广东省茂名市2018届高三3月联考数学(理)试题附解析

2018届广东省六校第三次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合yxyxM,|),{(=为实数，且}222=+yx，yxyxN,|),{(=为实数，且}2=+yx，则NM I的元素个数为( )A．0 B．1 C．2 D．32.设等差数列{}n a的前n项和为n S，若30953==SS，,则=++987aaa( )A．63 B．45 C．36 D．273.若变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥--≤3412yxyxy，则yxz53+=的取值范围是( )A．[)∞+，3 B．[]3,8- C．(]9,∞- D．[]9,8-4.函数xxxy sin||ln1||ln1⋅+-=的部分图象大致为( )A． B．C. D．5.设函数()()ϕ+=xxf3cos，其中常数ϕ满足0<ϕ<π-.若函数)(')()(xfxfxg+=（其中)('xf是函数)(xf的导数）是偶函数，则ϕ等于( )A．3π- B．π-65C.6π- D．32π-6.执行下面的程序框图，如果输入的kba,,分别为1，2，3，输出的815=M,那么，判断框中应填入的条件为( )A ．k n <B ．k n ≥ C.1+<k n D ．1+≤k n7.已知()()()()()nn ni b i b i b i b i +-+++-++-++-=+-2222122100Λi n ,2≥（为虚数单位），又数列{}n a 满足：当1=n 时，21-=a ；当2≥n ，n a 为()222i b +-的虚部，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n a 2的前n 项和为n S ，则=2018S ( )A ．20182017 B ．20172018 C.20184035 D ．201740338.如图，在同一个平面内，三个单位向量OC OB OA ,,满足条件：OA 与OC 的夹角为α，且7tan =α，OB 与OC 与的夹角为45°.若()R n m OB n OA m OC ∈+=,，则n m +的值为( )A ．3B ．223C.23 D ．22 9.四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为x ，，45，则x 的取值范围是( )A ．()412，B ．()93，C. ()413， D ．()92， 10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的篮球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A ．42种 B ．36种 C.72种 D ．46种11.已知点F 为双曲线()0,1:2222>=-b a by a x E 的右焦点，直线)0(>=k kx y 与E 交于N M ,两点，若NF MF ⊥,设β=∠MNF ,且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈β612，，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[]62,2+ B ．[]13,2+ C. []62,2+ D ．[]13,2+12.已知()()2211,,y x B y x A 、是函数()x x x f ln =与()2xkx g =图象的两个不同的交点，则()21x x f +的取值范围是( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ln 2e e B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e e e 1,2ln 2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， D ．⎪⎭⎫⎝⎛0,2ln 2e e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则()⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3112dx x x f ． 14.已知函数()x b x a x f cos sin -=，若⎪⎭⎫⎝⎛+π=⎪⎭⎫⎝⎛-πx f x f 44，则函数13++=b ax y 恒过定点． 15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．16.若函数()x f 的图象上存在不同的两点()()2211,,,y x B y x A ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数()x f 是“柯西函数”.给出下列函数：①()()30ln <<=x x x f ； ②()()01>+=x xx x f ； ③()822+=x x f ； ④()822-=x x f . 其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足*∈-=N n n S T n n ,22.(Ⅰ)求321,,a a a 的值； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式.18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：份，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望； (ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？19如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是平行四边形，︒=∠==120,1BAD BC AB ，2==PC PB ,F E PA ,,2=分别是PD AD ,的中点.(Ⅰ)证明：平面⊥EFC 平面PBC ； (Ⅱ)求二面角P BC A --的余弦值.20.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，21A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点点()1,2-P 满足121=⋅PA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点N M 、，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 21.已知函数()()221x a e x x f x --=，其中R a ∈. (Ⅰ)函数()x f 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；(Ⅱ)求最大的整数a ，使得对任意()+∞∈∈,0,21x R x ，不等式()()221212x x x f x x f ->--+恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧α=α+=sin cos t y t m x （t 为参数，π<α≤0），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θ=ρcos 4，射线4,44π+ϕ=θ⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ<π-ϕ=θ，4π-ϕ=θ分别与曲线C 交于C B A 、、三点（不包括极点O ）. (Ⅰ)求证：OA OC OB 2=+；(Ⅱ)当12π=ϕ时，若C B 、两点在直线l 上，求m 与α的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()a x a x x f 222-+-+=. (Ⅰ)若()31<f ，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.2018 届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题1-5: BADAA 6-10: CCBCA 11、12：DD 二、填空题13.3ln 14.()31，15. 23224++ 16.① ④ 三、解答题17.解：(Ⅰ)∵12111-==S T S ,111a S ==，∴11=a . ∵422221-==+S T S S ,∴42=a . ∵9233321-==++S T S S S ,∴103=a .(Ⅱ)∵Λ22n S T n n -=①，()21112--=--x S T n n …②，∴①-②得，()2122≥+-=n n a S n n ，∵112211+⨯-=a S ， ∴()1122≥+-=n n a S n n …③，32211+-=--n a S n n …④， ③-④得，()2221≥+=-n a a n n ， )2(221+=+-n n a a .∵321=+a ，∴{}2+n a 是首项3公比2的等比数列，1232-⨯=+n n a ， 故2231-⨯=-n n a .18.解：(Ⅰ)当日需求量16≥n 时，利润80=y ， 当日需求量16<n 时，利润649)16(45-=--=n n n y ，所以y 关于n 的函数解析式为()N n n n n y ∈⎩⎨⎧≥<-=16,8016,649.(Ⅱ)(i)X 可能的取值为62，71，80，并且()()2.071,1.062====X P X P ,()7.080==X P .X 的分布列为：X 62 71 80 P0.10.20.7X 的数学期望为()4.767.0802.0711.062=⨯+⨯+⨯=X E 元.(ii)若小店一天购进17份食品，Y 表示当天的利润（单位：元），那么Y 的分布列为Y58 67 76 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为()26.7754.08516.0762.0671.058=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E 元.由以上的计算结果可以看出，()()Y E X E <,即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进 17 份. 19.解法一：(Ⅰ)取BC 中点G ，连AC AG PG ,,,∵PC PB =,∴BC PG ⊥, ∵ABCD 是平行四边形，1==BC AB ,120=∠BAD ,∴60=∠ABC ,∴ABC ∆是等边三角形，∴BC AG ⊥,∵G PG AG =I ,∴⊥BC 平面PAG ,∴PA BC ⊥. ∵F E ,分别是PD AD , 的中点,∴PA EF //,AG EC //, ∴EF BC ⊥,EC BC ⊥,∵E EC EF =I ,∴⊥BC 平面EFC , ∵⊂BC 平面PBC ,∴平面⊥EFC 平面PBC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC AG BC PG ⊥⊥,, ∴PGA ∠是二面角P BC A --的平面角. ∵2,23,27412===-=PA AG PG , 在PAG ∆中，根据余弦定理得,7212cos 222=⋅-+=∠AG PG PA AG PG PGA ,∴二面角P BC A --的余弦值为721-. 