2015届高三数学复习测试：2.4 指数与指数函数

[B 组 因材施教·备选练习]1．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．答案：B2．函数y ＝ 16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：因为4x >0，所以16－4x <16.又因为16－4x ≥0，所以0≤16－4x <16，即0≤16－4x <4，即y ∈[0,4)．答案：C3．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意；当0<a <1时，有a －1＝4，a 2＝m ，即a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上为增函数，符合题意，故a ＝14. 答案：14中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值．(2)设b n ＝n (2n ＋1)S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，所以a 2<a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，①所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，②所以b 1＋b 2＋…＋b n＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n2n ＋1，因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.①2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②，得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)·2n .即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3. (1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1， 由S n ＝12(a 2n ＋n )，① 则当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)，化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0，a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .(2)c n ＝⎩⎨⎧ 1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n )＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2 ＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4＋n 2 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n 2 ＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1). 当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1)＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12＝2n＋n 2－2n －92(n ＋2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋n 2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)， 又b 1＝3＝92(1－13)， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n 2n ＋1， ∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 即9n2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 又9n2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92， 即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝72＋3×7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为S n n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ，n ≥8.当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列， 当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0， ∴S n ＋1n ＋1>S n n. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列． 又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12， S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12， 则第9年年初需更新生产线．。

1.(0.027)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0＝( )A ．45B ．40C ．－45D ．－40解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.故选C.答案：C2．(2013·揭阳二模)已知全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝2x－1}，则∁U A ＝( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0]解析：集合A 即函数y ＝2x －1的定义域，由2x－1≥0，求得x ≥0，即A ＝[0，＋∞)，故∁U A ＝(－∞，0)，故选B.答案：B3．(2013·北京东城区模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x ，所以它与函数y ＝2x的图象关于y 轴对称．故选A.答案：A4．函数F (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1·f (x )(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于零，则 f (x )( ) A ．是奇函数B ．可能是奇函数，也可能是偶函数C ．是偶函数D ．不是奇函数，也不是偶函数解析：设g (x )＝1＋22x －1，则g (x )＋g (－x )＝1＋22x －1＋1＋22－x －1＝2＋22x －1＋2×2x1－2x ＝2－x －2x－1＝0.∴g (x )是奇函数．又F (x )＝g (x )·f (x )(x ≠0)为偶函数，∴f (x )为奇函数．故选A.答案：A5．(2013·广东汕尾二模)已知函数y ＝2x －a x(a ≠2)是奇函数，则函数y ＝log a x 是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．增函数或减函数解析：因为函数y ＝2x －a x (a ≠2)是奇函数，所以必有2x －a x ＝－(2－x －a －x)，化简可得(2x －a x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x a x ＝0，因为a ≠2，所以2x －a x≠0，所以必有1－12x a x ＝0，解得a ＝12，故y ＝log a x ＝log 12x 是减函数．故选B.答案：B6．设函数f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2) D ．f (－2)>f (2)解析：因为f (2)＝4，即a －2＝4，所以a ＝12，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，所以f (－2)>f (－1)，故选A.答案：A7．已知函数f (x )＝a x ＋a －x(a ＞0且a ≠1)，且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是________．解析：∵f (1)＝a ＋1a＝3，f (0)＝2，f (2)＝a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝7， ∴f (1)＋f (0)＋f (2)＝12.答案：128．(2013·北京西城区一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，0≤x ≤9，x 2＋x ，－2≤x ＜0.则f (x )的零点是________；f (x )的值域是________．解析：当0≤x ≤9时，由x 12＝0得，x ＝0；当－2≤x ＜0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，所以函数零点为－1和0.当0≤x ≤9时，f (x )＝x 12，所以0≤f (x )≤3；当－2≤x ＜0，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以此时－14≤f (x )≤2，综上－14≤f (x )≤3，即函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，3. 答案：－1和0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，39．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是____________(写出所有真命题的序号)．解析：对于①，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝±x 2，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．答案：②③④10．已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >1)，(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明：f (x )是R 上的增函数．(1)解析：∵定义域为R ，且f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)解析：f (x )＝a x ＋1－2a x ＋1＝1－2a x ＋1，∵a x＋1>1，∴0<2a x ＋1<2，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1－1ax 1＋1－ax 2－1ax 2＋1＝2ax 1－2ax 2ax 1＋ax 2＋<0(∵分母大于零，且ax 1<ax 2), ∴f (x )是R 上的增函数．11．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解析：(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x>0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b。

