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简单空间几何体人教版高中数学

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第01讲一简单空间几何体知识图谱-构成空间几何体的基本元素-棱柱、棱锥、棱台的结构特征-圆柱、圆锥、圆台的结构特征- 球的结构特征空间几何体的基本元素及关系平面与空间划分问题棱柱的概念及相关计算棱锥的概念及相关计算棱台的概念及相关计算圆柱的概念及相关计算圆锥的概念及相关计算圆台的概念及相关计算球体的概念球的截面圆的性质球面距离第01讲—简单空间几何体错题回顾构成空间几何体的基本元素知识精讲—・几何体只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体,比如长方体，球体等•二・构成几何体的基本元素：点、线、面1. 几何中的点不考虑大小,一般用大写英文字母去C…来命名；2. 几何中的线不考虑粗细,分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的,—般用—个小写字母6 X /…或用直线上两个点心，起…表示宀直线把平面分成两个部分.3. 几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；4•其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面,通常用一个平行四边形表示,并把它想象成无限延展的；5. 平面一般用希腊字母心力7…来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面° ,平面曲仞或平面；—个平面将空间分成两个部分•三. 用运动的观点理解空间基本图形间的关系在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹, 线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分）,面动成体.四. 从长方体实例看空间几何体的基本元素如图的长方体通常记为ABCD-ABCQ ,它有六个面（即围成长方体的各个矩形），+-条棱（相邻两个面的公共边），八个顶点（棱与棱的公共点）•看长方体的棱：如BBF CCS ,肋w严丄曲，妙丄BC…看长方体的面：平面曲仞平行于平面KBW f平面宓F平行于平面DCC'D'…棱用貝垂直于底面屈仞'棱肋垂直于侧面BCC'B'…五•截面—个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部）’叫做这个几何体的截面,如图三点剖析_•注意事项1 •立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区别的，立体几何里的平面是理想化的，绝对平且无限延展的，它是点的集合•2 •立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分,无形状,无边沿,无厚度,不可度量・3•我们通常画平行四边形表示平面,它表示的是整个平面，没有边沿，一般把这个平行四边形的锐角画成°亍,并将横边的长度画成邻边的两倍•画两个相交平面时，当_个平面的一部分被另一部分遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画，以增加立体感•4•有时根据需要我们也可以用其它平面图形来表示一个平面，如用三角形，圆等•5•在立体几何中,辅助线并不总是虚线,而是根据实际情况,能看到的用实线，被遮住的用虚线，以増强立体感，更好地配合空间想象.6. 我们说两个平面时,通常情况下是指两个不重合的平面.题歸井题模一空间几何体的基本元素及关系例下列图形中不一定是平面图形的是（）A、三角形B、四边相等的四边形C、梯形D、平行四边形例1-2.—个凸多面体的顶点数为20 ,棱数为30,则它的各面多边形的内角和为（）A、2160。

B、5400°例 1.3、下列命题中正确的是（）A 、直线的平移只能形成平面B 、直线绕定直线旋转只能形成柱面C 、直线绕定点旋转可以形成锥面D 、曲线的平移一定形成曲面题模二平面与空间划分问题例 2.1、刃条直线最多将平面分成几个部分?例 2.2、—个平面将空间分成 _______ 部分；两个平面将空间分成 __________ 部分；三个平面 将空间分成 _____ 部分.随练1.1、下列关于平面的说法正确的是（）A 、平行四边形是一个平面 C 、平面是有边界线的 随练1.2、下列各题说法正确的是（）（1 ）点运动的轨迹是线；（2）线运动的轨迹一定是面；B 、平面是有厚薄的D 、平面是无限延展的(3)面运动的轨迹一定是体•随练1.3.—个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6 ,则它的面数为 _______________ 个•棱柱、棱锥、棱台的结构特征知识精讲—・多面体1 •多面体由若干个平面多边形所围成的几何体•围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线•如上面长方体中，有四条对角线恥,血，BD： &D ,又称体对角线, 泗,恥'..称为面对角线.2.多面体的分类按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则这样的多面体就叫做凸多面体•否则就叫做凹多面体.按面数分类：一个多面体至少有四个面•多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等.3 •正多面体定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体；正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种;正多面体的所有棱和所有的二面角都相等；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等•二.棱柱棱柱:由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.1 .平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高• 下图中的棱柱,两个底面分别是面曲仞,AB'C'D',侧面有越理，DCCD' 等四个，侧棱为朋，观© DD ,对角面为面ACC'A\ BDD® ,血为棱柱的高.£2.棱柱的性质棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行,侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等.(1) 按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；(2) 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；(3) 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；4 .棱柱的记法(1) 用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱；(2) 用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱.例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱曲或棱柱等.三.棱锥1 .棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥.它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面;过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高•底面是三角形、四边形、五边形......的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五雌；底面是正多边形,顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥；正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等,称为正棱锥的斜高•3•棱锥的记法用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示•如上图的五棱锥记为棱锥S-曲仞E或棱锥STC .四•棱台1 -棱台棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台■原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高•2.棱台的性质棱台的各侧棱延长后交于一点,即棱台的上下底面平行且对应边成比例；3 .棱台的记法用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示•4 •正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台•正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高•右图为一个正三棱台,记为棱台ABC-ASC ,侧棱朋，BB' , CC'延长后必交于一点.。

