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高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。

2024年中考物理专题复习—电学“证明与推导”题汇总1.如果加在某一定值电阻两端的电压由U 1变化到U 2，通过该电阻的电流变化了ΔI 。

试推导：该定值电阻电功率的变化量为ΔP =（U 1+U 2)·ΔI 。

证明：∵2U P UI R==∴()()222221212121U U U U U U U U P R R R R+--∆=-==()()()()2121212121U U U U U U I I U U IR R ⎛⎫=+-=+-=+⋅∆ ⎪⎝⎭2.若某一定值电阻两端的电压变化了ΔU ，通过该电阻的电流由I 1变化到了I 2。

试推导：该定值电阻电功率的变化量为ΔP =（Ⅰ1+I 2)•ΔU 。

证明一：∵2P UI I R==∴()()()22222121212121P P P I R I R I I R I I I I R∆=-=-=-=+-()()()()()2121212121I I I R I R I I U U I I U=+-=+-=+⋅∆证明二：∵1212U UR I I ==，得：U 1I 2=U 2I 1∴ΔP =U 2I 2－U 1I 1=U 2I 2－U 1I 1+U 1I 2－U 2I 1=（I 1+I 2）(U 2－U 1)=（I 1+I 2）·ΔU3.在如图所示的电路中，电源电压为U 且恒定，R 0为定值电阻，滑动变阻器的最大阻值R max >R 0，电路中滑动变阻器也可看成消耗电能的用电器，其电功率大小与其接入电阻大小有关，当其电阻变化，通过其电流变化，它两端的电压也变化，那么由电功率公式P =UI 可知其电功率可能是变化的。

试推证：当R 滑=R 0时，滑动变阻器消耗的功率最大。

证明：设电源电压为U ，滑动变阻器两端电压为U 滑，通过的电流为I 滑，那么电路的总电阻R 总=R 滑+R 0，则0=+U I R R 滑滑，0==+UU I R R R R 滑滑滑滑滑()()222200000====+++4U U U U P U I R R R R R R R R R R R R -+ 滑滑滑滑滑滑滑滑滑滑由于U 、R 0是定值，所以当R 滑=R 0时，P 滑有最大值，最大值为24U R 。

部编版一年级语文上册新课标双减分层作业汉语拼音6.j q x1．看图写声母。

2．比一比，再写一写。

j——i q——g p——ɡp——q3．把音节补充完整。

n________ ________í d________________ī d________ t________t________ d________d________ 4．看图，把音节补充完整。

mò___ū___ú li___ǔ___uābá___é5．拼一拼，写一写。

j－ī→________j－ǘ→________ j－i－ā→________d－ú→________ q－________→qǔ q－i－ǎ→________n－ǚ→________ x－________→xù x－i－à→________ 6．读一读，写一写。

小ü小ü真稀奇，遇见n、l还是ü。

遇见y和j、q、x，去掉两点还读ü。

j—ǘ→() q—ǚ→() n—ǚ→()x—ǖ→() y—ǜ→() l—ǜ→() 7．照样子，分一分。

xi―→( x )―→( i )jiɑ―→()―→()―→()qiɑ―→()―→()―→()8．看图，把下面的音节连成一句话。

（1）huàgū gu hé huā（2）mù mǎwǒqígē ge hé9．捡贝壳，把含有韵母“ü”的音节找出来，写一写。

含有韵母“ü”的音节：10．看图选择正确音节，写在四线格中。

（一）读儿歌，回答问题。

小黄鸡，小黑鸡，欢欢喜喜在一起。

刨刨土，捉捉虫，青草地上做游戏。

11．找出声母是j、q、x的字。

(重复的只选第一个)12．小黄鸡和小黑鸡在一起做什么?用横线画出来。

（二）读一读，回答问题。

小鸡小鸡叽叽叽，爱吃小虫和小米。

小鸭小鸭嘎嘎嘎，扁扁嘴，大脚丫。

5 g k h教材简析本课包括五部分内容。

第一部分是三个声母ｇ、ｋ、ｈ，配有一幅图。

图上一只和平鸽衔着弯曲的橄榄枝飞来，鸽子的“鸽”提示ｇ的音，橄榄枝的形状提示ｇ的形。

湖边有水草和小蝌蚪，蝌蚪的“蝌”提示ｋ的音，小蝌蚪和水草构成的形状提示ｋ的形。

两个小孩坐在靠背椅上喝饮料，“喝”提示ｈ的音，椅子侧面的形状提示ｈ的形。

第二部分是ｇ、ｋ、ｈ与单韵母的拼音练习。

第三部分是ｇ、ｋ、ｈ的书写格式和笔画笔顺。

第四部分是三拼音，包括两项内容：一是以音节ｇｕā为例，借助图画教学三拼音的方法；二是三拼音的练习。

第五部分是认字，配有图画和一首儿歌。

画面上一个小哥哥在湖边画荷花，弟弟拉着妈妈在一边看。

学情分析学生已掌握了一些拼音的方法，但是三拼音还是第一次遇到，是教学的难点，孩子好奇很强，对新鲜的知识很愿意去接触，可以利用孩子的这种心理，让孩子在学习时充分发挥他们的积极性，老师可以利用课文图画和编顺口溜让学生掌握三拼连读的基本方法。

教学目标知识与技能1.学会ｇ、ｋ、ｈ 3个声母，读准音，认清形，正确书写。

2.2.读准ｇ、ｋ、ｈ与单韵母相拼的音节。

3.认识5个生字，会读儿歌。

过程与方法通过比较拼读，让学生初步学会三拼连读的拼音方法。

情感态度与价值观培养学生良好的书写，发音习惯。

教学重点1.读准个声母与单韵母e相拼的音节和它们的四个声调。

2.学习三拼连读的方法，练习三拼音。

教学难点教给学生三拼连读的拼音方法。

教学准备投影课件卡片教学时间两课时教学过程第一课时一、复习。

1、认读单韵母。

2、读声母b p m f。

二、学习声母及其音节。

1、看图。

图上画了什么？2、出示声母g。

学习发音。

3、形看图，编儿歌。

可以利用图编儿歌，也可以利用日常事物编儿歌。

如：鸽子鸽子ɡɡɡ。

9字带钩就是ɡɡɡ4、练习拼音。

出示音节ɡ――a ɡaɡ――e ɡeɡ――u ɡu学生试读，指名读，齐读。

5、出示带调音节。

ɡǎɡèɡēɡǔɡù自由读，指名读，齐读。

许生住在墨積洞。

南山脚下有一口井，井边有一棵银杏树，面对着银杏树开着一扇柴门，两间草房勉强能抵挡风雨。

但是许生只偏爱读书，他的老婆为别人做针线活勉强糊口维持家计。

有一天，许生的老婆实在是太饿了就哭着对许生说：“你一辈子也不参加科举，读书是为了什么？”许生笑着回答：“我的书读得还不好。

”“那么，做匠人的话也不行吗？”“匠人的事情我本来就没有学过怎么做？”“那做点买卖行不行？”“没有本钱怎么做？”老婆勃然大怒，大声说：“你没日没夜地读书，顶多会说‘怎么办？’吗？不能做匠人，买卖也做不了，那不如去偷东西吧！”许生放下了手中的书，起身回答：“真可惜... 我当初决心读10年书，现在7年了...”说完他就迅速转身夺门而出。

大街上，没有许生认识的人。

他径直走到云从街抓住一个路人问道：“谁是首尔城中首屈一指的富豪？”有人说是卞氏，于是许生就去找卞氏。

见到卞氏后许生先是行了大礼之后说道：“家里太穷所以想做点事情，希望借我一万两。

”卞氏只说了一句“好吧。

”并当场拿出一万两给了许生。

许生拿到一万两后连一声谢谢都没说就走掉了。

卞氏的子孙们一看许生，像个乞丐，衣衫褴褛，还流着一点鼻涕。

所以许生出门后困惑地马上问卞氏：“您认识他吗？”“不认识”“不会吧，大清早，您这么快决定借给不认识的人一万两，连名字都没有问。

这是为什么？”卞氏答道：“这你们不会明白。

一般向别人借东西的人都会先暗示自己的目的，并强调自己的信用而且脸上显露卑劣的气色，谈话间也会不自觉地重复说过的话。

可此人虽行色卑微，但言语简洁，眼神傲慢，脸上丝毫没有羞愧的表情，可以判断他是没有金钱也可以自我满足的人。

这样的人要做的事情绝非小事，我想试探他。

既然要给，而且是一万两，何必要问叫什么名字呢？”拿到一万两后许生没有回家而直接去了安城。

安城是京畿道和忠清道两地人们交流的地方，也是三南的路口。

在安城，许生以市价两倍的价格大量买进了大枣，栗子，柿子，梨和石榴，橘子，柚子等水果。

jqxy和u拼去掉两点口诀
1.小ü碰到jqx和大y，擦掉眼泪笑嘻嘻。

2.小ü小ü有礼貌，见了jqxy要摘帽。

3.jqxy4兄弟，见到小ü把点去。

4.小ü见大y，去掉两点还读ü。

拼音字母ü是否要去掉两点，与带不带音调无关，主要看与其相拼的声母。

《汉语拼音方案》有如下特点：
①只用国际通用的26个字母，不增加新字母；
②尽量不用附加符号（只用了两个附加符号）；
③尽量不用变读；
④采用i,u和隔音符号“'”来隔音；
⑤采用四个双字母zh,ch,sh,ng；
⑥采用四个声调符号来表示阴平、阳平、上声、去声四个调类；
⑦采用拉丁字母通用的字母表顺序，并确定了汉语拼音字母的名称。