解法二：(Ⅰ)∵ABCD 是平行四边形，1==BC AB ,120=∠BAD ，∴60=∠ADC ,∴ADC ∆是等边三角形，∵E 是AD 的中点， ∴AD CE ⊥,∵BC AD //, ∴BC CE ⊥.分别以CB CE ,的方向为x 轴、y 轴的正方向，C 为坐标原点， 如图建立空间直角坐标系. 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,21,23,0,0,23,0,0,0A E C ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23D ,设()z y x P ,,2==PC PB 4=PA ,解得1,21,23==-=z y x ， ∴可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,23P , ∵F 是PD 的中点，∴⎪⎭⎫⎝⎛21,0,0F ,∵0=•,∴CF CB ⊥,∵BC CE ⊥, C CF CE =I ,∴⊥BC 平面EFC ,∵⊂BC 平面PBC ,∴平面⊥EFC 平面PBC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()0,1,0=CB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,23,设z y x ,,=是平面PBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=•==•021230z y x y ， 令2-=x ，则)3,0,2(--=n ， 又)1,0,0(=m 是平面ABC 的法向量， ∴721,cos -=•<nm ，∴二面角P BC A --的余弦值为721-. 注：直接设点()z F ，，00，或者说⊥CF 平面ABCD ,AD PA ⊥，酌情扣分. 20.解：(Ⅰ)依题意，()0,1a A -、()0,2a A ，()12-，P ， ∴()22151,2)1,2a a a PA -=-⋅--=⋅（, 由121=⋅PA ,0>a ,得2=a ，∵23==a c e ， ∴1,3222=-==c a b c ，故椭圆C 的方程为1422=+y x . (Ⅱ)假设存在满足条件的点()0,t Q .当直线l 与x 轴垂直时， 它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线l 的斜率k 存在，设)2(1:-=+x k y l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+14)2(122y x x k y ，消y 得 ()()01616816412222=+++-+k k x k kx k ，设()()2211,,y x N y x M 、，则22212221411616,41816kkk x x k k k x x ++=++=+， ∵()()()()()()t x t x t x k kx t x k kx tx yt x y k k QN QM -----+---=-+-=+21122122111212 ()()()()()()()2222212121212824284122122t k t k t t k t t x x t x x t k x x kt k x kx +-+-+-=++-+++++-=， ∴要使对任意实数QN QM k k k +,为定值，则只有2=t ，此时，1=+QN QM k k . 故在x 轴上存在点()0,2Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1. 21.解：(Ⅰ)由于ax xe x f x-=)('. 假设函数()x f 的图象与x 轴相切于点()0,t ，则有⎩⎨⎧==0)('0)(t f t f ，即()⎪⎩⎪⎨⎧=-=--0'02'12at te t a e t . 显然0',0>=≠a e t 代入方程()02'12=--t a e t 中得，0222=+-t t . ∵04<-=∆，∴无解．故无论a 取何值，函数()x f 的图象都不能与x 轴相切. (Ⅱ)依题意，()()()()21212121x x x x x x f x x f +-->--+()()()()21212121x x x x f x x x x f -+->+++⇔恒成立.设()x x f x g +=)(，则上式等价于()()2121x x g x x g ->+，要使()()2121x x g x x g ->+ 对任意()+∞∈∈,0,21x R x 恒成立，即使()()x x a e x x g x +--=221在R 上单调递增， ∴01)('≥+-=ax xe x g x在R 上恒成立.则1,01)1('+≤≥+-=e a a e g ，∴0)('≥x g 在R 上成立的必要条件是：1+≤e a . 下面证明：当3=a 时，013≥+-x xe x 恒成立.设()1--=x e x h x，则1)('-=xe x h ，当0<x 时，0)('<x h ，当0>x 时，0)('>x h ，∴0)0()(min ==h x h ，即1,+≥∈∀x e R x x.那么，当0≥x 时，()011213,222≥-=+-≥+-+≥x x x x xe x x xe x x ；当0<x 时，0)13(13,1>+-=+-<xe x x xe e x x x ，∴013≥+-x xe x 恒成立. 因此，a 的最大整数值为 3.22.解：(Ⅰ)证明：依题意，ϕ=cos 4OA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=4cos 4,4cos 4OC OB ，则OA OC OB 2cos 244cos 44cos 4=ϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ϕ+⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=+. (Ⅱ)当12π=ϕ时，C B 、两点的极坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π63232，，，，化直角坐标为()()3331-，，，C B . 经过点C B 、的直线方程为()23--=x y ， 又直线l 经过点()0,m ，倾斜角为α，故32,2π=α=m . 23.解：(Ⅰ)∵()31<f ，∴321<-+a a ， ①当0≤a 时，得32,3)21(-><-+-a a a ，∴032≤<-a ； ②当210<<a 时，得2,3)21(-><-+a a a ，∴210<<a ； ③当21≥a 时，得34,3)21(<<--a a a ，∴3421<≤a . 综上所述，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-3432，. (Ⅱ)∵()a x a x x f 2122-+-+=，根据绝对值的几何意义知，当21ax -=时，()x f 的值最小,∴221≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f ，即2251>-a， 解得56>a 或52-<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,5652,Y .。

广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（）A．(],3-∞B．(],4-∞C．()3,4D．[]3,42．若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．45B．35C．35-D．45-3.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数C.()2f x y -=在R 上为减函数D.()3y f x =-⎡⎤⎣⎦在R 上为增函数4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（）A．1B．2C．1D．15.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC BD ⋅=（）A．2B．3C．6D．126.以()0,b 为圆心，a 为半径的圆与双曲线()2222:10,0a y x C a bb >->=的渐近线相离，则C 的离心率的取值范围是（）A．511,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B．51,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．532⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D．53,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭7.n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对*n N ∀∈都有234n n S a =+，则n S =（）A．223n-⨯B．43n⨯C．143n --⨯D．1223n ---⨯8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．323B．643C．16D．139.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．14B．34C．4πD．14π-10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,0x y x y ⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V ；满足不等式组()2222224,,0x y r x y r r y ⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V .利用祖暅原理，可得1V =（）A．323πB．643πC．32πD．64π11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X 的数学期望是（）A．185B．92C．367D．16312.记函数()sin 2cos f x nx nx =-在区间[]0,π内的零点个数为()*n a n N ∈，则数列{}n a 的前20项的和是（）A．