(精校版)2017年天津文数高考试题文档版(含答案)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文 科 数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·球的体积公式34π3VR =.其中R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()AB C =（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,4,6} （2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -=（D ）2213y x -= （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a <<（D ）c a b <<（7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==- （C ）111π,324ωϕ==- （D ）17π,324ωϕ== （8）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则的取值范围是 （A ）[2,2]- （B）[2]- （C）[2,- （D）[-第 Ⅱ卷 本卷共12小题，共110分。

绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。

第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

参考公式：?如果事件A，B互斥，那么P( A B)P(A)P(B)．?棱柱的体积公式V Sh．其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．?球的体积公式V 43πR3．其中R表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合A{1，，26}，B{2，4}，C{1，，，234}，则(A B ) C （A）{2} （B）{1，，24} （C）{1，，，246}（D）{1，，，，2346} （2）设x R，则“　2x≥　0”是“x 1 ≤1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D）15 5 5 5数学（天津卷・文史）第1页（共5页）（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1 开始（C ） 2 输入N（D ） 3 x2y2否N能被整除？（5）已知双曲线 1 （a 0 ，b 0 ）的3a2b2是右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAFNNN = N -1是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线3的方程为否N ≤3 ?（A ）x 2y 214 12 是x2y2（B ）输出N1124结束x 2（C ） y213 （第4题图）y2（D ）x213（6）已知奇函数f (x)在R 上是增函数．若af (log 215)，bf (log 2 4.1)，cf (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a bc（B ）ba c （C ）cb a （D ）c a b（7）设函数f (x )2sin(x )，x R ，其中0，π　．若f ( 5π) 2 ，f (11π) 0 ，8 8且f (x)的最小正周期大于2π，则（A ） 2 ，π（B ） 2 ，11π3123 12 （C ）1，11π（D ）1 ，7π324324x 2 ，x 1，x （8）已知函数fx2，x ≥1.设aR ，若关于x 的不等式f (x )≥a在R 上2xx恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2，2] （B ）[ 2 3，2] （C ）[2，2 3 ]（D ）[ 2 3，2 3 ] 数学（天津卷・文史）第2页（共5页）绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前天津市2017年普通高等学校招生考试数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+.棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高.球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}1,2,6A =,{}2,4B =，{}=1,2,4C ，则()C A B = ( ) A .{}2B .{}1,2,34，C .{}1,246，，D .{}1,2,346，， 2.设x R ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A .45B .35C .25D .154.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为 ( )A .0B .1C .2D .35.已知双曲线2222=1(0,)x y a b a b-＞＞0的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,OAF △是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 ( ) A .22=1412x y -B .22=1124x y - C .22=13x y -D .22=13y x -6.已知奇函数()f x 在R上是增函数.若0.8221=(log ),=(log 4.1),=(2)5a fb fc f -,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a b c ＜＜ B .b a c ＜＜ C .c b a ＜＜ D .c a b ＜＜7.设函数()=2s i n ()R f x x x ωϕ+∈,,其中0ωϕπ＞，＜.若5π()=28f ,11π()=08f ,且()f x 的最小正周期大于2π，则毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）( )A .2π=,=312ωϕ B .211π=,=312ωϕ-C .111π=,=324ωϕ-D .17π=,=324ωϕ8.已知函数2,1,2, 1.()=x x x x x f x ++≥⎧⎨⎩＜设a R ∈,若关于x 的不等式在x()a 2f x ≥+上恒成立,则a 的取值范围是( )A .[]2,2-B.⎡⎤-⎣⎦ C.2,⎡-⎣D.⎡-⎣第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知R α∈,i 为虚数单位,若i2iα-+为实数,则a 的值为 .10.已知R α∈,设函数()=ln f x x x α-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .12.设抛物线2=4y x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=,则圆的方程为 .13.若,a b R ∈,0ab ＞,则4441a b ab++的最小值为 .14.在ABC △中,60A ∠=,3AB =,2AC =.若=2BD BC uu u r uu u r ,AE AC ABλ=-uu u r uuu r uu u r(R λ∈),且=4AD AE ⋅-uuu r uu u r，则λ的值为 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知s i n =4s i na Ab B,222)ac a b c --. (I )求cos A 的值；(II )求sin(2)B A -的值.16.(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(I )用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）(II )问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AD PDC ⊥平面,AD BC ∥,PD PB ⊥,=1AD ,3BC =,4CD =,2PD =.