专题19

2023中考英语重难点专练专题19 祈使句、倒装句1.祈使句1.1.祈使句的基本用法祈使句是用来表示命令、请求、建议或劝告等的句子。

常省略主语，谓语动词用原形。

1.1.1. 肯定的祈使句①句型：动词原形＋其他成分。

Be careful! 小心！①＂Do＋祈使句＂表示一种强烈的感情或请求，do起强调作用。

①please用在祈使句中可以表示一种客气的语气，但please用在句末时，必须用逗号与其余部分隔开。

Close the door, please. 请关门。

1.1.2. 否定的祈使句①常用句型：Don’t＋动词原形＋其他成分。

Don’t be late for school again! 别再迟到了！①用Never开头：Never＋动词原形＋其他成分。

Never leave today’s work for tomorrow! 不要把今天的工作留到明天！1.1.3. Let引导的祈使句以Let开头的句子也是祈使句，表示陈述和建议。

其否定形式有两种：Let...not或Don’t...Let us not be late. 让我们不要迟到。

Don’t let the boy play football in the street. 不要让这个男孩在街上踢足球。

1.2祈使句与简单句、复合句之间的转换1.2.1. ＂Let’s + 动词原形+ 其他＂可转换为＂Shall we + 动词原形+ 其他? ＂。

Let’s go fishing this afternoon. =Shall we go fishing this afternoon?1.2.2. ＂祈使句+ and/or + 简单句＂可转换为含if引导的条件状语从句的复合句。

Use your head, and you’ll find a way. =If you use your head, you’ll find a way.Hurry up, or we’ll be late. =If we don’t hurry up, we’ll be late.1.3祈使句的应答语1.3.1. 以Let’s开头的祈使句，其答语常用Good idea. /OK. /Yes, I’d love to. 等。

备战2023中考英语阅读理解热点话题分类训练(中考真题+名校最新模拟真题)专题19 家人与亲人（2022·山东济南·中考真题）May 11, 2022Dear Grandma,I wanted to write you a note to say thank you for my presents. They came in the mail on May 10, the day before my 13th birthday. I love the books! How did you know that I was reading the stories on ancient China? Did my dad tell you that I was interested in that topic?I also loved the soccer clothes. My spring season starts in a few weeks, and I can wear these clothes for my soccer practice every Friday. I really hope I can score a few goals this season. I’m going to work really hard to try to make that happen.When will you be able to visit me here? I miss you so much and hope we can see each other soon. I know the plane ride can be a long one, but I really hope to see you.I love you, Grandma. Thanks again for my birthday presents.Sincerely,Greta1．What did Greta receive from her grandma before her birthday?A．Some presents.B．Some flowers.C．A model plane.D．A letter.2．How old is Greta?A．Seven.B．Nine.C．Ten.D．Thirteen.3．How often does Greta practice soccer?A．Once a week.B．Twice a week.C．Three times a week.D．Four times a week.4．Which of the following is NOT true?A．Greta has very good manners.B．Greta likes ancient China a lot.C．Greta will visit her grandma soon.D．Greta lives far from her grandma.5．Why does Greta write this note?A．To say sorry to her grandma.B．To send thanks to her grandma.C．To show interest in travelling.D．To express pity to lose the game.（2022·湖南娄底·中考真题）A man named Jack came home from work and found his three children outside. They were still in their pajamas （睡衣）, playing in the mud （泥）. Toys were lying all over the garden. Thefront door to the house was wide open.Walking in the door, he found an even bigger mess. In the living room, the TV was turned up loud. There were toys and clothes all over the places.In the kitchen, there was a broken glass under the table and dishes filled the sink（水槽）. Breakfast food was still on the dining table. The door of the fridge was open. In the bathroom, the bathtub was full of water. Soap and toilet paper were on the floor. Toothpaste（牙膏）was all over the mirror and walls.He quickly went upstairs, looking for his wife. He was worried that she was sick or that something bad happened.As he ran into the bedroom, he found his wife in bed. Still in her pajamas, she was reading a novel. She looked up at him, smiled and asked how his day went. He looked at her and asked, “What happened here today? ”She smiled again and answered, “You know every day when you come home from work and you ask me what on earth（究竟）I do all day...?”“Yes, ” he replied.She answered,“Well, I didn’t do it only today.”6．Where did the story take place in the passage?A．In a hotel.B．At Jack’s home.C．In a museum.7．The underlined word “bathtub” means “ ________” in the passage?A．水槽B．浴缸C．厕所8．How did Jack feel before he saw his wife?A．Angry and tired.B．Happy and excited.C．Surprised and worried.9．What did Jack see when he got back from work?①The kids were playing in the mud.①The house was in a big mess.①His wife was sick and lying in bed.A．①①B．①①C．①①10．What can we infer（推断）from the passage?A．The wife is a lazy woman and does nothing every day.B．The wife is sick and she can’t do anything for the family.C．The wife is hard-working and usually keeps her house tidy.（2022·湖南株洲·中考真题）My father was good at playing the guitar. He was one of the best guitar players in our town. He could not read music, but if he heard a tune a few times, he could play it. When he was young, hewas a member of a small country music band.Dad loved to take out his guitar and play for the family. We three children: Trisha, Monte and I, would often sing along. We often sang songs such as Tennessee Waltz, Harbor Lights and the well-known song Silver Bells. During every Christmas, “Silver Bells, Silver Bells, it’s Christmas time in the city...would ring throughout the house. Another song King of the Wild Frontier was a favorite song for the family. It was a song in the Walt Disney program: Davey Crocket. Dad only had to hear the song twice before he learned it well enough to play it. He knew we enjoyed the song and the program and would often get out the guitar after the program was over. Our house was full of music and laughter.Dad loved to give pleasure to his family. We enjoyed singing and hearing him play. He liked that.He was always there, sacrificing（付出）his time and efforts to see that his family had enough in their life. Nobody played the guitar like my father. He could touch your soul with his music. He wore big smiles on his kind face when we children sang along. You could see his pride in his ability to play the guitar so well for his family. 11．What was the writer’s father good at?A．Reading stories.B．Playing the guitar.C．Cooking delicious food.12．How many songs does the writer mention?A．Three.B．Four.C．Five.13．In Paragraph 2, Davey Crockett is ________.A．a toy shop B．a storybook C．a Walt Disney program14．How did the father feel when the children sang along?A．Happy.B．Surprised.C．Sad.15．The passage mainly tells us about ________.A．a talented loving father B．three happy children C．some famous songs for kids（2022·山东日照·中考真题）This big-sister thing wasn’t pleasant. I was five, and my sister Lisa was two years younger. Every time we did something that we shouldn’t do, I got into more trouble. It seemed everybody paid attention to her.One day I was playing with the kids next door, and found out that in other people’s houses, the older kids had later bedtime. Going back with my new-found information, I asked my mother to make a change and she said no.So I went to my room and started to pack. Into the suitcase (行李箱) went my books and some toys. Putting some more clothes into, I went downstairs. Mum looked up and asked if I was running away. As I told her yes, she wasn’t nearly as upset as I expected.“Are you going to Grandma Sylvia’s?” I couldn’t believe she would know this. She was like a witch (女巫).Without answering her, I went out, pulling the suitcase with great difficulty, not knowing Mum was following behind.Finally I got to Grandma’s house about two kilometers away. Before I knocked, the door opened. Grandma told me she was happy to see me , and I realized Mum had already called ahead.Soon Mum came in; sat in my grandmother’s chair, took my hot little face in her hands and said, “Sweet-heart, I don’t want you to be so unhappy. If it’s hard for you to live with Lisa, tomorrow I’ll call the orphanage (孤儿院) and send her away.”Knowing what an orphanage was, I started to cry. “Don’t send my sister away!” Mum unwillingly agreed that we would all go home and give it another try. That night, Mum fed us, gave us a bath and sent us to bed at the same time.In the following years, once in a while Lisa and I would have a fight, and to this day, if I turn over my shoulder and say, “Mum, Lisa’s being mean (坏) to me!” Mum always answers in the same way, “You had your chance.”16．The girl ran away from home because she thought _________.A．Lisa always made trouble B．Lisa had later bedtimeC．she had to share love with Lisa D．she was treated differently17．Why did the girl think Mum was like a witch?A．Mum didn’t care about her leaving.B．Mum refused to make a change.C．Mum knew where she was going.D．Mum knew Grandma was waiting for her.18．What does the mother want to tell the girl by saying “You had your chance”?A．She should try to fight back.B．She can run away from home again.C．She can still send Lisa to the orphanage.D．She should learn to get along well with Lisa.19．Which of the following best describes the mother in the story?A．Mean.B．Wise.C．Strict.D．Unfair.（2022·广西·中考真题）Days ago, I made a skirt for a friend’s daughter. Today, I noticed a message on my phone on wechat （手机微信）. It was my friend saying, “I know you worked hard on the skirt and it looks very nice, but Lingling doesn’t like the pattern（图案）on the skirt. Could you change it?”I was angry and wanted to call her back. Then I suddenly thought of Grandma and what she had once done for me long ago.It was a summer when I was eight. One day, Grandma decided to dress up my hair with some flowers. Shespent a long time on it, and she enjoyed doing that. When Grandma finished, she was so happy, and I stood on a chair to look at myself in the mirror. My heart went cold.“You can go out and play now,” Grandma said, smiling.I nodded and slowly walked towards the door. I looked out of the door and saw some kids playing outside. My best friend, Liu Mei, saw me and waved at me to go outside, but I couldn’t move. I knew everyone would laugh at my hair, but I couldn’t tell Grandma how I felt.Finally I went into Grandma’s room and said in a scared voice, “Grandma, I don’t think the flowers in my hair look nice.”Grandma looked sad, but didn’t say a word, she stood me back on the chair in front of the mirror. While Grandma was pulling out the flowers gently （轻柔地）, I realized she loved me so deeply that she put my feelings before hers. And that is the kind of love I try to pass on today.I picked up my phone and replied to my friend on wechat, “I am glad to change it.”根据短文内容，选出最佳选项。