430B．840C．1250D．1660第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.i 是虚数单位，复数z 满足()113i z i +=+，则2z =．14.若实数,x y 满足约束条件1,10,326,,,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y =-的所有取值的集合是．15.以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线及其准线24y x =分别交于点,A B 和,C D ，若AB CD =，则圆O 的方程是．16.若对任意的0>x ，不等式()2221ln 1x m m x -++≥恒成立，则m =．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin 2sin ,23A C b c ==.（1）cos C ；（2）若B ∠的平分线交AC 于点D ，且ABC ∆的面积为4，求BD 的长.18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系.（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ， ay bx =- .()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A A 与平面ABCD 所成的角为30︒，求二面角11A BB D --的余弦值.20.设椭圆()22220:1x y E a a bb =>>+，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为（1）求E 的方程；（2）过E 的左焦点1F 作直线1l 与E 交于,A B 两点，过右焦点2F 作直线2l 与E 交于,C D 两点，且12//l l ，以,,,A B C D 为顶点的四边形的面积83S =，求1l 与2l 的方程.21.已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()()2112g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数).（1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x =++-.（1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5:DDCBC 6-10:BAACC 11、12：DA二、填空题13.514.{}2,1,1,2--15.225x y +=16.0或1-三、解答题17.解:（1）因为sin 2sin A C =，所以2a c =.于是，()2222223272cos 328222c c c a b c C ab c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯.（2）由7cos 8C =可得sin C =设ABC ∆的面积为S，∴113sin 222284S ab C c c ==⋅⋅⋅=，∴24,2c c ==.则4,3a b ==.∵BD 为B ∠的平分线，∴2a CD c AD==，∴2CD AD =.又3CD AD +=.∴21CD AD ==,.在BCD ∆中,由余弦定理可得22274224268BD =+-⨯⨯⨯=，∴BD =.18.解:(（1）由题意可知120,90x y ==，故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+- 50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.901200.86a=-⨯=-，故回归方程为 0.86y x =-.（2）将110x =代入上述方程，得 0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.19.（1）证明:连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D A O .∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =.又O 为BD 的中点，∴1,AO BD A O BD ⊥⊥..∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥.∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解:过点1A 作1A E ⊥平面ABCD ，垂足为E ，由已知可得点E 在AC 上，∴130A AC ∠=︒.设11AB A A ==，则11,22A E AE ==.在菱形ABCD 中，1,60AB AD BAD ==∠=︒，∴AC AO ==∴点E 与点O 重合，则1A O ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -.则11111110,0,,0,,0,,0,,0222222A B B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，.∴()111111110,,,,,0,0,1,0,1,222222A B A B BD B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z = ，则1110m A B m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴110,21022y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即,.y z y =⎧⎪=取1x =，可得(m =为平面11A BB 的一个法向量.同理可得平面1BB D的一个法向量为(n =。

茂名市五大联盟学校三月联考理科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列集合运算正确的是（ ） A ．{}{}{}0,11,0,11,0-=- B ． {}{}010,1∅=，C ．{}{}{}1,11,0,11,1--=- D ．R R ∅=2. 12月18日至20日，中央经济工作会议在北京举行，中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光，在此期间，某电视台记者，随机采访了7名外国投资者，其中有4名投资者会说汉语与本国语，另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访，则这3人都只会使用两种语言交流的概率为（ ） A ．335 B ．435 C ．17 D ．6353. 给出下列命题： ①若2a b a ⋅=，则a b =②x R ∀∈，sin 2cos x x +≤ ③函数1()1f x x=+的图象关于点(0,1)成中心对称； ④若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线必为抛物线的切线其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 4 4. 利用如图所示的程序框图得到的数集中必含有（ ） A ．520 B ．360 C. 241 D ．1345. 函数21sin y x x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ． C.D ．6. 在61)1x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 项的系数为（ ）A ．200B ．180 C. 150 D ．1207. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．． C.．8. 若焦点在y 轴上的椭圆2214y x m -=（0m >）的离心率1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则实数m 的取值范围为（ ） A ．16,+3⎛⎫∞⎪⎝⎭ B ．(3,4) C. 162,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,3) 9. 已知函数()f x 在区间(1,+)-∞上单调，且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列.且5051()()f x f x =，则数列{}n a 的前100项的和为（ ） A ．-200 B ． -100 C. 0 D ．-5010. 已知椭圆和双曲线有共同焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ） A ．3 B ．3C.2 D ．3 11. 德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半(即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到 1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则n 的所有不同值的个数为（ ）A ．4B ． 5 C. 6 D ．7 12. 已知函数21()()2xx f x e a e e aex b =+--+ (其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数)在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．[)0,+∞ C. [),0e - D ．(,)e -∞-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4的小题，每小题5分 13. 已知向量,a b 满足1a -，2b -，12a b ⋅=，则向量,a b 夹角的余弦值为 ． 14. 某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于青年教师人数； （ⅲ）青年教师人数的两倍多于男学生人数若青年教师人数为3，则该宣讲小组总人数为 ．15. 若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2log (2)z x y =+的最大值是 ．16. 已知在三棱锥A BCD -中，AB AD =，BD =BCD 为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知ABC∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin a A c C C b B ++.