15用导数证明和式不等式典型一例

利用导数证明或解决不等式问题导数是微积分中的重要概念，在解决不等式问题中，导数可以发挥很大的作用。

下面我们将以一些具体的例子来说明如何利用导数证明或解决不等式问题。

例子1：证明不等式x^2≥0在实数域中恒成立。

解析：对于任意实数x，在实数域中，不管x取何值，其平方x^2都大于等于0。

我们可以通过导数来证明这个不等式。

对x^2进行求导，得到导函数2x。

我们知道，导数表示函数的变化率，对于x^2来说，导函数2x表示了函数的斜率，也就是说，无论x取何值，函数x^2的斜率总为正数或者0。

因为函数的斜率总是非负的，所以x^2≥0在实数域中恒成立。

例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。

解析：要求函数f(x)的极值点，我们可以先求出函数的导数f'(x)，然后将f'(x)=0进行求解。

导数为0的点即为极值点。

将f'(x)=3x^2-6x+2=0进行求解，可以得到x=1或者x=2。

接下来，我们可以求出函数在x=1和x=2处的函数值，并比较求出极值点。

f(1)=1^3-3*1^2+2*1=0f(2)=2^3-3*2^2+2*2=0对f(x)进行求导，得到导函数f'(x)=3x^2-6。

接下来，我们可以将x轴上的一些点带入函数f'(x)进行判断。

当x<−√2时，f'(x)>0；当−√2<x<√2时，f'(x)<0；当x>√2时，f'(x)>0。

由此可见，函数f(x)=x^3-6x在区间(−∞,−√2)，(−√2,√2)，(√2,+∞)上是单调的。

用导数证明和式不等式-典型（1）若护（工）=『J上再減睛It求宾畫以杓取恒范寵(町证明车等式t2n 1 L 1 Ilii J J 1H^ In 4 hi(” +1)n , 1 1 1< —+ l + - + ——2 23 n解析：:郭问圖利斛出来看第二问•1. 读者朋友们一起来思考这样一个命题逻辑：第二问单独出一道证明题行不行？当然行•2. 为什么不那样出呢？因为那样出的话，难度太大.3. 为什么出在本题的第二问的位置？因为这样命题使得学生解题相对容易一些.4. 为什么会容易一些呢？因为题干和第一问，为我们顺利解决第二问提供帮助.这些内容可作为梯子，为我们搭桥、铺路.5. 从第1问能得到什么结论呢？'"|加 < 数特（打=—■—luz在［人炖）上対城函6. 这个结论对解决第 2问有什么帮助呢？第2问是证明不等式，我们希望能够通过第 1问得到不等式•通过函数的单调性，我们可以得到什么样的不等式呢？di 沿-1）小如取= 2,则鸭（.工）= -- - Inx凶为卩（工）在仏是内诚函数，所以貯（1）=山即——-hi^<O bX + 1 I 2^-11故血兰》——.X 十1为了形式上和所证的不等式靠近，我们两边取对数凶为』总（L +8）.所 U In 丁 > 0, £ > 0' * 建+】不芳式网边同时戕讨数得：i i + i Qr I 11.1】』2（r — I j lui 2 f - J 下面对x 进行赋值，以便于进一步靠近所证不等式 •同时注意到, 需要采用累加的办法•令雷■ n + 1. —」—r < - + -Itifn + 1J 2 T将上述所右不等式相加御:111Ihi2 Ind Ini UnZl 所证不等式的右半部分得证了，下面来看左半部分观察这个不等式，不等号右边为和式的形式，左边不是，为了有利于证明，我们把左边也变 为和式• 不等式为求和型的不等式,要证的不等式可变化为:1 I 1< —■+★・・・十」In 2In3 * I)对照发现，我们只需要证明下面这个不等式即可：和1、n fl +1J +为减少运算量，一般我们把分式不等式的证明转化为整式不等式•上式可等价于:21njn +lj < n+ 1).即证明H| m + I) - Zin (w + I) > 原卩可.为此，我们构造函数如下：脚讯曲+ i卜:只需要证明g(x)恒大于零即可•简证如下：切卷旳= j; (r + I)-2hi |_f + L)(上芒1)因为j > L 所対(“M 故就"> j(l) = >0.iiffUj(j + l)'2hi(j + l)>0,面我们采用的证明方法为分析法，即寻找使结论成立的充分条件•一般用分析法来寻找思路，用综合法来书写过程•所以，本题的左半部分的证明，还是建议大家先构造函数，得出不等式，然后对x进行赋值，接下来进行不等式累加，最后得出结论•具体的书写过程就不赘述了，读者朋友们请自行书写•要理解命题的逻辑数学的特点是教材的知识点也许并不多，但是对知识的迁移能力要求较高，要求在解题中能够联想、思维能够跳跃•但是考试是限时的，命题者要考虑的是：如何能够使一部分资优生在短时间内能够想到正确的解法呢？思来想去，命题者决定：给童鞋们一点提示吧•于是出现了第1问.所以，遇到复杂的问题，尤其是最后一问，童鞋们要主动和前面的小问联系起来，建立关系•记住，人世间没有无缘无故的爱和恨，解题时没有无缘无故的第一问。

导数在证明不等式中的有关应用1.最值的判定导数可以帮助我们判断一个函数在其中一区间的最值。

具体来说，如果在一个区间内，函数的导数恒为零或者导数的正负性在其中一点发生变化，那么在该区间内函数的最值就会出现。

例如，考虑函数$f(x)=x^2-4x+3$。

我们可以通过求取导数$f'(x)=2x-4$，并令其等于零，得到$x=2$。

通过检查导数的符号，可以确认在$x<2$时导数为负，$x>2$时导数为正。

因此，在$x<2$时，函数的导数为负，说明函数在这个区间上是递减的；而在$x>2$时，函数的导数为正，说明函数在这个区间上是递增的。

因此，根据导数的正负性和最值判定原则，我们可以得出结论：函数$f(x)$在区间$(-\infty,2)$上单调递减，在区间$(2,+\infty)$上单调递增。

进一步，我们可以求得函数的最值，即当$x=2$时，函数取得最小值。

因此，我们得到了函数$f(x)$的最值以及最值的取值点。

2.利用导数证明不等式的成立导数可以被用来证明各种类型的不等式。

其中一个常见的方法是使用导数的定义和可微函数的局部性质。

考虑函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义且在开区间$(a,b)$内可微。

如果在$(a,b)$内存在一个点$c$，使得$f'(c)>0$，那么基于导数的定义，我们可以得出结论：对于任意的$x \in (a,b)$，都有$f'(x)>0$。

