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6.4.3统计与概率问题综合应用必备知识精要梳理离散型随机变量的期望与方差(1)E(X)=x1p1+x2p2+…+x i p i+…+x n p n为X的均值或数学期望.(2)D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(x i-E(X))2·p i+…+(x n-E(X))2·p n叫做随机变量X的方差.(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X).关键能力学案突破热点一离散型随机变量的期望与方差【例1】(2020山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X 和Y的分布列分别为:X5%10%P0.80.2(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η);(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?[注:D(aX+b)=a2D(X)]解题心得期望与方差的一般计算步骤(1)理解离散型随机变量的意义,写出变量X的所有可能取的值;(2)求X取各个值时的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.若变量X服从二项分布等特殊分布时,期望与方差可直接利用公式求解.【对点训练1】(2020四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n ∈N)的函数解析式;(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.热点二统计数据及概率在现实决策问题中的应用【例2】(2020山西太原5月模拟,20)为实现2020年全面建设小康社会,某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取400个,对其尺寸x进行统计后整理的频率分布直方图.根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸x满足:|x-12|≤1为一级品,1<|x-12|≤2为二级品,|x-12|>2为三级品.(1)现根据频率分布直方图中的分组,用分层抽样的方法先从这400个部件中抽取40个,再从所抽取的40个部件中,抽取出所有尺寸x∈[12,15]的部件,再从所有尺寸x∈[12,15]的部件中抽取2件,记ξ为这2个部件中尺寸x∈[14,15]的个数,求ξ的分布列和数学期望;(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,需要进行检验.已知每箱有100个部件,每个部件的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入买家,厂家需向买家每个支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个,结果发现有1个三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家支付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余部件进行一一检验?请说明理由;(3)为加大生产力度,厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为500元/个;二级品的利润为400元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的该部件中一、二、三级品的概率分别是25,12,110.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的利润作为决策依据,则应选购哪种设备?请说明理由.解题心得利用均值和方差进行决策的方法利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策.其中随机变量ξ的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的均值.当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好.需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度.(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.【对点训练2】(2020广东惠州一模,20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:。
高考大题专项(六) 概率与统计1.(2019安徽模拟,19)“学习强国”APP是由中宣部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台,2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况,研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查,将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示:(1)由频率分布表可以认为,这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为这200名党员得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),σ2近似为这200名党员得分的方差,求P(57.4<Z<83.8);(2)以频率估计概率,若从该地区所有党员中随机抽取4人,记抽得这两天在“学习强国”APP上的得分不低于80分的人数为X,求X的分布列与数学期望.参考数据:√5≈2.2,√6≈2.4,√7≈2.6,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 3.2.近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:表1根据以上数据,绘制了如下图所示的散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx 与y=c ·d x(c ,d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,求y 关于x 的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表2.表2已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客,享受7折优惠的概率为16,享受8折优惠的概率为13,享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,估计一名乘客一次乘车的平均费用.参考数据:其中v i=lg y i,v=17∑v=17v i3.(2019广东汕尾模拟,19)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号,很多手机用户加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,运动的积极性明显增强.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有X人,超过1.2万步的有Y人,设ξ=|X-Y|,求ξ的分布列及数学期望.4.(2019广东省六校第一次联考,19)某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准,予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1 000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程R,得到频率分布直方图如下图所示.用样本估计总体,频率估计概率,解决如下问题:(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值;(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得到如下的频数分布表.