并集练习题一、选择题：1. 集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B的结果为：A. {1,2,3,4,5}B. {1,2,3}C. {3,4,5}D. {1,2,3,4}2. 已知集合C={x|x<0}，集合D={x|x>5}，下列哪个集合是C∪D的子集？A. {x|x<=0}B. {x|x>0}C. {x|x<=5}D. {x|x>=5}3. 集合E={1,2}，集合F={2,3}，那么E∪F的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 对于任意两个集合M和N，下列哪个说法是正确的？A. M∪N总是包含M和N的所有元素B. M∪N是M和N的交集C. M∪N是M和N的差集D. M∪N是M和N的补集二、填空题：5. 如果集合G={x|x>3}，集合H={x|x<=3}，那么G∪H表示的数集是________。

6. 集合I={x|x是偶数}，集合J={x|x是奇数}，那么I∪J表示的数集是________。

7. 如果集合K={x|x是质数}，集合L={x|x是合数}，那么K∪L不包含的数是________。

三、解答题：8. 集合M={1,2,3}，集合N={2,4,5}，求M∪N，并说明其元素的个数。

9. 集合P={x|x是自然数}，集合Q={x|x是实数}，说明P∪Q表示的数集，并解释为什么。

10. 集合R={x|x是整数}，集合S={x|x是正数}，求R∪S，并解释这个集合的意义。

四、证明题：11. 证明对于任意两个非空集合X和Y，总有X∪Y≠空集。

12. 证明如果集合X={x|x是偶数}，集合Y={x|x是奇数}，则X∪Y=Z，其中Z是所有整数的集合。

五、应用题：13. 一个班级有30名学生，其中15名学生参加了数学竞赛，10名学生参加了物理竞赛，5名学生同时参加了数学和物理竞赛。

如果用集合A表示参加数学竞赛的学生，集合B表示参加物理竞赛的学生，求A∪B的元素个数。

第一章习题1.11．解 ⑴：A ={}19,17,13,11,7,5,3,2；⑵：B ={a , e , i ,m , n , o , r , t , u }； ⑶：C ={-3,2}。

2．解 ⑴ A ={x 1 x 79, x N }；⑵ B ={x x =2k +1, k N }； ⑶ C ={x x =5n , n I }。

3．解 ⑴：1，2，3，4，6，9，12，18，36； ⑵：a ，b ；⑶：1，{}3，{}{}a 。

习题1.21．解 互不相同。

⑴是不包含任何元素的空集，⑵是以空集为元素的单元素集合，⑶是以0为元素的单元素集合，但和⑵的集合中的元素不同。

2．证明 若d b c a ==,，则{}{}{}{}{}{}d c c b a a ,,,,=；反之，若{}{}{}{}{}{}d c c b a a ,,,,=，则 {}{}c a =，{}{}d c b a ,,=， 因此，d b c a ==,。

3．解 ⑴设{}A φ=，则(){,{}}P A φφ=；⑵设{,{}}B φφ=，则(){,{},{{}},{,{}}}P B φφφφφ=；⑶设{{,},{}}C a a φ=，则(){,{{,}},{{}},{{,},{}}}P C a a a a φφφ=； ⑷设{{,},{,,},{,,}}{{,}}D a b a a b b a b a b ==，则(){,{{,}}}P D a b φ=。

4．解 ⑴M T ；⑵N P ；⑶P T = 。

5．解 由题意可得：{}8,7,2,1=A ；{}7,6,5,4,3,2,1,0=B ；{}30,27,24,21,18,15,12,9,6,3,0=C ；{}64,32,16,8,4,2,1=D 。

⑴A (B (C D )) = A B C D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}； ⑵A (B (C D ))=；⑶因为，A C ={0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30},所以，B - A C ={4,5}； ⑷}6,5,4,3,0{=-=⋂A B B A ，D B A ⋃⋂)(={}64,32,16,8,6,5,4,3,2,0；6．解 ⑴、⑵的文氏图如图1-1所示，图中阴影部分表示所求集合。

u的特殊符号在我们的生活中，字母u是非常常见的一个字母，它在英语中被广泛使用，也在其他语言中被使用。

但是，你知道u还有一些特殊的符号吗？在本文中，我们将介绍u的各种符号及其用途。

1. üü是u的一个特殊符号，它在德语、法语、西班牙语、荷兰语等语言中被广泛使用。

ü的读音类似于“y”，它在德语中被称为“Umlaut”，表示发音时要将嘴唇向前突出。

在德语中，ü通常用于表示长音，例如“Hütte”（小屋）、“Müller”（米勒）。

在法语中，ü通常用于表示发音，例如“crème”（奶油）、“Nol”（圣诞节）。

在西班牙语中，ü通常用于表示发音，例如“Ping üino”（企鹅）、“Cigüea”（鹳）。

在荷兰语中，ü通常用于表示发音，例如“bureau”（办公室）。

2. ūū是u的一个特殊符号，它在拉丁文中被广泛使用。

ū表示长音，类似于“oo”的音。

在拉丁文中，ū通常用于表示元音字母u的长音，例如“lūna”（月亮）、“sūmus”（我们）。

3.是u的一个特殊符号，它在国际音标中被使用。

的发音类似于“u”的音，但是嘴唇的形状要比“u”的形状更圆。

在国际音标中，通常用于表示后圆唇元音，例如“cute”（可爱的）、“rude”（粗鲁的）。

4. ǔǔ是u的一个特殊符号，它在汉语拼音中被使用。

ǔ的发音类似于“oo”的音，但是要比“oo”的音更短，并且要加上一个声调。

在汉语拼音中，ǔ通常用于表示第三声，例如“nǔlì”（努力）、“hǔlǎn”（呼兰）。

5.是u的一个特殊符号，它在拉丁文中被使用。

表示u的发音要比普通的u更加圆润。

在拉丁文中，通常用于表示u的发音，例如“sdor”（汗水）、“cra”（护理）。

6.是u的一个特殊符号，它在尼日利亚语中被使用。

的发音类似于“u”的音，但是要比“u”的音更加短。

卤水配方大全配方一、原料：A．八角50克，白豆蔻50克，甘草50克，沙姜50克，花椒15克，小茴香10克，香茅25克，白胡椒10克，草果8个，肉豆蔻6个，草豆蔻6 个，香叶20片，丁香10克，罗汉果3个，蛤蚧2只，香菜籽50克，白芷10克，杜仲10克，南姜10克，良姜10克，砂仁10克，桂皮10克。

B．老母鸡3000克，金华火腿3000克，干贝250克，里脊肉10斤，猪棒骨10斤。

C．清水60斤。

D．小洋葱750克，南姜400克，大蒜150克。

E．色拉油1500克。

F．广州米酒800克，花雕酒1000克，冰糖1000克，海天金标生抽王1500克，美极鲜酱油170克，鱼露300克，老抽500 克，蚝油250克，味精150克，盐250克，鸡粉150克。

制作：1、A料用纱布包锅，放入沸水中大火煮10分钟捞出备用；B料中除干贝外，其余的原料均放入放入沸水中大火煮20分钟，捞出洗净备用。

2、将C料放入不锈钢桶中，放入汆水后的B料、干贝小火煲12小时，将B料取出，把原汤过滤后重新放入不锈钢桶中，加入A料小火煲2小时，放入F 料后小火煮30分钟。

3、D料洗净后切成厚片，放入烧至六成热的色拉油中小火浸炸5分钟至出香，捞出D料后把色拉油倒入汤料中调匀即可。

特点：口味咸鲜微甜，色泽红亮。

适用范围：可以用来卤制牛下货、猪下货、牛肉、野兔等。

配方二、原料：A．八角50克，花椒20克，香叶30克，陈皮25克，草果30克，丁香10克，甘草15克，罗汉果3个，沙姜25克，白豆蔻25克，肉豆蔻25 克。

B．葱200克，姜300克，蒜瓣300克，洋葱250克，胡萝卜250克，西芹200克，青椒150克，红椒100克，整棵香菜600克，干辣椒丝 25克。

C．冰糖1000克，白酱油500克，鱼露150克，山西陈醋150克，李锦记生抽2000克，桂花口急汁250克，龟甲万酱油300克，花雕酒 500克，玫瑰露酒150克，草菇老抽100克，精盐400克，味精300克，鸡粉250克。

