高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 . 命题及其关系、充分条件与必要条件练习 理解析

命题及其关系、充分条件与必要条件【考点梳理】1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．(3)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．4．集合与充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A ⊂≠B ，则p 是q 的充分不必要条件．(2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B ⊂≠A ，则p 是q 的必要不充分条件．(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．【考点突破】考点一、四种命题的关系及其真假判断【例1】(1) 命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( ) A.若4πα≠，则tan 1α≠ B.若4πα=，则tan 1α≠C.若tan 1α≠，则4πα≠ D.若tan 1α≠，则4πα=(2) 给出下列命题：①“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 [答案] (1)C (2)C[解析] (1)命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若⌝q ，则⌝p ”，显然⌝q ：tan 1α≠，⌝p ：4πα≠，所以该命题的逆否命题是“若tan 1α≠，则4πα≠”. (2) ①的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴x ≤2成立，②正确；③由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，原命题是假命题，因此可知逆否命题为假命题，③错误.综上可知，真命题是①，②.【类题通法】1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．【对点训练】1. 命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A.若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB.若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC.若a ＋c >b ＋c ，则a >bD.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c[答案] A[解析] 将条件、结论都否定.命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”.2. 原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个[答案] C[解析] 原命题：若c ＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a ，b ，c ∈R ，若“ac 2>bc 2”，则“a >b ”.由ac 2>bc 2知c 2>0，∴由不等式的基本性质得a >b ，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.考点二、充分条件与必要条件的判断【例2】(1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥－1，ln （－x ），x <－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 (2) 设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] (1)B (2)B[解析] (1)若x ＝0，则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1，则e x＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件.(2)由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．【类题通法】充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【对点训练】1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为由“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，反过来，由A ⊆B 可以得到“a ＝3或a ＝2”，不一定推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．2．已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立.考点三、充分条件、必要条件的应用【例3】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解析] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【变式1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.[解析] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【变式2】本例条件不变，若⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.[解析] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2，10]⊂≠[1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).【类题通法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【对点训练】已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[答案] [9，＋∞)[解析] 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴⌝p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴⌝q 对应的集合为{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}．∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， ∴B ⊂≠A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N ⊂≠M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．。

