系统根轨迹校正
- 格式：doc
- 大小：179.50 KB
- 文档页数：26
下载文档原格式
合集下载
控制系统MATLAB仿真2-根轨迹仿真
Gk ( s)
k g ( s 0.5) s( s 1)( s 2)( s 5)
绘制系统的根轨迹，确定当系统稳定时，参数kg 的取值范围。 num=[1 0.5]; den=conv([1 3 2],[1 5 0]); G=tf(num,den); K=0:0.05:200; rlocus(G,K) [K,POLES]= rlocfind(G) figure(2) Kg=95; t=0:0.05:10; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0,t)
Root Locus 8
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -8 x x x
6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6
-8 -8
-6
-4
-2
0 Real Axis
2
4
6
8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
(a) 直接绘制根轨迹
(b) 返回参数间接绘制根轨迹
图1 例1系统根轨迹
二、MATLAB根轨迹分析实例
用户可以通过Control Architecture窗口进行系 统模型的修改，如图9。
图9 rltool工具Control Architecture窗口
也可通过System Data窗口为不同环节导入已 有模型，如图10。
图10 rltool工具System Data窗口
可以通过Compensator Editor的快捷菜单进行 校正环节参数的修改，如增加或删除零极点、 增加超前或滞后校正环节等，如图11。
Step Response 2 1.8 1.6 1.4 1.2
倒立摆根轨迹校正预习报告
倒立摆根轨迹校正预习报告一、倒立摆系统分析根据指导书上给出的倒立摆微分方程及参数得到倒立摆系统传递函数如下：s m s m M mgl bs ml I s mI ml I M mls s F s glb )()())(()()(232422-+-++++=Φ=449.146.1708634.0479.123--+s s s ssm s m M mgl bs ml I s mI ml I M mgls I ml s F s X glb )()())(()()()(2324222-+-++++-+==ss s s s 449.146.1708634.049.1408634.02342--+-79.16713.1)()()(22422-=-+=Φs mgls s I ml ml s s A s )()(s A s Φ根轨迹分析如下图开环极点为4.0966和-4.0966。
可见系统是不稳定的。
在任何增益下，总会有一个极点在虚轴或左半平面，因此系统也都不会稳定。
二、校正环节设计根据设计要求，校正后系统稳定且满足调整时间0.5s s t =（2％的误差）、超调量s<10%的瞬态性能指标。
根据经验公式，)1/(2ςςπ--=e s ，ns t ςω4≈。
由s<10%得0.60ς≥。
同时由0.5s s t =的条件知*8n ωζ=。
考虑用极点对消的方式调整系统。
可消的极点有两个，分别是4.0966和-4.0966，如果消去4.0966，则系统变化为24.0966 1.713*16.79s Ks p s -+-闭环特征多项式为32(1.71316.79)16.797.018s ps K s p K ++---要让系统稳定，必须p>0，而K 又通常大于0，所以系统一定不稳定。
以上推到说明，一旦校正装置和真实系统没有恰好零极点相消，则系统不论如何不能够稳定。
所以为了避免这种风险，我们选择消去-4.0966。
第3章 根轨迹分析法
第2篇实验篇
s− p
1）据控制要求换算根轨迹设计指标 2) 画初始根轨迹并分析 3）设计校正零极点使通过主导极点 4）确定K值 5）做控制系统阶跃响应核定结果
第2篇实验篇
1）据控制要求换算根轨迹设计Fra bibliotek标 因为t s ≈ 即
4
ζω n
≤4
，所以 ζω n ≥ 1
ζω n ≥ 1
−
ζπ
1−ζ 2
因为σ p = e
课内练习（记录于实验记录本）
1.已知一单位反馈系统的开环传递函数为
s−z 试加入一个串联超前校正控制 k s − p
16 s (s + 0 .8 )
（其
中， |z|<|p|），使得闭环系统的ts(△＝2 ％)≤4s,超调量≤40％。
返回 返回
第2篇实验篇
课外作业（上交截至12月12日周日）
对下图的控制系统，设计最佳的校正 s−z 控制器 k s − p 使得闭环系统的静态特
