5.2任意角的三角比(1)

任意角的三角比一、基础知识熟练记忆1、任意角的三角比——对于任意角的三角比，我们利用平面直角坐标系来进行研究。

（1）设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则点P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r（2）比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α， 上述六个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变。

当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z ）时， 终边上任意一点P 的纵坐标ｙ都为0，所以cot α、csc α无意义。

几个需要注意的问题：① 凡是终边相同的角的三角函数值相等。

sin(2k π+α)=sin α cos(2k π+α)=cos α tan(2k π+α)=tan α cot(2k π+α)=cot α② 0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。

第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0，cos α>0，tan α>0，cot α>0 第二象限：0,0.><y x∴sin α>0，cos α<0，tan α<0，cot α<0O A M P Txyα的终边 x yO A M T yOAM xyOAM TPα的终边第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，cot α>0 第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0，cos α>0，tan α<0，cot α<0记忆法则：第一象限全为正，二正三切四余弦。

5.2.1 三角函数的概念学习目标核心素养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3．掌握公式——并会应用.1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升数学运算素养.1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结yx＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin αRcos αRtan α⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．公式一1．sin(－315°)的值是( ) A ．－22 B ．－12 C.22 D.12C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22.] 2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝________.32[sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＋sin α的值为________． 3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12， 故cos α＋sin α＝3＋12.]三角函数的定义及应用[探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变．【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，则sin θ＋tan θ的值为________．(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路点拨] (1)依据余弦函数定义列方程求x → 依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ (2)判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α(1)310＋3010或310－3010 [因为r ＝x 2＋9，cos θ＝x r ，所以1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10. 又y ＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝310＋3010.当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝310－3010.](2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2， 所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.1．将本例(2)的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”其他条件不变，结果又如何？ [解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝(－1)2＋(－2)2＝5，得： sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2.2．将本例(2)的条件“落在直线3x ＋y ＝0上”改为“过点P (－3a,4a )(a ≠0)”，求2sinα＋cos α.[解] 因为r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r，cos α＝xr.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用【例2】 (1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限． (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C [因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)[解] ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值X 围是________．－2＜a ≤3 [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角．]诱导公式一的应用【例3】 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. [解](1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°) ＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 25π·tan 0＝sin π6＋0＝12.1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．1．思考辨析(1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝y r，且y 越大，sin α的值越大．( )(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( )[提示](1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝y r.但y 变化时，sin α是定值． (3)正确．(4)错误．终边落在y 轴上的角的正切函数值不存在． [答案](1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为( ) A ．1 B ．－1 C.22D ．－22B [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝________.－15 [设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )， 则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )， 由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.]4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4.[解](1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.。

5.2课题：任意角的三角比（2）教案教学目的：1、掌握三角比在各个象限的符号规律以及诱导公式一。

2、会用三角比的定义得到公式一，并能用公式一将任意角的正弦、余弦、正切的三角比分别转化为0°到360°的角的同一三角比。

教学重点：利用三角比的定义得出：三角比在各象限的符号特点及公式一。

教学过程：（一）、引入一、任意角三角比的定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y )，P 与原点的距离22y x r +=，则sin α=ry ，cos α=r x ，tan α=x y ，cot α=y x , sec α=x r , sec α=x r 二、三角比的值的号是有什么元素确定的？由三角比的定义知道：三角比的值的符号是有角α的终边确定的。

（二）、新课一、三角比在各象限的符号的确定由三角比的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知三角比的值在各象限的符号：y x x r y r xr x r y ======ααααααcot sec csc tan cos sin二、诱导公式一因为角的三角比值是由α的终边位置决定的，所以所有终边相同的角的三角比值是相同的。

诱导公式一：)Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ)(cot )2cot(Z k k ∈=+ααπ三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、确定下列三角比的符号：311tan )4( )672tan()3( )4sin()2( 250cos )1(00ππ-- 解：(1)∵250°角属于第三象限角, ∴cos250°<0(2) ∵4π-角属于第四象限角, ∴ )4sin(π-<0(3) ∵.48tan )360248tan( )672tan(0000=⨯-=-而48°角属于第一象限角,∴)672tan(0->0(4) ∵),3tan()34tan(311tan ππππ-=-=3π-角属于第四象限角，0)3tan(<-π∴311tan π<0例2、求下列三角比：)611tan((2) ;49cos )(1 ππ- （3）sin1485° 解：2241cos )412cos(49cos )(1==+=ππππ。

5.2三角比定义：设角α是一个任意角，将角α角α的顶点与原点O 重合，α的始边与x 在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）, 有点P 到原点的距离 2222+=+=y x yx r 则我们规定：sin ,cos ,()y xR r rααα==∈tan ,(,)2y k k Z x πααπ=≠+∈ ；cot (x y αα=sec ,(,)2r k k Z x πααπ=≠+∈ csc (,)r k k Z yααπ=≠∈。

诱导公式：第一组（2k πα+）：sin(2)sin k παα+=， cos(2)cos k παα+=，tan(2)tan k παα+=；【典型例题】 ［例1］(1)设(,)63ππθ∈，且17θ的终边与θ角的终边相同，则tan θ＝____(2)如果θ是第一象限角，那么①sin02θ>,②tan12θ<,③sincos22θθ>,④sincos22θθ<中恒成立的有_____个。