卩为上下底面的中心，它们的连线°。

是棱台的高严是棱台的斜局•5.解决正棱锥与正棱台问题时需要注意的性质正棱锥的性质很多，要特别注意的是:(1)平行于底面截面的性质:如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截,那么：①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段.②所得的截面和底面是对应边互相平行的相似正多边形•③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比，即等于截得的棱锥与已知棱锥的高的平方比.(2)有关正棱锥的计算问题,要抓住四个直角三角形和两个角：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形，即下图RNOE , SOC , SHC ,这是解决正棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握•棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的,掌握它的性质,就得从这个特征入手，有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形: 正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的夕卜接圆半径,侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形(梯形OQHE ,00'CJHHOC ) 和两个直角三角形(“左旷,OHC).三点剖析_・注意事项正棱锥的高：顶点到底面的距离•正棱锥的斜高：正棱锥侧面等腰三角形底边上的高.正棱台的高：两底面之间的距离•正棱台的斜高:正棱台侧面等腰梯形的高•二・方法点拨棱柱的性质:①棱柱的侧棱都相等且互相平行；②棱柱的侧面都是平行四边形；③棱柱的两底面及和底面平行的截面是全等多边形•直棱柱的性质:①侧棱与底面垂直;②直棱柱的侧面都是矩形;③每个侧面与底面垂直•正棱柱的性质:①底面是正多边形；②正棱柱的侧面都是全等的矩形;③侧棱与底面垂直;④每个侧面与底面垂直.正棱锥的性质:①正棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形；②底面与平行于底面的截面为相似的多边形;③顶点在地面上的射影是底面的中正棱台的性质:①正棱台的各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形；② 两底面及平行于底面的截面为相似的多边形;③上下底面中心的连线为棱台的一 条咼..题鯛井题模一棱柱的概念及相关计算例 1.1、正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角 线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（A 、20B 、C 、 12D 、例 1.2、—个棱柱是正四棱柱的条件是（）A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形B 、C 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱D 、 例 1.3、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A 、18 对B 、24 对C 、30 对D 、36 对题模二棱锥的概念及相关计算15 10底面是正方形，有两个侧面垂直于 底面底面是菱形，且有一个顶点处的三 条棱两两垂直例 2.1、能保证棱锥是正棱锥的一个条件是()A、底面是正多边形B、各侧棱都相等C、各侧面与底面都是全等的正三角形D、各侧面都是等腰三角形例 2.2、—个正棱锥的侧棱长与底面边长相等,则该棱锥不可能是()A、三棱锥B、四棱锥C、五棱锥D、六棱锥例 2.3、已知正三棱锥S-的高SO=h f斜高,求经过SO的中点且平行于底面的截面WG的面积. 题模三棱台的概念及相关计算例 3.1、下列命题正确的有 _____ .⑴棱柱的侧面都是平行四边形；⑵有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；⑶用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是台；⑷有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台•正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高.随堂练习随练2.1、—个棱柱至少有______________ 个面；面数最少的_个棱锥有________________ 个顶点；顶点最少的一个棱台有______________ 条侧棱.随练2.2、下列命题正确的是（）A由五个平面围成的多面体只能是四_ 塔的仍匕右II rr休刁風A、椚钳：B、棱锥的咼线可能在儿何体之外仅有一组相对的面平行的六面体一有一个面是多边形，其余各面是三定是棱台角形的儿何体是棱锥随练2.3、已知正六棱锥底面边长为4高为九求底面面积、侧棱长和斜高•随练2.4、下列命题不正确的有________________ .⑴底面是矩形的平行六面体是长方体；⑵棱长相等的直四棱柱是正方体；⑶棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；⑷有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥圆柱、圆锥、圆台的结构特征一.