模糊数学(第十一讲)

)
2
1 2

;
p
m d (u i , u j ) = ∑ (u ik − u jk k =1 其中 p ≥ 1 .
)
,
1 p
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3.贴近度法 具体见课本 贴近度法(具体见课本 贴近度法 具体见课本P100) 当对象u 为模糊向量(即 的相似程度r 当对象 i=(ui1, ui2,…, uim)为模糊向量 即uik∈[0,1]. )时, ui与uj的相似程度 ij可由如 为模糊向量 时 下方法确定 (1)最大最小法 最大最小法
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则这n个对象的所有特性指标构成一个矩阵 记作 则这 个对象的所有特性指标构成一个矩阵,记作 个对象的所有特性指标构成一个矩阵
u 11 u 21 = L u n1 u 12 u 22 L un2 L L L L u 1m u 2m L u nm
r ij =
∑ (u
m
(2)算术平均最小法 算术平均最小法
r ij = (3)几何平均最小法 几何平均最小法
∑ (u
k =1 m k =1 m
k =1 m
ik
∧ u ∨ u
ik
jk
) )
jk
;
ik
jk
∑ (u
1 2
k =1
∧ u
ik
)
jk
∑ (u
ik
+ u
jk
)
;
;
r ij =
∑ (u
m k =1 m
(1). Chebyshev 距离 :
d (u i , u j ) = max u ik − u jk ;
1≤ k ≤ m m
( 2 ). Ham min g 距离： d (u i , u j ) =
∑
k =1
u ik − u jk ;
m ( 3 ). Euclid 距离： d (u i , u j ) = ∑ (u ik − u jk k =1 ( 4 ). Minkowski 距离 :
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k =1
jk
3.4.3 模糊分类
下面我们介绍四种常用的模糊分类方法. 下面我们介绍四种常用的模糊分类方法 1.模糊传递闭包法 模糊传递闭包法 (1)利用平方自合成方法求 利用平方自合成方法求 t ( R ) = ( r ij ) n × n (2)对t(R)中的元素从大到小进行排序 设为 中的元素从大到小进行排序,设为 对 中的元素从大到小进行排序 1=λ1> λ2 >…> λm λ … (3)对λ= λi (i =1,2,…,m),求出 求出t(R)的λ-截矩阵 t ( R ) λ = (r ij (λ )) n×n , 这里 对 求出 的 截矩阵
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例3.4.1 考虑某环保部门对该地区五个环境区域 U={u1,u2, u3,u4, u5 },按污染情况进行分类 设每 按污染情况进行分类,设每 按污染情况进行分类 个区域包含空气、水分、土壤、 个区域包含空气、水分、土壤、作物四个要 素,环境区域的污染情况有污染物在四个要素 环境区域的污染情况有污染物在四个要素 中的含量超过的程度来衡量.设这五个环境区 中的含量超过的程度来衡量 设这五个环境区 域的污染数据为 u1 =(80,10,6,2), u2 =(50,1,6,4), u3 =(90,6,4,5), u4 =(40,5,7,3) ,u5 =(10,1,2,4) 试用模糊传递闭包法对U进行分类 进行分类. 试用模糊传递闭包法对 进行分类
(3)利用平方合成法求 利用平方合成法求t(R) 利用平方合成法求 所以 因为 R2 ⊆ R, R4 ⊆ R2 , 而R8 = R4 ,所以 / /
1 0.63 t (R ) = R 4 = 0.62 0.63 0.53 0.63 1 0.62 0.70 0.53 0.62 0.62 1 0.62 0.53 0.63 0.70 0.62 1 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 1
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定理3.2.7 设R∈F(U×U),则 定理 ∈ × 则 (1) R为等价的当且仅当∀ λ∈[0,1], R λ为 为等价的当且仅当∀ 为等价的当且仅当 等价的; 等价的 (2) 若R为等价的 则∀n∈N, Rn也是等价的 为等价的,则 ∈ 也是等价的; 为等价的 (3) R为等价的当且仅当 为传递的模糊相 为等价的当且仅当R为传递的模糊相 为等价的当且仅当 似关系; 似关系 (4) 若R为模糊相似关系 则t(R) = e(R) 为模糊相似关系,则 为模糊相似关系
rij =
∑ ∑ (u
m k =1
m
k =1
u ik − u i u − ui
2 m
jk
− ui
ik
ik
) ∑ (u
k =1
−u
j
)
2
7
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2.距离法 具体见课本 距离法(具体见课本 距离法 具体见课本P99-100) 表示对象u 的距离. 越大, 越小, 设d(ui, uj)表示对象 i 和uj 的距离 则d(ui, uj)越大 rij就越小 而d(ui, uj)越小 rij就 表示对象 越大 就越小,而 越小 越大.一般地 一般地,可取 越大 一般地 可取 rij=1－c(d(ui, uj))α － 其中c和 是两个适当选取的正数,使 其中 和α是两个适当选取的正数 使rij∈[0,1]. 在实际应用中,常采用如下距离来确定 常采用如下距离来确定r 在实际应用中 常采用如下距离来确定 ij
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§3.4 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析
设被分类对象的集合为 U={u1,u2, …, un}, 每一个对象u 个特性指标(即反映对象特 每一个对象 i有m个特性指标 即反映对象特 个特性指标 征的主要指标),并记 征的主要指标 并记 ui =(ui1,ui2, …, uim) , i =1,2,…,n 其中u 表示第i个对象的第 个特性指标. 个对象的第j个特性指标 其中 ij表示第 个对象的第 个特性指标
U
*
称U*为U的特性指标矩阵 为 的特性指标矩阵.
