最新福建省厦门一中高一3月线上月考数学试题(解析版)

福建省厦门第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知O 的半径为4，若3PO =，则点P 与O 的位置关系是（）A ．点P 在O 内B ．点P 在O 上C ．点P 在O 外D ．无法判断2．已知关于x 的方程220x mx ++=的一个根为1x =，则实数m 的值为（）A ．4B ．-4C ．3D ．-33．图中的风车图案绕着中心O 旋转，至少旋转（）旋转后的图案与原来的图案重合．A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒4．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．明天下雨B ．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中C ．掷一枚硬币，正面朝上D ．任意画一个三角形，其内角和是180°5．将抛物线2y x =向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--6．往水平放置的半径为13cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度24cm AB =，则水的最大深度为（）A．第一象限B．第二象限∥∥，直线m，8．如图，a b cA．5B．5.6AB<，画经过9．已知点A，B，且6A．0个B．110．如图，平行四边形OABC点Q为线段OC上动点（不与12,62P．①点B的坐标是()直线PQ与已知圆相切；④直线A．1个B．2个二、填空题11．袋中有3个红球，2个白球，现从袋中任意摸出16．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图AB CD都与水面、桌面平行，物线的一部分，,面高度为6cm时，水面宽度为倒出部分水，如图3，当倾斜角水面CE的值是三、问答题17．解方程：x+=(1)()224(2)22150x x--=四、应用题18．某种书包原来每个售价100元，经过连续两次降价后，现在每个售价为81元，求平均每次降价的百分率．(1)点M 的坐标是；(2)判断M 与y 轴的位置关系，并说明理由．六、证明题20．如图，AE 平分BAC ∠，D 为AE 上一点，B C ∠=∠．（1）求证：ABE ACD ；（2）若D 为AE 中点，4BE =，求CD 的长．七、应用题21．某日，婷婷老师对九年级的下表：在这100人中随机抽取一人，抽到喜欢打羽毛球的学生的概率是喜欢不喜欢男生a 人5人女生30人b 人(1)=a _________，b =_________．(2)某班有两男两女共四名喜欢打羽毛球的同学，若从这四名同学中随机抽取两人参加比赛，请用列表法或树状图求所抽取的两人是异性的概率．八、证明题22．如图，ABC 中，3,6AB AC ==，将ABC 绕点A 逆时针旋转至ADE V ，点B 的对应点点D 恰好落在BC 边上．(1)尺规作图：作出ADE V ；(2)求证：2CE BD =．九、问答题(1)求小球第一次下落的水平飞行距离(2)求点D 的坐标；(3)直接写出A 与E 的高度差．十、证明题24．如图，ABC 内接于O ，弦BD AC ⊥，垂足为E ．点D ，点F 关于AC 对称，连接AF 并延长交O 于点G ．(1)连接OB ，求证：ABD OBC ∠=∠；(2)求证：点F ，点G 关于BC 对称；(3)若2BF OB ==，求ABC 面积的最大值．十一、问答题(1)求抛物线的解析式：(2)点C 为第四象限抛物线上一动点，点C 横坐标为①如图1，若90ACB ∠=︒时，求t 的值：②如图2，直线BD 与抛物线交于点E ，连接AE 出这个定值：若不是，请说明理由．。

2021-2022学年福建省厦门第一中学高一3月月考数学试题一、单选题1．设复数()211i z =--，则复数z 的共轭复数z 等于（ ） A ．12i - B ．12i + C ．32i + D ．32i -【答案】A【分析】利用复数的运算法则及共轭复数的概念即得.【详解】因为()()2211i 112i i 12i z =--=--+=+，所以12i z =-. 故选：A ．2．在ABC 中，已知60A =︒，4BC =，则ABC 的外接圆直径为（ ） A ．8 BC ．4 D【答案】B【分析】利用正弦定理求解.【详解】在ABC 中，60A =︒，4BC =，所以由正弦定理得：2sin BC R A ===故选；B3．已知向量(2,3)a =，(,2)b x =，则“a 与b 的夹角为锐角”是“3x >-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】求出a 与b 的夹角为锐角的充要条件，再考查它与3x >-的关系即可得解. 【详解】因a 与b 的夹角为锐角，则cos ,0a b 〈〉>且a 与b 不共线， cos ,0a b 〈〉>时，2603a b x x ⋅=+>⇒>-，当//a b 时4343x x =⇒=， 则a 与b 不共线时43x ≠，所以a 与b 的夹角为锐角的充要条件是{|3x x >-且4}3x ≠， 显然{|3x x >-且4}{|3}3x x x ≠⊆>-，即“a 与b 的夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件，A 正确. 故选：A【点睛】结论点睛：两个向量夹角为锐角的充要条件是这两个向量的数量积大于0，并且它们不共线；两个向量夹角为钝角的充要条件是这两个向量的数量积小于0，并且它们不共线. 4．已知平面向量()2,a m =，()2,1b =，a b a b -=+，则a b +=（ ）A ．4BC ．D ．5【答案】D【分析】先由a b a b -=+求出m ，再求出a b +的坐标，进而求出模长. 【详解】解：由a b a b -=+，得0a b ⋅=， 即40m +=，则4m =-， 所以()4,3a b +=-， 所以5a b +=. 故选：D.5．已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为2,,,cos ,2, 3.3a b c A b c ===则BC 边上的高为（ ）A ．1 BC D ．2【答案】D【分析】先根据余弦定理求得a ，再由余弦定理求得cos B ，继而求得sin B ，从而可得选项.【详解】因为2cos ,2, 3.3A b c ===所以222+cos 2b c a A bc -=，即22222+33223a -=⨯⨯，解得a =所以222222+32cos2+c a b B ac==--0B π<<，所以2sin 3B =， 所以BC 边上的高为2sin 323c B =⨯=，故选：D.6．鹳雀楼是我国著名古迹，位于今山西省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．更有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼”．如图是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼的项点C 的仰角为30，沿直线前进51.9米到达E 点，此时看点A 的仰角为60︒，若点B ，E ，D 在一条直线上，2BC AC =，则楼高AB 1.73）（ ）A ．30米B ．60米C ．90米D ．103米【答案】C【分析】设AC x =，以BD 的长列方程，化简求得x ，由此求得AB . 【详解】AC x =，则2,3,4,3BC x AB x CD x BE x ====，2223BD CD BC x =-=，BD BE ED =+，即23351.930x x x =+⇒≈，所以30390AB ≈⨯=米. 故选：C7．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE EA =，2CF FB =.点P 在正方形ABCD 的边上，且16PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】B【分析】以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴建立平面直角坐标系，P 点在正方形四边上移动，分4种情况分别求P 点坐标可得最终结果．【详解】解：以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，(6,4)F ，①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ，∴(,4),(6,4)PE x PF x =-=-， ∴261616PE PF x x ⋅=-+=，即260x x -=，解得10x =、26x =，所以()10,0P 或()26,0P ，故此时满足条件的P 点有2个；②若P 在AD 上，设(0,)P y ，06y <，∴(0,4),(6,4)PE y PF y =-=-， ∴22(4)81616PE PF y y y ⋅=-=-+=， 即280y y -=，解得30=y ，48y =（舍去）， 故此时不存在满足条件的P 点； ③若P 在AB 上，设(,6)P x ，06x <，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，∴26416PE PF x x ⋅=-+=， 整理得26120x x --=， 解得(]3210,6x =，故此时不存在满足条件的P 点； ④若P 在BC 上，设(6,)P y ，06y <<，∴(6,4),(0,4)PE y PF y =--=-，∴22(4)81616PE PF y y y ⋅=-=-+=， 整理得280y y -=，解得50y =，68y =（舍去）， 故此时不存在满足条件的P 点； 综上，满足条件的P 点一共有2个， 故选：B ．8．课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角ABC 中，过点A 作与AC 垂直的单位向量j ，因为AC CB AB +=，所以()j AC CB j AB ⋅+=⋅，由分配律，得j AC j CB j AB ⋅+⋅=⋅，即coscos cos A 222j AC j CB C j AB πππ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即sin sin a C c A =．请用上述向量方法探究，如图2直线l 与ABC 的边AB 、AC 分别相交于点D 、E ．设AB c =，BC a =，=CA b ，ADE θ∠=．则θ与ABC 的边和角之间的等量关系为（ ）A ．()()cos cos cos aB b A c θθθ-++= B ．()()cos cos cos a B b A c θθθ++-=C ．()()sin sin sin a B b A c θθθ-++=D ．()()sin sin sin a B b A c θθθ++-=【答案】A【分析】过点D 作//DF BC ，取单位向量DE n DE=，由()0n AB BC CA ⋅++=结合平面向量数量积的定义化简可得结果.【详解】如下图所示，过点D 作//DF BC ，在ABC 中，0AB BC CA ++=，取单位向量DE n DE=，则()0n AB BC CA ⋅++=，即0n AB n BC n CA ⋅+⋅+⋅=，()cos cos n AB AB c πθθ⋅=-=-，()()cos cos n BC BC B a B θθ⋅=-=-，()()cos cos n CA CA A b A θθ⋅=+=+，所以，()()cos cos cos 0c a B b A θθθ-+-++=，即()()cos cos cos a B b A c θθθ-++=. 故选：A.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、多选题9．根据下列条件，能确定向量a 是单位向量的是（ ） A ．()1,1a =B ．()1,0a =-C ．()cos38,cos52a =︒︒D ．()0a m mm=≠ 【答案】BCD【分析】根据单位向量的定义判断即可；【详解】解：模为1的向量为单位向量，对于A ：()1,1a =，所以211a =+=A错误；对于B ：()1,0a =-，则()211a =-=，故()1,0a =-为单位向量，故B 正确；对于C ：()cos38,cos52a =︒︒，则2cos 381a ==，故()cos38,cos52a =︒︒为单位向量，故C 正确；对于D ：()0a m mm =≠，则1m a m==，故()0a m mm =≠为单位向量，故D 正确；故选：BCD10．在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，i 为虚数单位，则下列判断中正确的有（ ） A ．若12z z =，则OA OB =B ．若OA OB =，则12z z =C ．若12z z i =，则·0OAOB =D ．若·0OAOB =，则12z z i =【答案】AC【分析】选项A. 由复数与向量的关系可判断；选项B.取特殊值()3,0OA =，()3,0OB =-可判断；选项C. 由复数的运算结合向量数量积的坐标运算可判断；选项D. 设()2,z a bi a b R =+∈，由12z z i =，则()1z a bi i b ai =+=-+,结合向量数量积的坐标运算可判断；【详解】选项A. 由12z z =，则OA OB =，所以OA OB =，故选项A 正确. 选项B. 当()3,0OA =，()3,0OB =-, 满足OA OB =. 但OA OB ≠，即12z z ≠，故B 不正确.选项C. 设()2,z a bi a b R =+∈，由12z z i =，则()1z a bi i b ai =+=-+ 所以(),OA b a =-，(),OB a b =，·0OAOB ab ab =-+=，故C 正确. 选项D. 设(),OA b a =-，(),OB a b =，则满足·0OAOB =此时()2,z a bi a b R =+∈，()1z a bi i b ai =-+=-，此时12z z i =-，故选项D 不正确. 故选：AC11．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+C ．0PA PC ⋅>D ．4S =【答案】BD【解析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D.【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题12．在ABC 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，设向量()(),,,m c a b n a c =+=，且//m n ，则下列选项正确的是（ ） A ．2A B =B ．2C A =C ．12ca <<D ．若ABC 的面积为24c ，则2C π=【答案】BC【分析】根据向量平行得到22c a ab =+，结合余弦定理转化为1cos +22bC a=-，进而利用正弦定理得到1sin cos +22sin BC A =-，化简整理即可判断A 、B 选项；利用正弦定理及二倍角公式将ca转化为2cos A ，然后求出角A 的范围，进而求出值域即可判断C 选项；利用21sin 24c S ab C ==，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角A ，进而可以求出角C ，从而可以判断D 选项.【详解】因为向量()(),,,m c a b n a c =+=，且//m n ，所以()2c a a b =+，即22c a ab =+，结合余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，2cos 2ab b C ab-+=，1cos +22b C a =-，再结合正弦定理得1sin cos +22sin BC A=-，2sin cos sin +sin A C A B =-，又因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+, 所以2sin cos sin +sin cos cos sin A C A A C A C =-+，sin cos cos sin sin A C A C A -=-， ()sin sin A C A -=-，()()sin sin A C A -=-，所以A C A -=-，故2C A =，所以B 正确，A 错误；sin sin 22sin cos sin sin sin c C A A A a A A A===，因为sin 0A ≠，所以2cos c A a =，又因为01800218001803180A A A ⎧<<⎪<<⎨⎪<-<⎩，所以060A <<，所以1cos 12A <<，即12cos 2A <<，因此12ca<<，故C 正确； 因为21sin 24c S ab C ==，结合正弦定理211sin sin sin sin 24A B C C =，即1sin sin sin 2A B C =，则()1sin sin 1803sin 22A A A -=,1sin sin 3sin 22A A A =,sin sin3sin cos A A A A =，sin3cos A A =，()sin3sin 90A A =+则390180A A ++=，或390A A =+，故22.5A =或45A =，故45C =或90C =，故D 错误. 故选：BC. 三、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2),(2,1)a b ==--，试写一个非零向量c =_________，使得a c b c ⋅=⋅．【答案】(1,1)-（答案不唯一）【分析】根据a c b c ⋅=⋅得到向量c 满足的条件即可写出c .【详解】设(,)c x y =，则2a c x y ⋅=+，2b c x y ⋅=--，所以有22x y x y +=--， 即0x y +=.不妨取(1,1)c =-（答案不唯一） 故答案为：(1,1)-（答案不唯一） 14．在ABC 中，10b =，6A π=，若角B 有两个解，则a 的取值范围是____________.【答案】()5,10【分析】利用正弦定理得到5sin B a，再根据B 有两个解，即可得到566B ππ<<且2B π≠，从而得到1sin 12B <<，即可求出a 的取值范围； 【详解】解：由正弦定理sin sin a bA B=，则sin 5sin b A B a a ==，因为角B 有两个解，又6A π=，所以566B ππ<<且2B π≠，所以1sin 12B <<，即1512a <<，解得510a <<，即5,10a故答案为：()5,1015．已知三角形ABC ，点D 为线段AC 上一点，BD 是ABC ∠的角平分线，I 为直线BD 上一点，满足()0AC AB AI AC AB λλ⎛⎫⎪=-> ⎪⎝⎭，4CA CB +=，2CA CB -=，则BI BA ⋅=_____________. 【答案】6【分析】由已知有I 为△ABC 的旁心且||2BA =，法一：作IO BA ⊥于O 点，可得3BO =，再由()AO OI BI BA BA BA ⋅=++⋅，即可求值. 法二：应用特殊处理，假设△ABC 为等边三角形，根据已知条件易得30AIB ABI ∠=∠=︒且|||2|BA CA CB AI ====，再由2BI BA BA AI BA ⋅=+⋅，即可求值.【详解】由,AC AB ACAB为,AC AB 方向上的单位向量，易知：AI 是BAC ∠外角的角平分线，又BD 是ABC ∠的角平分线，即I 为△ABC 的旁心，而4CA CB +=，||2CA CB BA -==， 法一：作IO BA ⊥于O 点，则1()32BO AB AC BC =++=，如下图示，所以1AO =，又2()BI BA BA BA BA AO BA OI B AO O A I ⋅=+⋅=+⋅+⋅+，所以4206BI BA ⋅=++=.法二：不妨设△ABC 为等边三角形，即260AIB ACB ∠=∠=︒，则30AIB ABI ∠=∠=︒， 所以||2CA CB BA ===，故||2AI =，而2()BI BA BA AI BA BA AI BA ⋅=+⋅=+⋅，所以422cos606BI BA ⋅=+⨯⨯︒=.故答案为：6【点睛】关键点点睛：作IO BA ⊥于O 点，利用向量加法的几何意义，结合数量积的运算律求值. 四、双空题16．如图，在ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AB y AC +=+，则x y +=____________，14x y+的最小值为_____________.【答案】 2924.5 【分析】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，由B ，D ，E ，C 共线及已知可得2x y +=，从而有14114()()2x y xy x y+=++，然后利用基本不等式即可求解； 【详解】解：设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=，AD AE x AB y AC +=+，又()()AD AE m AB n AC λμ+=+++x m λ∴=+，y n μ=+，2x y m n λμ∴+=+++=，显然0x >，0y >，所以141141419()552222y x x y xy x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当4y x x y =且2x y +=即23x =，43y =时取等号 故答案为：2；92．五、解答题17．()()2256815z m m m m i =-++-+，i 为虚数单位，m 为实数．（1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数8z i -在复平面内对应的点位于第四象限时，求m 的取值范围． 【答案】（1）2m =；（2）()()1,23,7⋃.【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于m 的等式与不等式，进而可求得实数m 的值； （2）将复数8z i -表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为正数、虚部为负数，可得出关于实数m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）由z 为纯虚数得225608150m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得2m =；（2）复数()()2285687z i m m m m i -=-++-+，因为复数8z i -位于第四象限，所以22560870m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得12m <<或37m <<．故m 的取值范围为()()1,23,7⋃.【点睛】本题考查根据复数的概念与几何意义求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 18．已知向量()3,1a =-，5b =，5a b ⋅=-，()1c xa x b =+-． （1）若a c ⊥，求实数x 的值；（2）当c 取最小值时，求b 与c 的夹角的余弦值．【答案】（1）13x =；（2【分析】（1）利用平面向量垂直表示可得出关于x 的等式，进而可求得实数x 的值； （2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得c 的值，可求出x 的值，进一步可求出b c ⋅的值，利用平面向量数量积可求得b 与c 的夹角的余弦值． 【详解】（1）由已知条件可得()2223110a =+-=，()1c xa x b =+-，则()()()221110511550c a xa x b a x a x a b x x x ⎡⎤⋅=+-⋅=+-⋅=--=-=⎣⎦，解得13x =；（2）()()()2222221211c c xa x b xa x x a b x b ⎡⎤==+-=+-⋅+-⎣⎦()()()2222101015125205521x x x x x x x =--+-=-+=-+.当25x =时，c 取最小值1. 2355c a b =+，则()2232323551555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，因此，1cos ,51b c b c b c⋅<>===⨯⋅【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得cos ,a b a b a b⋅<>=⋅，其中两向量,a b <>的取值范围是[]0,π；（2）坐标法：若非零向量11,a x y 、22,bx y ，则cos ,a b <19．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，1b =，__________ 在下列三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并求解下面的问题. ①(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A B A B C B C +-=-； ②3cos cos b A a B b c +=+；③sin cos a C A =. （1）求A ；（2）若D 是BC 的中点，AD =，求ACD △的面积.【答案】（1）3A π=；（2【分析】(1)选①，利用正弦定理角化边，再借助余弦定理即可得解；选②，③，利用正弦定理边化角，再借助三角变换即可得解；(2)在ADB △、ADC 与ABC 中，利用余弦定理建立关于a ，c 的方程组，求出边c 即可作答.【详解】（1）选①：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得(a b)()(c b)a b c +-=-， 于是得222a b c bc -=-，即222bc b c a =+-，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，而(0,)A π∈，所以3A π=；选②：因3cos cos b A a B b c +=+，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得： 3sin cos sin cos sin sin B A A B B C +=+，从而得：2sin cos sin()2sin cos sin sin sin B A A B B A C B C ++=+=+， 则有2sin cos sin B A B =，而(0,)B π∈，即sin 0B >，于是得1cos 2A =， 又(0,)A π∈，所以3A π=；选③：因sin cos a C A =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：sin sin cos C A C A =， 而(0,)C π∈，即sin 0C >，于是得tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=；（2）ADB △与ADC 中，ADB ∠与ADC ∠互补，由余弦定理得222()cos a c ADB ∠+-=222()1cos a ADC ∠+-= 显然有cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，于是得22481a c =+，ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅得：221a c c =+-，联立解得12c =或32c -=（舍）， 于是得ABC面积为1sin 2ABC S bc A ==△12ACD ABC S S ==△△，所以ACD △20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos 0b A C =.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b 的取值范围. 【答案】（1）56A π=；（2）(2,. 【分析】(1)利用正弦定理边化角即可得解；(2)利用正弦定理边化角，再求余弦函数在指定区间内的值域即得解. 【详解】（1）因()2cos cos 0b A C =，ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得()2sin cos cos 0B C A A C =，化简为2sin cos 3sin()0B A C A ++=，即2sin cos 3sin 0B A B +=. 因为0B π<<，有sin 0B ≠，则3cos 2A =-，又0A π<<，所以56A π=；（2）由（1）知56A π=，则6B C π+=，令066C B B ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==得25sin sinsin 66b cB B ππ==⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以4sin b B =，4sin 2cos 23sin 6c B B B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()34sin 32cos 23sin b c B B B +=+-23cos 2sin B B =- 314cos sin 22B B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭4cos 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为06B π<<，则13cos 262B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，24cos 236B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 所以3b c +的取值范围为()2,23.【点睛】关键点睛：涉及含三角形各边的一次关系的等式，利用正弦定理化边为角是解题的关键.21．如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距102海里；当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距10海里.（1）求乙船的速度；（2）若乙船在2B 处的航行速度提高到每小时303甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从2 A 处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由.【答案】（1）30海里/小时；（2）相遇，13小时.【分析】（1）连接12A B ，分析出122A A B 为等边三角形，可求得112B A B ∠的值，利用余弦定理可求得12B B ，进而可求得乙船的速度；（2）分别延长12A A 、12B B 交于点C ，计算出2A C 、2B C ，计算出230A C 、2303BC ，比较大小后可得出结论.【详解】（1）连接12A B ，由题意可得，2210A B =，1220301060A A =⨯=， 因为122210A A A B ==，22118012060B A A ∠=-=，故122A A B 为等边三角形， 所以，11221210545B A B A A B ∠=-∠=，在112A B B 中，1210A B =，11102A B =，11245B A B ∠=，由余弦定理可得22212111211122cos 45100B B A B A B A B A B =+-⋅=，故1210B B =，所以乙船的速度为10603020⨯=（海里/小时）； （2）分别延长12A A 、12B B 交于点C ，由（1）得121210B B A B ==，所以1111245A B C B A B ∠=∠=.故11118030C B B AC ∠=-∠-∠=，则222218030A B C B A C C ∠=-∠-∠=， 所以22210A C A B ==.则在22A B C 中，2210A B =，2230C A B C ∠=∠=， 由正弦定理可得222sin120sin 30B C A B =，故210sin120103sin 30B C ==210313303303==，210130303A C ==， 所以两船会相遇，且甲船从2A 到相遇所用时间为13小时.22．在锐角△ABC 中，cos A =O 为△ABC 的外心. (1)若AO x AB y AC =+，求x y +的最大值；(2)若a =（ⅰ）求证：sin 2cos 20OA B OB B OC +⋅-⋅=； （ⅱ）求32OA OB OC ++的取值范围.【答案】(1)2(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）[3.【分析】（1）令△ABC 外接圆半径为||||||AO OB OC ===R ，根据向量加法的几何意义及已知可得(1)x y AO xO OC y B --=+，根据锐角三角形、二倍角余弦公式及向量数量积的运算律得1x y +<、12xy x y =+-，最后应用基本不等式求x y +的范围. （2）（ⅰ）利用向量数量积的运算律求|sin 2cos 2|B OB B OC ⋅-⋅、(sin 2cos 2)OA B OB B OC ⋅⋅-⋅，进而求向量的夹角，即可证结论；（ⅱ）根据向量数量积的运算律及辅助角公式有23214)OA OB OC B ϕ++=++，结合余弦函数的性质，即可求范围.【详解】(1)令△ABC 外接圆半径为||||||AO OB OC ===R ，又AB AO OB =+，AC AO OC =+，所以()()AO xAB y AO OB x C AC AO O y =+=+++，则(1)x y AO xO OC y B --=+， 又△ABC 为锐角三角形，则10x y -->，即1x y +<，所以22222222(1)cos x R y xyR BOC R R x y +∠--=+，又2cos 2cos 10BOC A ∠=-=，则12xy x y =+-，而2()4x y xy +≤，故2()4()20x y x y +-++≥，解得2x y +≥2x y +≤综上，2x y +≤x y =时等号成立，故x y +的最大值为2(2)（ⅰ）由题设知：2BOC π∠=，即0OB OC ⋅=，且||||||AO OB OC ===R ，所以222222|sin 2cos2|sin 2cos 2B OB B OC B OB B OC R ⋅-⋅=⋅+⋅=，即|sin 2cos 2|||B OB B OC AO R ⋅-⋅==，又(sin 2cos 2)sin 2()cos 2()OA B OB B OC B OA OB B OA OC ⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅，而322AOB B π∠=-，2AOC B ∠=， 所以22222(sin 2cos 2)sin 2cos 2OA B OB B OC B R B R R ⋅⋅-⋅=-⋅-⋅=-，令OA 与(sin 2cos 2)B OB B OC ⋅-⋅夹角为[0,]θπ∈，则2cos 1R R Rθ-==-⨯，即θπ=，综上，sin 2cos 20OA B OB B OC +⋅-⋅=，得证.（ⅱ）222232946124OA OB OC OA OB OC OA OC OA OB OB OC ++=+++⋅+⋅+⋅， 又2BOC π∠=、322AOB B π∠=-、2AOC B ∠=，且22sin aR A ==，即1R =，所以232146(cos 22sin 2)14)OA OB OC B B B ϕ++=+-=++且tan 2ϕ=，则232[14OA OB OC ++∈-+，即32[3OA OB OC ++∈. 【点睛】关键点点睛：（1）由向量加法、数量积的运算律，结合倍角公式、基本不等式得到关于x y +的一元二次不等式求范围；（2）（ⅰ）通过求|sin 2cos 2|B OB B OC ⋅-⋅及(sin 2cos 2)OA B OB B OC ⋅⋅-⋅，再求夹角即可；（ⅱ）利用向量数量积运算律、辅助角公式及余弦函数性质求范围.。

卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹高一数学3月月考试题总分值是150分考试时间是是120分钟一、单项选择题：此题一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．数，，，，…的一个通项公式是〔〕A．B．C．D．2．等差数列{a n}中，a3＝9，a9＝3，那么公差d的值是〔〕A．B．1 D．﹣13．cos65°cos35°+sin65°sin35°等于〔〕A．cos100°B．sin100°D．4．在△ABC中，那么角C的度数为〔〕A．30°B．45°C．60°D．120°5．数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，那么S9＝〔〕A．25 B．90 C．50 D．456．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC的间隔为m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的间隔为〔〕A．100m m m D．200m7．正项等比数列{a n}满足a22+2a3a7+a6a10＝16，那么a2+a8＝〔〕A．﹣4 B．4 C．±4 D．88．函数{a n}的前n项和满足S n＝2n+1﹣1，那么数列{a n}的通项公式为〔〕A．a n＝2n B．a n＝2n C．a n＝D．a n＝9．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足，那么＝〔〕A．B．C．D．110．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且BD，BC＝2BD，那么sin C的值是〔〕A．B．C．D．二、多项选择题：此题一共2小题，每一小题5分，一共10分。

在每一小题给出的四个选项里面，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

11．设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}；②{a；④{log2|a n|}，其中一定为等比数列的是〔〕A．①B．②C．③D．④12．在△ABC中，根据以下条件解三角形，其中有一解的是〔〕A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝3，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

