动态规划(理论部分)汇编

动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。

他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。

显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。

每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。

下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。

每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。

一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。

经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。

下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。

这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。

对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。

这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。

二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。

[理学]第七章动态规划精品合集第七章动态规划规划问题的最终⽬的就是确定各决策变量的取值，以使⽬标函数达到极⼤或极⼩。

在线性规划和⾮线性规划中，决策变量都是以集合的形式被⼀次性处理的；然⽽，有时我们也会⾯对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。

所谓多阶段决策问题是指这样⼀类活动过程：它可以分解为若⼲个互相联系的阶段，在每⼀阶段分别对应着⼀组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进⾏⼀次决策的决策问题。

将各个阶段的决策综合起来构成⼀个决策序列，称为⼀个策略。

显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有⼀系列不同的策略。

当过程采取某个具体策略时，相应可以得到⼀个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。

多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取⼀个最优的策略，以便得到最佳的效果。

动态规划（dynamic programming）同前⾯介绍过的各种优化⽅法不同，它不是⼀种算法，⽽是考察问题的⼀种途径。

动态规划是⼀种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和⾮线性规划）。

当然，由于动态规划不是⼀种特定的算法，因⽽它不象线性规划那样有⼀个标准的数学表达式和明确定义的⼀组规则，动态规划必须对具体问题进⾏具体的分析处理。

在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”⼆字也由此⽽得名。

动态规划的主要创始⼈是美国数学家贝尔曼（Bellman）。

20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究⼯作的贝尔曼⾸先提出了动态规划的概念。

1957年贝尔曼发表了数篇研究论⽂，并出版了他的第⼀部着作《动态规划》。

该着作成为了当时唯⼀的进⼀步研究和应⽤动态规划的理论源泉。

1961年贝尔曼出版了他的第⼆部着作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部着作。

在贝尔曼及其助⼿们致⼒于发展和推⼴这⼀技术的同时，其他⼀些学者也对动态规划的发展做出了重⼤的贡献，其中最值得⼀提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。

动态规划理论一．动态规划的逆向思维法动态规划是一种思维方法，没有统一的、具体的模式。

动态规划可以从多方面去考察，不同的方面对动态规划有不同的表述。

我们不打算强加一种统一的表述，而是从多个角度对动态规划的思维方法进行讨论，希望大家在思维具体问题时，也能够从多个角度展开，这样收获会更大。

逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始状态或边界状态的思维方法。

如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的问题，很自然就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。

你也许会想，这种将大问题分解成小问题的思维不就是分治法吗?动态规划是不是分而治之呢?其实，虽然我们在运用动态规划的逆向思维法和分治法分析问题时，都使用了这种将问题实例归纳为更小的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优值的思路，但动态规划不是分治法：关键在于分解出来的各个子问题的性质不同。

分治法要求各个子问题是独立的(即不包含公共的子问题)，因此一旦递归地求出各个子问题的解后，便可自下而上地将子问题的解合并成原问题的解。

如果各子问题是不独立的，那么分治法就要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题。

动态规划与分治法的不同之处在于动态规划允许这些子问题不独立(即各子问题可包含公共的子问题)，它对每个子问题只解一次，并将结果保存起来，避免每次碰到时都要重复计算。

这就是动态规划高效的一个原因。

动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以下三个步骤：(1)分析最优值的结构，刻画其结构特征；(2)递归地定义最优值；0(3)按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优值。

