2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛试题

第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x],即y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+nn 1-]=[nx]; 证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa +11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 .3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+[4y]+ 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字(见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 .2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= .3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+ 第一讲:高斯函数 3[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:对应的m 值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . ③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = .②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 .2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .4 第一讲:高斯函数②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23] ③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.[练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数).6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 第一讲:高斯函数 5⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= . 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ]. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.8.不等问题:[例8]:(1981年美国数学奥林匹克试题)对正整数n 和一切实数x.求证:[nx]≥1][x +2]2[x +…+nnx ][. [解析]:为方便,记a n =1][x +2]2[x +…+nnx ][.用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1=[x],[nx]=[x]⇒原不等式成立;②假设当k<n 时,原不等式均成立,即a 1≤[x],a 2≤[2x],…,a n-1≤[(n-1)x];注意到:a k -a k-1=kkx ][⇒ka k -ka k-1=[kx]⇒na n =a 1+(2a 2-a 1) 6 第一讲:高斯函数+(3a 3-2a 2)+…+[na n -(n-1)a n-1]=a 1+(2a 2-2a 1)+(3a 3-3a 2)+…+(na n -na n-1)+(a 1+a 2+…+a n-1)=[x]+[2x]+[3x]+…+[nx]+(a 1+a 2+…+a n-1)≤n[nx]⇒a n ≤[nx].[练习8]:1.(第10届地中海地区数学奥林匹克试题)设x 为大于1的实数.证明:(][}{x x x +-}{][x x x +)+(}{][x x x +-][}{x x x +)>29.2.(2005年国家集训队训试试题)求所有正整数m 、n,使得不等式[(m+n)α]+[(m+n)β]≥[m α]+[m β]+[n(α+β)]对任意实数α、β都成立.3.(2005年国家集训队选拔考试试题)设n 是任意给定的正整数,x 是正实数.证明:∑++-=nk x kx x k x 1])1)[1(][(≤n.第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x]与y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n1]+[x+n2]+…+[x+nn 1-]=[nx];证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+ n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa+11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(x a +11-21)+(x a -+11-21)=x a +11+xxa a +1-1=0⇒f(-x)=-f(x);设f(x)=k+α,其中,k ∈Z,0≤α<1,①若α=0,则f(x)=k ⇒-f(x)=-k ⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-k ⇒[f(x)]+[f(-x)]=0;②若α≠0,则f(x)=k+α⇒-f(x)=-k-α= -(k+1)+(1-α)⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-(k+1)⇒[f(x)]+[f(-x)]=-1⇒[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. 2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 . 解:令g(x)=kx+k,由图知g(2)≤1,g(3)>1⇒41<k ≤31. 3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 解:令f(k)=[51-k ]-[52-k ],则f(k+5)=[515-+k ]-[525-+k ]=[1+51-k ]-[1+52-k ]=[51-k ]-[52-k ]=f(k),故f(k)是周期为5的函数;计算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由x k =x k-1+1-5f(k)⇒x k -x k-1=1-5f(k)⇒x 2008=x 1+(x 2- x 1)+(x 3-x 2)+…+(x 2008-x 2007)=x 1+2007-5[f(2)+f(3)+…+f(2008)]=x 1+2007-5[4001(f(2)+f(3)+…+f(6))+f(2)+f(3)]=3;同理可得y 2008=402.所以,2008棵树的种植点为(3,402).2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+ [4y ]+[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字 (见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 . 解:因c=20,y=8,d=18,m=4⇒d+[2.6m-0.2]+y+[4y ]+[4c]-2c=18+[10.2]+8+[2]+[5]-40=3≡3(mod7)⇒2008年6月18日是星期三.2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值. 解:因为0<1<2π,2π<2、3<π,π<4<23π,23π<5、6<2π⇒sin1、sin2、sin3∈(0,1),sin4、sin5∈(-1,0)⇒[sin1]=第一讲:高斯函数 3[sin2]=[sin3]=0,[sin4]=[sin5]=-1⇒[sin1]+[sin2]+[sin3]+[sin4]+[sin5]=-2.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= . 解:因为0<1<2π,2π<2<π,43π<3<π,π<4<23π,23π<5<2π,47π<6<2π⇒sin1∈(0,1),cos2∈(−1,0),tan3∈(−1, 0),sin4∈(−1,0),cos5∈(0,1),tan6∈(−1,0)⇒[sin1]+[cos 2]+[tan 3]+[sin 4]+[cos5]+[tan 6] =0+(-1)+(-1)+(-1) +0+(-1)=-4.3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数. 