(3) .若tan α＝3，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-=_______(4)已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的弧长为 ；面积为 ． (5)已知04sin(540),cos(270)5αα+=--=则 ． ［例2］若tan α=1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．［例3］若1sin cos ,,,cos sin 842ππθθθθθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭求的值．［例4］已知sin()cos(2)tan(3)2()tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1） 化简()f α；（2） 若α是第三象限的角，且31cos()25πα-=，求()f α的值； （3） 若01860α=-，求()f α的值．1cos(6360300)cos602=--⨯+=-=-【练习】1．34sin ,cos ,255θθθ=-=若则角的终边在第_______象限 ２．已知sin 1,cos 43k k θθ=-=-，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是______. ３．已知1sin 1cos ,cos 2sin 1x xx x +=--那么=_________ ４．设θ是第三象限角，且coscos ,222θθθ=-则是第_______象限的角５．函数()f x 满足14(cos )(0),(sin )23f x x x f ππ=≤≤=则 ． ６．若角α和β的终边关于直线0x y +=对称，且3πα=-，则β角的集合是 ；７．已知 211tan ,32sin cos cos αααα=-=+则．８．已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．９．已知：α是三角形的内角，若1sin cos ,tan 5ααα+=求的值．10．已知关于x 的方程4x 2－2(m +1)x +m =0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m 的值．【课后巩固】１．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是第_______象限２．y =|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x x x++的值域是________３．若f (cos x )=cos2x ，则f (sin15°)=________４．计算 7231113sin cos()tan()cos 3643ππππ-+-= ． 答：54提示：利用诱导公式 ５．已知角α的终边上一点Ｐ与点Ａ(3,2)-关于ｙ轴对称，角β的终边上一点Ｑ与点Ａ关于原点对称，那么sin sin αβ+的值等于 ．６．已知sin （3π＋θ）＝41，求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．７．如果角α的终边经过点M （1，3），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.８．已知tan α是方程2210cos x x α+⋅+=的两个根中较小的根，求α的值．参考答案：例1：（1）答：1 提示: 与α角终边相同的角的集合是 }{2,k k Z ββπα=+∈ （2）答：1 提示:利用三角函数线知②总成立.（3）答：75提示:用公式sin tan cos ααα=（4）答：203π㎝ , 1003π㎝2提示:利用弧长公式l r α=及扇形面积公式12S lr =,注意圆心角的单位化为弧度 （5）答：45-提示：利用诱导公式 例2：解（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++==例3：解：222(cos sin )cos sin 2sin cos θθθθθθ-=+-13144=-=,,cos sin 42cos sin 2ππθθθθθ⎛⎫∈∴< ⎪⎝⎭∴-=-例4、解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==-（2）3cos()sin 2παα-=-1sin ,5αα∴=-又是第三象限的角()f αα∴===cos （3）0186********α=-=-⨯+ 0()(1860)cos(1860)f f α∴=-=-- 练习：1、答：四. 提示；由24sin 22sin cos 0,25θθθ==-< 227cos 2cos sin 025θθθ=-=>，可得 2、答：85k =. 提示：由22sin 0,cos 0sin cos 1θθθθ><+=及可得． 3、答：12. 提示：221sin sin 1sin 11cos cos cos x x x x x x +--⋅==- 4、答：二. 提示：由设θ是第三象限角知2θ是第二、四象限角，再由cos 02θ≤可得 5、答：512π 提示：455sin sin()cos3266ππππ=+= 6、答：2,6k k Z πββπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭提示：由对称性知，β角的终边与6π-的终边相同7、答：103提示：将分子１写成 221sin cos αα=+ 然后用弦化切可得 8、解：由题意，得0,4r m m ==≠∴=故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======9、解；由22sin cos 11sin cos 5αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0,),sin 0απα∈∴> 所以 4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以 sin 4tan cos 3ααα==-10、解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=2π， ∴cos α=sin β∵方程4x 2－2(m +1)x +m =0中，Δ=4（m +1)2－4·4m =4(m －1)2≥0 ∴当m ∈R ，方程恒有两实根.又∵cos α+cos β=sin β+cos β=21+m ，cos α·cos β=sin βcos β=4m∴由以上两式及sin 2β+cos 2β=1，得1+2·4m =(21+m )2解得m =±3当m =3时，cos α+cos β=213+＞0，cos α·cos β=43＞0，满足题意， 当m =－3时，cos α+cos β=231-＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去. 综上，m =3 课后巩固：1、答：四. 提示：cos 0,sin 22sin cos 0θθθθ>=<且可得2、答：{－1,3} 提示：讨论角ｘ在四个象限的情况3、答：－23 提示：00sin15cos75= 4、答：sin2+cos2.提示：2212sin(2)cos(2)sin 2cos 22sin 2cos 2ππ-++=++2(sin 2cos 2)=+及sin 2cos20+>可得5、答：０ 提示：由题设条件求出点Ｐ、点Ｑ的坐标，从而依正弦函数的定义求sin α、sin β6、解： sin （3π＋θ）＝－sin θ， ∴sin θ＝－41原式＝θθθθθθθcos )cos (cos cos )1cos (cos cos +-+---＝θθcos 11cos 11-++ ＝θθ22sin 2cos 12=-＝32 7、解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α=60°.∴A ={α|α=60°+k ·360°，k ∈Z }其中最大的负角为－300°（当k =－1时） 绝对值最小的角为60°（当k =0时）8、 解：由题意知：22tan tan 10cos ααα+⋅+=，解得1sin 2α=-，故cos 2α=±01 当cos α=240x ++=，解之得12x x ==故tan α=，所以2,3k k Z παπ=+∈02当cos α=240x -+=，解之得12x x ==故tan α=，所以,6k k Z παπ=+∈。

任意角的三角比教案
三角比是指三角形中各边的比值，通常包括正弦、余弦和正切。

在教学这个概念时，可以从以下几个角度进行教案设计：
1. 概念介绍，首先，要介绍三角形的基本概念，包括顶点、边、角度等，并引入三角比的概念。

可以通过图示和实际示例来让学生
直观理解三角比的含义和作用。

2. 正弦、余弦和正切的定义，分别介绍正弦、余弦和正切的定义，以及它们在直角三角形和任意角三角形中的计算方法。

可以通
过几何图形和实际问题来说明三角比的定义和计算方法。

3. 三角比的性质，介绍三角比的基本性质，如正弦、余弦和正
切的周期性、奇偶性等，以及它们之间的关系。

通过数学推导和实
例演示来让学生理解三角比的性质。

4. 三角比的应用，介绍三角比在实际生活和工程中的应用，如
测量高度、距离、角度等。

可以通过实际案例和问题让学生体会三
角比在实际中的重要性和作用。

5. 综合练习，设计一些综合性的练习题，包括计算三角比、证明三角比的性质、解决实际问题等，以帮助学生巩固所学的知识和技能。

在教学过程中，可以结合多媒体教学、小组讨论、实验演示等多种教学方法，让学生在实践中感受三角比的奥妙，提高他们的学习兴趣和能力。

同时，教师应该注重引导学生思考，培养他们的数学思维和解决问题的能力，使他们能够灵活运用三角比解决实际问题。

任意角的三角比教案
一、教学目标
1. 理解正弦、余弦和正切的概念。

2. 掌握如何计算任意角的正弦、余弦和正切值。

3. 能够运用三角函数解决相关实际问题。

二、教学重点和难点
1. 重点：正弦、余弦和正切的概念及计算方法。

2. 难点：任意角的三角比的应用。

三、教学内容
1. 正弦、余弦和正切的定义：在直角三角形中，对于任意角A，定义如下：
正弦（sinA）= 对边/斜边，余弦（cosA）= 邻边/斜边，正切（tanA）= 对边/邻边。