(同一组数据用该区间的中点值作代表)2018年2月,国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台;交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案:方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩;方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下使用新设备产生的日利润.(日利润=日收入-日维护费用)5.(2019安徽江淮十校联考,21)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n站的概率为P n.(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望;(2)证明:P n+1-P n=-1(P n-P n-1)(1≤n≤98);2(3)求P99、P100的值.参考答案高考大题专项(六) 概率与统计1.解(1)由题意得:μ=65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1=75,σ2=(65-75)2×0.3+(75-75)2×0.5+(85-75)2×0.1+(95-75)2×0.1=30+10+40=80,∵σ=√80=4√5≈8.8,∴P(57.4<Z<83.8)=P(μ-2σ<Z≤μ+σ)=0.6827+0.95452=0.8186.(2)从该地区所有党员中随机抽取1人,抽得的人得分不低于80分的概率为40200=15.由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B4,15,∴P(X=0)=C40(45)4=256625;P (X=1)=C 41×15×(45)3=256625;P (X=2)=C 42×(15)2×(45)2=96625;P (X=3)=C 43×(15)3×45=16625;P (X=4)=C 44×(15)4=1625,所以X 的分布列为所以E (X )=4×15=45.2.解(1)根据散点图判断,y=c ·d x适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.(2)∵y=c ·d x,两边同时取常用对数得lg y=lg(c ·d x)=lg c+lg d ·x ; 设lg y=v ,∴v=lg c+lg d ·x.∵v =4,v =1.54,∑v =17v v 2=140,∴lg v ^=∑v =17v v v v -7vv∑v =17v v2-7v 2=50.12-7×4×1.54140-7×42=0.25,把样本中心点(4,1.54)代入v=lg c+lg d ·x ,得lg v^=0.54,∴v ^=0.54+0.25x ,∴lg v ^=0.54+0.25x ,∴y 关于x 的回归方程式为v^=100.54+0.25v=100.54×(100.25)x=3.47×100.25v.把x=8代入上式,得v^=3.47×102=347, 所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z , 则Z 的取值可能为2,1.8,1.6,1.4,P (Z=2)=0.1;P (Z=1.8)=0.3×12=0.15;P (Z=1.6)=0.6+0.3×13=0.7,P (Z=1.4)=0.3×16=0.05.分布列为所以,一名乘客一次乘车的平均费用为2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元). 3.解(1)根据题意,补充下表,根据表中数据,作出频率分布直方图如下:(2)由题意知,步数多于1.2万步的频率为0.25,所以认定步数多于1.2万步的概率为0.25,所以至少有2人多于1.2万步的概率为P=C32×142×34+C33×143=532,综上所述,至少2人步数多于1.2万步的概率为532.(3)由题知微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为14,超过1.2万步的概率为14,且当X=Y=0或X=Y=1时,ξ=0,P(ξ=0)=12×12+C21×14×14=38,当X=1,Y=0或X=0,Y=1时,ξ=1,P(ξ=1)=C21×14×12+C21×14×12=12,当X=2,Y=0或X=0,Y=2时,ξ=2,P(ξ=2)=14×14+14×14=18,所以ξ的分布列为E (ξ)=1×12+2×18=34.4.解(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为:纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为3×0.2+4×0.5+4.5×0.3=3.95(万元).(2)由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列:若采用方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为30×100+4×900=6600(辆).可得实际充电车辆数的分布列如下表:实际充电辆数 6000 6600概率0.2 0.8于是方案一下新设备产生的日利润均值约为25×(6000×0.2+6600×0.8)-500×100-80×900=40000(元).若采用方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200+4×400=7600(辆);可得实际充电车辆数的分布列如下表:于是方案二下新设备产生的日利润均值约为25×(6000×0.2+7000×0.3+7600×0.5)-500×200-80×400=45500(元).5.解(1)由题意可知,随机变量X 的可能取值有3,4,5,6.P (X=3)=(12)3=18,P (X=4)=C 31·(12)3=38,P (X=5)=C 32·(12)3=38,P (X=6)=(12)3=18.所以,随机变量X 的分布列如下表所示:所以,随机变量X 的数学期望为E (X )=3×18+4×38+5×38+6×18=92.(2)根据题意,棋子要到第(n+1)站,有两种情况,由第n 站跳1站得到,其概率为12P n ,也可以由第(n-1)站跳2站得到,其概率为12P n-1,所以,P n+1=12P n +12P n-1.等式两边同时减去P n 得P n+1-P n =-12P n +12P n-1=-12(P n -P n-1)(1≤n ≤98).(3)由(2)可得P 0=1,P 1=12,P 2=12P 1+12P 0=34.由(2)可知,数列{P n+1-P n }是首项为P 2-P 1=14,公比为-12的等比数列,∴P n+1-P n =14·(-12)v -1=(-12)v +1,∴P 99=P 1+(P 2-P 1)+(P 3-P 2)+…+(P 99-P 98)=12+(-12)2+(-12)3+…+(-12)99 =12+14[-(-12)98]1-(-12)=231-12100,又P 99-P 98=(-12)99=-1299,则P 98=231+1299,由于若跳到第99站时,自动停止游戏,故有P 100=12P 98=131+1299.。
概率与统计高考大题专项(六)概率与统计考情分析一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查.三、考查难度稳定高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.近两年有难度提升的趋势,位置有所后调.典例剖析题型一相关关系的判断及回归分析【例1】近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.x50100150200300400t906545302020(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的概率分布列.(2)令z=ln x ,由散点图判断y=bx+a 与y=bz+a 哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程.(b 的结果保留一位小数)(3)若一年按365天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额L 最大?(年销售额L=365·入住率·收费标准x )参考数据:b=∑i=1nx i y i -n。
