时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真之令狐文艳创作

伊犁师范学院硕士研究生————期末考核科目：电磁波有限时域差分方法姓名：***学号：*************学院：电子与信息工程学院专业：无线电物理时域有限差分法1 选题背景在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。

1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。

经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。

上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。

FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。

是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。

原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。

现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。

2 原理分析2.1 FDTD 的Yee 元胞E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理t t ∂∂=∂∂=⨯∇E D H ε t t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ图1 Yee 模型如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]：1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。

2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。

棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。

3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应(n+0.5)+0.5时刻的电场值，逐步外推。

时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。

FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。

本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。

一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。

此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。

1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。

随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。

二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。

其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。

FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。

具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。

该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。

这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。

在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。

三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。

目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。

一种改进的时域有限方法——紧致格式FDTD算法
范昊博;迟洁茹;牛欢;贾亚亚
【期刊名称】《青岛大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(029)004
【摘要】在传统的二维弹性固体二阶时域有限差分(FDTD)法的声场方程基础上,从空间的差分格式对其进行改进,提出了一种改进的时域有限方法——紧致格式FDTD算法,从而使计算精度和计算速度都得到提高.实验结果表明,与二阶指数差分FDTD算法相比,紧致格式FDTD算法计算精度更好,仿真时间更短,具有更高的效率.【总页数】5页(P48-51,68)
【作者】范昊博;迟洁茹;牛欢;贾亚亚
【作者单位】青岛大学电子信息学院,青岛266071;青岛大学电子信息学院,青岛266071;青岛大学机电工程学院,青岛266071;青岛大学电子信息学院,青岛266071
【正文语种】中文
【中图分类】TP311.1;TB5
【相关文献】
1.一维有限时域差分方法(FDTD)计算中参数的选择 [J], 陈义万;李文兵;杜海霞;彭波勇
2.区域分解时域有限差分方法(DD-FDTD)及其在散射问题中的应用 [J], 许锋;洪伟;童创明
3.一种改进的色散介质半解析递归卷积时域有限差分方法 [J], 常科技;张玉强
4.一种辛紧致格式FDTD方法的行为分析 [J], 傅平;刘学观
5.倾斜各向异性地层中多分量电磁波测井响应三维时域有限差分(FDTD)算法 [J], 杨守文;汪宏年;陈桂波;姚东华
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时域有限差分算法Finite-Difference Time-Domain (FDTD) Algorithm时域有限差分算法（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）FDTD is a numerical technique used to solve Maxwell's equations in the time domain.时域有限差分算法是一种用于在时域中求解麦克斯韦方程的数值技术。

It discretizes the spatial and temporal domains, allowing for the simulation of electromagnetic wave propagation and interaction with complex structures.该算法将空间和时间域离散化，从而能够模拟电磁波的传播以及与复杂结构的相互作用。

The algorithm is widely used in various fields, including antenna design, microwave engineering, and electromagnetic compatibility analysis.该算法广泛应用于多个领域，包括天线设计、微波工程和电磁兼容性分析。

The main advantage of FDTD is its ability to handle arbitrary geometries and material properties, making it a powerful tool for electromagnetic modeling and simulation.时域有限差分算法的主要优势在于其能够处理任意几何形状和材料属性，使其成为电磁建模和模拟的有力工具。

However, it can be computationally demanding, especially for large-scale problems, due to the need to discretize both space andtime.然而，由于需要同时离散化空间和时间，时域有限差分算法在计算上可能要求较高，尤其是对于大规模问题。

时域有限差分法时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain,称FDTD）法是一种广泛应用于电磁场仿真的数值计算方法，它以离散时间步长来描述电磁场的变化，可以准确模拟空间内电磁场随时间变化的波动特性。

在时域有限差分仿真中，以Maxwell方程描述电磁场的运动，将时域的空间变化转换为表示时间的一维网格，用有限差分技术对Maxwell 方程组及其边界条件进行求解，可以得到空间中电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。