高考数学一轮复习目录一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1 函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简单的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面向量5.1平面向量的概念及其线性运算5.2平面向量的基本定理及坐标运算5.3平面向量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简单表示法6.2等差数列及其前n 项和6.3等比数列及其前n 项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事件与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4直接证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以□01判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是□02真命题，判断为假的语句是□03假命题．2．四种命题及其关系3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的□08充分条件，q是p的□09必要条件p是q的□10充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的□11必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的□12充要条件p⇔qp是q的□13既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的充分不必要条件．4．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若A ⊆/ B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．若集合A ＝{2，4}，B ＝{1，m 2}，则“A ∩B ＝{4}”是“m ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ＝2时，有A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝{4}，则m 2＝4，解得m ＝±2，不能推出m B. 2．(2021·吉林长春高三监测(三))已知直线a ，b 与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )A ．α⊥γ，β⊥γB ．α∩β＝a ，b ⊥a ，b ⊂βC ．a ∥α，a ∥βD ．a ∥α，a ⊥β 答案 D解析 a ∥α，过直线a 作平面与α交于直线b ，∴a ∥b ，又a ⊥β，∴b ⊥β，又b ⊂α，∴α⊥β.故选D.3．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 C解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；③原命题为真命题，故其逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．(2021·河南重点中学高三联考)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，tan x ＝1，即充分性成立；当tan x ＝1时，x ＝2k π＋π4(k ∈Z )或x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )，即必要性不成立．综上可得，“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”的充分不必要条件．故选A.5．“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是 ．答案 若x ，y ∈R ，x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0解析 根据命题“若p ，则q ”的否命题为“若¬p ，则¬q ”，其原命题的否命题是“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．6．(2022·安徽芜湖高三摸底)已知p ：x 2－7x ＋10<0，q ：x 2－4mx ＋3m 2<0，其中m >0.若¬q 是¬p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，2解析 由¬q 是¬p 的充分不必要条件知p 是q 的充分不必要条件，又p ：2<x <5，q ：m <x <3m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，3m ≥5，m >0，即53≤m ≤2.考向一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假： (1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC 中，若AB >AC ，则∠C >∠B ； (3)若x 2－2x －3>0，则x <－1或x >3.解 (1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数. 逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0. 否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数． 逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0. 这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题． (2)逆命题：在△ABC 中，若∠C >∠B ，则AB >AC . 否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B .逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x<－1或x>3，则x2－2x－3>0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．(1)写一个命题的其他三种命题时，不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．若命题有大前提，需保留大前提，本例(2)中，大前提“在△ABC中”需保留．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1.给出下列命题：①“若a≤b，则a<b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相等的圆面积相等”的逆命题；④“若2x 为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为( )A．②④B．①②③C．②③④D．①③④答案 B解析对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相等”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.精准设计考向，多角度探究突破考向二充分、必要条件的判断角度定义法判断充分、必要条件例2 (2021·北京高考)已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，若f(x)在[0，1]上的最大值为f (1)，比如f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，故f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)推不出f (x )在[0，1]上单调递增，故“函数f (x )在[0，1]上单调递增”是“函数f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)”的充分而不必要条件，故选A.