2021-2022学年福建省厦门市翔安第一中学高一3月第一次月考数学试题一、单选题1．若(2cos ,1),(sin ,1)a b αα==，且//a b ，则tan α等于（ ） A ．2- B ．12-C ．2D ．12【答案】C【分析】利用共线向量的坐标表示，求得2cos sin αα=，进而求得tan α的值. 【详解】由题意，向量(2cos ,1),(sin ,1)a b αα==， 因为//a b ，可得2cos 11sin αα⨯=⨯，即2cos sin αα=， 所以sin tan 2cos ααα==. 故选：C.2．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知30A =︒，105C =︒，23a =，则b =（ ） A ．6 B ．2C ．3D ．26【答案】D【分析】先根据三角形内角和定理求得45B =︒，再利用正弦定理得出结果． 【详解】解：30A =︒，105C =︒，则45B =︒．∴sin30sin 45a b=︒︒，解得26b =． 故选：D ．3．如图，则a b -=（ ）A ．1223e e -B ．1223e e -+C ．1232e e -D ．1232e e -+【答案】A【分析】运用平面向量减法的运算法则、平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】解：由图知：123a e e =+，124b e e =+，则1223a b e e -=-. 故选：A4．若向量a 与b 的夹角为60°，4b =，()()2372a b a b +⋅-=-，则a =（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12【答案】C【分析】由平面向量的数量积的性质求解即可【详解】因为向量a 与b 的夹角为60°，4b =，()()2372a b a b +⋅-=-， 所以22672a a b b -⋅-=-，即22cos 60672a a b b -⋅︒-=-， 所以22240a a --=，解得6a =或4a =-（舍）， 故选：C5．在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos a b C =， ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．没有符合条件的三角形【答案】C【分析】由余弦定理可得2222cos 22a b c a b C b ab +-==⋅，化简即可得到答案.【详解】因为2222cos 22a b c a b C b ab+-==⋅，所以2222a a b c =+-，所以22b c =，即b c = 所以 ABC 是等腰三角形 故选：C6．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个旅行包.当两人提起重量为G 的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为F ，若3F G =，则θ的值为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【分析】设两人用力分别为1212,,F F F F F ==，12F F G +=，根据力的关系建立等式，平方处理即可得解.【详解】两人用力大小都为F ，设两人用力分别为1212,,F F F F F ==，所以12F F G +=, 又33F G =，22212122F F F F G ++⋅=， 所以22222cos 3F F F θ+=，1cos 2θ=，所以60θ=︒. 故选：B7．如图，ABC 中，角C 的平分线CD 交边AB 于点D ，23A π∠=，23AC =，32CD =，则BC =（ ）A ．33B ．4C ．2D ．6【答案】D【分析】ACD △中由正弦定理求得ADC ∠后可得ACD ∠，从而得ACB ∠，B 角，得AB ，用余弦定理可得BC ．【详解】在ACD △中，根据正弦定理得33sin 22sin 32AC A ADC CD ⋅∠===，由ADC A ∠<∠， 所以4ADC π∠=，所以23412ACD ππππ∠=--=， 所以6ACB π∠=，则6B π∠=，所以AB AC ==在ABC中，由余弦定理得((22212362BC ⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以6BC =． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在ACD △中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC ．8．在ABC 中，2AB AC ==，BC =P 位于直线BC 上，当AP PB ⋅取得最小值时，向量AP 与PB 夹角的余弦值为（ ） AB．C．7D．7【答案】D【分析】以BC的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设(,0),[P a a ∈，结合向量的坐标运算得出当a =时，AP PB ⋅取得最小值，再由数量积运算得出向量AP 与PB 夹角的余弦值.【详解】以BC 的中点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系(0,1),(,A B C =，设(,0),[P a a ∈(,1),(AP a PB a =-=2234AP PB a a ⎛∴⋅==- ⎝⎭，当a =时，AP PB ⋅取得最小值为34-此时AP ⎛==PB ⎛=3cos ,7AP PB AP PB AP PB-⋅∴===⋅故选：D二、多选题9．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是 A ．|z |5= B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【答案】AC【解析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】22||(1)(2)5z =-+-=,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确. 故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.10．八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论中正确的是（ ）A ．//AD BCB ．22OA OD ⋅=-C ．0=OB OD D ．22AF =-【答案】ABC【分析】结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为4π . 结合向量的计算法则，即可得出结果.【详解】A.正八边形ABCDEFGH 中，//AD BC ，那么//AD BC ，故A 对；B. 3cos 4OA OD OA OD π⋅=⋅=，故B 对；C. OB 与OD 夹角为2π，故0=OB OD ，故C 对； D. 222()22AF OF OA OF OA OF OA OF OA =-=-=+-⋅=+D 错； 故选：ABC11．已知锐角ABC ∆，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c =，60B ∠=︒，则边b 的可能取值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】CD【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得b 的范围，讨论4,5b b ==，结合条件可得所求结论.【详解】在ABC ∆中，4c =，60B∠=︒，由sin sin b c B C=可得4sin 2sin sin c Bb C C === 由于090C <<可得()sin 0,1C ∈，即有b >若4b =，则b c=，即60B C ==，ABC ∆为等边三角形成立； 若5b =可得1sin 2C ⎛=⎝⎭，且b c >，即B C > 即为3060C <<，即有6090A <<成立. 故选：CD【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系.若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-，则下列结论中正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 与b 的夹角的余弦值为21 【答案】AD【分析】根据反射坐标的定义，由()1,2a =，()2,1b =-，得到122a e e =+，122b e e =-，再逐项运算判断.【详解】因为()1,2a =，()2,1b =-， 所以122a e e =+，122b e e =-，所以123a b e e -=-+，即()1,3a b -=-，故A 正确； ()22212112222441411cos433a e e e e e e π=+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=B 错误； ()()221212112223222322311cos232a b e e e e e e e e π⋅=+⋅-=+⋅-=+⨯⨯⨯-=-，故C 错误； ()22212112222444411cos173b e e e e e e π=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+， 则3221,cos 37a b a b a b-⋅===⨯⋅D 正确； 故选AD 三、填空题13．设复数()i 12i i a b +=+，则a b +=__________ ． 【答案】1-【分析】结合复数的乘法运算以及复数相等，求出,a b ，进而可以求出结果.【详解】因为()i 12i i a b +=+，所以i 2+i a b +=-，所以21a b =-⎧⎨=⎩，因此1a b +=-，故答案为：1-.14．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，那么a 在b 上的投影向量为__________. 【答案】31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.【详解】设向量a 、b 的夹角为([0,])ϕϕπ∈， 22221(3)(2)152cos 2521(2)(3)1a b a bϕ⋅⨯-+-⨯-====-⋅+-⨯-+，因为22(3)110b =-+=，所以向量b 方向上的单位向量为：31,1010-⎛⎫⎪⎝⎭， 因为221(2)5a =+-=，所以210cos 5()22a ϕ⋅=⨯-=-所以a 在b 上的投影向量为：103131,,2221010-⎛⎫⎛⎫-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭15．已知A 船在灯塔C 北偏东85°且A 到C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西65°且B 到C 的距离为3km ，则A ，B 两船的距离为_______. 【答案】13km【分析】利用余弦定理求得,A B 两船的距离.【详解】由题意得6585150ACB ∠=︒+︒=︒，又 2AC =，3BC =，由余弦定理得22232cos150********AB AC BC AC BC ⎛⎫=+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以13km AB =. 故答案为：13km四、双空题16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b C a A b B c C +=+．则内角A =________ ；若D 是线段BC 的中点，且2c =，13AD =a =_______【答案】3π60︒ 27【分析】由已知结合正弦定理将角化边，然后结合余弦定理即可求解cos A ，进而可求A ；由1()2AD AB AC =+，然后结合向量数量积性质及余弦定理可求．【详解】解：因为sin sin sin sin b C a A b B c C +=+， 由正弦定理得222bc b c a =+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 由A 为三角形内角得3A π=；因为D 为BC 的中点，所以1()2AD AB AC =+，则2221(2)4AD AB AC AB AC =++⋅，因为2c =，AD = 所以21113(422)42b b =+-⨯⨯， 整理得22480b b +-=， 解得6b =或8b =-（舍去），由余弦定理得21364262282a =+-⨯⨯⨯=，故a =故答案为：3π； 五、解答题17．已知复数z 满足2z =，z 的虚部是2，且复数z 对应的点在复平面第一象限内 （1）求复数z ；（2）设z ，2z ，2z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求ABC 的面积. 【答案】（1）2i z =（2）4【分析】（1）根据题意直接得到a ，b 的值．（2）根据复数的代数运算法则分别求出2z ，2z z -，然后求出z ，2z ，2z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，可得ABC 的面积【详解】（1）设复数i(0,0)z a b a b =+>>，满足2z =，z 的虚部是2．∴02a b =⎧⎨=⎩，2i z ∴= （2）由（1）得：2i z =，24z =-，242i z z -=+， (0,2)A ，(4,0)B -，(4,2)C ，故ABC 的面积12442S =⨯⨯=18．已知向量,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,1)a =- （Ⅰ）若32c =，且//c a ，求向量c 的坐标；（Ⅱ）若b 是单位向量，且(2)a a b ⊥-，求a 与b 的夹角θ. 【答案】(Ⅰ)(3,3)c =-，或(3,3)c =-;(Ⅱ)4πθ=.【分析】（Ⅰ）设向量c 的坐标为(),x y ,运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到向量c 的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为0，可求得1a b ⋅=，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.【详解】（Ⅰ）设(),c x y =，由32c =，且//c a 可得22018y x x y +=⎧⎨+=⎩所以33x y =-⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=-⎩ 故()3,3c =-，或()3,3c =-.（Ⅱ）因为2a =，且()2a a b ⊥-，所以()20a a b ⋅-=，即220a a b --⋅=，所以220a b -⋅=，1a b ⋅=故2cos 2a b a bθ⋅==⋅，4πθ=. 19．在①222b c a bc +-=；②cos cos20A A +=；③2cos cos cos a A b C c B =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，________. (1)求A ；(2)若2a =，ABC ABC 的周长. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)条件选择见解析，π3A =(2)2【分析】（1）选①利用余弦定理化简已知条件，由此求得cos A A ⇒；选②结合二倍角公式求得cos A A ⇒；选③结合正弦定理求得cos A A ⇒.（2）利用三角形的面积列方程，求得bc ，结合余弦定理求得b c +，由此三角形ABC 的周长.【详解】(1)若选择条件①：因为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==. 因为(0,π)A ∈，所以π3A =.若选择条件②：cos cos20A A +=，则22cos cos 10A A +-=，解得：cos 1A =-或1cos 2A =. 因为(0,π)A ∈，所以cos 1A =-不符合.由1cos 2A =得π3A =. 若选择条件③：因为2cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，所以2sin cos sin()sin A A B C A =+=，因为sin 0A >，所以1cos 2A =.因为(0,π)A ∈，所以π3A =. (2)因为1π3sin 232ABC S bc ==△，所以2bc =. 因为2a =，由余弦定理可知：22222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=+-， 所以24()3b c bc =+-，()224()6,10b c b c =+-+=，所以10b c +=，所以ABC 的周长为210+.20．如图，在四边形ABCD 中，//,1,3,BC AD BC AD ABC ==为等边三角形，E 为CD 的中点，设,AB a AD b ==.（1）用,a b 表示,AC AE ；（2）求cos EAB ∠【答案】（1）13AC a b =+，1223AE a b =+；（2）13 【分析】采用建系法，以AD 为x 轴，垂直于AD 向上方向为y 轴，结合边长关系与等边三角形性质分别求出,,,A B C D 点坐标，设AC mAB nAD =+，解方程即可求出,AC 结合E 为CD 的中点，即可求出AE ；【详解】如图，以AD 为x 轴，垂直于AD 向上方向为y 轴，因为//,1,3,BC AD BC AD ABC ==为等边三角形，所以()1313,,3,0,,2222B D C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又E 为CD 的中点，所以73,44E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()13,,3,022a AB b AD ⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭，13,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设AC mAB nAD =+，即()1313,,3,02222m n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113223322m n m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得113m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故13AC a b =+， 又E 为CD 的中点，故()1111222323AE AC AD a b b a b ⎡⎤⎛⎫=+=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）13,,122AB AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，73,44AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，227313442AE ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1733132424cos 131312AB AE EAB AB AE -⨯+⨯⋅∠===-⋅⨯ 21．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高50m AB =，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°．（1）求出山高BE （结果保留整数）；（2）如图，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离m MD x =，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角AMB ∠最大参考数据：sin80.14︒≈，sin370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈．【答案】（1）152m ；（2）1003x =【分析】（1）在ABC 中，由正弦定理求出BC ，即可求出BD ，进而求出；（2）根据题意得出tan tan()AMB βα∠=-，列出关于x 的式子，利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）由题知8,45ACB BAC ∠=∠=，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BC ACB BAC =∠∠，即50sin8sin 45BC =， 所以500.72500.14BC ⨯≈=， 在Rt BDC 中，sin BD BCD BC ∠=，即sin 37250BD =，所以2500.6150BD ≈⨯=， 所以山高150 1.5151.5152BE BD DE =+=+=≈m.（2）由题知AMD β∠=，BMD α∠=，则在Rt BMD △中，150tan BD MD x α==， 在Rt AMD 中，200tan AD MD xβ==，由题知AMB βα∠=-， 则tan tan tan tan()1tan tan AMB βαβααβ-∠=-=+220015050200150300001x x x x x x-==++⋅ 503300003000020032x x x x=≤==+⋅ ， 当且仅当30000x x =即1003x =时，tan ACB ∠取得最大值，即视角最大. 22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ︒∠=，半径1,OA OB P ==为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥求PA PB ⋅的值；（2）求PA PB ⋅的最小值；【答案】（1）132-；（2）最小值12-. 【分析】（1）依题意画出图形，即可求出APB ∠，再在POB 中，由余弦定理，求出PB ，再求出PA ，最后根据cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠计算可得；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，求出A 、B 的坐标，设()cos ,sin P αα，即可表示出PA ，PB ，再根据向量数量积的坐标运算及三角函数的性质计算可得；【详解】解：（1）当OA OP ⊥时，如图所示.因为120AOB ︒∠=，所以30POB ︒∠=，18030752OPB ︒︒︒-∠== 所以7545120APB ︒︒︒∠=+=在POB 中，由余弦定理，得2222cos PB OB PO OP OB POB =+-⋅∠ 311223=+-=因为223PB =62PB -=又22PA OA ==所以6213cos 2PA PB PA PB APB APB --⋅=⋅∠=∠= （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则1,0A因为120,1AOB OB ︒∠==，所以132⎛- ⎝⎭B设()cos ,sin P αα，其中2[0,]3πα∈，所以()1cos ,sin PA αα=--，13cos ,sin 22PB αα⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭ 则()131cos ,sin cos ,sin 22PA PB αααα⎛⎫⋅=--⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭()131cos cos sin sin 22αααα⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22113cos cos sin sin 222αααα=--+-+ 113cos sin 222αα=-- 1sin 26πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 5,666πππα⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 所以当62ππα+=时，即3πα=时取得最小值12-；。

福建省厦门一中2019-2020学年高一下 3月线上月考数学试卷（满分：150分 考试时间：120 分钟）一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、数列21-，41，81-，161…的一个通项公式是（ ） A. n 21- B. n n 21-）（ C. n 1n 21-+）（ D. 1-n n 21-）（ 2、已知等差数列{}n a 中，93=a ，39=a ，则公差d 的值为（ ） A. 21 B. 1 C. 21- D. -1 3、οοοο35sin 65sin 35cos 65cos +等于（ ）A. οcos100B. οsin100C. 23D. 21 4、已知在△ABC 中，a ＝4，b ＝3，c ＝13 ，则角 C 的度数为（ ）A. ο30B. ο45C. ο60D. ο1205、已知数列{}n a 为等差数列，前 n 项和为 Sn ，且 55=a ，则 S 9＝（ ）A. 25B. 90C. 50D. 456、如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在河岸边选定一点 C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出 A 、B 两点的距离为（ ）A. m 100B. m 350C. m 2100D. m 2007、正项等比数列{}n a 满足1621067322=++a a a a a ，则=+82a a （ ）A. -4B. 4C. 4±D. 88、已知函数{}n a 的前 n 项和满足121-=+n n S ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A. nn a 2= B. n a n 2= C. ⎩⎨⎧≥==2,213n n a n n ， D. ⎩⎨⎧≥==2,213n n n a n ， 9、等差数列{}n a 的前 n 项和为n S ，且满足31126=S S ，=2412S S （ ） A. 103 B. 31 C. 21 D. 1 10、如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为（ ）A. 33B. 63C. 36 D. 66二、多选题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。