这意味着$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的。

我们可以进一步得出结论：对于任意的$x \in [a,b]$，都有$f'(x) \geq f'(a)$。

因此，我们可以断定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是凸函数。

根据凸函数的性质，我们可以利用函数的凸性证明各种类型的不等式。

例如，我们可以证明对于任意的$x>0$和$y>0$，成立如下的不等式：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$。

利用导数证明或解决不等式问题导数是微积分中的一个重要概念，它可以描述函数的变化率，并在解决不等式问题中起到重要的作用。

在这篇文章中，我们将探讨如何利用导数证明或解决不等式问题。

让我们回顾一下导数的定义。

对于一个函数f(x)，在某一点x处的导数f'(x)表示函数在该点的斜率，即函数曲线在该点的切线的斜率。

导数可以用极限定义来求取，即f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h利用导数证明不等式的方法有很多种，下面我们将分别介绍其中的几种常用方法。

第一种方法是利用导数的性质，结合数学推理和几何直观来证明不等式。

具体做法是首先求出函数f(x)在给定区间的导数f'(x)，然后根据导数的符号来判断函数的增减性。

如果导数f'(x)在该区间上恒大于零，则说明函数在该区间上是单调递增的；如果导数f'(x)在该区间上恒小于零，则说明函数在该区间上是单调递减的。

通过分析函数的增减性，我们可以得到不等式的证明。

举个例子，假设需要证明函数f(x) = x^2 + 1在区间[0, +∞)上是单调递增的。

首先求出函数的导数f'(x) = 2x，然后根据导数的符号来判断函数的增减性。

在区间[0, +∞)上，导数f'(x)恒大于零，即2x > 0，所以函数f(x)在该区间上是单调递增的。

我们可以得出结论：对于任意的x1, x2 ∈ [0, +∞)，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，即 x1^2 + 1 < x2^2 + 1。

