高考压轴冲刺卷河北省武邑中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题扫描版含答案

2018届河北省（全国卷Ⅰ）高考仿真冲刺数学（理）卷(七)解析版第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z=(a+1)+(a 2-3)i,若z<0,则实数a 的值是( ) (A) (B)1 (C)-1 (D)-答案D 由题意得a 2-3=0,解得a=± 3,而a+1<0,故a=- 3,故选D. 2.已知集合A={x|x-x 2≥0},B={x|y=lg(2x-1)},则A ∩B 等于( )(A)[0,12) (B)[0,1] (C)(12,1] (D)(12,+∞) 答案C A={x|x-x 2≥0}={x|0≤x ≤1},B= x |x >12 , 所以A ∩B=(12,1],故选C. 3.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 ,则AC 等于( ) (A)4 3 (B)2 3 (C) 3 (D) 32 答案B 本小题主要考查正弦定理,由BC sin A =ACsin B知AC=BC sin B sin A=3 2× 2232=2 3.4.已知a=21.2,b=(1)-0.2,c=2log 52,则a,b,c 的大小关系为( ) (A)b<a<c (B)c<a<b (C)c<b<a (D)b<c<a答案C 因为b= 12 -0.2=20.2<21.2=a,所以a>b>1.又因为c=2log 52=log 54<1,所以c<b<a,故选C.5.九江气象台统计,某年5月1日浔阳区下雨的概率为415,刮风的概率为215,既刮风又下雨的概率为110,设A 为下雨,B 为刮风,那么P(A|B)等于( ) (A)12 (B)34 (C)25 (D)38答案B 由题意P(B)=215,P(AB)=110,所以P(A|B)=P (AB )P (B )=110215=34,故选B. 6.已知直线x+y-a=0与圆x 2+y 2=2交于A,B 两点,O 为坐标原点,向量OA →,OB →满足条件|2OA →-3OB →|=|2OA →+3OB →|,则实数a 的值为( ) (A) 2 (B)- 2 (C)±1 (D)± 2 答案D 由题意,|2OA →-3OB →|=|2OA →+3OB →|,两边平方,可得-12OA →²OB →=12OA →²OB →,即OA →²OB →=0.所以∠AOB=90°, 直线x+y-a=0的斜率k=-1,直线必过(- ,0)或( ,0). 当x=- 2,y=0时,a= 2.当x= 2,y=0时,a=- 2.故选D.7.已知m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题,错误的命题是( )(A)若m ∥α,m ∥β,α∩β=n,则m ∥n (B)若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,则m ⊥n (C)若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m ⊥α (D)若α∥β,m ∥α,则m ∥β 答案DA. 由m ∥α,m ∥β,α∩β=n,利用线面平行的判定与性质定理可得m ∥n,正确;B.由α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,利用线面、面面垂直的性质定理可得m ⊥n,正确.C.由α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,利用线面、面面垂直的性质定理可得m ⊥α,正确.D.由α∥β,m ∥α,则m ∥β或m ⊂β.因此不正确.故选D.8.阅读如图程序框图,如果输出k=5,那么空白的判断框中应填入的条件是( )(A)S>-25 (B)S<-26 (C)S<-25 (D)S<-24答案D 第一次执行循环体后,S=1,k=1,不满足输出的条件,k=2;第二次执行循环体后,S=0,k=2,不满足输出的条件,k=3; 第三次执行循环体后,S=-3,k=3,不满足输出的条件,k=4;第四次执行循环体后,S=-10,k=4,不满足输出的条件,k=5;第五次执行循环体后,S=-25,k=5,满足输出的条件,比较四个答案,可得条件为S<-24满足题意,故选D.9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各面中,面积最大的是( )(A)8 (B)4 5 (C)12 (D)16 答案C根据三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥ABCD, 且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中,所以,在三棱锥ABCD 中,BD=4 2,AC=AB= 42+22=2 5,AD= CD 2+A C 2=6,S △ABC =12³4³4=8.S △ADC =12³4³2 5=4 5,S △DBC =12³4³4=8,在三角形ABC 中,作CE ⊥AB 于E,连接DE,则CE=2 5=8 55,DE= DC 2+C E 2= 16+645, S △ABD =1³2 5³ 16+64=12.故选C.10.若函数f(x)=sin x(sin x- 3cos x)的图象向左平移π12个单位,得到函数g(x)的图象,则下列关于g(x)叙述正确的是( )(A)g(x)的最小正周期为2π (B)g(x)在[-π8,3π8]内单调递增 (C)g(x)的图象关于x=π12对称 (D)g(x)的图象关于(-π8,0)对称 答案C函数f(x)=sin x(sin x- 3cos x)=sin 2x- 3sin xcos x=12-12cos 2x- 32sin 2x=12-sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位,可得12-sin(2x+π6+π6)=12-sin(2x+π3)=g(x).最小正周期T=2π2=π,所以A 不对.由π≤2x+π≤3π,可得π≤x ≤7π,g(x)在[π,7π]内单调递增,所以B 不对;由2x+π=π+k π,可得x=π12+12k π,k ∈Z,当k=0时,可得g(x)的图象的对称轴为x=π12,所以C 对.由2x+π3=k π,k ∈Z,可得x=12k π-π6,k ∈Z,对称中心的横坐标为(12k π-π6,0),k ∈Z,所以D 不对.故选C.11.过双曲线x 2-y 215=1的右支上一点P,分别向圆C 1:(x+4)2+y 2=4和圆C 2:(x-4)2+y 2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( ) (A)10 (B)13 (C)16 (D)19答案B 圆C 1:(x+4)2+y 2=4的圆心为(-4,0),半径为r 1=2;圆C 2:(x-4)2+y 2=1的圆心为(4,0),半径为r 2=1,设双曲线x 2-y 215=1的左右焦点为F 1(-4,0),F 2(4,0),连接PF 1,PF 2,F 1M,F 2N,可得|PM|2-|PN|2=(|PF 1|2-r 12)-(|PF 2|2-r 22)=(|PF 1|2-4)-(|PF 2|2-1)=|PF 1|2-|PF 2|2-3=(|PF 1|-|PF 2|)(|PF 1|+|PF 2|)-3 =2a(|PF 1|+|PF 2|)-3=2(|PF 1|+|PF 2|)-3≥2²2c-3=13. 当且仅当P 为右顶点时,取得等号,即最小值为13.故选B.12.关于x 的方程xln x-kx+1=0在区间[1e ,e]上有两个不等实根,则实数k 的取值范围是( )(A)(1,1+1e ] (B)(1,e-1] (C)[1+1e,e-1] (D)(1,+∞) 答案A关于x 的方程xln x-kx+1=0,即ln x+1x =k,令函数f(x)=ln x+1x ,若方程xln x-kx+1=0在区间[1e ,e]上有两个不等实根,即函数f(x)=ln x+1,与y=k 在区间[1,e]有两个不相同的交点,f ′(x)=1x -1x 2,令1x -1x 2=0可得x=1, 当x ∈[1e ,1)时f ′(x)<0,函数是减函数,当x ∈(1,e]时, f ′(x)>0,函数是增函数,函数的最小值为f(1)=1.F(1e )=-1+e,f(e)=1+1e.函数的最大值为e-1. 关于x 的方程xln x-kx+1=0在区间[1,e]上有两个不等实根,则实数k 的取值范围是(1,1+1e].故选A. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,1 ,那么这组数据的方差s 2可能的最大值是 . 解析:设这组数据的最后2个分别是10+x,y,则9+10+11+(10+x)+y=50, 得x+y=10,故y=10-x,故s 2=15 [1+0+1+x 2+(-x)2]=25+25x 2, 显然x 最大取9时,s 2最大是1645. 答案:1645 14.已知a=(12, 32),b=(2cos α,2sin α),a 与b 的夹角为60°, |a-2b|= .解析:a=(12, 32),b=(2cos α,2sin α),a 与b 的夹角为60°, 可得|a|= 14+34=1,|b|= 2α+4sin 2α=2, a ²b=|a|²|b|²cos 60°=1³2³12=1, 则|a-2b|= (a -2b )2= a 2+4b 2-4a ·b = 1+4×4−4×1= 13. 答案: 1315.已知不等式组 2x -y ≥0,x -y ≤0,y +x -k ≤0表示的平面区域的面积为43,则y x +1的取值范围为 .解析:画出不等式组 2x -y ≥0,x -y ≤0,y +x -k ≤0表示的平面区域,如图所示.由题意可知k>0,可行域的三个顶点为A(0,0),B(k 2,k 2),C(k 3,2k3), 因为AB ⊥BC,|AB|= 2k 2, 点C 到直线AB 的距离为 2k , 所以S △ABC =12AB ²BC=12³ 2k 2³ 2k 6=43,解得k=4,则B(2,2),C 43,83, 又y 的几何意义为点N(-1,0)与可行域内任一点P(x,y)连线的斜率,所以k NA ≤k ≤k NC , 因为k NA =0,k ≤k NC =87, 所以y x +1的取值范围为0,87. 答案: 0,8716.双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点为F 1,F 2,其中F 2为抛物线C 2:y 2=2px(p>0)的焦点,设C 1与C 2的一个交点为P,若|PF 2|=|F 1F 2|,则C 1的离心率为 . 解析: 设P 位于第一象限,过P 向抛物线准线作垂线PH,则由抛物线定义,|PH|=|PF 2|=2c=|F 1F 2|, 则PF 2⊥F 1F 2,又P 在双曲线上, 则|PF 1|=2a+2c= 2²2c, 即a=( -1)c. 可得e=1+ . 答案:1+ 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,且满足a n+1=S n +2n+1(n ∈N *).