[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >a >c解析：因为a ＝22.5>1，b ＝2.50＝1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5<1，所以a >b >c .答案：C2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：∵g (x )＝21－x＝f (－x )，∴f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：A3．(2014年广州模拟)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤bb a >b ，则f (x )＝2x ⊕2－x的图象是( )解析：x ≥0时， 2x ≥1≥2－x>0；x <0时，0<2x <1<2－x .∴f (x )＝2x ⊕2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥0，2x，x <0.答案：C 4.函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析：由图象得函数是减函数，∴0<a <1.又分析得，图象是由y ＝a x的图象向左平移所得， ∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案：D5．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 答案：B6．当x ∈[－2,2]时，a x<2(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ． (0,1)∪(1，2)解析：x ∈[－2,2]时，a x<2(a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝a x是一个增函数，则有a 2<2，可得a <2，故有1<a <2； 当0<a <1时，y ＝a x是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1， 综上得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) 答案：C 二、填空题7．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －3x在区间[－1,1]上的最大值等于________．解析：由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 是减函数，y ＝3x是增函数，可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －3x 是减函数，故当x ＝－1时函数有最大值143.答案：1438．(2014年惠州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x－a 是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.答案：(1,2]9．设函数f (x )＝1＋－x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________(填写所有正确结论的序号)．解析：对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋－x ＋12＋1＋－x2＝1＋－x ＋1＋－x2＝1③正确．答案：①②③ 三、解答题10．已知x 12＋x －12＝3，求的值．解析：∵x 12＋x －12＝3，∴x ＋x －1＝7. ∴x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝72－2＝47.又x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18. ∴原式＝47－218－3＝3.11．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．解析：y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3.∴M ＝{x |x <1，或x >3}．f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2.∴y ＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，43， 当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)， ∴当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．(能力提升)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。