2. 任意角的三角比的计算：
对于任意角A，可以通过相关公式计算其正弦、余弦和正切值。

sinA = b/c, cosA = a/c, tanA = b/a，其中a、b、c分别为直角三角形的边长。

四、教学过程
1. 引入：
通过实际问题引入正弦、余弦和正切的概念，比如航海、建筑等领域中的应用。

2. 讲解：
讲解正弦、余弦和正切的定义，并介绍如何计算任意角的三角比。

3. 示例分析：
给出一些具体的例子，让学生通过三角函数的计算，解决相关实际问题。

4. 练习：
让学生做一些相关练习，巩固所学知识。

五、教学小结
通过本节课的学习，学生能够理解正弦、余弦和正切的概念，掌握计算任意角的三角比的方法，并能够运用到实际问题中。

六、作业布置
布置相关的练习题，鼓励学生在课后复习所学知识，并思考如何应用到生活中。

七、教学反思
回顾本节课的教学过程，总结学生的学习情况，思考如何更好地教学。

高中数学各章节知识点汇总高中数学各章节知识点汇总名目第一章集合与命题 (1)一、集合 (1)二、四种命题的形式 (2)三、充分条件与必要条件 (2)第二章别等式 (1)第三章函数的基本性质 (2)第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3)一、幂函数 (3)二、指数函数 (3)三、对数 (3)四、反函数 (4)五、对数函数 (4)六、指数方程和对数方程 (4)第五章三角比 (5)一、任意角的三角比 (5)二、三角恒等式 (5)三、解歪三角形 (7)第六章三角函数的图像与性质 (8)一、周期性 (8)第七章数列与数学归纳法 (9)一、数列 (9)二、数学归纳法 (10)第八章平面向量的坐标表示 (12)第九章矩阵和行列式初步 (14)一、矩阵 (14)二、行列式 (14)第十章算法初步 (16)第十一章坐标平面上的直线 (17)第十二章圆锥曲线 (19)第十三章复数 (21)第一章集合与命题一、集合1.1 集合及其表示办法集合的概念1、把可以确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集2、集合中的各个对象叫做那个集合的元素3、假如a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A”4、假如a别是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a别属于A”5、数的集合简称数集：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N别包括零的自然数组成的集合，记作N*全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R-6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极7、空集是指别用含有任何元素的集合，记作?集合的表示办法1、在大括号内先写出那个集合的元素的普通形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示办法叫做描述法1.2 集合之间的关系子集1、关于两个集合A和B，假如集合A中任何一具元素都属于集合B，这么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A”2、空集包含于任何一具集合，空集是任何集合的子集3、用平面区域来表示集合之间关系的办法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图相等的集合1、关于两个集合A和B，假如A?B，且B?A，这么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，假如两个集合所含元素彻底相同，这么这两个集合相等1.3 集合的运算交集1、由交集A和交集B的所有公共元素的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B并集1、由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B 的并集，记作A∪B，读作A并B补集1、在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，那个确定的集合叫做全集2、U是全集，A是U的子集。

