱锥，则三棱锥的正视图、侧视图跟①完全一致，故②正确；圆锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为圆锥的母线，底为底面直径，故③正确；故所有真命题的序号是①②③，故选：D点评：本题考查的知识点是简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图形状是解答的关键．4．由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为( )A．1 B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可解答：解：由题意封闭图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=；∴曲边梯形的面积是；故选：D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数5．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案．解答：解：当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及平面向量共线的坐标表示，属基础题．6．阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则①处应填的数字可以为( )A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=11，n=5时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11，则①处应填的数字可以为：5．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1满足条件，S=1﹣2=﹣1，n=2满足条件，S=﹣1+4=3，n=3满足条件，S=3﹣8=﹣5，n=4满足条件，S=﹣5+16=11，n=5由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11．则①处应填的数字可以为：5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A．m＜2 B．2＜m≤3 C．2≤m≤3 D．m＞3考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意知g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；从而由一次函数与二次函数的性质判断即可．解答：解：∵函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，∴g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；即有在[m，+∞）上有3≥m，在（﹣∞，m）上有x2+5x﹣12=x，解得x=﹣6或2，即有m＞2．则有2＜m≤3．故选：B．点评：本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，属于中档题．8．如图，直线MN过△ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m＞0，n＞0），则mn的最小值是( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由G为三角形的重心得到=（），再结合=m，=n（其中m＞0，n＞0），根据M，G，N三点共线，易得到m，n的关系式，即可得到结论解答：解：根据题意G为三角形的重心，∴=（），由于==（﹣m）+，=n=，因为G，M，N三点共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得，即，消去λ得m+n﹣3mn=0，m，n＞0∴m+n=3mn≥2，所以mn≥．所以mn的最小值为；故选：C．点评：本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量的基本定理和向量在几何中的应用，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是15．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：写出二项展开式的通项，取r=2即可求得含x4y2的项的系数．解答：解：由，令r=2，可得二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是．故答案为：15．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．解答：解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，又∵∠CPA=30°，R=3，∴，∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键．11．设x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：概率与统计．分析：根据古典概型的概率公式进行计算即可．解答：解：∵x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，∴共有2×3=6个坐标，不等式等价为x≥1﹣2y，当y=﹣2时，x≥5，此时没有坐标，当y=0时，x≥1，此时x=1，当y=2时，x≥1﹣4=﹣3，此时x=1，﹣1，故以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内坐标为（1，0），（1，2），（﹣1，2）共3个，则对应的概率P==故答案为：点评：本题主要考查古典概型的概率的计算，根据条件求出满足条件的坐标个数是解决本题的关键．12．已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=1，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为1．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点，可得双曲线的c=2，由双曲线的a，b，c的关系，可得m=1，由双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式计算即可得到．解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即3+m=4，解得m=1，则双曲线﹣y2=1的右焦点（2，0）到渐近线y=±x的距离为d==1，故答案为：1；1．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．13．已知函数f（x）=e x（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0立，然后求出实数a的取值范围．解答：解：因为f（x）=e x（sinx+a），所以f′（x）=e x（sinx+a+cosx）．要使函数单调递增，则f′（x）≥0成立．即sinx+a+cosx≥0恒成立．所以a≥﹣sinx﹣cosx，因为﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+）所以﹣≤﹣sinx﹣cosx≤，所以，故答案为：．点评：本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，注意当函数单调递增时，f'（x）≥0恒成立．14．已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0）．设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是（，）；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（1）由中点坐标公式得到M（3，5），由已知得到点M′的坐标是（，）．（2）求点M′的轨迹方程，根据范围确定路径的长度．解答：解：（1）∵点M是线段AB的中点，由中点坐标公式，∴M（3，5），由已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0），∴点M′的坐标是（，）．（2）设M′（x，y），则M（x2，y2），线段AB方程为：x+y=8（2≤x≤4）∴对应点M′为x2+y2=8（≤x≤2，2≤y≤），∴路径为一段圆弧，圆心角为15°，∴点M的对应点M′所经过的路线长度为8π×=．