（1）求B ； （2）若512A π=，2b =，求a 和c . 18.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如下表格：(单位：人)（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关?（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -：的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面内的射影恰好是棱BC 的中点，且2BC CA ==. （1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ； （2）若二面角11B AB C --的余弦值为57-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高.20. 已知右焦点为2(,0)F c 的椭圆22221x y C a b +=：（0a b >>）过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.21. 已知函数()2(1)(1)xf x axe a x =--+ （a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）.（1）若函数()f x 仅有一个极值点，求实数a 的取值范围； （2）证明：当102a <<时，()f x 有两个零点12x x ⋅（12x x <）.且满足1232x x -<+<-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线C .的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM = (O 为极点).设点M 的轨迹为曲线2C .以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程是1x ty t =+⎧⎨=⎩，(t 为参数). （1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于A ，B 两点，求ABM ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≤的解集M ；（2）若a ，b M ∈，证明：22(23)(23)0a a b b +-+-≥.文科数学一、选择题1-5: DBBBA 6-10: CBDBA 11、12：DD 二、填空题13.1414. 12 15. 1 16. 16π 三、解答题17. 解：（1）由已知，根据正弦定理得222a c b +=+，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，故222cos 2a c b B ac +-===. 因为0,B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭２， 所以4B π=.（2）由512A π=， 得sin sin 64A ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭sincoscossin6464ππππ=+=， 由4B π=，得()3C A B ππ=-+=，故由正弦定理得sin 1sin b A a B ===sinsin 2b Cc B ===18.解：（1）由列联表，可知2K 的观测值2()()()()()n ad bc k a b b d a c b d -=++++ 2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=人，偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=人. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得XB 1110,20⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1111()10202E X =⨯=； 11999()10202040D X =⨯⨯=.19.解：（1）取BC 的中点M ，连接1B M ，则由题意知1B M ⊥平面ACB . ∵AC ⊂平面ACB ，∴1B M AC ⊥. 又AC BC ⊥，且1B M BC M =，∴AC ⊥平面11B C CB . ∵AC ⊂平面11ACC A ， ∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .（2）以C 为原点，CA ，CB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设1B M t =，又2CA BC ==,则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,1,0)M ，1(0,,)B t １，1(0,1,)C t -，则1(2,1,)AB t =-，(2,2,0)AB =-，11(0,2,0)BC =-. 设平面1AB B 的法向量为1(,,)n x y z =，∴11120,220,n AB x y tz n AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =，得111,1,n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理，得平面11AB C 的一个法向量为2,0,12t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵二面角11B AB C --的余弦值为57-，∴125cos 7n n ⋅==， 整理得4229960t t +-=，解得23t =，即t =20.解：（1）∵椭圆C 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. ∴221914a b+=，① ∵椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点， ∴2a c =，∴2234b a =，② 由①②得2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意，直线l 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率不为零，∴可设其方程为12x my =+. 联立方程组2214312x y x my ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去x 并整理， 得224(34)12450m y my ++-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，00(,)M x y ， 则122334my y m +=-+.∴0232(34)m y m =-+，02234x m =+，∴244mk m =+. ①当0m =时，0k =； ②当0m ≠时，144k m m=+，∵44448m m m m+=+≥，∴108k <≤，∴1188k -≤≤，且0k ≠. 综合①②，可知直线MA 的斜率k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21.解：（1）()2(1)(1)xxf x ae axe a x '=+--+(1)(22)x x ae a =+-+，由()0f x '=，得1x =-或220()xae a -+=*因为()f x 仅有一个极值点， 所以关于x 的方程()*必无解， ①当0a =时，()*无解，符合题意；②当0a ≠时，由()*，得22xa e a-=， 故由220a a-≤，得01a <≤.故当01a ≤≤时，若1x <-，则()0f x '<，此时()f x 为减函数，若1x >-，则()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以1x =-为()f x 的唯一极值点，综上，可得实数a 的取值范围是[]0,1.（2）由（1），知当102a <<时，1x =-为()f x 的唯一极值点，且是极小值点， 又因为当102a <<时，()22222(1)110a f a a e e ⎛⎫-=---=--+> ⎪⎝⎭， ()10a f e-=-<，()0(1)0f a =-->， 所以当21x -<<-时，()f x 有一个零点1x ，当10x -<<时，()f x 有另一个零点2x ，即12210x x -<<-<<，且()12111(1)(1)0x f x ax e a x =--+=， ()22222(1)(1)0x f x ax e a x =--+=.①所以1231x x -<+<-.下面再证明122x x +<-，即证122x x <--.由210x -<<，得2221x -<--<-，因为当1x <-时，()f x 为减函数，故只需证明()12(2)f x f x >--，也就是证明2(2)0f x --<，因为()222222222222(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x f x a x ea x a x e a x ------=----⋅--=----+，由①式，可得()222222222222(2)(2)x x x x f x a x e ax e a x e x e ----⎡⎤--=---=---⎣⎦.令()2(2)(10)x x g x x exe x --=----<<， 则()2(1)()x x g x x ee --'=+-. 令()2x x h x e e --=-，因为()h x 为区间(1,0)-上的减函数，且(1)0h -=，所以()0h x <，即()2(1)()0x x g x x e e --'=+-<在区间(1,0)-上恒成立，所以()g x 在区间(1,0)-上是减函数，即()(1)0g x g <-=，所以2(2)0f x --<， 即证明122x x +<-成立，综上所述，1232x x -<+<-.22.解：（1）在极坐标系中，设点(,)M ρθ.由2OP OM =，得(2,)P ρθ，代入曲线1C 的方程22(13sin)16ρθ+=并整理， 得22(1+3sin )4ρθ=， 再化为直角坐标方程，得2214x y +=， 即曲线2C 的直角坐标方程为2214x y +=. 直线l 的参数方程1x t y t =+⎧⎨=⎩，(t 为参数)化为普通方程是10x y --=. （2）由直线l 的方程为10x y --=，可知AB =.因为点M 在曲线222+14x C y =：上， 所以设(2cos ,sin )M a a ，a R ∈，则点M 到直线l 的距离d 即为底边AB 上的高，所以h d===，其中1tan2ϕ=，所以max2d==，所以max11()22ABMS AB d∆===，所以ABM∆.23.解：（1）()22,1,4,31,22,3,x xf x xx x+>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩由()4f x≤得31x-≤≤，∴{}31M x x=-≤≤（2）∵a，b M∈，∴31a-≤≤，31b-≤≤，∴212a-≤+≤，212b-≤+≤，∴2(1)4a+≤，2(1)4b+≤，∴2223(1)40a a a+-=+-≤，2223(1)b b b+-=+40-≤，∴22(23)(23)0a ab b+-+-≥.。