第二种方法是利用极值点来解决不等式问题。

我们知道，在函数f(x)的极值点处，导数f'(x)等于零。

如果我们能够找到函数的所有极值点，并根据导数的符号来判断函数在各个区间上的增减性，那么我们就可以得到不等式的解。

第三种方法是利用导数的性质和中值定理来解决不等式问题。

中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

用导数证明函数不等式地四种常用方法本文将介绍用导数证明函数不等式地四种常用方法.例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （.证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数.而这用导数易证：1()10(0)1f x x x '=->>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥).设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥).若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥).接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决.例2 证明不等式：)1ln(+≥x x .证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-.显然，本题不能用例1地单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 地最小值是0，而这用导数易证：1()1(1)11x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得min ()(1)0(1)f x f x =-=>-所以欲证结论成立.注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0()f x g x x I ->≥∈.设()()()()h x f x g x x I =-∈，即证()()0()h x x I >≥∈，也即证min ()()0()h x x I >≥∈(若min ()h x 不存在，则须求函数()h x 地下确界)，而这用导数往往容易解决.例3 (2014年高考课标全国卷I 理科第21题)设函数1e ()e ln x xb f x a x x -=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处地切线为e(1)2y x =-+．(1)求,a b ；(2)证明：()1f x >．解 (1)112()e ln e e e x x x x a b b f x a x x x x--'=+-+． 题设即(1)2,(1)e f f '==，可求得1,2a b ==．(2)即证2ln e (0)ex x x x x ->->，而这用导数可证(请注意11e ≠)： 设()ln (0)g x x x x =>，得min 11()e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设2()e (0)ex h x x x -=->，得max 1()(1)e h x h ==-． 注 i)欲证函数不等式()()(,f x g x x I I ≥∈是区间)，只需证明min max ()()()f x g x x I ≥∈，而这用导数往往可以解决.欲证函数不等式()()(,f x g x x I I >∈是区间)，只需证明min max ()()()f x g x x I >∈，或证明min max ()()()f x g x x I ≥∈且两个最值点不相等，而这用导数往往也可以解决.ii)例3第(2)问与《2009年曲靖一中高考冲刺卷理科数学（一）》压轴题第(3)问完全一样，这道压轴题(即第22题)是：已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1)求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上地最小值；(2)对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 地取值范围；(3)证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x x x>-成立． 例4 (2013年高考北京卷理科第18题)设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1，0)处地切线．(1)求L 地方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 地下方．解 (1)(过程略)L 地方程为y ＝x －1.(2)即证1ln -≤x xx (当且仅当1=x 时取等号). 设x x x x g ln 1)(--=，得g ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2)0(>x . 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，得g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，得g (x )单调递增．所以0)1()(min ==g x g ，得欲证结论成立.(2)地另解 即证1ln -≤x x x (当且仅当1=x 时取等号)，也即证0ln 2≥--x x x (当且仅当1=x 时取等号).设x x x x g ln )(2--=，可得)0)(1(12)(>-+='x x xx x g . 进而可得0)1()(min ==g x g ，所以欲证结论成立.(2)地再解 即证1ln -≤x xx (当且仅当1=x 时取等号)，也即证x x x -≤2ln (当且仅当1=x 时取等号). 如图1所示，可求得曲线x y ln =与)0(2>-=x x x y 在公共点(1,0)处地切线是1-=x y ，所以接下来只需证明)0(1,1ln 2>-≤--≤x x x x x x (均当且仅当1=x 时取等号)前者用导数易证，后者移项配方后显然成立.所以欲证结论成立.图1例5 (2013年高考新课标全国卷II 理21(2)地等价问题)求证：e ln(2)x x >+．分析 用前三种方法都不易解决本问题，下面介绍用导数证明函数不等式地第四种常用方法.设()e (2),()ln(2)(2)xf x xg x x x =>-=+>-，我们想办法寻找出一个函数()h x ，使得()()()(2)f x h x g x x ≥≥>-且两个等号不是同时取到.当然，函数()h x 越简洁越好.但()h x 不可能是常数(因为函数()ln(2)(2)g x x x =+>-地值域是R )，所以我们可尝试()h x 能否为一次函数，当然应当考虑切线.如图2所示，可求得函数()e (2)x f x x =>-在点(0,1)A 处地切线是1y x =+，进而可得()()(2)f x h x x ≥>-；还可求得函数()ln(2)(2)g x x x =+>-在点(1,0)B -处地切线也是1y x =+，进而可得()()(2)h x g x x ≥>-.图2进而可用导数证得()()()(2)f x h x g x x ≥≥>-且两个等号不是同时取到，所以欲证结论成立.当然，用例2地方法，也可给出该题地证明(设而不求)：设)2ln(e )(+-=x x f x ，得1()e (2)2x f x x x '=->-+. 可得()f x '是增函数(两个增函数之和是增函数)，且1e 20,(1)e 102f f ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭，所以函数()g x '存在唯一地零点0x (得21e ,e 2,1e )2(000000+==+=+-x x x x x x )，再由均值不等式可得 00min 0000011()()e ln(2)ln e 22022x x f x f x x x x x -⎛⎫==-+=-=++-> ⎪++⎝⎭(因为可证01x ≠-)所以欲证结论成立.例6 求证：e ln 2x x >+.证法1 (例5地证法)用导数可证得1e +≥x x (当且仅当0=x 时取等号)，2ln 1+≥+x x (当且仅当1=x 时取等号)，所以欲证结论成立.证法2 (例2地证法)设x x f x ln e )(-=，得1()e (0)x f x x x'=->.可得()f x '是增函数且1110,(0)02 1.52g g ⎛⎫''-=-<=> ⎪⎝⎭，所以函数)(x g 存在唯一地零点0x (得00001e ,e x x x x -==)，再由均值不等式可得 00min 0000011()()e ln ln e 2x x f x f x x x x x -==-=-=+>(因为可证01x ≠) 所以欲证结论成立.注 欲证函数不等式()()(,f x g x x I I >∈是区间)，只需寻找一个函数()h x (可以考虑曲线()y h x =是函数(),()y f x y g x ==地公切线)使得()()()(2)f x h x g x x ≥≥>-且两个等号不是同时取到，而这用导数往往容易解决.下面再给出例5和例6地联系.对于两个常用不等式e 1,ln 1x x x x ≥+≤-，笔者发现e xy =与ln y x =互为反函数，1y x =+与1y x =-也互为反函数，进而得到了本文地几个结论.定理 已知(),()f x g x 都是单调函数，它们地反函数分别是11(),()fx g x --. (1)若()f x 是增函数，()()f s g s ≥恒成立，则11()()ft g t --≤恒成立； (2)若()f x 是减函数，()()f s g s ≥恒成立，则11()()ft g t --≥恒成立； (3)若()f x 是增函数，()()f s g s ≤恒成立，则11()()ft g t --≥恒成立； (4)若()f x 是减函数，()()f s g s ≤恒成立，则11()()ft g t --≤恒成立. 证明 下面只证明(1),(4)；(2),(3)同理可证.(1)设不等式()()f s g s ≥中s 地取值范围是A ，当s A ∈时，(),()f s g s 地取值范围分别是,A A f g ，得不等式11()()f t g t --≤中t 地取值范围是A A f g ⋂，所以1000,,(),()A A t f g x A t g x x g t -∀∈⋂∃∈==.由()()f s g s ≥恒成立，得00()()g x f x ≤.由()f x 是增函数，得1()f x -也是增函数，所以1110000(())(())(())f g x f f x x g g x ---≤==，即11()()f t g t --≤.得11,()()A A t f g f t g t --∀∈⋂≤，即欲证结论成立.(4)设不等式()()f s g s ≤中s 地取值范围是A ，当s A ∈时，(),()f s g s 地取值范围分别是,A A f g ，得不等式11()()f t g t --≥中t 地取值范围是A A f g ⋂，所以1000,,(),()A A t f g x A t g x x g t -∀∈⋂∃∈==.由()()f s g s ≤恒成立，得00()()g x f x ≥.由()f x 是减函数，得1()f x -也是减函数，所以1110000(())(())(())f g x f f x x g g x ---≤==，即11()()f t g t --≤.得11,()()A A t f g f t g t --∀∈⋂≤，即欲证结论成立.推论1 已知(),()f x g x 都是单调函数，它们地反函数分别是11(),()fx g x --. (1)若(),()f x g x 都是增函数，则()()f s g s ≥恒成立11()()ft g t --⇔≤恒成立； (2)若(),()f x g x 都是减函数，则()()f s g s ≥恒成立11()()ft g t --⇔≥恒成立. 证明 (1)由定理(1)知“⇒”成立.下证“⇐”：因为()g x 是增函数，11()()g t f t --≥恒成立，11(),()g x f x --地反函数分别是(),()g x f x ，所以由“⇒”地结论得()()g s f s ≤恒成立，即()()f s g s ≥恒成立.(2)同(1)可证.推论2 把定理和推论1中地“,≥≤”分别改为“,><”后，得到地结论均成立. (证法也是把相应结论中地“,≥≤”分别改为“,><”.)在例5与例6这一对姊妹结论“e ln(2),ln e 2x x x x >+<-”中e x y =与ln y x =互为反函数，ln(2)y x =+与e 2x y =-也互为反函数，所以推论2中地结论“若(),()f x g x 都是增函数，则()()f s g s >恒成立11()()ft g t --⇔<恒成立”给出了它们地联系.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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导数与不等式证明导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而不等式是数学中常用的一种关系，用于比较两个数或表达变量之间的大小关系。