FDTD仿真技术的最早应用出现在1960年代。

由于它的有效性和快速灵活性，FDTD仿真技术得到了快速发展，在电磁场仿真中得到了普遍应用。

FDTD仿真技术具有以下优点：1.基本实现简单，编程简单，计算效率高；2.可以准确仿真各种复杂电磁环境中电磁波传播的特性，如介质内各种参数随时间变化；3.不仅可以仿真欧姆模型，还可以用于局部质点模型的仿真；4.容易添加吸收边界，有效地抑制反射和折射现象；5.可以定制计算区域，灵活处理各种复杂的边界条件；6.计算中可以容易地加入激励和探测源；7.可以同时计算多个激励源和探测源，完成多源多探测器的仿真；8.可以方便地仿真非线性电磁材料的特性；9.单片机控制的实时仿真可以实时进行激励和探测调制；10.可以方便地模拟分布式电磁系统。

时域有限差分仿真技术的基本原理是采用有限差分法，沿时间轴以离散的步长，用一维数组离散地表示各点的电场态，并以此实现电磁场系统的时间域模拟。

FDTD法在时间域上使用一维离散网格，将Maxwell方程组及其边界条件分解，分别应用一阶导数近似公式（如中心差分公式）求解，按照计算元（grid point）在时空域中的局部特性，分别设定电磁场源、介质参数和边界条件，利用时域有限差分公式迭代求解Maxwell方程，可以得到边界条件和激励源允许的范围内的空间中的电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。

借助时域有限差分法可以实现对天线、微波传输线、无线局域网、雷达、全波器件等电磁系统的仿真，其结果可以用于设计、性能预测、状态诊断、运行维护、电磁干扰抑制等诸多应用领域。

时域有限差分时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain，简称FDTD）是一种基于有限差分方法的数值模拟技术，用于求解电磁场的时域行为。

它在电磁学仿真建模中有着重要的作用，广泛应用于电磁屏蔽、电磁兼容、发射器设计、天线特性测试、雷达和无线通信等诸多领域。

本文将从介绍FDTD的历史背景、基本思想及特点出发，重点讨论它的基本框架及其基本算法，并以此来深入剖析它的优势及应用场景，以期激发更多的研究者更好的应用FDTD去解决实际的问题。

一、FDTD的历史背景时域有限差分法始于20世纪50年代，其有名的开创者是美国科学家Yee在1966年提出的。

至此，它比传统时域分析方法（如横波模型）具有更强的计算能力，有利于模拟电磁场以及其他物理场。

经过Yee的提出，FDTD的理论基础也在不断的完善，其在电磁仿真领域的应用也更加普及，它的算法也得到了不断的改进和优化，有利于优化电磁仿真技术，并使它更容易被应用在电磁学仿真中。

二、FDTD基本思想及特点时域有限差分法基于有限差分法，用于求解电磁场的时域行为。

它采用基于欧拉方程（Maxwell-Faraday）的电磁场表示，将欧拉方程空间和时间解分，从而简化时域求解中的计算工作。

在做时域积分的时候，它采用的是一种求近似解的方法。

根据反文本定理，这种求近似解的方法能够准确地表示电磁场的时变行为，从而正确地描述电磁场在空间和时间上的变化规律。

在求解电磁场的时候，它把分析的小单元划分成不同的网格，每个网格为一个小空间，把大量的电磁场计算转换成了大量的有限差分的计算，从而极大地简化了电磁场的模拟，节约了计算时间。