2023届四川省内江市高三第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）(13i)(2)10z z +-=i z z z =A ．B ．C ．D ．1+i 1i-1i-+1i--【答案】A【分析】设，后由共轭复数，复数乘法，复数相等知识可得答案.i z a b =+【详解】设，则，i z a b =+i z a b =-()()(13i)(2)1013i 3i 10z z a b +-=⇔+-=，则()()9101933i=103301a b a a b a b a b b +==⎧⎧⇔++-⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩i =1+i z a b =+.故选：A2．已知全集，，，则（ ）R U ={}2430M x x x =-+≤∣{}2log 1N x x =≤∣()U M N ⋃= A ．B ．(,0](3,)-∞+∞ (3),-∞C ．D ．(,1)(3,)-∞+∞ (3)+∞【答案】A【分析】化简集合M ，N ，后由并集及补集定义可得答案.【详解】，则；()()243031013x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤{}13M x x =≤≤∣，则.222log 1log log 202x x x ≤⇒≤⇒<≤{}02N x x =<≤∣则或.{}(){030U M N x x M N x x ⋃=<≤⇒⋃=≤ }3x >故选：A3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为0[050501010010)5)[[)，、，、，、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和2[50)100，、[)200300，[)300500，“严重污染”六个等级，如图是某市4月1日至14．日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（ ）A ．从2日到5日空气质量越来越差B ．这14天中空气质量指数的中位数是214C ．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日D ．这14天中空气质量指数的平均数约为189【答案】D【分析】观察数据变化可判断A 项；将14天的空气质量指数由小到大依次排列，即可得出中位数，判断B 项；根据折线图及方差的概念可判断C 项；根据数据计算平均数可判断D 项.【详解】对于A 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，A 选项错误；对于B 选项：由图象可知，14天的空气质量指数由小到大依次为：80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，所以中位数为，B 选项错误；179214196.52+=对于C 选项：方差表示数据波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方差最小的是9日到11日，C 选项错误；对于D 选项：这14天中空气质量指数的平均数约为，D 选项正确；214275243157801552608316517913821422126318914+++++++++++++=故选：D.4．我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为（ ）A B C D ．2【答案】C【分析】先由三视图得到几何体的直观图，再分别求得棱长比较下结论.【详解】解：由三视图得该几何体如图所示：，故选：C 5．函数的部分图像大致为（ ）()()cos sin ln ||f x x x x x =+A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性排除选项C 、D ；再由，即可求解.()f x ππln 022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭【详解】函数的定义域为，()()cos sin ln ||f x x x x x =+{}|0x x ≠且，()()()()()cos sin ln cos sin ln f x x x x x x x x x f x -=--+--=--=-⎡⎤⎣⎦所以函数是奇函数，其函数图像关于对称，所以选项C 、D 错误；()f x ()0,0又，所以选项B 错误；ππππππcos sin ln ln 0222222f ⎛⎫=-+⋅=> ⎪⎝⎭故选：A.6．已知函数和有相同的极大值，则（ ）()e xxf x a =-ln ()x g x b x =+a b +=A ．2B ．0C ．-3D ．-1【答案】B【分析】利用导数法求得和的极大值，然后根据与有相同的极大值建立方程()f x ()g x ()f x ()g x 求解即可.【详解】，则，()e x xf x a =-()1e x x f x -'=令，解得，令，解得，()0f x ¢>1x <()0f x '<1x >所以在上单调递增，在上单调递减，()f x (),1-∞()1,+∞所以在处取得极大值，()f x 1x =()11e f a =-又，则，ln ()xg x bx =+()21ln x g x x -'=令，解得，令，解得，()0g x '<e x >()0g x '>0e x <<所以在上单调递增，在上单调递减，()g x ()0,e ()e,+∞所以在处取得极大值，()g x e x =()1e e g b =+依据题意，和有相同的极大值，()f x ()g x 故，所以，所以.()()1e f g =11e e a b -=+0a b +=故选：B.7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）A ．4B ．C ．D ．622【答案】C【分析】根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与球各面（含球面部分）都相切，18进而求半径最小值.【详解】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切，18此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角O A OA 线，且该小球与半球球面上的切点与共线，,O A所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即,OA 2故选：C8．位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太ABC ∠阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则ADC ∠DB 表高（即的长）约为（ ）（其中，）AC 3tan 32.55︒≈27tan 79.55︒≈A ．9.27米B ．9.33米C ．9.45米D ．9.51米【答案】C 【分析】根据题意，，进而代入数据求解即可.,tan tan AC ACBC CD ABC ADC ∠=∠=14BC CD -=【详解】解：如图，，32.579.5,1,4AD DB C C AB ∠∠===设表高，则由题知，，AC h =tan ,tan AC ACABC BC C ADC D ∠=∠=所以，,tan tan AC ACBC CD ABC ADC ∠=∠=因为，，，3tan 32.55︒≈27tan 79.55︒≈14=DB 所以，解得，5514327h h -=27189149.454020h =⨯==所以，表高（即的长）约为米.AC 9.45故选：C9．已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（）ABC ．3D ．2【答案】D【分析】结合圆锥的母线长和侧面积可求得底面圆的周长、半径，再得到轴截面的顶角，进而得到截面三角形顶角的取值范围，故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，即得解π2【详解】由圆锥的母线长为2，侧面积为，假设底面圆周长为，因此，l 122l ⨯⨯=故底面圆周长为由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径.故当截2π3面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时.π21π22sin 222S =⋅⋅⋅=故选：D【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和截面面积问题，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理，数学运算能力，为中档题10．已知双曲线上有不同的三点A 、B 、P ，且A 、B 关于原点对称，直线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>PA 、PB 的斜率分别为、，且，则离心率的值为（ ）PAk PBk 34PA PB kk ⋅=e A BCD【答案】B【分析】设，由斜率坐标公式求出，再利用点差法得，即可求出()22,P x y 12k k ⋅2222122221y y b ax x -=-，进而求得.2234b a =e【详解】设，，根据对称性，知，()11,A x y ()22,P x y ()11,B x y --所以.2221212122212121PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-因为点A ，P 在双曲线上，所以，两式相减，得，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2222212122x x y y a b --=所以，所以，所以，2222122221y y b a x x-=-2234PA PB b k k a ⋅==222274a b e a +==所以.e =故选：B11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若()()sin 0f x x ωω=>π2()g x 是的一个单调递增区间，且在上有5个零点，则（ ）π0,ω⎛⎫⎪⎝⎭()g x ()g x ()0,πω=A ．1B ．5C ．9D ．13【答案】B【分析】由题知，进而结合题意得，再根据在()()πsin 02g x x ωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭14,Z k k ω=-∈()g x 上有5个零点即可得答案.()0,π【详解】解：因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，()()sin 0f x x ωω=>π2()g x 所以，()()πsin 02g x x ωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭因为是的一个单调递增区间，π0,ω⎛⎫⎪⎝⎭()g x 所以，，即，解得，()10πsin 2g ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ππ2π22k ω-=-+14,Z k k ω=-∈因为在上有5个零点，作出其草图如图，()g x ()0,π所以，由上图可知，，解得 ，9π11ππ22ωω<≤91122ω<≤所以，当时，1k =-145k ω=-=故选：B 12．设，，，则（ ）13ln5a =2627b =4tan 5c =A ．B ．C ．D ．c b a >>c a b>>b c a>>a c b>>【答案】A【分析】利用正切函数单调性借助1比较b ，c 大小；根据对数结构构造函数比较()xf x e ex =-a ，b 大小，即可解答.【详解】因为在上单调递增，于是，即，tan y x =π(0,24π26tan tan 15427>=>c b >令，则，所以在上单调递减，()e e ,01xf x x x =-<<()e e 0x f x '=-<()f x (0,1)所以，即，()(1)0f x f >=e e xx >取，则，所以，即，2627x =2627262613e e 2.7 2.627275>⋅>⨯==2613ln275>b a >所以.c b a >>故选：A二、填空题13．