一、单选题1．复数，则（ ） 12i z =-+z =A ． B ．C ．D ．12i -12i +12i -+12i --【答案】D【分析】根据共轭复数的概念即可确定答案. 【详解】因为复数，则， 12i z =-+12i z =--故选：D2．化简： （ ）OA OC OB CO +-+=A ．B ．C ．D ．BA AB AC 【答案】B【分析】利用向量的加减运算法则即可求解.【详解】 OA OC OB CO +-+=OA OC OB OC +-- OA OB -= BA = 故选：.B 3．已知向量，，且，那么（ ）()1,2a =-r (),4b m = //a b r r m =A ．2 B ．-2C ．6D ．-6【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m 的方程，解得答案.【详解】由向量，，且，()1,2a =-r (),4b m = //a b r r 可得: , 14(2)0,2m m ⨯--⨯==-故选：B4．已知向量，则（ ） (1,3),(2,1)a b →→==-23a b →→-=A ． B ． C ． D ．(8,3)-(8,3)--(8,3)(8,3)-【答案】C【分析】直接利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】解：由题得． 23(2,6)(6,3)(8,3)a b →→-=--=故选：C5．已知a ，，i 是虚数单位.若，则（ ）R b ∈i 3i a b +=-()2i b a -A ．B ．C ．D ．106i +86i -+96i -86i -【答案】B【分析】利用复数相等求出a ，b ，再借助复数平方运算计算作答. 【详解】因，a ，，则有， i 3i a b +=-R b ∈3,1a b ==-所以. ()()()()()()2222i 13i 13i 213i 86i b a -=--=-+-+--=-+故选：B6．在中，分别是角的对边，若，则角等于（ ） ABC A ,,a b c ,,A BC 222a b c -=A A ． B ．或 135 60 120 C ．D ．或45 135 45 【答案】C【分析】由余弦定理化简后求解【详解】，又余弦定理得222a b c -=222cos 2b c a A bc +-==故 45A =︒故选：C7．在△ABC 中，，，的值等于（ ） 60A ∠=︒1b =ABCS =A sin aAAB CD ．【答案】A【分析】先由面积关系求得，再由余弦定理求得，即可求出. 4c =a =【详解】因为，11sin 122ABC bc A S c ==⨯⨯A 4c =由余弦定理得，即，2222cos 116413a b c bc A =+-=+-=a 所以sin a A ==故选：A.8．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影ABC A O 2,AO AB AC OA AB =+= OCCA向量为（ ）A ．BC ．D ．12CA12CA -【答案】C【分析】根据已知条件判断出三角形和三角形的形状，从而可得向量在向量上的ABC OAB OCCA【详解】依题意三角形的外接圆圆心为，且，ABC A O 2AO AB AC =+所以是的中点，即是圆的直径，且， O BC BC O π2BAC ∠=由于，所以三角形是等边三角形，OA AB =OAB设圆的半径为，O 1所以向量在向量上的投影向量为. OCCA 5πos 12c 6CA OC CA CA ⋅⋅-=故选：C.二、多选题9．已知复数（其中i 是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） 34i z =-A ．B ．z 的虚部是45z =C ．是纯虚数 D ．z 在复平面上对应点在第四象限34i z -+【答案】AD【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.【详解】复数，故A 正确；34i z =-5=的虚部是，故B 错误；，是实数，故C 错误；34i z =-4-34i =34i 34i 0z -+--+=z 在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D 正确. ()3,4-故选：AD10．已知向量满足且 ）,a b ||||1a b == |2|b a -A ．B ．C ．D ．2a b +=||a b -=a b ⊥ ,60a b 〈〉=【分析】将，可判断C ，D ；继而根据向量模的计算求得，|2|b a - 0a b ⋅= a b + ，判断A ，B ；a b -【详解】由题意向量满足且，,a b ||||1a b == |2|b a -则，即，C 正确；2|2|5,1445,0b a a b a b -=∴-⋅+=∴⋅= a b ⊥，A 错误； a +==B 正确；a -== 因为，而，故，故D 错误， ab ⊥,0180a b ≤〈〉≤ ,90a b 〈〉= 故选：BC11．如图，平行四边形中，，为的中点，与交于ABCD 243AB AD BAD π==∠=，，E CD AE DB ，则（ ）FA ．在方向上的投影向量为B ．C ．D ．BF AB0 1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u r 2AF AB ⋅=AF =【答案】AB【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．【详解】解：平行四边形中，，ABCD 2,4,3AB AD BAD π==∠=所以DB ===则，所以，222AB BD AD +=AB BD ⊥为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，E CD AE DBF BF AB即在方向上的投影向量为，所以A 正确； BF AB0 因为，所以，则， AB CD ∕∕2AF ABEF DE==2AF EF =故，21,32AF AE AE AD DE AB AD ==+=+，所以B 正确；∴1233AF AB AD =+u u u ru u u r u u u r ，所以C 不正确；221212121()24243333332AF AB AB AD AB AB AD AB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯=，1233AF AB =+=D 不正确．故选：AB ．12．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以下选项为真命题的是（ ） A ．若tan A ≥tan B ，则sin A ≥sin BB ．若sin A <cos B ，则△ABC 为钝角三角形C ．2222AB AC b c a ⋅=+-D ．向量与向量的夹角是 ABBC B π-【答案】BCD【分析】根据三角形内角的范围结合正切函数、正弦函数性质判断A ，利用诱导公式及余弦函数性质判断B ，由数量积的定义和余弦定理判断C ，根据向量夹角的定义判断D ． 【详解】以下都因为是三角形的内角，,,A B C ABC ，若是锐角，是钝角，则不一定有，A 错；tan tan A B ≥A B sin sin A B ≥，即，因此，，因此为钝角，B 正确；sin cos A B <cos()cos 2A B π-<2A B π->2A B π+<C ，C 正确；22222cos AB AC bc A b c a ⋅==+-向量与向量的夹角是，因此向量与向量的夹角是，D 正确．BA BC B ABBC B π-故选：BCD ．三、填空题13．设，则___________ . 12z i =-z =【分析】根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：因为，所以 12z i =-z ==14．中，若，，则_________ ABC A π3A =3,2a c ==cos C =【分析】由正弦定理求得，判断C 的范围，根据同角的三角函数关系，即可求得答案. sin C 【详解】由题意中，若，，ABC A π3A =3,2a c ==则2sinsin ,π3sin sin sin 3a c c A C A C a=∴===因为为锐角， 32,,a c A C C =>=∴>∴故cos C15．已知复数，满足z 的集合，所构成的图形的面积为______ i z a b =+1||z≤≤【答案】π【分析】根据复数的模的几何意义确定构成的图形的形状类型，即可求得答案. 【详解】由题意复数，满足， i za b =+1||z ≤即，1≤≤2212a b ≤+≤即满足条件的点z 的集合，所构成的图形为半径为1的两个圆之间的圆环，1||z ≤则图形的面积为， 22ππ1π⨯-⨯=故答案为：π16．锐角中，内角的对边分别为，若，则的面积的ABC A ,,A B C ,,a b c 222,2bc a bc b +=+=ABC A 取值范围是________【答案】 【分析】根据余弦定理，求得角A ，进而可得面积S 表达式，当时，可得，当BC AB ⊥min c 时，可得，结合条件，即可得答案.BC AC ⊥max c 【详解】由余弦定理得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===因为，所以，(0,)A π∈3A π=所以，1sin 2S bc A ==当时，， BC AB ⊥min cos 1c b A ==当时，， BC AC ⊥max 4cos bc A==因为锐角，所以，ABC A 4()1,c ∈所以.S ∈故答案为：四、解答题17．已知复数. 122i,i z b z a =-+=+(1)若，求的值； 12z z =a b 和(2)，，求. 2a =-4b =12z z 【答案】(1)，2a =-1b =(2) 86i 55-【分析】（1）根据复数相等的概念，即可求得答案； （2）根据复数的除法运算，可求得答案. 【详解】（1）由题意复数，122i,i z b z a =-+=+则由可得；12z z =21a b =-⎧⎨=⎩（2）当,时，，2a =-4b =1224i,2i z z =-+=-+故. 1224i (24i)(2i)86i2i 555z z -+-+--===--+18．已知向量，． ()2,1a = ()1,3b =-(1)求与夹角θ的余弦值；a b(2)若与垂直，求实数k 的值．3a b + a kb -【答案】(1)(2). 2k =【分析】（1）应用向量夹角的坐标运算求夹角θ的余弦值；（2）求出与的坐标，根据向量垂直的坐标表示列方程求参数.3a b + a kb -【详解】（1）由题设，cos ||||a b a b θ⋅=== （2）由，， 3(7,0)a b += (2,13)a kb k k -=-+所以，可得.(3)a b +⋅ ()7(2)0a kb k -=-=2k =19．如图，在中，是边上一点，.ABC A ,6BD π=BC7,5AD CD AC ===（1）求的大小； ADC ∠（2）求的长. AB 【答案】（1）；（2）8.4π【分析】（1）直接根据余弦定理可求得结果； （2）根据正弦定理可求得结果.【详解】（1）在中，，ACD A 7,5AD CD AC === 由余弦定理可得：. 222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-∠===⨯. (0,),4ADC ADC ππ∠∈∴∠=（2）， 3,44ADC ADB ππ∠=∴∠=在中，由正弦定理，得，即，解得. ABD △sin sin AB AD ADB ABD =∠∠3sin 4AB π=8AB =20．如图，在平行四边形中，，分别是边的中点，设，ABCD 2AB BC AC ===,E F ,BC CD AB a=．AD b =(1)用，表示，；a b AE BF (2)若向量与的夹角为θ，求．AE BFcos θ【答案】(1)，12AE a b =+ 12BF a b =-+(2)【分析】（1）根据向量的线性运算即可求得答案；（2）利用（1）的结论，求得，求出的值，根据向量的夹角公式即可求得答案. AE BF ⋅||,||AE BF 【详解】（1）根据题意，，111222AE AB BE AB BC AB AD a b =+=+=+=+同理：．1122b AD BF BC A a B CF =-=+=-+（2）根据题意，由（1）的结论，，， 12AE a b =+ 12BF a b =-+在平行四边形中，，ABCD 2AB BC AC ===可知，即，π2π,33ABC DAB ∠=∴∠=2π3a b 〈⋅〉= 则2211113()()22224AE BF a b a b a b a b ⋅=+⋅-+=-++⋅ ＝． 221132π32222cos22432-⨯+⨯+⨯⨯⨯=-1||||2AE a b =+====同理1||||2BE a b =-+===故 cos ||||AE BF AE BF θ⋅===⋅ 21．在中，角所对的边分别为，向量，，且．ABC A ,,A B C ,,a b c ()2,2m c b a =+ ()cos ,1n B =r //mn(1)求角；A (2)若，的面积为为边的中点，求的长度．4c =ABC A D BC AD【答案】(1) 23A π=(2) AD =【分析】（1）由向量平行坐标表示可得，利用正弦定理边化角、两角和差正弦公式22cos c b a B +=可化简求得，由此可得；cos A A （2）由三角形面积公式可构造方程求得；利用余弦定理可求得，进而得到；在b a cos B ABD △中，利用余弦定理可求得.AD 【详解】（1），，由正弦定理得：， //m n 22cos c b a B ∴+=2sin sin 2sin cos C B A B +=又，()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B B A B A B B A B ∴++=++=，sin 2cos sin B A B ∴=-，，，又，.()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=-()0,A π∈23A π∴=（2）； 12sin 2sin23ABC S bc A b π====A 2b ∴=由余弦定理得：， 22222cos 2016cos283a b c bc A π=+-=-=a ∴=222cos 2a c b B ac +-∴===在中，由余弦定理得：，ABD △2222cos 23322a a AD c c B B ⎛⎫=+-⋅=-= ⎪⎝⎭解得：AD =22．在下列三个条件中任选一个补充在横线上，然后解答问题.条件，②，③. ()212si 2nC A B +=+)222S a b c +-22cos a b c B -=在中，角，，对的边分别是，，，设的面积为，已知_________. ABC A A B C a b c ABC A S （1）求角的值；C（2）若，点在边上，为的平分线，的值. 4b =D AB CD ACB ∠CDB △a （注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答记分） 【答案】（1）；（2）2.3C π=【分析】（1）若选①，进而得到，即可求2cos C C =-sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得角的值；C若选②：由题设条件和三角形的面积公式，化简得，即可求得角的值； sin C C =C 若选③：由正弦定理和三角形的内角和定理，化简得，进而求得，即可2sin cos sin B C B =1cos 2C =求得角的值； C（2）由，化简得，再由ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+14CD a CD ⨯+=CDB S =A 求解.【详解】（1）若选①， ()211cos 2cos 212sin C A C B C +=+-=-+=因为，∴，A B C π++=()sin sin C A B =+2cos C C =-，可得， cos 2sin 26C C C π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以，可得，解得. ()0,C π∈7,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭62C ππ+=3C π=若选②：由， 1sin 2ABC S ab C ==A所以，即 sin C C ==sin tan cos C C C ==因为，所以. ()0,C π∈3C π=若选③：由正弦定理得，2sin sin 2sin cos A B C B -=因为，可得，A B C π++=()sin sin A B C =+所以， ()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B B C B C B C B +-=+-=整理得，又因为，可得，所以， 2sin cos sin B C B =()0,B π∈sin 0B ≠1cos 2C =由，可得.()0,C π∈3C π=（2）如图所示，在中，因为，ABC A ACD BCD S S S =+A A 可得, 111sin sin sin 222CB CD BCD CA CD ACD CA CB ACB ⋅∠+⋅∠=⋅∠代入得， 111sin 4sin 4sin 262623a CD CD a πππ⋅+⨯⋅=⨯⋅所以 ① 14CD a CD ⨯+=又以为② 14CDB S a CD =⨯=A由①②得，解得或（舍去） 2243a a =+2a =43a =-所以边长的值为.a 2。

福建省厦门市某校2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1. 设全集U={−1, −2, −3, −4, 0}，集合A={−1, −2, 0}，B={−3, −4, 0}，则（?U A）∩B=()A.{0}B.{−3, −4}C.{−1, −2}D.?2. 已知函数的定义域是，则的定义域是()A. B. C. D.3. 已知集合，则B的子集个数为（）A.3B.4C.7D.84. 如图，是全集，、、是的子集，则阴影部分表示的集合是()A. B.C. D.5. 函数的图象A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称6. 函数的值域是（）A.[0, +∞)B.(−∞, 0]C.D.[1, +∞)7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是()A. B. C. D.8. 已知，，，则、、的大小关系是()A. B. C. D.9. 函数的图象大致是()A. B.C. D.10. 已知函数，则关于的不等式的解集为()A. B. C. D.二、多选题下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A. B. C. D. E.对任意两个实数，，定义若，，下列关于函数的说法正确的是()A.函数是偶函数B.方程有三个解C.函数在区间单调递增D.函数有4个单调区间E.函数有最大值为1，无最小值若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是()A. B. C. D. E.对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是()A.B.函数的最大值为1C.函数的最小值为0D.方程有无数个根E.函数是增函数三、填空题函数（，且）的图像恒过定点________.函数单调减区间是________．已知函数是定义在的增函数，且满足，则不等式的解集是________.已知f(x)=，若f(0)是f(x)的最小值，则t的取值范围为________.四、解答题（1）计算：（2）己知集合，，若，求的取值范围.已知函数.（1）若，用定义证明在上是增函数；（2）若，且在上的值域是，求的值.设函数对任意实数，都有，且时，，.（1）求证是奇函数；（2）求在区间上的最大值和最小值.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.（1）写出函数的解析式；（2）若函数，；求的最小值.集合，，且实数．（1）证明：若，则；（2）是否存在实数，满足且？若存在，求出，的值，不存在说明理由．已知函数在区间单调递减，在区间单调递增.函数.（1）请写出函数与函数在的单调区间；（只⋅写⋅结⋅论⋅，⋅不⋅需⋅证⋅明⋅）（2）求函数的最大值和最小值；（3）讨论方程实根的个数.参考答案与试题解析福建省厦门市某校2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算补集及其运算【解析】∴C U A(−3,−4)(∁U A)∩B=−3,−4),故答案选B．【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法奇偶性与单调性的综合函数的概念【解析】根据抽象函数定义域求法，即可求其定义域．【解答】因为函数f(x)的定义域是[−1,3)所以−1≤x<3所以f(2x−1)的定义域满足−1≤2x−1<3解不等式，可得0≤x<2．即x∈[0,2)故选B3.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】根据已知条件，列举出M中的元素，利用集合含子集的个数与集合中元素个数的关系求出集合M的子集个数．【解答】集合∴B={(1,1)(1,2),(2,1)}所以B中含有3个元素，集合B的子集个数有23=8故选：D．4.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】根据用韦恩图表示集合的含义，即可判断．【解答】根据用韦恩图表示集合的含义，结合集合的运算，容易知图中阴影部分表示的集合是：(M∩P)∩C U S故选：C．5.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】试题分析：f(x)=2x+2−x，因为f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称．故选D．【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】用换元法转化为求二次函数的值域求解或根据函数的单调性求解．【解答】方法一：设t =√2x +1(t ≥0)，则x =t 2−12g (t )=t +t 2−12=12t 2+t −12=12(t +1)2−1．函数g (t )在[0,+∞)上单调递增， g (t )≥g (0)=−12．函数f (x )的值域是[−12,+∞) 故选C ．方法二：由2x +1≥0得x ≥−12 …函数f (x )的定义域为[−12,+∞)又由题意得函数f (x )=√2x +1+x 为增函数， ∴ f (x )≥f (−12)=−12．函数f (x )的值域是[−12,+∞) 故选C ．7.【答案】 D【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义 勾股定理【解析】讨论a =0与a >0两种情况．当a =0时满足题意，当a >0时，根据Δ<0即可求得实数4的取值范围． 【解答】当a =0时，分母变为常数1，所以定义域为R ，即a =0符合题意 因为定义域为R 所以当a ≠0时，a >0符合题意．且同时满足Δ<0 即Δ=(3a )2−4a <0．解不等式可得0<a <49 综上所述实数4的取值范围为0≤a <49．即a ∈[0,49) 故选D 8. 【答案】 B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义 勾股定理【解析】根据指数函数的单调性选取中间量，即可比较大小【解答】根据指数函数的性质可知，函数y=0.8x为单调递减函数，所以1=0.86>0.847>0.845，即1>a>b 因为．v=1.2x为单调递增函数，所以1.20.3>1.20=1．即c>1综上可知，c>a>b故选B9.【答案】C【考点】函数的图象【解析】根据函数f(x)的解析式，结合特殊值法即可判断选项．【解答】因为f(x)=x 3e x−1定义域为x≠0，所以排除A选项当x→+2时，e x−1>0且x3>0，所以f(x)>0；分母e x−1增长的速度大于分子中x3的增长速度，所以f(x)→0，排除选项D当x→−x时，分母e x−1<0，分子x3÷0．所以f(x)>0，排除选项B综上，故选C10.【答案】D【考点】函数单调性的性质二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】根据函数f(x)=x4−74x2+9解析式，可知函数为偶函数，结合函数的单调性，解不等式即可求得∼的取值范围．【解答】函数f(x)=x4−74x2+9，定义域为R则f(−x)=(−x)4−74(−x)2+9=x4−74x2+9所以f(−x)=f(x)．即函数f(x)=x4−74x2+9为偶函数当x≥0时，f1(x)=x4为增函数，f2(x)=−74x2+9为增函数则f(x)=x4−74x2+9在x≥0时为增函数，在x<0时为减函数不等式f (2−3x )<f (x −1) 即满足|2−3x||x −1|即可不等式(2−3x )2<(x −1)2化简可得8x 2−10x +3<0 即(2x −1)(4x −3)<0 解得12≤x ≤34，即x ∈(12,34) 故选D二、多选题【答案】 D,E【考点】奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的判断 函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数的奇偶性定义和函数单调性的判定即可得解． 【解答】对于A ．f (x )=1x ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)⋅f (x )=1x 为奇函数，在(−∞,0)单调递减在(0,+∞)单调递减，但是(−9,0)∪(0,+∞)递减不成立，所以A 错误： 对于B ．f (x )=1x 2定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),f (x )=1x 2为偶函数，所以B 错误对于C,f (x )=x 2+1x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)⋅f (x )=x 2+1x非奇非偶函数，所以C 错误对于D ．f (x )=−x ．定义域为R ．为奇函数，且在R 上为递减函数，所以C 正确：对于E ．f (x )=−x|x|，定义域为R ．即f (x )={−x2 x ≥0x 2 x <0，画出函数图像如下图所示所以f (x )=−x|x)为奇函数且在R 上为递减函数，所以E 正确 综上故选DE 【答案】 A,B,D,E 【考点】 函数的图象 【解析】根据题意函数min {a,b⟩={a,a ≤bb,a >b 为取小函数，画出f (x )=2−x 2与g (x )=x 2在同一坐标系中的图像可得F (x )=min {f (x ),g (x )}的图像，根据图像即可判断选项． 【解答】由题意函数为取小函数根据f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，画出F (x )=min {f (x ),g (x )}的图像如下图所示：由图像可知，函数F(x)=min{f(x),g(x)}关于）轴对称，所以A正确．函数图像与∼轴有三个交点所以方程F(x)=0有三个解，所以B正确．函数在(−∞,−1]内单调递增，在[−1,0]内单调递减在[0,1]内单调递增，在[1,+∞)内单调递减，所以C错误D正确．由函数图像可知，函数有最大值为1，无最小值，所以E正确综上，故选ABDE【答案】A,B,D【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由题意可知定义域不同且解析式和值域相同，得函数必为不单调函数，举出满足条件的例子构造出同族函数即可．【解答】，当定义域分别为(−1,0)与(0,1)时，值域均为(1,−,)，所以f(x)=对于A．f(x)=1x21为同族函数，所以A正确：x2对于B．f(x)=|x|，当定义域分别为[−1,0]与[0,1]时，值域均为[0,1]，所以f(x)=|x|为同族函数，所以B正确：在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)内，函数图像在第一象限内单调递减，在第对于C,f(x)=1x对于D．f(x)=x+1x 定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，当定义域分别为[12,1]与[1,2]时，值域均为[2,52]，所以D正确对于E．f(x)=2x−2−x定义域为R．且函数在R上单调递增，所以不满足定义域不同时，值域相同，所以E错误综上，故选ABD【答案】A,C,D【考点】函数零点的判定定理集合的含义与表示命题的真假判断与应用【解析】根据题意，画出函数f(x)=x−[x|的图像，根据图像分析函数的性质即可．【解答】根据符号[x]的意义讨论当自变量》取不同范围时函数f(x)=x−[x)的解析式：当−1≤x<0时，[1]=−1，则f(x)=x−[x)=x+1当0≤x<1时，[1]=0，则f(x)=x−[x]=x当1≤x<2时，[1]=1，则f(x)=x−[x]=x−1当2≤x<3时，[x]=2，则f(x)=x−[x]=x−2画出函数f(x)=x−[x)的图像如下图所示：根据定义可知，f(−3.9)=−3.9−(−4)=0.1,f(4.1)=4.1−4=0.1．即f(−3.9)= f(4.1)，所以A正确；从图像可知，函数f(x)=x−[x)最高点处取不到，所以B错误；函数图像最低点处函数值为0，所以C正确；从图像可知f(x)−12=0．即f(x)=12有无数个根所以D正确根据函数单调性，可知函数f(x)=x−[x)在特定区间内为增函数，在整个定义域内没有增减性，所以E错误综上，故选ACD三、填空题【答案】(−2, 4)【考点】指数函数的单调性与特殊点直线系方程空间中的点的坐标【解析】根据指数函数过定点(0,1)．结合函数图像平移变换即可得f(x)=a x+2+3过的定点．【解答】因为指数函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)过定点(0,1)f(x)=a x+2+3是将f(x)=a x向左平移2个单位向上平移3个单位得到所以f(x)=a x+2+3过定点(−2,4)【−∞,−32【考点】函数单调性的判断与证明 直线的斜率 函数单调性的性质【解析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间． 【解答】去绝对值，得函数当x ≥0时，函数f (x )=x 2−3x +2的单调递减区间为[0,32]当x <0时，函数f (x )=x 2+3x +2的单调递减区间为(−∞,−32)综上，函数f (x )={x 2−3x +2,x ≥0x 2+3x +2,x <0的单调递减区间为[0,32],(−∞,−32]【答案】（0．-⑤） 【考点】函数单调性的判断与证明 奇偶性与单调性的综合幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】根据f (x )+f (−x )=0可知函数f (x )为奇函数，根据单调性及定义域解不等式f (2t −1)+f (t )<0，进而求得不等式的解集【详加】因为f (x )+f (−x )=0，即f (−x )=−f (x )，定义域为(−1,1) 所以函数f (x )为奇函数则不等式f (2t −1)+f (t )<0．即f (2t −1)<−f (t ) 由奇函数性质可化简得f (2t −1)<f (−t ) 根据函数f (x )是定义在(−1,1)的增函数可得{2t −1<−t−1<2t −11，解不等式组可得{t <130<t ≤10<t <<1即不等式组的解集为0<t <13所以不等式f (2t −1)+f (t )<0的解集为(0,13) 【解答】 此题暂无解答 【答案】 [0.2] 【考点】函数的最值及其几何意义二次函数在闭区间上的最值【解析】根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论． 【解答】由于当 由题意当x >0时，x ≤0时f (x )=(1x +t)2,时取得最小值为2+i若t ≥0，此时最小值为f (0)=t 2 故12≤t +2即t 2−t −2≤0，解得−1≤t ≤2，此时0≤t ≤2 若t <0，则f (t )<f (0)，条件不成立． 故答案为：[0,2] 四、解答题 【答案】（1）2√2；（2）6≤m ≤7或m ≥9 【考点】区间与无穷的概念 直线的斜率 函数单调性的性质【解析】（1）根据指数幂的运算法则，化简运算即可．（2）根据A ∪B =B 可知A 为B 的子集讨论A =⌀与A ≥⌀两种情况关于m 的不等式满足的条件，即可求得m 的取值范围．I 加加加(1)由指数幂运算，化简√2−1(35)0+(94)−12+√(23−√2)33（2）因为A ∪B =B 所以A ⊆B ①当A =⌀时，即2m −10≥m −1 解得m ≥9，此时满足A ⊆B②当A ≥⌀时，即2m −10<m −1，且m <9 则{2m −10≥2m −1≤6则有6≤m ≤7综上所述的取值范围为6≤m ≤7或m ≥9 【解答】 此题暂无解答 【答案】（1）详见解析； （2）a =1【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）代入a =−2得函数解析式，根据作差法证明函数的单调性即可．（2）利用分离常数法对函数解析式变形，可判断出函数在定义域内单调递减，通过函数的定义域与值域，即可分析得f (−1)=12．代 入解析式即可求得α的值． 【解答】（1）因为a =−2 所以f (x )=xx+2证明：任取x 1<x 2<−2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 1+2−x 2x 2+2=2(x 1−x 2)(x 1+2)(x 2+2)因为x 1<x 2<−2所以(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1−x 2<0 故f (x 1)−f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2) 故f (x )=x x+2在(−∞,−2)上是增函数．（2）对函数解析式变形可得f (x )=xx−a =1+ax−a 由于a >0，故f (x )在(−1,a )上单调递减 因为f (x )在(−1,a )上的值域是(−∞,12) 所以f (−1)=12，代入解析式可得−1−1−a=12．解方程求得a =1故有a =1【答案】（1）详见解析；（2）最小值−1，最大值1. 【考点】奇偶性与单调性的综合 函数的最值及其几何意义 基本不等式【解析】（1）利用赋值法令x =0,y =0代入函数式，可求得f (0)．再令y =−x 代入函数式，即可证明函数为奇函数．（2）利用定义法，可证明函数f (x )在R 上单调递减．再根据f (x +y )=f (x )+f (y )，用f (1)表示出最大值与最小值即可求 解．【解答】（1）证明：令x =0,y =0代入函数式可得 f (0+0)=f (0)+f (0) 即f (0)=0所以f(−x)=−f(x)函数定义域为R．所以f(x)是奇函数（2）先证明函数的单调性，证明过程如下：任取x1<x2，则x1−x2<0由题意可知f(x1−x2)>0因为f(x+y)=f(x)+f(y)所以f(x1)−f(x2)=f[x1−x2)+x2]−f(x2)=f(x1−x2)+f(x2)−f(x2)=f(x1−x2)>0即f(x1)>f(x2)所以f(x)在R上单调递减且f(1)=−13所以f(x)在区间[−3,3]上的f(x)min=f(3)f(x)加=f(−3) f(x)min=f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1)=−1f(x)max=f(−3)=−f(3)=1【答案】（1）．（2）g(x)加={1−2a,,a≤0−a2−2a+12−4a, a≥1【考点】二次函数的性质函数解析式的求解及常用方法函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用函数为偶函数f(x)=f(−x)，求得当x>0时函数的解析式，由此求得函数f(x)的解析式．（2）利用配方法化简g(x)的解析式，根据其对称轴x=a+1与区间[1,2]的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质求得g(x)的最小值的表达式．【解答】（1）x>0时，−x<0f(x)为偶函数，∴f(x)=f(−x)=x2−2x∴f(x)={x2+2x, x≤0x2−2x, x>0（2）x∈[1,2]时，g(x)=x2−2x−2ax+2=x2−2(1+a)x+2=[x−(a+1)]2−a2−2a+1对称轴x=a+1①当a+1≤1时，即a≤0时，g(x)在区间[1,2]上单调递增，所以g(x)min=g(1)=1−2a②当1<a+1<2，即0<a<1时，g(x)在区间[1,a+1]上单调递减，在区间所以g (x )min =g (a +1)=−a 2−2a +1③当a +1≥2，即a ≥1时，g (x )在区间[1,2]上单调递减， 所以g (x )min =g (2)=2−4a 综上所述， 【答案】（1）详见解析； （2）{p =−4q =3【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算 等比数列的通项公式【解析】（1）x 0∈A ，则x 0代入方程92+p ⋅3x +q =0成立，两边同除以9x 可得-代入q ⋅92+p ⋅3x +1=0成立，即可得证−x 0∈B ；（2）由（1）的结论可知A ∩B ={0}，所以A ={0,1} B ={0,−1}，由方程根与系数的关系可求得p ，4的值 【解答】（1）若x 0∈A ，则，可得1+p ⋅3−13+q ⋅9−x 4=0，即一%是方程q ⋅92+p ⋅3x +1=0的实数根，即−x 0∈B（2）假设存在，则根据A ∩B =⌀A ∩∁U B ={1}，易知集合A 、B 有且只有一个公共元素，设A ∩B ={s|，根据条件以及（1）有A ={1,5}B ={−1,−5)，显然s ≠−1，则有s =−s ⇒S =0，那么A ={0,1}B ={0,−1}，代入方程有p +q +1=03p +q +9=0，联立解得{p =−4q =3，所以存在{p =−4q =3满足A ∩B ≠⌀且A ∩∁R B ={1}【答案】（1）f (x )的减区间是(0,√a 3]，增区间是[√a,+∞)g (x )的减区间是(0,√a 3]，增区间是；（2）最小值16 ，最大值65664；（3）详见解析． 【考点】函数模型的选择与应用 【解析】（1）由已知函数y =x +ax 的单调区间，即可得到所求的两个函数的单调区间； （2）化简ℎ(x )的函数解析式，再由已知结论，可得函数ℎ(x )在上单调递减，在[1,2]上单调递增，即可得到所求函数的最值（3）化简方程可得ℎ(x )=m 或ℎ(x )=2m ，又函数ℎ(x )在上单调递减，在[1,2]上单调递增，分类讨论可得到方程根的个（1）根据条件，f (x )=x 2+a x2(a >0)的单调递减区间是(0,√a 3]. 单调递增区间是[√a,+∞)函数g (x )=x 2+ax 2的单调递减区间是，单调递增区间是[√3,+∞) （2）ℎ(x )=(x 2+1x )3+(x +1x 2)3=(x 6+1x 5)+4(x 3+1x 3)+6由（1）可知，x 6+1x6与4(x 3+1x 2)均在[12,1]单调递减，在[1,2]上单调递增， 则有函数ℎ(x )在[12,1]单调递减，在[1,2]上单调递增， 所以ℎ加加=ℎ(1)=16,ℎ加=ℎ(12)=ℎ(2)=(92)3+(94)3=656664 （3）由ℎ2(x )−3mℎ(x )+2m 2=0可得(ℎ(x )−m )(ℎ(x )−2m )=0所以有ℎ(x )=m 或ℎ(x )=2m又函数ℎ(x )在[12,1]单调递减，在[1,2]单调递增，而ℎ(1)=16,ℎ(12)=ℎ(2)=656164所以当0<2m <16⇒0<m <8时，方程无实数根； 当2m =16⇒m =8时，有一个实数根；当0<m <16，且60>2m >16即8<m <16，方程有两个实数根； 当m =16,2m =32，方程有三个实数根； 当时，方程有四个实数根． 综 是实根个数为0；②当m =8时，方程实根个数为1；③当8∴ m ×16时，方程实根个数为2； ④当m =162m =32时，方程实根个数为3； ⑤当16<m ≤30时，方程实根个数为4．。

