平方差公式 课题：第一章整式的乘除第5节平方差公式（二课时）学习目标 1、 会通过图形的拼接验证平方差公式，了解公式的几何解释2、 灵活应用平方差公式计算重点 灵活应用平方差公式计算难点 通过图形的拼接验证平方差公式教学流程 学校年级组二备 教师课前备课自主学习，尝试解决 一. 探索1-3 1-4 如图1-3，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.（1）请表示图1-3中阴影部分的面积小颖将阴影部分拼成了一个长方形（2）（如图1-4），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？a b ab合作学习，信息交流探索：计算下列各组算式，并观察它们的共同特点（1）7×9= 8×8=（2）11×13= 12×12=从以上过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？课堂达标训练（5至8分钟）（要求起点低、分层次达到课标要求）。
课堂达标：用平方差公式进行计算：（1）103×97 （2）118×122（3）704×696 （4）9.9 ×10.1巩固练习：计算：（1）（x+2y）（x-2y）+（x+1）（x－1）（2）x（x－1）－)31(-x)31(+x（3）（a-b）（a+b）（a2+b2）七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列调查中，调查方式不合理的是（ ）A ．用抽样调查了解建昌县中学生每周完成家庭作业所用的时间B ．用抽样调查了解神舟十号零部件合格情况C ．用全面调查了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况D ．用全面调查了解乘坐高铁的旅客是否携带危险品情况【答案】B【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．由此即可解答.【详解】选项A ，用抽样调查了解建昌县中学生每周完成家庭作业所用的时间,调查方式合理； 选项B ，用抽样调查了解神舟十号零部件合格情况，调查方式不合理；选项C ，用全面调查了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况，调查方式合理； 选项D ，用全面调查了解乘坐高铁的旅客是否携带危险品情况，调查方式合理.故选B ．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．2．在下列各式中正确的是（ ）A 2=-B ．3=C 8=D 2=【答案】D【解析】根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．【详解】A ． 2==，故本选项错误；B ． 3=±，故本选项错误；C ．4=，故本选项错误；D ．2==，故本选项正确．故选D ．【点睛】此题考查的是求一个数的算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解决此题的关键． 3．不等式组230x x >-⎧⎨-≥⎩的解集是（ ） A ．23x -≤≤B ．2x <-或3x ≥C ．23x -<<D ．23x -<≤ 【答案】D【解析】分别解两个不等式，再取解集的公共部分即可． 【详解】解： 230x x >-⎧⎨-≥⎩①② 由②得：3x ≤，所以不等式组的解集是23x -<≤．故选D ．【点睛】本题考查不等式组的解法，掌握解不等式组及解集的确定是解题的关键．4．已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（ ） A ．2.6×10﹣6 B ．2.6×10﹣5 C ．26×10﹣8 D ．0.26x10﹣7【答案】A【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.000 0021＝2.1×10﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩则a+b 的值为（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣2D ．2 【答案】B【解析】试题解析：512{34a b a b +=-=①②，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B ．考点：解二元一次方程组．6．如图，在ABC ∆中，AC BC =，若有一动点P 从A 出发，沿A C B A →→→匀速运动，则CP 的长度s 与时间t 之间的关系用图像表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】该题属于分段函数：点P 在边AC 上时，s 随t 的增大而减小；当点P 在边BC 上时，s 随t 的增大而增大；当点P 在线段BD 上时，s 随t 的增大而减小；当点P 在线段AD 上时，s 随t 的增大而增大．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．∵在△ABC 中，AC=BC ，∴AD=BD ．①点P 在边AC 上时，s 随t 的增大而减小．故A 、B 错误；②当点P 在边BC 上时，s 随t 的增大而增大；③当点P 在线段BD 上时，s 随t 的增大而减小，点P 与点D 重合时，s 最小，但是不等于零．