另外，FDTD还具有计算简单、模拟效率高、模拟准确等优点，因此在电磁学仿真中非常受到重视。

三、FDTD的基本框架及其基本算法FDTD的基本框架由应变和电场两个部分构成，两个部分相互协作，用来计算空间上电磁场的变化过程，以及对应的时间变化过程。

其基本算法由三个步骤构成：（1）横电场更新，先从欧拉方程计算横电场；（2）纵电场更新，再从欧拉方程计算纵电场；（3）应变更新，最后从欧拉方程计算应变。

《用于光伏器件的光学天线的FDTD仿真》篇一一、引言随着光伏器件的快速发展，光学天线在提高光伏器件的能效和转换效率方面扮演着重要角色。

光学天线是一种具有独特几何结构和物理特性的光学元件，能将光线集中在较小的区域中，增强局部的光强度。

时域有限差分方法（Finite-Difference Time-Domain，简称FDTD）是一种重要的电磁仿真技术，用于分析光与物质的相互作用。

本文旨在通过FDTD仿真，对用于光伏器件的光学天线进行深入研究和分析。

二、模型建立与仿真设置首先，我们根据实际需求设计了一种光学天线的结构，并使用FDTD仿真软件进行建模。

该模型包括光学天线的几何形状、材料属性以及周围环境的设置。

在仿真过程中，我们选择了适当的网格尺寸和时间步长，以确保仿真的准确性和效率。

其次，我们设定了光源、边界条件和观测点等仿真参数。

光源的波长和强度对仿真结果具有重要影响，我们根据实际需求选择了合适的光源参数。

此外，我们还设置了合适的边界条件，以模拟实际环境中的光传播情况。

在观测点的设置上，我们重点关注了光学天线的能量分布和传输特性。

三、仿真结果与分析通过FDTD仿真，我们得到了光学天线的电场分布、磁场分布以及能量传输等关键信息。

首先，我们分析了光学天线的电场分布情况。

在特定波长下，我们发现光学天线能够将光线集中在较小的区域中，从而增强局部的光强度。

此外，我们还研究了光学天线的磁场分布情况，发现磁场分布与电场分布密切相关，共同影响着光学天线的性能。

接下来，我们分析了光学天线的能量传输特性。

通过观测不同位置的光强变化和能量传输效率，我们发现光学天线能够有效地将光线传输到目标区域，提高光伏器件的转换效率。

此外，我们还研究了光学天线在不同波长下的性能表现，发现其在特定波长下具有更好的性能。

四、结论本文通过FDTD仿真，对用于光伏器件的光学天线进行了深入研究和分析。

我们建立了光学天线的模型，并设置了适当的仿真参数和观测点。

一维FDTD（时域有限差分）算法求解电磁带隙结构作者：温素燕来源：《新课程学习·中》2013年第05期摘要：由两种介质在一维方向上周期性交叠可以构成电磁带隙结构，利用一维时域有限差分算法求解电磁带隙结构的透射系数和反射系数，得到电磁带隙结的电磁波传播禁带.计算结果表明，一维FDTD算法在数值求解复杂电磁结构的电磁波反射和透射问题非常有效。

关键词：电磁带隙结构；FDTD（时域有限差分）算法；带阻滤波器时域有限差分（FDTD）是一种有效的电磁场数值计算方.其特点主要有：所需要的计算内存空间与运行时间只与计算空间的网格数成正比；可以模拟电磁波在复杂的介质结构中传播；通过电磁脉冲源激励，一次计算可以获得复杂介质结构较宽的频谱信息等.本文构造一种由介质平板和空气平板交迭成的标准电磁带隙结构，并利用一维FDTD算法模拟了其时域上的透射波形和反射波形，并经过离散付里叶变换得到对应频域上的透射系数和反射系数，从而可以观察到电磁带隙结构的电磁传播阻带.一、FDTD数值算法针对非磁性介质的无源Maxwell方程为？塄×E=μ0 （1），？塄×H=ε （2）其中，E为电场强度，H为磁场强度，μ0为真空磁导率，ε为介质或空气介电常数.在一维问题中，假设电磁场分量及介电常数只与传播方向z有关，即 = =0.因此，上面的方程组可以简化为 =- （3）， =- （4） = （5）， =- （6）可以看到，方程（3）和（4）耦合在一起，（5）和（6）耦合在一起.选择其中一组方程构成横电磁波（TEM）沿z轴方向传播，并采用中心差分方式离散方程（3）和（4），可以得到差分方程组：Hn+0.5y（k）=Hn-0.5y（k）- [Enx（k+1）-Hny（k）]（7）En+1x（k）=Enx（k）- [Hn+0.5y（k）-Hn+0.5y（k-1）]（8）式中Δt为计算时间步长，Δz为空间步长，二者需满足的数值稳定条件为：Δt≤ ，其中，V= 为电磁波在介质中的最大传播速度.激励源选择微分高斯脉冲：E（t）=A（？子-t0）exp- （9）式中？子为常数，其取值越小，微分高斯脉冲的中心频率越大.二、计算模型与结果考虑由介电常数为9.0的介质平板和空气平板（介电常数近似为1.0）沿z轴方向周期性交叠构成的一维电磁带隙结构，其中介质平板共10层，空气平板共9层.假定电磁带隙结构的电磁传播阻带中心工作波为λ0=0.18m（频率约为f0=1.67GHz）.标准电磁带隙结构的中的周期单元结构的波程设定为0.5λ0，并假定介质平板和空气平板的波程相等，即均为0.25λ0.时域有限差分数值计算的网格划分为：介质平板占据20个网格，空气平板占据60个网格.为了模拟电磁带隙结构在真空中的电磁特性，计算空间两端设置了完美匹配层（PML），分别占据5网格，整个FDTD计算区域占766网格.计算空间步长为Δz=7.5×10-3 m，时间步长为Δt=1.25×10-12 m，整个迭代计算时间为25000步.从频域透射系数和反射系数可以看到，在以中心工作波长/频率处出现了电磁传播禁带，从而验证了标准电磁带隙结构的以中心中工作波长为中心的频率带阻电磁特性.本文采用一维FDTD（时域有限差分）算法计算了标准电磁带隙结构的电磁阻带特性.数值计算结果与标准电磁带隙结构相吻合，从而证实了一维FDTD（时域有限差分）算法在计算电磁带隙结构等复杂多层结构电磁特性的有效性.参考文献：[1]YeeKS.Numerical solution of initial boundary value problem sinvo lving Max well equation sinisotro picmedia[J].IEEET rans.Antennas Propa-gat，1966，AP-14（3）：302-307.[2]葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法[M].西安电子科技大学出版社，2005.（作者单位湖北省利川市第一中学）。