广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意可得：，又，，∴,∴故选：D2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴故选：D3.设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A. 在上为减函数B. 在上为增函数C. 在上为减函数D. 在上为增函数【答案】C【解析】A错，比如在上为增函数，但在上不具有单调性；B错，比如在上为增函数，但在上增函数，在上为减函数；D错，比如在上为增函数，但在上为减函数；故选：C4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作.在一次投掷中，已知是奇数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设两枚骰子向上点数分别为X，Y，则符合X+Y为奇数的基本事件为18（见表格），其中符合X+Y=9基本事件为4，根据古典概型知所求概率为故选：B5.如图，正六边形的边长为2，则（）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】，.故选：C6.以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件可得，，∴，即，∴故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.是数列的前项和，且对都有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可知，两式相减，得，整理得由可得，则故选：A8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体是如图所示的四面体ABCD，其体积为故答案为：A点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．9.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】随机数x，y的取值范围分别是共产生n个这样的随机数对.数值i表示这些随机数对中满足关系的个数..故选：C10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件可得，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h，则所得截面,所以，由祖庚原理可得又，所以故选：C11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，第次取出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为故故选：D12.记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（）A. 430B. 840C. 1250D. 1660【答案】A【解析】令，得①或②由①得，令，得，故①共有n个解，由②得，令，得③，令，得④当n为偶数时，③有个解，④有个解，故②有n个解，故当n为奇数时，③有个解，④有个解，故②有n+1个解，故令故故选：A点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.是虚数单位，复数满足，则__________．【答案】5【解析】由题意可得：∴∴故答案为：5点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．14.若实数满足约束条件则的所有取值的集合是__________．【答案】【解析】由约束条件可知，满足条件的点为，所以z可以取得值为故答案为：15.以坐标原点为圆心的圆与抛物线及其准线分别交于点和，若，则圆的方程是__________．【答案】【解析】设，圆O半径为r，则∵，∴A或B的坐标为，∴∴，解得，∴圆O的方程为：故答案为：16.若对任意的，不等式恒成立，则__________．【答案】0或【解析】设，则，由已知可得：对恒成立，令，，则可知：在上单调递减，在上单调递增，若，则，令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，∴∴，即t=1，所以则故答案为：0或三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角所对的边分别为，.（1）；（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由，又，利用余弦定理得到；（2）由可得. 设的面积为，，解得，，再由内角平分线定理得到，在中,由余弦定理可得结果.试题解析：（1）因为，所以.于是，.（2）由可得.设的面积为，∴，∴.则.∵为的平分线，∴，∴.又.∴.在中,由余弦定理可得，∴.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数据表明与之间有较强的线性关系.（1）求关于的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数，.，.【答案】（1）（2）82（3）可以认为【解析】试题分析：(1)由表格得到，进而得到，，从而得到关于的线性回归方程；(2)将代入上述方程，得；（3）列出2×2列联表，求出，从而作出判断.试题解析：（1）由题意可知，故.，故回归方程为.（2）将代入上述方程，得.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.于是可以得到列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，四棱柱的底面为菱形，且.（1）证明：四边形为矩形；（2）若，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由四棱柱性质可知四边形为平行四边形，连接，设，连接.，易证∴平面，∴.∵，∴；(2)过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，证明点与点重合，则平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式计算即可.试题解析：（1）证明:连接，设，连接.∵，∴.又为的中点，∴..∴平面，∴.∵，∴.又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.（2）解:过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，∴.设，则.在菱形中，，∴.∴点与点重合，则平面.以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则.∴.设平面的法向量为，则,∴即取，可得为平面的一个法向量.同理可得平面的一个法向量为。

2018高三数学（理）第三次联考试题（广东省六校附答案）2018届广东省六校第三次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】由题意得圆的圆心到直线的距离为，故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以的元素个数为1．选B． 2. 设等差数列的前项和为，若，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴ ．选A． 3. 若变量满足约束条件，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，由题意得点A的坐标为（3,0），∴ ．当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，由，解得，故点B的坐标为，∴ ．综上可得，故的取值范围是．选D． 4. 函数的部分图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，由得，则函数的定义域为．∵ ，∴函数为奇函数，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．选A． 5. 设函数，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得，∵函数为偶函数，∴ ．又，∴ ．选A． 6. 执行下面的程序框图，如果输入的分别为1，2，3，输出的 ,那么，判断框中应填入的条件为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依次执行程序框图中的程序，可得：① ，满足条件，继续运行；② ，满足条件，继续运行；③ ，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填，即．选C． 7. 已知（，为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部．若数列的前项和为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得，∴当时，，又，故当时，，∴当时，．∴ ．选C． 8. 如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为( ) A. 3 B. C.D. 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由知为锐角，且，故，．∴点B,C的坐标为，∴ ．又，∴ ，∴ ，解得，∴ ．选B． 9. 四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥 (如图所示)，其中．设长方体的三条棱长分别为，则有．（1）由② ③得，又，∴，解得．（2）由② ③得，又，∴ ，解得．综上可得．故的取值范围是．选C．点睛：由于长方体的特殊性，因此解题时构造长方体中的四面体是解答本题的关键，借助几何模型使得解题过程顺利完成，这也是解答立体几何问题的常用方法． 10. 从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A. 42种 B. 36种 C. 72种 D. 46种【答案】A 【解析】分以下几种情况：①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有种不同的方法，故不同的放法有种．