2018-2019学年福建省厦门一中高三（上）月考数学试卷（文科）（二）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.复数z满足z(1−i)=|1+i|，则复数z的虚部是()A. 1B. −1C. 22D. −22【答案】C【解析】解：∵z(1−i)=|1+i|=2，∴z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=22+22i，∴复数z的虚部是22．故选：C．求出等式右边复数的模，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合A={x|x2−x−2≤0,x∈R}，B={x|lg(x+1)<1,x∈Z}，则A∩B=()A. (0,2)B. [0,2]C. {0,2}D. {0,1，2}【答案】D【解析】解：集合A={x|x2−x−2≤0,x∈R}=[−1，2]，∵lg(x+1)<1=lg10，∴−1<x<9，∴B={0,1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0,1，2}，故选：D．分别解不等式，再求它们的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，关键是解不等式，也属于基础题．3.“a=−2”是“直线l1：ax−y+3=0与l2：2x−(a+1)y+4=0互相平行”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当a=−2时，l1：2x+y−3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax−y+3=0与l2：2x−(a+1)y+4=0互相平行，则a(a+1)=2，解得：a=−2，或a=1，不是必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．4.已知a=log372，b=(14)1，c=log115，则a，b，c的大小关系为()A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b 【答案】D【解析】解：∵a=log372，b=(14)13，c=log1315，且5>72>3，∴log35>log372>1，则b=(14)13<(14)0=1，∴c>a>b．故选：D．把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较．本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题．5.若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,−π3≤x≤π6，则f(x)的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 3+1【答案】C【解析】解：f(x)=cos x+3sin x=2sin(x+π6)，∵−π3≤x≤π6，∴−π6≤x+π6≤π3，∴x=π3时，f(x)的最大值为3，故选：C．f(x)=cos x+3sin x=2sin(x+π6)，结合−π3≤x≤π6，得出−π6≤x+π6≤π3，即可得出x=π3时，f(x)的最大值本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，属于中档题．6.在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7⋅b8=3，则log3b1+log3b2+⋯+log3b14等于()A. 5B. 6C. 8D. 7【答案】D【解析】解：∵数列{b n}为等比数列∴b1b14=b2b13=b3b12=⋯=b7⋅b8=3，∴log3b1+log3b2+⋯+log3b14=log3(b1b14b2b13…b7⋅b8)=log337=7故选：D．根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=⋯=b7⋅b8=3，代入log3b1+log3b2+⋯+log3b14，根据对数的运算法则即可求的答案．本题考查等比数列的性质和对数的运算性质，等比中项的性质.若m、n、p、q∈N∗，且m+n=p+q，则a m a n=a p a q.是一个基础题，7.已知实数x，y满足不等式组x≥0x+y≤2y≥x，若目标函数z=kx+y仅在点(1,1)处取得最小值，则实数k的取值范围是()A. (−1,+∞)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−∞,1)【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分OAB)．由z=kx+y得y=−kx+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y−kx+z，要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是(1,1)，即直线y=−kx+z经过点A(1,1)时，截距最小，由图象可知当阴影部分必须在直线y=−kx+z的右上方，此时只要满足直线y=−kx+z的斜率−k大于直线OA的斜率即可直线OA的斜率为1，∴−k>1，所以k<−1．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是(1,1)，得到直线y=−kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.根据目标函数在A(1,1)取得最小值，得到直线斜率的关系是解决本题的关键8.将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A. 在区间[3π4,5π4]上单调递增 B. 在区间[3π4,π]上单调递减C. 在区间[5π4,3π2]上单调递增 D. 在区间[3π2,2π]上单调递减【答案】A【解析】解：将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z，减区间满足：π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z，∴增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z，减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数在区间[3π4,5π4]上单调递增．故选：A．将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z，减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z，由此能求出结果．本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9.已知a、b、c成等差数列，则直线ax−by+c=0被曲线x2+y2−2x−2y=0截得的弦长的最小值为()A. 2B. 1C. 22D. 2【答案】D【解析】解：因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c．因为x2+y2−2x−2y=0表示以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，则圆心到直线的距离为d=a2+b2=a2+b2，则直线ax−by+c=0被曲线x2+y2−2x−2y=0截得的弦长，l=22−b2a2+b2=22a2+b2a2+b2≥2，当且仅当a=0，且b≠0时，取等号．所以0截得的弦长的最小值为2，故选：D．利用等差数列的定义得到2b=a+c，求出圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出弦长，求出最小值．本题考查数列与解析几何的综合运用，是中档题.求直线与圆相交的弦长问题，一般通过构造直角三角形，利用勾股定理求出弦长．10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为()A. x24−y212=1 B. x212−y24=1 C. x23−y29=1 D. x29−y23=1【答案】C【解析】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=bax，即bx−ay=0，F(c,0)，AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF=d1+d22=3，EF=a2+b2=b，所以b=3，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，可得ca=2，可得：a2+b2a=4，解得a=3．则双曲线的方程为：x23−y29=1．故选：C．画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．11.三棱锥A−BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A−BCD的体积是()A. 26B. 212C. 24D. 312【答案】B【解析】解：如图所示，连接OB，OC．∵△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，∴OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=AC×CDAD =22=22．∴OB2+OC2=BC2，∴∠BOC=90∘．∴三棱锥A−BCD的体积V=13S△BOC×AD=13×12×(22)2×2=212．故选：B．利用等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出．熟练掌握等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．12.已知函数g(x)=a−x2(1e≤x≤e,e为自然对数的底数)与 (x)=2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是()A. [1,1e +2] B. [1,e2−2] C. [1e+2,e2−2] D. [e2−2,+∞)【答案】B【解析】解：由已知，得到方程a−x2=−2ln x⇔−a=2ln x−x2在[1e,e]上有解．设f(x)=2ln x−x2，求导得：f′(x)=2x −2x=2(1−x)(1+x)x，∵1e≤x≤e，∴f′(x)=0在x=1有唯一的极值点，∵f(1e )=−2−1e2，f(e)=2−e2，f(x)极大值=f(1)=−1，且知f(e)<f(1e)，故方程−a=2ln x−x2在[1e,e]上有解等价于2−e2≤−a≤−1．从而a的取值范围为[1,e2−2]．故选：B．由已知，得到方程a−x2=−2ln x⇔−a=2ln x−x2在[1e,e]上有解，构造函数f(x)=2ln x−x2，求出它的值域，得到−a的范围即可．本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a−x2=−2ln x⇔−a=2ln x−x2在[1e,e]上有解．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知α∈(π2,π)，且sinα2+cosα2=62，则cosα的值______．【答案】−32【解析】解：∵sinα2+cosα2=62，∴(sinα2+cosα2)2=1+sinα=32，即sinα=12．又∵α∈(π2,π)，∴cosα=− 1−sin2α=−32．故答案为−32采用“平方”将sinα2+cosα2=62化简可得sinα的值，即可求解cosα的值．本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．14.在(x−2x)5的展开式中，x2的系数为______．【答案】52【解析】解：(x2x)5的二项展开式的通项为T r+1=C5r⋅x5−r⋅(2x)r=(−12)r⋅C5r⋅x10−3r．由10−3r2=2，得r=2．∴x2的系数为(−12)2⋅C52=52．故答案为：52．写出二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．15.在△ABC中，B=60∘，AC=3，则AB+2BC的最大值为______．【答案】27【解析】解：设AB=cAC=bBC=a由余弦定理cos B=a2+c2−b2所以a2+c2−ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2−5am+m2−3=0△=84−3m2≥0故m≤27当m=27时，此时a=577，c=477符合题意因此最大值为27另解：因为B=60∘，A+B+C=180∘，所以A+C=120∘，由正弦定理，有ABsin C=BCsin A=ACsin B=3sin60=2，所以AB=2sin C，BC=2sin A．所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin(120∘−A)+4sin A=2(sin120∘cos A−cos120∘sin A)+4sin A=3cos A+5sin A=27sin(A+φ)，(其中sinφ=327，cosφ=27)所以AB+2BC的最大值为27．故答案为：27设AB=cAC=bBC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．本题主要考查了余弦定理的应用.涉及了解三角形和函数思想的运用．16.已知a>0，函数f(x)=−x2+2ax−2a,x>0x2+2ax+a,x≤0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是______．【答案】(4,8)【解析】解：当x≤0时，由f(x)=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a(x+1)=−x2，得a=−x2x+1，设g(x)=−x2x+1，则g′(x)=−2x(x+1)−x2(x+1)=−x2+2x(x+1)，由g′(x)>0得−2<x<−1或−1<x<0，此时递增，由g′(x)<0得x<−2，此时递减，即当x=−2时，g(x)取得极小值为g(−2)=4，当x>0时，由f(x)=ax得−x2+2ax−2a=ax，得x2−ax+2a=0，得a(x−2)=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=x2x−2设 (x)=x2x−2，则 ′(x)=2x(x−2)−x2(x−2)=x2−4x(x−2)，由 ′(x)>0得x>4，此时递增，由 ′(x)<0得0<x<2或2<x<4，此时递减，即当x=4时， (x)取得极小值为 (4)=8，要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4<a<8，故答案为：(4,8)分别讨论当x≤0和x>0时，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合函数的极值和导数之间的关系以及数形结合是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：x=−1+32ty=12t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【答案】解：(1)∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4，由x=−1+32ty=12t(t为参数)消去t得：x−3y+1=0．所以直线l的普通方程为x−3y+1=0．(2)把x=−1+32ty=12t代入x2+y2=4x得：t2−33t+5=0．设其两根分别为t1，t2，则t1+t2=33，t1t2=5．所以|PQ|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=7．【解析】本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．(1)利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；(2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A=a cos(B−π6).(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a=2，c=3，求b和sin(2A−B)的值．【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理得asin A=bsin B，得b sin A=a sin B，又b sin A=a cos(B−π6).∴a sin B=a cos(B−π6)，即sin B=cos(B−π6)=cos B cosπ6+sin B sinπ6=32cos B+12sin B，∴tan B=3，又B∈(0,π)，∴B=π3．(Ⅱ)在△ABC中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=2+c2−2ac cos B=7，由b sin A=a cos(B−π6)，得sin A=37，∵a<c，∴cos A=7，∴sin2A=2sin A cos A=437，cos2A=2cos2A−1=17，∴sin(2A−B)=sin2A cos B−cos2A sin B=437×12−17×32=3314．【解析】(Ⅰ)由正弦定理得b sin A=a sin B，与b sin A=a cos(B−π6).由此能求出B．(Ⅱ)由余弦定理得b=7，由b sin A=a cos(B−π6)，得sin A=37，cos A=7，由此能求出sin(2A−B)．本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足b2=ac，cos B=34．(1)求1tan A +1tan C的值；(2)设BA⋅BC=32，求三边a、b、c的长度．【答案】解：(1)由cos B=34可得，sin B=2B=74．∵b2=ac，∴根据正弦定理可得sin2B=sin A sin C．又∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=π，∴1+1=cos A+cos C=cos A sin C+cos C sin A=sin(A+C)=sin Bsin2B =1sin B=477．(2)由BA⋅BC=32得：|BA|⋅|BC|cos B=ca cos B=32，又∵cos B=34，∴b2=ca=2，又由余弦定理b2=a2+c2−2ac cos B=2．得(a+c)2−2ac−32ac=2，解得a+c=3，又∵b2=ca=2，∴b=2．∴三边a，b，c的长度分别为1，2，2或2，2，1．【解析】(1)运用同角的平方关系，可得sin B，再由正弦定理，可得sin2B=sin A sin C，再由切化弦和两角和的正弦公式，化简即可得到所求值；(2)由向量的数量积的定义可得ac=2，再由余弦定理可得a+c=3，即可得到所求三边的长度．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查向量数量积的定义，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知2(a n+a n+2)=5a n+1，且a52=a10，(1)求数列{a n}通项公式及前n项和为S n；(2)设b n=S n⋅log2a n+1(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和为T n．【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，则由2(a n+a n+1)=5a n+1得，2q2−5q+2=0，解得q=12或q=2，又由a52=a10知，(a1q4)2=a1q9，∴a1=q，∵{a n}为递增数列，∴a1=q=2,a n=2n,S n=2n+1−2．(2)b n=S n⋅log2a n+1=(2n+1−2)(n+1)=(n+1)⋅2n+1−2(n+1)，记数列{(n+1)⋅2n+1}的首n项和为P n，则P n=2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+(n+1)⋅2n+1，2P n=2⋅23+ 3⋅24+4⋅25+⋯+(n+1)⋅2n+2，两式相减得：−P n=23+(23+24+⋯+2n+1)−(n+1)⋅2n+2=23+23(2n−1−1)2−1−(n+1)⋅2n+2=−n⋅2n+2，即P n=n⋅2n+2，又{2(n+1)}的前n项和为2(2+3+4+⋯+n+1)=n(n+3)，∴T n=n⋅2n+2−n(n+3)．【解析】(1)利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．(2)利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=53．(Ⅰ)求椭圆C1的方程；(Ⅱ)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B，D在直线7x−7y+1=0上，求直线AC的方程．【答案】解：(I)设点M为(x1,y1)，∵F2是抛物线y2=4x的焦点，∴F2(1,0)；又|MF2|=53，由抛物线定义知x1+1=53，即x1=23；由M是C1与C2的交点，∴y12=4x1，即y1=±263，这里取y1=263；又点M(23,263)在C1上，∴49a+83b=1，且b2=a2−1，∴9a4−37a2+4=0，∴a2=4或a2=19<c2(舍去)，∴a2=4，b2=3；∴椭圆C1的方程为：x24+y23=1(II)∵直线BD的方程为：7x−7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，不妨设直线AC的方程为x+y=m，则x+y=mx24+y23=1∴消去y，得7x2−8mx+4m2−12=0；∵点A、C在椭圆C1上，∴(−8m)2−4×7×(4m2−12)>0，即m2<7，∴−7<m<7；设A(x1,y1)，C(x2,y2)，则x1+x2=8m7，y1+y2=(−x1+m)+(−x2+m)=−(x1+x2)+2m=−8m7+2m=6m7，∴AC的中点坐标为(4m7,3m7)，由菱形ABCD知，点(4m7,3m7)也在直线BD：7x−7y+1=0上，即7×4m7−7×3m7+1=0，∴m=−1，由m=−1∈(−7,7)知：直线AC的方程为：x+y=−1，即x+y+1=0．【解析】(I)设点M为(x1,y1)，由F2是抛物线y2=4x的焦点，知F2(1,0)；|MF2|=53，由抛物线定义知x1+1=53，即x1=23；由M是C1与C2的交点，y12=4x1，由此能求出椭圆C1的方程．(II)直线BD的方程为：7x−7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，设直线AC的方程为x+y=m，由x+y=mx2 4+y23=1，得7x2−8mx+4m2−12=0.由点A、C在椭圆C1上，知(−8m)2−4×7×(4m2−12)>0，由此能导出直线AC的方程．本题考查椭圆方程和求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用，注意合理地进行等介转化．22.已知函数f(x)=ln x−ax2−2x．(I)若函数f(x)在x∈[14,2]内单调递减，求实数a的取值范围；(II)当a=−14时，关于x的方程f(x)=−12x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=1x −2ax−2=−2ax2−2x+1x…(1分)由题意在x∈[14,2]时恒成立，即2a≥1−2xx2=(1x−1)2−1在x∈[14,2]时恒成立，即2a≥[(1x−1)2−1]max，…(4分)当x=14时，(1x−1)2−1取最大值8，∴实数a的取值范围是a≥4.…(6分)(Ⅱ)当a=−14时，f(x)=−12x+b可变形为14x2−32x+ln x−b=0．令g(x)=14x2−32x+ln x−b(x>0)，则g′(x)=(x−2)(x−1)2x.…(8分)列表如下：∴g(x)极小值=g(2)=ln2−b−2，g(1)=−b−54，…(10分)又g(4)=2ln2−b−2，∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，∴g(1)≥0g(2)<0g(4)≥0，…(11分)得ln2−2<b≤−54.…(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，问题转化为2a≥1−2xx2=(1x−1)2−1，根据函数的单调性求出a的范围即可；(Ⅱ)f(x)=−12x+b可变形为14x2−32x+ln x−b=0，令g(x)=14x2−32x+ln x−b(x>0)，根据函数的单调性求出g(x)的极值和端点值，得到关于b的不等式组，解出即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。