(1)证明数列S n2n为等差数列;(2)求S1+S2+…+S n.(1)证明:由条件可知,S n+1-S n=S n+2n+1,即S n+1-2S n=2n+1,整理得S n+12n+1-S n2n=1,所以数列S n2n是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)可知,S n2n=1+n-1=n,即S n=n²2n,令T n=S1+S2+…+S n,T n=1²2+2²22+…+n²2n,①2T n=1²22+…+(n-1)²2n+n²2n+1,②①-②,-T n=2+22+…+2n-n²2n+1,整理得T n=2+(n-1)²2n+1.18.(本小题满分12分)如图,在圆柱中,矩形ABB1A1是圆柱的轴截面,CC1是圆柱的母线,AB=2,AA1=3,∠CAB=π3.(1)证明:AC1∥平面COB1;(2)在圆O所在的平面上,点C关于直线AB的对称点为D,求二面角D B1C B的余弦值.(1)证明:连接B1C1,BC1,设BC1∩B1C=M,连接MO,因为BB1CC1,所以四边形BB1C1C为平行四边形,所以M为BC1的中点,在△ABC1中,O为AB的中点,所以MO∥AC1,又AC1⊄平面B1CO,MO⊂平面B1CO,所以AC1∥平面COB1.(2)解:如图,因为AB 是圆O 的直径,所以AC ⊥BC.因为C 1C ⊥平面ABC,所以C 1C ⊥AC,C 1C ⊥BC, 又∠BAC=60°,AB=2,所以AC=1,BC= 3,AA 1=3,以点C 为坐标原点,分别以CA,CB,OC 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0, 3,0),C 1(0,0,3),O(12, 32,0),B 1(0, 3,3), 在圆O 上,C,D 关于直线AB 对称,△AOC 为正三角形,且OA=1,所以CD= 3OA= 3,∠ACD=30°,过点D 作DP ⊥x 轴,DQ ⊥y 轴,垂足分别为P,Q(图略),则CP=CD ²cos ∠ACD= 3³ 32=32, CQ=CD ²sin ∠ACD= 3³12= 32,所以D(32, 32,0),所以CD →=(32, 32,0), 设平面CDB 1的一个法向量n=(x,y,z),则 n ·CD →=3x + 3y =0,n ·CB 1→= 3y +3z =0,取y=- ,得n=(1,- ,1), 平面B 1BC 的一个法向量m=(1,0,0), 设二面角DB 1CB 的二面角为θ,则cos θ=|m ·n ||m |·|n |= 5= 55. 故二面角DB 1CB 的余弦值为 55.19.(本小题满分12分)某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为23. (1)求比赛三局甲获胜的概率; (2)求甲获胜的概率;(3)设甲比赛的次数为X,求X 的数学期望. 解:记甲n 局获胜的概率为 P n ,n=3,4,5,(1)比赛三局甲获胜的概率是P 3=C 33(23)3=827. (2)比赛四局甲获胜的概率是P 4=C 32(23)3(13)=827; 比赛五局甲获胜的概率是P 5=C 42(1)2(2)3=16;甲获胜的概率是P 3+P 4+P 5=6481. (3)记乙n 局获胜的概率为 P n ′,n=3,4,5.P 3′=C 33(13)3=127;P 4′=C 32(13)3(23)=227; P 5′=C 42(13)3(23)2=881.故甲比赛次数的分布列为所以甲比赛次数的数学期望是E(X)=3(127+827)+4(827+227)+5(1681+881)=10727. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 27−a 2=1(a>0)的焦点在x 轴上,且椭圆C 的焦距为2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l 与椭圆C 交于两点P,Q,过P 作PN ⊥x 轴且与椭圆C 交于另一点N,F 为椭圆C 的右焦点,求证:三点N,F,Q 在同一条直线上.(1)解:因为椭圆C:x 22+y22=1(a>0)的焦点在x 轴上,所以a 2>7-a 2,即a 2>72, 因为椭圆C 的焦距为2,且a 2-b 2=c 2, 所以a 2-(7-a 2)=1,解得a 2=4, 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)证明:由题知直线l 的斜率存在,设l 的方程为y=k(x-4),点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),N(x 1,-y 1), 则y =k (x -4),3x 2+4y 2=12,得3x 2+4k 2(x-4)2=12,即(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-12=0,Δ>0,x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2,由题可得直线QN 方程为y+y 1=y 2+y 1x 2-x1(x-x 1), 又因为y 1=k(x 1-4),y 2=k(x 2-4), 所以直线QN 方程为y+k(x 1-4)=k (x 2-4)+k(x 1-4)x 2-x1(x-x 1), 令y=0,整理得x=x 1x 2-4x 2-x 12+4x 1x 1+x 2-8+x 1=2x 1x 2-4(x 1+x 2)x 1+x 2-8=2×64k 2-123+4k 2-4×32k23+4k232k23+4k2-8=-243+4k232k 2-24-32k23+4k2=1, 即直线QN 过点(1,0),又因为椭圆C 的右焦点坐标为F(1,0), 所以三点N,F,Q 在同一条直线上.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax 2-a-ln x,其中a ∈R. (1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f(x)>1x-e 1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). 解:(1)f ′(x)=2ax-1x =2ax 2-1x(x>0).当a ≤0时,f ′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减. 当a>0时,由f ′(x)=0,有x= 2a. 此时,当x ∈(0, 2a )时,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当x ∈( 2a,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. (2)令g(x)=1x -1e x -1,s(x)=e x-1-x . 则s ′(x)=e x-1-1. 而当x>1时,s ′(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又由s(1) =0,有s(x)>0, 从而当x>1时,g(x)>0.当a ≤0,x>1时,f(x)=a(x 2-1)-ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时, 2a>1. 由(1)有f( 2a )<f(1)=0,而g( 2a)>0, 所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立. 当a ≥12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x ≥1), 当x>1时,h ′ (x)=2ax-1x +1x 2-e 1-x>x-1x +1x 2-1x =x 3-2x+1x 2>x 2-2x+1x 2>0,因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0, 即f(x)>g(x)恒成立.综上,a 的所有可能取值为[12,+∞) . 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是 x =−2+2cos θy =2sin θ(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=4sin θ. (1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标;(2)A,B 两点分别在曲线C 1与C 2上,当|AB|最大时,求△OAB 的面积(O 为坐标原点).解:(1)因为曲线C 1的参数方程是 x =−2+2cos θy =2sin θ(θ为参数), 所以曲线C 1的普通方程为(x+2)2+y 2=4. 又由曲线C 2的极坐标方程是ρ=4sin θ, 得ρ2=4ρsin θ,所以x 2+y 2=4y, 把两式作差,得y=-x, 代入x 2+y 2=4y,得2x 2+4x=0,解得 x =0,y =0或 x =−2,y =2,所以曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标为(0,0),(-2,2). (2)如图,由平面几何知识可知:当A,C 1,C 2,B 依次排列且共线时, |AB|最大,此时|AB|=2 +4, O 到AB 的距离为 , 所以△OAB 的面积为 S=12(2 2+4)³ 2=2+2 2. 23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.(1)若关于x 的不等式f(x)<g(x)有解,求实数a 的取值范围; (2)若关于x 的不等式f(x)<g(x)的解集为(b,72),求a+b 的值. 解:(1)当x=2时,g(x)=a-|x-2|取最大值为a,因为f(x)=|x+1|+|x-3|≥4,当且仅当-1≤x ≤3,f(x)取最小值4, 因为关于x 的不等式f(x)<g(x)有解, 所以a>4,即实数a 的取值范围是(4,+∞). (2)当x=7时,f(x)=5, 则g(72)=-72+a+2=5,解得a=132, 所以当x<2时,g(x)=x+92, 令g(x)=x+92=4,得x=-12∈(-1,3), 所以b=-12,则a+b=6.。