第五章 三角比5.1 任意角及其度量1．把下列各角的度数化为弧度数：（1）70︒． （2）-135︒． （3）315︒． （4）1235︒．． 解：（1）7π18．（2）3π4-．（3）7π4．（4）247π360．2．把下列各角的弧度数化成度数： （1）4π3-． （2）-3． （3）π15．解：（1）240-︒． （2）1719-︒．． （3）12︒． 3．设集合{A =|αα为锐角}，B ={|αα为第一象限角}，{|C αα=为小于90︒的角}，则（ ）．A ．A CB ⊂⊂ B ．A BC B ⊂⊂，C ．A B C ==D ．A B A C ⊂⊂， 解：D ．4．已知扇形弧长为30cm ，半径为20cm ，求扇形的面积．解：213020300cm 2S =⋅⋅=．5．已知地球半径为6400km ，地面上一段弧所对的球心角为1′，求该弧的弧长．解：59267cm ．． 6．下列命题中，正确的是（ ）A ．终边相同的角是相等的角B ．终边在第二象限的角是钝角C ．若角α的终边在第一象限，则2α的终边也一定在第一象限D ．终边落在坐标轴上的所有角可表示为π2k ，k ∈Z 解：D ．7．写出于下列各角终边相同的最小正角与最大负角： （1）1140︒．（2）1290-︒．（3）2002︒． 解：（1）60︒，300-︒．（2）150︒，210-︒．（3）202︒，158-︒． 8．在弧度制下，写出下面处在标准位置的终边相同的角的集合：（1）π7-（2）第二象限的角．（3）角α的终边落在直角坐标系的左半平面上．解：（1）π|2π7k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，．（2）π|2π2π2k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，．（3）π3π|2π2π+22k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，．9．已知α为第三象限的角，确定角2α所在的象限，并画出其变化区域．解：3|2ππ2π+π2k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，则π3|ππ+π2224k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，故2α在第二或第四象限．10．已知扇形的圆心角为π3，半径为R ，圆C 与扇形的两条半径及扇形的弧都相切，求圆C 中圆心角为π3的扇形与原扇形的面积之比． 解：219R r -=⇒∶． 5.2 任意角的三角比1．若π02α-<<，则点（cot cos αα，）必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解：B ．2．确定下列各角的正弦、余弦、正切的符号： （1）850︒．（2）380-︒．（3）55π6． 解：（1）+--． （2）-+-． （3）--+．3．如果（1）cos 0sin x x <． （2）cot 0csc xx<． （3）sin cos 0x x <，试分别确定角x 的终边所在的象限．解：（1）第三或第四象限． （2）第二或第三象限． （3）第二或第四象限． 4．若P 点的坐标为（3y -，），5OP =（指OP 的长度），试求出y 值，并写出终边都过P 的角的三角函数值．解：4y =或4y =-．当4343554sin cos tan cot sec csc 555434y x x αααα===-=-=-=-=，，，，，，．当4343554sin cos tan cot sec csc 553434y x x αααα=-=-=-===-=-，，，，，，．5．（1）23π13π13πsin costan 4πcos 673⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭的值为__________． （2）sin 780tan 405tan(330)cot(690)cos390cos(300)︒+︒-︒=-︒-︒-︒__________．解：（1）0． （2）109． 6．角α为何值时，下面式子无意义： （1）1cos sin αα+． （2）cos sec αα+． （3）tan cot αα+．（4）1sin cos αα．解：（1）π()k k ∈Z ．（2）ππ()2k k +∈Z ．（3）π()2k k ∈Z ．（4）π()2k k ∈Z ．7221+=表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：C ．π，则πππ0222<<，则ππcos cos 22⎛⎫> ⎪⎝⎭，即>又由于ππ0π22<，，则00，，则0>，方程表示的曲线是椭圆．由于π4⎫-=+⎪⎪⎝⎭…（*）π02-<<，则0<，π3π24<<，则3πππ44<+<．则πsin 04⎫+>⎪⎪⎝⎭，则（*）或<0．即 则曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，故选C ． 8．已知cos cot sin tan ()sin cos tan cot f ααααααααα=+++，求()f α的值的集合． 解：分四个象限讨论，α为第1象限，()4f α=， α为第2象限，()2f α=-， α为第3象限，()0f α=， α为第4象限，()2f α=-，得到()f α的值的集合为{4，-2，0}．9．已知实数α，满足cos cos cos cos αβαβ-=+，且ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解：由题设可知，cos α和cos β异号，又由于cos 0α<，则cos cos 0cos cos αββα-<-．10．已知角α的终边经过（m n -，（0n m >>），问α是第几象限的角?并求α的六个三角比的值．解：第二象限．sin cos tan cot sec cscm n m n m n m n αααααα-+=====+-，，．11．用三角比的定义证明：(sin tan )(cos cot )(1sin )(1cos )αααααα++=++． 证：1cos 1sin (sin tan )(cos cot )sin cos (1sin )(1cos )cos sin αααααααααααα++++=⋅⋅=++． 5.3 同角三角比的关系和诱导公式 1．已知9cos 41α=-，90180α︒<<︒，计算：sin tan cot sec csc ααααα，，，，． 解：404094141sin tan cot sec csc 41940940x αααα==-=-=-=，，，，． 2．求下列各三角比的值： （1）sin1110︒．（2）11secπ6． （3）cot(75)-︒．解：（1）12．（2．（3）2-+3．已知tan 2β=-，求值： （1）3sin 2cos 2sin cos ββββ-+．（2）3323sin cos 3cos sin cos βββββ+-．解：（1）3sin 2cos 3tan 282sin cos 2tan 13ββββββ--==++．（2）无意义．4．求证恒等式：2212sin 2cos21tan 2cos 2sin 21tan 2x x xx x x--=-+． 证明：2222212sin 2cos2(sin 2cos2)cos2sin 21tan 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 21tan 2x x x x x x xx x x x x x x----===--++． 5．计算：（1）22sin (42)cot(25)cot(65)sin (48)αββα︒++︒+⋅-︒+︒-=__________．（2）π2π3π4πtantan tan tan 5555+++=__________． 解：（1）0． （2）0． 6．证明下列三角恒等式： （1）6622csc cot 13csc cot αααα-=+． （2）tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅． （3）1sec tan 1sin 1sec tan cos αααααα+++=+-（4）cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++． 证明：（1）66224224csc cot (csc cot )(csc csc cot cot )αααααααα-=-+⋅+ 42241(csc csc cot cot )αααα=⋅-⋅+ 22222(csc cot )3csc cot αααα=--⋅⋅ 2213csc cot αα=-⋅⋅．（2）左边sin sin sin cos sin 1cos sin cos αααααααα⋅==--，右边=sin sin 1cos cos sin sin sin cos αααααααα++==⋅ 因为sin 1cos 1cos sin αααα+=-， 所以左边=右边，得证． （3）1sec tan 1sec tan αααα+++-=sec sec tan tan tan sec 1sec tan αααααααα⋅-⋅+++-=(1sec tan )(tan sec )1sec tan αααααα+-⋅++-tan sec αα=+（4）cos (1cos )sin (1sin )(1sin )(1cos )αααααα⋅+-⋅++⋅+=22cos sin cos sin 1sin cos cos sin αααααααα-+-+++ (cos sin )(cos sin )(cos sin )1sin cos sin cos αααααααααα-++-=+++ =2(cos sin )(cos sin 1)1(cos sin 1)2αααααα-++++2(cos sin )cos sin 1αααα-=++．7．设tan 1)a θ=<<，化得22sin sin cos cos a a θθθθ++-． 解：22222sin sin 2sin 2cos cos cos a a a a θθθθθθ+==-+--． 8．化简π3πsin(5π)cos tan tan(2π)22αααα⎛⎫⎛⎫--⋅---⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解：原式=2πsin()sin()tan tan()cos 2ααααα⎛⎫⋅+-⋅=- ⎪⎝⎭．9．（1）已知关于x 的一元二次方程2(tan cot )10x x αα-++=的一个实根是2，求sin cos αα⋅． （2）是否存在π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得关于x 的方程24cos 20x x α-+=和24sin 20x x α--=有一个实数解相等？如果存在求出α；如果不存在，说明理由．解：（1）两根分别为2+，21tan cot 4sin cos 4αααα+=⋅=，． （2）存在且π6α=． 10．已知函数sin cos tan cot sec csc y x x x x x x =++++++，求函数的最小值． 解：运用换元法和基本不等式得：设1cos sin ()sin cos sin cos x xf x x x x x++=++，记πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 222sin cos (sin cos )11x x x x t =+-=-，得21sin cos 2t x x -=． 于是，1cos sin ()sin cos sin cos x xf x x x x x++=++，2122()111112t f x u t t t t t t +==+=+=-++---．则1u ≥，等号不成立．或1u ≤，则1u ≥-．所以最小值为1． 5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切 1．不查表，求下列三角比的值： （1）sin105︒． （2）12sin π5⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）cos165︒（4）tan105︒解：（1．（2）．（3）．（2）2- 2．在ABC △中，若ππsin cos 1sin cos 22A B A B ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解：D ．3．不查表，求下列各式的值：（1）sin10cos 20sin 20cos10︒︒+︒︒． （2）cos110cos50sin110sin 50︒︒+︒︒． （3）tan 22tan 231tan 22tan 23︒+︒-︒︒．（4tan15︒+解：（1）1sin10cos20sin 20cos10sin302︒︒+︒︒=︒=． （2）1cos110cos50sin110sin50cos602︒︒+︒︒=︒=． （3）tan 22tan 23tan 4511tan 22tan 23︒+︒=︒=-︒︒．（4tan15tan15tan 30tan 4511tan15tan 30︒+︒+︒==︒=-︒︒．4．已知tan 2α=，tan 3β=，且α，β都是锐角，求证：3π4αβ+=． 证明：tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==--，由于tan tan 1αβ>，则ππππ422αβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，+，， 则3π4αβ+=． 5．已知5sin sin(2)βαβ=+，求tan()tanαβ+的值． 