专题19：物质文明的进步一、导学目标1、知道交通工具（轮船、火车、汽车、电车）在中国出现的史实；2、知道照明用具（煤气灯、电灯）和通讯工具（电报、电话）在中国出现的史实；3、知道影像工具（照相和电影）在中国出现的史实。

自主突破一：轮船、火车、汽车（交通工具）轮船：1、中国最早被采用的近代交通工具是。

2、中国自行建造的第一艘木质蒸汽轮船是。

火车：1、中国人自办的第一条铁路是：。

2、近代中国的第一个筑路高潮出现在以后。

3、甲午战争后，清政府修筑铁路主要有：、、等；南京国民政府成立后修筑的铁路主要有：、等；汽车：1、1901年，汽车首先在出现。

2、中国首家出租汽车公司诞生在：。

3、1906年，有轨电车首次在开通；1914年，开始通行无轨电车。

新式交通工具的出现有什么历史意义？1、交通工具的分类：水上交通工具、陆上交通工具、空中交通工具2、“有轨电车”最早出现在天津，而“无轨电车”出现在上海；变式练习一1、新式交通工具的最大特点是（）A、以机械为动力B、装饰豪华美观C、以自然力为动力D、产生时间不同2、在中国最早被采用的近代交通工具是（）A、轮船B、火车C、汽车D、电车3、中国开始通行无轨电车是在（）A、北京B、天津C、上海D、南京4、甲午中日战争以后，清政府修筑的铁路不包括（）A、芦汉铁路B、沪宁铁路C、津浦铁路D、陇海铁路自主突破二：电灯（照明用具）煤气灯和电灯最先出现在哪一座城市？它们的出现有什么意义？自主突破三：电报、电话（通讯工具）电报：1、1871年，由到的水路电报线敷设成功，这是中国境内出现最早的有线电报；2、1879年，哪一个人开始架设军用电报线？3、 初，中国开始开办了无线电报；电话：1、1876年， 电话获得专利，并于第二年传入中国 。

2、我国第一个设立电话交换所，开通普通电话业务的城市是哪一座？是由哪一个公司设立的？你认为通讯工具的出现对我们的生活有什么影响？变式练习二“从此千里争片刻，无须尺幅费笔砚。

Thanksgiving Day 感恩节养成良好的答题习惯，是决定高考英语成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