lar>x-r\M中正确命题的个数是()A.OB. 1C.2D. 3开始/输入gb,k /输出M /结束a=6b=二M r河北武邑中学2017-2017学年下学期高三期中考试数学(理)试题本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2. 回答选择砂选出每d题答案后用钳笔把答碗卜对应题目的答棠剧涂黑.如需改动，m3・考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一. 选抒题：本题共12小题，每小题5分・共60分.在每小题给出的四个选项中•只有一项是符合题目要冑的•.空八T.- (I)1. 己知集= {x|-x2 + x + 6 > 09XE N]9B = {-l,0,1,2}.贝=A・{1, 2}・ B・{0, L 2) C・(0, 1} D・{-1» 0, 1> 2}2. 己知实数加,办满A(m + n/)(4-2r) = 3/ + 5 •萸1加+丹=()9 “11厂9 f 11A. —B. —C. —D・—5 5 4 43. 给出下列命题:①已知a,b w /? M > 1且b>V^ab > 1 •啲充分条件;②已知平面向*a,b r\a\> 1悶> 1H是*+Q| > 1 ”的必要不充分条件;③己知a9b e R ra2 + F 21"是••制+同21 ”的充分不必要条件；④命題P: “丸wR ,使且lnx0<x0-l-的否定为一p: ••匕虫心都有e”<x + l且M = a + 丄b髙三(理〉数学期中考试试题36.执行石面的程序框图，如果输入的a, b.斤分别为1, 2, 3,输出的M= — 9那么，判断榷中应填・ 8入的条件为A ・ n<kB ・ n^kC ・ n<k^\ y ］：D ・ n<A + l7•总体由編号为01,02,・・・,・19,20的20个个体ST ・.：成，利用下面的晞机数表选取5个个体.•选 取方法是从建机数表笫1行的第5列和第6列数字开始 由左到右依次选取两个数字•【则选出来的第5个个体編号为 「•・『78166572Q862 63J4 0702 4369' 9728 01981 .解— 2234 ___49 35二 8200 3623 —4869.69387481A.03B. 07C. 02D.01•♦c • • • ••• • ••J ■ ■& ◎知w /? •点P(a,b)是直线x+y = 2k 与圆+ +护=疋-2R + 3的公共点,则ab 的最大值为()AA5 ' R 9 :CU ・1 : D.~ -・ .亠• •： 3 •• p-> + 2>01 ・•「'： ：9、若不等我如—5》+ 10S0；所农示的平面区域存在点(£,%)•,使心+a 儿+2M0成立，则实数・• ； : K x + y-8<0 ・・• ・ .a 的取值范国足()：•；••、二A. a <-1B. a <-\C. a >1D. a i 110. 北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志足者(编号分别杲1. 2.….30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作••其中三个編号较小的人在一组.三个編号较大 的在另一组.那么确保6号.15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数杲()D・A. 25B. 32 D. 1006311. RtLABC .两直角边SB = 1,/1C = 2 • D 定 MBC内一点，且ZDJB = 60° ,设'AD^XAB^R).则△=A.—B.—C.3D.2 历3 3】2.己知毬数/⑴的定义域为£>•若对于Va,^c€D,/(a)./(feX/(c)分别为某个三角形的边长，则称/(x)为^三角形函数：给出下列四个函数：①/⑴=lnx(e2 SxSK)；②/(x) = 4-cosx；③/(x)=込(1 vx v4)$④/⑴=-^―•其中为“三e +1角形前数"的个数是A.lB.2C.3D.4高三(理)数学期中考试试題・2・二. 填空题(每小题5分.共20分.把答案填写在答题纸的相应位置上)x>0x + 2 八313.若x・y满足约束条件〔2如川3,则z F-y的最小值是__________________ .14 •若(血・厅的展开式中『的系数一是80.則实数“的值是________________ ・15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，則该儿何体的表面积为 ____________________ ・16. 若函数/(x)的图歩上存在不同的两点A(x l9y｛) > 〃(勺必"其中X P/P X2»-V2使得I片不+y』2|・ Jx； + y：・+y：大值为0,贝IJ称函数/(x)是"柯西函数"・给出下列函数：(D/(x) = lnx(0<x<3)； ®/(x) = x + -(x>0)：③ /(x) = V2x1 2 3+8；④ /(x) = 72x2-8 ・x其中足“柯西因数”的为_____________________ (填上所冇正确答秦的序号)•9三. 解答题(本大题共70分列0分+12x5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤417. (本小题12分〉已知数列｛碍｝的前n项和为S,且满足S fl=^(a…-l),nG?r・(I)求数列｛*｝的通项公式；(U)令^=iog2a n.记数列打_［； +］)的前”项和为证明：18・(本小题12分)离二某班共有20名男生，在一次体脸中这20名男生被平均分成两个小组.第一组和第一•组男生的身高(单位：cm )的茎叶图如下:1根裾茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；2 从该班身高超过18(kvn的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；3在两纽身高位于［170,180)(单位cm)的男生中各随机选出2人.设这4人中身高位于［175,180)(单位：cm )的人数为% .求随机变"X的分布列和数学期虫.19. (木小题12分〉菱形ABCD的对角线/C与交于点O,AB = 5.AC^6 ,点E,F 分别在AD.CD上.亦三〈理)数学期中考试试题/1£ = CF = -, EF 交 BD 予AH ・将ADEF 沿 EF 析到 ADEF 位置.0D f = VlO ・4(】)证明：D77丄平面ABCDx (II)求二面角BW-C的正弦值.20. (本小题12分)设抛物线/=4mx(m>0)的准线与x轴交于你抛物线的焦点为巧.以你坊为魚点，离心率e = *的桶圆与拋物线的一个交点为E扌,芈)；自厅引宜线交抛物线于P、0两个不同的点.设丽二久屜・(1)求拋物线的方程和桶圆的方程；(J)若久€ £,1}求|PQ［的取值范围.21・(本小懸12分)已知函数/(x) = a2x-丄一2aln(axH丄・x 2(1)设g(x) = /(x)+丄.求的数g(x)的单调区间；(2)若a>09设A(x l J(x})). B(x29f(x2))为函数/(x)图娥上不同的两点.且满足/U)^/U) = >-设线段肋中点的横坐标为心证明，<^>1.四、请考生在第22. 23题中任选一题做答.如果多做.则按所做的第一题记分.做答时.用2B«5g在答题卡上把所选題目对应的題号涂黑.22•［选修44：坐标系与參数方程］(10分〉己知宜线/的参数方程^r Sm+rC°Sa(/为参数.OSav/r).以坐标原点为极点.x轴的正y-tsina半紬为极艳建立极坐标系•曲线C的极坐标方程为p = 48S0•射线0 = © (-兰v卩v兰)，0 =+兰.4 4 4 ・B 十丄分别与曲线C交于/!、B. C三点(不包括极点O).4(I)求证:\OB\^\OC\^42\OA\, (II)当0二誇时・若从C两点在直统/上，求加与a的值.23・(本小题10分)选修4・5：不竽式选讲己知函数/(x) = |x +加l+|2x-l|・(1)当加=1时.解不等式/(x)^3：⑵若mV*,且当xwpn,2初时.不零式”(x)s|x + l血成立，•求实数加的取值范围.拓三(理〉数学期中考试试理= 174,高三(理〉数学期中考试试JS试题解析：＜1)第一组学生身胚的中位数为172 + 176~2~ ■高三数学(理)试卷参考答案I. B 2. A 3.C4.B5. A6. C7. D &B 9. A 10.CII. A 12. C 13. -314.2.15. 4迈+ 2@+2、“・①④417.解：(I)当/i = 1时，有⑷・1),解得a 严4.4当几22时，有S-严亍,贝!J4 4碍=S. - S-i =亍(％-I)-j (a,, _ 1)昶得•厶=4a...数列｛%｝是以＜7 = 4为公比，以。

河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次模拟考试数学（理工）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.，，，A. B. C. D.【答案】C【分析】.【详解】因所以C.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（32.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z（1﹣i）=2，得则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】正视图：从前向后看；侧视图：从左向右看；俯视图：从上向下看。

【详解】由题可知该圆柱的正视图与俯视图是矩形，侧视图是圆形，故选A【点睛】本题考查三视图，属于简单题。

4. ( )A. B.C. D.【答案】A【分析】【详解】，得，即B,C,D，故选A。

【点睛】本题考查函数图形的判断，需借助导函数求单调区间与最值，结合函数与导数的关系，即可排除错误选项，考查分析解题的能力，属基础题。

5.）A. B. 5 C.【答案】C当且仅当时等号成立.综上可得：本题选择C选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6.则）A. B. C.【答案】C【分析】先由正弦定理计算再通过余弦定理计算出.所以故选C【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，解题的关键是通过正弦定理计算出般题。