故C 错误； ④当点P 在线段AD 上时，s 随t 的增大而增大．故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．7．如图在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积是4，则△BEF 的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．3.5 【答案】A【解析】4ABC S =，E 为AD 中点，△ABC 与△BEC 同底，2BEC S∴=，F 为CE 的中点，△BEF 与△BEC 等高， 1BEFS ∴=.选A. 8．如图，将ABC ∆沿直线AB 向右平移后到达BDE ∆的位置，连接,CD CE ,若ACD ∆的面积为10，则BCE ∆的面积为( )A ．5B ．6C ．10D ．4【答案】A 【解析】根据平移的性质可得AB=BD=CE ，再由三角形的面积计算公式求解即可.【详解】由平移得，AB=BD=CE ，CE ∥BD ，根据“等底等高，面积相等”得，S △ABC =S △BDC =S △CBE ，∵△ACD 的面积为10，∴S △CBE =12S △ACD =5. 故选A.【点睛】此题主要考查了平移的性质，注意掌握性质的运用是解题的关键.9．如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【答案】C 【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B ，∴∠A=∠ACD ﹣∠B=120°﹣40°=80°．故选C ．10．下列运算结果为22425x y -的是（ ）A ．()()2525x y x y --B ．()()2525x y x y -++C ．()()2525x y x y +--D ．()()2525x y x y ---+【答案】D【解析】根据完全平方公式及平方差公式对各选项逐一进行计算即可得结果.【详解】A. ()()2525x y x y --=()225x y -=4x 2-20xy+25y 2，故错误； B. ()()2525x y x y -++=- 4x 2+25y 2，故错误；C. ()()2525x y x y +--=-()225x y +=-4x 2-20xy-25y 2，故错误； D.（-2x+5y ）（-2x-5y ）=4x 2-25y 2，故正确.故选：D ．【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的特征是解本题的关键．二、填空题题11．如图直线l ∥m,将含有45°角的三角板的直角顶点放在直线m 上,若∠1=16°,则∠2的度数为_____．【答案】29°【解析】过点A 作直线b ∥l,再由直线m ∥可知m ∥l ∥b,得出∠3=∠1,∠2=∠4,由此可得出结论【详解】过点A 作直线b ∥l,如图所示∵直线m ∥1∴m ∥l ∥b,∴.∠3=∠1,∠2=∠4.∵∠1=16°∴∠3=16°∴∠4=45°-16°=29°∴∠2=∠4=29°故答案为:29°【点睛】此题考查平行线的性质，做辅助线是解题关键12．计算：222018403620162016-⨯+=________．【答案】1【解析】根据完全平方公式计算即可．【详解】222018403620162016-⨯+＝20182−2×2018×2016＋20162＝（2018−2016）2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．熟记公式是解题的关键．13．的倒数是. 平方等于9的数是__ __【答案】-3；±3【解析】解：-13的倒数是-3，平方等于9的数是±3. 14．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组113ax by ax by +=⎧⎨-=-⎩的解，则a+b 的平方根为_____． 【答案】±3【解析】把21x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程组113ax by ax by +=⎧⎨-=-⎩得21123a b a b +=⎧⎨-=-⎩①②，解方程组可得a 、b 的值，然后可得a+b 的平方根．【详解】解：把21x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程组113ax by ax by +=⎧⎨-=-⎩得21123a b a b +=⎧⎨-=-⎩①②， ①+②得：4a ＝8，解得a ＝2，把a ＝2代入②得：b ＝7，则a+b ＝9，9的平方根为±3，故答案为：±3【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及算术平方根，关键是掌握方程组的解满足方程． 15．如图，在ABC △中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D 、过点D 作DE AB ∥，交BC 于点E ，那么图中等腰三角形有___________个.