课内练习（记录实验记录本）
P67
2.3.3 1、3 2.3.4 1
返回 返回
第2篇实验篇
串联超前的根轨迹校正
设计方法
课内练习
返回 返回
第2篇实验篇
设计步骤：
1). 据给定性能指标标出期望主导极点 2). 绘原系统的根轨迹 3). 据改造根轨迹的差距确定校正环节结 构 4). 确定校正环节的参数（零极点） 5). 绘校正后系统的根轨迹并校核主导极 点 是符合要求 6). 若不满意重新设计，返回步骤3)
第2篇实验篇
第3章 根轨迹分析法
第2篇实验篇
主要内容
根轨迹的绘制 根轨迹的分析 基于根轨迹法的串联校正设计 课外作业
(自动控制原理)第四章根轨迹(06改)
j j 1
i 1 n
A( )e
j ( )
1 Kg
满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件为：
由于Wk ( s )是复数，上式可写成：Wk ( s ) | Wk ( s ) A( )e j ( ) 1 | 或 A( )
| ( s z ) | li 1 | (s p j ) |
N z N p 1 2 ( 0,1,2,)
由此，满足幅值条件：
i j N z N p 180 (1 2 )
i 1 j 1
m
n
[例]： 已知系统开环零极点的分布如图示，判断z 2 和p2 之间的实轴是否存在根轨迹？
p4
p3
例题 4-1 已知开环系统的传递函数为：
K k (1s 1) Wk ( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
求s=s0 时的放大系数K g 0。
解：改写传递函数为 K g ( s z1 ) K k 1 ( s 1 1 ) Wk ( s) T1T2 s( s 1 T1 )(s 1 T2 ) s( s p1 )(s p2 ) K k 1 K k p1 p2 Kg —— 根轨迹放大系数 T1T2 z1 K g z1 Kk —— 开环放大系数 p1 p2 可将系统的三个极点和一个有限零点画在复平面上如图：
1) 在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环有限 值零
点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“ ” 表
示根轨迹上的点。
2）在绘制根轨迹时，令S平面横轴和纵轴比例尺相同。
g 3）绘制根轨迹的依据是幅角条件。
k
4）利用幅值条件计算
的值。
i 1 n
A( )e
j ( )
1 Kg
满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件为：
由于Wk ( s )是复数，上式可写成：Wk ( s ) | Wk ( s ) A( )e j ( ) 1 | 或 A( )
| ( s z ) | li 1 | (s p j ) |
N z N p 1 2 ( 0,1,2,)
由此，满足幅值条件：
i j N z N p 180 (1 2 )
i 1 j 1
m
n
[例]： 已知系统开环零极点的分布如图示，判断z 2 和p2 之间的实轴是否存在根轨迹？
p4
p3
例题 4-1 已知开环系统的传递函数为：
K k (1s 1) Wk ( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
求s=s0 时的放大系数K g 0。
解：改写传递函数为 K g ( s z1 ) K k 1 ( s 1 1 ) Wk ( s) T1T2 s( s 1 T1 )(s 1 T2 ) s( s p1 )(s p2 ) K k 1 K k p1 p2 Kg —— 根轨迹放大系数 T1T2 z1 K g z1 Kk —— 开环放大系数 p1 p2 可将系统的三个极点和一个有限零点画在复平面上如图：
1) 在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环有限 值零
点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“ ” 表
示根轨迹上的点。
2）在绘制根轨迹时，令S平面横轴和纵轴比例尺相同。
g 3）绘制根轨迹的依据是幅角条件。
k
4）利用幅值条件计算
的值。
系统的校正方法
·196· 第6章 线性系统的校正方法重点与难点 一、基本概念 1. 理想的频率特性系统开环频率特性与系统时域指标之间有一定的关系。
对于二阶系统而言，相位裕量γ、截止频率c ω与时域指标（超调量σ%、调节时间s t ）有确定性关系。
对高阶系统而言，γ，c ω都可以粗略估计高阶系统的响应特性。