已知，且，则向量在向量上的投影为__________.4,3a b == ()2a a b ⊥+ a b 【答案】83-【分析】先求出，再利用投影公式可得向量在向量上的投影.a b ⋅ a b【详解】因为，所以，即；()a a b⊥+ ()20a ab ⋅+=220a a b +⋅=由可得；4,3a b == 2211822a b a a ⋅=-=-=-则向量在向量上的投影为.a b 83a b b⋅=-故答案：.83-14．若的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是______.()53()2x a x +-4x 【答案】5【分析】利用赋值法令表达出展开式的各项系数和，求出，根据二项式展开式的通项公1x =1a =式计算即可得出结果.【详解】解：因为的展开式的各项系数和为32，()53()2x a x +-令，得，所以，1x =5(1)(21)32a +-=1a =又，()53535()22()()x a x x a x x a =+-+-+所以该展开式中的系数是．4x 1444552C 1C 1055a a a a ⋅⋅-⋅⋅=-=故答案为：515．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为23．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、12乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________．【答案】4172【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，2312若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，1212所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；1121111723222224P =⨯⨯+⨯⨯=（2）第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，1323若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，1223所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为.2112112523322318P =⨯⨯+⨯⨯=综上所述，甲、乙各胜一局的概率为.7541241872+=故答案为：.417216．已知，，P 是圆O ：上的一个动点，则的最大值为()1,0A -()3,0B 2249x y +=sin APB ∠_________.【答案】713【分析】设外接圆半径为R ，由正弦定理可得，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O 相内切PAB 时，最大.sin APB ∠【详解】设外接圆半径为R ，由正弦定理，，当外接PAB 22si n si n ABAB R APBAPB R=⇒=∠∠圆半径最小，即外接圆与圆O 相内切时，最大.sin APB ∠设外接圆圆心为M ，由题可得其在AB 中垂线上，可设其坐标为：.PAB ()1,x 则，，又圆M 与圆O 相内切，则圆心距等于半径之差，则R MA==MO =7=-.267=即外接圆半径为R 的最小值为.PAB 267则此时最大，最大值为.sinAPB ∠47522137AB R==故答案为：713三、解答题17．已知数列的前项和为，且满足，．{}n a n n S 12a =122n n S S +=+(1)求数列的通项公式．{}n a (2)记，求数列的前项和．()()12nn na b n n =++{}n b n nT【答案】(1)2nn a =(2)1212n n T n +=-+【分析】（1）方法一：由之间关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得；,n n a S {}n a n a 方法二：由已知关系式可证得数列为等比数列，由此可推导求得，利用之间关系可{}2n S +n S ,n n a S 求得；n a （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果.n b 【详解】（1）方法一：当时，由得：，即，1n =122n n S S +=+2122S S =+12122a a a +=+又，；12a =24a ∴=当时，，2n ≥11122222n n n n n n a S S S S a ++-=-=+--=又，满足，即当时，成立，12a =24a =212a a =1n =12n na a +=数列是以为首项，为公比的等比数列，.∴{}n a 22()2n n a n *∴=∈N 方法二：由得：，又，122n n S S +=+()1222n n S S ++=+11224S a +=+=数列是以为首项，为公比的等比数列，，∴{}2n S +42112422n n n S -+∴+=⨯=即，122n n S +=-当时，，2n ≥1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=又满足，.12a =2n n a =()2nna n *∴=∈N （2）由（1）得：，()()12221221n n nn n b n n n n +⋅==-++++.2132431112222222222213243541212n n n n n n T n n n n n -++∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++++18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(1)当，时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为1a =0b =n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．(3)记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断a 与b 分别取何值时，达到最小值．（只2s 2s 需写出结论）【答案】(1)m n =(2)分布列见解析(3)时，达到最小值0a b ==2s 【分析】（1）计算甲乙的平均数比较大小即可；（2）分析数据，列出X 的分布列并求出数学期望；（3）根据方差的性质，时，离散程度越小，达到最小值．0a b ==2s 【详解】（1）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为，101014182225273041432410+++++++++=乙组数据的平均数为，101820222331323130432610+++++++++=甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，5m =5n =所以；m n =（2）的可能取值为0，1，2，由（1）知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为5，X ，，，0255210C C 2(0)C 9P X ===1155210C C 5(1)C 9P X ===2055210C C 2(2)C 9P X ===X 的分布列为：X12P295929()252012 1.999E X ∴=⨯+⨯+⨯=（3）方差代表和中心偏离的程度，101820222331324324.8758+++++++=时，离散差越小，达到最小值．0a b ==2s 19．在中，，过点作，交线段于点（如图1），沿ABC 45,3ACB BC ∠==A AD BC ⊥BC D 将折起，使（如图2），点分别为棱的中点.AD ABD △90BDC ∠=,E M ,BC AC(1)求证：；CD ME ⊥(2)在①图1中，②图1中，③图2中三棱锥的体积最大.4tan23B =-2133AD AB AC =+ A BCD -这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.问题：已知__________，试在棱上确定一点，使得，并求平面与平面的CD N EN BM ⊥BMN CBN 夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质可得，结合中位线的性质可得，即CD AB ⊥ME AB ∥可证明；（2）选①：由二倍角的正切公式求出，进而求出BD ，选②：根据向量的线性运算求出tan BBD ，选③：设，利用线面垂直的判定定理和性质可得平面，则(03)BD x x =<<AD ⊥BCD ，利用导数求出体积的最大值，求出BD .分别建立如图空间直角坐标系，()321696A BCD V x x x -=-+利用向量法求出面面角即可；【详解】（1），平面，CD AD CD BD AD BD D ⊥⊥= ，，AD BD ⊂、ABD 平面平面.CD \^ABD AB ⊂ ，ABD CD AB ∴⊥，又分别为的中点，,M E ,AC BC .ME AB CD ME ∴∴⊥，∥（2）选①，在图1所示的中，由，ABC 242tan tan231tan BB B =-=-解得或（舍去）.tan 2B =1tan 2B =-设，在R t 中，，AD CD x ==ABD △tan 23AD xB BD x ===-解得.21x BD =∴=，以点为原点，分别为轴建立如图所示的坐标系，D ,,DB DC DA ,,x y z D xyz -，()()()()()10,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,,1,02D B C A M E ⎛⎫⎪⎝⎭则.()1,1,1BM =-设，则.()0,,0N a 1,1,02EN a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，即，解得，0EN BM EN BM ⊥∴⋅= ，()1,1,01,1,102a ⎛⎫--⋅-= ⎪⎝⎭12a =当（即是的靠近的一个四等分点）时，.10,,02N ⎛⎫∴∴ ⎪⎝⎭，12DN =N CD D EN BM ⊥设平面的一个法向量为，且，BMN (),,n x y z =11,,02BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由得令，则，0,0,n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,20,x y x y z ⎧-+=⎪⎨⎪-++=⎩1x =()1,2,1n =-取平面CBN 的一个法向量，()0,0,1m =则，cos ,m平面BMN 与平面∴CBN 选②，在图1所示的中，设，ABC BD BC λ=则，()()1AD AB BD AB BC AB AC AB AB ACλλλλ=+=+=+-=-+又，由平面向量基本定理知，即.2133AD AB AC =+ 13λ=1BD=以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，D ,,DB DC DA ,,x y z D xyz -，()()()()()10,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,,1,02D B C A M E ⎛⎫⎪⎝⎭则.()1,1,1BM =-设，则，()0,,0N a 1,1,0.02EN a EN BM EN BM ⎛⎫=--⊥∴⋅= ⎪⎝⎭ ，即，解得，()1,1,01,1,102a ⎛⎫--⋅-= ⎪⎝⎭110,,022a N ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭当（即是的靠近的一个四等分点）时，.