【答案】1【解析】根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C,∴△ABC 是等腰三角形；∵DE ∥AB ，∴∠ABC=∠DEC, ∠BDE=∠ABD ， ∴∠C=∠DEC∴△CED 是等腰三角形； ∵BD 平分∠ABC ，∠BDE=∠ABD ， ∴∠ABD=∠CBD ， ∴∠CBD=∠BDE ， ∴△EBD 是等腰三角形； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．16．不等式21x ->的解集为_____. 【答案】3x >【解析】移项可得3x >，即为所求解集. 【详解】解：21x ->，移项可得3x >， 所以解集为：3x > 【点睛】本题主要考察了不等式的解法，考察运算能力，属于基础题. 17．若1m n -=-，则2()22m n m n --+的值是________. 【答案】３【解析】原式变形后，将m−n 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵1m n -=-，∴原式＝()()22123m n m n ---=+= 故答案为：1． 【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、解答题18．如图，C 为x 轴正半轴上一动点，()0,A a ，(),0Bb ，且a 、b 80b +=，10AB =.（1）求ABO 的面积；（2）若60ACB ∠=︒，G 、N 为线段BC 上的动点，作GF AB ∥交AC 于F ，FP 平分∠GFC ，FN 平分∠AFP 交x 轴于N ，记∠FNB=α，求∠BAC （用α表示）；（3）若()3,6P ，PC x ⊥轴于C ，点M 从P 点出发，在射线PA 上运动，同时另一动点N 从点B 向A 点运动，到A 停止运动，M 、N 的速度分别为2个单位/秒、3个单位/秒，当13MACBONS S =时，求运动的时间. 【答案】（1）24ABCS=；（2）4600BAC α∠=-︒；（3）1514t =或52t =. 【解析】（1）由二次根式和绝对值的非负性可得a 、b 的值，即可知OA 、OB 的长，继而可得三角形的面积；（2）设∠PFC=x 、∠AFN=y ，由角平分线的定义知∠AFN=∠PFN=y 、∠CFP=∠GFP=x ，∠AFP=2y 、∠GFC=2x ，根据∠AFP+∠GFC=180°+∠GFP 、∠FNB=∠NFP+∠PFC+∠ACB 列出关于x 、y 的方程组，解之求得x ，从而得出∠GFC 度数，继而由平行线的性质可得答案； （3）过O 作OG AB ⊥于G ，利用面积法求出OG=245，设运动时间为t 秒，由题意可得()32,6M t -，3BN t =，32AM t =-，根据三角形的面积公式列式表示MAC S 和BON S ，由已知13MAC BON S S =可得关于t 的方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1680a b -+=， ∴a-6=0且b+8=0， 解得：a=6、b=-8， ∴OA=6、OB=8， 则S △AOB =12×OA×OB=12×6×8=24； （2）设∠PFC=x 、∠AFN=y ， ∵FP 平分∠GFC ，FN 平分∠AFP ，∴∠AFN=∠PFN=y 、∠CFP=∠GFP=x ，∠AFP=2y 、∠GFC=2x ， 由∠AFP+∠GFC=180°+∠GFP 、∠FNB=∠NFP+∠PFC+∠ACB 知，2218060y x x x y α++⎨+⎩+⎧＝＝ ， 整理，得：218060x y x y α++-⎧⎨⎩＝＝ ， 解得：2300240x y αα⎩-⎨-⎧＝＝ ，则∠GFC=2x=4α-600， ∵GF ∥AB ，∴∠BAC=∠GFC=4α-600；（3）过O 作OG AB ⊥于G ，则6824105OG ⨯==，设运动时间为t 秒， 由题意得()3,6P ，()32,6M t -，3BN t =，32AM t =-，∴1326962MAC St t =⋅-⋅=-，124363255BON S t t =⋅⋅=， ∵13MAC BON S S =，∴1369635t t -=⨯， ∴1369635t t -=⨯或1366935t t -=⨯， ∴1514t =或52t =.故答案为：（1）24ABCS =；（2）4600BAC α∠=-︒；（3）1514t =或52t =. 【点睛】本题考查三角形的面积，非负数性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形外角的性质等知识点，用方程的思想解决问题是解题的关键．19．已知关于x 、y 的方程组233741x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩的解是一对正数；（1）试用m 表示方程组的解； （2）求m 的取值范围； （3）化简|m ﹣1|+|m+23|． 【答案】（1）321x m y m=+⎧⎨=-⎩ ；（2）213m -；（3）53.【解析】（1）由②得③，再把③代入①即可消去x 求得y 的值，然后把求得的y 的值代入③即可求得x 的值，从而可以求得结果；（2）根据方程组的解是一对正数即可得到关于m 的不等式组，再解出即可； （3）先根据绝对值的规律化简，再合并同类项即可得到结果. 【详解】解：233741x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩①②（1）由②得x=4 m+1+y ③把③代入①得2(4 m+1+y)+3 y=3 m+7，解得y=-m+1 把y=-m+1代入③得411,32x m m x m =+-+=+∴方程组的解为321x m y m =+⎧⎨=-+⎩；（2）∵方程组的解是一对正数∴32010m m +>⎧⎨-+>⎩ ，解得213m -<<；（3）∵213m -<< .222|1|11333m m m m ∴-++=-++= 20．