48.Thanksgiving Day is a very important traditional holiday in America. On the fourth Thursday of each November, families and friends gather together for the occasion to celebrate with a traditional turkey dinner,usually in the mid-afternoon. Thanksgiving Day originated as a celebration of theyear's harvest and is similar to the Mid-Autumn Festival in China.This American tradition started in 1621 before the United States of Americawas established. It was a huge celebration for a hard-earned harvest in the firstyear after the first group of immigrants arriving in the New World.On September 6,1620,the Mayflower ship set sail from Plymouth, Devon, England, taking all the English Pilgrims to the New World. The English Pilgrims numbered about a hundred people, and left England to escape religious persecution.The Pilgrims sailed sixty-six days, arrived in the New World in November of the same year. They first settled in a cornfield abandoned by Native Indians and named it Plymouth Plantation.They worked on the land with much difficulty and were beset by a devastating plague in which half of the Pilgrim died in the long winter of 1620. In the spring of 1621, an Indian brave named Squanto and her Wampanoag tribe came to their help. The tribe taught the Pilgrims how to work the earth and plant corn, beans, pumpkins, squash and other crops.In late September 1621, the Pilgrims were pleased with their great harvest. To celebrate their first harvest, the Pilgrims wanted to thank God and the Native Indian. They invited Squanto and the entire Wampanoag tribe to celebrate together in a shared feast.The first Thanksgiving dinner is said to have lasted from three days to one week. It was indeed a time of happiness, fellowship and rejoicing for the Pilgrims. They arranged a friendly treaty with the Native American Indians, built houses in the wilderness, and raised sufficient crops to feed themselves for the upcoming long winter. The Pilgrims had become the first generation of settlers in this new land holding so much promise.From then on, Thanksgiving became a holiday for celebrating the harvest in the New World, and dates varied from October to November each year over the next 150 years.The first National Thanksgiving was declared by the Continental Congress in 1777. On October 3,1789, President George Washington declared that the people of the United States should observe (celebrate) “a day of public thanksgiving and prayer” on Thursday,26 November. In 1941,a Congressional Joint Resolution set the fourth Thursday of November as a national holiday for Thanksgiving. (423 words)◆Helper:originate起源establish成立hard-earned辛苦劳作的immigrant移民Mayflower“五月花”号Plymouth，Devon德文郡普利茅斯Pilgrims清教徒persecution[pə:si'kju:ʃən]迫害abandon废弃Plantation种植园beset困扰devastating['devəsteitiŋ]毁灭性的plague[pleig]瘟疫Squanto斯匡托Wampanoag[wɔmpə'nəʊæg]万帕诺亚格人feast[fi:st]盛宴rejoice(使)欣喜, 喜悦vary['vɛəri] 变化Congressional Joint Resolution国会联合决议◆ Exercises:从所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳答案。