时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年K.S.Yee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。

这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。

FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。

需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。

有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。

1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。

Maxwell 方程的旋度方程组为：E E H σε+∂∂=⨯∇t H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。

Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F z t z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆=对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Yee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:oyxzEyHzExEzHxEyEyEzEx HyEzEx图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。

微带阵列互耦的时域有限差分法(FDTD)仿真
郭陈江;王小平;丁君;王一笑;于海洋
【期刊名称】《系统仿真学报》
【年(卷),期】2009()3
【摘要】在微带阵列天线中,贴片间的耦合是阵列性能下降的一个重要原因,对互耦进行正确的评估、计算,有助于深入了解阵列特性并指导设计工作。

采用时域有限差分(FDTD)法计算微带贴片间的互耦系数,其中采用非均匀网格对天线进行网格剖分,并引入了电阻性电压源,在保证计算精度的前提下,大大节省了计算空间和计算机时间。

利用N端口网络知识通过简单计算即可得到互耦系数,与传统方法相比降低了计算、编程难度,计算结果与矩量法及测量结果基本一致。

【总页数】4页(P680-683)
【作者】郭陈江;王小平;丁君;王一笑;于海洋
【作者单位】西北工业大学电子信息学院
【正文语种】中文
【中图分类】TN82
【相关文献】
1.新型磁负材料结构在微带阵列天线互耦抑制中的应用
2.口径耦合微带天线互耦时域有限差分法分析
3.用时域有限差分(FDTD)法计算线天线的互耦
4.缺陷地结构抑制微带阵列天线间互耦
5.用于5.8GHz频段的低互耦圆形微带阵列天线
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时域有限差分法1 选题背景在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。

1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。

经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。

上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。

FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。

是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。

原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。

现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。

经过了近四十年的发展，FDTD 法在计算方法和应用上取得了大量成果。

近几年来，讨论FDTD 法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长，目前FDTD 法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。

随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD 法的应用范围越来越广，而FDTD 法本身在应用中又有新的发展.2 原理分析2.1 FDTD 的Yee 元胞E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理t t ∂∂=∂∂=⨯∇E D H ε t t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ图1 Yee 模型如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]：1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。

时域有限差分有限元
时域有限差分（FDTD）和有限元法（FEM）是两种常用的数值模
拟方法，用于求解时域中的波动现象和电磁场问题。

它们在工程学、物理学和地球科学等领域都有广泛的应用。

首先，让我们从时域有限差分（FDTD）方法开始。

FDTD方法是
一种数值求解Maxwell方程组的离散化方法，它将时域Maxwell方
程组转化为差分形式，通过在空间和时间上进行离散化，将连续的
时域问题转化为离散的网格问题。