圆柱、圆锥和圆台1. 定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的儿何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台.这条旋转轴叫做儿何体的轴，轴的长即为该旋转体的高.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示.2. 性质圆柱、圆锥、圆台的性质：（1）平行于底面的截面图形都是圆；（2）过轴的截面（轴截面）图形分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.三点剖析—・方法点拨圆柱的性质：（1）两个底面和与底面平行的截面是相等的圆；（2）轴截面是全等的矩形；（3）母线相互平行且相等，都等于圆柱的高；（4）两底面圆心连线是圆柱的高.圆锥的性质：（1）底面和与底面平行的截面都是圆：（2）轴截面是全等的等腰三角形；（3）母线长均相等；（4）顶点与底面圆心连线是圆锥的高.圆台的性质：（1）两个底面和与底面平行的截面是圆；（2）轴截面是全等的等腰梯形；（3）母线长均相等；（4）两底面圆心连线是圆台的高.注意圆柱、圆锥展开图在一些题LI中的应用.题模精讲题模一圆柱的概念及相关计算例 1.1、将一个直角三角形以其斜边所在的直线为轴进行旋转，得到的几何体是（）Bs —个圆柱n山两个有公共底面的圆锥组成的组 X 合体例12—个圆柱的母线长为3 ,底面半径为2 ,则此圆柱的轴截面的面积为例"如图1所示,已知封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水（桶的厚度忽略不计）,圆 柱形水桶的底面直径与母线长相等,先将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为5■广壬，则孑与①的大小关系是 （）题模二Hl 锥的概念及相关计算 例 2.1、四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爰好选择了形状不同、内空高度相 等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示,盛满酒后他们约定：先各自饮杯中A 、一个圆锥 C 、一个圆台S] > S 2A 、S] 5 S ；酒的一半•设剩余酒的高度从左到右依次为hl , h2 , h3 , h4 z 则它们的大小关 系正确的是（）D. h2>h4>hi例22—个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆,则此圆锥的底面圆的半径为 _______ !高为 ___________ • 例 2.3、如图所示,0A 是圆锥底面中心0到母线的垂线,0A 绕轴旋转一周所得曲面 将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为（）1乖17?C> h3>h2>h4A> h2>hi>h4B. hi>h2>h3题模三Hl台的概念及相关计算例 3.1、如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为随堂练习随练3.1、如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是汉那么圆柱的体积等于()A 、B 、c、-4s4随练3.2、圆锥轴截面的顶角&满足3 2 '则侧面展开图中中心角a满足()7U 71 A、—<a< —4 3 7U 71 B. —<a< —3 27TC> —<a<7C27i <a<随练3.3、—个圆锥底面周长为4込轴和母线的夹角为,则圆锥轴截面的面积为随练34把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比式1沁母线长l°c九求:圆锥的母线长•随练3.5、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3 ,圆台的侧面积为84TT ,则圆台较小底面的半径为_______________球的结构特征知识精讲一•球与球面1-定义半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的儿何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面.半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径.一般用球心的字母表示一个球.球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离.飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行.3. 球的截面性质球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有,其中『为截面圆的半径，R为球的半径，N为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离.4. 经纬度纬线与纬度：赤道是一个大圆，它是°°纬线，其它纬线是由与赤道面平行的平面截球所得到的小圆，某地的纬度就是经过该点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数.如图：圆。