解:当20052k <1,即k<44时,[20052k ]=0;当1≤20052k <2,即45≤k<63时,[20052k ]=1;当2≤20052k <3,即64≤k<77时,[20052k ]=2; 当3≤20052k <4,即78≤k<89时,[20052k ]=3;当4≤20052k <5,即90≤k<100时,[20052k ]=4;当5≤20052k <6,即100≤k<109时,月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m 值111212345678910[20052k ]=5;当6≤20052k <7,即110≤k<118时,[20052k ]=6;当7≤20052k <8,即119≤k<126时,[20052k ]=7;…,集合{n|n=[20052k ], 1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数=1503.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . 解:由k<)1(+k k <k+21⇒2)1(+n n <a n <2)1(+n n +21n ⇒n+1<n a n 2<n+2⇒[n a n 2]=n+1. ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . 解:设f(x)=nx 3+2x-n,易知,当n 为正整数时,f(x)为增函数;f(1)=2>0,且当n ≥2时,f(1+n n )=n(1+n n )3+21+n n -n=3)1(+n n (- n 2+n+1)<0⇒x n ∈(1+n n ,1)⇒n<(n+1)x n <n+1⇒a n =[(n+1)x n ]=n ⇒10051(a 2+a 3+…+a 2011)=2013. ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 解:由b n =[5n a ]=[523-n ]⇒b 5k+r =[52)5(3-+r k ]=[3k+523-r ]=3k+[523-r ](r=0,1,2,3,4)⇒b 5k =3k-1,b 5k+1=b 5k+2=3k,b 5k+3=3k+1,b 5k+4=3k+2⇒b 5k-4+b 5k-3+b 5k-2+b 5k-1+b 5k =15k-10⇒b 1+b 2+…+b 2007=(b 1+b 2+…+b 5)+…+(b 401×5-4+b 401×5-3+b 401×5-2+b 401×5-1+b 401×5)+(b 401×5+1+b 401×5+2)=152)4011(401+-10×401+(3×401+3×401)=(15×201-4)401=1207411.3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 4 第一讲:高斯函数2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:1.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .解:当2t ≤k<2t+1时,[log 2k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[2t ,2t+1)中的正整数有2t 个.设f(x)=[log 2x],注意到29=512,所以, [log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]=∑=5001)(k k f =f(1)+∑-=1222)(k k f +∑-=12232)(k k f +∑-=12243)(k k f +∑-=12254)(k k f +∑-=12265)(k k f +∑-=12276)(k k f +∑-=12287)(k k f +∑=50028)(k k f =0+1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8(28-11)=3498.②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . 解:因为1≤k ≤9⇒[lgk]=0;10≤k ≤99⇒[lgk]=1;100≤k ≤999⇒[lgk]=2;1000≤k ≤2010⇒[lgk]=3;所以,[lg1]+ [lg2]+[lg3]+…+[lg2010]=60×1+900×2+1011×3=4923.③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.解:由[log 36]=[log 37]=[log 38]=1⇒[log 36]+[log 37]+[log 38]=3;[log 39]=[log 310]=…=[log 326]=2⇒[log 39]+[log 310]+ …+[log 326]=36;[log 327]=[log 328]=…=[log 380]=3⇒[log 327]+[log 328]+…+[log 380]=162;[log 381]=[log 382]=…= [log 3242]=4⇒[log 381]+[log 382]+…+[log 3242]=648;3+36+162+648=849;[log 3243]=[log 3244]=…=[log 3728]=5⇒ [log 3243]+[log 3244]+…+[log 3728]=2430⇒n=474.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .解:当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n](n=20,21,…,210);当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n]+1;所以,{log 21}+{log 22}+…+{log 21991}=[log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11;由a=2,1024=210<1991<211⇒m=10,由1991-210=967⇒b=967⇒ [log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11=[2×9-2]29+2+10×968+1991-11=19854.2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .解:当k 为整数时,[k ]+[-k ]=0(k=12,22,…,19892),当k 不是整数时,设k =n+α(0<α<1),则[k ]=n,[-k ]=[-n-α]=[-(n+1)+(1-α)]=-(n+1)⇒[k ]+[-k ]=-1⇒[1]+[2]+[3]+…+[19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]=-1989×1990+1989=-19892.②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.解:因为nlg2和nlg5是无理数,那么可以表示nlg2=m+a 其中m=[nlg2],a={nlg2}≠0,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1- a)⇒[nlg5]=n-m-1⇒[nlg2]+[nlg5]=n-1=2012⇒n=2013.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = . 解:由1222012++k k <1⇒2012+2k <2k+1⇒2k>2012⇒k>11⇒当k>11时,[1222012++k k ]=0;当k=0时,[1222012++k k ]=1006;当k=1时,[1222012++k k]=503;当k=2时,[1222012++k k ]=250;当k=3时,[1222012++k k ]=126;当k=4时,[1222012++k k ]=63;当k=5时,[1222012++k k ]=31;当k=6时,[1222012++k k ]=16;当k=7时,[1222012++k k ]=8;当k=8时,[1222012++k k ]=4;当k=9时,[1222012++k k ]=2;当k=10、第一讲:高斯函数 511时,[1222012++k k ]=1⇒∑+=+20121]222012[k k k =1006+503+250+126+63+31+16+8+4+2+1+1=2012.