专题19 圆锥曲线与角平分线定理 微点1 圆锥曲线与角平分线定理专题19 角平分线定理在圆锥曲线中的应用 微点1 角平分线定理在圆锥曲线中的应用举例 【微点综述】在近几年高考试题中，以“角平分线”为背景的圆锥曲线试题频繁出现，综合性强，是考查学生能力的重要载体．本文主要说明圆锥曲线中以“角平分线”为命题背景的题型及求解策略． 一、两个引理【引理1】双曲线焦点F 到渐近线的距离FH b =，原点到垂足的距离OH a =．证明：如图，(),0F c 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦点，过点F 作FH 垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为H ，O 为原点， 双曲线渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±-=， 圆心F 到渐近线的距离bcd b c ===．在双曲线中，两条渐近线与坐标轴的夹角相等，所以经常可以用角平分线化腐朽为神奇．下面先给出三角形角平分线定理．【引理2】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 如：在ABC 中，AM 平分BAC ∠，则AB BMAC CM=． 证明：解法1：（面积法）1sin 2ABM S AB AM BAM =⋅⋅⋅∠△，1sin 2ACM S AC AM CAM =⋅⋅⋅∠△， ::S ABM S ACM AB AC∴=△△又ABM 和ACM △是等高三角形，面积的比等于底的比， 即三角形ABM 面积S ：三角形ACM 面积S BM =：CM ，AB BMAC CM∴=． 解法2：（相似）如图，过C 作//CN AB 交AM 的延长线于N ，则ABM NCM ∽△△，//AB NC BM CM ∴=，又可证明CAN ANC ∠=∠，AC CN ∴=，AB BM AC CM∴=．解法3：（正弦定理）sin sin AB AMB MB BAM∠=∠，sin sin CA AMCCM CAM ∠=∠，sin sin sin sin AMB AMC BAM CAM ∠∠=∠∠，AB BM AC CM ∴=．二、题型及其解法举例 （一）求线段长度例1（2022·山东枣庄·高三期末）1．已知点P 为双曲线2214x y -=的右支上一点，12,F F 分别为左、右焦点，O 为坐标原点，过点1F 向12F PF ∠的平分线作垂线，垂足为Q ，则OQ =________． 由本例一般化可以得如下结论： 【结论1】已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>左、右焦点，点P 是双曲线C 上不同于实轴端点的任意一点，若过点1F （或2F ）向12F PF ∠的平分线引垂线，则垂足的轨迹方程为()2220x y a y +=≠．类比双曲线，得到关于椭圆的类似结论如下： 【结论2】已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点，点P 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，若过点1F （或2F ）向12F PF ∠的平分线引垂线，则垂足的轨迹方程为()2220x y a y +=≠．说明：结论1，2的证明参考例1的解答． （二）求线段长度的比值 例22．已知椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，1F ，2F 为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上在第一象限的一点，I 为12PF F △的内心，直线PI 与x 轴交于点Q ，椭圆的离心率为13，若PQ IQ λ=，则λ的值为___________. 由此题不难得到如下结论：【结论3】已知12,F F 为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>左、右焦点，点P 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，若I 为12PF F ∆的内心，延长PI 交x 轴于点Q ，则1PI a IQ c e==． 类比椭圆，得到关于双曲线的类似结论如下： 【结论4】已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>左、右焦点，点P 是双曲线C 上不同于实轴端点的任意一点，若P I 为12PF F ∆的内心，延长P PI 交x 轴于点Q ，则1P P PI a I Qc e==． 说明：结论3，4的证明参考例2的解答． （三）求参数的值 例33．P 是双曲线2212y x -=右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，I 是12PF F △的内心，若1221212(1)PF F IPF IF F S S S λ=++，则实数λ的值为___________由此例不难得到如下结论：【结论5】已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>左、右焦点，点P 是双曲线C上不同于实轴端点的任意一点，若I 为12PF F ∆的内心，则12121PIF PIF IF F S S S e∆∆∆-=．类比双曲线，得到关于椭圆的类似结论如下：【结论6】已知12,F F 为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>左、右焦点，点P 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，若I 为12PF F ∆的内心，则12121PIF PIF IF F S S S e∆∆∆+=．说明：结论5，6的证明参考例3的解答． （四）求解定直线问题 例44．设F 为椭圆C :22143x y +=的右焦点，不垂直于x 轴且不过点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，在MFN △中，若MFN ∠的外角平分线与直线MN 交于点P ，则P 的横坐标为______.由此例不难得到如下结论：【结论7】已知F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，不垂直于x 轴且不过点F的直线l 与C 交于两点,M N 两点，在MFN ∆中，若MFN ∠的外角平分线与直线MN 交于点P ，则点P 位于焦点F 对应的准线上． 类比椭圆，得到关于双曲线的类似结论如下：【结论8】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，不垂直于x 轴且不过点F 的直线l 与C 交于两点,M N 两点，在MFN ∆中，若MFN ∠的外角平分线与直线MN 交于点P ，则点P 位于焦点F 对应的准线上．说明：结论7，8的证明参考例4的解答． （五）求解定点问题 例55．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左、右焦点分别为1F 、2F ，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线0x y -相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为k (0k ≠)的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于点A 、M 、N (A 点在椭圆右顶点的右侧)，且满足21NF F ∠=2MF A ∠， ①求证：直线l 过定点(2)0，， ①求斜率k 的取值范围． 由此例不难得到如下结论：【结论9】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，y 轴上不同两点()()0,,0,P m Q n ，过点P 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，则0QA QB k k +=的充要条件是2mn b =．说明：结论9的证明参考例5的解答．当m b >时，结论9如图1和图2所示；当m b <时，结论 9如图3和图4所示；当过点P 的直线l 与椭圆C 相切时，可以视作,A B 两点重合的特例，设切点为M ，则QM 平行于x 轴． 同理，当,P Q 两点位于x 轴时，有如下结论：【结论10】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，x 轴上不同两点()(),0,,0P m Q n ，过点P 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，则0QA QB k k +=的充要条件是2mn a =．说明：当过点P 的直线l 与椭圆C 相切时，可以视作,A B 两点重合的特例，设切点为M ，则QM 平行于y 轴．类比椭圆，得到关于圆、双曲线的类似结论如下：【结论11】已知圆()222:0C x y a a +=>，x 轴上不同两点()(),0,,0P m Q n （或y 轴上不同两点()()0,,0,P m Q n ），过点P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，则0QA QB k k +=的充要条件是2mn a =．说明：当过点P 的直线l 与圆C 相切时，可以视作,A B 两点重合的特例，设切点为M ，则QM 平行于y 轴（x 轴）．【结论12】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，x 轴上不同两点()(),0,,0P m Q n （或y 轴上不同两点()()0,,0,P m Q n ），过点P 的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，则0QA QB k k +=的充要条件是2mn a =（或2mn b =-）．说明：当过点P 的直线l 与双曲线C 相切时，可以视作,A B 两点重合的特例，设切点为M ，则QM 平行于y 轴（x 轴）．我们知道标准形式的椭圆、双曲线、以坐标原点为圆心的圆三者的方程可以统一为()2210x y ab a b+=≠，当0,0a b >>且a b 时表示椭圆；当0ab <时表示双曲线；当0a b =>时表示圆．上述结论从结构上可以统一为如下结论：【结论13】已知曲线()22:10x y C ab a b+=≠，x 轴上不同两点()(),0,,0P m Q n （或y 轴上不同两点()()0,,0,P m Q n ），过点P 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，则0QA QB k k +=的充要条件是mn a =（或mn b =）．