角度集合法判断充分、必要条件例3 (2021·天津高考)已知a ∈R ，则“a >6”是“a 2>36”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >6，则a 2>36，故充分性成立；若a 2>36，则a >6或a <－6，推不出a >6，故必要性不成立．所以“a >6”是“a 2>36”的充分不必要条件．故选A.角度等价转化法判断充分、必要条件例4 给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为¬p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬p 但¬p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒¬q 但¬q ⇒/p ，所以p 是¬q 的充分不必要条件.充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．2.(2021·四川成都七中二诊)已知x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2＜1”是“(x －1)(y－1)＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由x 2＋y 2＜1，可得－1＜x ＜1，且－1＜y ＜1.则可得到(x －1)(y －1)＞0，故充分性成立；反之若(x －1)(y －1)＞0，可取x ＝y ＝2，显然得不到x 2＋y 2＜1，故必要性不成立，∴“x 2＋y 2＜1”是“(x －1)(y －1)＞0”的充分不必要条件．故选A.3．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由Venn 图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，不妨取C ＝∁U B ，此时A ⊆C ，故必要性成立．故选C.4．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y ，所以“cos x ＝cos y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，即“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．考向三 充分、必要条件的探求与应用例5 (1)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m >14 B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1 答案 C解析 不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立⇔1－4m <0，得m >14，在选项中只有“m >0”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的必要不充分条件，故选C.(2)(2022·郑州模拟)已知“p ：(x －m )2>3(x －m )”是“q ：x 2＋3x －4<0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析 由p 中的不等式(x －m )2>3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)>0，解得x >m ＋3或x <m .由q 中的不等式x 2＋3x －4<0，得(x －1)(x ＋4)<0，解得－4<xp 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或mm 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞).1．条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时，一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A 是B 的充分不必要条件”是指A ⇒B 但B ⇒/ A ；“A 的充分不必要条件是B ”是指B ⇒A 但A ⇒/ B .以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0，q ：B ＝{x |x －a <0}，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 答案 D解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0＝{x |(x －2)(x －1)≥0且x ≠1}＝{x |x <1或x ≥2}，B ＝{x |x－a <0}＝{x |x <a }，又p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，由数轴可得a ≤1，故选D.6．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >1答案 C解析 设ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＝4－4a >0，x 1x 2＝c a ＝1a <0，解得a <0，这是方程有一个正根和一个负根的充要条件，由题意可知选C.1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案 D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．故选D.2．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案 B解析否命题是既否定条件又否定结论．3．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.4．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.5．(2022·开封模拟)已知直线l，m和平面α，m⊂α，则“l∥m”是“l∥α”的( ) A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 若l ∥m ，当l ⊄α时，l ∥α，当l ⊂α时不能得出l ∥α，故充分性不成立；若l ∥α，则l 与m 可能平行，也可能异面，故必要性也不成立．由上可知“l ∥m ”是“l ∥α”的既不充分也不必要条件．故选D.6．(2022·江西上饶六校联考)下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 a >b ＋1⇒a >b ；反之，例如a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，即a >b 推不出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分不必要条件．故选A.7．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，由x >|y |≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1.所以其逆否命题也是假命题．故选A.8．(2021·成都第一次诊断性检测)已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A >sin B ”是“tan A >tan B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 在锐角三角形ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，知sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A >B ⇔tan A >tan B ．