2015届高考数学一轮总复习 2-4指数与指数函数基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝3－ 13 ，c ＝(13) 12，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a[答案] B[解析] a ＝log 20.9<0，c ＝(13) 12＝3－12 ，因为3－ 13 >3－ 12>0，所以a <c <b .(理)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <c D ．a <c <b [答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .2．(2013·潍坊联考)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( ) A.13 B.36 C.33 D.24 [答案] D[解析] 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8. 所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.3．(文)(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y ＝f (x )的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)[答案] D[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x <0时，其函数图象与函数f (x )的图象相同，即该函数图象的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， x <0，f (－x )， x ≥0，即y ＝f (－|x |)，故应选D.(理)(2013·山师大附中期中)已知a >0，a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )[答案] C[解析] 函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，排除B ；a >1时，y ＝x ＋a 与y 轴交点在点(0,1)上方，排除A ；0<a <1时，y ＝x ＋a 与y 轴交点在点(0,1)下方，排除D ，故选C.4．(文)(2012·北京文，5)函数f (x )＝x 12 －(12)x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] B[解析] 函数f (x )＝x 12 －(12)x 的零点个数即为方程x 12 ＝(12)x 的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y ＝x 12 和y ＝(12)x 的图象，易得交点个数为1个．[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象．(理)(2013·云南大理一模)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 构造函数f (x )＝x 3－(12)x －2.∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴f (1)·f (2)<0，∴x 0∈(1,2)．故选B.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－3，－2]上为减函数，则在锐角△ABC 中，有( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由题知偶函数f (x )的周期为2，所以f (x )在[－1，0]上为减函数，故偶函数f (x )在[0,1]上为增函数，因为A ＋B >π2，所以π2>A >π2－B >0,1>sin A >cos B >0.于是f (sin A )>f (cos B )，故选A.6．(2013·天津月考)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<1a <b <1B ．0<b <1a <1C ．0<1b <a <1D ．0<1a <1b <1[答案] A[解析] 由图象知函数单调递增，所以a >1. 又－1<f (0)<0，f (0)＝log a (20＋b －1)＝log a b ，即－1<log a b <0，所以0<1a <b <1，故选A.二、填空题 7．设函数f (x )＝a－|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是________．[答案] f (－2)>f (1)[解析] 由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12，∴f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)．8．(2014·沂南一中月考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案] log 37[解析] 9x －6·3x －7＝0⇔(3x )2－6·3x －7＝0， ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去)．∴x ＝log 37.9．(2013·湖南)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. [答案] (1){x |0<x ≤1} (2)①②③[解析] (1)∵c >a >0，c >b >0，a ＝b ，且a 、b 、c 不能构成三角形的三边，∴0<a ＋a ≤c ，∴ca ≥2，令f (x )＝0得，a x ＋b x ＝c x ，∵a ＝b ，∴2a x ＝c x ， ∴(c a )x ＝2，∴x ＝log c a2，∴1x ＝log 2ca≥1，∴0<x ≤1. (2)①∵a 、b 、c 是三角形的三边长，∴a ＋b >c ，∵c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<bc <1，∴当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝a x＋b x－c x＝c x[(a c )x ＋(b c )x －1]>c x (a c ＋bc －1)＝c x·(a ＋b －c )c>0，∴①正确；②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 构成三角形的三边长，取x ＝2，则a 2、b 2、c 2不能构成三角形的三边长，故②正确；③∵c >a ，c >b ，△ABC 为钝角三角形，∴a 2＋b 2－c 2<0， 又f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0， ∴函数f (x )在(1,2)上存在零点，③正确． 三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝(23)|x |－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．[分析] 这是一个复合函数判定单调性的问题，解题时先找出构成复合函数的简单函数，分别考虑它们的单调性，再求f (x )的单调区间，最后利用单调性考虑何时取到最大值94，从而建立a 的方程求出a .[解析] (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由(1)知，f (x )在x ＝0处取到最大值， ∴f (0)＝(23)－a ＝94，∴a ＝2.(理)(2013·山东聊城一模)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，e x ，x ≤0，F (x )＝f (x )＋kx ，x ∈R .(1)k ＝1时，求F (x )的值域； (2)试讨论函数F (x )的单调性．[解析] (1)k ＝1时，F (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x ，x >0，e x ＋x ，x ≤0.可以证明F (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)和(－∞，0]上递增， 又f (0)＝1，f (1)＝2，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)． (2)F (x )＝f (x )＋kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋kx ，x >0，e x ＋kx ，x ≤0.若k ＝0，则F (x )在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增； 若k >0，则F (x )在(0，1k ]上递减，在(1k，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递增． 若k <0，则F (x )在(0，＋∞)上递减． 当x ≤0时，F ′(x )＝e x ＋k ，若F ′(x )>0， 则x >ln(－k )，若F ′(x )<0，则x <ln(－k )． 若k ≤－1，－k ≥1，则F (x )在(－∞，0]上递减，若－1<k <0,0<－k <1，则F (x )在(－∞，ln(－k ))上递减，在(ln(－k )，0)上递增.能力拓展提升一、选择题11．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2[答案] B[解析] ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2得，f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x ＋2，解得f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝2，又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝154.12．(文)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不．可能成立．．．．的是( )A ．b >a >1B ．a >1>b >0C ．0<a <b <1D ．b >1>a >0[答案] D[解析] ∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)(2013·湖北黄石一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪(1，2]B ．[－2，－1)∪[2，＋∞)C ．(1，2]D ．[2，＋∞)[答案] A[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－1>0，1≥a 2－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－1>0，1≤a 2－1，解得1<a ≤2或a ≤－2，故选A. 13．