②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.解:设下x=a n ×2n+a n-1×2n-1+…+a 2×22+a 1×21+a 0×20,其中a i ∈{0,1}(i=0,1,2,…,n),则x-2[2x ]=a 0;[2x ]-2[22x]=a 1; [22x ]-2[32x ]=a 2,…,[nx 2]-2[12+n x ]=a n ⇒a 0+a 1+a 2+…+a n =(x-2[2x ])+([2x ]-2[22x ])+([22x ]-2[32x ])+…+([n x2]- 2[12+n x])=x-([2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[12+n x ])=x-m=x 的“亏损数”⇒亏损数”为9的最小正整数x=1+2+22+…+28=511. 4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .解:由81<2x <8⇒-3<x<3⇒[x]=-3,-2,-1,0,1,2;①若[x]≤-2,则x 2=2[x]+3<0,没有实数解;②若[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1; ③若[x]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;④若[x]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;⑤若[x]=2,则x 2=7⇒有一个符合条件的解x=7⇒ A ∩B={-1,7}.②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .解:因|x|<2⇒[x]的值可取-2,-1,0,1;当[x]=-2,则x 2=0无解;当[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1;当[x]=0,则x 2=2无解;当[x]=1,则x 2=3⇒x=3⇒A ∩B={-1,3}.③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . 解:由0≤2cos 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,cosx=0,tanx 无意义;当[tanx]=1时,cosx=±22, 注意:[tanx]=1⇒x=k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,cosx=1⇒sinx=0⇒tanx=0,矛盾. ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 . 解:由0≤2sin 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,sinx=0,tanx=0⇒x=k π;当[tanx]=1时,sinx=±22,注意:[tanx]=1⇒x=2k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,sinx=1⇒cosx=0⇒tanx=0无意义.2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .6 第一讲:高斯函数解:由4[x]2-36[x]+45<0⇒23<[x]<215⇒2≤[x]≤7⇒2≤x<8. ②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23]解:因[|x 2-1|]=10⇔10≤|x 2-1|<11⇔-11<x 2-1≤-10,或10≤x 2-1<11⇔x ∈(-23,-11]∪[11,23),选(C).③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 解:显然x>0;①若x ≥3,则[x]≥3⇒x [x]≥27>29;②若0<x<2,则0≤[x]<2⇒x [x]<22=4<29;③若2≤x<3,则[x]=2⇒x 2=29 ⇒x223. 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .解:由x ≥[x]=872+x ⇒1≤x ≤7⇒[x]=1,2,3,4,5,6,7⇒x=1,33,41,7.②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .解:1,2005,2006,2007.③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .解:设2x+1=k,则x=21-k ,3x-465=6389-k =k+6383-k ,于是原方程等价于[k+6383-k ]-k=0⇒[6383-k ]=0⇒0≤6383-k<1⇒338≤k<344⇒k=13,14⇒解是x=6,213. ④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 解:设2x-21=k ∈Z,则x=412+k ,3x+1=k+1+432+k ,于是原方程等价于[432+k ]=-1,即-2<432+k ≤-1⇒-211<k ≤-27⇒k=-5,-4⇒x=-49,-47⇒所有实根之和为-4. 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q ])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.第一讲:高斯函数 7 [练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).解:由x-1<[x]≤x;①当x ≥3时,x 3-3[x]≥x 3-3x=x(x 2-3)≥3(32-3)=18;②当x ≤-3时,x 3-3[x]<x 3-3(x-1)=x(x 2-3)+3≤ -3[(-3)2-3]+3=-15;③当-3<x<3时,[x]=-3,-1,-1,0,1,2;若[x]=-3,则x 3=3[x]+4=-5,不合要求;若[x]=-2,则x 3=3[x]+4= -2⇒x=-32,合要求;若[x]=-1,则x 3=3[x]+4=-1,不合要求;若[x]=0,则x 3=3[x]+4=4,不合要求;若[x]=1,则x 3=3[x]+4= 7⇒x=37,合要求;若[x]=2,则x 3=3[x]+4=10⇒x=310,合要求⇒(-32)3+(37)3+(310)3=15.2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .解:由[x 3]+[x 2]+[x]∈Z ⇒{x}−1∈Z ⇒{x}=0⇒x ∈Z ⇒x 3+x 2+x=-1⇒(x+1)(x 2+1)=0⇒x=-1.②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. 解:设[x]=n,x-[x]=α(0≤α<1),则x 2−2x=(n+α)2-2(n+α)=n 2-2n+α2+2(n-1)α,所以原方程等价于[n 2-2n+α2+2(n-1)α]=n 2-2n ⇔[α2+2(n-1)α]=0⇔0≤α2+2(n-1)α<1;当α=0时,不等式成立,此时,x=n;当α≠0时,由0≤α2+2(n-1)α<1⇔0<α<1)1(2+-n -(n-1)⇔0<x-n<1)1(2+-n -(n-1)⇔x ∈(n,1)1(2+-n +1)(n=1,2,…). ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 解:由[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x 7]=1993⇒[x]<1993⇒x<1994⇒[！x 7]=0⇒[x]+[！x 3]+[！x5]=1993⇒x>5！;设x=5！n+r(0≤r<5！=120)⇒(120n+r)+(20n+[6r ])+n=1993⇒141n+r+[6r ]=1993=14×141+19⇒n=14,r+[6r]=19⇒r=17⇒x=1697. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.解:因为当3k≤n<3k+1时,[log 3n]=k(k=0,1,2,…),且区间[3k,3k+1)内的正整数个数=3k+1-3k=2×3k,所以,S k =[log 31]+[log 32]+ [log 33]+[log 34]+…+[log 3(3k+1-1)]=2(0×30+1×31+2×32+…+k ×3k)=(23k-43)3k +43;令(23k-43)3k+43≤2007⇒(2k- 1)3k≤2675⇒k ≤5;S 5=1391,2007-1391=6×101⇒n=36+100=829. ②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数). 