2021-2022级高一下学期3月月考数学试题满分：150分 考试时长：120分钟 命题人：庄旺新一，单项选择题（本大题有8小题,每小题5分,共40分,请从A ,B ,C ,D 四个选项中,选出一个符合题意地正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分.）1. 若()1,2OA =-u u u r ,()-1,1OB = ,则AB =u u u r（ ）A. ()0,1 B. ()2,3- C. ()1,2- D. ()2,3-【结果】D 【思路】【思路】依据AB =u u u r OB OA -可求出结果.【详解】AB =u u u r (1,1)(1,2)(2,3)OB OA -=---=-.故选：D2. 已知向量()1,1a =- ,()2,b x =,若()2a a b ⊥+ ,则x 地值为（ ）A. 2B. -2C. 6D. -6【结果】C 【思路】【思路】依据向量地坐标运算,求得()24,2a b x +=-,结合向量垂直地款件和数量积地运算公式,列出方程,即可求解.【详解】由题意,向量()1,1a =- ,()2,b x = ,可得()24,2a b x +=-,因为()2a a b ⊥+ ,则()2420a a b x ⋅+=+-=,解得6x =.故选：C .3. 若1e ,2e是平面内地一组基底,则下面四组向量能作为平面向量地基底地是（ ）A. 12e e - ,21e e -B. 122e e - ,1212e e -C. 2123e e - ,1264e e - D. 12e e + ,12e e -【结果】D 【思路】【思路】依据不共线地向量作为基底即可得出选项.【详解】对于A, 由12e e -=()21e e -- ,所以两向量共线,故A 不能选。

对于B,由1222e e -= 1212e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以两向量共线,故B 不能选。

对于C,由2123e e - ()121642e e =--,所以两向量共线,故C 不能选。

20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2021届福建省厦门市一中第一次月考试卷第一部分（选择题）（一）听力测试（共30分，每小题1分）Ⅰ. 听对话，根据对话内容选出相应的图片。

（听两遍）1.A B C2.A B C3.A B C4.A B C5.A B C Ⅱ. 听对话和问题，选择正确的答案。

(听两遍)6. A. A doctor. B. A nurse. C. A volunteer.7. A. Dance music. B. Country music. C. Classical music.8. A. Home. B. To the hospital. C. To school.9. A. Using the computer. B. Repairing the computer. C. Buying a computer.10. A. Discuss a film. B. Make flashcards. C. Have a party.Ⅲ. 听对话，根据所听到内容选择正确的答案。

(听两遍)听下面一段对话，回答11-12两小题。

11. Gina can’t play tennis this afternoon, because _____________ .A. she has to talk with Professor BlackB. she has to take a maths testC. she has to finish a paper12. The boy wants to ____________ for Gina.A. teach her how to play tennisB. help her with her mathsC. give her advice on how to study well听下面一段对话，回答13-15三个小题。

一、单选题二、多选题1. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆2. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）A．B．C．D．4. 某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（）A ．甲、乙两家商店营业额的极差相同B ．甲、乙两家商店营业额的中位数相同C ．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高D ．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差5.已知向量，其中与是相反向量，且，，则（ ）A．B．C ．2D．6. 已知正方体的棱长为，直线平面，平面截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）A ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C．截面面积最大值为D．截面面积最大值为7. 已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C上一点，且，，则椭圆C 的离心率为（ ）A．B．C．D．8. （ ）A ．-iB ．C．D．9. 已知函数，则（ ）A ．是偶函数B ．在区间上是增函数C．的最大值为0D ．在内有2个零点福建省厦门第一中学2023届高三三模数学试题(1)福建省厦门第一中学2023届高三三模数学试题(1)三、填空题四、解答题10.已知函数，则（ ）A ．当时，函数在上单调B ．当时，函数在上不单调C ．当时，函数在上不单调D ．当时，函数在上单调11. 在正方形中，设D是正方形的内部的点构成的集合，，则集合表示的平面区域可能是（ ）A ．四边形区域B ．五边形区域C ．六边形区域D ．八边形区域12. 已知m ，n 均为正数，随机变量X 的分布列如下表：X 012P mnm 则下列结论一定成立的是（ ）A．B．C．D．13.若的展开式中常数项为，则的值为___________.14.已知函数的图像关于点对称，关于直线对称，最小正周期，则______，的单调递减区间是______.15. 设是抛物线上两个不同的点,为坐标原点,若直线与的斜率之积为,则下列结论正确的有________.①;②;③直线过抛物线的焦点;④面积的最小值是.16. 已知函数其中为实常数.（1）若,解关于的方程;（2）判断函数的奇偶性,并说明理由.17. 已知椭圆的离心率为，上顶点为，点在上，点，的最大面积等于.(1)求的方程；(2)若直线与交于另一点，直线，分别与轴交于点，，试判断是否为定值.18. 如图，四棱锥的底面是正方形，且平面平面．，分别是，的中点，经过，，三点的平面与棱交于点，平面平面，直线与直线交于点．(1)求的值；(2)若，求多面体的体积．19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由.20. 3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．中国的3D打印技术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置．我国某企业利用3D打印技术生产飞机的某种零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到下面的检测结果：质量指标频率(1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①若，求的值；②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于的件数最有可能是多少？附参考数据：，若，则，，．21. 某研究部门为了研究气温变化与患流感人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查得到如下列表：(附)高于不高于合计患流感2025不患流感15合计50（1）对上述列联表进行填空，并判断是否有99%的把握认为患流感与温度有关，说明你的理由；（2）为了了解患流感与年龄的关系，已知某地患有流感的老年､中年､青年的人数分别为108人，72人，36人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是中年人的概率.0.100.050.0250.012.7013.841 5.024 6.635。