FDTD方法的优点包括易于理解和
实现、适用于各种介质和边界条件，能够模拟宽频段的波动现象等。

在电磁场、光学、天线设计等领域得到了广泛的应用。

其次，让我们来看看有限元法（FEM）。

有限元法是一种广泛应
用的数值分析方法，用于求解偏微分方程和变分问题。

在时域中，
有限元法可以用于求解Maxwell方程组、热传导方程等问题。

有限
元法将求解区域分割成有限数量的单元，通过建立单元之间的关系，建立整个系统的离散方程，然后通过数值方法求解得到近似解。

有
限元法的优点包括适用于复杂几何形状、能够处理各向异性材料、
可以考虑不同类型的边界条件等。

综上所述，时域有限差分和有限元法都是重要的数值模拟方法，在不同的领域有着广泛的应用。

它们各自有着特点和适用范围，选
择合适的方法取决于具体的求解问题和模拟需求。

在工程实践中，
通常需要根据具体情况来选择合适的数值模拟方法，以获得准确的
仿真结果。

在有限差分时域法（FDTD）中，网格（mesh）的作用至关重要。

网格用于将连续的空间离散化，使得复杂的电磁场问题可以通过数值方法进行求解。

首先，网格为FDTD算法提供了一个离散化的空间表示。

通过将
连续的空间划分为一系列小的单元格，我们可以将连续的电磁场问题转化为离散的数值问题。

这样，就可以在每个离散点上求解场量，从而逼近真实的场分布。

其次，网格还用于控制仿真区域的边界。

通过设置适当的边界条件，可以影响电磁波的传播和反射行为，从而模拟不同的物理环境。

例如，完美匹配层（PML）是一种常用的边界条件，它可以吸收进入边界的电磁波，使得仿真区域外的场对仿真区域内的影响减小到可以忽略的程度。

此外，网格的尺寸也会影响仿真的精度和计算效率。

较细的网格
可以提供更高的仿真精度，但同时也会增加计算的复杂性和所需内存。

因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡，选择合适的网格尺寸。

总的来说，网格在FDTD算法中起着空间离散化、边界控制和选
择合适的网格尺寸等作用，是进行电磁场仿真的重要工具。

色散混合显隐式时域有限差分法的石墨烯仿真徐健勋;傅伟杰【摘要】应用色散混合显隐式时域有限差分(hybrid implicit-explicit finite-difference time-domain, HIE-FDTD)法分析了石墨烯的电磁特性.这种方法的时间步长大小不受石墨烯层的剖分网格大小的限制,数值算例表明,HIE-FDTD方法是一种精度较高的有效算法,它的计算时间比FDTD方案大大减少.数值计算结果显示,设计的石墨烯吸收体通过改变石墨烯片的化学势,可以有效地调整吸收体的吸收峰.同时发现,在太赫兹频率下石墨烯吸收体的吸收率显示出一定的周期性并呈现栅形特性,这一特性可以对石墨烯器件的设计生产提供一些思路.【期刊名称】《电波科学学报》【年(卷),期】2019(034)002【总页数】5页(P239-243)【关键词】色散混合显隐式;时域有限差分方法;石墨烯;电磁特性;石墨烯吸收体【作者】徐健勋;傅伟杰【作者单位】合肥工业大学,合肥230009;合肥工业大学,合肥230009【正文语种】中文【中图分类】O441.4引言进入21世纪以来,时域有限差分(finite-difference time-domain, FDTD)法己经发展得非常成熟．人们对于FDTD方法的研究主要集中在探索新的处理方法,如交替方向隐格式时域有限差分(alternating-direction implicit FDTD,ADI-FDTD) 法及Crank-Nicolson时域有限差分(Crank-NicolsonFDTD,CN-FDTD)法等,以便更快得到更加精确的结果．