说明：当过点P 的直线l 与曲线C 相切时，可以视作,A B 两点重合的特例，设切点为M ，则QM 平行于y 轴（x 轴）． 例66．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.以上是我们在复习备考中为学生准备的关于角平分线的解析几何例题，旨在帮助学生熟练运用角平分线的性质和定理，形成模式化的解题策略，达到快速、高效解题的目的．但是解题教学中，应指导学生知其然，更应知其所以然，尤其是对于解析几何问题，将其拓展到一般化情况，可以帮助学生通过一道问题的学习，达到会解一类问题的目的，真正实现“做一题，通一类”． 【强化训练】7．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若以点F 为圆心，半径为a 的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的离心率等于（ ）AB C ．2D ．8．已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点相同，若以点F 径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．22122y x -=D ．22122x y -=（2022江西模拟）9．设F 是双曲线22221x y a b-=的右焦点，双曲线两渐近线分别为1l ，2l ，过点F 作直线1l 的垂线，分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若A ，B 两点均在x 轴上方且3OA =，5OB =，则双曲线的离心率e 为AB ．2C D（2019年高考新课标①）10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．11．已知1F ，2F 分别为双曲线221927x y C -=：的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =_______12．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,点A ,B 分别在其两条渐近线上,且满足2,0BF FA OA AB =⋅=(O 为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _____________．13．设F 是双曲线22221x y a b-=的右焦点，双曲线两条渐近线分别为1l ，2l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交1l ，2l 于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF 与FA 同向，则双曲线离心率e 的大小为_____________．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点,P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF △内一点，满足123PG PF PF =+,12F PF △的内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =_____15．已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =．(①)求椭圆E 的方程；(①)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(①)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．（2022全国·高二期中）16．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的一个焦点为)F，且该椭圆经过点12P ⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：1．2【分析】先由几何关系得到1||||PF PM =及OQ 为12MF F △的中位线，再根据双曲线的定义即可求解.【详解】延长2PF 交1F Q 于M ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，且1F Q PQ ⊥，则1||||PF PM =， 则Q 为1F M 的中点，而O 为12F F 的中点，所以OQ 为12MF F △的中位线， 所以2212111||||(||||)(||||)222OQ MF PM PF PF PF ==-=-， 由双曲线的定义可知12||||2PF PF a -=，又因为双曲线的方程为2214x y -=，所以24a =，即2a =，所以1||2222OQ =⨯⨯=，故答案为：22．4【分析】连接1IF ､2IF ，I 是12PF F △的内心，得到PQ 为12F PF ∠的角平分线，即Q 到直线1PF ､2PF 的距离相等，利用三角形的面积比，得到12121212PI PF PF PF PF aIQ FQ F Q F F c ++===+，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.【详解】解：如图所示，连接1IF ､2IF ，I 是12PF F △的内心，所以1IF ､2IF 分别是12PF F ∠和21PF F ∠的角平分线，由于经过点P 与12PF F △的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，则PQ 为12F PF ∠的角平分线，则Q 到直线1PF ､2PF 的距离相等，所以121122PF Q PF QS PF QF S PF QF ==△△，同理可得11PI PF IQ FQ =，22PI PF IQ F Q =， 由比例关系性质可知1212121222PI PF PF PF PF a aIQ FQ F Q F F c c ++====+. 又椭圆的离心率13IQ c e a PI ===.所以3PI IQ =，所以4PQ IQ =，故4λ=， 故答案为：4.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 3【分析】作出图形，由I 是12PF F △的内心可得122121PF F IPF IF F IPF SSSS=++，又由题意可知1221212(1)PF F IPF IF F SSSλ=++，于是有21211IPF IF F IPF SSSλ+=，整理化简得12121PF PF F F λ-=，再由双曲线的定义及性质即可求出λ的值.【详解】解：依题意,设双曲线的焦距为2c，实轴长为2a ，则1c a ==.①I 是12PF F △的内心,设12PF F △的内切圆的半径为r ， 则：()12121212PF F S F F PF PF r =++， 21221211,22IPF IF F SPF r S F F r ==， ①12212121PF F IPF IF F S S S λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又122121PF F IPF IF F IPF S SSS=++，①21211IPF IF F IPF S SSλ+=，即21211111222PF r F F r PF r λ+⨯=， ①21211PF F F PF λ+=,又P 是双曲线右支上一点， ①1212122PF PF a a F F c c λ-====， ①λ= 4．4【分析】根据椭圆方程22143x y +=，设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的第二定义得到12112,222MF x NF x =-=-，设 (),P mn ，然后根据外角平分线定理，由MF MP NF NP =求解. 【详解】如图所示：因为椭圆方程为22143x y +=，所以2,1a b c ===, 所以椭圆的右焦点是()1,0F ， 所以离心率为12c e a == ， 设()()1122,,,M x y N x y ， 由椭圆的第二定义得：2212MF NF e a a x x cc==--， 所以 12112,222MF x NF x =-=-，设 (),P m n ，由外角平分线定理得MF MP NF NP =，即1122122122x x m x m x--=--， 化简得 ()()1212122x x m x x -=-， 解得4m =所以P 的横坐标为4 故答案为：4【点睛】关键点点睛：本题关键是外角平分线定理的应用. 5．（1）2212x y +=；（2）①证明见解析；①(0)(0⋃．【解析】（1）利用椭圆的离心率，列方程求解即可； （2）联立方程，利用220MF NF k k +=，得到1212011kx m kx mx x +++=--，进而可求定点和k 的取值范围【详解】（1）由题意知c e a ==①222112b e a =-=，即222a b =，又①1b ==，①22a =，21b =，故椭圆C 的方程为2212x y +=； （2）由题意，设直线l 的方程为y kx m =+(0k ≠)，11()M x y ，、22()N x y ，， 代入椭圆方程，消去y 得：222(21)4(22)0k x kmx m +++-=，2222164(21)(22)0k m k m ∆=-+->，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -⋅=+， 得2221m k <+，①212NF F MF A ∠=∠，且290MF A ∠≠，①220MF NF k k +=， 又2(10)F ，，①1212011y y x x +=--，即1212011kx m kx mx x +++=--，化简得：12122()()20kx x m k x x m +-+-=， 将12x x +和12x x ⋅代入上式得2m k =-(满足0∆>)， 即直线l 的方程为2y kx k =-，即直线过定点(2)0，， 将2m k =-代入2221m k <+得22421k k <+，且0k ≠，从而直线l 的斜率k 的取值范围是(0)(0⋃． 【点睛】关键点睛：解题的关键，在于212NF F MF A ∠=∠⇒220MF NF k k +=⇒1212011y yx x +=--，利用韦达定理，得到1212011kx m kx mx x +++=--⇒2y kx k =-，进而求出直线过定点(2)0，，再利用2222164(21)(22)0k m k m ∆=-+->和2m k =-进行求直线l 的斜率k 的取值范围，难度属于中档题6．（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q .【详解】（1）由已知，点在椭圆E 上.