②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为种；取球后将两球放在袋子中的方法数有种，所以不同的放法有种．综上可得不同的放法有42种．选A． 11. 已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故．在中，，由双曲线的定义可得，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 12. 已知是函数与图象的两个不同的交点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得，设，则，∴当时函数单调递减，当时函数单调递增，故．设，则，∴ 在上单调递增，∴ ，∴ ．∴ ，∴ ∵ ，故，且在上单调递减，∴ ，即．由，得，故在上单调递增．∴ ．设，可得函数在上单调递减，∴ ，即，又，∴ ，∴ ，即，∴ ，∴ ．综上可得，即所求范围为．选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，则 __________．【答案】 , 【解析】由定积分的运算性质可得．∵函数是定义在上的奇函数，∴ ．又．∴ ．答案： 14. 已知函数，若，则函数的图象恒过定点___．【答案】【解析】∵ ，∴函数图象的对称轴为，∴ ，即，∴ ．在中，令，则．∴函数的图象恒过定点．答案：15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为__________．【答案】【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥．∵正方体的棱长为2，∴ , ∴ ，∴该几何体的表面积为．答案： 16. 若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：① ；② ；③ ；④ . 其中是“柯西函数”的为___．（填上所有正确答案的序号）【答案】① ④ 【解析】设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．对于①，函数图象上不存在满足题意的点；对于②，函数图象上存在满足题意的点；对于③，函数图象上存在满足题意的点；对于④，函数图象不存在满足题意的点．图① 图② 图③ 图④ 故函数① ④是“柯西函数”．答案：① ④ 点睛：（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分. 17. 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足. (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式. 【答案】(Ⅰ) ，，；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)在中，分别令可得到，然后可得到的值．(Ⅱ)先由得到，再由可得，故可得，因此得到数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）∵ ，，∴ ；∵ ，∴ ；∵ ，∴ ．（Ⅱ）∵ … ① ，∴ …②，∴①-②得，，又也满足上式，∴ …③ ，∴ …④，③-④得，∴ ．又，∴数列是首项为3，公比为的等比数列．∴ ，∴ ．点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是．在应用此结论解题时要注意：若当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示． 18. 某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理. (Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望； (ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 分和两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i) 由题意知的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润的所有可能取值为58，67,76,85，分别求得概率后可得的分布列和期望，比较的大小可得选择的结论．试题解析：（Ⅰ）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以关于的函数解析式为．（Ⅱ）（i）由题意知的所有可能的取值为62，71，80，并且，，．∴ 的分布列为： X 62 71 80 P 0．1 0．2 0．7∴ 元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为 Y 58 67 76 85 P 0．1 0．2 0．16 0．54∴ 的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份． 19. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论．（Ⅱ）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论．试题解析：解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵ ，∴ ，∵ 是平行四边形，，，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，∵ ，∴ 平面，∴ . ∵ 分别是的中点，∴ ∥ ，∥ ，∴ ，，∵ ，∴ 平面，∵ 平面，∴平面平面 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴ 是二面角的平面角. , ，，在中，根据余弦定理得，∴二面角的余弦值为．解法二：（Ⅰ）∵ 是平行四边形，，，∴ ，∴ 是等边三角形，∵ 是的中点，∴ ，∵ ∥ ，∴ . 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，设，由，，可得，，，∴ ，∵ 是的中点，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，，∴ 平面，∵ 平面，∴平面平面 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．设是平面的法向量，由，得，令，则．又是平面的法向量，∴ ，由图形知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为 . 20. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），定值为1. 【解析】试题分析： ....................................... ，根据此式的特点可得当时，为定值．试题解析：（Ⅰ）依题意得、，，∴ ，解得．∵ ，∴ ，∴ ，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在满足条件的点 . 当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. 因此直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设、，则，，∵ ，∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法． 21. 已知函数，其中．（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立．【答案】（1）不能（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）假设函数的图象能与轴相切．设切点为，根据导数的几何意义得到关于的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为 ,设，则问题等价于对任意恒成立，故只需函数在R上单调递增，因此在R上恒成立即可，由可得，即为成立的必要条件，然后再证时，即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）∵ ，∴ ．假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．显然，将代入方程中可得．∵ ，∴方程无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．（Ⅱ）由题意可得原不等式可化为，故不等式在R上恒成立．设，则上式等价于，要使对任意恒成立，只需函数在上单调递增，∴ 在上恒成立．则，解得，∴ 在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴ ，即．则当时，，；当时，，．∴ 恒成立．所以实数的最大整数值为3．点睛：（1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．（2）解答本题的关键是构造函数，将问题转化为函数单调递增的问题处理，然后转化为恒成立，可求得实数a的值．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）. (Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程可得点的极径，即得到，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得与的值．试题解析：（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为， . 所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，． 23. 已知函数. (Ⅰ)若，求实数的取值范围；(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得的最小值为，由可得实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由可得，，①当时，不等式化为，解得，∴ ；② 当时，不等式化为，解得，∴ ；③ 当时，不等式化为，解得，∴ . 综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式恒成立，∴ ，即，解得或．∴ 实数的取值范围是 .。