【例题1】背包问题描述：有一个负重能力为m的背包和n种物品，第i种物品的价值为v，重量为w。

在不超过背包负重能力的前提下选择若干个物品装入背包，使这些的物品的价值之和最大。

每种物品可以不选，也可以选择多个。

假设每种物品都有足够的数量。

分析：从算法的角度看，解决背包问题一种最简单的方法是枚举所有可能的物品的组合方案并计算这个组合方案的价值之和，从中找出价值之和最大的方案。

100个动规方程 1. 资源问题1-----机器分配问题 F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k]) 2. 资源问题2------01背包问题 F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]); 3. 线性动态规划1-----朴素最长非降子序列 F:=max{f[j]+1} 4. 剖分问题1-----石子合并 F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]); 5. 剖分问题2-----多边形剖分 F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a); 6. 剖分问题3------乘积最大 f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]); 7. 资源问题3-----系统可靠性(完全背包) F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]} 8. 贪心的动态规划1-----快餐问题 F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3} 9. 贪心的动态规划2----过河 f=min{{f(i-k)} (not stone) {f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态 10. 剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划 F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j]; 负负 g[I,k]*f[k+1,j]; 正负 g[I,k]*f[k+1,j]; 负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g 为min 11. 树型动态规划1-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型) F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]} 12. 树型动态规划2-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型) F[I,j]表示以i 为根节点选j 门功课得到的最大学分 f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c} 13. 计数问题1-----砝码称重 f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j]; (1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)14. 递推天地1------核电站问题 f[-1]:=1; f[0]:=1; f:=2*f[i-1]-f[i-1-m] 15. 递推天地2------数的划分 f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1]; 16. 最大子矩阵1-----一最大01子矩阵 f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1; ans:=maxvalue(f); 17. 判定性问题1-----能否被4整除 g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j) 18. 判定性问题2-----能否被k 整除 f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n 20. 线型动态规划2-----方块消除游戏 f[i,i-1,0]:=0 f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k), f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]} ans:=f[1,m,0] 21. 线型动态规划3-----最长公共子串，LCS 问题 f[i,j]={0(i=0)&(j=0); f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]); max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]); 22. 最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m) 枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零 23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包) f[j]:=(f[j] or f[j-v]);24. 数字三角形1-----朴素の数字三角形 f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25. 数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill 同一阶段上暴力动态规划if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j] 26. 双向动态规划1数字三角形3 -----小胖办证 f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])27. 数字三角形4-----过河卒 //边界初始化 f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1]; 28. 数字三角形5-----朴素的打砖块 f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]); 29. 数字三角形6-----优化的打砖块 f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]} 30. 线性动态规划3-----打鼹鼠’ f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j]) 31. 树形动态规划3-----贪吃的九头龙 32. 状态压缩动态规划1-----炮兵阵地 Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k]) If (map and plan[k]=0) and ((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0) 33. 递推天地3-----情书抄写员 f:=f[i-1]+k*f[i-2] 34. 递推天地4-----错位排列 f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]); f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2); 35. 递推天地5-----直线分平面最大区域数 f[n]:=f[n-1]+n :=n*(n+1) div 2 + 1; 36. 递推天地6-----折线分平面最大区域数 f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n; 37. 递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数 f[n]:=f[n-1]+2*(n-1) :=sqr(n)-n+2; 38 递推天地8-----凸多边形分三角形方法数 f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n; 对于k 边形 f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3) 39 递推天地9-----Catalan 数列一般形式 1,1,2,5,14,42,132 f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40 递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41 线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42 线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w/w[j]-gold)};if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43 剖分问题5-----最大奖励f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t44 最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题-----明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[ fa]);49 资源问题-----化工场装箱员50 树形动态规划-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);51 树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]); f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);52 递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53 双重动态规划-----有限的基因序列f:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])54 最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55 线性动态规划------日程安排f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)56 递推天地------组合数C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]C[I,0]:=157 树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}58 树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)59 线性动态规划-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)60 背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]61 线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}62 线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}63 线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);64 树形动态规划-----APIO2007 风铃f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])g[l]=g[r]=1 then Halt;65 地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66 地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67 目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]68 目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]69 树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])leaves>=p>=l, 1<=q<=p;70 地图动态规划-----vijos某题F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);71 最大子矩阵问题-----最大字段和问题f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]72 最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j]枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73 括号序列-----线型动态规划f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )74 棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]min{}}75 概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j]f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1f[I,i]=0f[x,j]=176 概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2f[I,i]=1f[I,j]=0(I,j无相同基因)77 线性动态规划-----决斗F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j78 线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]]) 79 线性动态规划-----积木游戏F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’]) 80 树形动态规划（双次记录）----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。