故选C.9．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，p 的逆命题为t ，则s 是p 的逆命题t 的( )A ．逆否命题B ．否命题C ．逆命题D ．原命题答案 B解析 设命题p ：“若x ，则y ”，则命题p 的否命题r 为“若¬x ，则¬y ”；命题r 的逆命题s 为“若¬y ，则¬x ”；又p 的逆命题t 为“若y ，则x ”，所以s 是p 的逆命题t 的否命题．10．(2022·山西吕梁一模)设p ：关于x 的方程4x －2x－a ＝0有解；q ：函数f (x )＝log 2(x ＋a －2)在区间(0，＋∞)上恒为正值，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由题意知p ：方程a ＝4x －2x有解，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，所以a ≥－14，q ：log 2(x ＋a－2)>0在(0，＋∞)上恒成立，则0＋a －2≥1，解得a ≥3，所以p 是q 的必要不充分条件．故选B.11．(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B解析 当a 1＝－1，q ＝2时，{S n }是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{S n }是递增数列时，有a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，这样的q 不存在，所以甲是乙的必要条件．故选B.12．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]答案 A解析 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.13．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件(填“充分”“必要”“既不充分也不必要”中的一个).答案 必要解析 设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由题意知¬p ⇒¬q ，所以q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．14．给出下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为 ．答案 ②③④解析 由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意．15．(2021·云南昆明高三检测)已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是¬q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪0≤a ≤12 解析 ¬q ：(x －a )(x －a －1)≤0⇒a ≤x ≤ap 是¬q 的充分不必要条件，知⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1⇒0≤a ≤12. 16．(2022·河南许昌高三阶段考试)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b <0”．其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都填上).答案 ①②解析 因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；“x <0”不能推出“ln (x ＋1)<0”，但由ln (x ＋1)<0可得－1<x <0，即“ln (x ＋1)<0”可以推出“x <0”，所以“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件，故②正确；因为f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，所以若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a ·b <0”，但a ·b <0时，平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角，所以“a ·b <0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．17．已知p ：3－m 2<x <3＋m 2，q ：x (x －3)<0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解 记A ＝x 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}．若p 是q 的充分不必要条件，则A B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，可分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m 2≥0，3＋m 2<3，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧3－m 2>0，3＋m 2≤3，m >0， 解得0<m <3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3).18．已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤3}(a ≠0)，集合B ＝{x |－1<x ≤2}．若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q ，q ⇒/ p ，所以A B .由集合A 得－1<ax ≤2. (*)①当a >0时，由(*)式得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1a <x ≤2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥－1，2a <2或⎩⎪⎨⎪⎧－1a >－1，2a ≤2，解得a >1； ②当a <0时，由(*)式得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x <－1a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >－1，－1a ≤2，解得a <－2. 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a <－2或a >1}．。