解:{5,6}.6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 ⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= .解:若a 为负整数,则a 2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a ≥0;于是a 2=2b(a ＋b)<2(a+1)⇒a 2-2a-2<0⇒0≤a<1+3⇒a=0,1,8 第一讲:高斯函数2;a=0时,b=0;a=1时,2b 2+2b-1=0⇒b=213-;a=2时,b 2+2b-2=0⇒b=3-1. 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .解:由[x]2+[y]2=50⇒[x]=±1,[y]=±7;[x]=±5,[y]=±5;[x]=±7,[y]=±1.每组解有4种情况,每种情况下的面积为1⇒图形的面积是12.②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.解:设[x]=a,[y]=b,即所有这样的点(x,y)组成的图形就是a ≤x<a+1,b ≤y<b+1界定的区域,它的面积为1,又2011是质数,所以满足[x][y]=2011的点(x,y)组成的图形是4个面积为1的区域,即[x]=1,[y]=2011;[x]=2011,[y]=1;[x]=−1,[y] =−2011;[x]=−2011,[y]=−1.这些图形的总面积是4.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .解:由[x][y]=2013=1×2013=3×671=11×183=33×61,共有16种情况,每种情形下的面积为1,所以,所有点(x,y)组成的图形面积为16.3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7解:设a n =(3+8)2n +(3-8)2n =(17+122)n +(17-122)n ,则a 1=34,a 2=342-2=1154,a n+2=34a n+1-a n ⇒a 1≡2(m0d8),a 2≡2(m0d8),a 3≡34×2-2≡2(m0d8)⇒a n ≡2(m0d8);又因0<(3-8)2n <1⇒[(3+8)2n ]=a n -1⇒[(3+8)2n]≡1(m0d8).选(A).②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .解:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<(0.008)300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？解:设[x ]=n,由[x ]≤x <[x ]+1⇒n ≤x <n+1⇒n 2≤x <(n+1)2⇒n 2≤[x ]<(n+1)2⇒n ≤][x <n+1⇒n ≤[][x ]<n+1⇒[][x ]=n ⇒[][x ]=[x ]成立.②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ].第一讲:高斯函数 9解:因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+[n+(n+1)]=4n+2⇒n +1+n <24+n ⇒[n +1+n ]≤[24+n ];若存在某个正整数n,使得[n +1+n ]≠[24+n ],则[n +1+n ]<[24+n ];设[24+n ]=k,则n +1+n <k ≤24+n⇒2n+1+2)1(+n n <k 2≤4n+2⇒2)1(+n n <k 2-(2n+1)≤2n+1⇒4n(n+1)<[k 2-(2n+1)]2≤4n(n+1)+1(因4n(n+1)与4n(n+1)+1是连续整数)⇒[k 2-(2n+1)]2=4n(n+1)+1⇒k 2=4n+2,但任意整数的平方被4除不余2,矛盾. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. 解:设[r]=n,r=n+α(0≤α<1),则[r+100i ]=[n+α+100i ]=n(当0<α+100i <1时),或n+1(当1≤α+100i<2时),设其中有 73-k 个n,k 个n+1,则(73-k)n+k(n+1)=546⇒n=7+7335k -⇒k=35,n=7⇒α+10056<1,α+10057≥1⇒10043≤α<10044⇒7+10043≤r<7+10044⇒743≤100r<744⇒[100r]=743. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 解:设f(x)=[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x],则f(x)单调不减;由f(x)≤[(1+2+4+8+16+32)x]=[63x]≤63x ⇒x ≥6312345>195;f(196)=63×196=12348⇒x<196⇒x ∈(195,196);令t=x-195,则t ∈(0,1),且f(x)=[195+t]+[2(195+t)]+ [4(195+t)]+[8(195+t)]+[16(195+t)]+[32(195+t)]=63×195+[t]+[2t]+[4t]+[8t]+[16t]+[32t]<12285+0+1+3+7+15+31 =12342⇒方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解.3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.解:由a n+1-a n =b([c n ++1]-[c n +]),由题知,a n+1-a n =0,或2⇒b([c n ++1]-[c n +])=0,或2;由c n ++1-c n +=cn c n ++++11≤1⇒c n +<c n ++1≤c n ++1⇒[c n +]<[c n ++1]≤[c n +]+1⇒[c n ++1]-[c n +]=0,或1;显然b ≠0,当b([c n ++1]-[c n +])=2时,b=2,[c n ++1]-[c n +]=1;由a 1=2[c +1]+d=1⇒c ≥-1,d=1-2[c +1];注意到2k a =2k-1⇒2[c k +2]+d=2k-1⇒2[c k +2]+1-2[c +1]=2k-1⇒[c k +2]-[c +1]=k-1对任意的k ∈N +恒。

平顶山学院本科毕业论文（设计）平顶山学院本科毕业论文（设计）- 1 -前言函数()[]f x x =早在十八世纪就为“数学王子”高斯所采用，因此，()[]f x x =得名为高斯函数．实际上高斯函数虽然定义简单，但它的应用却相当的广泛．高斯函数是一个常用的函数．在离散数学中，要用到高斯函数；在计算机算法分析中，常常用到高斯函数；在微积分中，也经常看到高斯函数的身影．然而与高斯函数最密切相关的就是竞赛数学了．为什么这样说呢?首先，高斯函数的定义域为全体实数，值域为全体整数．而数论研究整数性质的比较多，因而我们可以利用数论中的定理，公式来解决有关高斯函数的问题．数论题通常又是竞赛数学的压轴题，由此可见，高斯函数在竞赛数学中的重要地位；其次，高斯函数又与含阶乘的整除问题密切相关，这表明高斯函数又与组合数学息息相关．组合数学是数学竞赛的重要组成部分，所以，高斯函数在数学竞赛中的重要地位不容忽视．此外，课本中没有对高斯函数进行专门的讲解，但高斯函数的定义容易理解，做为竞赛题比较灵活，横跨课本，容易变通，尤其是利用高斯函数可以编出许多方程与不等式，它们是小学，中学乃至大学数学竞赛的重要组成部分．因此，本论文中主要探讨高斯函数在数学竞赛中的广泛应用．下面，我举两个例子简单的说明：例1 解方程[]33x x -= (1957年 原苏联)．解 根据题分析易知0x >.若0x ≤则30x ≤，[]0x ≤，且[]30x x -≤则原方程无实数解.由性质[]{}x x x =+知[]{}x x x =-,将此式代入原题可得{}33x x x -=-．注意{}01x ≤<，两式联立便可得出()2213x x <-≤且0x >, 解 不等式组很容易就得出12x <<，所以[]1x =，代入原方程知3x =4，x例2［１］ 证明方程[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++=没有实数解． 证明 这道题从证明很难入手，在数学的思维中，解决这类问题，我们常采用反证法．