河北武邑中学 2018 届高三下学期第一次模拟考试数学试题（理）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A x x1 0 ， Bx ln x 1 ，则 A IB （）A ．,1 B．,eC ．0,1D． 0,e2．若 z z 2 ，其中 z 为复数 z 的共轭复数， 且 z 在复平面上对应的点在射线y x x 0 上，则 z（）A ． 1 i B． 1 i 或 1 i C ． 1 i D ． 1 i 或 1 i3．甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙 ，标准差分别为甲、乙 ，则（）A ． x 甲 x 乙 ， 甲 乙C ． x 甲x 乙 ，甲 乙B ． x 甲 x 乙 ， 甲 乙D． x 甲x 乙 ，甲 乙x 2 y 04．设不等式组x y 2 0 表示的平面区域为，则（）x 0A ．原点 O 在内B． 的面积是 1C ． 内的点到 y 轴的距离有最大值 D．若点 P x 0 , y 0，则 x 0 y 0 05．设 Ax, y 0 x m,0 y1 ， s 为 e ne 为自然对数的底1 的展开式的第一项（数）， m n s ，若任取 a, bA ，则满足 ab 1 的概率是（）A．2B．1C．1 2 D．1 1 e e e e6．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为（）A．12 2 B．12 3C．62 D ． 6 37．已知函数 f x2 sin x ，其中f x 为函数 f x 的导数，求1e xf 2018 f 2018 f 2019 f 2019 （）A．2B ． 2019 C ． 2018 D ．08．执行如图的程序框图，当输入的n 351 时，输出的k（）A． 355 B ． 354 C ． 353 D ．3529．过抛物线C : y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于A x1, y1 、 B x2 , y2 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为O1，半径为 r .点 O1到C的准线l的距离与 r 之积为25，则r x1 x2 （）A． 40 B ． 30 C ． 25 D ． 2010．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1~9 的方法的一种 .例如： 163 可表示为“ ”， 27 可表示为“ ” . 问现有 8 根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ） A ． 48B ．60C．96D ．12011．偶函数 f x 定义域为,0 U 0,，其导函数是 f x ，当 0 x时，有222fx cosx f x sin x0 ，则关于 x 的不等式 fx2 fcos x 的解集为（）4A ．4 , B．,U 4 ,22 42C ．,0U0,44D ．,0 U , 44 212．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . D 、 E 是线段 AB 上满足条件uuur 1 uur uuruur 1 uur uuuruuur uur2，则当角 C 为钝角时，CD2CB CE ，CE CA CD的点，若 CD CEc2的取值范围是（）A ．12B．12C ．1 1D ．1 136 ,,9 36 ,18 ,91899第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．已知随机变量:N1,2，若P30.2 ，则 P1．3 n14．若x展开式的各项系数绝对值之和为1024 ，则展开式中 x 项的系数x为．ur ur ur ur ur ur ur15．若平面向量 e 1 ,e 2 满足 e 1 3e 1 e 2 2，则e 1 在 e 2 方向上投影的最大值是．16．在四面体 SABC 中， SA平面 ABC ， BAC 120 ， SA AC AB 2 ，若动点在该四面体的外接球内运动，则此点落在四面体SABC 内部的概率为．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知等差数列a n 中，公差 d 0 ， S 7 35 ，且 a 2 , a 5 , a 11成等比数列 .（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）若 T n 为数列1的前 n 项和，且存在 n N * ，使得 T na n 1 0 成立，求实数a nan 1的取值范围 .18． 据统计， 2017 年国庆中秋假日期间，石家庄动、植物园共接待游客 590.23 万人次，实现旅游收入 48.67 亿元，同比分别增长 44.57%、55.22%. 旅游公司规定： 若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元） ，则称为优秀导游 . 经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高. 已知甲、乙两家旅游公司各有导游100 名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（ 1）求 a,b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?2y （单位：万元） ，与其一年内旅游总收入 x（单位：百万元）之间的关（ ）若导游的奖金1, x20 系为 y2, 20x 40 ，求甲公司导游的年平均奖金；3, x40（ 3）从甲、乙两家公司旅游收入在50,60 的总人数中，随机的抽取 3 人进行表彰，设来自乙公司的人数为 ，求 的分布列及数学期望.19．如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAB 平面ABCD ， AB BC ，AD ∥ BC ，AD 3， PA BC 2 AB 2，PB 3 .（ 1）求证：BC PB ；（ 2）求二面角P CD A 的余弦值；（ 3）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长 .20．已知椭圆C :x2 y2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1, F2， B 为椭圆的上顶点，a2 b2BF1 F2为等边三角形，且其面积为 3 ，A为椭圆的右顶点.（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 M , N 两点（ M , N 不是左、右顶点），且满足MA NA ，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.21．已知函数 f x2e x3x22x 1 b ，x R 的图象在x0 处的切线方程为y ax 2 .（ 1）求函数 f x 的单调区间与极值；（ 2）若存在实数x ，使得 f x2x23x 2 2k 0 成立，求整数k 的最小值.请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOyx 1 2 cos为参数），以该直角坐标中，曲线 C 的参数方程是（y 2 sin系的原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3 sin cos m 0 .（ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（ 2）设点P m,0 ，直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，且PA PB 1 ，求实数 m 的值. 23．选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x 3x 1 3x k ， g x x 4 .（ 1）当k 3 时，求不等式 f x 4 的解集；21 ，且当xk,时，都有f xg x，求 k 的取值范围.（）设 k 13 3。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EFD '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n)1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列， ∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ， ∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1(),0,3,4(=-==，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0'011AD n n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ.20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ， 由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk .∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减.（2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ，不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a 上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列，∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ，∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(=-==AC AD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ. 20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （） ∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减. （2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ， 不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ， 所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

2018 年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第 1 卷一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）1．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知会合A={x|x 2＜ 1} ， B={y|y=|x|} ，则 A∩B=（）A． ? B．（0，1） C． [0 ，1） D．[0 ，1]2．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）设随机变量ξ～ N（ 3，σ2），若 P（ξ＞ 4） =，则 P（ 3＜ξ≤4） =（）A． B． C． D．3．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知复数z= （ i 为虚数单位），则3 =（）A． 1 B．﹣ 1 C．D．4．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）过双曲线﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0）的一个焦点 F 作两渐近线的垂线，垂足分别为P、 Q，若∠ PFQ= π，则双曲线的渐近线方程为（）A． y=±x B． y=±x C ． y=± x D． y=±x5．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）将半径为 1 的圆切割成面积之比为1： 2： 3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径挨次为r 1， r 2， r 3，那么 r 1+r 2+r 3的值为（）A．B． 