(文)(2013·福建泉州一模)设函数f (x )定义在R 上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎫32 D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13 [答案] B[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，故当x <1时，f (x )为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，∵13<12<23，∴f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13，故选B. (理)(2013·四平模拟)已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－(13)x ，x ≤012x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)[答案] B [解析]作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－(13)x ，x ≤012x 2＋1，x >0的图象如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－(13)x (x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0.解得m > 2.故选B.14．(文)(2014·石室摸底)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b ).则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )[答案] A[解析] 依题意，f (x )的值为1和2x 的值中较小的，故当x ≥0时，f (x )＝1，当x <0时，f (x )＝2x ，故选A.(理)(2013·广州模拟)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )则f (x )＝2x ⊕2－x 的图象是( )[答案] C[解析] 由a ⊕b 的定义知，f (x )的图象为y ＝2x 与y ＝2－x 的图象中较低的部分，故选C.二、填空题15．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，φ(x )＝log 2x ，则f (12)＋f (4)的值为________．[答案] －1516[解析] 由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x )， h (x )>φ(x )，h (x )， h (x )≤φ(x ).∵h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212 ＝22，φ⎝⎛⎭⎫12＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 三、解答题16．(文)(2013·资阳诊断)函数f (x )＝m ＋log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x >1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2 ≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.(理)(2013·陕西调研)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n ，同时满足以下条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]． 若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．[分析] (1)由f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x的单调性可求出f (x )的值域，g (x )是以f (x )为变元的二次函数，令t ＝⎝⎛⎭⎫13x ，可求关于t 的二次函数的最小值h (a )．(2)由(1)知当m >n >3时h (a )的表达式，考察h (a )在[n ，m ]上的单调性，结合其值域[n 2，m 2]，可列出关于m ，n 的方程组求解m ，n ，如果有解则所求实数m ，n 存在，否则不存在．[解析] (1)因为x ∈[－1,1]，所以⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3.设⎝⎛⎭⎫13x ＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎨⎧289－2a 3 ⎝⎛⎫a <13，3－a 2⎝⎛⎭⎫13≤a ≤3，12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2.两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m 、n 不存在．[点评] 解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型． 补充说明1．掌握分数指数幂与根式的关系；防范因忽视对底数a >1与0<a <1的讨论导致错误；牢记换元t ＝a x 后将x 的取值范围转化为t 的取值范围；掌握指数函数图象的三个关键点；熟悉指数型函数问题审题的基本思路与解答步骤．2．注重数学思想方法训练． 数形结合的思想有关幂值大小的比较，指数型函数的问题，借助于图象来求解常能起到事半功倍的效果． [例] 比较⎝⎛⎭⎫233与⎝⎛⎭⎫3432 的大小．[解析] 在同一直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫49x与y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象，考察x ＝32时y 值大小， ∵49<34，∴⎝⎛⎭⎫4932 <⎝⎛⎭⎫34 32， ∴⎝⎛⎭⎫233<⎝⎛⎭⎫34 32 . 分类讨论的思想[例] 函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a3，则a 的值为________．[答案] 43或23[解析] 0<a <1时，f (x )＝a x 在[1,2]上单调递减， ∴a －a 2＝a 3，∴a ＝23；a >1时，f (x )＝a x 单调递增，∴a 2－a ＝a3，∴a ＝43.3．解题技巧(1)比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般先区分正、负(与0比)；正数再与1比较，找出大于1的和小于1的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用．(2)在指数里含有未知数的方程的解法．①形如a f (x )＝a g (x )(a >0，a ≠1)的方程，化为f (x )＝g (x )求解； ②形如a f (x )＝b g (x )(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)的方程，两边取对数； ③形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0的方程，用换元法令a x ＝t 化为二次方程求解． 备选习题[答案] B [解析]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，2x (x ≤0).若f (a )＝12，则实数a ＝( )A ．－1 B. 2 C ．－1或 2 D ．1或－ 2[答案] C[解析] 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2；当a <0时，2a ＝12，∴a ＝－1，选C.3．(2013·山东实验中学诊断)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫14x ， －1≤x <0，4x ， 0≤x ≤1.则f (log 43)＝________.[答案] 3[解析] ∵0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3.4．(2013·西安一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 (－x )，x <0，若af (－a )>0，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1,0)∪(0,1)[解析] 若a >0，则由af (－a )>0，得a log 12 a >0，解得0<a <1；若a <0，则由af (－a )>0，得a log 2(－a )>0，即log 2(－a )<0，解得0<－a <1，所以－1<a <0.综上，0<a <1或－1<a <0.5．(2012·衡水模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c; ④2a ＋2c <2.[答案] ④ [解析]作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示．又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c <2，f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.6．(2013·东城模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的编号)． [答案] ②③④7．(2013·潍坊模拟)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x －1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？[解析] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－51x －10000x＋1450－250 ＝1200－(x ＋10000x)．所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1200－(x ＋10000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时， L (x )＝－13(x －60)2＋950.在x ＝60时，L (x )取得最大值 L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000.此时，当x ＝10000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．因为950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．。