点评：主要考查轨迹问题，曲线与方程的运用，学生的灵活应用能力与计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．（Ⅰ）求tan（C﹣）的值；（Ⅱ）若c=，求S△ABC的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，确定出C的度数，代入tan（C﹣）计算即可求出值；（Ⅱ）把c的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵a2+b2=ab+c2，a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∵C为△ABC内角，∴C=，则tan（C﹣）=tan（﹣）==2﹣；（Ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3，∵S△ABC=absinC=ab，∴S△ABC≤，当且仅当a=b=时“=”成立，则S△ABC的最大值是．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：表1：零件某年的每月产量（个/月）月份第一季度第二季度第三季度第四季度1 2 3 4 5 产量500 400 625 625 500 表2：零件市场价格（元/个）零件市场价格8 10概率0.4 0.6（Ⅰ）请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）（Ⅱ）随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；（Ⅲ）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）运用给出的数据的差异可判断得出不稳定问题，可判断方差的大小问题．（II）X取值为X=400，500，625．运用表格数据可得出P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．可列出分布列．（III）确定随机变量Y的所有可能取值为Y=3200，4000，5000，6250．运用表的概率知识和则P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．求解得出P（Y=3200）=0.1，（Y=4000）=0.35，P（Y=5000）=0.4，P（Y=6250）=0.15列出分布列，求解数学期望．解答：解：（I）第四季度的月产量方差最大．（II）X取值为X=400，500，625．则P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．所以随机变量X的分布列为X 400 500 625P 0.25 0.5 0.25（III）因为400×8=3200，400×10=4000，500×8=4000，500×10=5000，625×8=5000，625×10=6250，所以随机变量Y的所有可能取值为Y=3200，4000，5000，6250．所以P（Y=3200）=0.4×0.25=0.1，P（Y=4000）=0.6×0.25+0.4×0.5=0.35，P（Y=5000）=0.6×0.5+0.4×0.25=0.4，P（Y=6250）=0.6×0.25=0.15所以随机变量Y的分布列为Y 3200 4000 5000 6250P 0.1 0.35 0.4 0.15其期望为EY=3200×0.1+4000×0.35+5000×0.4+6250×0.15=4657.5．点评：题综合考查了概率在实际问题中的应用，关键是准确求解概率，判断概率的类型，准确求解即可，熟练运用公式计算求解，仔细阅读题意．17．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．（Ⅰ）求证：CF∥平面AED；（Ⅱ）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，可得：BC∥平面ADE，BF∥平面ADE，进而由面面平等的判定定理，可得平面BCF∥平面AED，进而根据面面平行的性质得到：CF∥平面AED；（Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出直线AF的方向向量与平面ECF的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）设P（x，y，z），，根据AP⊥平面CEF，则平面CEF法向量为满足：，根据无满足条件的λ值，可得不存在这样的P点．解答：证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以BC∥AD．又BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE..…又因为BDEF是正方形，所以BF∥DE．因为BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BF∥平面ADE…因为BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF=B，所以平面BCF∥平面AED…因为CF⊂平面BCF，所以CF∥平面AED．…．…..解：（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，所以△BCD为等边三角形…取BD的中点O，所以CO⊥BD，取EF的中点G，连结OG，则OG∥DE因为DE⊥平面ABCD，所以OG⊥平面ABCD..…如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB=2．所以…所以，，．设平面CEF法向量为=（x，y，z），则有得，令y=1．则…设AF与平面ECF所成的角为θ，则，所以直线AF与平面ECF所成角的正弦值为．…．…..（Ⅲ）不存在…，设P（x，y，z），，由，得…因为平面CEF的法向量为．若AP⊥平面CEF，则，即，..…得方程组无解，不符合题意．综上，不存在λ使得AP⊥平面CEF．…．…..点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量法求线面夹角，难度中档．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中点，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过点M（1，0）为线段OA的中点可知b=2，利用，a2﹣b2=c2，计算即得结论；（Ⅱ）通过设存在点N（x0，0）满足题设条件，分EF与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题意可得b=2，又因为，a2﹣b2=c2，所以，故所求椭圆C的方程为；（Ⅱ）结论：在x轴上存在点N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．理由如下：假设存在点N（x0，0）满足题设条件，（1）当EF与x轴不垂直时，设EF的方程为y=k（x﹣1）．则消去y，整理得：（2+k2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0．可知△＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，=，（x1﹣1）（x2﹣x0）+（x2﹣1）（x1﹣x0）=2x1x2﹣（1+x0）（x1+x2）+2x0=﹣+2x0，若∠ENM=∠FNM，则k EN+k FN=0，，整理得：k（x0﹣4）=0，因为k∈R，所以x0=4；（2）当EF⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠ENM=∠FNM，满足题意；综上，在x轴上存在点N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a≥0）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调区间，根据函数f（x）在区间（0，1）上无零点，即可求实数a的最大值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=x﹣1﹣2lnx，定义域（0，+∞）…，..…令f'（x）＞0得x＞2，..…令f'（x）＜0得0＜x＜2..