FDTD法在实际应用的时候,存在Courant-Friedrich-Levy (CFL)稳定性条件的限制[1],针对不同问题随着网格剖分越来越精细,导致时间步长大幅度减小,从而导致计算时间大幅度提高．随着新型材料的不断应用,迫切需要更精确、更高效率的新型时域方法来分析新型材料的电磁特性,以满足工程上的分析需求．为了克服FDTD法时间步长的Courant限制,一种三维混合显隐式有限差分时域方法(hybrid implicit-explicit FDTD, HIE-FDTD)被提出[2]．在这种方法中,CFL条件并没有完全消除,与传统的FDTD方法相比是较弱的稳定条件．在HIE-FDTD方法的求解中,只需要一次迭代(具有两个三对角矩阵和四次显式更新),与FDTD方法的运行结果相比,HIE-FDTD方法的计算时间大大缩短[3]．石墨烯是一种单一方向上具有精细结构的材料．由于石墨烯的卓越性能,已经在太赫兹(THz)领域引起了全世界研究人员的兴趣[4-5]．石墨烯具有线性色散的电磁特性,相比于半导体有更高电子迁移率,而且电导率具有可调特性[6]．结合石墨烯的特性,本文应用Juan和Wang提出的一种色散HIE-FDTD,引入新的辅助变量即电流密度,使得算法复杂度更低,在这种方法中,时间步长的大小不受石墨烯层中剖分网格大小的限制,所以它的计算时间比FDTD方案的计算时间少得多．1 HIE-FDTD的基本原理石墨烯在太赫兹频段的等效模型可以用其表面电阻率来表示,即久保公式(Kubo formulation),在传统的FDTD中的仿真模型采用辅助差分方程(auxiliary differential equation, ADE)技术[7-9]．在麦克斯韦方程中,通过引入辅助可变电流来模拟石墨烯的作用,形成具有损耗介质的麦克斯韦方程,通过求解该方程而获得电磁波通过石墨烯的传播特性．假设石墨烯为一个薄导电表面,其表面电导率可以表示为(1)式中:是角频率;T为开尔文温度;ħ为普朗克常量;e为电子电荷;KB为玻耳兹曼常数;μc为化学势;Γ为散射率．1.1 ADE常用传导电流密度J来表示石墨烯的导电率,h为石墨烯的厚度,两者之间关系为J=σE/h．(2)将σ的表达式代入到式(2)中可以得到J=(ME/h)/[1+jω/(2Γ)]．(3)式中,(4)式(3)、(4)的时域形式如下:(5)采用中心二阶有限差分来近似式(5)中的导数算子形式,有Jn+1=S1Jn+S2En+1+S2En．(6)式中:是时间取样;Δt是时间步长．等式(6)表示石墨烯的分散特性,它是ADE模型,可以很方便地应用到HIE-FDTD方法中．1.2 HIE-FDTD方法的公式通过将电流密度J纳入麦克斯韦方程并结合HIE差分公式[10-11],可以推导出色散三维HIE-FDTD方法的迭代公式如下:×E=-jωμ0H;(7)×H=jωε0E+J.(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)式中,公式(9)～(14)为算法更新后的公式．2 算例分析2.1 仿真无限大石墨烯薄层算例为了证明所应用的色散HIE-FDTD方案计算精度和效率,本文用这种方法来模拟无限大的石墨烯片．如图1所示,石墨烯片位于x-z平面内,它在y方向的厚度为h．电场是沿着y方向极化的均匀平面波垂直入射在石墨烯片上．平面波的激励是一个高斯脉冲,其表达式为g(t)=exp(-(4π(t-t0)2)/τ2).(15)式中,t0=τ=5×10-13 s．其频率范围为0～4 THz,所以选取最小波长为75 μm．图1 石墨烯片结构图Fig.1 The structure of graphene通过使用总场散射场(TF/SF)边界条件将平面波引入计算域．