1. 2命题及其关系、充分条件与必要条件E课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.下列命题中是真命题的是（）①“若/+yV0,则池y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；丄2③“若x-3 是有理数，则/是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③答案B解析对于①，其否命题是“若^2+/ = 0,则昭y全为零”,这显然是正确的，故① 为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③. 故选B.2.（2018 •河南八市联考）命题"若段>方，则白+c>b+c”的否命题是（）A.若aWb,则a+c^b+cB.若日+cWZ?+c,则aWbC.若a+c>b+ c,则自〉方D.若 Qb,则a+ c^b+c答案A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若Qb,则a+c>b+c ff的否命题是“若&Wb,则.故选A.3.（2018 •曲阜模拟）己知Q：函数f\x） = \x+ci\在（一8, —1）上是单调函数，q：函数gd）=10ga（卄1）30且自Hl）在（一1, +8）上是增函数，则繍Q是0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析易知Q成立0日Wl, Q成立OQ1,所以纟弟Q成立O日〉1,则絲Q是Q的充耍条件.故选C.4.下列命题正确的是（）A.若为真命题，则p/\q为真命题b aB.“臼>0,方>0”是“一+了$2”的充分必要条件a bC.命题“若3/+2=0,则x=\或/=2”的逆否命题为“若“H1或/H2,则x~ 3卄2工0”D.命题“：x + x—1X0,则繍 q： V/WR, x x—120答案D解析若Zq为真命题，则P，Q屮至少有一个为真，那么pt\q可能为真，也可能为假,h o h ry故A错误；若臼>0,方>0,贝lj-+y^2,又当水0, 〃〈0时，也有一+了$2,所以“&>0, 〃>0” a ba bh o是“-十7三2”的充分不必要条件，故B错误；命题“若#—3卄2 = 0,则尸1或心2”的a b逆否命题为“若xHl且xH2,则3x+2H0”，故C错误，由此可知D正确.故选D.5.(2018・广东广州质检)已知p： 3^>0, e—ax< 1成立，q：函数f(力=—(曰一1)"在R上是减函数，则门是0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析若3%>0, e—ax<\成立，则3^r>0,使得e<ax+\.由于直线y= ax+1恒过点(0, 1),且y=e'在点(0, 1)处的切线方程为y=x+l t因此p：臼>1；若函数f(x) = — (a—1)' 是减函数，则自一1〉1,则$>2,则g：日>2.故由Q可以推出p,由p推不出故p是Q的必要不充分条件.故选B.6.(2018 •合肥模拟)祖噸原理：“幕势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,〃为两个同高的几何体，p： A,〃的体积不相等，q； A,〃在等高处的截面积不恒相等，根据祖眶原理可知，p是^的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析设命题念“若P，则q” ,可知命题臼是祖咆原理的逆否命题，则曰是真命题.故P是Q 的充分条件.设命题弘“若q,则P”，若力比〃在某些等髙处的截而积小一些，在另一些等高处的截血积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的.所以命题力是假命题，即Q不是Q的必耍条件.综上所述，Q是G的充分不必要条件.故选A.7.(2017 •衡水联考)0=0”是“函数f^=sinx~-+a为奇函数”的()XA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析的定义域为{”xH0},关于原点对称，当日=0时，f(0=sinx—丄，f{~x) x=sin(—劝=—sin/+丄=—(sin/—丄］=—f(x), 故f(x)为奇函数；反之，当f{x) =sinx—~+a为奇函数吋，f{~x) +f(x) =0,x又f\~x) +f\x) =sin( —%) —^—+ a+ si nx—~+ a=2a f故已=0,—x x所以“日=0”是“函数f(x)=sinx—丄+日为奇函数”的充要条件.故选C.X& （2018 •天津模拟）已知f3=2x+3C¥WR）,若| /V ） - 11 的必要条件是丨才+1|<AU, b>0）,则g, b 之间的关系是（）B.答案A解析 I f(x) =2卄3, .&| f(x) 一 11 <臼, :.\2x+2\<a. :.-a<2x+2<a f 一2一白 —2 +臼…~2-* ~2~•・・・|%+1|〈方，A-ZK^+KZ?,:.-b~l<x<b-l.*.* I f\x) —1 \<a 的必要条件是| /+11〈力(日，力〉0), (~2~a -2 + <A z 、 • Q ‘ 2 I —( — b — 1, b~ 1) •、一2 + & 方一恃飞一 解得bdg 故选A.9. （2018 -江西一联）已知i 为虚数单位，日为实数，复数2=（1—2i ）@+i ）在复平面内 对应的点为必则“日>0”是“点朋在第四象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件B.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析 复数z=（l —2i ）（日+i ）=w+2 —2曰i + i=m+2+（l —2Qi 在复平面内对应的点 为〃（&+2,1—2日）.若Q0,则$+2>0,但1一2$的正负不确定，所以点於是否在第四象限 中+2〉0, 1 也是不确定的；若点〃在第四象限，贝U 解得小刁此时可推出日〉0.所以“日>0”是“点』/在第四象限”的必要不充分条件.故选B.10. （2017 •湖北七市联考）已知圆 Q ： （x-l ）2+y 2=r （r>0）.设 p ： 0</<3, q ：圆 C 上至多有2个点到直线L 萌y+3 = 0的距离为1,则门是§的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析 圆C ： （X — I ）2+ y = z*2的圆心（1,0）到直线x —y[^y+ 3 = 0的距离d=D. b a>2=2.当re （0, 1）时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r=1吋，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当re （1,2）时，直线与圆相离, 圆上有两个点到直线的距离为1；当厂=2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为 1；当re （2,3）时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当re （0, 3）时， 圆上至多有2个点到直线的距离为1,又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<K3, 故P 是Q 的充分必要条件.故选C.二、填空题11. （2017 •上海模拟）己知集合A= {x/ log_[ x+2 <0},集合”匕一日）匕一2方）<0},若“心一3”是“加狞0”的充分条件，则实数〃的取值范围是 ___________ .答案（一1, +<-） 解析 A= {x/ log 丄 x+2<0} = {x\%> —1}, 2B= {x\ （x —ci ）= （ — 3, Z?）或（力，—3）,由“SQ 狞0”，得&>一1,故方的取值范围为（一1, +8）.12. 己知条件 p ： xE ： A,且 A= {x\a~\<x<a+\},条件 q ： xW B,且 B= {x\ y=心_3卄2}.若p 是Q 的充分条件，则实数日的取值范围是 ______________ .答案（一8, 0]U[3, +8）解析 易得1或 心2},且A= {x\ a —\<x<a+\},由”是q 的充分条件，可知AUB,故曰+1W1或曰一 1M2,即已W0或已23.即所求实数自的取值范围是（一0]U[3, +-）.13. （2018 •泰安模拟）设°：实数*满足#一4站+3歆0,其中$H0, q ：实数/满足x~x —6W0,2, n OXA 若”是q 的必要不充分条件，则实数臼的取值范围是y+2^—8>0,答案（1,2]解析・・#是Q 的必要不充分条件，• •H. q.