假设方程有实数解x n a =+，,01n Z a ∈≤<.于是[]x n =，[]2x =高斯函数在数学竞赛中的应用- 2 -[]22n a +，[][]444x n a =+，[][]888x n a =+，[][]161616x n a =+，[]3232x n =+ []32a ．代入原方程化简、变形得到[][][][][][]24816321234563a a a a a a n +++++=-由于01a ≤<,因而[]01ka k ≤≤-,k Z ∈．故有0≤12345-63n ≤1+3+7+15+31=57.得1228863≤n ≤1234563,即195.04…≤n ≤195.95….与n 是整数矛盾，所以假设不成立，即原方程无实数解．由此可见高斯函数是一类重要的数论函数，尤其是高斯函数与数学竞赛息息相关，这就要求我们要深刻理解高斯函数的基本性质，掌握解决高斯问题的常用方法．为此，本文首先列举出了一些高斯函数的基本性质；其次，归纳和总结了解决高斯函数问题的常用方法;最后对高斯函数进行了进一步的探讨．平顶山学院本科毕业论文（设计）- 3 -第一章 高斯函数的基本知识1.1 概念定义 函数[]x 与{}x 是对于一切实数都有定义的函数，函数[]x 的值为不大于x 的最大整数；则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数．函数{}x 的值是[]x x -，{}x 叫做x 的小数部分．例 []3π=，[]2e =，[]4π-=-，203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，315⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦； 3255⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭，{}0.14159...π-=，0.414...=，{}0.95840...π-=函数图像 []y x = 的定义域为R ， 值域为Z ；{}y x = 的定义域为R ，值域为[)0,1．图像如图1所示，{}y x =是以1为周期的周期函数．如图22.2 性质[1]由定义立即可得出函数[]x 与{}x 的基本性质．对任意的实数x ，y 有高斯函数在数学竞赛中的应用- 4 -甲 []{}x x x =+,且01x ≤<.乙 [][]11x x x x -<≤<+.丙 x y ≤，有[][]x y ≤．丁 [][]n x n x +=+ n Z ∈．戊 若0,0x y ≥≥,则[][][]xy x y ≥.己 对任意正整数n 和任意实数x ,有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 庚 [][][]1x x Z x x x Z⎧-∈⎪-=⎨--∉⎪⎩ ．辛 若,a b 是任意两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 壬 (1) [][][][][]1x y x y x y +≤+≤++，其中等号有且仅有一个成立；(2) [][][][]1x y x y x y -≤-≤-+，其中等号有且仅有一个成立；(3) [][][][][]22x y x y x y +≥+++；平顶山学院本科毕业论文（设计）- 5 -第二章 数学竞赛中解决高斯函数问题常用方法解决有关高斯函数的问题，不仅要了解高斯函数的定义、性质，而且要了解 解决高斯函数问题的常用方法．在此根据题目自身的特点归纳和总结了几种常用的解决高斯函数问题的方法．2.1 定义（或性质）法例1对于一切实数x ， 有()[]f x x =．计算：()()()0.31 1.3___f f f -++=；若*,,3n n n f n N S a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭为数列{}n a 的前n 项和，则30___S =． 分析 由高斯函数[]x 的定义第一小题不难解决，答案为1．第二小题把高斯函数和数列联系起来，由33n n n a f ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦知1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，333a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1=,4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,5513a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,663a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2=，…,于是有， 300213233343...9310145S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=．本题主要考察了对高斯函数定义的理解，简单易懂，我们不再深入研究．例2 (2008年上海市TI 杯高二年级数学竞赛)求出所有的正整数使得692345n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 分析 看到这个问题如果我们单从题出发，按照常规思路来解得话会有点难度，数学问题中如果直接不好得出答案，不妨转换一下思想，从侧面来解决问题．解 由性质乙可知，1222n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1333n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1444n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1555n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦， 由此得 4234523452345n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-<+++≤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦高斯函数在数学竞赛中的应用- 6 - 化简可得423452345n n n n n n n n +++-<69≤+++最终我们可得出5357n <<．于是54,55,56n =，经检验55n =满足题意，故满足题意的正整数解为55n =．解答本题的关键是利用高斯函数的性质，先确定n 的范围，再代入原方程，求出符合题设条件的正确答案.2.2 反证法例3[2] 求证：不存在实数x ，使得[][][][][]24816307x x x x x ++++=．分析 要证明方程无实数解，常用反证法，我们可利用[]x 的性质，通过估计的方法来导出矛盾．解 由于[][][][][]248162481631x x x x x x x x x x x ++++≤++++=若原方程有解，则一定有31307x ≥即30731x ≥ 当10x ≥时，[][][][][]2481610204080160310307x x x x x ++++≥++++=> 即x 必须小于10． 当3071031x ≤<时， [][][][][]()()()()()248161012014018011601305307x x x x x ++++<-+-+-+-+-=<所以对于一切实数x ，原方程都不能成立，即原方程无解．2.3 换元法例4 [2]解方程[]13222x x +⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦． 分析 解决有关方程类型题的时候，直接从题本身出发不容易得出答案，我们可采用换原法，将问题转化为简单的问题．解 可设12x n +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]32x m -=则原方程可化为平顶山学院本科毕业论文（设计）- 7 -2m n += (1) 由定义可知，112x n n +≤<+，即 2121n x n -≤<+ (2)及321m x m ≤-<+，即12m -＜x ≤32m - (3) 可见，原方程的解均满足(1)、(2)、(3)中的x ．为此，设法求出的整数解(1)，事实上，由(2)、(3)得12123212m n m n ⎧-<+⎪⎪⎨-⎪-≤⎪⎩ 即4045n m n m +>⎧⎨+≤⎩，故045n m <+≤，又由,m n 是整数知 4n m +=1,2,3,4,5 (4)将(1)，(4)联立得两整数解02n m =⎧⎨=⎩ 或11n m =⎧⎨=⎩再分别代入到(2)，(3)得12x 0<≤与1x =，此即为原方程的解．