∴12DN =N CD D EN BM ⊥设平面的一个法向量为，且，BMN (),,n x y z =11,,02BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由得令，则.0,0,n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,20,x y x y z ⎧-+=⎪⎨⎪-++=⎩1x =()1,2,1n =- 取平面的一个法向量，CBN ()0,0,1m =则，cos ,m平面与平面∴BMN CBN 选③，在图1所示的中，设，则，ABC (03)BD x x =<<3CD x =-为等腰直角三角形，.45AD BC ACB ADC ∠⊥=∴ ，，3AD CD x ∴==-折起后，且，平面，AD DC AD BD ⊥⊥，BD DC D = BD DC ⊂、BCD 平面，又，AD ∴⊥BCD ()19032BCD BDC S x x ∠=∴=- ，，()()()()32111133690,33326A BCD BCD V AD S x x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+∈ ，令，()()()()()3211691362f x x x x f x x x =-+-'=-，当时，；当时，，01x <<()0f x ¢>13x <<()0f x '<时，三棱锥的体积最大.1x BD ∴==A BCD -以点为原点，分别为轴建立如图所示直角坐标系，D ,,DB DC DA ,,x y z D xyz -，()()()()()0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1D B C A M ，则，1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,1,1)BM =- 设，则.()0,,0N a 1,1,02EN a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，即，0EN BM EN BM ⊥∴⋅= ，()1,1,01,1,102a ⎛⎫--⋅-= ⎪⎝⎭解得，110,,022a N ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，当（即是的靠近的一个四等分点）时，.∴12DN =N CD D EN BM ⊥设平面的一个法向量为，且，BMN (),,n x y z =11,,02BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由得令，则.0,0,n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,20,x y x y z ⎧-+=⎪⎨⎪-++=⎩1x =()1,2,1n =- 取平面的一个法向量，CBN ()0,0,1m =则，cos ,m平面与平面∴BMN CBN 20．若存在实数k ，b ，使得函数和对其定义域上的任意实数x 同时满足：()f x ()g x 且，则称直线：为函数和的“隔离直线”.已知()f x kx b ≥+()g x kx b≤+:l y kx b =+()f x ()g x ，（其中e 为自然对数的底数）.试问：()2f x x =()2lng x e x=（1）函数和的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；()f x ()g x （2）函数和是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说()f x ()g x 明理由.【答案】（1）存在，交点坐标为；（2）存在，)e y e=-【分析】（1）构造函数，求导得到函数的单调区间，得到函数在()()()F x f x g x =-x 最小值为0，得到答案.（2）设直线，根据得到，再证明恒成立，(y e k x -=()f x kxe≥-k =()g x e≤-令，求导得到单调区间，计算最值得到证明.()()G x e g x =--【详解】（1）∵，()()()()22ln 0F x f x g x x e x x =-=->∴，令，得()22e F x xx '=-=()0F X '=x=当时，，，0x <<()0F X '<x >()0F X '>故当取到最小值，最小值是0，x ()F x 从而函数和的图象在.()f x ()g x x )e （2）由（1）可知，函数和的图象在()f x ()g x x =因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，()f x ()g x设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为，(y e k x -=即，y kx e =-由，可得在上恒成立，()()f x kx e x R ≥-∈20x kx e -+-≥x R ∈则，只有(22440k e k ∆=-=-≤k =此时直线方程为：，下面证明恒成立，y e =-()g x e≤-令，()()2ln G x e g x e e x=--=--，()2e G x x '===x ()0G X '=当时，函数单调递减；，函数单调递增，0x <<()0G X '<x >()0G X '>则当取到最小值是0，x ()G x所以，则当时恒成立.()()0G x e g x =--≥()g x e≤-0x >∴函数和存在唯一的隔离直线.()f x ()g x y e =-【点睛】本题考查了函数图像的交点问题，求新定义“隔离直线”方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、1C O 1F 2F 2C O 为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的一个交点，且为钝角，，2F A 1C 2C 21AF F ∠172AF =．252AF =(1)求曲线和所在椭圆和抛物线的方程；1C 2C(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别和曲线和交于、、、四点，若为的2F x 1C 2C B E C D G CD 中点，为的中点，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．H BE 22BE GF CD HF ⋅⋅【答案】(1)椭圆方程为，抛物线方程为．2231982x y x ⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭2342y x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭(2)是，且223BE GF CD HF ⋅=⋅【分析】（1）设椭圆方程为，利用椭圆定义可求得的值，设、()222210x y a b a b +=>>a (),A x y 、，利用两点间的距离公式和抛物线的定义可得出关于、、的方程组，结合()1,0F c -()2,0F c x y c 已知条件得出，解出的值，即可得出椭圆和抛物线的方程；1x >c （2）设、、、，设直线的方程为，其中，()11,B x y ()22,E x y ()33,C x y ()44,D x y BE 1x my =+0m ≠将直线的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定可计算出BE 的值，即可得出结论.22BE GF CD HF ⋅⋅【详解】（1）解：设椭圆方程为，则，得，()222210x y a b a b +=>>12752622a AF AF =+=+=3a =设、、，抛物线方程为，其中，(),A x y ()1,0F c -()2,0F c 24y cx =0c >则，，()22272x c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()22252x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭两式相减得，由抛物线定义可知，32xc =252AF x c =+=因为为钝角，则，解得，21AF F ∠x c >132c x =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，椭圆方程为，抛物线方程为．2231982x y x ⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭2342y x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭（2）解：设、、、，()11,B x y ()22,E x y ()33,C x y ()44,D x y 设直线的方程为，其中，BE 1x my =+0m ≠联立可得，2218972x my x y =+⎧⎨+=⎩()228916640m y my ++-=由韦达定理可得，，1221689m y y m +=-+1226489y y m =-+联立可得，由韦达定理可得，，214x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=344y y m +=344y y =-所以，22B E C GF D HF ⋅=⋅.3===【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保1C 持不变，纵坐标缩短为原来的得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极122C O x 坐标系．曲线的极坐标方程为．1C ρ4cos α=（1）求曲线的参数方程；2C （2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大M MNPQ 2C MNPQ 值，并求周长最大时点的坐标．M 【答案】（1）（2）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩M 【分析】（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参1C 2C 数方程；（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长()2cos ,sin 02M πθθθ≤≤（）8cos 4sin l θθ=+的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.l M 【详解】解：（1）由得4cos ρα=24ρcos ρα=将代入，整理得曲线的普通方程为，222=cos x y x ρρα⎧+⎨=⎩1C ()2224x y -+=设曲线上的点为，变换后的点为1C (',')x y (,)x y由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得='21'2x x y y -⎧⎪⎨=⎪⎩'=2'2x x y y +⎧⎨=⎩1C 曲线的普通方程为 ，2C 2214x y +=曲线的参数方程为(为参数).∴2C 2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩θ（2）设四边形的周长为，设点，MNPQ l ()2cos ,sin 02M πθθθ≤≤（），8cos 4sin l θθ=+=θθ⎫⎪⎭()θϕ=+且cos ϕ=sin ϕ= ，02πθ≤≤ ++2πϕθϕϕ∴≤≤()sin sin 12πϕθϕ⎛⎫∴+≤+≤ ⎪⎝⎭． max l ∴=且当时，取最大值，此时，2πθϕ+=l 2πθϕ=-所以，.2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==M 【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.23．已知函数（）．()224=-++f x x x a x ∈R (1)若，求证：；1a =()4f x ≥(2)若对于任意，都有，求实数a 的取值范围．[]1,2x ∈()4f x ≤【答案】(1)证明见解析；(2).30a -≤≤【分析】（1）法一：由绝对值的几何意义及二次函数的性质即可证结论；法二：讨论、2x ≥分别求的范围，即可证结论.2x <()f x （2）将问题化为在上恒成立，即可求参数a 的范围.2222--≤-+≤a x x x x [1,2]x ∈【详解】（1）法一：，而，()22|24|125=-++≥-+f x x x x x 2225(1)44x x x -+=-+≥所以．()4f x ≥法二：当时，，2x ≥()()22325≥=+-=f x x x f 当时，，2x <()()22514≥=-+=f x x x f 综上，．()4f x ≥（2）当时，，[1,2]x ∈()242=-++f x x x a 由，得， ()4f x ≤2222--≤-+≤a x x x x 设，，()22=--h x x x ()22g x x x =-+对任意有恒成立，所以，[1,2]x ∈()4f x ≤()()max min h x a g x ≤≤因为在上，，[]1,2()()max 13h x h ==-()()min 20g x g ==所以．30a -≤≤。