指数与指数函数复习测试（带解析2015高考数学一轮）指数与指数函数复习测试（带解析2015高考数学一轮）A组基础演练1．函数y＝|x|axx(a＞1)的图象大致形状是()解析：当x＞0时，y＝ax(a＞1)为增函数．当x＜0时，y＝－ax(a＞1)与y＝ax关于x轴对称．答案：B2．(2014•安阳模拟)若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A．0＜a＜1且b＞0B．a＞1且b＞0C．0＜a＜1且b＜0D．a＞1且b＜0解析：(1)当0＜a＜1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a ＞1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．∵y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0＜a＜1.(2)如图，这个图可理解为y＝ax(0＜a＜1)的图象向下平移大于1个单位长度．∴b－1＜0，|b－1|＞1，解得b＜0.由(1)、(2)可知0＜a＜1且b＜0.答案：C3．(2014•南京模拟)设a＝22.5，b＝2.50，c＝122.5，则a，b，c的大小关系是()A．a＞c＞bB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c解析：a＝22.5＞20＝1，b＝2.50＝1，c＝122.5＜120＝1故a＞b＞c. 答案：C4．函数y＝12－x2＋2x的值域是()A．RB．(0，＋∞)C．(2，＋∞)D.12，＋∞解析：∵－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，∴12－x2＋2x≥12，故选D.答案：D5．(2014•洛阳质检)设函数f(x)＝2x，x＜0g x ，x＞0，若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．解析：令x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝2－x，又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝－2－x，∴g(x)＝－2－x，∴g(2)＝－2－2＝－14.答案：－146．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a＞1)恒过点(1,10)则m＝________.解析：当x2＋2x－3＝0时，f(x)＝a0＋m＝10，∴m＝9.答案：97．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是________．解析：由f(1)＝19，得a2＝19，∴a＝13(a＝－13舍去)，即f(x)＝13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在2，＋∞)上递减．答案：2，＋∞)8．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；当x≥0时，f(x)＝2x－12x，由2x－12x＝32，得2•22x－3•2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x＞0，∴x＝1.(2)当t∈1,2]时，2t22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)，∵t∈1,2]，∴－(22t＋1)∈－17，－5]，故m的取值范围是－5，＋∞)．9．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在－1,1]上的最大值是14，求a的值．解：令t＝ax(a＞0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．(1)当0＜a＜1时，x∈－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16，所以a＝－15或a＝13.又因为a＞0，所以a＝13.(2)当a＞1时，x∈－1,1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝13或3.B组能力突破1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－12的解集是()A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]C．(1，＋∞)D．1，＋∞)解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)，∴f(x)＝2x－1当x＝0时，f(0)＝0.∴x＞0，1－2－x＜－12.或x≤0，2x－1＜－12，∴x＜－1.答案：A2．(2014•泰安模拟)若关于x的方程a2x＋1＋1max＋1＝0(a＞0且a≠1)有解，则m的取值范围是()A.－∞，－13B.－13，0∪(0,1]C.－13，0D．1，＋∞)解析：方程变形为1＋1m•ax＝－a2x－1，即1＋1m＝－ax＋1ax，而ax＞0∴ax＋1ax≥2，－ax＋1ax≤－2，即1＋1m≤－2，∴3m＋1m≤0，∴－13≤m＜0.答案：C3．(能力挑战题)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝________.解析：由题意，f(x)为奇函数，且周期为2，∴f32＝f－12＝－f12，f(2)＝f(0)，F52＝f12，∴f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝f12＋f(1)－f12＋f(0)＋f12＝f(0)＋f12＋f(1)＝0＋2－1＋1＝2.答案：24．已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令t＝－x2－4x＋3，由于t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有a＞0，12a－164a＝－1，解得a＝1.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-6指数与指数函数课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D[答案]C[解析]考查对数函数的图像．(理)函数f (x )＝2|log 2x |的图像大致是( )[答案]C[解析]∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C. 2．设f (x )＝lg 2＋x 2－x，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)[答案]B[解析]f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，要使f (x 2)＋f (2x)有意义应满足⎩⎨⎧ x ≠0，－2<x 2<2，－2<2x <2，解得－4<x <－1或1<x <4，故B 正确． 3．(2013·某某高考)设a ，b ，c 为均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c[答案]B[解析]本题考查对数的运算法则，运算性质．由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，B 正确．4．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a，b ) B ．(10a,1－b ) C ．(10a，b ＋1) D ．(a 2,2b ) [答案]D[解析]该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b ＝lg a ，对于A 选项，lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ， 对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－b .