(I )求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (II )求证：PD PBC ⊥平面；(III )求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.18.(本小题满分13分)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*n (N )S n ∈,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,114=11S b . (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}2n n a b 的前n 项和*(N )n ∈.19.(本小题满分14分)设,R a b ∈，a 1≤.已知函数32()=63(4)b f x x x a a x ---+,()=()x g x e f x . (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)已知函数=()y g x 和=x y e 的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，(i )求证：()f x 在0=x x 处的导数等于0；(ii )若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立,求b 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题-----------------无---------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）20.(本小题满分14分)已知椭圆()2222=10x y a b a b+＞＞的左焦点为(,0)F c -,右顶点为A ,点E的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为22b .(I )求椭圆的离心率；(II )设点Q 在线段AE 上,3=2FQ c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c . (i )求直线FP 的斜率； (ii )求椭圆的方程.2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1．【答案】B【解析】由题意知{}1,2,4,6A B =，∴(){}1,2,4A B C =.2．【答案】B【解析】由x 11-≤，得0x 2≤≤，∵022x x ≤≤⇒≤，202x x ≤≠≤≤，故“2x 0-≥”是“x 11-≤”的必要而不充分条件，故选B . 3．【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率42105P ==. 4．【答案】C【解析】由程序框图可知，N 的取值依次为19,18,6,2.故输出N的值为2. 5．【答案】D数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）【解析】由OAF △是边长为2的等边三角形可知，2c =，tan 603ba ==又222c ab =+，联立可得1a=，b ，∴双曲线的方程为2213y x -=.6．【答案】C 【解析】由()f x 是奇函数可得，221(log )(log 5)5a f f =-=，∵0.8222l o g 5l o g 4.1l o g 422=＞＞＞，且函数()f x 是增函数，∴c b a ＜＜. 7．【答案】A 【解析】由5π()28f =，11π()08f =，()f x 的最小正周期2πT ＞，可得11π5π3π8844T -==，∴3πT =，∴2π2==3π3ω.再由5π()28f =及πϕ＜得π=12ϕ．8．【答案】A【解析】作出()f x 的图象如图所示，=||2xy a +的图象经过点(0,2)时，可知=2a ±.当2x y a =+的图象与2y x x=+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由=0∆，并结合图象可得2a =.要使()||2xf x a ≥+恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当a ＞0时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤.第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2-【解析】因为i (i)(2i)21(2)i=2i (2i)(2i)5a a a a -----+=++-为实数，所以+2=0a ，即=2a -. 10．【答案】1【解析】因为'1()f x a x=-，所以'(1)1f a =-，又'(1)f a =，所以切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令=0x ，得=1y . 11．【答案】9π2【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a=，得a =，设该正方体外接球的半径为R，则23R ==，得32R =，所以该球的体积为334439ππ()π3322R ==.12．【答案】22(1)(=1x y ++【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为(1,)C a -(0)a ＞则(0,)A a ,又(1,0)F ，所以(1,0)AC =-uu u r ，(1,)AF a =-uu u r ，由题意得AC uuu r 与AF uu u r的夹角为120，得1cos1202==-，解得a，所以圆的方程为22(1)(1x y ++=.13．【答案】4【解析】44334141=a b a b ab b a ab++++，由基本不等式得，33411144a b ab b a ab ab ab ++≥=+≥，当且仅当334a b b a=，14ab ab =同时成立时等号成立.14．【答案】311数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】因为2BD DC =uu u r uuu r，所以2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r，因为AE AC AB λ=-uu u r uuu r uu u r，所以22121212(+)()()333333AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC λλλ⋅=⋅-=-++-⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r ，因为60A ∠=，3AB =，2AC =，1212189λ4(λ)323λλ24333323AD AE ⋅=-⨯+⨯+-⨯⨯⨯=-++-=-uuu r uu u r ，解得3λ=11.三、解答题 15.【答案】(Ⅰ)5- (Ⅱ)5-【解析】(Ⅰ)由sin =4sin a A b B ，及=sin sin a bA B，得2a b =.由222)ac a b c --，及余弦定理，得2225cos =25b c a A bc ac +-==-.(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得sin A ，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==.由(Ⅰ)知，A为钝角，所以cos B .于是4sin 2=2sin cos =5B B B ，23cos 2=12sin =5B B -，故()43sin 2=sin 2cos cos 2sin =(55B A B A B A --⨯--16.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.【解析】(Ⅰ)由已知，x ，y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660620,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(Ⅱ)设总收入人次为z 万，则目标函数为=60+25z x y . 