2 C．D． 16．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运转后输出的结果是（）A．2B． 3C．4D．57．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）等差数列 {a n } 中， a3=7， a5=11，若 b n =，则数列{b n} 的前 8 项和为（）A．B．C．D．8．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知（10 2 10 x﹣ 3）=a0+a1（ x+1）+a2（ x+1） + +a10（ x+1），则 a8 =（）A． 45B． 180 C．﹣ 180D． 7209．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A． 16B． 8+6C． 16D． 16+610．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞ b＞ 0）的左焦点F（﹣ 3，0），P 为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣ 1，3）知足 PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知 f （ x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则 k 的取值范围为（）A． k≤ 0 B． k≤ 0 或 k≥ 1 C． k≤ 0 或 k≥ e D． k≤ 0 或 k≥12．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知数列{a n} 的通项公式为 a n=﹣ 2n+p，数列 {b n} 的通项公式为 b n =2n﹣4，设 c n= ，若在数列 {c n } 中 c6＜c n（ n∈ N*， n≠ 6），则 p 的取值范围（）A．（ 11， 25）B．（ 12， 22）C．（ 12， 17）D．（ 14， 20）第 2 卷二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．）13．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）若平面向量、知足||=2| |=2 ，|﹣|=，则在上的投影为．14．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）若数列{a n} 知足a1=a2=1，a n+2= ，则数列 {a n} 前 2n 项和 S2n=．15．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）若直线ax+（ a﹣ 2） y+4﹣ a=0 把地区分红面积相等的两部分，则的最大值为．16．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知函数 f （ x） =（ a+1） lnx+随意的 x1、 x2＞ 0，恒有 |f （ x1）﹣ f （x2） | ≥ 4|x 1﹣ x2| ，则 a 的取值范围为x2（ a＜﹣ 1）对．三、解答题（本大题共 5 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17．（ 12 分）（2018? 衡中模拟）在△ ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，知足 c=1，且 cosBsinC+ （ a﹣ sinB ） cos （ A+B） =0（1）求 C的大小；（2）求 a2+b2的最大值，并求获得最大值时角A， B 的值．18．（ 12 分）（ 2018? 衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AD∥ BC，∠A BC=90°， PA=AB=BC=2， AD=1， M是棱 PB中点．（Ⅰ）求证：平面 PBC⊥平面 PCD；PAB所成的角最大时，（Ⅱ）设点N 是线段 CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面求λ 的值．19．（ 12 分）（ 2018? 衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（ B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、 120°、 180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中随意一个指针恰巧落在分界限时，则此次转动无效，从头开始），记转盘（ A）指针所对的地区为x，转盘（ B）指针所对的地区为y，x、y∈{1 ，2，3} ，设 x+y 的值为ξ．（Ⅰ）求x＜ 2 且 y＞ 1 的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ 的散布列与数学希望．20．（12 分）（ 2018? 衡中模拟）已知椭圆E：+=1（ a＞ b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆订交于M、 N两点，且线段MN的中点为（﹣ 1，）．过椭圆E 内一点 P（ 1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C 和 B、D，且知足=λ，=λ，此中λ 为实数．当直线 AP平行于 x 轴时，对应的λ= ．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）当λ变化时， k AB能否为定值假如，恳求出此定值；若不是，请说明原因．21．（ 12 分）（ 2018? 衡中模拟）已知函数f （ x） = ，曲线y=f （x）在点x=e2处的切线与直线 x﹣2y+e=0 平行．（Ⅰ）若函数g（ x） = f （x）﹣ ax 在（ 1， +∞）上是减函数，务实数 a 的最小值；（Ⅱ）若函数F（ x） =f （ x）﹣无零点，求k 的取值范围．[ 选修4-1 ：几何证明选讲]22．（ 10 分）（ 2018? 衡中模拟）如下图，AC为⊙ O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥ AB；（Ⅱ）求证：AC? BC=2AD? CD．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程]23．（ 2018? 衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的一般方程；（2）若直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，求△ AOB的面积．[ 选修4-5 ：不等式选讲]24．（ 2018? 衡中模拟）已知函数 f （ x） =|x ﹣ l|+|x ﹣3|．（I ）解不等式 f （ x）≤ 6；（Ⅱ）若不等式 f （x）≥ ax﹣1 对随意 x∈ R 恒成立，务实数 a 的取值范围．参照答案与试题分析一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）1．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知会合A={x|x 2＜ 1} ， B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．?B．（0，1）C． [0 ，1）D．[0 ，1]【解答】解： A={x|x 2＜ 1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥ 0}，则 A∩B=[0 ， 1），应选： C．2．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ 2），若P（ξ＞4）=，则P（3＜ξ≤4） =（）A． B． C． D．【解答】解：∵随机变量X 听从正态散布N（ 3，σ2），∴μ =3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞ 4） =∴P（ 3＜ξ≤ 4） =﹣=．应选： C3．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知复数z= （ i 为虚数单位），则3 =（）A．1B．﹣ 1 C．D．【解答】解：复数z= ，可得 =﹣=cos +isin ．则3=cos4π +isin4 π=1．应选： A．4．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）过双曲线﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0）的一个焦点F 作两渐近线的垂线，垂足分别为A． y=± x B． y=±P、 Q，若∠ PFQ=x C ． y=± xπ，则双曲线的渐近线方程为（D． y=±x）【解答】解：如图若∠PFQ= π，则由对称性得∠QFO= ，则∠ QOx= ，即 OQ的斜率k= =tan =，则双曲线渐近线的方程为应选： By=±x，5．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）将半径为 1 的圆切割成面积之比为1： 2： 3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径挨次为r 1， r 2， r 3，那么r 1+r 2+r 3的值为（）A．B． 2 C．D． 1【解答】解：∵ 2πr1= ，∴ r 1= ，同理，∴r 1+r 2+r 3=1，应选： D．6．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运转后输出的结果是（）A．2B． 3C．4D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环， sin π＞ sin，即0＞1不可立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环， sin＞sinπ，即﹣1＞0不可立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环， sin2 π＞ sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环， sin＞sin2π，即1＞0 成立， a=1， T=2+1=3， k=6， k＜ 6 不可立，输出T=3，应选： B7．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）等差数列 {a n } 中， a3=7， a5=11，若 b n =，则数列{b n}的前 8 项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n} 的公差为d， a3=7，a5 =11，∴，解得 a1=3， d=2，∴a n=3+2（ n﹣ 1） =2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+ +﹣）=（1﹣）=应选 B．