解：5sin()sin()αβααβα+-=++ 5sin()cos 5cos()sin αβααβα⇒+-+ sin()cos cos()sin αβααβα=+++， 则tan()3tan 2αβα+=．6．求tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒的值．解：原式=πtan60(1tan 40tan 20)20tan 40tan 3︒-︒︒︒⋅︒= 7．求证：sin(2)2cos()sin csc sin αβαββαα---=-⋅．证明：sin(2)sin()2cos()sin 2cos()sin sin αβαβααβααβαα--+----=sin()sin cos sin αβαβαα--==-⋅．8．（1）求函数sin cos 1sin cos x xy x x=++的最大值．（2）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域． （3）a ∈R ，求()(sin )cos y x a x a =++的最小值． 解：（1）令sin cos ([1)(1t x x t =+∈-- ，换元可得：2max 11212t t y y t --==→=+（2）换元sin cos ()t x x t ⎡=+∈⎣，211122t y t -⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦．（3）当2min 12a y a =+．当2min 12a a y -=；当2min 12a y a <=+．9．证明不等式：3412．22sin cos 1x x +=，342=．10．（1）已知tan α，tan β是关于x 的方程20x px q ++=的两个实根，求sin()cos()αβαβ+-．（2）已知tan tan αβ，是关于x的方程2220mx m -=的两个实根，求tan()αβ+的取值范围．解：（1）sin()sin cos cos sin tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1pqαβαβαβαβαβαβαβαβ+++-===-+++．（2）tan tan tan()1tan tan 12m αβαβαβ⎡++===-⎢--⎣． 11．π63)cos 2sin 2364sin cos a a θθθθ⎛⎫+-+-<+ ⎪+⎝⎭对于π2θ⎡⎤∈0⎢⎥⎣⎦，恒成立，求a 的取值范围．解：设sin cos x θθ+=，则2πcos sin 2114x x θθ⎛⎫⎡-==-∈ ⎪⎣⎝⎭，，， 从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x++--<+， 即26223340x ax x a x ---++>，22230x x a x a x x ⎛⎫⎛⎫+--+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭有 ①由于原不等式等价于不等式①，则1x ⎡∈⎣，则230x -<①不等式恒成立等价于20(1)x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要max2(1)a x x x ⎛⎫⎡>+∈ ⎪⎣⎝⎭． 又容易知道2()f x x x =+在1⎡⎣上递减，则max23(1)x x x ⎛⎫⎡+=∈ ⎪⎣⎝⎭． 所以3a >．12．求出使方程(1)cos2(12)sin 2(12)cos (1)sin 0a x a x a x a x -+--+--+-=在(ππ)-，上有奇数个解的一切a 的值．解：首先，1a ≠，不然的话会有无穷多组解．令121cos sin [02π)a a M M ϕϕϕ---==∈，，，，其中0M =．于是原方程化为：πsin(2)cos()sin 2x x x ϕϕϕ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，即π22π2π22π+π2x x k k x x k ϕϕϕϕ⎧+=+-+⎪⎪∈⎨⎪+++-=⎪⎩Z ，． 第一个式子得：π2π2x k =-+，又由于(ππ)x ∈-，，则π2x =-．第二个式子得：2π2π32k x ϕ-=+．令[02)πϕϕ=∈，′，则由于(ππ)x ∈-，，则2π2π(ππ)32k ϕ-+∈-，，所以9344k ϕ-<-<′． 又π322x k ϕ=-⇔=-′． （1）130210and 42k k ϕϕ⎡⎫∈⇒=--≠-⎪⎢⎣⎭，，，，′′，既有偶数个解，不满足． （2）1310and 42k k ϕϕ=⇒=-≠-，，′′，有奇数个解，满足． （3）1531101and 4422k k ϕϕϕ⎛⎫∈⇒=-=-⇒= ⎪⎝⎭，，，，′′′满足． （4）5301and 42k k ϕϕ∈⇒==-，，′′，有奇数个解，满足．（5）5332012and 422k k ϕϕϕ⎛⎫∈⇒==-⇒= ⎪⎝⎭，，，，′′′满足． 综上所述，满足条件的ϕ′的值为11534242，，，，此时{}[01)(12]3a ∈ ，，．5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切1．已知5πsin π132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，求sin 2cos 2tan 2ααα，，． 解：120119120sin 2cos2tan 2169169119ααα=-==-，，． 2．求证：[][]sin (1sin )cos (1cos )sin (1sin )cos (1cos )sin 2θθθθθθθθθ+++⋅-+-=． 证明：[][]sin (1sin )cos (1cos )sin (1sin )cos (1cos )θθθθθθθθ+++⋅-+- 2(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos )1sin 2θθθθθθθ=+++-=+-=．3．求下列各式的值：（1）21cos 152︒-．（2）221tan 751tan 75-︒+︒．（3）22ππcos sin 88-．（4）2πtan8π1tan 8-．（5）sin15cos15︒⋅︒． 解：（1（2）．（3．（4）12．（5）14．4．若3π2π2α<<__________．cos 2α=-． 5．设n 为正整数，求证：sin cos cos cos 2422sin 2n nx x x xx ⋅⋅⋅= ．证明：提示：等式左右两边同时乘以2sin2n nx ． 6．求证三倍角公式：3cos34cos 3cos ααα=-．证明：cos3cos(2)cos2cos sin 2sin ααααααα=+=- =22(2cos 1)cos 2(1cos )cos αααα--- 34cos 3cos αα=-．7．试用万能公式求函数sin 1cos 2x y x +=+的值域．解：设tan 2x t =，则22221sin cos 11t t x x t t -==++，．22222212111321tt t t y t t t ++++==-+++． 2224(1)213024(1)(13)1612003y t t y y y y y y ⎡⎤-++-=∆=---=-∈⎢⎥⎣⎦，，，≥．8．设44()sin sin cos cos f x x x x x =-+，求()f x 的值域．解：44211()sin sin cos cos 1sin 2sin 222f x x x x x x x =-+=--．令sin 2t x =，则2211911()()122822f x g t t t t ⎛⎫==--=-+ ⎪⎝⎭．因此11919min ()(1)0824t g t g -==-⨯=≤≤，111919max ()02828t g t g -⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭≤≤．即得90()8f x ≤≤．9．已知sin cos 0sin 2cos2a x b x A x B x C +=+=，（a b ，是不同时为0的实数），求证：22222()()0a b A b a B a b C +-++=．证明：若0a =，则0b ≠，由已知第一式得cos 0x =，代入第二式又得B C =-；若0a ≠，则由第一式得tan bx a=-，代入第二式即可证得． 10．设0πθ<<，求sin (1cos )2θθ+的最大值．解：因为0πθ<<，所以π022θ<<，即sin 0cos 022θθ>>，．所以2sin (1cos )2sin cos 222θθθθ+=⋅=== 当且仅当222sin cos 22θθ=，即tan2θθ==时，sin (1cos )2θθ+． 11．在ABC △中，（1）若4sin 25C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()cos A B -的值．（2）若2sin sin cos 2CA B =，判别ABC △的形状． 解：（1）cos()cos(π)A B B C B -=--- cos(π2)cos(π2)B C B C =--=-++ 2cos(2)12sin 2C B C B ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭725=． （2）cos 1sin sin 2sin sin cos()1cos()12C A B A B A B A B +=⇒=-++⇒-=，等腰三角形． 12．已知tan tan αβ⋅=(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值． 解：22221tan 1tan (2cos 2)(2cos 2)221tan 1tan αβαβαβ⎛⎫⎛⎫----=-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ 22222222222213tan 13tan 19tan tan 3tan 3tan 31tan 1tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβ+++++=⋅==+++++． 13．当[]02πθ∈，时，求{}23331sin sin (2)sin (4)sin (2)sin(2)n n f θθθθθ-=⋅ 的最大值． 解：22422(sin sin 2)sin 4sin (1sin )θθθθθ⋅=⋅⋅- 4222244327sin sin sin (33sin )33464θθθθ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅= ⎪⎝⎭≤，2sin sin 2θθ∴⋅同理可证：21sin 2sin 2n n θθ-⋅．（123n = ，，）故：nf ⎝⎭≤，当π2π3k θ=+时等号成立． 5.6 三角比的积化和差与和差化积1．求证：（1）cos34cos cos(60)cos(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+． （2）tan34tan tan(60)tan(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+ 证明：（1）4cos cos(60)cos(60)θθθ⋅︒-⋅︒+ []2cos cos120cos(2)θθ=︒+ 232cos 2cos 2θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34cos 3cos θθ=-cos3θ=（2）由（1）得sin34sin sin(60)sin(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+， cos34cos cos(60)cos(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+，两式相除，可证．2．求22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒⋅︒的值．解：22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒⋅︒1cos 40cos1601sin 60)22-︒︒+=+︒-︒11(cos160cos 40)sin 60)2=+︒-︒+︒-︒11(2)sin100sin 60sin 60)2=+-︒︒+︒-︒=11604-︒=． 3．求证：312sin tan tan 22cos cos2x x x x x-=+．证：31sin sin 31sin 2sin 22tan tan 313122cos cos2cos cos cos cos 2222x xx x x x x x x x x x -=-==+． 4．已知3sin sin 5αβ+=，4cos sin 5αβ+=，求cos sin αβ⋅的值．解：两式平方求和，可得：1sin()2αβ+=-，两式平方作差，可得：7cos2cos22sin()25βααβ-+-=-， 化简：72sin()sin()2sin )25αβαβαβ+⋅-+(-=-， 则7sin()25αβ-=-． 利用积化和差，可得：[]1cos sin sin()sin()2αβαβαβ⋅=+-- 117112225100⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎝⎭．5．求值sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒⋅︒︒-︒⋅︒．解：sin 7sin 8cos15sin(158)sin 8cos15sin15cos8tan152cos7sin 8sin15cos(158)sin 8sin15cos15cos8︒+︒⋅︒︒-︒+︒⋅︒︒⋅︒===︒=-︒-︒⋅︒︒-︒-︒⋅︒︒︒． 