相位裕量越大，系统阶跃响应的超调量σ%和调节时间s t 就越小；c ω也近似与s t 成反比关系。
因此，理想的频率特性应该有较大的相位裕量；希望响应快的系统就应该有大一点的c ω。
闭环系统（单位反馈）的频率特性有如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>>=<<≤= )( |)(20lg )( )1( )1|(| ||)(通常称为高频段通常称为低频段当有积分环节时c c j |G a a a A ωωωωωω (6.1) 式中)(ωj G 为开环频率特性。
因此，若希望系统有较强的抗高频干扰能力，c ω应该小，而且|)(|lg 20ωj G 要衰减快。
如果频率特性用渐近线方法描述，理想的频率特性应该在c ω处以－20dB/dec 斜率穿越0dB 线，才能获得较大的相位裕量。
综合上所述，理想的频率特性应有积分环节且开环增益大，以满足稳态误差的要求；在截止频率c ω的频域（通常称为中频段），应以－20dB/dec 的斜率穿越0dB 线，并占有足够宽的频带，以保证系统具备较大的相位裕量；在c ωω>>的高频段，频率特性应该尽快衰减，以消减噪声影响。
2. 系统的校正当系统频率特性不满足理想的频率特性指标（通常的指标体系为：闭环谐振峰值r M 、谐振频率r ω、带宽频率b ω或开环频率特性的相位裕量γ、截止频率c ω、开环增益K 、幅值裕量g H 等）时，需要引入校正网络，使新系统的频率特性满足要求。
设计校正网络参数通常用频率校正方法。
当希望系统的闭环极点达到要求时，需要加入某一校正网络以改变闭环极点。
根轨迹的确定
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
基本要求
1.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方
程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点 的根轨迹增益和开环增益。 2.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般 了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈 系统根轨迹增益从零变化到正无穷时的闭环 根轨迹。 3.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
( 2k 1) a nm
m 1 1 i 1 d pi j 1 d z j
ReD( jw ) ImD( jw ) 0
n m (s p ) (s z ) (2k 1)π i j i1 j1
例 某单位反馈系统的开环传递函数为
K * ( s 2) G( s ) s( s 1)
K 2K * v 1
§4.2
绘制根轨迹的基本法则
例 系统结构图如图所示。 （1）绘制当K*= 0→∞时系统的根轨迹； （2）当Re[l1] = -1 时，l3?
§4.2
绘制根轨迹的基本法则
a
p z
i 1 i j 1
n
m
i
② 渐近线：
nm
20 1 20
a
( 2k 1) 90 nm
§4.2
绘制根轨迹的基本法则
K* ，绘制根轨迹。 例 单位反馈系统的开环传递函数为 G( s ) s( s 1)(s 2) K* 解. G ( s ) s( s 1)(s 2)
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
基本要求
1.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方
程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点 的根轨迹增益和开环增益。 2.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般 了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈 系统根轨迹增益从零变化到正无穷时的闭环 根轨迹。 3.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
( 2k 1) a nm
m 1 1 i 1 d pi j 1 d z j
ReD( jw ) ImD( jw ) 0
n m (s p ) (s z ) (2k 1)π i j i1 j1
例 某单位反馈系统的开环传递函数为
K * ( s 2) G( s ) s( s 1)
K 2K * v 1
§4.2
绘制根轨迹的基本法则
例 系统结构图如图所示。 （1）绘制当K*= 0→∞时系统的根轨迹； （2）当Re[l1] = -1 时，l3?