对C 选项lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1， 对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．5．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．不单调的函数[答案]A[解析]由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1，因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．6．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)且a >b >c >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c的大小关系是( ) A.f (a )a >f (b )b >f (c )c B.f (c )c >f (b )b >f (a )aC.f (b )b >f (a )a >f (c )cD.f (a )a >f (c )c >f (b )b[答案]B[解析]∵f (a )a 、f (b )b 、f (c )c可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像及a >b >c >0可知f (c )c >f (b )b >f (a )a.故选B. 二、填空题7．(2013·某某高考)lg 5＋lg 20的值是________．[答案]1[解析]本题考查对数的运算． lg 5＋lg 20＝lg5 12 ＋lg20 12 ＝12lg5＋12lg20 ＝12(lg5＋lg20)＝12lg100＝1. 8．(文)方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．[答案]x ＝2[解析]原方程⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x >0，2x ＋2>0，x 2＋x ＝2x ＋2，解得x ＝2.(理)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．[答案] 5[解析]log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1，解得x ＝±5(负值舍去)，所以x ＝ 5.9．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．[答案](－∞，0)[解析](等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的单调减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是(－∞，0)．三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值X 围．[解析](1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值X 围是{x |0<x <1}.能力强化训练一、选择题1．(2013·某某高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f (lg 12)＝() A ．－1 B ．0C ．1D ．2[答案]D[解析]本题主要考查函数的性质与换底公式．∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1 ＝－ln(1＋9x 2＋3x )＋1，f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝2， 又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f (lg 12)＝2，故选D. 2．(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14B.12C ．2D ．4[答案]B[解析]∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性．∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12. (理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e － 12 ，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x[答案]D[解析]本小题主要考查了对数、指数的性质的运用．∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e － 12 ＝1e且e<2<log 25 ∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D.二、填空题3．(改编题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值X 围是________． [答案](－∞，－1)∪(0，33)[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 3a <13，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值X 围是________．[答案]{x |－1<x ≤0或x >2}[解析]当x ≤0时，由3x ＋1>1，得x ＋1>0，即x >－1.∴－1<x ≤0.当x >0时，由log 2x >1，得x >2.∴x 的取值X 围是{x |－1<x ≤0或x >2}．三、解答题5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是x 的减少的，若存在，求a 的取值X 围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值X 围的制约．[解析]∵a >0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 是x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减少的，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a >12－a >0即1<a <2. ∴a 的取值X 围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式；(2)求f (log 1224)的值．[解析](1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]，∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，∴f(x)＝－⎝⎛⎭⎫12x＋1.(2)∵log1224＝－log224∈(－5，－4)，∴log1224＋4∈(－1,0)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(log1224)＝f(log1224＋4)＝－⎝⎛⎭⎫12log1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12.(理)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)．[解析](1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0<x <1. ∴x 的取值X 围为(0,1)．。