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，即z 最大.解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，，，得点M 的坐标为(6,3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.17．【答案】(Ⅰ)数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）(Ⅱ) 因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD BC ∥，故D A P ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD PDC ⊥平面，所以AD PD ⊥.在Rt PDA △中，由已知，得AP ==，故c o s AD DAP AP ∠==.所以，异面直线AP 与BC.(Ⅱ)因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD PBC ⊥平面，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP∠为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD BC ∥，DF AB ∥，故1BF AD ==，由已知，得2CF BC BF =-=.又AD DC ⊥，故BC D C⊥，在Rt DCF △中，可得DF ==，在Rt DPF △中，可得sin 5PD DFP DF ∠==.所以，直线AB 与平面PBC18．【答案】(Ⅰ)32n a n =-，2n b n =. (Ⅱ)()234216n n T n +=-+.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得()2112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q ＞，解得2q =，所以，2n b n =.由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =.(Ⅱ)设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有()2342102162622nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，()()23412421021626826-22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减，得()231124262626262212(12)4(62)212(34)216n n n n n n T n n n +++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯⨯-=---⨯-=---得()234216n n T n +=-+.所以，数列{}2n n a b 的前n 项和为()234216n n +-+.19．【答案】(Ⅰ)12（2）（ⅰ）34（ⅱ）（1）递增区间为()a -∞，，()4a -+∞，，递减区间为()a 4a -，.（2）（ⅰ）()x f 在0x=x 处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[]7,1-.22x y =11612+ 【解析】(Ⅰ)由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得[]'2()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=---.令'()=0f x ，解得x a =，或4x a =-，由||1a ≤，得4a a -＜.数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）x '()f x ()f x 所以，()f x 的单调递增区间为()a -∞，，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -(Ⅱ)(i )因为'()(()())x g x e f x f x =+，由题意知000'0(),()x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以00000'00()(()())x xx x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得0'0()1()0f x f x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.(ii )因为()x g x e ≤，00[11]x x x ∈-+，，由0x e ＞，可得()1f x ≤.又因为0(x )1f =，'0()0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由(Ⅰ)知0x a =. 另一方面，由于|1|a ≤，故14a a +-＜，由(Ⅰ)知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e ≤在00[1,1]x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以'2()612t x x x =-，令'()0t x=，解得2x =(舍去)，或0x =.因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，因此，()t x 的值域为[7,1]-. 所以，b 的取值范围是[7,1]-.20．【答案】（1）12（2）（ⅰ）34（ⅱ）22x y =11612+【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e .由已知，可得21()22b c a c +=，又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=，又因为01e ＜＜，解得12e =.所以，椭圆的离心率为12.(Ⅱ)(i )依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =-＞，则直线FP 的斜率为1m由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)2m cx m -=+，32c y m =+，即点Q的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知3||2c FQ =，有222(22)33[]+()()222m c c cc m m -+=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34.(ii )由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由(i )得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22233430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ,整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-(舍去)，或x c =. 因此可得点3(c,)2cP ,进而可得5||2cFP ==,所以53||||||22c cPQ FP FQ c =-=-=.由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c cQN FQ QFN =⋅∠=⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 四边形的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c ＞，得2c =.所以，椭圆的方程为2211612x y +=.数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）。