福建省厦门市第一中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}2,1,0,1,2M =--，211,R 2N y y x x ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}1,2D ．{}22．已知幂函数f(x)的图像经过点(9，3)，则f(2)－f(1)＝( )A ．3B ．1C －1D ．13．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()2xf x =B ．3()f x x =C ．()1f x x=D ．()f x x x =-4．函数()21log f x x x=-+的一个零点落在下列哪个区间（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-B ．7-C ．5D ．76．已知 5.10.9m =，0.90.95.1,log 5.1n p ==，则这三个数的大小关系是( )A ．m<n<pB ．m<p<nC ．p<m<nD ．p<n<m7．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >，若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()()2log ,02,0x x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ） A ．()2,+∞ B ．(),0-∞ C ．（0，2）D ．()(),02,-∞+∞9．一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(,5)-∞-C ．21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．21,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．已知函数()()3log 1f x ax =-，若()f x 在(],2-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．(),0-∞11．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞B ．[]1,2C ．()1,2D ．(],1-∞二、多选题12．（多选题）已知函数()()2220f x x x x =++<与()()2ln g x x x a =++（a R ∈且0a >）的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值可以是下列数据中的（ ）A ．21eB ．1eC ．eD ．3e三、填空题13．设集合{}1,2,4A =，{}2|40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =__________．14．计算：3112log 2221log 6log 334⎛⎫--+= ⎪⎝⎭______ 15．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－211x +，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________.16．已知函数()22log 1a a f x x x x =-+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒小于零，则实数a 的取值范围是_________.四、解答题17．已知()1ln 33x M x f x ⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，{}12N x a x a =<<-（1）求M ；（2）若M N M ⋂=，求实数a 的取值范围18．已知函数()113xf x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）若0a =，画出函数()f x 的图象，并指出函数的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数. 19．已知函数()21log 1f x x =+． （1）用定义法证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式()f x x m <+恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知二次函数()g x 对一切实数x ∈R ，都有()()11g x g x -=+成立，且()10g =，()01g =，()()()1,h x g x bx c b c R =+++∈.（1）求()g x 的解析式；（2）记函数()h x 在[]1,1-上的最大值为M ，最小值为m ，若4M m -≤，当0b >时，求b 的最大值.21．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是:当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立．） （1）判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．（参考结论：函数()()0af x x a x=+>的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为()、(） 22．设函数()()()212,xxk f x k x R k Z -=+-⋅∈∈.（1）若()k f x 是偶函数，求k 的值；（2）若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围； （3）设函数()()()0224g x f x f x λ=-+，若()g x 在[)1,x ∈+∞有零点，求实数λ的取值范围.参考答案1．A 【分析】求出二次函数2112y x =-+的值域即为集合N ，两集合取交集即可. 【详解】{}2,1,0,1,2M =--，{}211,R 12N y y x x y y ⎧⎫==-+∈=≤⎨⎬⎩⎭，M N ∴⋂={}2,1,0,1--.故选：A 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及二次函数的值域，属于基础题. 2．C 【解析】设幂函数为f(x)＝x α，由f(9)＝9α＝3，即32α＝3，可得2α＝1，α＝12.所以f(x)＝12x故f(2)－f(1)－1. 3．D 【分析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项. 【详解】对于A 选项，函数()2xf x =是非奇非偶函数且为增函数；对于B 选项，函数()3f x x =是奇函数且为增函数；对于C 选项，函数()1f x x=是奇函数，且在区间(),0-∞和()0,∞+上都是减函数，但在定义域()(),00,-∞⋃+∞上不单调；对于D 选项，函数()f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，且()()()f x x x x x f x -=--⋅-==-，此函数为奇函数，()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以，函数()f x x x =-在区间(),0-∞和[)0,+∞上都是减函数，且在R 上连续，则函数()f x x x =-在R 上为减函数. 故选D. 【点睛】本题考查基本初等函数的奇偶性和单调性，熟悉一些常见的基本初等函数的基本性质是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4．B 【分析】求出()1f 、()2f ，由()()120f f ⋅<及零点存在定理即可判断. 【详解】()21log 111f =-+=-，()2112log 222f =-+=，()()120f f ∴⋅<，则函数的一个零点落在区间()1,2上.故选：B 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题. 5．A 【解析】()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A.6．C 【分析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较大小. 【详解】设函数f （x ）=0.9x ，g （x ）=5.1x ，h （x ）=log 0.9x 则f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，h （x ）单调递减 ∴0＜f （5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m ＜1 g （0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n ＞1h （5.1）=log 0.95.1＜log 0.91=0，即p ＜0 ∴p ＜m ＜n 故选C ． 【点睛】本题考查对数值比较大小，可先从范围上比较大小，当从范围上不能比较大小时，可借助函数的单调性数形结合比较大小．属基础题 7．A 【分析】根据题意，易得()()0x a x b --=的两根为a 、b ，又由函数零点与方程的根的关系，可得()()()f x x a x b =--的零点就是a 、b ，观察()()()f x x a x b =--的图象，可得其与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(,1)-∞-与(0,1)上，又由a b >，可得1b <-，01a <<；根据函数图象变化的规律可得()xg x a b =+的单调性及与y 轴交点的位置，分析选项可得答案. 【详解】解：由二次方程的解法易得()()0x a x b --=的两根为a 、b ；根据函数零点与方程的根的关系，可得()()()f x x a x b =--的零点就是a 、b ，即函数图象与x 轴交点的横坐标；观察()()()f x x a x b =--的图象，可得其与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(,1)-∞-与(0,1)上，又由a b >，可得1b <-，01a <<；在函数()xg x a b =+可得，由01a <<可得其是减函数， 又由1b <-可得其与y 轴交点在x 轴的下方； 分析选项可得A 符合这两点，BCD 均不满足； 故选：A . 【点睛】本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a 、b 的范围.8．D 【分析】当0x >时求解不等式2log 1x >，当0x ≤时求解不等式21x，两段的x 的范围取并集即可. 【详解】当0x >时，不等式()1f x >为2log 1x >，解得2x >； 当0x ≤时，不等式()1f x >为21x，解得0x <.综上所述，()1f x >的解集为()(),02,-∞+∞.故选：D 【点睛】本题考查分段函数不等式，涉及对数不等式、指数不等式，属于基础题. 9．C 【分析】根据条件需满足0∆≥，(2)0f >，对称轴522x =>即可求出m 的取值范围. 【详解】关于x 的一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则Δ25440(2)41010522m f m ⎧⎪=-+≥⎪=-+->⎨⎪⎪>⎩, 解得2154m -<-. 故选C. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题. 10．B 【分析】利用复合函数法可得知内层函数1u ax =-在(],2-∞上为减函数，且10u ax =-≥在(],2-∞上恒成立，由此列出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】函数()()3log 1f x ax =-的内层函数为1u ax =-，外层函数为3log y u =，由于函数()()3log 1f x ax =-在(],2-∞上为减函数，且外层函数3log y u =为增函数， 则内层函数1u ax =-在(],2-∞上为减函数，0a ∴-<，得0a >， 且10u ax =->在(],2-∞上恒成立，则min 120u a =->，解得12a <. 因此，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选B. 【点睛】本题考查复合型对数函数的单调性问题，在利用复合函数法判断内层函数和外层函数的单调性时，还应注意真数在定义域上要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f xx f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．ABC 【分析】根据题意得出()()g x f x -=，可得出22x a e x +=+，于是将问题转化为实数a 的取值范围即为函数()22x h x ex +=+在(),0-∞上的值域，并利用单调性求出函数()y h x =在(),0-∞上的值域，可得出实数a 的取值范围，由此可得出正确选项. 【详解】由题意可得()()g x f x -=，则()()22ln 22x a x x x -+-=++，得()ln 22a x x -=+，22x a e x +∴=+，构造函数()22x h x ex +=+，则实数a 的取值范围即为函数()22x h x e x +=+在(),0-∞上的值域，由于函数()22x h x e x +=+在(),0-∞上单调递增，所以，()()20h x h e <=，2a e ∴<.又0a >，20a e ∴<<，因此，符合条件的选项有A 、B 、C.故选ABC. 【点睛】本题考查函数方程的应用，解题的关键就是将问题转化为函数的零点问题，另外就是利用参变量分离法将参数的取值范围转化为函数的值域问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 13．{}1,3 【解析】因为{}1A B ⋂=，所以1x =为方程240x x m -+=的解，则140m -+=，解得3m =，所以2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，集合{}1,3B =． 14．1 【分析】根据指数运算律、对数运算律直接计算. 【详解】原式22111log 3log 3122=+--+=. 故答案为：1 【点睛】本题考查指数、对数的运算律，属于基础题. 15．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】判断()f x 的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解. 【详解】由f (x )＝ln(1＋|x |)－211x+()()()21ln 11x f x x =+--=-+-， 且其定义域为R ，故f (x )为R 上的偶函数， 于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－211x+， ()21ln 1,1y x y x =+=-+在[)0,+∞均是单调增函数， 所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数， 则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|， 两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1. 故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题.16．1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题意得出()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，然后对底数a 分1a >和01a <<两种情况讨论，结合图象找出关键点得出关于a 的不等式（组）求解，可得出实数a 的取值范围.【详解】()()()()2222log 2log log 11log 11aa a a a f x x x x x a x x x x =-+=-+--=----， 则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1a >时，312x <<，则1012x <-<，此时()1log 1log log 102a a a x -<<=，则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不成立； 当01a <<时，如下图所示：由图象可知，若不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则20113log 122a a <<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1116a ≤<. 因此，实数a 的取值范围是1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查对数不等式恒成立问题，解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论，并利用数形结合思想得出一些关键点列不等式（组）求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 17．（1）{}12M x x =-<≤；（2）(],1-∞-. 【分析】（1）根据被开方数非负、对数型函数的定义域列出不等式组求解x ，x 的取值集合即为集合M ；（2）由两集合交集的结果可得M N ⊆，即可做出数轴求满足条件的a 的取值范围. 【详解】（1）2603211303x x x x x ⎧--+≥-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨>-->⎩⎪⎩，解得12x -<≤， 所以{}12M x x =-<≤； （2）M N M ⋂=，M N ∴⊆，1211122a aa a a <-⎧⎪∴≤-⇒≤-⎨⎪->⎩，即a 的取值范围为(),1-∞-. 【点睛】本题考查函数的定义域、集合的基本运算、根据集合的包含关系求参数的范围，属于基础题. 18．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）当0a =时作出函数()f x 的图像，并根据函数图像写出函数的单调区间；（2）原问题可转化为讨论函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =的交点个数.【详解】（1）若0a =，则()113xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数图像如图所示：函数()f x 的单调增区间为()0,∞+，单调减区间为(),0-∞；（2）函数()113x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点个数即为方程113xa ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解的个数，也即函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =的交点个数，如图所示，当0a <时，函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =没有交点，即()f x 有0个零点；当0a =时，函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =有1个交点，即()f x 有1个零点；当01a <<时，函数113x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =有2个交点，即()f x 有2个零点；当1a ≥时，函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =有1个交点，即()f x 有1个零点.综上所述，当0a <时()f x 有0个零点；当0a =或1a ≥时，()f x 有1个零点；当01a <<时()f x 有2个零点. 【点睛】本题考查函数的图像与性质、利用两函数图像的交点个数判断函数的零点个数，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）()5,-+∞． 【分析】（1）设121x x >>，利用对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出()()12f x f x <，从而得出函数()y f x =在()1+∞，上为减函数； （2）由参变量分离法得出21log 1m x x >-+对任意的[]3,4x ∈上恒成立，然后构造函数()21log 1g x x x =-+，分析函数()y g x =在区间[]3,4上的单调性，求出该函数的最大值，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）任取121x x >>，则()()212222121111log log log 111x f x f x x x x +-=-=+++， 121x x >>，则12112x x +>+>，211011x x +∴<<+，22211log log 101x x +∴<=+， 即()()12f x f x <，所以，函数()21log 1f x x =+在()1,+∞上为减函数； （2）对任意的[]3,4x ∈，()f x x m <+，即21log 1x m x <++，得21log 1m x x >-+. 构造函数()21log 1g x x x =-+，其中[]3,4x ∈，则函数()y g x =在区间[]3,4上为减函数， ∴函数()y g x =在区间[]3,4上的最大值为()()2max 13log 354g x g ==-=-，5m ∴>-.因此，实数m 的取值范围是()5,-+∞. 【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了函数不等式恒成立问题，利用参变量分离法转化为函数的最值问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 20．（1）()()21g x x =-；（2）2.【分析】（1）由题意可得出二次函数()y g x =的对称轴为直线1x =，结合()10g =可得出该二次函数的顶点坐标为()1,0，可设()()21g x a x =-，再由()01g =求出实数a 的值，由此可得出函数()y g x =的解析式；（2）求出函数()y h x =的解析式()2h x x bx c =++，分析该二次函数图象的对称轴与区间[]1,1-的位置关系，分析函数()y h x =在区间[]1,1-上的单调性，求出M 和m ，然后解不等式4M m -≤，求出实数b 的取值范围，即可得出实数b 的最大值. 【详解】（1）对一切实数x ∈R ，都有()()11g x g x -=+成立，则二次函数()y g x =的对称轴为直线1x =，又()10g =，则二次函数()y g x =图象的顶点坐标为()1,0， 设()()21g x a x =-，则()01g a ==，因此，()()21g x x =-；（2）()()21h x g x bx c x bx c =+++=++，对称轴为直线2b x =-，0b >，则02b-<. 当12b-≤-时，即当2b ≥时，函数()y h x =在区间[]1,1-上单调递增， 则()11M h b c ==++，()11m h b c =-=-++，则24M m b -=≤，得2b ≤，此时2b =；当102b -<-<时，即当02b <<时，函数()y h x =在区间1,2b ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,12b ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，所以，224b b m f c ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，()11f b c =++，()11f b c -=-++，且()()11f f >-，()11M f b c ∴==++，则2144b M m b -=++≤，整理得24120b b +-≤，解得62b -≤≤，此时，02b <<.因此，02b <≤，则实数b 的最大值为2. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，同时也考查了二次函数在定区间上最值的求法，当对称轴位置不确定时，需要分析对称轴与定义域的位置关系，结合单调性得出二次函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21．（1）函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求；详见解析；（2）[]1,2. 【分析】（1）研究函数()1030xf x =+的单调性与值域，验证该函数是否满足题中三个要求，即可得出结论；（2）先求出函数()y g x =的最大值()()max 1600405g x g a ==-，由40575a -≤求出实数a 的范围，在利用参变量分离法求出满足()5xg x ≤恒成立时实数a 的取值范围，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）对于函数模型()1030xf x =+， 当[]25,1600x ∈时，函数()y f x =是单调递增函数，则()()160075f x f ≤≤显然恒成立，若函数()5x f x ≤恒成立，即10305x x +≤，解得60x ≥，则()5xf x ≤不恒成立， 综上所述，函数模型()1030xf x =+，满足基本要求①②，但是不满足③， 故函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求；（2）当[]25,1600x ∈时，()()51g x a =≥单调递增，∴函数()y g x =的最大值为()16005405g a ==-，由题意可得40575a -≤，解得2a ≤.设()55x g x =≤恒成立，2255x a x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭恒成立，即225225x a x ≤++， 对于函数2251252525x y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，该函数在25x =处取得最小值， 即min 252522525y =+=，2224a ∴≤+=，1a ≥，12a ∴≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]1,2. 【点睛】本题考查函数模型的选择，本质上就是考查函数基本性质的应用，同时也考查了函数不等式恒成立问题，在求解含单参数的不等式恒成立问题，可充分利用参变量分离法转化为函数最值问题来求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题. 22．（1）2k =；（2）54m ≤；（3）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由()()k k f x f x -=代入即可求解k ；（2）由已知代入可得2422xxxm -⋅≤-+，分类可得()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-，换元后利用二次函数的性质可求；（3）结合已知，代入可求()g x ，然后结合()g x 在[)1x ∈+∞，有零点利用换元法，结合二次函数的性质可求. 【详解】（1）若()k f x 是偶函数，则()()k k f x f x -=，即()()212212xx x x k k --+-⋅=+-⋅，即()()()()221212122xx x x x x k k k ----=-⋅--⋅=--，则11k -=，即2k =；（2）存在]2[1x ∈，，使得()()014f mf x x +≤成立，即2422x x x m -≤-+， 则()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-， 设2x t -=，∵12x ≤≤， ∴1142t ≤≤， 设()22422141x x t t --⋅+-=+-，则()224125y t t t =+-=+-，∵ 1412t ≤≤，∴当12t =时，函数取得最大值152144y =+-=， 则54m ≤. （3）()022xxf x -=-，()222xxf x -=+， 则()()2222222222xxxx f x --=+=-+，则()()()()()2022422222x x x x g x f x f x λλ--=-+=---+，设22x x t -=-，当1≥x 时，函数22x x t -=-为增函数， 则13222t ≥-=， 若()g x 在[)1,x ∈+∞有零点， 即()()()222220222x x x x g x t t λλ--=---=+-=+在32t ≥上有解， 即22t t λ=-，即2t tλ=-， ∵2t t -在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，∴341236λ≥-=， 即λ的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要综合考查了函数的性质及函数与方程思想的相互转化，培养了学生的逻辑思维能力，属于中档题.。