计算：（1）(－2)3＋6×2－1－(－3.5)0； （2）n(2n ＋1)(2n －1)． 【答案】（1）-6；（2）4n 3-n.【解析】（1）原式第一项运用有理数的乘方计算，第二项先计算负整数指数幂再算乘法，第三项零指数幂公式进行化简，计算即可得到结果；（2）后两个因式利用平方差公式计算后再与第一个因式相乘即可得解. 【详解】（1）(－2)3＋6×2－1－(－3.5)0 =-8+3-1， =-6；（2）n(2n ＋1)(2n －1) =n(4n 2-1), =4n 3-n.【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及实数的混合运算，弄清公式和法则是解本题的关键.21．已知方程组231953mx myy x-=⎧⎨-=⎩和3247x ymx ny-=⎧⎨+=⎩有相同的解,求m和n的值.【答案】41 mn=⎧⎨=-⎩【解析】根据两个方程组解相同，可先由32453x yy x＝＝-⎧⎨-⎩求出x、y的值，再将x和y的值代入72319mx nymx ny+⎧⎨-⎩＝＝得到m、n的二元一次方程组，解方程组求出m和n．【详解】∵方程组231953mx myy x-=⎧⎨-=⎩和3247x ymx ny-=⎧⎨+=⎩有相同的解，∴32453x yy x＝＝-⎧⎨-⎩与原两方程组同解．由5y-x=3可得：x=5y-3，将x=5y-3代入3x-2y=3，则y=1．再将y=1代入x=5y-3，则x=2．将21xy⎧⎨⎩＝＝代入72319mx nymx ny+⎧⎨-⎩＝＝得：274319m nm n+⎧⎨-⎩＝＝，将（1）×2-（2）得：n=-1，将n=-1代入（1）得：m=3．∴41 mn=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，运用代入法，得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解．22．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸到白球的频率mn0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近(精确到0.1)．(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35，25；（3）12，8【解析】试题分析：（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．试题解析：(1)根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；(2)因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；所以摸到白球的概率是35；摸到黑球的概率是25（3）因为摸到白球的概率是35，摸到黑球的概率是25，所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是320125⨯=个，黑球是22085⨯=个23．解不等式组()43115213x xxx⎧-≤+⎪⎨+-⎪⎩＜，把其解集表示在数轴上，并写出不等式组的最大整数解．【答案】不等式组的解集为-1.5≤x＜4，最大整数解为1，见解析.【解析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【详解】解：()43115213x xxx⎧-≤+⎪⎨+-⎪⎩①＜②解不等式①得：x≥-1.5，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为-1.5≤x＜4，在数轴上表示不等式组的解集为：，∴不等式组的最大整数解为1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．24．已知，点A ，点D 分别在y 轴正半轴和负半轴上，AB DE ∥． （1）如图1，若44m m =-+，BAD m OED ∠=∠，求CAD ∠的度数；（2）在BAO ∠和DEO ∠内作射线AM ，EN ，分别与过O 点的直线交于第一象限内的点M 和第三象限内的点N ．①如图2，若AM ，EN 恰好分别平分BAO ∠和DEO ∠，求AMN ENM ∠-∠的值； ②若1MAO BAM n ∠=∠，1NEO NED n∠=∠，当4060AMN ENM ︒<∠-∠<︒，则n 的取值范围是__________．