一年级语文上册单元测试题（1-4单元）一年级单元评估测试(-单元)一把声母和韵母补充完整。

二读音节，把音节中的声母写在括号里。

òéāǎǔǐàōàāāù三拼一拼，试一试，不能相拼的在里面×。

四把拼好的音节写在四线格内。

五拼读下面的儿歌，按要求填写。

àèíīāǎ，ǒààìèá，èěéùǔèǎ，ěǎīìèáǎ’éēōúīēīèāàá把儿歌中读轻声的音节抄下来。

ǎ’éēōěǐèúīèāàá把儿歌中的整体认读音节抄下来。

ěūàǒàèēǔīé写出带有下列声母的音节。

一年级日月水火练习题一看拼音写汉字。

ìèǐǒāí二想一想，然后填空。

òàìàì日，共画，第三画是。

月，共画，第二画是。

水，共画，第四画是。

火，共画，第二画是。

三照样子按笔顺写字。

日水火山四读一读，记一记下面的节日。

一月一日āà六月一日éóé三月八日ùǚé七月一日ǎēì三月十二日íùé八月一日àūé五月一日áòé九月十日àīé五读一读，猜一猜，写出谜底。

ǒíààāā，ǒíààùā，ǒíàèáá，ǒíàǎáā。

、希腊字母：α——阿尔法β——贝塔γ——伽马Δ——德尔塔ξ——可sei ψ——可赛ω——奥秘噶μ——米哟λ——南木打σ——西格玛τ——套φ——fai2、数学运算符：∑—连加号∏—连乘号∪—并∩—补∈—属于∵—因为∴—所以√—根号‖—平行⊥—垂直∠—角⌒—弧⊙—圆∝—正比于∞—无穷∫—积分≈—约等≡—恒等3、三角函数：sin—赛因cos—考赛因tan—叹近体cot—考叹近体sec—赛看近体csc —考赛看近体序号大写小写英文注音国际音标注音中文注音1 Α α alpha a:lf 阿尔法2 Β β beta bet 贝塔3 Γ γ gamma ga:m 伽马4 Δ δ delta delt 德尔塔5 Ε ε epsilon ep`silon 伊普西龙6 Ζ ζ zeta zat 截塔7 Η η eta eit 艾塔8 Θ θ thet θit 西塔9 Ι ι iot aiot 约塔10 Κ κ k appa kap 卡帕11 Λ λ lambda lambd 兰布达12 Μ μ mu mju 缪13 Ν ν nu nju 纽14 Ξ ξ xi ksi 克西15 Ο ο omicron omik`ron 奥密克戎16 Π π pi pai 派17 Ρ ρ rho rou 肉18 Σ σ sigma `sigma 西格马19 Τ τ tau tau 套20 Υ υ upsilon jup`silon 宇普西龙21 Φ φ phi fai 佛爱22 Χ χ c hi phai 西23 Ψ ψ psi psai 普西24 Ω ω omega o`miga 欧米伽希腊字母的正确读法是什么？1 Α α alpha a:lf 阿尔法2 Β β beta bet 贝塔3 Γ γ gamma ga:m 伽马4 Δ δ delta delt 德尔塔5 Ε ε epsilon ep`silon 伊普西龙6 Ζ ζ zeta zat 截塔7 Η η eta eit 艾塔8 Θ θ thet θit 西塔9 Ι ι iot aiot 约塔10 Κ κ kappa kap 卡帕11 ∧λ lambda lambd 兰布达12 Μ μ mu mju 缪13 Ν ν nu nju 纽磁阻系数14 Ξ ξ xi ksi 克西15 Ο ο omicron omik`ron 奥密克戎16 ∏ π pi pai 派17 Ρ ρ rho rou 肉18 ∑ σ sigma `sigma 西格马19 Τ τ tau tau 套20 Υ υ upsilon jup`silon 宇普西龙21 Φ φ phi f ai 佛爱22 Χ χ chi phai 西23 Ψ ψ psi psai 普西角速；24 Ω ω omega o`miga 欧米伽希腊字母读法Αα：阿尔法AlphaΒβ：贝塔BetaΓγ：伽玛GammaΔδ：德尔塔DelteΕε：艾普西龙Epsilonζ ：捷塔ZetaΖη：依塔EtaΘθ：西塔ThetaΙι：艾欧塔IotaΚκ：喀帕Kappa∧λ：拉姆达LambdaΜμ：缪MuΝν：拗NuΞξ：克西XiΟο：欧麦克轮Omicron∏π：派PiΡρ：柔Rho∑σ：西格玛SigmaΤτ：套TauΥυ：宇普西龙UpsilonΦφ：fai PhiΧχ：器ChiΨψ：普赛PsiΩω：欧米伽Omega数学符号大全2008年01月29日星期二 15:25因为自然科学的讨论经常要用到数学，但用文本方式只能表达L!t d5w x r ^ |$s Y 左右结构的数学公式，上下结构、根式、指数等都很难表达。

汉语拼音字母写法顺序汉语拼音字母写法顺序汉语拼音采用拉丁字母和一些附加符号表示汉语的发音。

对应汉语音系学(现代音韵学)的汉语音节结构划分，汉语拼音的形式构成也分为声母、韵母和声调三部分。

下面是小编精心为大家整理的26个拼音字母表，欢迎阅读。

26个拼音字母表汉语拼音字母：Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Jj Kk Ll Mm Nn Oo pp Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Xx Yy Zz汉语拼音声母：b [玻] p [坡] m [摸] f [佛] d [得] t [特] n [讷] l [勒] g [哥] k [科] h [喝] j [基] q [欺] x [希] z [资] c[;雌] s [思] r [日] zh[知] ch [嗤] sh [诗] y [医] w [巫]汉语拼音韵母：单韵母 a[阿] o[喔] e[鹅] i[衣] u[乌] ü[迂]复韵母 ai[哀] ei[唉] ui[威] ao[奥] ou[欧] iu[由] ie[耶] üe[椰] er[儿] 前鼻韵母 an[安] en[恩] in[因] un[温]后鼻韵母 ang[昂] eng[摁] ing[英] ong[雍]整体认读音节：zi ci si zhi chi shi ri yi wu yu yin ying yun ye yue yuan声调符号:阴平：- 阳平：/ 上声：∨ 去声：﹨汉语拼音采用拉丁字母和一些附加符号表示汉语的发音。

对应汉语音系学(现代音韵学)的汉语音节结构划分，汉语拼音的形式构成也分为声母、韵母和声调三部分。

根据汉语拼音方案《字母表》的规定，汉语拼音使用26个现代基本拉丁字母，有大小写之分，字母顺序与英语字母表一致。

其中字母V/v，在方案中规定为“拼写外来语、少数民族语言和方言”之用。

由于汉语拼音的实际职能仅限于拼写汉语普通话，如今这条规定已然无人问津。

移动联通GSM频率划分联通的（有用）频段只有移动的1/4，容量少于移动的1/8！（详细的分析见下文）频段窄，意味着什么？干扰大，不易呼叫，通话有杂音，易掉话……这才是联通差于移动的根本原因，制度、管理都是果。

根据目前的咨询，国家仍没有重新划分频率的计划。

当移动的兄弟因为国家让自己扛起TD民族产业的大旗不是责无旁贷一肩挑起而是叫屈喊冤鸣不平的时候，可曾想到自己或明或暗已经享受了多少不公平的利益！附：目前的频率划分一般说来，GSM900的工作频段为890~960MHz，其中上行频率为890~915 MHz ，下行频率为935~960 MHz，也称PGSM（基本GSM）；EGSM900（扩展GSM）频段上行频率为880~890 MHz ，下行频率为925~935 MHz；GSM1800的工作频段为1710~1880，其中上行频率为1710~1785 MHz ，下行频率为1805~1880 MHz，也称DCS1800；其中GSM1800频段中我国政府批准使用的上行频率为1710~1755 MHz ，下行频率为1805~1850 MHz。

那么以上频率中移动和联通是如何划分的呢？最初国家分配给模拟移动通信网的频段为[885-905，930-950]，共20M；移动GSM900频段为[905-909，950-954]，共4M；移动GSM1800频段为[1710-1720，1805-1815]，共10M；联通GSM900频段为[909-915，954-960]，共6M；联通GSM1800频段为[1745-1755，1840-1850]，共10M；GSM1800频段，目前中国移动和中国联通各申请分配了10MHz的资源，移动的频点范围是512~561，联通为687~736.后来模拟撤网，移动"理所当然"地将原模拟网的20M频率资源转为GSM900频率，这样移动GSM共使用频率资源34M，联通使用了16M。

分解与组合音节练习(一)例：shùn→( sh )—( ùn )chūn→( )—( ) jià→( )—( ) —( ) ruǐ→( )—( )qiào→( )—( ) —( ) （）--( ) →xǔb--ǐ→( )jiāo→( )--( )--( ) qiū→q—( ) g—( )→guǐ( )----( )→sūj—（）→júq---（）→qūn----（）→nàl-----ǘ→（）g----ùn→（）b----ān →（）t—( )→tā( )—ú→zúsh—( )→shùg—( )—( )→guāj—( )→jùn—( )→néi y ----àn →（）zh ---- u ---- ó→（）xù→（）—（）f---( ) →fěi fēi →（）----（）mèi→（）--（）b—i→( ) k—( )—ā→kuā( )—( ) →qùs —( ) →su ( )—u—ō→guō( )—á→zhájiù→( )—( ) y—( ) →yǒun—ǚ→（）x—ǜ→（）zh—ou→( ) d—ú→（）分解与组合音节练习(一)例：shùn→( sh )—( ùn )chūn→( )—( ) jià→( )—( ) —( ) ruǐ→( )—( )qiào→( )—( ) —( ) （）--( ) →xǔb--ǐ→( )jiāo→( )--( )--( ) qiū→q—( ) g—( )→guǐ( )----( )→sūj—（）→júq---（）→qūn----（）→nàl-----ǘ→（）g----ùn→（）b----ān →（）t—( )→tā( )—ú→zúsh—( )→shùg—( )—( )→guāj—( )→jùn—( )→néi y ----àn →（）zh ---- u ---- ó→（）xù→（）—（）f---( ) →fěi fēi →（）----（）mèi→（）--（）b—i→( ) k—( )—ā→kuā( )—( ) →qùs —( ) →su ( )—u—ō→guō( )—á→zhájiù→( )—( ) y—( ) →yǒu n—ǚ→（）x—ǜ→（）zh—ou→( ) d—ú→（）赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

n和u数学符号数学符号是人类智慧的结晶，是帮助人类探究自然和解决实际问题的强有力工具。

其中，n和u数学符号是两种非常重要的符号，它们的作用不仅仅局限于数学领域，还渗透到了物理、化学、计算机等多个领域。

一、n数学符号n符号最初来源于希腊字母nu，它的形状类似于小写的v，表示自然数中的任意一个数。

在数学中，常见的n符号有以下几种用法：1.代表任意一个自然数在数学证明中，经常需要假设一个数为任意一个自然数，可以用n来代表这个数，如“对任意一个自然数n，都有n+1比n大1”的结论。