广东省茂名市2018届高三3月联考数学（理）试题含答案茂名市五大联盟学校三月联考理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合运算正确的是（ ） A ．{}{}{}0,11,0,11,0-=- B ． {}{}010,1∅=，C ．{}{}{}1,11,0,11,1--=- D ．R R ∅=2. 12月18日至20日，中央经济工作会议在北京举行，中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光，在此期间，某电视台记者，随机采访了7名外国投资者，其中有4名投资者会说汉语与本国语，另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访，则这3人都只会使用两种语言交流的概率为（ ） A ．335 B ．435 C ．17 D ．6353. 给出下列命题： ①若2a b a ⋅=，则ab =②x R ∀∈，sin 2cos 5x x +≤③函数1()1f x x=+的图象关于点(0,1)成中心对称； ④若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线必为抛物线的切线其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 4. 利用如图所示的程序框图得到的数集中必含有（ ） A ．520 B ．360 C. 241 D ．1345. 函数21sin y x x x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．6.在61)1x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 项的系数为（ ）A ．200B ．180 C. 150 D ．1207. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．6+23B ．3+6 C.1+23 D ．1+268. 若焦点在y 轴上的椭圆2214y x m -=（0m >）的离心率1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则实数m 的取值范围为（ ） A ．16,+3⎛⎫∞⎪⎝⎭ B ．(3,4) C. 162,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,3) 9. 已知函数()f x 在区间(1,+)-∞上单调，且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列.且5051()()f x f x =，则数列{}n a 的前100项的和为（ ）A ．-200B ． -100 C. 0 D ．-5010. 已知椭圆和双曲线有共同焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ） A ．B ．C.2 D ．3 11. 德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半(即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则n 的所有不同值的个数为（ ）A ．4B ． 5 C. 6 D ．7 12. 已知函数21()()2xx f x e a e e aex b =+--+ (其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数)在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．[)0,+∞ C. [),0e - D ．(,)e -∞-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4的小题，每小题5分 13. 已知向量,a b 满足1a -，2b -，12a b ⋅=，则向量,a b 夹角的余弦值为 ． 14. 某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于青年教师人数； （ⅲ）青年教师人数的两倍多于男学生人数若青年教师人数为3，则该宣讲小组总人数为 ．15. 若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2log (2)z x y =+的最大值是 ．16. 已知在三棱锥A BCD -中，AB AD =BD =底面BCD 为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 2sin sin a A c C a C b B +=+.（1）求B ； （2）若512A π=，2b =，求a 和c . 18.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如下表格：(单位：人)（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -：的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面内的射影恰好是棱BC 的中点，且2BCCA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）若二面角11B AB C --的余弦值为57-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高.20. 已知右焦点为2(,0)F c 的椭圆22221x y C a b +=：（0a b >>）过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围. 21. 已知函数()2(1)(1)x f x axe a x =--+ （a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）.（1）若函数()f x 仅有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当102a <<时，()f x 有两个零点12x x ⋅（12x x <）.且满足1232x x -<+<-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线C .的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM = (O为极点).设点M 的轨迹为曲线2C .以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程是1x ty t =+⎧⎨=⎩，(t 为参数).（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于A ，B 两点，求ABM ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集M；（2）若a ，b M ∈，证明：22(23)(23)0a a b b +-+-≥.文科数学一、选择题1-5: DBBBA 6-10: CBDBA 11、12：DD 二、填空题 13.1414. 12 15. 1 16. 16π 三、解答题17. 解：（1）由已知，根据正弦定理得222ac b +=+，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，故222cos 2a c b B ac +-===. 因为0,B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭２， 所以4B π=.（2）由512A π=， 得sin sin 64A ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭sincoscossin64644ππππ=+=，由4B π=，得()3C A B ππ=-+=，故由正弦定理得sin 1sin b A a B ===+sin sin b C c B ===.18.解：（1）由列联表，可知2K 的观测值2()()()()()n ad bc k a b b d a c b d -=++++ 2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=人，偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=人. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得XB 1110,20⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1111()10202E X =⨯=； 11999()10202040D X =⨯⨯=.19.解：（1）取BC 的中点M ，连接1B M ，则由题意知1B M ⊥平面ACB .∵AC ⊂平面ACB ，∴1B M AC ⊥. 又AC BC ⊥，且1B M BC M =，∴AC ⊥平面11B C CB . ∵AC⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .（2）以C 为原点，CA ，CB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设1B M t =，又2CA BC ==,则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,1,0)M ，1(0,,)B t １，1(0,1,)C t -，则1(2,1,)AB t =-，(2,2,0)AB =-，11(0,2,0)BC =-.设平面1AB B 的法向量为1(,,)n x y z =，∴11120,220,n AB x y tz n AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x=，得111,1,n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理，得平面11AB C 的一个法向量为2,0,12t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵二面角11B AB C --的余弦值为57-，∴125cos 7n n ⋅==， 整理得4229960t t +-=， 解得23t =，即t=20.解：（1）∵椭圆C 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. ∴221914a b+=，① ∵椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点， ∴2a c =，∴2234b a =，②由①②得2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意，直线l 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率不为零， ∴可设其方程为12x my =+. 