第二章 第六节 指数函数一、选择题1．函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．直线y ＝x 对称D ．原点中心对称 解析：由y ＝－3－x 得－y ＝3－x ，(x ，y )可知关于原点中心对称．答案：D2．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则实数m ，n 的关系是 ( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n 解析：∵a ＝5－12，即0<a <1，∴函数f (x )＝a x 是减函数，又f (m )>f (n )，∴m <n . 答案：D3．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值为( )A. 6B ．2或－2C ．－2D ．2 解析：(a b ＋a －b )2＝8⇒a 2b ＋a－2b ＝6， ∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b －2＝4. 又a b >a －b (a >1，b >0)，∴a b －a －b ＝2.答案：D4．已知函数( )f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x 2x x ，则f (9)＋f (0)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1，∴f (9)＋f (0)＝3.答案：D5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：由f (x )＋g (x )＝e x 可得f (－x )＋g (－x )＝e －x ，又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x ，则两式相减可得g (x )＝e x －e －x 2. 答案：D6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如右图中实线所示，又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0.∴0<2a <1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a .∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1.∴2a ＋2c <2.答案：D二、填空题7．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析：函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ， ∵函数的图象不经过第一象限，∴(12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 答案：(－∞，－2]8．某电脑公司2010年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2012年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2010年到2012年，每年经营总收入的年增长率相同，2011年预计经营总收入为________万元．解析：设每年经营总收入的年增长率为x ，则1 000(1＋x )2＝1 690，x ＝0.3,1 000(1＋0.3)＝1 300. 答案：1 3009．定义：区间 [x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.答案：1三、解答题10．若函数y ＝a ·2x －1－a2x －1为奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域．解：∵函数y ＝a ·2x －1－a2x －1，∴y ＝a －12x－1. (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0， ∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0. ∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}． 11．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值． 解：由3－4x ＋x 2>0，得x >3或x <1，∴M ＝{x |x >3或x <1}， f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋2512.∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x <2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值． 12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3. 结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3. ∴f (x )＝3·2x .(2)要使(12)x ＋(13)x ≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56. ∴只需m ≤56即可． ∴m 的取值范围(－∞，56]。

