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概率论与数理统计教程_魏宗舒_课后习题解答答案_7-8章

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=0.01。
解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量 ，则 E 未知， D (0.06) 2 ， 假设为 H 0 : 2.64 ，统计量
u
- 0 n 3.33
由于 u1- / 2 u0.995 2.10 | u | ，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 7.7 有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下： 实验号 甲 乙 1 4.3 3.7 2 3.2 4.1 3 8 3.8 4 3.5 3.8 5 3.5 4.6 6 4.8 3.9 7 3.3 2.8 8 3.9 4.4
第七章 假设检验
7.1 设总体 N ( , 2 ) ，其中参数 ， 2 为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复 合假设： （1） H 0 : 0, 1 ； （3） H 0 : 3, 1 ； （5） H 0 : 0 . 解： （1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设 1 , 2 , , 25 取 自 正 态 总 体 N ( ,9) ， 其 中 参 数 未 知 ， x 是 子 样 均 值 ， 如 对 检 验 问 题 （2） H 0 : 0, 1 ； （4） H 0 : 0 3 ；
' 2 : 12 2 故接受假设 H 0 ，于是对于要检验的假设 H 0 : 1 2 取统计量
t
xy (n1 1) s (n2 1) s
*2 1 *2 2
n1n2 (n1 n2 2) 0.99 n1 n2
又 0.01 时， t0.995 (18) 2.878 | t | ，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。 7.10 有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品 直径为（单位：mm） ： 甲 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0 。19.6 ，19.9 乙 19.7 ，20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2 。
H 0 : 1 2
2 ' 2 : 12 2 由于 12 ， 2 未知，要用两子样 t 检验来检验假设 H 0 ，由 F 检验，统计量为 *2 *2 F s1 s2 26.7 2
12.12
4.869 F0.995 (9,9) 6.54 （取显著性水平 0.01）
3
取 =0.10，又由于， t0.95 (7) 1.8946 | t | ，故接受 H 0 7.8 某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为 0.973 根，每台布机的平均断头率 的根方差为 0.162 根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低 20%，在 200 台布机上进行实验，结果平均 每台每小时轻纱断头次数为 0.994 根，根方差为 0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平 0.05。 解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量 ，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为 0.994 及 s*2 n 0.16 ，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验
设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值 的 90%的置信区间 （1） 0.01cm ； （2） 未知 解 （1）由子样函数 U 置信下限
n N (0,1) ， p (| U | u0.95 ) 0.90 ，可求 的置信区间
u0.95 2.121 n u0.95 n 2.129
4
试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为 0.05 。
*2 (0.3207) 2 0.1029 。 解：假定甲产品直径服从 N ( 1 , 12 ) ，由子样观察值计算得 x 20.00 ， sn 1 2 *2 ) ，由子样观察值计算得 y 20.00 ， sn 0.3967 。 乙产品直径服从 N ( 2 , 2 2
* 从正态分布，并计算得 x 30.97 ， y 21.79 ， s* x 26.7 ， s y 12.1 取显著性水平 0.01，问是否可认为两
个品种的产量没有显著性差别？
2 ) ，即要检验 解 甲作物产量 N ( 1 , 12 ) ，乙作物产量 N ( 2 , 2
1 1 ( 1 1 ( 0.95
0 n) 0
0.65 0.50 3) 0.2 1 (0.605) (0.605) 0.7274
7.4 设一个单一观测的 子样取自分布密度函数为 f ( x) 的母体，对 f ( x) 考虑统计假设：
由于 F0.025 (7.6) F F0.975 (7.6) ，所以接受 H 0 ，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。 7.11 随机从一批钉子中抽取 16 枚，测得其长度为（cm） 2.14 2.10 2.15 2.12 2.13 2.14 2.15 2.10 2.13 2.13 2.12 2.11 2.13 2.14 2.10 2.11
2
H 0 : E 0.973 H1 : E 0.973
由于 D 未知，且 n 较大，用 t 检验，统计量为
t
0
s
* n
n
0.994 0.973 200 1.856 0.16
查表知 t 0.95 (199) 1.645 ，故拒绝原假设，不能推广。 7.9 在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为 ( x1 , x2 , , x10 ) ， ( y1 , y2 , , y10 ) ，假设作物产量服
要比较两台机床加工的精度，既要检验
2 H 0 : 12 2
由 F-检验
s F n sn
*2
1
*2
2

0.1029 0.2594 0.3967
0.05 时查表得： F0.975 (7.6) 5.70 ，
F0.025 (7.6) 1 1 0.1953 F0.975 (6.7) 5.12
0
1
要使 2 min ，当 1 4 x 0 时， ( x) 0
2
当 1 4 x 0 时， ( x) 1
1 1 x 1 7 4 所以检验函数应取 ( x) ，此时， 2 2 (1 4 x)dx 。 8 0 0 x 1 4
置信上限
（2）在 未知时，由子样函数 t 为