6．已知函数π()t a n 02f x x θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，若12π02x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且12x x ≠，求证：[]12121()()22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭． 证明：[]121212sin sin 11()()22cos cos x x f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭1212sin()12cos cos x x x x +=121212sin()cos()cos()x x x x x x +=++-．121212121212121212sinsin 2cos sin()22221cos()cos cos 2cos 222x x x x x xx x x x f x x x x x x x x +++++⎛⎫=== ⎪+++++⎝⎭． 显然不等式成立．7．在ABC △中，（1）求证：sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++=． （2）求证：cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+． （3）求证：cotcot cot cot cot cot 222222A B C A B C++=⋅⋅． 证明：（提示：由于A B C ，，是三角形内角，故πA B C ++=，()sin sin C A B =+，cos cos()C A B =-+用倍角公式和和差化积证明．） （1）sin sin sin 2sincos sin()22A B A BA B C A B +-++=++ 2sin cos cos 222A B A B A B +-+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4cos cos sin222A B A B+= 4coscos cos 222A B C =； （2）左边=2cos cos cos()22A B A BA B +--+ =22coscos 2cos 1222A B A B A B +-+-+ 2cos cos cos 1222A B A B A B +-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin2sin sin 1222C A B=⋅⋅+，获证．（3）从略．8．在非直角ABC △中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． 证明：tan tan tan tan(π())tan()1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⇒++=．9．在ABC △中，求证下列恒等式：（1）222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-．（2）222sin sin sin 12sin sin sin 222222A B C A B C++=-．证明：（1）即证cos21cos21cos2112cos cos cos 122A B C A B C +++++=-， 即证cos 2cos 2cos 214cos cos cos A B C A B C +++=-． 左边2cos()cos()cos(22)1A B A B A B =+-+++ []2cos()cos()cos()A B A B A B =+-++ 4cos cos cos A B C =-，得证．（2）即证11(cos cos cos )2sin sin sin 22222A B CA B C -++=- 下面参考题7第（2）小题，可证．10．求sin6︒·sin42︒·sin66︒·sin78︒的值． 解：原式=1sin12cos12cos24cos48sin6cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒︒︒︒︒=⋅︒1sin 24cos24cos484cos6︒︒︒=⋅︒ 1sin 48cos488cos6︒︒=⋅︒ 1sin8416cos6︒=⋅︒ 1cos616cos6︒=⋅︒=116． 11．已知1cos()sin()sin cos 02αβαβαα+-+=，且22π3sin 2sin 102αβαβ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，，，，求()sin αβ+的值．解：由条件得23sin 2sin 23sin cos22αβαβ==，，平方相加，得29sin 1α=，于是1sin 3α=，cos α=，代入第二个已知条件得到sin β=，cos β=，于是sin()αβ+．5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 1．辨别下列ABC △的形状：（1）sin sin sin 234A B C =∶∶∶∶． （2）cos cos a A b B =．（3）sin sin(90)(90)b a C c a B B ==︒-<︒，． （4）6012A a b c =︒=+=，，．解：（1）sin sin sin 234AB C a b c ==∶∶∶∶∶∶，利用余弦定理可得：钝角三角形． （2）cos cos sin cos sin cos sin 2sin 2a A b B A A B B A B =⇒=⇒=， 等腰或直角三角形．（3）πsin sin cos sin()sin cos cos sin 02C A B A B A B A B A =⇒+=⇒=⇒=， sin sin sin sin sin B A C B C B C =⇒=⇒=，等腰直角三角形．（4）利用余弦定理可得，等边三角形． 2．在ABC △中，求证：（1）(sin sin )(sin sin )(sin sin )0a B C b C A c A B -+-+-=． （2）222sin sin cos 2sin sin cos()1A B C A B A B ++++=． （3）222222()tan ()tan 0a b c A a b c B --+-+=．（4）cos sin cos sin a c B Bb c A A -=-． 提示：（1）利用正弦定理证明．（2）利用倍角公式，和差化积公式证明． （3）利用正余弦定理证明． （4）利用正余弦定理证明．3．在ABC △中，a 、b 、c 为三边，判别下列命题的真假． （1）a b >的充要条件是sin sin A B >． （2）a b >的充要条件是cos cos A B <． （3）a b >的充要条件是tan tan A B >． （4）a b >的充要条件是cot cot A B <． （5）a b >的充要条件是cos 2cos 2A B <． 解：真；真；假；真；真． 4．在锐角ABC △中，已知60B ∠=︒=A C ∠∠，的值． 解：75︒和45︒．5．某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30︒方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向．求此时货轮到灯塔S 的距离． 解：由正弦定理可得6．已知ABC △的三个内角A B C ，，成等差数列，且11cos cos A C +=cos 2A C-的值． 解：因为120A C =︒-，所以cos cos(60)2A CC -=︒-， 又由于1111cos(120)cos cos cos cos(120)cos cos cos(120)C CA C C C C C ︒-++=+=︒-︒- []2cos60cos(60)1cos120cos(1202)2C C ︒︒-=︒+︒-2cos(60)1cos(1202)2C C ︒-==-︒--所以22cos 022A C A C--+-．解得cos 2A C -=cos 2A C -=． 又cos02A C->，所以cos 2A C -= 7．在ABC △中，如果2226a b c +=，求(cot cot )tan A B C +的值．解：原式=sin()sin sin 1sin sin cos sin sin cos A B C C A B C A B C +⋅=⋅⋅⋅22222222c ab c ab a b c a b c 22=⋅=+-+-2222265c c c ==-． 8．已知在ABC △中，A B C <<，cos cos sin a B b A c C ===，，． （1）求ABC △的外接圆半径和角C 的值．（2）求a b c ++的取值范围． 解：（1）sin cos sin cos A B B A =，且1π21sin 22c R R C C ==⇒==，．（2）2(sin sin sin )(21)C R A B C =++∈．9．已知锐角ABC △中，31sin()sin()55A B A B +=-=，，若12AB =，求ABC △的面积．解：3sin()sin cos cos sin 25sin cos 15sin()sin cos cos sin 5A B A B A B A B A B A B A B ⎧+=+=⎪⎪⇒=⎨⎪-=-=⎪⎩， 1cos sin 5A B =，tan 2tan A B =．23tan tan 3tan tan()41tan tan 12tan A B BA B A B B ++=-==--．tan B =，tan 2A = 过点C 作边AB 的高，垂足为D ．则4tan 4(2AD h AD A ===，，24(2ABC S =△． 5.8 三角比的应用1．已知a 为实数，函数3(1)()sin 3()()sin 1a f a g θθθθθ-=++=∈+R ，．（1）若()cos f θθ=，试求a 的取值范围． （2）若1a >，求函数()()f g θθ+的最小值． 解：（1）()cos f θθ=，即si n c o s 3a θθ-=--，又πsi n c o s 4θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以3a +从而a的取值范围是33⎡--+⎣．（2）3(1)()()(sin 1)2sin 1a f g a θθθθ-+=+++++，令s i n1x θ+=，则02x <≤，因为1a >，所以3(1)a x x -+≥，当且仅当x2解得73a ≤，所以当713a <≤时，函数()()f g θθ+的最小值是2a +．下面求当73a >时，函数()()f g θθ+的最小值． 当73a >2，函数3(1)()a h x x x -=+在（0，2]上为减函数，所以函数()()f g θθ+的最小值为3(1)5(1)2222a a a -++++=． 由于当73a >时，函数3(1)()a h x x x +=+在（0，2]上为减函数的证明：任取122121213(1)02()()()1a x x h x h x x x x x ⎡⎤-<<-=--⎢⎥⎣⎦，≤，因为21043(1)4x x a <->，≤，所以21213(1)10()()0a h x h x x x --<-<，，由单调性的定义函数3(1)()a h x x x-=+在（0，2]上为减函数． 于是，当7l 3a <≤时，函数()()f g θθ+的最小值是2a +；当73a >时，函数()()f g θθ+的最小值5(1)2a +． 2．已知数列{}n a，满足1n a a ==(23)n = ，，，求： （1）数列的通项．（2）设212n n n b a n == ，，，， 求证：4n b <．解：（1）设[]2sin 02π12n n n a n αα=∈= ，，，，，，则1π4α=．由递推，n a =12sin2n α-==，故12sin 2sin 2n n n a αα-==，即12n n αα-=，（23n = ，，）．得到：111π(123)22n n n n αα-+=== ，，，，． 故通项公式为：1π2sin 2n n a +=． （2）1111ππ22sin2π422n n n n n n n b a ++++==<⋅=<．获证．3．已知*011)n n a a n -=∈N ，，求证：2π2n n a +>．证明：由题设0n a >，令πtan 02n n n a a a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，则111111sec 11cos tan tan tan sin 2n n n n n n n n a a aa a a a --------=====．因为12n a -，π02n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以112n n a a -=，所以012nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又因为00tan 1a a ==，且0π02a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以0π4a =，所以1π24nn a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．又因为当π02x <<时，tan x x >，所以22ππtan 22n n n a ++=>．4．已知锐角ABC △，角A B 、满足2A B =． （1）三边长为连续整数时，求ABC △三边的长． （2）三边长为连续整数时，求ABC △的面积S ．