2017年天津文1。

(2017年天津文）设集合A=｛1,2,6}，B={2，4}，C={1,2,3,4｝，则(A∪B)∩C= ( ) A。

｛2｝B。

｛1，2，4} C。

｛1，2，4，6｝ D.{1，2，3，4,6}1。

B 【解析】由题意可得A∪B =｛1，2，4,6｝，所以（A∪B)∩C={1,2，4}．故选B．2。

（2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“｜x－1｜≤1"的（)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:选B由2－x≥0,得x≤2，由|x－1｜≤1，得0≤x≤2。

∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2,故“2－x≥0”是“｜x－1｜≤1"的必要而不充分条件．3。

（2017年天津文)有5支彩笔(除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D. 错误!3. C 【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率P=错误!=错误!．故选C．4. （2017·天津高考）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1C．2 D．3解析:选C第一次循环,24能被3整除，N＝错误!＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；第四次循环，6能被3整除，N＝错误!＝2<3，结束循环,故输出N的值为2。

5。

(2017年天津文)已知双曲线错误!-错误!=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为( )A. 错误!—错误!=1 B。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） （A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示：若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a 的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ．【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．【答案】92π 【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==． （12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-， 半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=- ()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25bc=5=-． （2）根据5cos A =-，解得25sin A =，所以5sin B =，25cos B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()55B A B A =-=⨯--⨯10525--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距， 当25z 取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经 过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =． （1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，5PA =，5cos 5AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PB BC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，25AB =，25DE =，4PE =，25sin 525PD DEP DE ∠===．（18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯① 2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，ABCDP E所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与x y e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()x g x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEF S AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍）代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c c FQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c cQN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y +=．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =， 则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示： 若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成 立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得 232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==．（12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ． 【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-，半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=-()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25ac bc -=55=-． （2）根据5cos 5A =-，解得25sin 5A =，所以5sin 5B =，25cos 5B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()5555B A B A =-=⨯--⨯10525255--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，PAcos AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PBBC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，AB =DE =4PE =，sin PD DEP DE ∠==． （18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯①2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数xy e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()xg x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与xy e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()xg x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤ 在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，ABCDPE2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEFS AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍） 代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c cFQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c c QN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y+=．