2.表示正无穷在极限的概念中，n常用来表示一列无限逼近于正无穷的数列，如“当n趋于正无穷时，1/n趋于0”。

3.表示集合中元素的个数在集合论中，n常用来表示集合中元素的个数，如“集合A中元素的个数为n”。

4.表示整数环中的元素在代数学中，n可以表示整数环中的元素，如“n∈Z”。

二、u数学符号u符号最初来源于希腊字母mu，它的形状类似于小写的u，表示求和符号。

在数学中，常见的u符号有以下几种用法：1.求和在数列中，u可以用来表示对数列中每个元素的求和，如“u（i=1到n）a_i”，表示对数列a中的所有元素求和。

2.求平均对于数列中的元素，u也可以用来表示求平均数，如“平均得分为u（i=1到n）a_i/n”。

3.表示概率在概率论中，u也可以用来表示概率，如“事件A发生的概率为u（i=1到n）P(Ai)”。

4.表示时间积分在物理中，u可以用来表示时间积分，如“小球的速度为u（0到T）a(t)dt”。

总结n和u符号是数学中不可或缺的重要符号，它们在各个领域中有着广泛的应用。

除了以上介绍的几种用法外，n和u符号还有更多的用法，如在数论、代数、微积分、统计学等领域中。

通过学习和掌握这些符号的用法，可以更深入地理解数学和各个领域中的问题，提高解决问题的能力和创新思维。

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}A．-1B．1C．1-iD．1+iA．B．（2023•甲卷）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，则N∪∁U M=（ ）答案：A解析：由已知结合集合补集及并集运算即可求解．解答：解：因为U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，所以∁U M={2，3，5}，则N∪∁U M={2，3，5}．故选：A．（2023•甲卷）=（ ）5（1+）i 3（2+i ）（2-i ）答案：C解析：直接利用复数的运算法则化简求解即可．解答：解：==1-i.故选：C．5（1+）i 3（2+i ）（2-i ）5（1-i ）5（2023•甲卷）已知向量a =（3，1），b =（2，2），则cos 〈a +b ，a -b 〉=（ ）→→→→→→117√171755答案：B解析：根据题意，求出a +b 和a -b 的坐标，进而求出|a +b |、|a -b |和（a +b ）•（a -b ）的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．→→→→→→→→→→→→A．B．C．D．A．25B．22C．20D．15解答：解：根据题意，向量a =（3，1），b =（2，2），则a +b =（5，3），a -b =（1，-1），则有|a +b |==，|a -b |==，（a +b ）•（a -b ）=2，故cos 〈a +b ，a -b 〉==故选：B．→→→→→→→→√25+9√34→→√1+1√2→→→→→→→→（a +b ）•（a -b ）→→→→|a +b ||a -b |→→→→（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）16131223答案：D解析：从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n==6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m==4，由此能求出这2名学生来自不同年级的概率．C 42C 21C 21解答：解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n==6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m==4，则这2名学生来自不同年级的概率为P===．故选：D．C 42C 21C 21m n 4623（2023•甲卷）记S n 为等差数列{a n }的前n项和．若a 2+a 6=10，a 4a 8=45，则S 5=（ ）答案：C解析：由已知结合等差数列的性质及通项公式先求出a 1，d,然后结合等差数列的求和公式可求．A．21B．34C．55D．89解答：解：等差数列{a n }中，a 2+a 6=2a 4=10，所以a 4=5，a 4a 8=5a 8=45，故a 8=9，则d==1，a 1=a 4-3d=5-3=2，则S 5=5a 1+d =10+10=20．故选：C．-a 8a 48-45×42（2023•甲卷）执行下边的程序框图，则输出的B=（ ）答案：B解析：模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出B的值．解答：解：模拟执行程序框图，如下：n=3，A=1，B=2，k=1，k≤3，A=1+2=3，B=3+2=5，k=2，k≤3，A=3+5=8，B=8+5=13，k=3，k≤3，A=8+13=21，B=21+13=34，k=4，k＞3，输出B=34．故选：B．A．1B．2C．4D．5A．y=xB．y=xD．y=x+（2023•甲卷）设F 1，F 2为椭圆C：+y 2=1的两个焦点，点P在C上，若P •P =0，则|PF 1|•|PF 2|=（ ）x 25→F 1→F 2答案：B解析：根据题意，分析可得∠F 1PF 2=，由椭圆的标准方程和定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|2+|PF 2|2=（2c）2，将两式联立可得|PF 1|•|PF 2|的值即可．π2解答：解：根据题意，点P在椭圆上，满足P •P =0，可得∠F 1PF 2=，又由椭圆C：+y 2=1，其中c 2=5-1=4，则有|PF 1|+|PF 2|=2a=2，|PF 1|2+|PF 2|2=（2c）2=16，可得|PF 1|•|PF 2|=2，故选：B．→F 1→F 2π2x 25√5（2023•甲卷）曲线y=在点（1，）处的切线方程为（ ）e xx +1e 2e 4e 2e 23e4答案：C解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程．解答：解：因为y=，y′==，故函数在点（1，）处的切线斜率k=，切线方程为y-=（x-1），即y=x +．故选：C．e xx +1（x +1）-（x +1）′e x e x（x +1）2xe x（x +1）2e 2e 4e 2e 4e 4e 4D．A．1B．C．2D．3（2023•甲卷）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，则|AB|=（ ）x 2a 2y 2b 2√55554√55答案：D解析：利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可．解答：解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c=a,所以b=2a,所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x,一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，所以|AB|=2故选：D．x 2a 2y 2b 2√5√55（2023•甲卷）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=，则该棱锥的体积为（ ）√6√3答案：A解析：取AB的中点D，连接PD、CD，可得AB⊥平面PCD，再求出△PCD面积，然后利用棱锥体积公式求解．A．b＞c＞aB．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b解答：解：如图，PA=PB=2，AB=BC=2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD=D，PD、CD ⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD=CD==，在△PCD中，由PD=CD=，PC=，得PD 2+CD 2=PC 2，则PD⊥CD，∴=×PD ×CD =××=，∴=×AB=××2=1．故选：A．√-2212√3√3√6S △PCD 1212√3√332V P -ABC 13S △PCD 1332（2023•甲卷）已知函数f（x）=．记a=f（），b=f（），c=f（），则（ ）e -（x -1）2√22√32√62答案：A解析：令g（x）=-（x-1）2，先利用作差比较法及一元二次函数的性质，可得g g g ，再根据y=e x 的单调性，即可求解．222解答：解：令g（x）=-（x-1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x=1，∵-1-（1-）=-，而（+-=9+6-16=6-7＞0，1-（1=＞0，1＞1√62√32+√6√3242√6√3）242√2√2+-4√6√322222A．1B．2C．3D．41-（1=，而（+-=4-8＜0，1＜1gg，综合可得g （）＜g （）＜g （），又y=e x 为增函数，∴a＜c＜b,即b＞c＞a.故选：A．22+-4√6√22√6√2）242√32222√22√62√32（2023•甲卷）函数y=f（x）的图象由y=cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y=f（x）的图象与直线y=x-的交点个数为（ ）π6π61212答案：C解析：利用三角函数的图象变换，求解函数的解析式，然后判断两个函数的图象交点个数即可．解答：解：y=cos （2x+）的图象向左平移个单位长度得到f （x）=cos（2x+）=-sin2x,在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y=f（x）的图象与直线y=x-的交点个数为：3．故选：C．π6π6π21212（2023•甲卷）记S n 为等比数列{a n }的前n项和．若8S 6=7S 3，则{a n 答案：见试题解答内容解析：由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．解答：解：等比数列{a n }中，8S 6=7S 3，则q≠1，所以8×=7×，解得q=-．故答案为：-．（1-）a 1q 61-q（1-）a 1q 31-q1212（2023•甲卷）若f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a=2．π2答案：2．解析：根据题意，先化简函数的解析式，结合偶函数的定义可得关于a的方程，解可得答案．解答：解：根据题意，设f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）=x 2-2x+ax+1+cosx,若f（x）为偶函数，则f（-x）=x 2+2x-ax+1+cosx=x 2-2x+ax+1+cosx=f（x），变形可得（a-2）x=0在R上恒成立，必有a=2．故答案为：2．π2（2023•甲卷）若x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 15．{3x -2y ≤3，-2x +3y ≤3x +y ≥1，答案：15．解析：作出不等式组对应的平面区域，结合z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z=3x+2y得y=-x+，{3x -2y ≤3，-2x +3y ≤3x +y ≥1，32z 2则表示直线在y轴截距，截距越大，z越大，结合图形可知，当直线y=-x+经过点A时，z最大，联立可得A（3，3），此时z取得最大值15．z 232z 2{3x -2y =3-2x +3y =3（2023•甲卷）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，O为AC 1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 [2，2]．√2√3答案：[2，2]．√2√3解析：当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小．解答：解：设球的半径为R，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC 1==4，即2R′=4，R′=2，故R max =2，分别取侧枝AA1，BB 1，CC 1，DD 1的中点M，H，G，N，则四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG=4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径最小，即R的最小值为2，综上，球O的半径的取值范围是[2，2]．故答案为：[2，2]．√++424242√3√3√3√3√2√2√2√3√2√3（2023•甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知=2．