解：（1）设ABC △的三边为11(3)n n n n n -+∈N ，，，≥，由题设π3C B =-， 由题意ππ0022A C A C <<<<≠，，，即ππ020π32π322B B B B <<<-<≠-，，， 得ππππ6554B ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，．①当ππ65B <<时，π2π2ππ2π33552B B <<<-<，，得C A B >>，故角B 所对的边为1n -，角A 所对的边为n ，于是有1sin sin 2n nB B-=，得cos 2(1)n B n =-，又222(1)(1)cos 2(1)n n n B n n ++--=⋅+， 得222(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n ++--=-⋅+，解得2n =，舍去；②当ππ54B <<时，2πππ2π2π35245B B <<<-<，，得A C B >>，故角B 所对的边为1n -，角A 所对的边为1n +，于是有11sin sin 2n n B B -+=，得1cos 2(1)n B n +=-，又222(1)(1)cos 2(1)n n n B n n ++--=⋅+， 得2221(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n +++--=-⋅+，解得5n =，故ABC △的三边长为456，，． （2）由（1）中的②得3cos 4B =，故sin B =，因此1sin 2S ac B ==5．一个圆锥的外接球体积为972π，且内切球表面积为圆锥的侧面积和底面面积的等差中项，求这个圆锥的体积．（提示：可设圆锥的顶角为2α．）解：2ππ5129π23r rl S r r V +===⇒=外接切切，内内．6．已知ABC △的A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且4442222()a b c c a b ++=+． （1）求C ∠． （2）若c 为最小边，求ba的取值范围． （3）若c 为最大边，求a bc+的取值范围． 解：（1）2222444222222222222cos 24a b c a b c a b a c b c C ab a b ⎛⎫+-+++--== ⎪⎝⎭． 4442222()a b c c a b ++=+，cos C ∴=45C =︒或135C =︒． （2）若c为最小边，则222245C c a b a =︒=+<，，ba ∴2222c a b b =+<．b ab a （3）若c 为最大边，则135C =︒，222222()(2())c a b a b ab a b a b =++=+--++≥，2a b a b c c ++⎛⎫⎪⎝⎭，a b c +>，所以1a b c +< 7．已知ABC △的三边a b c ，，和三内角A B C ，，满足条件cot cot cos2c a B b A =+，判断三角形形状．解：a b ABC =，△为等腰三角形． 8．已知函数()sin sin cos cos cos 2k k k f x kx x kx x x =+-，（其中k 为常数，R x ∈） （1）当1k =时，求函数()f x 的单调递增区间． （2）当1k =时，求函数2()()()f x g x a f x =+在π03⎛⎤ ⎥⎝⎦，上的最大值（其中常数0a >）． （3）是否存在*k ∈N ，使得函数()f x 为一常函数，若存在，求出k 的值，并加以证明，若不存在，请说明理由．解：（1）2()sin sin cos cos cos21cos22sin f x x x x x x x x =+-=-=． 由ππππππ22k x k x k k k ⎡⎤+⇒∈+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，≤≤． （2）224()2sin ()()4sin f x x g x a f x a x ==++，令232sin 02t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，，于是，原函数等于1a tt +． 当904a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，则当t；当94a >时，则当32t =时，最大值为649a +．（3）假设函数()f x 为常函数，令0x =，则原式=0， 令π2x =，则原式=πsin (1)0412k k k n --=⇒=-（n 为正整数）；令πx k=，则原式π2ππ2π33cos cos 0cos cos 21()21k k m k m k k k k k m =--=⇒=-⇒=+⇒=∈+Z ．综上3k =．当3k =时，原式为333sin3sin cos3cos cos 2x x x x x +-223sin3sin sin cos3cos cos cos 2x x x x x x x =+-=223sin3sin (1cos )cos3cos (1sin )cos 2x x x x x x x -+--223sin3sin cos3cos sin3sin cos cos3cos sin cos 2x x x x x x x x x x x =+---3cos2sin cos (sin3cos cos3sin )cos 2x x x x x x x x =-+- 3cos 2sin cos sin 4cos 2x x x x x =-- 23cos 2sin 2cos 2cos 2x x x x =--23cos2(1sin 2)cos 2x x x =--=33cos 2cos 20x x -=．第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+． （2）()sin f x x x =． （3）()πsin πf x x =． （4）2()sin sin 2f x x x =+． （5）ππ()cos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （6）22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++． （7）66()sin cos f x x x =+．（8）2222()sin cos (0)f x a x b x a b =++≠． 解：（1）奇函数，最小正周期是π．（2）奇函数，不是周期函数． （3）奇函数，最小正周期是2．（4）非奇非偶函数，最小正周期是π． （5）偶函数，最小正周期是2π．（6）非奇非偶函数，最小正周期是π． （7）偶函数，最小正周期是π2．（8）偶函数，最小正周期是π．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和siny x=图像的区别：题2(1)解析图（1）2sin1y x=-．12sin2y x =．解：（1）将siny x=的纵坐标扩大2倍，然后向下平移1个单位，得到2sin1y x=-．（2）将siny x=的横坐标扩大2倍，然后再将纵坐标扩大2倍，得到12sin2y x =．题2(2)解析图3．观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间：（1）sin0x>．（2）cos0x<．（3）1 sin2x>．（4）cos x<．解：（1）(2π(21)π)()k k k+∈Z，（2）π32π2ππ()22k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z，．（3）π52π2ππ()66k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z，．（4）3π5π2π2π()44k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z，．4．求下列函数的单调区间：（1）π3cos27y x⎛⎫=--⎪⎝⎭．（2）π2sin34y x⎛⎫=--⎪⎝⎭．（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．解：（1）π4πππ()147k k k ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦Z ，．（2）2ππ2ππ()31234k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，． （3）π2π2π()2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值：（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （2）23cos 4sin 2y x x =--．（3）2π2π2sin 3sin 133y x x x ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，，．解：（1）max min 51y y ==，；x 的值分别为π2π6k -及5π2π+()6k k ∈Z ． （2）763y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，．（3）0y ⎤∈⎥⎣⎦．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．解：定义域π5π2π2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，，；值域13[log )+∞；单调区间：递增：π3π2π2π44k k ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，，递减：3π5π2π2π44k k ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，；非奇非偶，2πT =．7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，，满足：cos cos(sin )sin(cos )ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．解：γαβ<<． 8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+．（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++． （3）2cos(32)5y x =-+y ． 解：（1）2π．（2）2π．（3）2π39．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．解：ππ2k x k =-∈Z ，． 10．（1）求函数2()sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为-4，实数0a >，求a b ，的值． 解：（1）当2()1a g a a <-=--，；当2122()4a g a a -=，≤≤；当2()1a g a a >=-，．（2）22a b ==-，． 6.2 正切函数的性质与图像1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗?为什么? 解析：不对，应该说在各自区间是单调递增函数． 2．求下列函数的周期： （1）tan()(0)y ax b a =+≠ （2）tan cot y x x =-．解：（1）πa ．（2）π2．3．求函数11tan 2y x=+的定义域．解：ππππ()8224k k x x x k ∈≠-+≠+∈R Z ，，．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．解：用分离常数法或用判别式法解题，max min 133y y x ==，，取值分别为ππ4k +及ππ()4k k -+∈Z ．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2()sin 3x y x x -=∈-R ．（2）sin 2()cos 3x y x x -=∈-R ．解：（1）换元法解题，min max 1324y y ==，．（2）万能公式，或者利用几何意义解题，max min y y ==． 6．求函数sin cos π0sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，的最值．解：换元法解题，sin cos 1t x x ⎡=+∈⎣．21(1)112()2t y t t t -==-，单调递增，所以0y ⎡∈⎢⎣⎦． 7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小．（2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin •θ，()sin tan θ的大小． （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 解：（1）cos cot sin θθθ<<．（2）sin(sin )sin sin(tan )θθθ<<． （3）sin(cos )cos cos(tan )θθθ<<6.3 函数sin()y A x d ωϕ=++的图像与性质1．经过怎样的图形变换，函数sin y x =的图像可以变换成为函数2sin(26)2y x =++的图像?反之，函数()2sin 262y x =++的图像经过怎样的变换可以成为函数sin y x =的图像?解：将sin y x =的图像向x 轴负方向平移6个单位长度，然后将所得各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将纵坐标变为原来的2倍。