设 A= UIpU ）}, B= {X \ q{x ）},则〃 A.又 〃={”2<A <3},当臼〉0 时，〃={”以*3引； 当 X0 时，A — {x\ 3臼〈*臼}. 际2,故当白>0时，有解得1JW2；3®,当水0吋，显然AHB=0f 不符合题意. 综上所述，实数日的取值范围是仃,2].14. （2017 •长沙模拟）r （%）:已知厂3 =sinx+cosQ 刃；s （x ） ： x +/ZZA + l>0.如果X/x WR,厂匕）与s （x ）有且仅有一个是真命题，则实数刃的取值范围是 ________ .|1 一 £xo + 3|2答案（一8, —2] U [―边，2）解析由sin^r+ cos^=^2sin^A z+—J,得sin^+cos%的最小值为一迈.若VxWR时，命题厂（x）为真命题，则区_蟲.若命题sd）为真命题，即V%ER,不等式x + mx+1 >0恒成立，贝ij A =爪—4〈0,解得一2</X2.若命题于（劝为真命题，命题s（力为假命题，则—2；若命题厂（方为假命题，命题s（x）为真命题，则一边W〃K2.综上所述，实数刃的取值范围是（一g, —2]U [—谑，2）.三、解答题15.（2017 •沂水模拟）已知fd）是（一8, +8）上的增函数，自，z,eR,对命题“若自+ 於0,则e+/U）Nf（—日）+/*（—力）”・（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解（1）逆命题：已知函数fd）是（一8, +8）上的增函数，&, Z?eR,若f（a）+/U）Nf（-a）+/*D,则a+b^0.是真命题.（用反证法证明）假设已+貳0,则有a〈_b, K-a.•/ f^X）在（一°°, +°°）上是增函数，血心（一日）.・・・r@）+f（b）〈f（—刃+f（—方），这与题设中r+c—勿矛盾,故假设不成立.从而a+b^0成立.逆命题为真.（2）逆否命题：已知函数f（x）是（一8, +8）上的增函数，a, Z?eR,若f（白）+f（方）〈f（—白）+f（—Z?）,则&+ZKO.是真命题.原命题为真，证明如下：:• a2 — b, b2 _a.又Tf（x）在（一°°, + ^）上是增函数，:./'（a） 2 /'（—H）, /'（H） 2 /'（—a）•/. f（ci） + f（方）Mf（—a） +/（—方）.・・・原命题为真命题，.••其逆否命题也为真命题.16.（2017 •江苏兴化月考）已知命题：“日/丘｛”一1〈水1｝，使等式x~x~m= 0成立” 是真命题.（1）求实数刃的取值集合必（2）设不等式（/—自）匕+自一2）〈0的解集为僦若圧川是圧財的必要条件，求实数臼的取值范围.解（1）由题意知，方程-x—m= 0在（-1,1）±有解，即刃的取值范围就为函数y=rX—X在（一1,1）上的值域，易知5 —*W〃K2».⑵因为/已V是的必要条件，所以兀用当已=1时，解集沖为空集，不满足题意；当&>1 时,a>2-a,此时集合N=[x\2~a<x<a} f2 —a<_Q则4解得咛；、心2,当日〈1时，从2 —日，此时集合N={x\a<x<2-a}fa<—7， 1则 4 解得X--.2 —臼M2,9、 1综上，Q才或日〈一亍。

第一章集合与常用逻辑用语高考导航知识网络1.1 集合及其运算典例精析题型一 集合中元素的性质【例1】设集合A ＝{a ＋1，a －3，2a －1，a 2＋1}，若－3∈A ，求实数a 的值. 【解析】令a ＋1＝－3⇒a ＝－4，检验合格； 令a －3＝－3⇒a ＝0，此时a ＋1＝a 2＋1，舍去； 令2a －1＝－3⇒a ＝－1，检验合格； 而a 2＋1≠－3；故所求a 的值为－1或－4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A 的元素，但A 中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a 的值以后，又需要由元素的互异性检验a 是否符合要求.【变式训练1】若a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求a 和b 的值.【解析】由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，得①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+a b a b b a ,1,0 或②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+1,,0b a a b b a 显然①无解；由②得a ＝－1，b ＝1.题型二 集合的基本运算【例2】已知A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a .【解析】由已知得A ＝{3，5}.当a ＝0时，B ＝∅⊆A ；当a ≠0时，B ＝{1a}.要使B ⊆A ，则1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或15.综上，a ＝0或13或15.【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(2010江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于()A.{x|－1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，所以y10≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|2x－1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}【解析】选C.化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁R M∩N＝{x|1＜x≤2}.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.1.2命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数；(2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.【解析】(1)逆命题：若m＋n是奇数，则m，n都是奇数，假命题；否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题；逆否命题：若m＋n不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题.(2)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题；否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题；逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是()A.若⌝p，则⌝qB.若⌝q，则⌝pC.若q，则pD.若⌝q，则p【解析】选B.题型二充分必要条件探究【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，若⌝p是⌝q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.【解析】设集合A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|3＜x＜5或－5＜x＜－3}.由题设有：⌝q⇒⌝p且⌝p不能推出⌝q，所以p⇒q且q不能推出p，所以A⊆B.因为m＞0，所以(2－m，2＋m)⊆(3，5)，故由2＋m≤5且2－m≥3⇒0＜m≤5－2，故实数m的取值范围为(0，5－2].【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是()A.0≤a≤2B.