（1）求bc；（2）若-=1，求△ABC面积．+-b 2c 2a 2cosAacosB -bcosA acosB +bcosAb c 答案：见试题解答内容解析：（1）由已知结合余弦定理进行化简即可求解bc；（2）先利用正弦定理及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A，然后结合三角形面积公式可求．解答：解：（1）因为==2bc=2，所以bc=1；（2）-=-=1，所以-==1，所以sin（A-B）-sinB=sinC=sin（A+B），所以sinAcosB-sinBcosA-sinB=sinAcosB+sinBcosA，即cosA=-，由A为三角形内角得A=，△ABC面积S=bcsinA=×1+-b 2c 2a 2cosA2bccosA cosA acosB -bcosA acosB +bcosAb c sinAcosB -sinBcosA sinAcosB +sinBcosA sinB sinC sin （A -B ）sin （A +B ）sinB sinCsin （A -B ）-sinB sinC 122π3121224（2023•甲卷）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．（1）证明：平面ACC 1A 1⊥平面BB 1C 1C；（2）设AB=A 1B，AA 1=2，求四棱锥A 1-BB 1C 1C的高．答案：（1）证明见解答；（2）四棱锥A 1-BB 1C 1C的高为1．解析：（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面ACC 1A 1⊥平面BB 1C 1C；（2）利用已知可得A1C=AC，进而可得A1C=AC=，过A1作A1O⊥C1C于O，可得A 1O为四棱锥A1-BB1C1C的高，求解即可．√2解答：解：（1）∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面 BCC1B1；（2）∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，∴BC⊥AC，BC⊥A1C，∵AB=A1B，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴A1C=AC，∵A1C⊥底面ABC，AC⊂面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C2+AC2=A1A2，∵AA1=2，∴A1C=AC=，∴A1C1=，过A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C=A1C1，∴O为CC1的中点，∴A1O=C1C=A1A=1，由（1）可知A1O⊥平面 BCC1B1，∴四棱锥A1-BB1C1C的高为1．√2√21 21 2（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；＜m≥m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K 2=，P（K 2≥k）0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.635n （ad -bc ）2（a +b ）（c +d ）（a +c ）（b +d ）答案：（1）19.8．（2）（i）中位数是23.4；列联表是＜m ≥m 合计对照组61420试验组14620合计202040（ii）有95%的把握认为有差异．解析：（1）根据平均数的定义计算即可．（2）（i）把两组数据合在一起，按从小到大排列后求中位数m,填写列联表即可；（ii）根据列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论．解答：解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为x =×（7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1=19.8．（2）（i）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，…，所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以这组数据的中位数是m=×（23.2+23.6）=23.4；填写列联表如下：＜m ≥m 合计对照组61420试验组1462012012合计202040（ii）根据列联表中数据，计算K 2==6.4＞3.841，所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．40×（6×6-14×14）220×20×20×20（2023•甲卷）已知函数f（x）=ax-，x∈（0，）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）+sinx＜0，求a的取值范围．sinx co xs 2π2答案：（1）f（x）在（0，）上单调递减；（2）（-∞，0]．π2解析：（1）先求导函数，再判断导函数的符号，即可求解；（2）设g（x）=f（x）+sinx=ax -+sinx ，x∈（0，），利用其二阶导函数的符号可得一阶导函数在（0，）上单调递减，再根据g（x）=f（x）+sinx＜0及g （0），可得g′（0）=a-1+1≤0，再分类讨论验证，即可求解．sinx co xs 2π2π2解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x -，x ∈（0，），∴f′（x）=1-=1-=，令t=cosx,∵x ∈（0，），∴t∈（0，1），∴cos 3x+cos 2x-2=t 3+t 2-2=（t-1）（t 2+2t+2）=（t-1）[（t+1）2+1]＜0，又cos 3x=t 3＞0，∴f′（x）==＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减；（2）设g（x）=f（x）+sinx=ax -+sinx ，x∈（0，），则g ′（x ）=a -+cosx ，x∈（0，），g ″（x ）=--sinx ＜0，∴g′（x）在（0，）上单调递减，若g（x）=f（x）+sinx＜0，又g（0）=0，则g′（0）=a-1+1≤0，∴a≤0，sinx co xs 2π2cosxco x -2cosx （-sinx ）sinxs 2co xs 4co x +2si x s 2n 2co x s 3co x +co x -2s 3s 2co xs 3π2co x +co x -2s 3s 2co xs 3（t -1）（+2t +2）t 2t 3π2sinx co xs 2π21+si x n 2co xs 3π22sinxco x +3（1+si x ）co xsinx s 4n 2s 2co xs 6π2当a=0时，∵sinx -=sinx （1-），又x∈（0，），∴0＜sinx＜1，0＜cosx＜1，∴＞1，∴f （x ）+sinx =sinx -＜0，满足题意；当a＜0时，∵x∈（0，），∴ax＜0，∴f（x）+sinx=ax -+sinx ＜sinx -＜0，满足题意；综合可得：若f（x）+sinx＜0，则a≤0，所以a的取值范围为（-∞，0]．sinx co x s 21co xs 2π21co xs 2sinx co xs 2π2sinx co x s 2sinx co x s 2（2023•甲卷）已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y 2=2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|=4．（1）求p；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且FM •FN =0，求△MFN面积的最小值．√15→→答案：（1）p=2；（2）12-8．√2解析：（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P；（2）设直线 MN：x=my+n,M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），利用MF •NF =0，找到m,n 的关系，以及△MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．→→解答：解：设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，消去x得：y 2-4py+2p=0，∴y 1+y 2=4p,y 1y 2=2p,Δ=16p 2-8p＞0，∴p（2p-1）＞0，∴p＞，|AB|=|y 1-y 2|==4，∴16p 2-8p=48，∴2p 2-p-6=0，∴（2p+3）（p-2）=0，∴p=2，（2）由（1）知y 2=4x,所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n,M（x 1，y 1），N（x 2，y 2）由，可得y 2-4my-4n=0，所以y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4n,Δ=16m 2+16n＞0→m 2+n＞0，因为MF •NF =0，所以（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2=0，即（my 1+n-1）（my 2+n-1）+y 1y 2=0，即 {x -2y +1=0=2px （p ＞0）y 212√1+4√5√（+-4y 1y 2）2y 1y 2√15{=4x x =my +ny 2→→（+1）+m （n -1）（+）+（n -1=0，将y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4n,代入得4m 2=n 2-6n+1，∴4（m 2+n）=（n-1）2＞0，所以n≠1，且n 2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2．|MN|=|y 1-y 2|====2|n-1|，所以△MNF的面积S=|MN|×d=×|n-1|，又n ≥3+2或n ≤3-2，所以当n=3-2时，△MNF的面积S min =（2-2）2=12-8．m 2y 1y 2y 1y 2）2√2√2√1+m 2√1+m 2√（+-4y 1y 2）2y 1y 2√1+m 2√16+16n m 2√1+m 2√4（-6n +1）+16n n 2√1+m 21212√1+m 2√2√2√2√2√2（2023•甲卷）已知点P（2，1），直线l：（t为参数），α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，且|PA|•|PB|=4．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．{x =2+tcosα，y =1+tsinα答案：（1）α=；（2）ρ=．3π43sinθ+cosθ解析：（1）先把参数方程化为普通方程，然后求出A，B的坐标，进而可求|PA||PB|，结合已知可求tanα，进而可求α；（2）结合（1）先求出直线l的直角坐标方程，然后结合直角坐标与极坐标的相互转化公式即可求解．解答：解：（1）直线l：（t为参数）化为普通方程为y=tanα（x-2）+1，令x=0，得y=1-2tanα，令y=0，得x=2-，所以|PA|=，所以|PA||PB|=整理得tan 2α=1，因为l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，所以tanα＜0，{x =2+tcosα，y =1+tsinα1tanα√4+4ta αn 2所以tanα=-1，故α=；（2）由（1）得y=-（x-2）+1，即x+y-3=0，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0，即ρ=．3π43sinθ+cosθ（2023•甲卷）设a＞0，函数f（x）=2|x-a|-a.（1）求不等式f（x）＜x的解集；（2）若曲线y=f（x）与x轴所围成的图形的面积为2，求a.答案：（1）（，3a）．（2）a=2．a 3解析：（1）根据绝对值的意义表示成分段函数，解不等式即可．（2）作出f（x）的图象，求出交点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）∵a＞0，∴当x≥a时，f（x）=2（x-a）-a=2x-3a,当x＜a时，f（x）=-2（x-a）-a=-2x+a,则当x≥a时，由f（x）＜x得2x-3a＜x,x＜3a,此时a≤x＜3a,当x＜a时，由f（x）＜x得-2x+a＜x,x＞，此时＜x ＜a,综上＜x＜3a,即不等式的解集为（，3a）．（2）作出f（x）的图象如图：则A（，0），B（，0），C（a,-a），则|AB|=-=a,则△ABC的高h=a,则S △ABC =•a•a=2，得a 2=4，即a=2．a 3a 3a 3a 3a 23a 23a 2a 212。