【答案】（1）60CAD ∠=︒；（2）①45AMN ENM ∠-∠=︒；②425n << 【解析】（1）利用二次根式的性质求得m 的值，根据三角形内角和定理结合已知条件构建方程，再利用平行线的性质即可求解；（2）①过M 作MF ∥AB ，NG ∥AB ，根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠AMN-∠ENM = α – θ，再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；②设MAO α∠=，OEN θ∠=，则BAM n α∠=，NED n θ∠=，根据①的解法即可求得∠AMN-∠ENM=n 901n ︒+，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）∵44m m =-44m m -=-，∴4040m m -≥⎧⎨-≤⎩，解得：4m =，∴∠BAD=4∠OED ，∵∠OED+∠ODE=90︒①，∠BAD+∠ODE=180︒，即4∠OED +∠ODE=180︒②， 联立①②解得：∠OED=30︒，∠ODE=60︒， ∵AB ∥DE ，∴∠CAD=∠ODE=60︒；（2）①∵AM 、EN 是∠BAO 、∠DEO 的平分线， ∴设BAM MAO α∠=∠=，OEN NED θ∠=∠=， 过M 作MF ∥AB ，NG ∥AB 分别交AD 于F ，G ，∵AB ∥DE ，∴AB ∥MF ∥NG ∥DE ，∴∠FMA=∠BAM=α，∠FMN=∠MNG ，∠GNE=∠NED=θ，∴∠AMN=∠FMA+∠FMN=α +∠FMN ， ∠ENM=∠GNE +∠MNG =θ +∠FMN ，∴∠AMN-∠ENM= α +∠FMN- θ-∠FMN= α – θ；∵∠ODE+∠OED=∠ODE+2 θ =90︒， ∵AB ∥DE ，∴∠BAD+∠ODE=180︒，即2α+∠ODE=180︒， ∴2α –2?θ=90︒，∴∠AMN-∠ENM=α–θ=45︒； ②∵1MAO BAM n ∠=∠，1NEO NED n∠=∠， ∴设MAO α∠=，OEN θ∠=，则BAM n α∠=，NED n θ∠=， 过M 作MF ∥AB ，NG ∥AB 分别交AD 于F ，G ，∵AB ∥DE ，∴AB ∥MF ∥NG ∥DE ，∴∠FMA=∠BAM=n α，∠FMN=∠MNG ，∠GNE=∠NED=n θ， ∴∠AMN=∠FMA+∠FMN=n α +∠FMN ， ∠ENM=∠GNE +∠MNG =n θ +∠FMN ，∴∠AMN-∠ENM=n α +∠FMN-n θ-∠FMN=n α –n θ=()–n αθ； ∵∠ODE+∠OED=∠ODE+()1n θ+ =90︒， ∵AB ∥DE ，∴∠BAD+∠ODE=180︒，即()1n α++∠ODE=180︒， ∴()1n α+–()1n θ+=90︒，即α–θ=901n ︒+， ∴∠AMN-∠ENM=()–n αθ=n 901n ︒+； ∵4060AMN ENM ︒<∠-∠<︒，∴n 9040601n ︒︒<<︒+， 解不等式n 90601n ︒<︒+，化简得：n 213n <+， 解得：2n <， 解不等式n 90401n ︒︒<+，化简得：n 419n >+， 解得：45n >， ∴n 的取值范围是425n <<． 【点睛】本题考查了角的计算，解不等式组，角平分线的定义以及n 等分角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，准确识图，理清图中各角度之间的关系，用方程的思想解答是解题的关键．25．对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，给出如下定义：将|x1﹣x2|称为点M，N之间的“横长”，|y1﹣y2|称为点M，N之间的纵长”，点M与点N的“横长”与“纵长”之和称为“折线距离”，记作d(M，N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|“．例如：若点M(﹣1，1)，点N(2，﹣2)，则点M与点N的“折线距离”为：d(M，N)=|﹣1﹣2|+|1﹣(﹣2)|=3+3=1．根据以上定义，解决下列问题：已知点P(3，2)．（1）若点A(a，2)，且d(P，A)=5，求a的值；（2）已知点B(b，b)，且d(P，B)＜3，直接写出b的取值范围；（3）若第一象限内的点T与点P的“横长”与“纵长”相等，且d(P，T)＞5，简要分析点T的横坐标t的取值范围．【答案】（1）a=﹣2或a=8；（2）1＜b＜4；（3）t112>或0＜t12<．【解析】（1）将点P与点A代入d（M，N）＝|x1−x2|＋|y1−y2|即可求解；（2）将点B与点P代入d（M，N）＝|x1−x2|＋|y1−y2|，得到d（P，B）＝|3−b|＋|2−b|，分三种情况去掉绝对值符号进行化简，有当b＜2 时，d（P，B）＝3−b＋2−b＝5−2b＜3；当2≤b≤3时，d（P，B）＝3−b ＋b−2＝1＜3；当b＞3时，d（P，B）＝b−3＋b−2＝2b−5＜3；（3）设T点的坐标为（t，m），由点T与点P的“横长”与“纵长”相等，得到|t−3|＝|m−2|，得到t与m的关系式，再由T在第一象限，d（P，T）＞5，结合求解即可．【详解】（1）∵点P(3，2)，点A(a，2)，∴d(P，A)=|3﹣a|+|2﹣2|=5，∴a=﹣2或a=8；（2）∵点P(3，2)，点B(b，b)，∴d(P，B)=|3﹣b|+|2﹣b|，当b＜2 时，d(P，B)=3﹣b+2﹣b=5﹣2b＜3，∴b＞1，∴1＜b＜2；当2≤b≤3时，d(P，B)=3﹣b+b﹣2=1＜3成立，∴2≤b≤3；当b＞3时，d(P，B)=b﹣3+b﹣2=2b﹣5＜3，∴b＜4，∴3＜b＜4；综上所述：1＜b＜4；（3）设T点的坐标为(t，m)，点T与点P的“横长”=|t﹣3|，点T与点P的“纵长”=|m﹣2|．∵点T与点P的“横长”与“纵长”相等，∴|t﹣3|=|m﹣2|，∴t﹣3=m﹣2或t﹣3=2﹣m，∴m=t﹣1或m=5﹣t．