北师大版七年级下册数学 图形的全等

专题4.7 图形的全等（知识讲解）【学习目标】1、从图形重合中理解图形全等的对应边、对应角的关系；2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素；3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.特别说明：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.特别说明：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、图形的全等➽➼全等图形的识别1．下列各组图形中不是全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等图形，B选项中两个图形不可能完全重合，∴不是全等形．故选：B．【点拨】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．举一反三：【变式1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据全等图形的概念判断即可．解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．【变式2】下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据全等图形的概念分析即可．解：A 、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；B 、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；C 、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；D 、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．类型二、全等三角形概念➽➼全等图形的识别 2．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，=BD CD ．完成下面说明B C ∠=∠的理由的过程．解：AD BC ⊥（已知），ADB ∴∠=___________Rt =∠（垂直的定义）． 当把图形沿AD 对折时，射线DB 与DC ___________．BD CD =（___________）∴点B 与点___________重合，ABD ∴与ACD ___________，ABD ∴___________ACD （全等三角形的定义）， B C ∴∠=∠（___________）． 【答案】ADC ∠；重合；已知；C ；重合；≅；全等三角形的性质【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案．解：AD BC ⊥（已知），ADB ∴∠=ADC ∠Rt =∠（垂直的定义）． 当把图形沿AD 对折时，射线DB 与DC 重合．BD CD =（已知）∴点B 与点C 重合，ABD ∴与ACD 重合，ABD ∴≌ACD （全等三角形的定义）， B C ∴∠=∠（全等三角形的性质）．故答案为：ADC ∠；重合；已知；C ；重合；≅；全等三角形的性质．【点拨】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键．举一反三：【变式1】如下图，AOC 与BOD 全等．用符号“≌”表示这两个三角形全等．已知A ∠与B ∠是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．【答案】AOC BOD △△≌．对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠； 对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案．解： AOC BOD △△≌． 因为A ∠与B ∠是对应角，所以其余的对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠；对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键．【变式2】如图，若ADE BCE ≌△△，1∠与2∠是对应角，AD 与BC 是对应边，写出其他的对应边及对应角．【答案】AE 与BE 是对应边，DE 与CE 是对应边，D ∠与C ∠是对应角，AED ∠与BEC ∠是对应角．【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断．解：因为ADE BCE ≌△△，所以AE 与BE 是对应边，DE 与CE 是对应边，D ∠与C ∠是对应角，AED ∠与BEC ∠是对应角．【点拨】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应角的定义是解题关键．类型三、全等三角形的性质➽➼求边✮✮求角✮✮周长✮✮面积3．如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应点，点B 和点E 是对应点，过点A 作AF CD ⊥，垂足为点F ．(1) BAC ∠=______，B ∠=______，AB =______；(2) 若65BCE ∠=︒，完善求CAF ∠度数的解题过程．∴ABC DEC ≌△△， ∴ACB =∠______，∴BCE ACE ACD ACE ，∴______．∴65BCE ∠=︒，∴65ACF ∠=︒．又∴______，∴90AFC ∠=︒，∴CAF ∠=______︒． 【答案】(1) D ∠，E ∠，DE (2) DCE ∠，BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，25【分析】（1）由ABC DEC ≌△△，即可得到对应角和对应边相等（2）由ABC DEC ≌△△，得到BCE ACD ∠=∠，且AF CD ⊥，即可求得25CAF ∠=︒ （1）解：∴ABC DEC ≌△△，∴BAC D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；故答案为：D ∠，E ∠，DE（2）∴ABC DEC ≌△△，∴ACB DCE ∠=∠，∴BCE ACE ACD ACE ，∴BCE ACD ∠=∠．∴65BCE ∠=︒，∴65ACF ∠=︒．又∴AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∴25CAF ∠=︒．故答案为：DCE ∠，BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，25【点拨】本题考查了全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键举一反三：【变式1】如图，AB 与CD 相交于点E ，连接AD AC BC 、、，若,28ABC ADE BAC ∠=︒△≌△，求B ∠的度数．【答案】48︒ 是ADE 的一个外角，AEC DAE -∠48=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，以上知识是解题的关键．】如图，已知ABC △(1) 若6DE =，4BC =，求线段AE 的长；(2) 已知35D ∠=︒，60C ∠=︒，求AFD ∠的度数．【答案】(1) 2AE = (2) 130AFD ∠=︒【分析】（1）根据全等三角形的性质得到6AB DE ==，4BE BC ==，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理求出ABC ∠，计算即可．（1）解：∴ABC DEB △△≌，6DE =，4BC =， ∴6AB DE ==，4BE BC ==， ∴642AE AB BE =-=-=；（2）∴ABC DEB △△≌，35D ∠=︒，60C ∠=︒， ∴60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，ABC DEB ∠=∠，∴18085ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒，∴85DEB ∠=︒，∴95AED ∠=︒，∴3595130AFD A AED ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．如图，已知ABC DEB ≌，点E 在AB 上，AC 与BD 交于点F ，8AB =，5BC =，65C =︒∠，20D ∠=︒．(1) 求AE 的长度；(2) 求AED ∠的度数.【答案】(1) 3AE = (2) 85AED ∠=︒【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可． 解：（1）∴ABC DEB ≅，∴3BE BC ==，∴633AE AB BE =-=-=，（2）∴ABC DEB ≅，∴25A D ∠=∠=︒，55DBE C ∠=∠=︒，∴255580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点拨】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等即可．举一反三：【变式1】如图，已知△ABC ∴∴DEF ，AF ＝5cm ．（1）求CD 的长．（2）AB 与DE 平行吗？为什么？解：（1）∴∴ABC ∴∴DEF （已知），∴AC ＝DF （ ），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质） 即 ＝∴AF ＝5cm∴ ＝5cm（2）∴∴ABC ∴∴DEF （已知）∴∴A ＝ （ ）∴AB （ ）【答案】（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∴D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据△ABC ∴∴DEF ，AF =5cm,可以得到CD =AF ，从而可以得到CD 的长；（2）根据△ABC ∴∴DEF ，可以得到∴A =∴D ，从而可以得到AB 与DE 平行． 解：（1）∴∴ABC ∴∴DEF （已知），∴AC ＝DF （全等三角形对应边相等），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质）即AF ＝CD ，∴AF ＝5cm∴CD ＝5cm ；（2）∴∴ABC ∴∴DEF （已知）∴∴A ＝∴D （全等三角形对应角相等）∴AB DE （内错角相等，两直线平行）．故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∴D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2】如图，B ，C ，D 三点在同一条直线上，90,,5B D ABC CDE AB ︒∠=∠=∆≅∆=，12,13BC CE ==．(1) 求ABC 的周长．(2) 求ACE △的面积．，然后计算ABC 的周长；，再证明ACE ∠=）ABC ∆≅13AC CE ==ABC 的周长）ABC CDE ∆≅∆13,AC CE ∴==90D ∠=︒，CED ∴∠+∠ACB ∴∠+∠ACE ∴∠=ACE ∴的面积【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．熟练掌握知识点是解题的关键．类型四、全等图形➽➼应用5．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．【分析】根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可．解：如图所示（任意两种方法，正确即可）：【点拨】本题考查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．举一反三：【变式1】试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【答案】见分析（第一个图答案不唯一）【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．解：第一个图形分割有如下几种：第二个图形的分割如下：【点拨】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．【变式2】沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【答案】见分析【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．解：共有3412⨯=个小正方形，∴被分成四个全等的图形后每个图形有1243÷=，∴如图所示：，【点拨】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．s。