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3.4.1 数据规格化 常用的数据规格化方法有如下几种: 常用的数据规格化方法有如下几种 1.数据标准化 数据标准化 (i) 对特性指标矩阵 的第 列,计算 对特性指标矩阵U*的第 的第j列 计算
2 1 n u j ∑1 u ij , σ = n ∑1 u ij − u j ( j = 1 , 2 ,..., m ) i= i= u ij − u j (ii) 作变换′ u ij = , (i = 1 , 2 ,... n ; j = 1 , 2 ,..., m
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由题设知特性指标为污染物在空气、 解:由题设知特性指标为污染物在空气、水分、土壤、作物这四个要素中的含量 由题设知特性指标为污染物在空气 水分、土壤、作物这四个要素中的含量. 其特性指标矩阵为 6 2 80 10
U
*
10 (1)数据规格化 数据规格化 采用最大值规格化, 采用最大值规格化 作变换
∧ uLeabharlann ik)∑u
⋅u
4.主观评定法 主观评定法 在一些实际问题中,被分类对象的特性指标是定性指标 被分类对象的特性指标是定性指标,这时可请有关专家和有 在一些实际问题中 被分类对象的特性指标是定性指标 这时可请有关专家和有 实际经验的人员用评分的办法来主观评定被分类对象间的相似程度. 实际经验的人员用评分的办法来主观评定被分类对象间的相似程度 9
r11 r21 R= L rn1 r12 L r1n r22 L r2 n L L L rn 2 L rnn
下面介绍几种确定的常用方法. 下面介绍几种确定的常用方法 1.相似系数法 具体见课本 相似系数法(具体见课本 相似系数法 具体见课本P97-98) 相似系数法包括:数量积法 夹角余弦法、相关系数法、指数相似系数法、 数量积法、 相似系数法包括 数量积法、夹角余弦法、相关系数法、指数相似系数法、非参 数相似程度法等等 例如, 等等,例如 数相似程度法等等 例如 1 m 2 ui ⋅u j (2)夹角余弦法 夹角余弦法: 夹角余弦法 2 rij = , 其中 u i = ∑ u ik , (i = 1 , 2 ,..., n ) ui ⋅ u j i =1 (3)相关系数法 相关系数法
(2)构造模糊相似矩阵 构造模糊相似矩阵R=(rij)5×5 构造模糊相似矩阵 × 采用最大最小法,即 采用最大最小法 即
r ij =
∑ (u
4
∑ (u
k =1
k =1 4
ik
∧ u ∨ u
jk
) )
12
ik
jk
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确定模糊相似矩阵为
1 0.54 R = 0.62 0.63 0.24 0.54 0.62 0.63 0.24 1 0.55 0.70 0.53 0.55 1 0.56 0.37 0.70 0.56 1 0.38 0.53 0.37 0.38 1
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3.4.2 构造模糊相似矩阵 设数据u 均已规格化,下面用多元分析的方法来确定对 设数据 ij (i =1,2,…,n; j =1,2,…,m) 均已规格化 下面用多元分析的方法来确定对 象ui=(ui1, ui2,…, uim)(第i行)和uj =(uj1, uj2,…, ujm)(第j行)之间的相似程度 第行和 第 行 之间的相似程度 rij =R (ui, uj)∈[0,1], (i ,j=1,2,…,n) ∈ 从而构造出一个对象与对象之间的模糊相似矩阵 从而构造出一个对象与对象之间的模糊相似矩阵
1 = n
n
2 j
(
)
则矩阵(u′ × 称为数据规格化的特性指标矩阵 数据规格化的特性指标矩阵, 则矩阵 ′ij)n×m称为数据规格化的特性指标矩阵 2.均值规格化 均值规格化 (i)对U*的第 列,计算= 的第j列 计算 对 的第 σj