因此，22222211,,a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点. 如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件， 则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB . 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+， A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>，所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++. 因此121212112x x k x x x x ++==. 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线. 所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='. 故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 7．B【分析】由题意得双曲线方程为0bx ay ±-=，则圆心F到渐近线的距离d a ==，化简后可求出离心率.【详解】根据题意得：圆心(),0F c ，半径为a ，双曲线渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±-=， 以点F 为圆心，半径为a 的圆与双曲线C 的渐近线相切，且222c a b =+， ∴圆心F到渐近线的距离d a ==，即a b =，c ∴==，则双曲线C的离心率ce a= 故选：B 8．D【分析】由双曲线与抛物线的性质求解【详解】解法1：设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >）．抛物线28y x =的焦点为()2,0，且双曲线C 的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点相同，()2,0F ∴，224a b ∴=+．又圆F ：()2222x y -+=与双曲线C 的渐近线by x a=±相切，由双曲线的对称性可知圆心F= 222a b ∴==，∴双曲线C 的方程为22122x y -=，解法2：抛物线28y x =的焦点为()2,0，2c ∴=，根据结论1，b =a = 故选：D 9．C【详解】试题分析：如下图所示，从而可知4tan 3θ=，①242tan 4tan 2tan 231tan 3αααα=-⇒=-⇒=-，即2b a =，①e == C. 考点：双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征. 10．2.【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 60ba==率.【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB的斜率为0tan 60ba==离心率为2c e a ====． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 11．6【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径． 【详解】不妨设A 在双曲线的右支上, ①AM 为12F AF ∠的平分线，①1122824AF F M AF MF ===， 又①1226AF AF a -==，解得26AF =，故答案为6.【点睛】本题考查内角平分线定理，考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义，属于中档题. 12【分析】利用角平分线定理即可获解.【详解】由角平分线定理,得12OA AF OB BF == 所以30AOF BOF ABO ︒∠=∠=∠=所以tan tan 30b AOF a ︒=∠==即22222222413c a b b e a a a +===+=,所以e =13【分析】由双曲线的性质，等差数列的定义，二倍角的正切公式求解 【详解】不妨设OA 的倾斜角为锐角向量BF 与FA 同向，∴渐近线1l 的倾斜角为π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴渐近线1l 斜率为：1b k a =<，22222211b c ae a a-∴==-<，212e ∴<<，()()()22AB OB OA OB OA OB OA AB ∴=-+=-，()2AB OB OA ∴=-，12OB OA AB ∴-=， OA ，AB ，OB 成等差数列，2OA OB AB ∴+=，34OA AB ∴=， ∴在直角OAB 中，4tan 3AOB ∠=，由对称性可知：OA 的斜率为1tan 2k AOB ⎛⎫=∠ ⎪⎝⎭， 22413k k ∴=-，22320k k ∴+-=，12k ∴=（2k =-舍去）；12b a ∴=，222222114b c a e a a -∴==-=，254e e ∴=∴=14．12##0.5 【分析】由题意得G 为12F PF △的重心，设00(,)P x y ，由重心坐标公式可得G 的纵坐标，由12IG F F λ=可得内心I 的纵坐标与G 相同，然后利用12F PF △的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立a b c 、、的等式，从而可得离心率． 【详解】设00(,)P x y ， ①1232PG PF PF PO =+=，①23PG PO =， ①G 为12F PF △的重心， ①G 点坐标为00(,)33x y G ． ①12IG F F λ=， ①//IG x 轴， ①I 的纵坐标为3y ． 在12F PF △中，12122,2PF PF a F F c +==， ①1212012F PF SF F y =⋅． 又I 为12F PF △的内心， ①I 的纵坐标3y 即为内切圆半径． 由于I 把12F PF △分为三个底分别为12F PF △的三边，高为内切圆半径03y 的小三角形， ①1211221()23F PF y S PF F F PF =++， ①120112211()223y F F y PF F F PF ⋅=++ 即00112(22)223y c y a c ⋅⋅=+， ①2c a =，①椭圆C 的离心率12c e a ==． 故答案为：1215．(①) 2211612x y +=(①) 2x ﹣y ﹣1=0；(①) 不存在【详解】试题分析：（1）设出椭圆方程，根据椭圆E 经过点A （2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E 的方程；（2）求得AF 1方程、AF 2方程，利用角平分线性质，即可求得①F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论．解：（1）设椭圆方程为①椭圆E经过点A（2，3），离心率①，①a2=16，b2=12①椭圆方程E为：221 1612x y+=；（2）F1（﹣2，0），F2（2，0），①A（2，3），①AF1方程为：3x﹣4y+6=0，AF2方程为：x=2设角平分线上任意一点为P（x，y），则．得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0①斜率为正，①直线方程为2x﹣y﹣1=0；（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，①①直线BC方程为代入得x2﹣mx+m2﹣12=0，①BC中点为代入直线2x﹣y﹣1=0上，得m=4．①BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（1）2214x y +=；（2）存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．【分析】（1）法1：（待定系数法）由题意可得2223c a b ==-，将点的坐标代入椭圆的方程，联立求解可求得椭圆C 的方程；法2：（定义法），求得椭圆的另一个焦点，由椭圆的定义求得2a ，可求得椭圆C 的方程．（2）当直线l 为非x 轴时，设直线l的方程为0x my +，与椭圆C 的方程整理得()22410m y +--=．设()11,A x y ，()22,B x y，得韦达定理12y y +=12214y y m -=+．将问题转化为,AQ BQ 的斜率互为相反数．运用两点的斜率公式可求得点Q 的坐标，验证当直线l 为x 轴时也符合题意．【详解】（1）法1：【待定系数法】由题意可得2223c a b ==-，又因为点在椭圆上得223114a b+=，联立解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=； 法2：【定义法】设另一个焦点为()1F ，则1F FP △为直角三角形，由勾股定理得172F P =，所以124a PF PF =+=，即2a =，由222b a c =-得21b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）当直线l 为非x 轴时，可设直线l的方程为0x my +，与椭圆C的方程联立得22014x my x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ， 整理得()22410m y +--=．由()()()222441601=+m =m +∆+>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，定点(),0Q t (且12,)tx t x ，则由韦达定理可得12y y +=12214y y m -=+． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于,AQ BQ 的斜率互为相反数． 所以12120y y x t x t+=--，即得()()12210y x t y x t -+-=．又110x my +=，220x my +，得11m x y ，22x my所以))12210y my t y my t -+-=，整理得)()121220t y y my y +-=．从而可得)21204t m m -⋅=+，即()240m =，所以当t =，即Q ⎫⎪⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意．综上，存在x 轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．【点睛】本题考查求椭圆的方程，椭圆的定义的运用，直线与椭圆的位置关系之交点问题，关键在于将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题．。