8．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知（ x﹣ 3）10=a0+a1（ x+1）+a2（ x+1）2++a10（ x+1）10，则 a8 =（）A． 45B． 180 C．﹣ 180D． 720【解答】解：（ x﹣ 3）10=[ （ x+1）﹣ 4] 10，∴，应选：D．9．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A． 16 B． 8 +6 C． 16 D． 16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4 的长方体切去四个小棱锥获得的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16 ．应选：C．10．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞ b＞ 0）的左焦点F（﹣ 3，0），P 为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣ 1，3）知足 PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由 F（﹣ 3， 0），可得 Q（ 3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a ，即|PF|=2a ﹣ |PQ| ，则|PM|+|PF|=2a+ （ |PM| ﹣ |PQ| ）≤ 2a+|MQ| ，当 P， M， Q共线时，获得等号，即最大值2a+|MQ| ，由|MQ|==5，可得 2a+5=17，所以 a=6，则 e= = = ，应选： A．11．（5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知 f （ x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k 的取值范围为（）A． k≤ 0 B． k≤ 0 或 k≥ 1 C． k≤ 0 或 k≥ e D． k≤ 0 或 k≥【解答】解：由 y=f （ x）﹣ kx=0 得 f （x） =kx ，作出函数 f （ x）和 y=kx 的图象如图，由图象知当k≤ 0 时，函数 f （x）和 y=kx 恒有一个交点，当 x≥ 0 时，函数 f （ x） =ln （x+1）的导数 f ′（ x） =，则f′（0）=1，当 x＜ 0 时，函数 f （ x） =e x﹣ 1 的导数 f ′（ x） =e x，则 f ′（ 0） =e0 =1，即当 k=1 时， y=x 是函数 f （x）的切线，则当 0＜ k＜ 1 时，函数 f （ x）和 y=kx 有 3 个交点，不知足条件．当 k≥ 1 时，函数 f （ x）和 y=kx 有 1 个交点，知足条件．综上 k 的取值范围为 k≤ 0 或 k≥ 1，应选： B．12．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知数列 {a n} 的通项公式为 a n=﹣ 2n+p，数列 {b n} 的通项公式为 b n =2n﹣4，设 c n= ，若在数列 {c n } 中 c6＜c n（ n∈ N*， n≠ 6），则 p 的取值范围（）A．（ 11， 25）B．（ 12， 22）C．（ 12， 17）D．（ 14， 20）【解答】解：∵ a n﹣ b n=﹣ 2n+p﹣ 2n﹣4，∴a n﹣ b n跟着 n 变大而变小，又∵ a n =﹣ 2n+p 跟着 n 变大而变小，b n=2n﹣4跟着 n 变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上 p∈（ 14， 20），应选 D．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．）13．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）若平面向量、知足||=2| |=2 ，|﹣|=，则在上的投影为﹣ 1．【解答】解：依据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣ 1．14．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）若数列 {a n} 知足 a1=a2=1，a n+2=，则数列 {a n} 前 2n 项和 S2n= 2n+n2﹣ 1．【解答】解：∵数列 {a n} 知足 a1=a2 =1， a n+2=，∴n=2k ﹣ 1 时， a2k+1﹣ a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k 时， a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为： 2n+n2﹣ 1．15．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）若直线ax+（ a﹣ 2） y+4﹣ a=0 把地区分红面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由 ax+（ a﹣ 2）y+4﹣ a=0 得 a（ x+y﹣ 1） +4﹣ 2y=0，则得，即直线恒过C（﹣ 1， 2），若将地区分红面积相等的两部分，则直线过AB 的中点 D，由得，即A（1，6），∵B（ 3， 0），∴中点D（ 2， 3），代入 a（ x+y ﹣1） +4﹣ 2y=0，得 4a﹣ 2=0，则，则的几何意义是地区内的点到点（﹣2， 0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为： 2．16．（ 5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知函数 f （ x） =（ a+1） lnx+ x2（ a＜﹣ 1）对随意的 x1、x2＞ 0，恒有 |f （ x1）﹣ f（ x2）| ≥ 4|x【解答】解：由 f ′（ x） =+ 1﹣x2|，则x，a 的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．得 f ′（ 1）=3a+1，所以 f （ x） =（ a+1） lnx+ax 2，（ a＜﹣ 1）在（ 0， +∞）单一递减，不如设0＜ x1＜ x2，则 f （ x1）﹣ f （x2）≥ 4x2﹣4x1，即 f （ x1） +4x1≥ f （x2） +4x2，令 F（ x） =f （ x） +4x，F′（ x）=f ′（ x） +4= +2ax+4，等价于 F（x）在（ 0， +∞）上单一递减，故 F' （ x）≤ 0 恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得 a≤﹣ 2．故答案为：（﹣∞，﹣ 2] ．三、解答题（本大题共 5 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17．（ 12 分）（2018? 衡中模拟）在△ ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，知足 c=1，且 cosBsinC+ （ a﹣ sinB ） cos （ A+B） =0（1）求 C的大小；（2）求 a2+b2的最大值，并求获得最大值时角 A， B 的值．【解答】解：（ 1） cosBsinC+ （ a﹣ sinB ） cos（A+B） =0可得： cosBsinC ﹣（ a﹣ sinB ） cosC=0即： sinA ﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴， c=1，∴a sinC ﹣ acosC=0，sinC ﹣ cosC=0，可得sin （C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知： c2=a2 +b2﹣ 2abcosC，得 1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当2 2取到最大值为 2+ ．时， a +b18．（ 12 分）（ 2018? 衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AD∥ BC，∠ABC=90°， PA=AB=BC=2， AD=1， M是棱 PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面 PCD；PAB所成的角最大时，（Ⅱ）设点N 是线段 CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面求λ 的值．【解答】证明：（ 1）取 PC的中点 E，则连结DE，∵ME是△ PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵P A=AB，M是 PB的中点，∴AM⊥ PB，∵P A⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，∴PA⊥ BC，又 BC⊥ AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面 PAB，∵ AM? 平面 PAB，∴BC⊥ AM，又 PB? 平面 PBC， BC? 平面 PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面 PBC，∵ AM∥ DE，∴DE⊥平面 PBC，又 DE? 平面 PCD，∴平面 PBC⊥平面 PCD．（2）以 A为原点，以AD， AB，AP 为坐标轴成立空间直角坐标系，如下图：则 A（ 0，0， 0），B（ 0， 2， 0）， M（ 0， 1， 1）， P（0， 0，2）， C（ 2， 2， 0）， D（ 1， 0，0）．∴=（1， 2， 0），=（ 0， 1，1），=（ 1， 0， 0），∴=λ=（λ， 2λ， 0），=（λ +1，2λ， 0），==（λ +1，2λ﹣ 1，﹣ 1）．∵AD⊥平面 PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos ＜＞=====设 MN与平面 PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ获得最大值，∴MN与平面 PAB所成的角最大时．19．（ 12 分）（ 2018? 衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（ B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、 120°、 180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中随意一个指针恰巧落在分界限时，则此次转动无效，从头开始），记转盘（ A）指针所对的地区为x，转盘（ B）指针所对的地区为y，x、y∈{1 ，2，3} ，设 x+y 的值为ξ．