2.4 分类讨论法所谓分类讨论，是当问题所给对象未能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论时”化整为零，各个击破，再积零为整“的数学策略．例5 (1991年北京市高中一年级数学竞赛)能使25n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为素数的所有自然数n 的倒数之和等于多少?解 设25n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，下面分情况讨论：高斯函数在数学竞赛中的应用- 8 - (1)当5n k =(k 是正整数)时，222555k m k ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，且当1k =时，m 为素数，此时5n =；(2)当51n k =+(k 为非负整数)时，22(51)152(52)55k m k k k k ⎡⎤+⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且当k =1时，m 为素数，此时6n =；(3)当52n k =+(k 为非负整数)时，22(52)454(54)55k m k k k k ⎡⎤+⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且当1k =时，9m =为合数，因此对所有正整数k ，m 都是合数；(4)当53n k =+(k 为非负整数)时，2(53)(1)(51)5k m k k ⎡⎤+==++⎢⎥⎣⎦，当0k =时 1m =，当k 为正整数时，m 为合数；(5)当54n k =+(k 为非负整数)时，2(54)(1)(53)5k m k k ⎡⎤+==++⎢⎥⎣⎦，当0k =时3m =是素数，此时4n =，当k 是正整数时，m 是合数．所以n =4,5,6时，25n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是素数，这样的n 的倒数之和为1113745660++=． 评注：采用分类讨论法时，一定要根据题目自身的特点，进行合理的分类，此题是按除5所得余数进行分组来分类讨论的，从而使问题得到简化．以后我们做题要因题而异，不要盲目下结论．2.5 数学归纳法例6[5] (1981年第10届美国数学奥林匹克)若x 为正实数，n 为正整数，证明：[][][][]2...12x x nx nx n ≥+++ 证 记[]1n n i ix x i ==∑，于是问题变为证明[]n nx x ≥．下面用数学归纳法证明这个不等式．(1)当n =1时，显然有[]1x x =，所以当n =1时，命题成立；(2)假设当k =l ，2，…，1n -时，命题成立，即[]k x kx ≤（1,2,...,1k n =-）由[]1k k kx x x k-=+得()[]111kk k kx k x x kx --=-++，对k 取,1,...,3,2n n -得 ()[]111,n n n nx n x x nx --=-++()()[]12212(1)n n n n x n x x n x ----=-++-， ()()[]23323(2)n n n n x n x x n x ----=-++-，……,[]322323x x x x =++， []21122x x x x =++，将以上(1)n -个不等式的两边分别相加，消去两边相同的项，得[][][]12211...(1)...2n n n nx x x x x x nx n x x --=+++++++-++由归纳假设如[][][][][][][][](1)(2)...2(1)...2n nx n x n x x x x nx n x x ≤-+-++++++-++ (1) 再由高斯函数的性质壬，对上式继续推导，(1)式右端等于[][]()[][]()[][][]()()()[][](1)(2)2...((1))122...1n x x n x x x n x nx n x x n x x x n x nx n nx -++-++++-+≤-++-++++-+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是[]k x kx ≤，即k n =时，命题成立．故对所有正整数n ，命题成立．2.6 枚举法例7 (1999年加拿大数学奥林匹克)求方程[]2440510x x -+=的所有实数解． 解 由高斯函数的定义知，[]x x ≤，因此原式可化为[]()()220440514405123217x x x x x x =-+≥-+=--即31722x ≤≤，于是[]x =l ，2，3，4，5，6，7，8． 当[]1x =时，方程化为2411x +=0，无实数解；当[]2x =时，方程化为24290x -=，得2x =；当[]3x =时，方程化为24690x -=，可得42x =>与[]3x =矛盾；当[]4x =时，方程化为241090x -=，可得5x =>与[]4x =矛盾；当[]5x =时，方程化为241490x -=，可得6x =>与[]5x =矛盾；当[]6x =时，方程化为241890x -=，可得x =，此时6=⎣⎦，因此2x =是方程的解；当[]7x =时，方程化为242290x -=，可得2x =，此时72=⎣⎦，因此x =是方程的解；当[]8x =时，方程化为242690x -=，可得x =，此时8=⎣⎦，因此x =是方程的解；综上可知，方程的解集为⎪⎪⎩⎭． 评注 此题可以改编为求方程[]2440510x x ++=的所有实数解，其解法与例6是一样的．枚举法相对比较简单，适合于中小学数学竞赛，但要注意枚举时千万不要漏举与多举．2.7 数形结合法在求解含有高斯函数的方程中，可以根据方程的特点，利用数形结和把方程转化为求两个图像的交点解决，但利用此法，只能从图像中找到解的大体位置及解的个数，因此，必须对此进行逐个的计算和检验，才能得到正确的答案．例8[3] 解方程1142x x +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 分析 本例为[][]u v =型的方程，首先由高斯函数的性质可知，若[][]u v =，则1u v -<，求出x 的区间，但此条件为原方程成立的必要但非充分条件，故还须对函数()u h x =和()v q x =的图像进行分析才能得到正确结果．由1u v -<得11142x x +--<-<1，得7x -1<<．令()()11,42x x h x q x +-==，在同一坐标系中画二者的图像：分析两者在区间(1,7)-内的图像，观察可知，当(1,1)x ∈-时，104x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而112x -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，方程不成立； 当[)1,3x ∈时，11042x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 当[)3,5x ∈时11142x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当[)5,7x ∈时，114x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而122x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，方程不成立． 综上所述，原方程的解是15x ≤<．2.8 [9]凑整、估值法针对求的[]x 值的题目，可以利用不等式中的放缩技巧或其他性质，将难以处理的求和转化为可以裂项相消的代数式之和，从而使问题迎刃而解．例9设1...S =+++，求[]S ． 分析 为求[]S 的值，如果对各项直接求解，会比较麻烦，这时我们就考虑有没有简单的方法来解决，而题中是一个和式问题，我们可以考虑来缩小它的范围，>最小的整数范围．解 设*1100,n n N <≤∈>><<，即22<<．不等式两边对n求和可得，1001001002222n n n ===<<∑∑故)212118S <-<=，但210- =17，2220317>>-=，所以1819S <<，即[]18S =．以上是我们常见的几种比较简单的方法，当然，解有关高斯函数题的方法还有很多，比如：分组拆项法、命题转化法、共轭因数法、不等式法等等，这就要求我们根据实际情况来选择合适的方法来进行求解，以便达到事倍功半的效果．第三章 关于高斯函数的进一步探讨高斯函数的许多问题在日常生活中有很广泛的应用，它们都是数学竞赛题的来源，在本章中我们主要讨论高斯函数在积分、数列以及高斯和式问题．3.1 积分问题[10]对于高斯函数[]x 的积分，由定义知高斯函数是一个具有第一类间断点的函数，只要在积分区间内有有限个这类间断点，则根据定积分的可积性知函数[]x 在积分区间上可积，下面来求如下积分． 