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh．其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·球的体积公式V=43π3R．其中R表示球的半径．一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A=｛1，2，6｝，B=｛2，4｝，C=｛1，2，3，4｝，则（A B） C=（）A.｛2｝B.｛1，2，4｝C.｛1，2，4，6｝D.｛1，2，3，4，6｝【答案】B【解析】由题意可得A B=｛1，2，4，6｝，所以（A B） C=｛1，2，4｝．选B．2.设x∈R，则“2－x≥0”是“1x－≤1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2－x≥0，可得x≤2，由1x－≤1，可得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为{}02x x ≤≤⊂{}2x x ≤，所以“2－x ≥0”是“1x －≤1”的必要而不充分条件，故选B ．3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率P =410=25.故选C. 4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )(ZZ15)第4题图A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】初始N =19，进入循环后N 的值依次为N =18，N =6，N =2，结束循环，输出N =2，故选C ．5.已知双曲线22x a－22y b =1（a >0，b >0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A.24x －212y =1 B.212x －24y =1 C.23x －2y =1D.2x －23y =1【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩ ，解得2a =1，2b =3，故双曲线方程为2x －23y =1．故选D ． 6.已知奇函数f （x ）在R 上是增函数．若a =－f （21log 5），b =f （2log 4.1），c =f （0.82），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <c B.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b【答案】C【解析】由题意可得a =f （－21log 5）=f (2log 5)，且2log 5>2log 4.1>2，1<0.82<2，所以2log 5>2log 4.1>0.82，结合函数的单调性可得f (2log 5)>f （2log 4.1）> f （0.82），即a >b >c ，即c <b <a .故选C.7.设函数f （x ）=2sin(ωx +ϕ)，x ∈R ，其中ω>0，ϕ<π．若f （5π8）=2，f （11π8）=0，且f （x ）的最小正周期大于2π，则（ ）A.ω=23，ϕ=π12 B.ω=23，ϕ=－π1211 C.ω=13，ϕ=－11π24D.ω=13，ϕ=7π24【答案】A【解析】由题意得125ππ+=2π8211π+=π8k k ωϕωϕ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，其中1k ，2k ∈Z ，所以ω=43（2k －21k ）－23，又T =2πω>2π，所以0<ω<1，所以ω=23，ϕ=21k π+112π，由ϕ<π，得ϕ=π12，故选A ．8.已知函数f （x ）=212 1.x x x x x ⎧+<⎪⎨+⎪⎩，，，≥设a ∈R ，若关于x 的不等式f （x ）≥2x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－C.[－D.[－【答案】A【解析】当a =±x =0时，f （x ）≥2xa +即2≥±，即2≥上式不成立，由此可排除选项B 、C 、D ，故选A ．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年天津高考文科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·球的体积公式34π3V R =.其中R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} （2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 （3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）45（B ）35（C ）25（D ）15（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -= （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << （7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ== （8）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2,2]-（B ）[23,2]-（C ）[2,23]-（D ）[23,23]-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前天津市2017年普通高等学校招生考试数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P AB P A P B =+.棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高. 球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}1,2,6A =,{}2,4B =，{}=1,2,4C ，则()C A B =( ) A .{}2B .{}1,2,34，C .{}1,246，，D .{}1,2,346，， 2.设x R ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A .45 B .35 C .25D .154.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为( )A .0B .1C .2D .35.已知双曲线2222=1(0,)x y a b a b-＞＞0的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,OAF△是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A .22=1412x y - B .22=1124x y - C .22=13x y - D .22=13y x - 6.已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221=(log ),=(log 4.1),=(2)5a fb fc f -,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a b c ＜＜B .b a c ＜＜C .c b a ＜＜D .c a b ＜＜7.设函数()=2sin()R f x x x ωϕ+∈,,其中0ωϕπ＞，＜.若5π()=28f ,11π()=08f ,且()f x 的最小正周期大于2π，则( )A .2π=,=312ωϕ B .211π=,=312ωϕ- C .111π=,=324ωϕ- D .17π=,=324ωϕ8.已知函数2,1,2, 1.()=x x x x x f x ++≥⎧⎨⎩＜设a R ∈,若关于x 的不等式在x()a 2f x ≥+上恒成立,则a的取值范围是( )A .[]2,2-B.⎡⎤-⎣⎦C.2,⎡-⎣D.⎡-⎣毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知R α∈,i 为虚数单位,若i2iα-+为实数,则a 的值为 .10.已知R α∈,设函数()=ln f x x x α-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .12.