（Ⅰ）求x＜ 2 且 y＞ 1 的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ 的散布列与数学希望．【解答】解：（ 1）记转盘 A 指针指向 1， 2， 3 地区的事件为 A1， A2，A3，同理转盘 B 指针指向 1， 2， 3 地区的事件为 B1， B2， B3，∴P（ A1） = ，P（ A2） = ， P（ A3） = ，P（ B1）= ， P（ B2）= ， P（ B3）= ，P=P（ A1） P（ 1﹣P（ B1））= ×（ 1﹣）= = ．（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2， 3， 4， 5， 6，P（ξ=2） =P（ A1） P（ B1） = = = ，P（ξ =3） =P（ A1） P（ B2） +P（ A2） P（B1） = = ，P（ξ =4） =P（ A1）P（ B3）+P（ A2） P（B2）+P（ A3）P（ B1） = =，P（ξ=5） =P（ A2） P（ B3） +P（A3） P（ B2） = + = ，P（ξ =6） =P（ A3） P（ B3） = =，∴ξ 的散布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．（12分）20．（12 分）（ 2018? 衡中模拟）已知椭圆 E：+ =1（ a＞ b＞0），倾斜角为 45°的直线与椭圆订交于 M、 N两点，且线段 MN的中点为（﹣1，）．过椭圆 E 内一点 P（ 1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C 和 B、D，且知足=λ，=λ，此中λ 为实数．当直线 AP平行于 x 轴时，对应的λ= ．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）当λ变化时， k AB能否为定值假如，恳求出此定值；若不是，请说明原因．【解答】解：（Ⅰ）设 M（ m1， n1）、 N（ m2， n2），则，两式相减，2 2故 a =3b （ 2 分）当直线 AP平行于 x 轴时，设 |AC|=2d ，∵，，则，解得，故点 A（或 C）的坐标为．代入椭圆方程，得 4分a2=3， b2=1，所以方程为（6 分）（Ⅱ）设A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）、 C（ x3， y3）、 D（ x4， y4）因为，可得 A（ x1， y1）、 B（x2， y2）、 C（ x3，y3）、 D（ x4， y4），①同理可得② （8分）由①②得：③将点 A、 B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（ x1+x2）（x1﹣x2） +3（ y1 +y2）（ y1﹣ y2） =0，于是 3（ y1+y 2） k AB=﹣（ x1+x2）④同理可得： 3（ y3+y4）k CD=﹣（ x3+x4），（ 10 分）于是 3（ y3+y 4） k AB=﹣（ x3+x4）（∵ AB∥ CD，∴ k AB=k CD）所以 3λ（ y3 +y4） k AB=﹣λ（ x3+x 4）⑤由④⑤两式相加获得：3[y 1+y2+λ（ y3+y4） ]k AB=﹣ [ （x1 +x2） +λ（ x3+x4） ]把③代入上式得3（1+λ） k AB=﹣2（ 1+λ），解得：，当λ变化时， k AB为定值，．（12分）21．（ 12 分）（ 2018? 衡中模拟）已知函数 f （ x） =，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线 x﹣2y+e=0 平行．（Ⅰ）若函数g（ x） = f （x）﹣ ax 在（ 1， +∞）上是减函数，务实数 a 的最小值；（Ⅱ）若函数F（ x） =f （ x）﹣无零点，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0， 1）∪（ 1， +∞），而，又函数g（ x）在（ 1， +∞）上是减函数，∴在（ 1， +∞）上恒成立，∴当 x∈（ 1， +∞）时，的最大值．而，即右侧的最大值为，∴，故实数 a 的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数 F（ x）无零点，即在（ 0， 1）∪（ 1， +∞）内无解，亦即在（ 0，1）∪（ 1， +∞）内无解．结构函数，则，（1）当 k≤ 0 时， h' （ x）＜ 0 在（ 0，1）∪（ 1， +∞）内恒成立，∴函数 h（x）在（ 0， 1）内单一递减，在（ 1，+∞）内也单一递减．又 h（ 1） =0，∴当 x∈（ 0，1）时， h（ x）＞ 0，即函数 h（ x）在（ 0， 1）内无零点，同理，当 x∈（ 1， +∞）时， h（ x）＜ 0，即函数 h（ x）在（ 1， +∞）内无零点，故 k≤ 0 知足条件；（2）当 k＞ 0 时，．①若 0＜ k＜ 2，则函数 h（ x）在（ 0，1）内单一递减，在内也单一递减，在内单一递加．又 h（ 1） =0，∴ h（x）在（ 0， 1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴ 0＜k＜ 2 不知足条件；②若 k=2，则函数h（ x）在（ 0， 1）内单一递减，在（1， +∞）内单一递加．又 h（ 1） =0，∴当 x∈（ 0，1）∪（ 1， +∞）时， h（ x）＞ 0 恒成立，故无零点．∴k=2 满足条件；③若 k＞ 2，则函数 h（ x）在内单一递减，在内单一递加，在（1，+∞）内也单一递加．又 h（ 1） =0，∴在及（ 1， +∞）内均无零点．易知﹣ k k k2（k），，又 h（ e ） =k×（﹣ k）﹣ 2+2e =2e ﹣ k ﹣ 2=?则 ? ' （ k） =2（ e k﹣ k）＞ 0，则 ? （ k）在 k＞ 2 为增函数，∴ ? （ k）＞ ? （ 2） =2e2﹣ 6＞0．故函数 h（x）在内有一零点，k＞2不知足．综上： k≤0 或 k=2．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲]22．（ 10 分）（ 2018? 衡中模拟）如下图，AC为⊙ O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥ AB；（Ⅱ）求证：AC? BC=2AD? CD．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，因为 D为的中点，所以BD=DC．因为 E 为 BC的中点，所以DE⊥ BC．因为 AC为圆的直径，所以∠ ABC=90°，所以 AB∥ DE．（ 5 分）（Ⅱ）因为 D 为的中点，所以∠BAD=∠ DAC，又∠ BAD=∠DCB，则∠ DAC=∠DCB．又因为 AD⊥ DC， DE⊥ CE，所以△ DAC∽△ ECD．所以=，AD? CD=AC? CE，2AD? CD=AC? 2CE，所以 2AD? CD=AC? BC．（ 10 分）[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程]23．（ 2018? 衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的一般方程；（2）若直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，求△ AOB的面积．【解答】解：（ 1）由曲线 C 的极坐标方程为ρ=得ρ2sin 2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线 l 的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线 l 的一般方程为： x﹣ y﹣4=0（ 5 分）（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C的一般方程 y 2 =2x，得 t 2﹣ 8t+7=0 ，设 A， B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以 |AB|= = = ，因为原点到直线x﹣y﹣ 4=0 的距离 d= ，所以△ AOB的面积是|AB|d= =12．（ 10 分）[ 选修 4-5 ：不等式选讲]24．（ 2018? 衡中模拟）已知函数 f （ x） =|x ﹣ l|+|x﹣3|．（I ）解不等式 f （ x）≤ 6；（Ⅱ）若不等式 f （x）≥ ax﹣1 对随意x∈ R 恒成立，务实数 a 的取值范围．【解答】解：函数 f （ x） =|x ﹣ l|+|x﹣3|=的图象如下图，（I ）不等式 f （ x）≤ 6，即①或②，或③．解①求得x∈ ? ，解②求得3＜x≤ 5，解③求得﹣ 1≤ x≤ 3．综上可得，原不等式的解集为[ ﹣1，5] ．f （ x）的图象（Ⅱ）若不等式 f （x）≥ ax﹣1 对随意 x∈ R 恒成立，则函数不可以在 y=ax﹣ 1 的图象的下方．如下图：因为图中两题射线的斜率分别为﹣2， 2，点 B（ 3， 2），∴3a﹣ 1≤ 2，且 a ≥﹣ 2，求得﹣ 2≤ a≤ 1．。

河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次模拟考试 数 学 （理工）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，满足，，若，则集合( )A.B.C.D.2.在复平面内，复数z 满足(1)2z i -=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )A. B.C. D.4．函数1ln(1)y x x =-+的图象大致为:A B C D5.函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为:; A3- B 5 C 3+ D 3+6.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos ).C a B+b A c =1,3a b ==则c =（ ）A ．6B ．7 C.8 D ．97．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．2π15B ．3π20C ．1－2π15D ．1－3π208.已知函数的图象经过点，且关于直线对称，则下列结论正确的是( )A. 在上是减函数 B. 若是的一条对称轴，则一定有C.的解集是，D.的一个对称中心是9.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A. 32 B. 53 C. 21 D. 5210.一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．3C ．4D ．1211.