例1 求积分[]0nx dx ⎰（n 为有限自然数）．解 [][]()()01111112nnnkk k k x dx x dx k n n -====-=-∑∑⎰⎰利用上述结果很容易求出斜坡函数[]x x -的积分，即[]{}[]()222000111222222nn nnn n n n x x dx xdx x dx x n n ⎡⎤-=-=--=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．例2 求积分ln(1)ln1n x e dx +⎡⎤⎣⎦⎰． 解 ()()ln(1)ln(1)ln(1)ln1ln ln 111[][]ln 1ln nnnn k k xxkkk k k e dx e dx k dx k k k +++======+-∑∑∑⎰⎰⎰()1ln!nn n +=上述关于高斯函数积分的问题即简单又有趣，下面来推导几个有关高斯函数积分的公式． 例3 求[]00x ny nx y dxdy ≤≤≤≤+⎰⎰．解首先将区域(){},0,0D x y x n y n=≤≤≤≤分为2n 个小区域，(){},1,0,0k D x y k x y k x y =-≤+<><，1,2,3 (2)n =，在1D 上[]0x y +=，在2D 上[]1x y +=，…，在1n D -上[]2x y n +=-，在n D 上[]1x y n +=-，在1n D +上[]x y n +=，…，在21n D -上[]22x y n +=-，在2n D 上[]21x y n +=-，且每个小区域的面积分别为1352131,,,,,,222222n -⋯于是有 21[][]knk DD x y dxdy x y dxdy =+=+∑⎰⎰⎰⎰1352121012(1)22222n n n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-+⨯+⋯ 31(22)(21)22n n +-⨯+-⨯1[132537(1)(21)(21)2n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+--+-+⋯(22)3(21)n n +-⨯+-⨯ 121()2s s =+ 其中12132537(1)(21)(21)(22)3(21)1s n n s n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+--=-+⋯+-⨯+-⨯经计算得2212(431),(831)66n ns n n s n n =--=-+，故 []()21212Dx y dxdy n n +=-⎰⎰． 利用上述公式可解下题： 例4 求[]0202x y x y dxdy ≤≤≤≤+⎰⎰的值．解 将2n =代入公式[]()21212Dx y dxdy n n +=-⎰⎰便有[]()202021222162x y x y dxdy ≤≤≤≤+=⨯⨯⨯-=⎰⎰ 例5 求22220,0x y x y nx y dxdy >>+≤⎡⎤+⎣⎦⎰⎰的值 ．解 将区域(){}22,,,0D x y x y n x y =+≤>分为n 个小区域，(){}22,1,,0kD x y k x y k x y =-≤+<>，1,2,3...,2k n =这n 个小区域的面积为4π，在这些区域上，函数22[]x y +的值分别为0,1,2,1n ⋯- 于是便有()()2222111114k knnnk k k DD D xy dxdy x y dxdy k dxdy k π===⎡⎤⎡⎤+=+=-=-⎣⎦⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()18n n π=-上述两个积分公式在以后解决高斯函数积分问题上会有很大的帮助，如果我们进一步的研究将会得到更多更有用的结论．3.2 高斯和式问题定理（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x 为实数，则[]10n i i x nx n -=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑．证明 令[]10()n i i f x x nx n -=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑则[]110011111n n i i i i f x x n x x nx n n n n n --==⎡⎤⎡+⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎤+=++-+=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎦⎣⎦⎣∑∑ [][][][]()101011n i n i i x x x nx n i x nx n f x -=-=⎡⎤=+-++--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦=∑∑故()f x 是以周期为1n 的周期函数．当1[0,)x n∈时，显然有()0f x =，故对上式任意实数x 均成立．例6 设n 为整数，计算和式232341222...2222n n n n ⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 解 上式可简化为232341222...2222n n n n ⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1022k k k n ∞+=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑ 由Hermite 恒等式可得，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，则[][]122x x x ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦．于是111112122222222k k k k k k k n n n n n n +++++⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此，1100022222k k k k k k n n n n n ∞∞++==⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑．例7 设n 为正整数， α，i x ，i y ()1,2,...,i n =为实数，证明：123...n x x x x ≤≤≤≤ 123,...n y y y y ≥≥≥≥．且满足1n i i ix =∑=1n i i iy =∑，则[][]11n ni i i i i y i x αα==≥∑∑．证明 记i i i x y z =-，则12...n z z z ≤≤≤且10ni i iz ==∑ 故只需证明[]10nii i zα=≥∑ (1)即可．令112211,0,...,0n n n z z z z z -∆=∆=-≥∆=-≥，则1ii j j z ==∆∑（1i n ≤≤），于是111110jn n i n i j j i i j j i iz i i ======∆=∆=∑∑∑∑∑从而211n njj i jni ii===∆=∆∑∑∑ (2)于是[][][][]11112211[]n n n i n n n n nn i j i j j j j n i i j j i j j i j j i i i i z i i i i i ααααα===========⎛⎫⎪ ⎪=∆=∆∆-∆ ⎪ ⎪⎝⎭=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑[][]121n n n ni ji j n nj i j i j i i i i i i αα======⎛⎫ ⎪ ⎪=∆- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 由于20n nj j i ji ==∆≥∑∑，则(1)式成立等价于[][][][][][]111111111111nn j j nn i ji ji i i i nnnj nj i ji i j i i i i i i i i i iiiiiiαααααα--======--======≥⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (3)故只需证明对任意的1k ≥，有[][]111111k ki i k ki i i i i iαα+==+==≥∑∑∑∑而上述不等式等价于()[]()[]()()1111102k ki i kk i k i k i ααααα==+≥⇔+--+-≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑．注 有性质知[][][]x y x y +≥+对任意的,x y 均成立，上述不等式显然成立．参考文献[1]闵嗣鹤，严士健编.初等数论（第三版）高等教育出版社，2003．[2]梅向明．国际数学奥林匹克30年［Ｍ］．北京出版社，1991．[3]王朝霞.含有[x]或{x}的方程的解法[J].唐山师院学报,2004,(5)[4]刘诗雄等．奥数教程(高二年级)．(第二版)．华东师范大学出版社，2003.[5]陈景润著.初等数论Ⅱ.科学出版社.1980[6]宋庆龙．高斯函数的应用．唐山师范学院学报．2005，(3)．[7]余红兵著.奥数教程(高二年级).华东师范大学出版社.2006．[8]柳柏镰，吴康著.竞赛数学的原理与方法.广东高等教育出版社.2003．[9]殷堰工.整数部分[x]与小数部分{x}问题的解法[J]. 1994,(10-11)．[10]钱吉林等，高等数学辞典[M] 武汉：华中师范大学出版社，1999．平顶山学院本科毕业论文（设计）致谢在大学四年的学习过程中，我得到了数科院各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师李文老师，她严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；李老师以丰富的科研经历，解说学问，侄释为师之道，旁征博引，使我受益匪浅.在此向李老师表示衷心的感谢!感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！- 19 -。

2007学年度第一学期高二年级数学期终考试卷（2008．1）一、选择题（ 4分×6＝24分 ）1、若在等差数列{a n }中a 2＋a 8=10，则a 3＋a 7的值等于 ( )(A)5 (B)9 (C)10 (D)112、下列程序： input"A=";1A=A*2A=A*3A=A*4A=A*5print Aend输出的结果A 是 （ ）（A ）5 （B ） 6 （C ） 15 （D ） 120 3、向量a ,b 满足(a -b )·(2a +b )=-4,且|a |=2,|b |=4,则a 与b 夹角的余弦值等于（ ）(A)21- (B)21 (C)1 (D)不存在 4、记两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且)(27417N n n n T S n n ∈++= 则nn n b a ∞→lim 等于 ( ) (A)47 (B)23 (C)34 (D) 7178 5、方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R )所表示的直线 ( )（A ）恒过定点(－2,3) （B ）恒过定点(2，3)（C ）恒过点(－2,3)和点(2，3) （D ）都是平行直线6、直线l 过点P (1,2)且M (2,3),N (4,－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是 ( )（A ）4x+y －6=0 （B ）x +4y －6=0（C ）3x+2y －7=0或4x+y －6=0 （D ）2x +3y －7=0或x +4y －6=0二、填空题（4分×8＝32分）7、已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1320,0123B A 则A ＋B ＝ ，A —2B ＝ ，AB ＝ 8、化简三阶行列式=f ce db a 0009、阅读下列流程图：则此流程图表示_________________________算法.10、已知数列{a n }成等差数列，且公差d ≠0，又a 1，a 3，a 9依次成等比数列，则1042931a a a a a a ++++＝________。

2002年（首届）上海市TI杯高二年级数学竞赛
佚名
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2002(000)003
【摘要】一、填空题(共8小题,前4小题每题6分,后4小题每题9分,满分60分)1.在数学中e(=2.718281828…)和π(=3.1415926535…)是两个重要的常数。

【总页数】3页(P38-40)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.2017年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
2.2016年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J], 熊斌;顾鸿达;李大元;黄华;忻重义
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2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ）A. 71 B. 71-C. 21D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。

连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。

不妨设AB =2，则22==AC PA，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM。

在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CMAM ACCM AMAMC。

2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A ）A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3]解：令ax32=，则有31||≤a，排除B 、D 。

由对称性排除C ，从而只有A 正确。

一般地，对k ∈R ，令kax 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。

由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k kk k k k k k ，所以31|}34|23|1{|minR=-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。

3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ）A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。

绝密★启用前2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．连分数的值为_____（精确到 ).2．计算：=______（精确到0.001）3．利用“开普勒第三定律：行星公转周期的平方和它们离太阳的平均距离的立方成正比”，可以计算太阳系行星绕太阳一周所需要的时间（即公转周期）.如果设地球离太阳的平均距离 个天文单位，已知地球绕太阳的公转周期 天，火星离太阳的平均距离 个天文单位，则火星的公转周期 ______天（精确到0.001天），合______年（精确到0.001年）. 4．使得是完全平方数的正整数 有____个.5．直线 与在区间 及 上函数 的图像分别交于点A 、B.则线段AB 的长等于AB 的长等于_____（精确到0.001）.6．计算： ______.7．底面直径为4、高为18的封闭圆柱，装半径为1的球，至多能装_______个. 8．不等式组: ，，的解集非空.则正整数n 的最大值为_____.………订…………○…※线※※内※※答※※题※※………订…………○…二、解答题9．求正整数n ，使得 ，其中， 表示不超过实数 的最大整数.10．如图，正方形ABCD 内接于椭圆，正方形EFGH 和正方形UHK 中的顶点E 、H 、I 在椭圆上，顶点K 、H 、G 在边AB 上，顶点J 在边HE 上，已知正方形ABCD 与正方形EFGH 的面积比为4：1求正方形UHK 与正方形EFGH 的面积比（精确到0.001).11．我们知道，约分后是，但按方法，居然也得.试求出所有分子和分母都是十进制两位正整数，分子的个位数与分母的十位数相同，且具有上述“奇怪”性质的真分数.12．求下面关于 、 混合组的解，，其中， ，.13．求出所有满足如下条件的十进制正整数 ： 是 位数，且 .14．将，1，2， ，2007这2007个数任意排列可得2007！个不同数列.问其中是否存在4个数列： ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ，使得 ?证明你的结论。