设抛物线2=4y x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=,则圆的方程为 .13.若,a b R ∈,0ab ＞,则4441a b ab++的最小值为 .14.在ABC △中,60A ∠=,3AB =,2AC =.若=2BD BC uu u r uu u r ,AE AC AB λ=-uu u r uuu r uu u r(R λ∈),且=4AD AE ⋅-uuu r uu u r，则λ的值为 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知s i n =4s i na Ab B,222)ac a b c --.(I )求cos A 的值；(II )求sin(2)B A -的值.16.(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(I )用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；(II )问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AD PDC ⊥平面,AD BC ∥,PD PB ⊥,=1AD ,3BC =,4CD =,2PD =.(I )求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (II )求证：PD PBC ⊥平面；(III )求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）18.(本小题满分13分)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*n (N )S n ∈,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,114=11S b . (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}2n n a b 的前n 项和*(N )n ∈.19.(本小题满分14分)设,R a b ∈，a 1≤.已知函数32()=63(4)b f x x x a a x ---+,()=()xg x e f x .(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)已知函数=()y g x 和=xy e 的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，(i )求证：()f x 在0=x x 处的导数等于0；(ii )若关于x 的不等式()xg x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立,求b 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知椭圆()2222=10x y a b a b+＞＞的左焦点为(,0)F c -,右顶点为A ,点E 的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为22b .(I )求椭圆的离心率； (II )设点Q 在线段AE 上,3=2FQ c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c .(i )求直线FP 的斜率； (ii )求椭圆的方程.2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】B 【解析】由题意知{}1,2,4,6A B =，∴(){}1,2,4A B C =.2．【答案】B 【解析】由x 11-≤，得0x 2≤≤，∵022x x ≤≤⇒≤，202x x ≤≠≤≤，故“2x 0-≥”是“x 11-≤”的必要而不充分条件，故选B .3．【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率42105P ==. -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题-----------------无---------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）4．【答案】C【解析】由程序框图可知，N 的取值依次为19,18,6,2.故输出N 的值为2. 5．【答案】D【解析】由OAF △是边长为2的等边三角形可知，2c =，tan 603ba==又222c a b =+，联立可得1a =，b =2213y x -=.6．【答案】C【解析】由()f x 是奇函数可得，221(log )(log 5)5a f f =-=，∵0.222l o g 5l o g4.1l o g 422=＞＞＞，且函数()f x 是增函数，∴c b a ＜＜. 7．【答案】A【解析】由5π()28f =，11π()08f =，()f x 的最小正周期2πT ＞，可得11π5π3π8844T -==，∴3πT =，∴2π2==3π3ω.再由5π()28f =及πϕ＜得π=12ϕ．8．【答案】A【解析】作出()f x 的图象如图所示，=||2xy a +的图象经过点(0,2)时，可知=2a ±.当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由=0∆，并结合图象可得2a =.要使()||2xf x a ≥+恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当a ＞0时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤.第Ⅱ卷二、填空题9.【答案】2-【解析】因为i (i)(2i)21(2)i=2i (2i)(2i)5a a a a -----+=++-为实数，所以+2=0a ，即=2a -. 10．【答案】1【解析】因为'1()f x a x=-，所以'(1)1f a =-，又'(1)f a =，所以切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令=0x ，得=1y .11．【答案】9π2【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，得a ，设该正方体外接球的半径为R，则23R ==，得32R =，所以该球的体积为334439ππ()π3322R ==. 12．【答案】22(1)(=1x y ++-【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为(1,)C a -(0)a ＞则(0,)A a ,又(1,0)F ，所以(1,0)AC =-uu u r ，(1,)AF a =-uu u r ，由题意得AC uuu r 与AF uu u r的夹角为120，得1cos1202==-，解得a =，所以圆的方程为22(1)(1x y ++=.13．【答案】4【解析】44334141=a b a b ab b a ab++++，由基本不等式得，33411144a b ab b a ab ab ab ++≥=+≥，当且仅当334a b b a=，14ab ab =同时成立时等号成立.14．【答案】311【解析】因为2BD DC =uu u ruuu r，所以2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，因为AE AC AB λ=-uu u ruuu r uu u r，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）所以22121212(+)()()333333AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC λλλ⋅=⋅-=-++-⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r ，因为60A ∠=，3AB =，2AC =，1212189λ4(λ)323λλ24333323AD AE ⋅=-⨯+⨯+-⨯⨯⨯=-++-=-uuu r uu u r ，解得3λ=11.三、解答题15.【答案】(Ⅰ)5-(Ⅱ)5-【解析】(Ⅰ)由sin =4sin a A b B ，及=s i n s i n ab A B，得2a b =.由222)ac a b c --，及余弦定理，得2225cos =25b c a A bc ac +-==-. (Ⅱ)由(Ⅰ)，可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==.由(Ⅰ)知，A为钝角，所以cos B .