* sn
n t (n 1) ， p (| t | t0.95 (n 1)) 0.90 可
求得 置信区间
5
置信下限
* t0.95 (15) sn
n
2.1175
置信上限
* t0.95 (15) sn 2.1325 n
* sn
n t (n 1) ，计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信上限
为
* * t0.975 (11) sn t (11) sn 10.2556 ，下限为 0.975 9.9284 n n
*2 11 （米/秒）2，设炮口速度服从正态 7.13 随机取 9 发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计 sn
试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？ 解 此问题可以归结为判断 x1 x2 是否服从正态分布 N (0, 2 ) ， 其中 2 未知， 即要检验假设 H 0 : 0 。 由 t 检验的统计量 t
0
s
* n
n
0.1 0 8 0.389 0.727
1 0 x 1 H 0 : f 0 ( x) 0 其他
2 x 0 x 1 H1 : f1 ( x) 0 其他
试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足 2 min ，并求其最小值。 解 设检验函数为
( x)
1 x c （c 为检验的拒绝域） 0 其他
02
n
) ，此时 n
1
P0 ( c0 ) P0
0 0
n
c0 0
0
所以，
c0 0
0
n 1 ，由此式解出 c0
0
n
1 0
在 H1 成立的条件下， N ( ,
02
n
) ，此时 0 n c0 n n)
9 ) 25
P0 (| 0 | c) P (| 0
3 5c | ) 5 3 5c 2 1 ( ) 0.05 3
(
5c 5c ) 0.975, 1.96 ，所以 c =1.176。 3 3
2 2 ) ， 0 7.3 设子样 1 , 2 , , 25 取自正态总体 N ( , 0 已知，对假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ，取临界域
2 P0 ( x c) 2 P 1(x c )
P0 ( x c) 2[1 P 1 ( x c )] E0 ( x) 2[1 E1 ( x)] ( x)dx 2(1 2 x ( x)dx)
0 0 1 1
2 (1 4 x) ( x)dx
H 0 : 0 , H1 : 0 取检验的拒绝域：c {( x1 , x2 , , x25 ) :| x 0 | c} ，试决定常数 c ，使检验的显著性
水平为 0.05 解：因为 N ( ,9) ，故 N ( , 在 H 0 成立的条件下，
c {( x1 , x2 , , xn ) :| c0 } ，
（1）求此检验犯第一类错误概率为 时，犯第二类错误的概率 ，并讨论它们之间的关系；
2 （2）设 0 =0.05， 0 =0.004， =0.05，n=9，求 =0.65 时不犯第二类错误的概率。

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概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

魏宗舒版《概率论与数理统计教程》课后习题解答

魏宗舒版《概率论与数理统计教程》课后习题解答

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

概率论与数理统计(魏宗舒)答案

概率论与数理统计(魏宗舒)答案

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j ji A A 11)]([=≠=; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为n j i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式： (1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂(6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章

概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章

概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章第七章假设检验7.1 设总体2(,)N ξµσ~，其中参数µ，2σ为未知，试指出下⾯统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）0:0,1H µσ==；（2）0:0,1H µσ=>；（3）0:3,1H µσ<=；（4）0:03H µ<<；（5）0:0H µ=.解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,,,ξξξ取⾃正态总体(,9)N µ，其中参数µ未知，x 是⼦样均值，如对检验问题0010:,:H H µµµµ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c µ=-≥，试决定常数c ，使检验的显著性⽔平为0.05解：因为(,9)N ξµ~，故9(,)25N ξµ~ 在0H 成⽴的条件下，00053(||)(||)53521()0.053cP c P c ξµξµ-≥=-≥??=-Φ=55()0.975,1.9633c cΦ==，所以c =1.176。

7.3 设⼦样1225,,,ξξξ取⾃正态总体2(,)N µσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H µµµµ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>，（1）求此检验犯第⼀类错误概率为α时，犯第⼆类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0µ=0.05，20σ=0.004，α=0.05，n=9，求µ=0.65时不犯第⼆类错误的概率。

解：（1）在0H 成⽴的条件下，200(,)nN σξµ~，此时00000()P c P ξαξ=≥=10，由此式解出010c αµ-=+在1H 成⽴的条件下，20(,)nN σξµ~，此时101010()(P c P αξβξµ-=<=<=Φ=Φ=Φ由此可知，当α增加时，1αµ-减⼩，从⽽β减⼩；反之当α减少时，则β增加。