本文将探讨导数与不等式之间的关系，并通过具体的例子来证明与应用。

一、导数的定义与性质首先，我们回顾导数的定义：对于函数f(x)，在点x处的导数可以表示为lim（h->0）（f(x+h)-f(x)）/h。

简单来说，导数就是函数在某一点的斜率。

导数具有以下性质：1. 导数存在性：如果函数在某一点可导，则该点的导数存在。

2. 导数与函数图像：导数可以帮助我们理解函数图像的特性，如切线与曲线的关系、函数的增减性等。

3. 导数的计算：可以通过求导法则，例如常数法则、幂函数法则、链式法则等，来计算导数。

二、不等式的基本性质接下来，我们简要介绍不等式的基本性质。

不等式常见的有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等。

对于不等式的证明，通常有以下方法：1. 同向性：如果a>b，那么对于任意正数c，ac>bc。

这个性质可以用于不等式的乘法性质证明。

2. 等价性：如果两个不等式的左边和右边分别相等，则两个不等式等价。

这个性质可以用于不等式的代换和变形。

三、导数与不等式之间的关系导数在不等式的证明中具有重要作用。

通过对比函数在不同区间的导数值以及函数图像的特征，可以得出不等式的结论。

下面通过两个具体的例子来说明导数与不等式之间的关系。

例1：证明函数f(x)=x²在区间（0，∞）上是递增的。

解：首先计算f(x)=x²的导数：f'(x)=2x。

由于导数描述了函数的变化率，当导数大于0时，函数是递增的。

因此，我们需要证明2x>0在区间（0，∞）上成立。

由于x大于0，所以2x大于0，即导数大于0，因此函数f(x)=x²在区间（0，∞）上是递增的。

例2：证明函数f(x)=eˣ在任意区间上是递增的。

利用导数证明不等式的常有题型及解题技巧技巧精髓1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点， 也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转变为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何依照不等式的构造特色构造一个可导函数是用导数证明不等式的要点。

一、利用题目所给函数证明【例 1】已知函数 f ( x) ln( x 1) x ，求证：当 x 1时，恒有111) xln( xx 1解析： 本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)ln( x1 1，从其导数下手即可证明。

1)1x1 1x【绿色通道 】 f (x)x 1x 1∴当 1x 0 时， f (x) 0 ，即 f ( x) 在 x ( 1,0) 上为增函数当 x0 时， f ( x) 0 ，即 f (x) 在 x (0,) 上为减函数故函数 f (x) 的单调递加区间为 ( 1,0) ，单调递减区间 (0,)于是函数 f (x) 在 ( 1, ) 上的最大值为 f ( x) maxf (0)0 ，因此，当 x1时， f ( x) f (0) 0 ，即 ln( x1) x 0 ∴ ln( x1) x （右边得证），现证左面，令 g(x) ln( x1)11， 则 g (x)1 1xx 1x 1 ( x 1)2( x 1)2当 x ( 1,0)时 , g ( x) 0;当 x (0,即 g ( x) 在 x ( 1,0) 上为减函数，在 故函数 g( x) 在 ( 1, ) 上的最小值为 )时 , g (x) 0 ，x (0, ) 上为增函数，g (x) min g (0)0 ，∴ 当 x1 时， g( x) g( 0) 0 ，即 ln( x 1)1 1x1∴ ln( x 1)111时, 有11 ln( x1) x，综上可知，当 xx 1x 1【警示启迪 】若是 f (a) 是函数 f ( x) 在区间上的最大（小）值，则有f ( x) f (a) （或 f (x) f (a) ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不高出0 即可得证．2、直接作差构造函数证明 【例 2】已知函数 f ( x)1 x2 ln x. 求证：在区间 (1,) 上，函数 f ( x) 的图象在函数 g (x)2 x3 的23图象的下方；第 1页共 4页解析： 函数 f (x) 的图象在函数 g( x) 的图象的下方不等式 f (x)g( x) 问题，即 1x 2ln x2 x3 ，只要证明在区间(1,)上，恒有1 x 2ln x2 x3 成立，设23123F ( x) g ( x)f (x) ， x(1, ) ，考虑到 F (1)6x 1要证不等式转变变为：当F (1) ，这只要证明：g ( x) 在区间 (1,) 是增函数即可。

例说借助导数证明函数不等式用导数证明不等式是一种重要方法，其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式；而如何构造辅助函数是用导数方法证明不等式的关键，下面举例说明。

一、直接作差构造函数例1：求证不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在),0(+∞∈x 等成立。

证明：令),2()1ln()(2x x x x f --+=补充定义f(0)=0. 01111)(2'>+=+-+=x x x x x f (1) .2x -x x)ln(1 0f(x)0x 0)(2>+∴∞∈∴∞=∴恒成立＞）时，，＋［当）上单调递增。

，＋在［x f y x )ln(1x )2(1x x g(x )2++=－－令,补充定义g （0）＝0，则 0x)4(12x x 11-x)4(12x -4x 4x 1(x)g 22222'>+=+++=－ ）恒成立。

（－）时，，＋［当上单调递增。

在20x)ln(1-x)2(1x x 0x ),0[g(x)2>++∞∈∴+∞∴ 故由（1）、（2）可知，成立－时，不等式x )2(1x -x x )ln(12x x )(0,x 22+<+<+∞∈ 点评：一般的，用导数证明不等式时要注意所构造的函数在区间端点处是否连续，即是否要补充函数在端点处的定义；另外要注意用到一个结论：设函数f(x)在区间[a,+)∞上连续，在区间(a,+∞)内可导，且,0)(;0)('≥>a f x f 又则x>a 时，f(x)>0。

例2：，证明不等式： 1 )1(log )1(log 22-≥--+x x x ；证明：（1）对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f.2ln 12ln 1)1(log log 22-+--=x x ).1(log log 22x x --= 于是.0)21(='f 当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x <--='<时在区间)21,0(是减函数， 当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x >--='>时在区间)1,21(是增函数. 所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f 点评：.若f(x)，g(x)差函数为非单调其差有极大值或极小值，用导函数求其极大值、极小值，从而证明不等式。

导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题典例1】已知函数$f(x)=1-\ln(x)e^x,g(x)=\frac{x}{1-bx}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。