于是4sin 2=2sin cos =5B B B ，23cos 2=12sin =5B B -，故()43sin 2=sin 2cos cos 2sin =(55B A B A B A --⨯--16.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.【解析】(Ⅰ)由已知，x ，y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660620,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(Ⅱ)设总收入人次为z 万，则目标函数为=60+25z x y .考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，即z 最大.解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，，，得点M 的坐标为(6,3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.17．【答案】(Ⅰ)5(Ⅱ) 因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ)5【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD BC ∥，故D A P ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD PDC ⊥平面，所以AD PD ⊥.在Rt PDA △中，由已知，得数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）AP ==cos AD DAP AP∠==.所以，异面直线AP 与BC. (Ⅱ)因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD PBC ⊥平面，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD BC ∥，DF AB ∥，故1B F A D ==，由已知，得2CF BC BF =-=.又AD DC ⊥，故BC DC ⊥，在Rt DCF △中，可得DF =，在Rt DPF △中，可得sin PD DFP DF ∠=. 所以，直线AB 与平面PBC18．【答案】(Ⅰ)32n a n =-，2n b n =. (Ⅱ)()234216n n T n +=-+.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得()2112b q q+=，而12b=，所以260q q +-=.又因为0q ＞，解得2q =，所以，2n b n =.由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =.(Ⅱ)设数列{}2n n a b 的前n项和为n T ，由262n a n =-，有()2342102162622nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，()()23412421021626826-22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减，得()231124262626262212(12)4(62)212(34)216n n n n n n T n n n +++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯⨯-=---⨯-=---得()234216n n T n +=-+.所以，数列{}2n n a b 的前n 项和为()234216n n +-+.19．【答案】(Ⅰ)12（2）（ⅰ）34（ⅱ）（1）递增区间为()a -∞，，()4a -+∞，，递减区间为()a 4a -，.（2）（ⅰ）()x f 在0x=x 处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[]7,1-.22x y =11612+ 【解析】(Ⅰ)由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得[]'2()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=---.令'()=0f x ，解得x a =，或4x a =-，由||1a ≤，得4a a -＜.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为()a -∞，，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -(Ⅱ)(i )因为'()(()())xg x e f x f x =+，由题意知00'0(),()xx g x e g x e⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以00000'00()(()())x xx x f x e e e f x f x e⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得0'0()1()0f x f x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）(ii )因为()xg x e ≤，00[11]x x x ∈-+，，由0x e ＞，可得()1f x ≤.又因为0(x )1f =，'0()0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由(Ⅰ)知0x a =.另一方面，由于|1|a ≤，故14a a +-＜，由(Ⅰ)知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()xg x e ≤在00[1,1]x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以'2()612t x x x =-，令'()0t x =，解得2x =(舍去)，或0x =.因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，因此，()t x 的值域为[7,1]-. 所以，b 的取值范围是[7,1]-.20．【答案】（1）12（2）（ⅰ）34（ⅱ）22x y =11612+【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e .由已知，可得21()22b c a c +=，又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=，又因为01e ＜＜，解得12e =. 所以，椭圆的离心率为12. (Ⅱ)(i )依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =-＞，则直线FP 的斜率为1m由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c +=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)2m c x m -=+，32c y m =+，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知3||2c FQ =，有222(22)33[]+()()222m c c c c m m -+=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34.(ii )由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由(i )得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22233430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ,整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-(舍去)，或x c =.因此可得点3(c,)2c P ,进而可得5||2cFP ,所以53||||||22c cPQ FP FQ c =-=-=.由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 四边形的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c ＞，得2c =.所以，椭圆的方程为2211612x y +=.。