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新人教版必修二高中数学 1.2 空间几何体的三视图和直观图课件

新人教版必修二高中数学 1.2 空间几何体的三视图和直观图课件


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y
F A M E D
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A
B
O
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N
M
E
O
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C
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B
N
C
~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点. 画直观图时，把它画成对应的 x’轴、y’轴，两轴交于O’，使 ' ' x Oy 45 (或135 ) ，它们确定的平面表示水平平面．
在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直)，但 斜的平行线则会相交，交点称为消点．
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复 杂，又不易度量． 立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图， 这种画法叫斜二测画法． 投影规律 1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变；
3.在太阳光下，平行于地面的 直线在地面上的投影长不变．
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为 X轴，对称轴 MN ' ' X ,Y 所在直线为 Y 轴，两轴交于点 O ．画对应的 轴，两轴相交 ' ' O X ' OY 45 于点 ，使 y
在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影．其 中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的 平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影
人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》

人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》


r1 R R r2
d1
R
O O2 d2
O2 O d2
R R r2
M P1
R O d r O1
R
底面多边形有外接圆的直棱柱 底面多边形有外接圆时， 棱台存在外接球 存在外接球
底面多边形有外接圆时， 棱锥存在外接球
r1=r2=r h h1=h2= 2 h 2 2 2 R =r +( ) 2
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
侧棱相等的三棱锥存在 外接球，球心在高 O1O2上
C A
O'
B
d2=h-R R2=r22+(h-R)2
直三棱柱都有外接球 斜三棱柱无外接球
设底面正方形的中心为 解： P ABCD为正四棱锥 PO' 面ABCD且球心O在线段PO' 上 r BD 2 d OO' 4 R R2 d 2 r 2 R 2 16 8R R 2 2 R 9 4
A D O' B A C D d O' P P
2
空间简单几何体的 外接球问题
空间简单几何体的外接球问题
两条主线：
空间简单几何体的 外接球 柱体的外接球
锥体的外接球 台体的外接球
旋转 体 圆柱
圆锥 圆台
新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计

新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计

简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。

本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。

二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。

情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。

三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。

球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。

四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.2、学生活动：展示长方形外接圆的求法学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。

，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。

（根据球的定义确定球心）【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。

人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_《空间几何体》全章复习与巩固(提高)

人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_《空间几何体》全章复习与巩固(提高)

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习空间几何体结构及其三视图【学习目标】（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【知识网络】【要点梳理】要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图1．多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．2．旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．要点二．空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．3．平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．要点三．空间几何体的表面积和体积1．旋转体的表面积2．几何体的体积公式（1）设棱（圆）柱的底面积为S ，高为h ，则体积V =Sh ；（2）设棱（圆）锥的底面积为S ，高为h ，则体积V =13Sh ； （3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为S '，S ，高为h ，则体积V =13（'S S ）h ；（4）设球半径为R ，则球的体积V =43π3R ． 要点诠释：1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．【典型例题】类型一．空间几何体的结构特征例1．若沿△ABC三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABC（）A．一定是等边三角形B．一定是锐角三角形C．可以是直角三角形D．可以是钝角三角形【思路点拨】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，进而逐一分析△ABC为不同形状时沿△ABC三条边的中位线能否拼成一个三棱锥，最后结合讨论结果，可得答案．【答案】B【解析】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，当△ABC为锐角三角形时，三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，当△ABC为为直角三角形时，在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，同理当△ABC为钝角三角形时，在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，综上可得：△ABC一定是锐角三角形，故选B．【总结升华】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形形状的判断，其中正确理解：三棱锥的展开图中，过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，是解答的关键．举一反三：【变式】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定【思路点拨】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形【答案】B【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为B例2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【思路点拨】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．【答案】D【解析】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．【总结升华】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题．举一反三：【变式】用一个平面去截正面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）A．6个B．7个C．10个D．无数个【思路点拨】根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．【答案】D【解析】∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选D．类型二．空间几何体的三视图例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．举一反三：【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）【答案】A【解析】A中，的三视图：，满足条件；B 中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C 中，的侧视图和俯图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D 中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选A例4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【思路点拨】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为1D AD C ，棱1CD 在左侧面的投影为1BA ，故选B ．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32πB ．π+C ．32πD ．52π+【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．【答案】A【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和． 又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为12π， 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为12222⨯⨯⨯=则该几何体的表面积为32π．故选A ．【变式2】一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可．【答案】B【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为14112 2⨯⨯⨯=由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形23=此棱锥的体积为1232 3⨯⨯=故选B【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为13×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．类型三．几何体的直观图例5．如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8C．2＋3 2 D．2＋2 3【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．【答案】B【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB ＝22，OA ＝1，∴AB ＝3，所以周长为8．故选B【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．举一反三：【变式】对于一个底边在x 轴上的正三角形ABC ，边长AB =2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是________．【思路点拨】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，1''22O C OC ==，作C ＇D ＇⊥x ＇，可得''''24C D C ==．因此其直观图的面积1''''2C D A B =⋅⋅．【解析】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，1''22OC OC ==， 作C ＇D ＇⊥x ＇，则''''24C D C ==．∴其直观图的面积11''''22244C D A B =⋅⋅=⨯=．类型四．空间几何体的表面积与体积例6．有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图），由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起．止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm．【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．举一反三：【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______．【答案】圆半径r=10，面积S=100π，圆锥母线l==例7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3．【思路点拨】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【答案】72，32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，则其表面积为22×(24－6)=72 cm 2，其体积为4×23=32，故答案为：72，32【总结升华】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象力．举一反三：【变式】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A ．πB ．2)π+C ．D ．2)+ 【思路点拨】几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果．【答案】B【解析】由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，∴根据勾股定理知圆锥的高是∴半个圆锥的体积是211623π⨯⨯⨯⨯=， 后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是∴三棱锥的体积是1112632⨯⨯⨯⨯=∴几何体的体积是2)π+=+，故选B ．。