求$a,b$的值，并证明：当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。

典例2】已知函数$f(x)=(x+b)(e^x-a)$，在$(-1,f(-1))$处的切线方程为$(e-1)x+ey+e-1=0$。

求$a,b$的值，并证明：若$m\leq\frac{f(x)}{x^2+x}$，则$f(x)\geq mx^2+x$。

典例3】已知函数$f(x)=x\ln x+ax+1$，$a\in\mathbb{R}$。

1）当$x>0$时，若关于$x$的不等式$f(x)\geq k$恒成立，求$a$的取值范围；2）当$n\in\mathbb{N^*}$时，证明：$\frac{n^3}{n+1}<\ln2^2+\ln2+\frac{1}{n+1}<\frac{n}{n+1}$。

典例4】已知函数$f(x)=\frac{2\ln x+2}{e^x}$。

1）求函数$f(x)$的单调区间；2）证明：当$x>0$时，$f'(x)\ln(x+1)<\frac{2}{x+2}$。

典例5】已知函数$f(x)=e^x-x^2$。

1）求曲线$f(x)$在$x=1$处的切线方程；2）证明：当$x>0$时，$e^x+(2-e)x-1\geq\ln x+1$。

典例7】已知函数$f(x)=x^2+ax+b\ln x$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x$。

1）求实数$a,b$的值；2）设$F(x)=f(x)-x^2+mx(m\in\mathbb{R})$，$x_1,x_2$$(x_1<x_2)$分别是函数$F(x)$的两个零点，求证：$F'(x)$在$(x_1,x_2)$内至少有一个零点。

用导数求基本不等式的题在数学中,导数是一个非常重要的概念,能够将一个函数在某一点处的变化率描述出来。

导数在求解基本不等式的问题中也起着至关重要的作用。

在本文中,我们将探讨如何使用导数来解决基本不等式问题。

基本不等式是数学中一个非常有趣和有用的不等式,它的表述形式为:对于任意实数a、b,有|a+b|≥|a|+|b|。

这个不等式非常有趣,因为通过简单的数学推导,我们可以证明它的正确性。

然而,在实际的应用中,有时候我们需要证明一个更复杂的不等式。

这这时候,导数就派上用场了。

假设我们有一个函数f(x),并且我们想要证明|f(a)+f(b)|≥|f(a)|+|f(b)|。

为了解决这个问题,我们可以对函数f(x)求导,得到f'(x)。

然后我们将f'(x)带入到不等式|f(a)+f(b)|≥|f(a)|+|f(b)|中,得到:f(a)+f(b)=f(a)+f(b)+f'(x)f'(x)f(a)+f(b)≥f(a)+f(b)还有一些其他的例子,比如:1.|a-b|≥0,因此|a-b|≥|b-a|。

2.|a|≥0,因此|a|≥-|a|。

3.|x|≥0,因此|x|≥-|x|。

这些不等式都源自于导数,因为它们都涉及到幂函数、指数函数或者三角函数等变化比较快的函数。

通过求导,我们可以证明这些不等式的正确性,进而解决许多具有挑战性的不等式问题。

在实际的应用中,导数求基本不等式的题是非常常见的。

求导不仅是一种解决问题的思路,而且它还充满着挑战和乐趣。

对于那些对数学充满热爱的人来说,导数求基本不等式是一种精彩的探索。

利用导数证明不等式的几种方法导数是微积分的一个重要概念，它可以用来研究函数的变化趋势和性质。

在证明不等式时，利用导数是一种常见的方法。

下面将介绍几种常用的利用导数证明不等式的方法。

一、极值点法这种方法的基本思路是通过求函数的导数，并找出函数的极值点，来确定不等式的成立条件。

具体步骤如下：1.求函数的导数。

2.找出导数存在的区间。

3.求出导数的零点即函数的极值点。

4.判断在极值点附近函数的变化情况，从而确定不等式的成立条件。

例如，我们要证明一个函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的。

则可以通过求函数的导数f'(x)，找出f'(x)的零点，然后判断f'(x)的符号来确定f(x)的变化趋势。

这种方法的特点是简单直观，容易理解和操作。

但是要求函数的导数存在，在一些特殊情况下可能无法使用。

二、Lagrange中值定理法Lagrange中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明：如果一个函数在区间 [a, b] 上连续，并且在 (a, b) 上可导，则在 (a, b) 存在一个点 c，使得函数在 c 处的导数等于函数在 [a, b] 上的平均变化率。

利用这个定理，可以通过求函数在区间两个点处的导数差值，来推导出不等式。

具体步骤如下：1.假设函数在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)上可导。

2.设点a和点b为函数的两个不同取值，即f(a)和f(b)。

3. 由Lagrange中值定理，存在点 c 在 (a, b) 上，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

4.判断f'(c)的符号，从而确定不等式的成立条件。

Lagrange中值定理法的优点是具有普适性，可以应用于各种函数。

但是要求函数在区间上连续，在一些特殊情况下可能无法使用。

三、Cauchy中值定理法Cauchy中值定理是微积分中的另一个重要定理，它是Lagrange中值定理的推广形式。

导数证明不等式的几个方法在高等数学中，我们学习了很多种方法来证明不等式。

其中一种常见的方法是使用导数。

导数是用来描述函数变化率的概念，因此可以很好地用来证明不等式。

本文将介绍几种使用导数证明不等式的方法。

一、利用导数的正负性来证明不等式这种方法是最直接的方法之一、假设我们要证明一个函数f(x)在一个区间上大于等于0，我们可以先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后根据f'(x)的正负性来判断f(x)的增减情况。