2015届高考数学指数与指数函数题型归类（理）题型一、指数运算及指数方程、指数不等式【思路提示】利用指数函数的性质解题。

对于形如()()(),,f x f x f x a b a b a b =><的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数的单调性解决；或用“取对数”的方法求解。

形如20x x a Ba C ++=或20(0)x x a Ba C ++≥≤的形式，可借助换元法转化为二次方程或二次不等式求解。

一、指数运算例2.32 化简并求值。

（1）3322333()(b )112,4,;a a b ab a b a b b+÷+-==--若求 （2）若11223x x-+=，求33222232x x x x --+-+-的值；变式1 设25a b m ==，且112a b +=，则m = 。

变式2 已知2a x x =+-2（常数），求8x x -+8的值。

二、指数方程例2.33 解下列方程：（1）94330x x -+= ； （2）2964()().3827x x =变式1 方程96370x x --=的解是 。

变式2 关于x 的方程332()25x a a+=-有负实数根，则a 的取值范围是 。

变式3 若方程021411=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（∞-，1） B. (∞-，2) C. （-3，-2） D .（-3，0）三、指数不等式例2.34 若对[1,2]x ∈，22x m +>恒成立，求实数m 的取值范围。

变式1 已知对任意x R ∈，不等式222411()22x mx m x x -+++>恒成立，求实数m 的取值范围。

变式2 函数2()1x f x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式222()ax a x a R +<∈的解集为B 。

求使A B A = 的实数a 的取值范围。

第五节 指数与指数函数[全盘巩固]1．化简a 23·b －1－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2b D.1a解析：选D 原式＝a －13b 12·a －12b13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.2．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C D解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0， 所以函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)， 结合选项可知选C.3．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0}，N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为 ( )A ．(1，＋∞) B．(0,1) C ．(－1,1) D ．(－∞，1) 解析：选D ∵f (g (x ))>0， ∴g 2(x )－4g (x )＋3＞0，∴g (x )＞3或g (x )＜1，∴M ∩N ＝{x |g (x )<1}． ∴3x－2＜1,3x＜3， 即x <1.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a ＞c ，故a ＞c ＞b . 5．(2014·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －8x ＜0，x 2＋x －1x ≥0，若f (a )＞1，则实数a的取值X 围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 解析：选B 由f (a )＞1知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a－8＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋a －1＞1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ＜－2 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＜－2或a ＞1，即a ＜－2或a ＞1.6．(2014·荆州模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.7．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x 1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.答案：－238．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.∵1≤t ≤4，∴当t ＝1时，y max ＝52.答案：529．(2014·某某模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，C (x 1，y 2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3x 1，y 2＝3x 2，y 2＝9x 1.又A ，O ，B 三点共线，所以k AO ＝k BO ，即y 1x 1＝y 2x 2，代入可得3x 13x 2＝x 1x 2＝12，即3x 132x 1＝12，所以x 1＝log 32.答案：log 32 10．函数f (x )＝2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x (a ∈R )的解集为B ，求使A ∩B ＝B 的实数a 的取值X 围．解：由2＋xx －1≥0，解得x ≤－2或x ＞1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋x ⇔2x ＜a ＋x ⇔x ＜a ，所以B ＝(－∞，a )． 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以a ≤－2， 即a 的取值X 围是(－∞，－2]．11．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x＋e －x )2＝(e 2x－2＋e －2x)－(e 2x ＋2＋e－2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y )＝ex ＋y＋e－x －y－ex －y－e－x ＋y＝[ex ＋y＋e－(x ＋y )]－[ex －y＋e－(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )，即g (x ＋y )－g (x －y )＝4.①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，故g x ＋yg x －y＝3.12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.∴只需m ≤56即可．∴m 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.[冲击名校]1．若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(2，＋∞) B．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1)解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．2．对于函数f (x )，如果存在函数g (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x都有f(x)≤g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)＝2x，g(x)＝2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则|m－n|的最大值为________．解析：因为函数f(x)＝2x与g(x)＝2x的图象相交于点A(1，2)，B(2,4)，由图可知，[m，n]⊆[1,2]，故|m－n|max＝2－1＝1.答案：1[高频滚动]1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，且当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值X围是( ) A．(－1,0) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选C 由题意f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x)图象的对称轴为x＝1，则a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，当x∈[－1,1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b＞2或b＜－1.2．已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若存在实数a，b，使得f(a)＝g(b)，则b的取值X围为( )A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)解析：选B 由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－2＜x＜2＋ 2.。