§4.2
绘制根轨迹的基本法则
a
p z
i 1 i j 1
n
m
i
② 渐近线：
nm
20 1 20
a
( 2k 1) 90 nm
§4.2
绘制根轨迹的基本法则
K* ，绘制根轨迹。 例 单位反馈系统的开环传递函数为 G( s ) s( s 1)(s 2) K* 解. G ( s ) s( s 1)(s 2)
三阶系统的分析与校正
三阶系统的分析与校正引言：在控制系统中，三阶系统是一种常见且重要的系统。
它具有更高的阶数，因此对于控制系统的性能和稳定性有着更高的要求。
因此，对于三阶系统的分析和校正具有一定的复杂性。
本文将围绕三阶系统的分析和校正展开讨论，并介绍常见的校正方法。
一、三阶系统的基本特点和模型表示三阶系统是一个具有三个自由度的系统，可以用如下的传递函数表示：G(s)=K/(s^3+a*s^2+b*s+c)其中，K为传递函数的增益，a、b、c分别为系统的阻尼、震荡频率和系统自然频率。
二、三阶系统的稳定性分析稳定性是控制系统设计和校正的基本要求。
对于三阶系统的稳定性分析可以采用Bode图和Nyquist图等方法。
1. Bode图分析通过绘制传递函数的幅频响应和相频响应曲线，可以得到系统的幅度余弦曲线和相位余弦曲线。
根据Bode图的特点，可以确定系统的稳定性。
2. Nyquist图分析Nyquist图是对传递函数的极坐标表示。
通过绘制传递函数的Nyquist图，可以分析系统的稳定性。
以上两种方法都可以用来评估系统的稳定性。
如果系统的Bode图和Nyquist图图像均在单位圆内，则系统是稳定的。
三、三阶系统的校正方法校正是为了使控制系统具有所需的性能指标，通过调整系统中的参数和控制器等手段实现。
1.PID控制器的设计PID控制器是最常用的控制器之一，具有简单、稳定、易于实现等特点。
PID控制器由比例控制、积分控制和微分控制三部分组成。
通过调整PID控制器中的三个参数，可以实现对三阶系统的控制。
2.根轨迹法根轨迹法是一种经典的校正方法，通过分析系统的根轨迹来设计合适的校正器。
根轨迹是描述系统根位置随参数变化而变化的曲线。
通过调整参数，可以使根轨迹满足设计要求，进而实现对系统的校正。
3.频率响应方法频率响应方法基于传递函数的幅频响应和相频响应特性进行校正。
根据系统的特性，通过调整增益和相位等参数，可以实现对系统的校正。
以上是常见的三阶系统的校正方法，可以根据实际需求选择合适的方法进行校正。
高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 自动控制系统的校正)
第6章 自动控制系统的校正1．在根轨迹校正法中，当系统的动态性能不足时，通常选择什么形式的串联校正网络？网络参数取值与校正效果之间有什么关系？解：（1）可以采用的校正装置的形式如下：单零点校正：，零点－z c在s平面的负实轴上；零极点校正：，零极点均在负实轴上，零点比极点靠近原点（即：超前校正）。
（2）零点越靠近原点、极点越远离原点校正作用越强。
2．试回答下列问题，着重从物理概念说明。
（1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点？在实现校正规律时，它们的作用是否相同？（2）如果Ⅰ系统经过校正之后希望成为Ⅱ型系统，应该采用哪种校正规律才能保证系统的稳定性？（3）串联超前校正为什么可以改善系统的动态性能？（4）从抑制噪声的角度考虑，最好采用哪种校正形式？解：（1）无源校正装置的输出信号的幅值总是小于输入信号的幅值。
即传递过程只能衰减不能放大。
而有源校正装置则可以根据用户要求放大或缩小。
在实现校正规律时，它们的作用是相同的。
（2）为保证加入积分环节后特征方程不出现漏项，一般选择校正装置的形式为（3）适当选取校正装置的参数，可以有效改变开环系统中频段的特性：提高系统的稳定裕量，以减小超调；提高穿越频率，以加快调节速度。
（4）选择滞后校正装置，可以减小系统高频段的幅值，从而削弱高频干扰信号对系统的影响。
3．单位负反馈最小相位系统开环相频特性表达式为（1）求相角裕度为30°时系统的开环传递函数；（2）在不改变截止频率的前提下，试选取参数与T，使系统在加入串联校正环节后，系统的相角裕度提高到60°。
解：（1）系统开环传递函数为整理得解得（2）加入串联校正环节后系统开环传递函数4．设有单位反馈的火炮指挥仪伺服系统，其开环传递函数为若要求系统最大输出速度为12°/s，输出位置的容许误差小于2°，试求：（1）确定满足上述指标的最小K值，计算该K值下系统的相角裕度和幅值裕度；（2）在前向通路中串接超前校正网络计算校正后系统的相角裕度和幅值裕度，说明超前校正对系统动态性能的影响。
线性系统的校正方法《自动控制原理》
(1) 反向端输入的有源调节器
反向端输入有源调节器的电路如下图:
图中:
是输入阻容网络的等效阻抗,
是反馈阻容网络的等效
阻抗, 传递函数为:
用不同的阻容网络构成
﹑
就可得到不同的调节规律. 可见教材
P.233表6-2典型的有源调节器. (2) 同向端输入的有源调节器 同向端输入有源调节器的电路 如右图:
设
产生一个小偏差
, 则
变为
, 其相对增量为:
, 采用位置反馈后, 变化前的传递系数为
变化后的增量
, 其相对增量为:
2. 复合控制 工程实际中的系统往往受各种干扰的影响, 当控制系统对在 干扰影响的动静态性能提出很高要求时, 单纯用反馈控制一般难 以满足要求, 此时可考虑采用复合控制的手段. 下面简要介绍针 对干扰作用下的复合控制的方法和特点.