如果f'(x)大于等于0，则说明f(x)在整个区间上是递增的；如果f'(x)小于等于0，则说明f(x)在整个区间上是递减的。

根据递增或递减的性质，我们可以得出f(x)大于等于0的结论。

例如，我们要证明函数f(x)=x^2在区间[0,∞)上大于等于0。

首先求出f(x)的导数f'(x)=2x。

然后我们发现在整个区间上，f'(x)大于等于0，说明f(x)是递增的。

由于f(0)=0，因此可以得出f(x)大于等于0的结论。

二、利用导数的单调性来证明不等式这种方法是一种延伸和推广。

与前一种方法类似，我们可以根据导数的单调性来判断函数f(x)的增减情况。

如果f'(x)在一个区间上是递增的，那么f(x)在该区间上是凸的；如果f'(x)在一个区间上是递减的，那么f(x)在该区间上是凹的。

利用这个性质，我们可以得出一些重要的结论。

例如，如果我们要证明一个凸函数在一个区间上大于等于一个常数c，那么只需要证明在这个区间的两个端点上的函数值大于等于c，同时导数在这个区间上是递增的。

三、利用导数的极值来证明不等式这种方法利用了导数的极值特性。

如果一个函数f(x)在一些点x0处的导数为0，并且在这个点的左右两侧的导数符号发生了改变，那么我们可以得出结论，在x0处取得极值。

如果f(x)在x0处取得最大值，那么在这个点的左侧函数值都小于等于f(x0)，而在这个点的右侧函数值都大于等于f(x0)；反之，如果f(x)在x0处取得最小值，那么在这个点的左侧函数值都大于等于f(x0)，而在这个点的右侧函数值都小于等于f(x0)。

二、导数用于证明不等式例1. 已知x∈（0，），求证：sin x＜x＜t a n x。

证明；构造函数f（x）=x－sin x，g（x）=t a n x－x，x∈（0，），则f'（x）=1－cos x＞0，g'（x）=sec2x－1＞0。

所以f（x），g（x）在（0，）内是单调递增函数，故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，即x＞sin x，t a n x＞x，故sin x＜x＜t a n x。

这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。

这里是构造函数，利用函数的单调性来证明，简单、快捷。

例2．将函数的图象按向量平移得到函数的图象,求证:当时,.解：将函数的图象按向量平移得到函数.令,则,因为,所以,即函数在区间上是单调增函数,于是有,即,因此有当时,例2.函数。

（1）证明：；（2）若对所有都有，求的范围。

证明：（1）的导数，由于，故，（当且仅当时，等号成立）。

（2）令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即。

（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是。

例 3.设函数，其中。

证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值。

证明：因为，所以的定义域为．．当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减。

所以当时，函数没有极值点。

当时若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为。

综合问题例4.已知函数，其中是的导函数。

（1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（2）设，若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的取值范围。