－2＜a＜2C.0＜a≤2D.0＜a＜2【解析】选A.因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝∅，所以如图，由画出的数轴可知，即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列{a n}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝n－1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列.【证明】(1)(充分性)若{a n}为等差数列，设其公差为d，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝1d[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…＋(1a n－1－1a n)]＝1d(1a1－1a n)＝a n－a1da1a n＝n－1a1a n.(2)(必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减得1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1－n －1a 1a n ⇒a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.①于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，②由①②得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2). 又由1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3⇒a 3－a 2＝a 2－a 1，所以n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求. 【变式训练3】设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若x sin x ＜1，因为x ∈(0，π2)，所以x sin x ＞x sin 2x ，由此可得x sin 2x ＜1，即必要性成立.若x sin 2x ＜1，由于函数f (x )＝x sin 2x 在(0，π2)上单调递增，且π2sin 2π2＝π2＞1，所以存在x 0∈(0，π2)使得x 0sin 2x 0＝1.又x 0sin x 0＞x 0sin 2x 0＝1，即x 0sin x 0＞1，所以存在x 0′∈(0，x 0)使得x 0′sin 2x 0′＜1，且x 0′sin x 0′≥1，故充分性不成立.总结提高1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.3.p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，相当于分别满足条件p 和q 的两个集合P 与Q 之间有包含关系：P ⊆Q ，即P Q 或P ＝Q ，必要条件正好相反.而充要条件p ⇔q 就相当于P ＝Q .4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p ，则q ”为真；②p ⇒q ；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一 全称命题和特称命题的真假判断 【例1】判断下列命题的真假.(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12；(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.【解析】(1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞12.(2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意.(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4∉N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.则下面结论正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧⌝q ”是假命题C.命题“⌝p ∨q ”是真命题D.命题“⌝p ∧⌝q ”是假命题【解析】选D.先判断命题p 和q 的真假，再逐个判断.容易知命题p 是真命题，如x ＝π4，⌝p 是假命题；因为当x ＝0时，x 2＝0，所以命题q 是假命题，⌝q 是真命题.所以“p ∧q ”是假命题，A 错误；“p ∧⌝q ”是真命题，B 错误；“⌝p ∨q ”是假命题，C 错误；“⌝p ∧⌝q ”是假命题，D 正确.题型二 含有一个量词的命题的否定 【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. 【解析】(1) ⌝p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，是假命题.(2) ⌝q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3) ⌝r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，是真命题. (4)⌝s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3x ＞0，则⌝p 为 .【解析】∃x 0∈(1，＋∞)，log 3x 0≤0. 题型三 命题的真假运用【例3】若r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果“对任意的x ∈R ，r (x )为假命题”且“对任意的x ∈R ，s (x )为真命题”，求实数m 的取值范围.【解析】因为由m ＜sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)恒成立，得m ＜－2；而由x 2＋mx ＋1＞0恒成立，得m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.依题意，r (x )为假命题且s (x )为真命题，所以有m ≥－2且－2＜m ＜2， 故所求m 的取值范围为－2≤m ＜2.【点拨】先将满足命题p 、q 的m 的取值集合A 、B 分别求出，然后由r (x )为假命题(取A 的补集)，s (x )为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练3】设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立.已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos πx ，其中属于集合M 的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号).【解析】②④.对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg 3，显然也无实数解； 对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π， 即cos πx ＝12，显然存在x 使等式成立.故填②④.总结提高1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.。

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。