专题19二次函数与平移变换综合问题【例1】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【例2】．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y 如下表：x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q 的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝，实数k的取值范围是；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．【例3】．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【例4】．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【例5】．（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）；②证明：AE＝BF；（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．一．解答题（共20题）1．（2022秋•临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4）（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？（3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法．2．（2022秋•江夏区月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）．（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标．（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值．3．（2022•湖里区二模）抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB．（1）用含b的式子表示m；（2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；（3）已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由．4．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，ⅰ．如果S△OBP求k的取值范围；ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．5．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．6．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L的表达式；（2）若点P是直线y＝x+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．8．（2022•渭滨区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+bx2+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．9．（2021秋•普兰店区期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；（3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．10．（2022•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．11．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．（1）求点B与点D的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．12．（2022•富阳区二模）设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数．（1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值．13．（2022•宁波模拟）已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示．（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．14．（2022•宁波模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．（2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；②求△ABC的面积．15．（2022•吴兴区一模）如图已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．16．（2022•南宁模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0），且c＝﹣3a．（1）若a＝﹣1，求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）在（1）的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值．（3）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数的图象向右平移m（m＞1）个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求函数y＝ax+m的解析式．x…﹣101…y…4k n…17．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．18．（2022•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y 轴交于点A（0，3），交x轴于点B（3，0）．（1）求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y＞3时x的取值范围．（2）将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值．19．（2022•桥西区校级模拟）如图，抛物线，点Q为顶点．（1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为；（2）若抛物线的对称轴为直线x＝1．①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；②将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y 轴交于点B．若QA＝QB，求k的值；（3）当a＝2时，点M（m，n）为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围．20．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．【例1】（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点A（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵CB∥x轴，∴B（2，﹣3），设直线AC解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，①当m＞1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，x＝1时，q＝﹣4，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，x＝1时，q＝﹣4，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，综上所述：m的值﹣1或1﹣；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣5，联立方程组，整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，解得k＝0（舍）或k＝3，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，∴综上所述：1＜n≤4或n＝．【例2】（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q 的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），实数k的取值范围是4≤k≤5；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，根据当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3≤k﹣1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案；（3）求出A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），过B作BH⊥AC于H，可得BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，故△BHC是等腰直角三角形，∠ACB＝45°，当B在C右侧时，同理可得∠ACB＝135°．【解答】解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，∴3≤k﹣1≤4，解得4≤k≤5，∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；（3）当B在C左侧时，过B作BH⊥AC于H，如图：∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，∴y A＝﹣m2﹣2m+3，y B＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，﹣m2﹣4m），∵点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴＝﹣1，AC∥x轴，∴x C＝﹣2﹣m，∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），过B作BH⊥AC于H，∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m﹣3|，∴BH＝CH，∴△BHC是等腰直角三角形，∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°，当B在C右侧时，如图：同理可得△BHC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝180°﹣∠BCH＝135°，综上所述，∠ACB的度数是45°或135°．【例3】（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；（2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），根据m＞2，＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m ﹣4的顶点在第三象限；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得c＝，可得OB＝﹣c＝﹣，过点A＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣（b+1）2+，由作AH⊥OB于H，有S△AOB二次函数性质得△AOB面积的最大值是．【解答】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：m﹣4＝0，解得m＝4，∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），∵m＞2，∴2﹣m＜0，∴＜0，∵＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），当x＝0时，B（0，c），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得：＝﹣2，∴c＝，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB＝﹣c＝﹣，过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（﹣1，﹣1），∴AH＝1，在△AOB中，S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣（b+1）2+，∵﹣＜0，取最大值，最大值为，∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB答：△AOB面积的最大值是．【例4】（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ 根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．【解答】（1）解：由题意得，，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，∴D（﹣1，4），由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AD2＝20，∵C（0，3），∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，∵∠BOC＝90°，∴tan∠BCO＝＝，∴∠DAC＝∠BCO；（3）解：如图，作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，∴DE∥FD1，∴△DEC∽△D1FC，∴＝，∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴D1（2，1），∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝0时，y＝﹣3，∴N（0，﹣3），同理可得：，∴，∴OM＝3，∴M（3，0），设P（2，m），当▱MNQP时，∴MN∥PQ，PQ＝MN，∴Q点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，∴Q（﹣1，8），当▱MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，∴Q′（5，﹣8），综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．