解：（1）由题意，令，对，恒有，即∴即，解得故时，对满足的一切的值，都有（2）。

①当时，的图象与直线只有一个公共点②当时，列表可得，又∵的值域是，且在上单调递增，∴当时函数的图象与直线只有一个公共点。

当时，恒有，由题意得，即，解得，综上，的取值范围是。

利用导数证明不等式的四种方法在初等数学中证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法.但是当不等式比较复杂时，用初等的方法证明会比较困难,有时还证不出来.如果用函数的观点去认识不等式,利用导数为工具,那么不等式的证明就会化难为易.本文通过举例阐述利用泰勒公式, 中值定理,函数的性质, Jensen 不等式等四种方法证明不等式,说明了导数在证明不等式中的重要作用.一、利用泰勒公式证明不等式若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0)(x fn ,则有公式)()(!)()(!2)()(!1)()()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≥或)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≤例1 证明: ).11(,32)1ln(32<<-+-≤+x x x x x 证明 设)11)1ln()(<<-+=x x x f （ 则)(x f 在0=x 处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式)11()1(432)1ln(4432<<-+-+-=+ξξ x x x x x0)1(444≤+-ξx 32)1ln(32x x x x +-≤+∴　由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点0x 在0x 处展开,然后判断余项)(x R n 的正负,从而证明不等式.二、利用中值定理证明不等式微分)(Lagrange中值定理: 若)(x f 满足以下条件:(1) )(x f 在闭区间],[b a 内连续 (2) )(x f 在开区间),(b a 上可导则 ab a f b f f b a --='∍∈∃)()()(),(ξξ 例2 若)()(1,011y x py y x y x py p x y p p p p -<-<-><<--则　分析 因为,0x y <<则原不等式等价于11--<--<p p p p px yx y x py)1(>p .令p t x f =)(,则我们容易联想到Lagrange 中值定理yx y f x f y x f --=-)()())(('ξ.证明 设p t t f =)(,显然],[)(x y t f 在满足Lagrange 中值定理的条件则 ,)()()(),(y x y f x f f x y --='∍∈∃ξξ 即yx y x p ppp ---＝1ξ111,),(---<<∴<<∴∈p p p px p py x y x y ξξξ )()(11y x py y x y x py p p p p -<-<-∴--　例3 设)(x f 在],[b a 上连续可导,且,0)()(==b f a f 则dx x f a b x f babx a ⎰-≥≤≤)()(4)(max 2'证明 设)(max 'x f M bx a ≤≤=则由中值公式,当),(b a x ∈时,有))(())(()()(11a x f a x f a f x f -'=-'+=ξξ ))(())(()()(22b x f b x f b f x f -'=-'+=ξξ其中).,(),,(21b x x a ∈∈ξξ由此可得)()()()(x b M x f a x M x f -≤-≤及所以4)()()()()()(22222a b M dx x b M dx a x M dxx f dx x f dx x f b a abb a bab a a bb a -=-+-≤+=⎰⎰⎰⎰⎰++++ 即⎰-≥badx x f a b M )()(42所以 dx x f a b x f babx a ⎰-≥'≤≤)()(4)(max 2积分第二中值定理]1[ 若在区间f ],[b a 上f 为非负的单调递减函数,而g 是可积函数,则存在],[b a ∈ξ,使得⎰⎰=ξabag a f fg )(例4 设⎰+=12sin )(x xdt t x f ,则0>x 时xx f 1)(<特别地:当2003=x 时机为2003年浙江省高等数学竞赛试题(工科、经管类)证明 令u t =,则由积分第二中值定理xudu x udu ux f xx x 1sin 212sin )(2221≤=⎰⎰+ξ ＝又因为⎰⎰⎰+++-++-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=222222)1(2322)1(2322)1(cos 41)1cos()1(21cos 21cos 21)1(cos 1212sin )(x x x x x xu udu x x x x u udu x x u u udu ux f ＝ ＝于是,0>x 时xx x x x duu x x x f x x 1)111(21)1(212141)1(2121)(22)1(23=-+-+++++<⎰+- ＝由上可见利用中值定理证明不等式,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和定义区间的选择要与题设和结论相联系,然后由中值定理写出不等式,从而进行证明.三、利用函数的单调性证明不等式定理1 如果函数)(),(x g x f 满足以下条件:(1) )(),(x g x f 在闭区间],[b a 内连续(2) )(),(x g x f 在开区间),(b a 可导,且有)()(x g x f '>'(或)()(x g x f '<') (3) )()(a g a f =则 在),(b a 内有)()(x g x f >(或)()(x g x f <令)()()(x g x f x F -=由于0)(0)()()()(≤⇔≤-⇔≤x F x g x f x g x f 所以证明)()(x g x f ≤⇔证明0)(≤x F 则相应地有推论1 若)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,c a f =)(且0)('>x f (或0)('<x f )则在),(b a 内有c x f >)((或c x f <)().例5 证明:当1>x 时,有).2ln(ln )1(ln 2+⋅>+x x x分析 只要把要证的不等式变形为)1ln()2ln(ln )1ln(++>+x x x x ,然后把x 相对固定看作常数,并选取辅助函数xx x f ln )1ln()(+=.则只要证明)(x f 在),0(+∞是单调减函数即可. 证明 作辅助函数xx x f ln )1ln()(+= )1(>x于是有xx x x x x x x x x x x x f 22ln )1()1ln()1(ln ln )1ln(1ln )(+++-=+-+=' 因为 ,11+<<x x 故)1ln(ln 0+<<x x 所以 )1ln()1(ln ++<x x x x因而在），（∞+1内恒有0)('<x f ,所以)(x f 在区间),1(+∞内严格递减.又因为x x +<<11,可知)1()(+>x f x f即)1ln()2ln(ln )1ln(++-+x x x x 所以 ).2ln(ln )1(ln 2+⋅>+x x x例6 证明不等式x x x x <+<-)1ln(22,其中0>x .分析 因为例6中不等式的不等号两边形式不一样,对它作差)2()1ln(2x x x --+,则发现作差以后不容易化简.如果对)1ln(x +求导得x+11,这样就能对它进行比较.证明 先证 )1ln(22x x x +<-设 )2()1l n ()(2x x x x f --+= )0(>x则 00)01l n ()0(=-+=f xx x x x f +=+-+=1111)(2'0>x 即 0012>>+x x 01)(2>+='∴x x x f ,即在),0(+∞上)(x f 单调递增0)0()(=>∴f x f 2)1ln(2x x x ->+∴　再证 x x <+)1ln(令 x x x g -+=)1l n ()( 则 0)0(=g 111)(-+='xx g10<+∴>xx １１x x x g <+∴<'∴)1ln(0)( x x x x <+<-∴)1ln(22定理1将可导函数的不等式)()(x g x f <的证明转化为)()(x g x f '<'的证明，但当)(x f '与)(x g '的大小不容易判定时，则有推论2 设)(x f ，)(x g 在[b a ,]上n 阶可导， （1）)()()()(a g a f k k = 1,2,1,0-=n k （2）)()()()(x g x f n n > （或)()()()(x g x f n n <）则在（b a ,）内有)()(x g x f > （或)()(x g x f <）例7 证明:331x x tgx +>，)2,0(π∈x .分析 两边函数类型不同,右边多项式次数较高,不易比较,对它求一阶导数得.1)31(,sec )(232x x x x tgx +='+='仍然不易比较,则我们自然就能想到推论2.证明 设tgx x f =)(331)(x x x g +=则 （1）0)0()0(==g f（2）1)0()0(),1()(),(sec )(22='='+='='g f x x g x x f （3）1)0()0(,2)(,cos sec 2)(2=''=''=''=''g f x x g xxx f（4）2)(),31)(1(2)(22='''++='''x g x tg x tg x f 显然有 )()(x g x f '''>'''由推论2得，231x x tgx+> （20π<<x ）.利用函数的单调性证明不等式我们都是先构造函数.然后通过对函数求导,来判定函数的增减性,从而达到证明不等式的目的.四、利用Jensen(琴森)不等式证明不等式定义]1[ 如果),()(b a x f 在内存在二阶导数)("x f 则(1) 若对,.0)(),(>''∈∀x f b a x 有则函数)(x f 在),(b a 内为凸函数.(2) 若对,.0)(),(<''∈∀x f b a x 有则函数)(x f 在),(b a 内为凹函数.若函数),()(b a x f 在内是凸(或凹)函数时,对),(,,,21b a x x x n ∈∀ 及∑==ni i 11λ,有Jensen(琴森)不等式∑∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ni i i n i i i i i n i i i x f x f x f x f 1111)()(　或 λλλλ 等号当且仅当n x x x === 21时成立.例8 证明下列不等式),2,1,0(111212121n i a na a a a a a a a a ni nn n n=>+++≤⋅≤+++ .分析 上式只要能证明),2,1,0(2121n i a na a a a a a i nnn =>+++≤⋅ ,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的i a 可以看作是同一函数的多个不同函数值,设x x f ln )(=那么就可以用Jensen 不等式来证明它.然后只要令xx f 1ln)(=,同理可得n n na a a a a a n 2121111⋅≤+++.证明 令)0(ln )(>=x x x f 因为 01)(2<-=''x x f ,所以),0()(+∞在x f 是凹函数 则对),0(,,,21+∞∈∀na a a 有[])()()(1)(12121n n a f a f a f na a a n f +++≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++即 []n n a a a na a a n ln ln ln 1)(1ln 2121+++≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ 又因为[]n n n a a a a a a n2121ln ln ln ln 1⋅=+++ 所以 na a a a a a nnn +++≤⋅ 2121 令 xx f 1ln)(=, 则同理可得n n na a a a a a n 2121111⋅≤+++所以),2,1,0(111212121n i a na a a a a a a a a ni nn n n=>+++≤⋅≤+++ 例9 设)(x f 二次可微,且对一切x ,有0)(≥''x f ,而)(t u 在],0[a 上连续,则⎰⎰≥a adt t u af dt t u f a 00])(1[)]([1 分析 上述不等式在形式上很像Jensen 不等式,且当t 取不同的值时,)]([t u f 就是同一函数的不同函数值,则可以用琴森不等式进行证明.证明 由)(x f 及)(t u 的连续性,保证了可积性.并且∑⎰-=∞→=100)]([1lim )]([1n K n a n Ka u f n dt t u f a ⎰∑-=∞→=a n K n n Ka u n dt t u a 010)(1lim )(1因0)(≥''x f ,故)(x f 为凸函数,在Jensen 不等式)()()(112211n n n n x f q x f q x q x q x q f ++≤+++ )1,,,(2121=+++n n q q q q q q 均为正，且中,取） （ n i nq a n i u x i i ,3,2,11),1(==-= 即得∑∑-=-=≤1010)]([1])(1[n K n K nKa u f n n Ka u n f 由)(x f 的连续性,在上式取∞→n 即得所要证的结论.由以上证明可知应用Jensen 不等式证明不等式,首先是构造适当的函数并判断它的凹凸性,然后用Jensen 不等式证明之.本文所述四种用导数证明不等式的四种方法充分说明了导数在不等式证明中的独到之处.在证明不等式时,应用导数等知识往往能使复杂问题简单化,从而达到事半功倍的效果.需要指出的是利用导数证明不等式,除上述四种方法外还有不少方法.如用极值、最值等来证明不等式.由于受篇幅之限,这里不再详述.参考文献[1] 华东师范大学数学系,数学分析[M]第三版,北京:高等教育出版社,2001. [2] 裘单明等,研究生入学考试指导,数学分析[M],济南:山东科学技术出版社,1985.[3] 胡雁军,李育生,邓聚成,数学分析中的证题方法与难题选解[M],开封:河南大学出版社,1987.Four Usual Methods to Prove Tthe Inequality by UsingDerivativeYang Yuxin(Department of Mathematics Shaoxing College of Arts and Sciences, Shaoxing Zhejiang,312000) Abstract:Examplisies four methods to prove the Inequality by using Derivative to show the imporpance of using derivative to crove the inequalityKey words:Derivative; Monotonicity; Theorem of mean; Taylor formula; Jensen Inequality。

