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浙教八上数学2.5 逆命题和逆定理

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2.5 逆命题和逆定理
课堂笔记
1．命题与逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的．
2．定理与逆定理：如果一个定理的能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的，这两个定理叫做．
3．垂直平分线的性质：到线段相等的点在线段的上．
分层训练
A组基础训练
1．下列定理中，没有逆定理的是（）
A.两直线平行，同位角相等
B.对顶角相等
C.全等三角形的对应边相等
D.两直线平行，同旁内角互补
2．下列说法中，正确的有（）
①每个命题都有逆命题；②每个定理都有逆定
理；③假命题的逆命题一定是假命题；④假命题没有逆命题．
A 1个B．2个 C 3个D．4个
3．下列命题的逆命题是真命题的是（）
A．等边三角形是锐角三角形
B．两个图形关于某直线对称，则这两个图形全等
C．两直线平行，同位角相等
D．两个全等三角形的面积相等
4．能证明命题“若a>0，b>0，则a＋b>0”的逆命题是假命题的反例是（）
A．a＝1，b＝1 B．a＝3，b＝4
C．a＝－3，b＝4 D．a＝－5，b＝2
5．（无锡中考）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）
6．写出一个存在逆定理的定理：．
7．写出下列命题的逆命题，并证明逆命题是假命题．
（1）若b＝c，则ab＝ac；
（2）若一个整数的个位数字是5，则这个数能被5整除．
8．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．
已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC.
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：线段AB的垂直平分线经过点D.
10．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．
命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
B组自主提高
11．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
12．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．
13．如图所示，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.
（1）求证：PA＝PB＝PC；
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
C组综合运用
14．（1）如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点．若AD ＝BE＝CF，求证：△DEF是等边三角形．
（2）请问（1）的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明．
答案
2.5 逆命题和逆定理
【课堂笔记】
1. 条件 结论 结论 条件 逆命题
2. 逆命题 逆定理 互逆定理
3. 两端距离 垂直平分线 【分层训练】 1—
4. BACC
5. 假
6. 两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
7.（1）若ab ＝ac ，则b ＝c ，假命题，若a ＝0，则b ，c 可以不等； （2）若一个整数能被5整除，则这个数的个位数字是5.假命题，个位数字是0也可．
8.连结BC ，∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴点A 和点D 在线段BC 的中垂线上，∴AD 是线段BC 的中垂线，∴EB ＝EC.
9.∠C ＝90°，∠A ＝30°，可得∠CBA ＝60°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBA ＝∠A ＝30°，∴AD ＝BD ，即线段AB 的垂直平分线经过点D.
10.逆命题：等腰三角形两腰上的高相等．这是一个真命题．
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于点E ，CD ⊥AB 于点D. 求证：CD ＝BE.
证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠ADC ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴CD=BE.
11.逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直． 原命题是假命题.
反例：如图1，∠CAD 的两边与∠EBF 的两边分别垂直，但∠CAD ＝45°，∠EBF ＝135°，即∠CAD ≠∠EBF. 逆命题是假命题．
反例：如图2，∠CAD ＝∠EBF ，但显然AC 与BE ，BF 都不垂直．
12.逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DE ＝DF.
求证：△ABC 为等腰三角形．
证明：连结AD. ∵D 是BC 的中点，∴S △ABD ＝S △ACD. ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴S △ABD ＝
21AB ·DE ，S △ACD ＝2
1
AC ·DF. 又∵DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形．
13.（1）证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，同理点P在BC的垂直平分线上，∴PC＝PB，∴PA＝PB＝PC.
（2）由（1）得PA＝PC，根据线段垂直平分线的逆定理，得点P在边AC的垂直平分线上．结论：三角形三边的垂直平分线相交于同一点，这个点与三顶点的距离相等．
14. （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝AB＝BC. 又∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE.在△ADF，△BED，△CFE中，∵AD=BE=CF，∠A=∠B=∠C，AF=BD=CE，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．
（2）（1）的逆命题成立．
已知：如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且△DEF是等边三角形．
求证：AD＝BE＝CF.
证明：∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝FE＝ED. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠ADF＋∠AFD＝120°，∠ADF＋∠BDE＝120°，∠BDE＋∠BED＝120°，∠AFD＋∠CFE＝120°，∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE. 在△ADF，△BED，△CFE中，
∵∠A=∠B=∠C，∠ADF=∠BED=∠CFE，DF=ED=FE，∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），∴AD＝BE＝CF.。

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八级数学上册(浙教版)课件：2.5 逆命题和逆定理 (共23张PPT)