【例5】（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a ≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）；②证明：AE＝BF；（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．【分析】（1）先求出点A、B的坐标，利用交点式设y＝ax（x+2），把B（，）代入即可求得答案；（2）①联立得x2+2x＝x+n，解方程即可求得答案；②分两种情况：当n＞1时，CD位于AB的上方，可得：AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，故AE＝BF；当＜n＜1时，CD位于AB的下方，可得：AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，故AE＝BF；（3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，可得P′Q′∥AB，再由（2）②及平移的性质可证得结论；②由A′M+3B′N＝2，可得A′M＝B′N＝，根据二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，把Q（t+1，3）代入y＝x+1，即可求得答案；方法二：①设点Q的坐标为（x3，y3），由y3＝x3+1，y3＝（x3﹣t）2+2，得x3+1＝（x3﹣t）2+2，可得：点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t＞）．再由二次函数y＝x2+2x图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，求得：B′（t+，），A′（t﹣1，3），即可证得结论．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，令y＝0，得x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∵直线y＝x+1经过点B（m，），∴m+1＝，解得：m＝，∴B（，），∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣2，0），O（0，0），B（，），设y＝ax（x+2），则＝a××（+2），解得：a＝1，∴y＝x（x+2）＝x2+2x，∴这个二次函数的表达式为y＝x2+2x；（2）①由题意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣），解得：x1＝，x2＝，故答案为：，；②当n＞1时，CD位于AB的上方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，当＜n＜1时，CD位于AB的下方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，∴当n＞﹣且n≠1时，AE＝BF；（3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，∴P′Q′∥AB，∵平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，由（2）②及平移的性质可知：A′M＝B′N；②∵A′M+3B′N＝2，∴A′M＝B′N＝，设点Q在原抛物线上的对应点为Q′，∵二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，∴Q′的横坐标为0或1，∴Q′（0，0）或（1，3），当Q′（0，0）时，Q（t+1，3），将点Q的坐标代入y＝x+1，得：3＝（t+1）+1，解得：t＝3；当Q′（1，3）时，Q（t+2，6），将点Q的坐标代入y＝x+1，得：6＝（t+2）+1，解得：t ＝8；综上所述，t ＝3或8；另解：∵A ′M +3B ′N ＝2，∴A ′M ＝B ′N ＝，B （，）的对应点为B ′（t +，），∵B ′N ＝，∴点Q 的横坐标为t +1，代入y ＝x +1，得y ＝（t +1）+1＝t +，∴Q （t +1，t +），将点Q 的坐标代入y ＝（x ﹣t ）2+2中，得t +＝（t +1﹣t ）2+2，解得：t ＝3．方法二：①设点Q 的坐标为（x 3，y 3），由y 3＝x 3+1，y 3＝（x 3﹣t ）2+2，得x 3+1＝（x 3﹣t ）2+2，当t ＞时，解得：x 3＝，∴点Q 的横坐标为；同理可得点P 的横坐标为，∵点P 在点Q 的左侧，∴点P 的横坐标为，点Q 的横坐标为（t ＞）．∵二次函数y ＝x 2+2x 图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y ＝（x ﹣t ）2+2的图象的顶点为（t ，2），∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t +1）个单位，向上平移3个单位得到的，∴B （，）的对应点为B ′（t +，），A （﹣2，0）的对应点为A ′（t ﹣1，3）．∴B ′N ＝t +﹣＝，A ′M ＝﹣（t ﹣1）＝，∴A ′M ＝B ′N ．一．解答题（共20题）1．（2022秋•临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4）（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？（3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法．【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣3）2，然后把B点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；（3）设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2，再把C（7，4）代入求出m的值为4或10，从而可判断抛物线向右平移1个单位或7个单位．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2，把B（0，4）代入得4＝a×（0﹣3）2，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝（x﹣3）2；（2）当x＝7时，y＝（x﹣3）2＝×（7﹣3）2＝≠4，∴点C（7，4）不在这个抛物线上；（3）能．设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2，把C（7，4）代入得×（7﹣m）2＝4，解得m1＝4，m2＝10，∴把抛物线y＝（x﹣3）2向右平移1个单位或7个单位可经过点C（7，4）．2．（2022秋•江夏区月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）．（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标．（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值．【分析】（1）①将点A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得到b、c的关系为c﹣b＝3，再由＝6，求出b、c的值即可求函数的解析式；②设M（t，﹣t2+2t+5），则P（t，﹣t+4），可得PM＝﹣t2+3t+1＝3，求出t的值即可求M 点坐标；（2）由题意可知抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，则平移后的抛物线解析为y＝﹣（x﹣﹣m﹣2）2+2b+5+，所以抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），再由题意可得m＝+b﹣2①，﹣（﹣﹣m）2+2b+5+＝1②，由①②求出b的值即可．【解答】解：（1）①将点A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴c﹣b＝3，∵抛物线的顶点纵坐标为6，∴＝6，∴c＝﹣3或c＝5，∴b＝﹣6或b＝2，∵顶点位于y轴右侧，∴b＞0，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+5；②设M（t，﹣t2+2t+5），则P（t，﹣t+4），∴PM＝﹣t2+3t+1，∵PM＝3，∴﹣t2+3t+1＝3，解得t＝1或t＝2，∴P（1，3）或（2，2）；（2）∵点A（﹣1，2）平移后对应点为A'（m+1，b+4），∴抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，∵c﹣b＝3，∴y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣）2+b+3+，∴平移后的抛物线解析为y＝﹣（x﹣﹣m﹣2）2+2b+5+，∴抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），∵抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，∴+m+2+5＝2b+5+，∴m＝+b﹣2①，∵平移后的抛物线经过点N（2，1），∴﹣（﹣﹣m）2+2b+5+＝1②，由①②可得，b+2m＝b+4或b+2m＝﹣b﹣4，当b+2m＝b+4时，m＝2，此时不符合题意；当b+2m＝﹣b﹣4时，b＝0或b＝﹣10，当b＝0时，m＝﹣2；当b＝﹣10时，m＝8；∴b的值为0或﹣10．3．（2022•湖里区二模）抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB．（1）用含b的式子表示m；（2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；（3）已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由．【分析】（1）利用Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到Δ＝b2﹣4a＝0，可得a＝，则y＝x2+bx+1＝（x+）2，把A（m，0）代入即可求解；（2）求出E（﹣，1），则BE＝|﹣|，证明△AOB∽△BOM，可求M（﹣，0），再由AM＝BE，得到|﹣|＝|m+|，求出b＝±2，即可求解析式y＝（x﹣1）2或y＝（x+1）2；（3）平移后抛物线的顶点由A变为M，则平移后的抛物线为y＝（x+）2，因为C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，所以（x+）2＝（x﹣m）2，此时m2＝﹣1，m 无解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a＝0，∴a＝，∴y＝x2+bx+1＝（x+）2，把A（m，0）代入得，（m+）2＝0，∴m＝﹣；（2）若四边形AMBE是平行四边形，A，M均在x轴上，则AM∥BE，AM＝BE，∵B在y轴上，当x＝0时，y＝ax2+bx+1＝1，∴B（0，1），∴E的纵坐标为1，把y E＝1代入抛物线y＝（x+）2，∴（x+）2＝1，解得x＝0（舍）或﹣，∴E（﹣，1），∴BE＝|﹣|，∵BC⊥AB，∴∠MBA＝90°，∵∠MBO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠MBO，∴△AOB∽△BOM，∴＝，∴OM＝，∴M（﹣，0），∵AM＝BE，∴|﹣|＝|m+|，∵m＝﹣，∴b＝±2，∴y＝（x﹣1）2或y＝（x+1）2；（3）平移后的抛物线不经过点C，理由如下：∵平移后抛物线的顶点由A变为M，∴平移后的抛物线为y＝（x+）2，∵C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，∴（x+）2＝（x﹣m）2，∴m2＝﹣1，∴m无解，∴平移后的抛物线不经过C点．4．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，ⅰ．如果S△OBP求k的取值范围；ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）i．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，由二次函数的性质可得出答案；ii．P（m，﹣3），证出BP＝PQ，由等腰三角形的性质求出∠BPC＝60°，由直角三角形的性质可求出答案．【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3．（2）i．∵y＝x2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），即点B是原抛物线的顶点，∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），∴抛物线平移了|m|个单位，＝×3|m|＝3，∴S△OPB∵m＞0，∴m＝2，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，∴k≥2；ii．把P（m，n）代入y＝x2﹣3，∴n＝﹣3，∴P（m，﹣3），由题意得，新抛物线的解析式为y＝+n＝﹣3，∴Q（0，m2﹣3），∵B（0，﹣3），∴BQ＝m2，+，PQ2＝，∴BP＝PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝|m|，∵PB＝PQ，PC⊥BQ，∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，∴tan∠BPC＝tan60°＝＝，∴m＝2或m＝﹣2（舍），∴n＝﹣3＝3，∴P点的坐标为（2，3）．5．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，可证得△APD∽△CAO，建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，可证得△APD≌△PEF（AAS），得出：PF＝AD＝，EF＝PD＝，即E（，﹣），再利用待定系数法求得直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，再求得Q（，﹣），即可求得抛物线平移的距离．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；。