∵点T是第一象限内的点，∴m＞0，∴t＞1或t＜5，又∵d(P，T)＞5，∴2|t﹣3|＞5，∴t112＞或t12＜，∴t112＞或0＜t12＜．【点睛】本题考查平面内点的坐标，新定义；能够将定义内容转化为绝对值不等式，再将绝对值不等式根据绝对值的意义转化为一元一次不等式的求解是解题的关键．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-1，3）、（-4，1）、（-2，1），将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），则点A1，C1的坐标分别是（）A．A1（4，4），C1（3，2）B．A1（3，3），C1（2，1）C．A1（4，3），C1（2，3）D．A1（3，4），C1（2，2）【答案】A【解析】根据点B（-4，1）的对应点B1的坐标是（1，2）知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，据此根据平移的定义和性质解答可得．【详解】解：由点B（-4，1）的对应点B1的坐标是（1，2）知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，则点A（-1，3）的对应点A1的坐标为（4，4）、点C（-2，1）的对应点C1的坐标为（3，2），故选：A．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离及平移的定义和性质．2．如图，已知，，点，，，在同一直线上.要使，则下列条件添加错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】A、根据∠A＝∠E，∠B＝∠D，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△EDF，故本选项不符合题意；B 、由BF ＝DC 得出BC ＝DF ，根据∠B ＝∠D ，BC ＝DF ，AB ＝ED ，符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出△ABC ≌△EDF ，故本选项不符合题意；C 、由AC ∥EF ，得出∠ACB ＝∠EFD ，根据∠B ＝∠D ，∠ACB ＝∠EFD ，AB ＝ED ，符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△ABC ≌△EDF ，故本选项不符合题意；D 、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC ≌△EDF ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，牢记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．3．下列调查中，适宜采用全面调查的是()A ．对现代大学生零用钱使用情况的调查B ．对某班学生制作校服前身高的调查C ．对温州市市民去年阅读量的调查D ．对某品牌灯管寿命的调查【答案】B【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】解：A 、对现代大学生零用钱使用情况的调查，工作量大，用抽样调查，故此选项错误； B 、对某班学生制作校服前身高的调查，需要全面调查，故此选项正确；C 、对温州市市民去年阅读量的调查，工作量大，用抽样调查，故此选项错误；D 、对某品牌灯管寿命的调查，有破坏性，用抽样调查，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查和抽样调查的优缺点再结合实际情况去分析． 4．如图，已知AD BC ，25B ∠=︒，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 等于（） A ．25︒B ．50︒C ．75︒D ．100︒ 【答案】B【解析】解：∵AD ∥BC ，∠B=25°，∴∠ADB=∠B=25°．∵DB 平分∠ADE ，∴∠ADE=2∠ADB=50°．∵AD ∥BC ，∴∠DEC=∠ADE=50°．故选B ．点睛：本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 5．若a ＞b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．a+2＞b+2C ．﹣3a ＞﹣3bD ．4a ＜4b 【答案】B【解析】根据不等式的3个基本性质：1.两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变； 2.两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；3.两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.结合选项，即可得出答案.【详解】A 、由a ＞b 可得：a ﹣1＞b ﹣1，错误；B 、由a ＞b 可得：a+2＞b+2，正确；C 、由a ＞b 可得：﹣3a ＜﹣3b ，错误；D 、由a ＞b 可得：44a b >，错误； 故选B ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题关键.6．如图 ，已知△ABC ≌△AEF ，其中 AB =AE ，∠B =∠E ．