八级数学上册(浙教版)课件：2.5 逆命题和逆定理 (共23张PPT)

C．全等三角形的对应角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
初中数学
5．下面定理中，没有逆定理的是( D ) A．同旁内角互补，两直线平行 B．全等三角形的对应边相等 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．等角的补角相等
初中数学
6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理． (1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； (2)成轴对称的两个图形是全等图形； (3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．
解：答案不唯一，如结论：(1)∠DAB＝ ∠DCB；(2)BD平分∠ADC和∠ABC；
初中数学
(3)DB垂直平分AC.结论(1)证明：在△ABD和△CBD中，∵AB＝CB， AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠DAB＝∠DCB；结论 (2)证明：同上可证△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝ ∠CBD，即BD平分∠ADC和∠ABC；结论(3)证明：∵AD＝CD，∴点D 在线段AC的垂直平分线上，同理，点B在线段AC的垂直平分线上， ∴DB垂直平分AC
初中数学
真命题 ，那么就叫它 2．如果一个定理的逆命题能被证明是________ 逆定理 ，这两个定理叫做___________ 互逆定理 ． 是原定理的_________
练习2：定理“两直线平行，同旁内角互补”与 同旁内角互补，两直线平行 互为逆定理． _____________________________
(2)请选择一个真命题进行证明．
(先写出所选命题，然后证明)
初中数学
解：答案不唯一，如选择①③⇒②.证明：∵AB＝AC，∴∠B ＝∠C.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE
浙教初中数学八年级上册《2.5逆命题和逆定理》word教案 (1)

浙教初中数学八年级上册《2.5逆命题和逆定理》word教案 (1)

逆命题和逆定理
能判断一些命并能运用推理的思想方法证命题的概念：对某一
做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

来说，如果说“两直线平行，同位角相等①”为原命题，则“同位角相等，两直线平行②”为逆命题。

我们说①②两个命题叫做互逆命题。

如果
请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。

、说出下列
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

面的交通工具是磁悬浮列车——假命题。

（指出逆命题、互逆命题不一定是真命题，
是互逆定理？
①注意组织适当的语句叙述出逆命题，
”的逆命题，判
注意：①用反例法证明。

定正确。

逆命题、逆定理的概念。

八上2.5逆命题和逆定理

八上2.5逆命题和逆定理

易得∠BPC=120°， ∠BPE=∠CPD=60°．
易证△BPE≌△BPQ，△CPD≌△CPQ，
得BQ=BE，CQ=CD，则BC=BE+CD=7．
八年级上 2.5 答案
选择填空题答案
2.5 课前检测 1-6 CDA BAD 2.5 课后检测
1-3 DDC
4. 5
5. 有
6. 两个相等的角是同位角
八上 2.5 课后 No.2
D
八上 2.5 课后 No.3
C
八上 2.5 课后 No.4
5
l P
A
B
八上 2.5 课后 No.5
有
八上 2.5 课后 No.6
两个相等的角是同位角
八上 Байду номын сангаас.5 课后 No.7
逆命题是：如果a2=b2,那么a=b． 这是假命题． 反例：当a=1，b=-1时，a2=b2，但 a≠b．
D C
F
3 2 S 3= AB , ∵ S1 S2 S3 4
S1
A
S2
B
S3
3 3 3 2 2 ∴ AC BC AB 2 4 4 4
E
∴ AC 2 BC 2 AB 2
∴ ∠ACB=Rt∠．
八上 2.5 课后 No.9
真
假
八上 2.5 课后 No.9
解:(1)连结BC．根据△BCD≌△CBE， 得∠ABC=∠ACB，则AB=AC
八上 2.5 课后 No.8
F
逆命题：如图，以△ABC各边 为边向外作等边三角形，若三 个等边三角形的面积S1,S2,S3
D
C
S1
A
S2
B
S3
E
满足S1+S2=S3,则∠ACB=RT∠.
八年级数学上册 2.5《逆命题和逆定理》教案 (新版)浙教版

八年级数学上册 2.5《逆命题和逆定理》教案 (新版)浙教版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题《逆命题和逆定理》教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.2、了解逆命题、逆定理的概念.教学重点、难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是，结论是 .命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”条件是，结论是 .以上两个命题有什么不同？请你说一说.归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.填表并思考行问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？二、例题教学例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.注意：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.②引导学生运用分类考虑的必要性.练习：⑴作业题4三、小结：这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.②能写出一个命题的逆命题.四、作业作业：1．课后作业题.。