4
特性法设计系统, 都是通过闭环系统的开环特性进行的, 用对数
5
频率特性法设计系统, 就需通过闭环系统的开环对数频率特性进
6
行设计. 下面还是通过具体例子加以说明.
7
6-3 串联校正
例1 设单位负反馈系统的开环传递函数为:
若要求系统的速度误差系数KV =20, 相角裕量
,幅
值裕量
, 试设计串联超前校正装置.
解: (1)确定系统的开环放大倍数.并画开环对数幅频特性曲线
2.串联超前校正
分析当K=20时, 原系统是否满足动态要求.
由于超前网络的放大倍数为
态误差系数降低, 故需再串接一放大倍数为
由上计算可知, 原系统当K=20时, 闭环虽稳定, 但相角裕量仅为 18度, 将会有较大的超调, 不满足相角裕量大于等于50度的动态 要求, 可采用串联超前网络给以校正. 设计网络参数超前网络的传递函数为:
根轨迹法教程
红河学院自动化系
自动控制原理
3、根轨迹法的分析手段:
利用根轨迹法来分析和设计系统，首 先必须绘制出系统的根轨迹图，而采用求 解方程根的方法来绘制高阶系统的根轨迹 图显然是难以实现的，必须找到一种方便、 有效的作图方法。作图方法的依据就是根 轨迹方程。
红河学院自动化系
自动控制原理
三、根轨迹方程（根轨迹法的理论研究）
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
从而可知根轨迹：
(1)左半平面为稳定极点；右半平面为不稳定极点；虚轴上为临界极点。
(2) 0 K* 0 时，系统有呈过阻尼状态。
(3) 当 K* 1 时，系统呈临界阻尼状态 。 (4) 1 < K* < 时，系统呈欠阻尼状态。
即 G(ห้องสมุดไป่ตู้)H(s)= -1
红河学院自动化系
自动控制原理
即 根轨迹方程
m
K＊ i n
=1(s-zi)= (s-pj)
-1
j =1
满足开环传递函数等于-1 的 s 即为 闭环特征方程式的根。
根轨迹方程又可分解为幅值方程和相 角方程。
红河学院自动化系
自动控制原理
当s 满足相角方程时， 必然能找到一个K＊值，
设系统的结构如图
R(s) - G(s) C(s)
系统闭环传递函数为
H(s)
C(s) R(s)
=1+GG(s()sH) (s)
开环传递函数的
一般表达式为
根轨开迹环增传益递函数零点
m
G(s)H(s)=
K＊ i
=1(s-zi)
n (s-pj)
j =1
闭环特征方程式为 开环传递函数极点
自动控制原理
3、根轨迹法的分析手段:
利用根轨迹法来分析和设计系统，首 先必须绘制出系统的根轨迹图，而采用求 解方程根的方法来绘制高阶系统的根轨迹 图显然是难以实现的，必须找到一种方便、 有效的作图方法。作图方法的依据就是根 轨迹方程。
红河学院自动化系
自动控制原理
三、根轨迹方程（根轨迹法的理论研究）
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
从而可知根轨迹：
(1)左半平面为稳定极点；右半平面为不稳定极点；虚轴上为临界极点。
(2) 0 K* 0 时，系统有呈过阻尼状态。
(3) 当 K* 1 时，系统呈临界阻尼状态 。 (4) 1 < K* < 时，系统呈欠阻尼状态。
即 G(ห้องสมุดไป่ตู้)H(s)= -1
红河学院自动化系
自动控制原理
即 根轨迹方程
m
K＊ i n
=1(s-zi)= (s-pj)
-1
j =1
满足开环传递函数等于-1 的 s 即为 闭环特征方程式的根。
根轨迹方程又可分解为幅值方程和相 角方程。
红河学院自动化系
自动控制原理
当s 满足相角方程时， 必然能找到一个K＊值，
设系统的结构如图
R(s) - G(s) C(s)
系统闭环传递函数为
H(s)
C(s) R(s)
=1+GG(s()sH) (s)
开环传递函数的
一般表达式为
根轨开迹环增传益递函数零点
m
G(s)H(s)=
K＊ i
=1(s-zi)
n (s-pj)
j =1
闭环特征方程式为 开环传递函数极点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 自动控制系统的设计--基于根轨迹的串联校正设计