沿y方向的上下边界处设置10个元胞卷积完全匹配层(convolutional perfectly matched layer, CPML)以截断散射场[12],在x和z方向添加周期边界条件,在石墨烯层中用粗细网格技术进行计算．石墨烯片的参数[13]如下:T=300 K,μc=0.1 eV,Γ=1/2·τ,τ=1 ps,h=1 nm．石墨烯片的内部剖分尺寸选择Δy为0.25 nm．另外,为了减少由数值色散引起的误差,空间网格必须小于最小波长的1/10,本文选取最小波长的1/15,在计算域的其他部分,选择均匀的网格尺寸:Δx=Δy=Δz=5 μm．为了满足CFL稳定性条件,在FDTD方案中的时间步长为=8.33×10-7 ps.相比之下,在色散HIE-FDTD方法中,时间步长仅取决于单元尺寸Δx和Δz:=1.18×10-3 ps．该结果是FDTD方案的1 417倍[14-15]．由图2可以看出,色散HIE-FDTD方法的结果与FDTD非常吻合．以上模拟在Intel Core i7-6700 CPU@4 GHz and 32 G memory的计算机上完成,色散HIE-FDTD 方法和FDTD方法的计算时间分别为5.153 s和12 077.253 s,色散HIE-FDTD方法显然减少了计算时间．因此,可以验证我们所提出的方法在不牺牲精度的前提下,具有更高的效率．图2 HIE-FDTD法与FDTD法结果对比Fig.2 Result comparison between HIE-FDTD and FDTD2.2 仿真石墨烯吸收体算例一般来说,石墨烯的电导率动态变化可以通过改变石墨烯片的化学势来调整[16]．由此,我们设计了一个石墨烯吸收体．图3为石墨烯器件的结构,石墨烯吸收体由PEC层、介质层(εr=12.9)和石墨烯层构成．图3 石墨烯吸收体的结构Fig.3 The structure of graphene devices图4显示了化学势μc分别取值0.1 eV、0.3 eV、0.5 eV情况下对吸收率(absorptivity)、反射率(reflectivity)的影响．我们定义反射率吸收率A=1-R2,其中Ein为输入电场值,ER为反射波电场值．结果表明,随着μc值的增加,吸收率不断提高,并向高频方向移动,且吸收率具有一定的周期性,呈现出栅形特性．图5显示,当μc=0.3 eV时,在1.409～1.625 THz、2.543～2.837 THz范围吸收率在80%以上,这个数据表明设计的石墨烯吸收体在特定频段内具有良好的吸收性能．图4 化学势对吸收率和反射率的影响Fig.4 Effects of chemical potential on absorptivity and reflectivity图5 吸收效果Fig.5 Absorption effect3 结论本文应用一种色散HIE-FDTD法成功分析了石墨烯器件的电磁特性,其中单层石墨烯的模型和ADE技术已经应用于求解麦克斯韦方程组．可以看出,色散HIE-FDTD 方法非常适用于分析具有单向精细结构的石墨烯电磁特性．数值计算结果表明,设计的石墨烯吸收体的吸收系数可以通过改变化学势来调节,而且当化学势不断增大的时候,吸收峰不断向高频方向移动,且吸收率具有一定的周期性,呈现出栅形特性,这一结果显示了石墨烯的可调制特性,这个特性在太赫兹波段可调石墨烯器件设计、可穿戴电子设备设计中有一定应用价值．此外,上述方法也可以用于分析诸如吸收器、频率选择器等基于石墨烯的器件上．参考文献【相关文献】[1] TAFLOVE A, HAGNESS S C. 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时域有限差分法的基本原理及仿真时域有限差分法（FDTD算法）是一种用于求解时域电磁场分布的数值方法，广泛应用于电磁场仿真与分析。