联立方程组2214312x y x my ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去x 并整理，得224(34)12450my my ++-=.设11(,)E x y ，22(,)F x y ，00(,)M x y ， 则122334my y m +=-+.∴0232(34)m y m =-+，02234x m =+，∴244mk m =+. ①当0m =时，0k=； ②当0m ≠时，144k m m=+，∵44448m m m m+=+≥，∴108k <≤，∴1188k -≤≤，且0k ≠. 综合①②，可知直线MA 的斜率k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 21.解：（1）()2(1)(1)x x f x ae axe a x '=+--+(1)(22)x x ae a =+-+，由()0f x '=，得1x =-或220()x ae a -+=* 因为()f x 仅有一个极值点，所以关于x 的方程()*必无解， ①当0a=时，()*无解，符合题意；②当0a ≠时，由()*，得22x a e a-=， 故由220a a-≤，得01a <≤. 故当01a ≤≤时，若1x <-，则()0f x '<，此时()f x 为减函数，若1x >-，则()0f x '>，此时()f x 为增函数， 所以1x =-为()f x 的唯一极值点，综上，可得实数a 的取值范围是[]0,1.（2）由（1），知当102a <<时，1x =-为()f x 的唯一极值点，且是极小值点， 又因为当102a <<时，()22222(1)110a f a a e e ⎛⎫-=---=--+> ⎪⎝⎭， ()10af e-=-<，()0(1)0f a =-->， 所以当21x -<<-时，()f x 有一个零点1x ，当10x -<<时，()f x 有另一个零点2x ，即12210x x -<<-<<，且()12111(1)(1)0x f x ax e a x =--+=，()22222(1)(1)0x f x ax e a x =--+=.①所以1231x x -<+<-.下面再证明122x x +<-，即证122x x <--.由210x -<<，得2221x -<--<-，因为当1x <-时，()f x 为减函数，故只需证明()12(2)f x f x >--， 也就是证明2(2)0f x --<，因为()222222222222(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x f x a x e a x a x e a x ------=----⋅--=----+，由①式，可得()222222222222(2)(2)x x x x f x a x eax e a x e x e ----⎡⎤--=---=---⎣⎦.令()2(2)(10)x x gx x e xe x --=----<<， 则()2(1)()x x g x x e e --'=+-.令()2x x hx e e --=-，因为()hx 为区间(1,0)-上的减函数，且(1)0h -=，所以()0h x <，即()2(1)()0x x g x x e e --'=+-< 在区间(1,0)-上恒成立， 所以()gx 在区间(1,0)-上是减函数，即()(1)0g x g <-=，所以2(2)0f x --<，即证明122x x +<-成立，综上所述，1232x x -<+<-.22.解：（1）在极坐标系中，设点(,)M ρθ. 由2OP OM =，得(2,)P ρθ， 代入曲线1C 的方程22(13sin )16ρθ+=并整理，得22(1+3sin )4ρθ=，再化为直角坐标方程，得2214x y +=， 即曲线2C 的直角坐标方程为2214x y +=. 直线l 的参数方程1x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)化为普通方程是10x y --=.（2）由直线l 的方程为10x y --=，可知AB =.因为点M 在曲线222+14x C y =：上，所以设(2cos ,sin )M a a ，a R ∈，则点M 到直线l 的距离d 即为底边AB 上的高，所以h d ===，其中1tan 2ϕ=，所以max2d ==，所以max11()22ABMS AB d∆===，所以ABM∆面积的最大值为.23.解：（1）()22,1,4,31,22,3,x xf x xx x+>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩由()4f x≤得31x-≤≤，∴{}31M x x=-≤≤（2）∵a，b M∈，∴31a-≤≤，31b-≤≤，∴212a-≤+≤，212b-≤+≤，∴2(1)4a+≤，2(1)4b+≤，∴2223(1)40a a a+-=+-≤，2223(1)b b b+-=+40-≤，∴22(23)(23)0a ab b+-+-≥.。

绝密★启用前 试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（理科）本试题卷分选择题和非选择题，共6页，23小题, 全卷满分150分,考试时时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5．考试结束后，请将答题卡上交.第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}2230A x x x =--<，B ={−1, 0, 1,2}，则A ∩B = （ ）A. {−1, 0, 1,2}B. {x |−1＜x ＜3}C.{0,1, 2}D. {−1, 0, 1} 2．已知复数z 满足(z-i)i=2+i,i 是虚数单位,则|z|=( )A.B.C.D. 33．已知变量,x y 满足约束条件24 1y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A. 12B. 11C. 3D. －１4. 设()X ~1,1N ,其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个 点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注:若X~()2,Nμσ，则(X)68.26%Pμσμσ-<<+=, (2X2)95.44%Pμσμσ-<<+=） A.. 7539 B. 6038C. 7028D.65875七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯.A. 24B. 48C. 12D.606．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A. 丙被录用了B. 乙被录用了C. 甲被录用了D. 无法确定谁被录用了7．函数||e()xf x=的部分图像大致为（）8．执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是( )A.12B. -1C. 2018D. 29．设P是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>上的点，12,F F是其焦点，且12PF PF⊥，若12PF F∆的面积是1, 且3a b+=，则双曲线的离心率为（）A.. 2 C.3210．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2sin()126A π-=，且2a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）．A.11． 三棱锥的三视图如图所示 ，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A. B.C. D.12.定义在R 上的奇函数()f x 满足条件()()x f x f -=+11，当[]01x ∈，时，()x x f =，若函数()()xaex f x g --=在区间[]20182018-，上有4032个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1,0B. ()3,e e C. ()2,e e D. ()3,1e第二部分 非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分（第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

广东省茂名市高州第三中学2018-2019学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（）A．B．C．D．参考答案：B2.参考答案：C3. 已知，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也非必要条件参考答案：A4. 实数(为实数)的共轭复数为A. 1B. －5C. －1D. －i参考答案：C5. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025参考答案：A【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，，，，，每项含有的项数为：1，2，3，，k，总共的项数为，当时，，故该数列的前50项和为．故选：A．【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．6. 某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为A. B. C. D.以上全错参考答案：B试题分析：设正三角形的边长为，圆的半径为，则正三角形的面积为，由正弦定理得得，圆的面积，有几何概型的概率计算公式得概率，故答案为B.考点：几何概型的概率计算.7. 已知集合，则B中所含元素的个数为（）（A）3 （B）6 (C) 8 （D）10参考答案：D略8. 在区间[3，5]上有零点的函数是A． B．C． D．参考答案：A9. 设A，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则是的A．充分且必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分且非必要条件参考答案：B10. 等差数列的前m项的和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是A．130 B．170 C．210 D．260参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面向量满足，，则向量与的夹角为参考答案：【知识点】平面向量的数量积的运算；向量的夹角；向量的模解析：，，又，，所以，所以向量与的夹角为，故答案为。