在下列结论① AC =AF ，② ∠BAF =∠B ，③ EF =BC ，④ ∠BAE =∠CAF 中，正确的个数有 ( )A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C 【解析】根据全等三角形的性质依次判断即可得到答案.【详解】∵△ABC ≌△AEF ，其中 AB =AE ，∠B =∠E ，∴AC=AF ，EF=BC ，∠BAC=∠EAF ，∴∠BAE =∠CAF ，②∠BAF=∠B 错误；③ EF=BC 正确；④∠BAE=∠CAF正确；故选：C.【点睛】此题考查全等三角形的性质，根据全等即可判断对应的线段及角度相等的关系.7．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（）A．10 B．13 C．17 D．13或17【答案】C【解析】因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．【详解】当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为1；当3为腰时，其它两边为3和7，∵3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有1．故选：C．【点睛】考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．8．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．解答：解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从直角三角形的顶点处剪去一个菱形，展开后实际是从正方形的对角线的交点处剪去4个较小的角相对的菱形，得到结论．故选C．9．下列调查，适合全面调查的是（）A．了解某家庭一周的用水费用B．了解一批灯管的使用寿命C．了解一批种子的发芽率D．了解某市初中生课余活动的爱好【答案】A【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A、了解某家庭一周的用水费用，人数较少，适合普查；B、了解一批灯管的使用寿命，调查具有破坏性，不易普查；C、了解一批种子的发芽率，工作量大，不易普查；D、了解某市初中生课余活动的爱好，工作量大，不易普查；故选：A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10．某同学放学回家，在路上遇到了一个同学，一块去同学家玩了会儿，然后独自回家，下列图象能表示这位同学所剩路程与时间变化关系的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，这位同学从学校出发到与同学相遇前这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小，这位同学与同学相遇到在同学家玩这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变，这位同学离开同学家到回到家的这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小，故选：C.【点睛】此题考查函数的图象，解题关键在于根据题意判断出函数图象.二、填空题题11．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种．【答案】13【解析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．【详解】如图所示：故一共有13画法.12．在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°,DE垂直平分AC,交AC于点E,交AB于点D,连接CD,若BD=2,则AD 的长是___.【解析】首先根据题意DE垂直平分AC,可判断AD=CD，可得出△ADC是等腰三角形，∠A=∠ACD=30°，又因为在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°,得出∠ACB=60°，∠BCD=30°，又由BD=2,根据三角函数值，得出sin∠BCD=BDCD=12，得出CD=4，进而得出AD=4.【详解】解：∵DE垂直平分AC,∴AD=CD，∴△ADC是等腰三角形，∠A=∠ACD=30°又∵在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°, ∴∠ACB=60°，∠BCD=30°又∵BD=2,∴sin∠BCD=BD CD=12∴CD=4∴AD=4.故答案为4.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和利用三角函数求三角形的边长，熟练掌握即可得解. 13．如图，把一张宽度相等的纸条按图上所示的方式折叠，则∠1的度数等于___________°.【答案】65°【解析】利用翻折不变性，平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】由翻折不变性可知：∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2，∵∠4=180°−130°=50°，∴∠1=∠2=12(180°−50°)=65°，。