与频域法相似，利用根轨迹法进行系统的设计也有两种方法：1）常规方法；2）Matlab方法。Matlab的根轨迹方法允许进行可视化设计，具有操作简单、界面直观、交互性好、设计效率高等优点。目前常用的Matlab设计方法有：1）直接编程法；2）Matlab控制工具箱提供的强大的Rltool工具；3）第三方提供的应用程序，如CTRLLAB等。本节在给出根轨迹的设计思路的基础上，将重点介绍第一、二种方法。
6.4.1 超前校正 关于超前校正装置的用途，在频率校正法中已进行了较详细的叙述，在此不再重复。
利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 是否采用超前校正可以按如下方法进行简单判断：若希望的闭环主导极点位于校正前系统根轨迹的左方时，宜用超前校正，即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。 （一）根轨迹超前校正原理 设一个单位反馈系统，G0(s)为系统的不变部分，Gc(s)为待设计的超前校正装置， Kc为附加放大器的增益。绘制G0(s)的根轨迹于图6—19上，设点Sd 为系统希望的闭环极点，则 若为校正后系统根轨迹上的一点，必须满足根轨迹的相角条件，即
∠Gc(Sd)G0(Sd)=∠Gc(Sd)+G0(Sd)=-π 图6-18 于是得超前校正装置提供的超前角为： (6-21) 显然在Sd已知的情况下，这样的Gc(s)是存在的，但它的零点和极点的组合并不唯一，这相当于张开一定角度的剪刀，以Sd为中心在摆动。若确定了Zc和Pc的位置，即确定了校正装置的参数。下面介绍三种用于确定超前校正网络零点和极点的方法。
（二）三种确定超前校正装置参数的方法 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 零极点抵消法 在控制工程实践中，通常把Gc(s)的零点设置在正对希望闭环极点Sd下方的负实轴上，或位于紧靠坐标原点的两个实极点的左方，此法一般可使校正后系统的期望闭环极点成为主导极点。
比值α最大化法 能使超前校正网络零点和极点的比值α为最大的设计方法。按照该法去设计Gc(s)的零点和极点，能使附加放大器的增益尽可能地小。
以图6—19上的点O和Sd，以Sd为顶点，线段O 为边，向左作角γ，角γ的另一边与负实轴的交点Zc=-1/T，点Zc就是所求 的一个零点。再以线段ZcSd为边，向左作角 ∠PcSdZc，该角的另一边与负实轴的交点Pc=-1/αT，点 就是所求Gc(s)的一个极点。根据正弦定理，由图6—18求得:
(6-22) (6-23)
于是有: (6-24) 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 将夹角γ作为自变量，式（6—24）对γ求导，并令其等于零，即dα/dγ=0 由上式解得对应于最大α值时的γ角为
(6-25) 不难看出，当希望的闭环极点Sd被确定后，式（6—25）中的θ和φ均为已知值，因而由上式可求得γ角，然后由式（6－22）和式（6－23）求得相应的零极点。
幅值确定法 设系统的开环传递函数: (6-26) 且令超前校正装置的传递函数： (6-27) 若要求校正后系统的稳态误差系数K(Kp,Kv,Ka)，则由上式可首先确定k：
(6-28) 在开环增益k确定后，根据根轨迹原理，若Sd为校正后的闭环极文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 点，则它除必须满足相角条件外，还应满足幅值条件： (6-29) 上式中，
同样根据平面三角形原理，对于△ZcOSd有： (6-30) 而对于△PcOSd有： (6-31) 由上二式消去sinθ，并由式（6－29）可得： (6-32) 根据三角函数性质，上式可写成如下形式： (6-33) 进而有： (6-34) 由于k可由稳态误差系数确定，u由未校正传递函数求出，因此根据上式求出角γ。最后可用式（6－22）和式（6－23）确定校正装置的零极点和具体参数。 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 通过上述分析可知，对于超前校正装置的参数确定，可用三种方法进行设计，其中第一法是工程经验方法，第二法则是从抑制高频噪声角度出发进行设计，第三法则先在满足静态性能指标的条件下设计满足动态性能指标的控制器。但必须指出，上述三法均用于对静态性能要求不高而系统的动态性能需要改善的控制系统，校正后的系统应满足根轨迹的相角条件和幅值条件。若系统的静态性能指标较高，可能无法设计合适的超前校正装置，此时应采用迟后－超前校正装置。