FDTD算法的基本原理是通过将时域Maxwell方程进行离散化，将空间和时间划分为网格单元，然后在这些离散的网格点上进行差分计算，从而得到电磁场在全空间的时间演化过程。

FDTD算法的原理可以总结为以下几个步骤：1. 空间离散化：将求解区域分割为网格点，并对每个网格点进行编号。

一般使用的是Cartesian坐标系，其中在每个网格点上会有电场和磁场的分量。

2. 时间离散化：将时间轴分割为等间隔的时间步长，并通过时间步长来描述电磁场在时间上的变化。

时间步长需要满足Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件，以保证算法的稳定性。

3. 更新电场：根据Faraday定律，通过差分法更新电场在每个网格点上的数值。

根据电场的分量及其对应的电场方程，可以得到电场在每个网格点上新的数值。

4. 更新磁场：根据Ampere定律，通过差分法更新磁场在每个网格点上的数值。

根据磁场的分量及其对应的磁场方程，可以得到磁场在每个网格点上新的数值。

5.添加源与边界条件：在仿真区域内添加合适的源，以模拟电磁波的激励，同时设置合适的边界条件来保证电磁波在边界处的反射或吸收。

6.迭代求解：通过反复迭代执行步骤3和步骤4，以实现电磁场在全空间的时间演化过程。

每次迭代，电磁场都会根据已知的电磁场状态进行更新，直到达到设定终止条件。

FDTD算法的仿真过程可以描述如下：1.初始化电场和磁场：根据初始条件，设置仿真区域内电场和磁场的初值。

2.迭代求解电场和磁场：在每个时间步长内，按照步骤3和步骤4的方法更新电场和磁场的数值。

3.添加源与边界条件：在每个时间步长内，根据场源和边界条件的设置，更新仿真区域内的电磁场状态。

4.重复执行步骤2和步骤3，直到达到设定的仿真时间或满足终止条件。

FDTD算法具有广泛的应用领域，在电磁场仿真、天线设计、光学器件设计以及雷达散射等领域都有重要的应用。

FDTD算法范文FDTD（Finite-Difference Time-Domain，有限差分时域）算法是一种用于求解Maxwell方程组的数值方法。

它是一种非常广泛应用于电磁场计算和仿真的方法，可以用于模拟各种电磁波现象，比如光学传输、天线辐射、微波器件等。

FDTD算法的思想简单直观，易于实现，并且具有良好的数值稳定性和精度。

FDTD算法的基本原理是将Maxwell方程组中的时域和空间域分离处理，通过将时域和空间域的导数项用有限差分近似来离散化方程，然后通过时间推进和空间更新的迭代过程，计算出电磁场在空间和时间上的分布。

其中，时域的更新步骤使用了中心差分格式，而空间的更新则使用了一阶差分格式。

在FDTD算法中，电磁场的每一时刻t的分布通过更新公式计算得到。

首先，根据电场和磁场的边界条件，在计算区域的边界上设置适当的边界条件。

然后，通过Maxwell方程组的时域更新公式，分别计算电场和磁场在每个空间位置的时域分量。

接下来，通过Maxwell方程组的空间更新公式，计算出电场和磁场在每个空间位置的空间分量。

通过这样的时间推进和空间更新的迭代过程，可以得到电磁场在整个计算区域的分布情况。

FDTD算法的主要特点是能够准确地模拟电磁波的传播和反射现象，并且适用于各种复杂的边界条件和介质情况。

它可以处理二维和三维的情况，并且具有高效的计算速度和较低的内存消耗。

此外，FDTD算法还可以模拟非线性和吸收介质的情况，以及微小尺寸结构和纳米器件的特殊情况。

然而，FDTD算法也有一些限制和局限性。

首先，FDTD算法的精度和稳定性受到网格尺寸和时间步长的限制，需要根据波长和介质的特性来选择适当的网格尺寸和时间步长。

同时，FDTD算法在处理大尺寸结构和长时间传播情况时会消耗较多的计算资源和时间。

此外，FDTD算法也无法处理高频电磁场和局部敏感性问题，这需要使用其他算法或技术进行改进。

总之，FDTD算法是一种强大而灵活的数值方法，广泛应用于电磁场计算和仿真领域。

时域有限差分(FD-TD)法
王长清
【期刊名称】《微波学报》
【年(卷),期】1989()4
【摘要】本文系统地论述了时域有限差分(FD-TD)法的基本原理,讨论了有关Yee 算法中麦克斯韦旋度方程的差分表示、数值稳定性、数字色散及吸收边界条件等重要问题,并用一些数值结果给予说明。

【总页数】11页(P8-18)
【关键词】时域有限差分;数值稳定;电磁场
【作者】王长清
【作者单位】北京大学
【正文语种】中文
【中图分类】O441
【相关文献】
1.基于高阶时域有限差分法与改进节点分析法混合求解复杂传输线网络瞬态响应[J], 王为;覃宇建;刘培国;周东明
2.时域有限差分法和基于频域的有限元法模拟仿真在通r信车的天线布局设计的应用 [J], 李宏
3.时域瞬变电磁法三维有限差分正演技术研究 [J], 余翔;王绪本;李新均;林雪洁;杨峰;唐沐恩
4.基于两步有限差分时域法的输电线路雷电感应电压分析方法研究 [J], 邓伟;姚国
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5.运用有限差分时域法计算具有径向色散特性的圆柱形隐形斗篷(英文) [J], 王学文;王成;周仁龙;曾志前
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