5．2 任意角的三角函数5.2.1任意角三角函数的定义第1课时用比值定义三角函数教材要点要点一任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)的定义：sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，其中r＝√x2+y2.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切，y＝sinα，y＝cosα，y＝tanα分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数．状元随笔角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．要点二三角函数的定义域正弦函数y＝sinα，定义域为________；余弦函数y ＝cos α，定义域为________； 正切函数y ＝tan α，定义域为________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．( )(3)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝yr ，且y 越大，sin α的值越大．( )(4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 2．已知角α的终边与单位圆交于点(−√32，−12)，则sin α的值为( )A ．－√32B ．－12C ．√32D ．12 3．若角θ的终边经过点P (−√22，√22)，则tan θ＝( )A ．√22B ．－√22C ．－1D ．－√324．如果角α的终边经过点P (－1，√3)，则cos α＝________．题型1 单位圆法求三角函数值例1 (1)角α终边与单位圆相交于点M (√32，12)，则cos α＋sin α的值为________． (2)利用定义求5π6的正弦、余弦和正切值．方法归纳1．若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值．2．若已知角α终边上一点P (x ，y )(x ≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sinα＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(1213，513)和(−35，45)，那么sin αcos β＝( )A ．－3665B ．－313C ．413D ．4865(2)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为35，求tan α.题型2 坐标法求三角函数值例2 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．方法归纳(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法，cosα在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sinα＝yr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．＝xr(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．，则m＝( ) 跟踪训练2 已知角α的终边上一点P(1，m)，且sinα＝√63A．±√2B．√2C．－√2D．√62题型3 三角函数概念的综合应用的值．例3 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα方法归纳在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况进行处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sinα＝√a 2+b 2，cos α＝√a 2+b 2，tan α＝ba .跟踪训练3 已知角α的终边在直线y ＝√3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．易错辨析 忽略题目中的隐含条件致误例4 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－√32D ．±12解析：∵点P 到原点的距离r ＝√64m 2+9， ∴cos α＝√64m 2+9＝－45，即4m 264m 2+9＝125，且m ＞0，解得m ＝12. 故选A. 答案：A 易错警示课堂十分钟1．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(−35，45)，则tanα的值为( )A ．－43B ．－34 C ．－45D ．－352．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合，角θ的终边经过点P (－3，4)，则cos θ＝( )A ．－35B ．45C ．－325D ．4253．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A ．12B ．－12C ．－√32D ．－√334．已知角α的终边在射线y ＝－x (x ≤0)上，则cos α＝________． 5．已知角θ的终边上一点P (－√3，m )，且sin θ＝√24m .求cos θ与tan θ.5．2 任意角的三角函数 5．2.1 任意角三角函数的定义第1课时 用比值定义三角函数新知初探·课前预习要点一y rx ryx要点二R R {α|α≠π2+kπ，k ∈Z}[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y ＝－12. 故选B. 答案：B3．解析：角θ的终边经过点P (－√22，√22)，则tan θ＝√22－√22＝－1，故选C. 答案：C4．解析：∵角α的终边经过点P (－1，√3)，∴|OP |＝√（−1）2+（√3）2＝2，∴cos α＝－12.答案：－12题型探究·课堂解透例1 解析：(1)由三角函数的定义得sin α＝12，cos α＝32，所以cos α＋sin α＝32＋12＝3＋12.(2)如图所示，5π6的终边与单位圆的交点为P ，过P 作PB ⊥x 轴于点B ，在△OPB 中，|OP |＝1，∠POB ＝π6，则|PB |＝12，|OB |＝32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 所以sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32tan 5π6＝－33.答案：(1)3＋12(2)见解析 跟踪训练1 解析：(1)由三角函数的定义sin α＝513，cos β＝－35，所以sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.故选B.(2)由题意，设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，35，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，解得x ＝45或－45. 当x ＝45时，tan α＝3545＝34；当x ＝－45时，tan α＝35－45＝－34.答案：(1)B (2)见解析例2 解析：r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述：当a >0时，2sin α＋cos α＝1；当a <0时，2sin α＋cos α＝－1. 跟踪训练2 解析：角α的终边上一点P (1，m )， 所以r ＝|OP |＝1＋m 2， 所以sin α＝m1＋m2＝63>0， 解得m ＝ 2. 故选B. 答案：B例3 解析：由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任意一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |. (1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10kk＝10， 所以10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10kk＝－10， 所以10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练3 解析：因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋（3a ）2＝2|a |(a ≠0).若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3.若a <0时，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝a －2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.[课堂十分钟]1．解析：由正切函数的定义可得，tan α＝45−35＝－43.故选A. 答案：A2．解析：∵角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合， 角θ的终边经过点P (－3，4)，则cos θ＝√9+16＝－35， 故选A. 答案：A3．解析：∵x ＝2sin 30°＝1，y ＝－2cos 30°＝－√3，∴r ＝√12+(−√3)2＝2，∴sin α＝y r＝－√32.故选C. 答案：C4．解析：在角α的终边y ＝－x (x ≤0)上任取一点(－1，1)， 则cos α＝√1+1＝－√22.答案：－225．解析：由题意得sin θ＝mm2＋3＝24m，若m＝0，则cosθ＝－1，tan θ＝0. 若m≠0，则m＝± 5.当m＝5时，cosθ＝－64，tan θ＝－153；当m＝－5时，cosθ＝－64，tan θ＝153.11。