…因此，函数f （x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；…（Ⅱ）①当a=0时，f（x）=﹣2lnx，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，且f（x）＞f（1）=0，所以a=0时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…②当a＞0时，令f'（x）=0得，令f'（x）＞0得，令f'（x）＜0得，因此，函数f （x）的单调递增区间是，单调递减区间是…（ⅰ）当即0＜a≤2时，函数f （x）的单调递减区间是（0，1），所以f（x）＞f（1）=0，所以0＜a≤2时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…（ii）当即a＞2时，函数f （x）的单调递减区间是，单调递增区间是．所以且，所以a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上有零点，不成立，…所以0≤a≤2，综上实数a的最大值是2．…点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，正确求导是关键．20．已知数列{a n}满足a1=4，a2=2，a n+2=a n+2[1﹣（﹣1）n]，n∈N*，k∈N*．（Ⅰ）求a3，a4，并直接写出a n；（Ⅱ）设S k=a1+a3+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+…+a2k，分别求S k，T k关于k的表达式；（Ⅲ）设W k=，求使W k＞2的所有k的值，并说明理由．考点：数列递推式；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a3，a4，并直接写出a n；（Ⅱ）根据数列求和的关系进行求解即可求S k，T k关于k的表达式；（Ⅲ）求出W k的表达式，解不等式即可．解答：解：（I）因为a1=4，a2=2，所以a3=a1+4=8，..…a4=2a2=4，..……（II）当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+4，所以{a2k﹣1}是以4为首项，4为公差的等差数列，则a2k﹣1=4k，..…当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，故{a2k}是以2为首项，2为公比的等比数列，则，..…S k=a1+a3+…+a2k﹣1=4+8+…+4k=2k（k+1），，..…（III），于是，…下面证明：当k≥5时，W k＜2．事实上，当k≥5时，，即W k+1＜W k，又W5＜2，所以k≥5时，W k＜2…故满足W k＞2的k的值为2，3点评：本题主要考查数列递推公式的应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -=A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是俯视图侧(左)视图A．2 B．4+ C．2+ D ．56．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）10．已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=．13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y =．14．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期； (Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．O FECBA18．（本小题13分）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A (2)D （3）B （4）B （5）C （6）C （7）C （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）40 （10 （11）1 （12）1 （13）1216 （14）1，12≤ a <1 或a ≥ 2 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I ）因为()cos )22f x x x =--sin()4x π=+所以()f x 的最小正周期为2π （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值。

2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则解答．解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0B．1C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值==故选：C．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解答：解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．6．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 C．若若0＜a1＜a2，则a2考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a2＜0，则2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．解答：解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D 正确．点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．解答：解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1=25﹣r x r，所求x3的系数为：=40．故答案为：40．点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a的值．解答：解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．解答：解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P （C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．解答：解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m的关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．解答：解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；类似可得，a k﹣2，…，a1都是3的倍数；从而对任意n≥1，a n是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．从而当n≥3时，a n是2的倍数．如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．。

2015年北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数A．B．C．D．【答案】A【解析】i（2－i）＝1＋2i【难度】容易【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

2．若，满足则的最大值为A．0B．1C．D．2【答案】D【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时z＝4．【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．B．C．D．【答案】B【解析】程序运行过程如下表所示x10-2-4y1220k0123s0-2-4t22故输出结果为（－4，0）【难度】容易【点评】本题算法初步。

在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。

4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“”是“”的必要条件．若“”，“”不一定成立，反例如下图所示．【难度】容易【点评】本题考查立体几何中点到直线的距离问题。

在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解。