利用导数证明不等式的常用方法导数是微积分中的重要理论工具，其应用十分广泛，其中一项应用就是证明不等式。

下面将介绍一些利用导数证明不等式的常用方法。

首先，我们需要明确一些基本概念和定理。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，(a,b)上可导，那么：1.如果f'(x)>0，那么f(x)在[a,b]上单调递增；如果f'(x)<0，那么f(x)在[a,b]上单调递减。

2.如果在(a,b)上f'(x)>g'(x)，则f(x)>g(x)。

3.如果在(a,b)上f'(x)≥g'(x)，则f(x)≥g(x)。

基于以上定理，我们将介绍三种常用的利用导数证明不等式的方法。

方法一：使用函数性质和导数的单调性这种方法适用于证明比较简单的不等式，主要步骤如下：1.首先，根据题目中给出的不等式，构造一个连续函数f(x)。

2.然后，求出f'(x)，根据导数的正负确定f(x)的单调性。

3.最后，根据f(x)的单调性和不等式的要求，得出不等式的成立。

例如，我们来证明当x>0时，有e^x>1+x：1.构造函数f(x)=e^x-1-x。

2.求导得到f'(x)=e^x-1，由于e^x>0，所以f'(x)>0。

3.根据f(x)的单调性，得出e^x-1-x在x>0时为递增函数。

4.由于f(0)=e^0-1-0=0，所以当x>0时，有f(x)>0，即e^x>1+x成立。

方法二：使用导数的比较性质这种方法适用于需要比较多个函数的不等式，主要步骤如下：1.首先，根据题目中给出的不等式，构造多个连续函数。

2.然后，求出这些函数的导数。

3.利用导数的比较性质，确定函数之间的大小关系。

4.最后，根据函数之间的大小关系和不等式的要求，得出不等式的成立。

例如，我们来证明当0 < x < 1时，有x < ln(1 + x)：1.构造函数f(x) = ln(1 + x) - x。

利用导数证明数列不等式(含解析)利用导数证明数列不等式是高考中常见的题型，可以考查学生灵活运用知识的能力。

这种题型一方面以函数为背景，让学生探究函数的性质；另一方面，体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为有具体特征的数列。

可以说，这种题型涉及到函数、导数、数列和不等式，是一题多考的巧妙结合，也是近年来高考的热门题型。

常见的题型有两种类型：一种是利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题，另一种是利用递推公式处理通项公式中的不等问题。

恒成立不等式的来源主要有两种：一是函数的最值，最值可以提供XXX成立的不等式；二是恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式。

常见的恒成立不等式有lnxx+1.关于前n项和的放缩问题，求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决。

高中阶段求和的方法有倒序相加、错位相减、等比数列求和公式和裂项相消。

在处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，应优先考虑。

对于数列求和不等式，要从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。

在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向。

放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向，朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）。

数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明。

经典例题是已知函数f(x)=kx-xlnx，求函数f(x)的单调区间、当<x≤1时，f(x)≤k恒成立的k的取值范围，以及证明ln1ln2+23+lnnn(n-1)≤n+14.1.已知函数$f(x)=\ln(ax+1)(x\geq0,a>0)$，$g(x)=x-\frac{x^3}{3}$。

1）讨论函数$y=f(x)-g(x)$的单调性；2）若不等式$f(x)\geq g(x)+1$在$x\in[0,+\infty)$时恒成立，求实数$a$的取值范围；3）当$a=1$时，证明：frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdots(3572n+1)}+\frac{1}{2\cdot4\cd ot6\cdots(3572n+2)}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<f^{(n)}(n)(n\in N^*),$$其中$f^{(n)}(n)$表示$f(x)$的$n$阶导数在$x=n$处的值。