（三）根轨迹超前校正的步骤 综上所述，用根据轨迹法进行超前校正的一般步骤为：
１）根据对系统静态性能指标和动态性能指标的要求，分析确定希望的开环增益k闭环主导极点Sd的位置．
２）画出校正前系统的根轨迹，判断希望的主导极点位于原系统的根轨迹左侧，以确定是否应加超前校正装置。
３）根据式（６—21）解出超前校正网络在Sd点处应提供的相位超前角φ。
４）选择前面介绍的三种方法之一，求γ，尔后用图解法或根据式（６—22）和式（６—23）求得Gc(s)的零点和极点，进而求出校正装置的参数。 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 7文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. ５）画出校正后系统的根轨迹，校核闭环主导极点是否符合设计要求。
６）若采用第一法和第二法，则还须根据根轨迹的幅值条件，确定校正后系统工作在 处的增益和静态误差系数。如果所求的静态误差系数与要求的值相差不大，则可通过适当调整Gc(s)零点和极点的位置来解决；如果所求的静态误差系数比要求的值小得多，则需考虑用别的校正方法，如用迟后—超前校正。
下面举例分别介绍上述三法的使用，进而对根轨迹超前校正步骤进行说明。
例6－5 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为： 试设计一超前校正装置，使校正后系统的无阻尼自然频率 ，阻尼比 。
解：（１）这是一个积分环节和惯性环节串联的系统，系统的无阻尼自然频率 ，阻尼比 ，闭环极点为 以及静态速度误差系数 ，校正前系统的根轨迹如图６—20虚线所示。
图6-20 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
8文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. （２）由 和 ，求得希望的闭环极点为: 。 （３）计算超前校正装置在 处需提供的相位超前角。由于未校正系统的 在 处的相角为：
为了使校正后系统的概轨迹能通过希望的极点，超前校正装置必须在该点产生的超前角。
（4）根据根轨迹的相角条件，确定超前校正装置的零点和极点。因为 ， ，所
以 。按照最大α值的设计方法，可计算或作图求出 ， 。这一校正装置的传递函数 。于是求得由校正网络和附加放大器组成的超前校正装置的传递函数，并得到校正后系统的开环传递函
数 式中，。由上式作出校正后系统的根轨迹，如图6—20中的实线所示。 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 9文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. （5）确定系统工作在希望闭环极点处的增益和静态速度误差系数。由根轨迹的幅值条件 解得 。由于 ，因而 。系统对应的开环传递函数为 由上式求得校正后系统的静态速度误差系数 校正后系统的闭环传递函数可由Matlab中的G＝feedback(Gc*G,1)得到：
由上式可见，校正后的系统虽上升为三阶系统，但由于所增加的一个闭环极点 与其零点 靠得很近，因而这个极点对系统瞬态响应的影响就很小，从而说明了 确为系统一对希望的闭环主导极点。由于本例题对系统的静态误差系数没有提出具体的要求，故认为上述的设计是成功的。
例6－6 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为 试设计一超前校正装置，使校正后的系统能具有下列的性能指标：超调量 %，调整时间 。
解：（1）作出校正前系统的根轨迹，如图6—21所示。