一、单选题 1．若是纯虚数，则a ＝（ ） ()3i3ia a +∈+R A ．－1 B ．1 C ．－9 D ．9【答案】A【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可. 【详解】, ()()()()()3i 3i 93i 33i 3i 3i 3i 1010a a a a +--++==+++-因为是纯虚数，故，得，3i 3i a ++()330109010a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩1a =-故选：A.2．下列命题中正确的是（ ） A ．单位向量都相等 B ．相等向量一定是共线向量 C ．若，则 D ．任意向量的模都是正数//,//a b b c//a c 【答案】B【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得. 【详解】对于A ，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A 错误； 对于B ，相等向量一定是共线向量，故B 正确；对于C ，若，，而与不一定平行，故C 错误； 0b = //,//a b b ca c 对于D ，零向量的模长是，故D 错误． 0故选：B.3．已知平面向量满足与的夹角为（ ） ,ab2,1,a b b a -== b A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】利用平方的方法化简与的夹角. ||a b -= a b【详解】设与的夹角为，abθ由，||a b -= 2223a a b b -⋅+= 即， 14221cos 13,cos 2θθ-⨯⨯⨯+==由于，所以. 0πθ≤≤π3θ=故选：C4．等边的边长为3，若，，则（ ） ABC 2AD DC = BF FD =AF = AB CD【答案】A【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求BC O 1,4AF ⎛=- ⎝ 解.【详解】如图，取中点，建立直角坐标系，则， BC O 33,,0,,022A B C ⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝由，若，则，2AD DC =(,)D x y 223(,(1,332AD AC ==⨯= 所以得：， (,(1,x y =D ⎛⎝由，若，则， BF FD = (,)F m n 1155((2224BF BD ==⨯= 所以得：，35(,)(24m n +=14F ⎛- ⎝所以，故1,4AF ⎛=- ⎝ AF == 故选：A 5．函数的大致图象是（ ） 3sin ||x xy x -=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解. B,D C 【详解】函数的定义域为， 3sin ()xx xy f x -==(,0)(0,)-∞+∞ 且，3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项， ()f x B,D 只需研究的图象，当时，，则，排除选项. 0x >π6x =πππ33sin 06662-=-<π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C 故选：．A 6．若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（ ） z 12z -≤z A ．B ．C ．D ．π2π3π4π【答案】D【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其z 面积.【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，， z 4πS =故选：D.7．以下命题中，正确的是（ ）A ．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B ．如果a +b i=c +d i ，那么a =c ，b =dC ．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D ．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 【答案】D【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答.【详解】A ：，当时,不是纯虚数，故A 错误； ()()i i 2i a b a b b +--=0b =2i b B ：如果a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a 、b 、c 、d ∈R 时，a ＝c ，b ＝d ，故B 错误； C ：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C 错误； D ：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D 正确. 故选：D.8．定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下W (,)a m n =(,)b p q = a b mq np =- 面说法错误的是( )A ．若与共线，则B ．a b0a b = a b b a = C ．对任意的，有D ．R λ∈()()a b a b =λλ2222()()||||a b a b a b +⋅= 【答案】B【分析】根据运算“”的定义，结合向量数量积以及共线的坐标运算即可逐一选项检验. W 【详解】若与共线，则有，故A 正确；a b0a b mq np =-= 因为，而，所以有，故B 错误，b a pn qm =- a b mq np =- a b b a ≠而，故，C 正()(,),()=,a m n a b mq np mq np =∴=-- λλλλλλλ()()=a b mq np - λλ()()a b a b =λλ确，()()()()2222222222222222()()a b a b mq np mp nq m q n q n m pm n q p q +⋅==+++-++++= ，故，D 正确，()()222222=||||m n b q a p++ 2222()()||||a b a b a b +⋅= 故选：B ．二、多选题9．下列各式中正确的是（ ）A ．B ．3ππtan tan 55>tan2tan3<C ．D ．17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A ，B ，利用诱导公式结合正余弦函数的性质可判断C ，D. 【详解】对于A ，，A 错误; 3π2π2ππtan tan(πtan 0tan 5555=-=-<<对于B ，，由于函数在上单调递增， π23π2<<<tan y x =π(,π)2故，B 正确； tan2tan3<对于C ，， 17π17πππcos(cos cos(4πcos 4444-==+==，故，C 正确；23π3π3πcos()cos(4π+cos 0555-==<17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D,函数在上是增函数，而，sin y x =ππ[,]22-ππ1018-<-所以，D 不正确；ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC10．已知向量，则下列命题正确的是（ ）)()()(),cos ,sin 0π,1,0a b c θθθ==≤≤=A ．的最大值为2a b ⋅B ．存在，使得θa b ab +=- C ．向量是与共线的单位向量 13e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ a D ．在 a c【答案】ABD【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断；B.利用数量积公式，可得，即可求解； 0a b ⋅=θC.根据模的公式，计算，即可判断；eD.根据投影向量公式，即可计算求值.【详解】对于选项，，A πsin 2sin 3a b θθθ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭ 当，即时取最大值2，故A 正确；ππ32θ+=π6θ=对于B 选项，要使，则， a b a b +=- 0ab ⋅= 则，因为，所以，故存在，使得，故B 正确；tan θ=0πθ≤≤2π3θ=θa b a b +=- 对于C 选项，因为， 1e =≠ 所以向量不是单位向量，故C 错误；e对于选项，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D 正确. D ()1,0c = a c ||a c c c ⋅⋅=故选：.ABD 11．已知锐角三角形中，设，则下列判断正确的是（ ） ABC tan tan a A B =()log a f x x =A ． B ．sin cos A B >1a >C ．D ． sin sin 2cos cos A BB A+>(cos )(sin )f A f B >【答案】ABC【分析】根据锐角三角形分析角的范围与关系，并利用诱导公式，以及对数函数的单调性，即可判断正误.【详解】解：因为三角形为锐角三角形，所以，则， ABC 2A B π+>ππ022A B >>->所以，A 选项正确； sin sin cos 0π2A BB ⎛⎫>-=> ⎪⎝⎭同理，则，， sin cos 0B A >>sin 1cos A B >1co sin s BA >因此，，B ，C 选项正确； sin sin tan tan 1cos cos A B A B B A =⋅>sin sin 2cos cos A BB A+>由于，所以在是增函数，1a >()log a f x x =(0,)+∞又，所以，D 选项错误． sin cos 0B A >>(sin )(cos )f B f A >故选：ABC ．12．下列结论正确的是（ ）A ．若，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---34m >-B ．点O 在△ABC 所在的平面内，若，则点O 为△ABC 的重心0OA OB OC ++=C ．点O 在△ABC 所在的平面内，若，，分别表示△AOC ，△ABC 的230OA OB OC ++=AOC S ABC S 面积，则:1:6AOC ABC S S =△△D ．点O 在△ABC 所在的平面内，满足且，则点O 是且△ABC AO AB AO ACAB AC ⋅⋅=CO CA CO CB CA CB ⋅⋅= 的外心 【答案】BC【分析】对于A ，由∠ABC 为锐角，可得且两向量不共线；对于B ，设边上的中点0BA BC ⋅>u u r u u u rAB 为，证明在边的中线上即可；对于C ，由，得D O AB 230OA OB OC ++=()2O OC B OC OA +=-+ ，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对AC D BC E ,,O D E 2OE OD =于D ，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断. OA BAC ∠OC ACB ∠【详解】对于A ，由， ()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=--- 得，()()3,1,1,BA OA OB BC OC OB m m =-=--=-=---因为∠ABC 为锐角，故且不共线，0BA BC ⋅>u u r u u u r,BA BC 所以，解得且，故A 错误；()()310310m m m m ⎧---+>⎪⎨+--≠⎪⎩34m >-12m ≠对于B ，设边上的中点为，则，AB D 2OA OB OD +=因为，所以，0OA OB OC ++=2OC OD =- 所以，又点为公共端点，所以三点共线， //OC ODO ,,O C D 即点在边的中线上，O AB 同理可得点也在两边的中线上， O ,AC BC 所以点O 为△ABC 的重心，故B 正确；对于C ，因为，所以，230OA OB OC ++=()2O OC B OC OA +=-+ 如图，设的中点为，的中点为，AC D BC E 则，所以，2OE OD =-//OE OD 又点为公共端点，所以三点共线，且， O ,,O D E 2OE OD =所以，13AOC ACE S S = 又， 12ACE ABC S S =△△所以，即，故C 正确； 16AOC ABC S S =:1:6AOC ABC S S =△△对于D ，由， AO AB AO ACAB AC⋅⋅= 可得，即， cos cos AO OAB AO OAC ∠=∠cos cos OAB OAC ∠=∠又因，所以， (),0,πOAB OAC ∠∠∈OAB OAC ∠=∠所以是的角平分线，OA BAC ∠由， CO CA CO CBCA CB⋅⋅=可得，即， cos cos CO OCA CO OCB ∠=∠cos cos OCA OCB ∠=∠又，所以， (),0,πOCA OCB ∠∠∈OCA OCB ∠=∠所以是的角平分线， OC ACB ∠所以点O 是且△ABC 的内心，故D 错误. 故选：BC.三、填空题 13．已知函数，若______． ()()()sin πcos π3πcos 2f αααα-+=⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】利用诱导公式化简即可解决. 【详解】由题知，， ()()()()sin πcos πsin cos cos 3πsin cos 2f αααααααα-+-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭因为πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以πππππcos sin sin 66263f αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 14．已知，是不共线的向量，，，，若A ，B ，C 三点a b OA a b λμ=+ 32OB a b =- 23OC a b =+共线，则实数，满足__________． λμ【答案】.513λμ+=【分析】方法1：运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m 可得结果.(1)OA mOB m OC =+-方法2：先计算、，再运用A ，B ，C 三点共线则列方程可得结果.BA BC//BA BC 【详解】方法1：因为A ，B ，C 三点共线，所以设， (1)OA mOB m OC =+-即：，(32)(1)(23)(2)(53)a b m a b m a b m a m b λμ+=-+-+=++-+ 所以，消去m 得：.2 53m m λμ+=⎧⎨-+=⎩513λμ+=方法2：，()()()()3232BA OA OB a b a b a b λμλμ=-=+--=-++，()23325BC OC OB a b a b a b =-=+--=-+因为A ，B ，C 三点共线，所以，//BA BC故，所以． ()53(2)λμ-=-+513λμ+=故答案为：.513λμ+=15．中，角A ，，的对边分别为，，，且满足，，则ABC B C a b c c =2a =1cos 2a C b =-的面积为______．ABC【分析】已知式变形后由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，然A 后由余弦定理求得，再由面积公式计算． b【详解】∵，c 1cos 2a C b b =-=∴， sin cos sin A C B C =∴，展开得， ()sin cos sin A C A C C =+sin cos 0C A ⎛⋅= ⎝∴由三角形内角的性质知：sin C 不为0，故，4A π=∴，222cos 2b c a A bc +-=∴，2702b b --=b =所以的面积. ABC 11sin 22S bc A ===四、双空题16．如图，已知复平面上的平行四边形OACB ，O 为坐标原点，点A 、B 分别对应的复数为、3i +，M 是OC 、AB 的交点，则点C ，M 分别对应的复数为______、______．24i +【答案】55i +55i 22+【分析】平行四边形OACB 中，由复数的几何意义，结合向量运算即可求【详解】由题意，，， ()3,1OA = ()2,4OB =平行四边形OACB 中，，故C 分别对应的复数为，()5,5OC OA OB =+=55i +M 为OC 中点，则，故M 分别对应的复数为. 155,222OM OC æöç÷==ç÷èø55i 22+故答案为：；. 55i +55i 22+五、解答题17．已知是复数，、均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在z 2i z +2iz-i 2(i)z a +第一象限，求实数的取值范围． a 【答案】()2,6【分析】设，化简、并根据其均为实数求得参数x ，y ，化简i z x y =+()x y ∈R 、2i z +2iz-2(i)z a +并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得的范围.a 【详解】设，∵为实数，∴，∴. i z x y =+()x y ∈R 、()2i 2i z x y +=++=2y -2i z x =-∵为实数，∴．∴． ()()()()2i 1112i 2i 224i 2i 2i 555z x x x x -==-+=++---4x =42i z =-∵在复平面上对应的点在第一象限， ∴()()()()222i 42i 12482i z a a a a a +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦，解得. ()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩26a <<∴实数a 的取值范围是．()2,618．函数的最小正周期为．π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数在上的单调递增区间；()f x []0,π(2)当时，求的最大值和最小值及对应x 的值．ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)，π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3éùêúêúëû(2)的最大值为2，，的最小值为－1，()f x π6x =()f x π6x =-【分析】（1）根据函数的最小正周期可求得的值，从而可得到的解析式，再利用整()f x πω()f x 体代入法求函数的单调递增区间，进而可求得函数在上的单调增区间； ()f x ()f x []0,π（2）根据的取值范围可得到的取值范围，从而可求出的最大值和最小值及对应x 的x π26x +()f x 值．【详解】（1）因为的最小正周期，所以，故， ()f x πT =2π2T ω==π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，则， πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z 即的单调递增区间为， ()f x πππ,π()36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 又，所以函数在上的单调增区间是，． []0,πx ∈()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3éùêúêúëû（2）当时，， ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π2,663t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦所以当，即时，函数有最大值2， π2t =π6x =()f x 当，即时，函数有最小值－1， π6t =-π6x =-()f x 所以的最大值为2，这时，的最小值为－1，这时． ()f x π6x =()f x π6x =-19．某轮船以V 海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60度，轮船从A 处向北航行30分钟后到达B 处，测得油井P 在南偏东15度，且BP =为向东北方向再航行60分钟后到达C 点．(1)求轮船的速度V ；(2)求P ，C 两点的距离．【答案】(1)/小时(2)海里PC =【分析】（1）利用正弦定理即可求出结果；（2）利用余弦定理即可求出结果；【详解】（1）由题可知，在中，，，APB △120PAB ∠= 15PBA ∠= 所以，45APB ∠=又， BP =sin sin BP AB PAB APB=∠∠=解得，所以，AB=0.5ABV===故轮船的速度是/小时．（2）由（1）有，，BC=120CBP∠=所以在中，由余弦定理有：，PBC2222cosPC BC BP BC BP CBP=+-⋅⋅⋅∠所以((222122PC⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭((21100100111011=+=+=+所以PC=20．设两个向量满足，,a b()12,0,2a b⎛==⎝(1)求方向的单位向量；a b+(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．27ta b+a tb+【答案】(1)(2)17,2⎛⎛⎫-⋃-⎪⎪⎝⎝⎭【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解；()12,0,2a b⎛==⎝a b+（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与27ta b+a tb+()()270ta b a tb++<27ta b+向量反向共线求解.a tb+【详解】（1）由已知，()152,022a b⎛⎛+=+=⎝⎝所以a+=所以，a b+=即方向的单位向量为；a b +（2）由已知，， 1a b ⋅= 2,1a b == 所以， ()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ 因为向量与向量的夹角为钝角，27ta b + a tb + 所以，且向量不与向量反向共线， ()()270ta b a tb ++< 27ta b + a tb + 设，则，解得， ()()270ta b k a tb k +=+< 27t kkt =⎧⎨=⎩t =从而， 221570t t t ⎧++<⎪⎨≠⎪⎩解得. 17,2t ⎛⎛⎫∈-⋃- ⎪ ⎪⎝⎝⎭21．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．()()3+++-=b a c b a c ba (1)求C ；(2)若的最大值． c =2+a b 【答案】(1)；π3C =(2)【分析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C 的大小. 222122a b c ab +-=（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数()222sin a b A A +=的性质即可求最大值.【详解】（1）由，得，即， ()()3+++-=b a c b a c ab 222b a c ab +-=222122a b c ab +-=由余弦定理得：，又，所以． 1cos 2C =()0,πC ∈π3C =（2）由（1）知：，则． π3C =sin C =2π3B A =-设△ABC 的外接圆半径为R ，则()22sin 2sin +=+a b R A B ()sin 2sin sin =+c A B C， 2π2sin 2sin 3⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A A ()22sin A A =()sin =+≤==A ϕϕϕ当时，取得最大值为 π2A ϕ+=2+a b 22．已知函数，. ()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0ω>(1)若，，求的对称中心； ()()12()f x f x f x ≤≤12min π2x x -=()f x (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个05ω<<()f x π6()g x π3x =()g x 零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值.()g x [],m n ,R m n ∈m n <n m -【答案】(1)； ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2). 139π【分析】（1）由题意利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求()f x πω得解析式，然后可求出其对称中心；()f x （2）先利用三角函数图象变换规律求出，再根据是的一()ππ2sin 2163g x x ωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3x π=()g x 个零点和可求出，从而可求出的解析式，则可求出的最小正周期，再利用正05ω<<ω()g x ()g x 弦函数的零点和周期性可求得结果.【详解】（1）因为，， ()()12()f x f x f x ≤≤12min π2x x -=所以的最小正周期为， ()f x π因为，的最小正周期为， ()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0ω>2π2ω所以，得， 22ππω=1ω=所以， ()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由，得， 2,Z 6x k k ππ+=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以的对称中心为； ()f x ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）由函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，可得 ()f x π6()g x ， ()2sin 2()12sin 216663g x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫=-++=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是的一个零点， π3x =()g x 所以， ππππ2sin 2103363g ωω⎛⎫⎛⎫=⋅+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，或， ππ7π2π,Z 366k k ω+=+∈ππ11π2π,Z 366k k ω+=+∈解得或，36,Z k k ω=+∈56,Z k k ω=+∈因为，所以，05ω<<3ω=所以， ()5π2sin 616g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期为， ()g x 263ππ=令，则， ()52sin 6106g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭51sin 662x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得，或， 115ππ62π,Z 66x k k -=-+∈115π5π62π,Z 66x k k -=-+∈所以，或， 11ππ,Z 39k x k =+∈11π,Z 3k x k =∈因为函数在（且）上恰好有10个零点， ()g x [],m n ,R m n ∈m n <且要使最小，必须使恰好为的零点，前两个零点相距， n m -,m n ()g x π9所以的最小值为. n m -ππ13π4399⨯+=。

高一数学月考试题满分： 120分 考试时间： 90分钟第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、单选题(每小题6分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos160sin10sin20cos10-= （ ） A ．32-B ．32C ．12-D ．122．在ABC ∆中，已知4,43a b ==，30A =︒，则B 等于 （ ） A ．30 B ．30或150︒ C ．60︒ D ．60︒或120︒ 3．已知A B 、两地的距离为10km ， B C 、两地的距离为20km , 现测得120ABC，则A C 、两地的距离为 （ ）A ．103kmB ．10kmC ．105kmD ．107km4．已知5sin 5α=-，且3(,)2a ππ∈，则tan()4πα+等于 （ ） A ．32 B ．3 C ．32- D ．3- 5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 22A c b c-=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 6．若42ππθ<<，则化简1sin 21sin 2θθ+--的结果为（ ）A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θD ．2cos θ- 7．若1sin()33πα-=-，则cos(2)3πα+= （ ） A ．79-B ．13-C ．13D ．798．如图，在ABC ∆中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ） A ．34 B.33C ．233D ．433二、多选题（每小题6分，共12分,在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．已知向量()22cos , 3m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 ()A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为π C. ()f x 的图像关于点5(,0)12π对称 D ．()f x 在(,0)3π-上是增函数10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是 （ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为877第II 卷（非选择题 共60分）三、填空题（本大题共4小题,每小题6分,共24分.在答题卷上相应题目的答题区域内作答）。