北师大版七年级下册数学教学设计：4.2《图形的全等》一. 教材分析《图形的全等》是北师大版七年级下册数学的第二节内容。

本节内容是在学生已经掌握了图形的认识、图形的性质等基础知识的基础上进行学习的。

全等是几何中的一个重要概念，是判断两个图形是否相同的依据。

通过学习全等，可以使学生进一步理解图形的性质，提高解决问题的能力。

本节内容主要包括全等的定义、全等的性质和全等的判定方法。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了图形的认识、图形的性质等基础知识，但全等作为一个新的概念，对学生来说还是比较抽象的。

因此，在教学过程中，需要通过具体的事例，使学生感知全等的概念，并通过实践活动，使学生理解和掌握全等的性质和判定方法。

三. 教学目标1.理解全等的定义，掌握全等的性质和判定方法。

2.能够运用全等解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、动手能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.全等的定义和性质。

2.全等的判定方法。

五. 教学方法1.采用情境教学法，通过具体的事例，使学生感知全等的概念。

2.采用实践活动法，让学生通过动手操作，理解和掌握全等的性质和判定方法。

3.采用问题解决法，让学生在解决问题的过程中，运用全等知识和方法。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.教学素材（如图片、图形等）。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的全等现象，如两只完全相同的铅笔、两只完全相同的手套等，让学生感知全等的概念。

2.呈现（10分钟）引导学生观察和分析这些全等现象，总结出全等的定义，并给出全等的符号表示。

3.操练（10分钟）让学生通过动手操作，尝试判断一些给定的图形是否全等。

在此过程中，引导学生理解和掌握全等的性质和判定方法。

4.巩固（10分钟）让学生解答一些关于全等的问题，巩固所学知识。

5.拓展（5分钟）引导学生运用全等知识解决实际问题，如判断两个三角形是否全等，解决一些几何问题等。

6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的主要内容和知识点。

北师大版七年级数学下册《4.2 图形的全等》教案一. 教材分析北师大版七年级数学下册《4.2 图形的全等》这一节主要介绍了图形的全等概念和全等图形的性质。

全等是指两个图形在大小和形状上都完全相同，这是几何中的一个重要概念。

本节课通过讲解和练习，使学生理解全等的含义，能够判断两个图形是否全等，并学会使用全等性质解决问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了图形的性质和平行线的性质，对于图形的认知和判断已经有一定的基础。

但是，全等概念的引入，需要学生对于图形的大小和形状都完全相同的理解，这对于学生来说是一个新的概念，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解全等的含义，理解全等图形的性质。

2.能够判断两个图形是否全等。

3.学会使用全等性质解决问题。

四. 教学重难点1.全等概念的理解，全等图形的性质。

2.判断两个图形是否全等的方法。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例和练习，引导学生主动探索和发现全等的性质，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.图形的全等的实例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过PPT展示一些生活中的实例，如折纸、拼图等，引导学生思考：如何判断两个图形是否完全相同？引出全等概念。

2.呈现（10分钟）讲解全等的含义，通过PPT展示全等图形的性质，如对应边相等，对应角相等，对应点之间的距离相等。

引导学生理解和记忆全等的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组，每组选取一些图形，判断它们是否全等。

引导学生运用全等的性质进行判断，并互相交流判断的方法。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些判断全等的练习题，巩固全等的性质和判断方法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：全等图形在实际生活中的应用。

举例说明全等性质在解决实际问题中的作用，如在制作模型、设计图案等方面的应用。

6.小结（5分钟）回顾本节课的学习内容，总结全等的含义和性质，全等的判断方法。