设12、F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，若122130,60∠=∠=︒PF F PF F ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1 B ．2+ D ．4+12.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．14．在)5111x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于 .15.数列{}n a 满足：12,111+==+n n a a a :{}n a 的前n 项和为n S ，则=n S _______.16.已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本大题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2sin cos )b c A A =+.（I ）求sin C ； （II）若a =34B π=，求ABC ∆的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点为棱的中点．（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．19. 有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=（b ˆ精确到0.1），若某天的气温为15oC ，预测这天热奶茶的销售杯数；（Ⅱ）从表中的5天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于130的概率.参考数据：125027191242222=+++，6602942710419130121324=⨯+⨯+⨯+⨯. 参考公式：2121ˆ∑-∑-===ni i n i i i xn x yx n y x b，x by a ˆˆ-= 20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，并且点是线段的中点，求面积的最大值.21. 已知()ln f x x =,设1122(,ln ),(,ln )A x x B x x ,且12x x <,记1202x x x +=; （1）设()(1)g x f x ax =+-,其中a R ∈,试求()g x 的单调区间; （2）试判断弦AB 的斜率AB k 与0()f x '的大小关系,并证明; （3）证明：当1x >时,11ln xe x x x->+. 选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.） 22.选修4-4：坐标系与参数方程（本大题满分10分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为sin 56πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线:2x C y αα⎧=⎪⎨=-⎪⎩(α为参数).其中[)0,2a π∈. （Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.高三第一次模拟考试理数答案1.CDAAC 6-10:CBCDC 11-12:A B 13.-814， 9 15， 221--+n n16..17．解：（Ⅰ）由(2sin cos )b c A A =+得，sin 2sin sin sin cos sin()2sin sin sin cos B A C C A A C A C C A =+⇒+=+，所以1sin cos 2sin sin tan ,sin 25A C A C C C =⇒=⇒=；（Ⅱ）sin sin b B c C ===,b c ==，cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+=，由余弦定理得：22225222k k k =+-⇒=，所以2b c ==， 所以ABC的面积11sin 21222S ac B ==⨯=．18.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点． 理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形. 所以，，又平面，平面，所以，平面............6分（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，，，，，， 设平面的法向量为， 则由得，令，则，， 所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，，从而，所以直线与平面所成的角为................................12分19. 解：（Ⅰ）由表格中数据可得，4.12=x ,122=y ............................2分∴0.24.12621250122626602ˆ2121-≈⨯-⨯-=∑-∑-===ni i ni i i xn x yx n y x b..................................5分∴8.1464.120.2122ˆˆ=⨯+=-=x b y a∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为8.1460.2ˆ+-=x y...................6分 ∴当气温为15oC 时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为1178.1168.146150.2ˆ≈=+⨯-=y (杯) ......................8分（Ⅱ）设A 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于120”，B 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130”应为事件A B |..................................................10分∵53)(=A P ，52)(=AB P ∴32)()()|(==A P AB P A B P ∴已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130的概率为32.....12分20.【答案】（1）椭圆的方程为；（2）面积的最大值为：.【解析】(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为. (2)易得直线的方程为.当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在. 设直线的方程为,与联立消得,所以.设,则,.由,所以的中点,因为在直线上，所以,解得所以,得,且,又原点到直线的距离,所以，当且仅当时等号成立，符合,且.所以面积的最大值为：.21. 21. 解：（1）()ln(1)g x x ax =+-（1x >-），1()1g x a x '=-+若0a ≤，则1()01g x a x '=-≥+，它为(1,)-+∞上的增函数，若0a >，则增区间为1(1,1)a --，减区间为1(1,)a -+∞…………3分（2）2212122111121(ln 2)1AB x x x k x x x x x x x --=-+-+令211x t x =>，1()ln 21t h t t t -=-+，2'2212(1)()20(1)(1)t h t t t t t -=-=>++，而(1)0h =.故在(1,)+∞单调递增，故0122()AB k f x x x '>=+…………7分（3）当(1,)x ∈+∞时，原不等式等价于2ln 1x e x x >-，由（2）知1ln 21x x x ->+，即证21211x x e x x -⨯>-+，转化为21(1)2x e x >+.令21()(1)2x F x e x =-+，'()(1)0xF x e x =-+≥，(1)20F e =->，故(1,)x ∈+∞也成立. 12分22、解析：（1）5)6sin(=-πθρ ，即10cos sin 3=-θρθρ，又θρθρsin ,cos ==y x .∴直线l 的直角坐标方程为0103=+-y x .曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-==ααsin 22,cos 2y x C ：（α为参数），消去参数α可得曲线C 的普通方程为2)2(22=++y x . （2）由（1）可知，曲线C 是以)2,0(-为圆心，2为半径的圆. 圆心)2,0(-到直线l 的距离35)1()3(10)2(3022+=-+--⨯-=d ，∴点P 到直线l 距离的最大值为235++.23. 解：(Ⅰ)由()1f x ≤得|32|1x +≤， 所以1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232x a x +≥恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223x a x x x+≤=+.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =时等号成立)， 所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。

河北省武邑中学高三下学期一模考试数学（理）试题 Word 版含答案数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|M x y ==，(){}2|log 2N x y x ==-，则()R C M N =I （ ）A ．[)1,2B ．()[),12,-∞+∞UC ．[]0,1D ．()[),02,-∞+∞U 2.设复数z 满足()1|1|i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - CD3.下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．2y x =- C ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．|sin |y x =4. sin 2xdx ππ⎰的值为（ ）A ．2π B ．π C ．12D ．1 5.若变量,x y 满足不等式组21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，且3z x y =-的最大值为7，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．7 C. -1 D ．-76.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ）A ． 144种B ．180种 C. 288种 D ．360种 7.在Rt ABC ∆中，90A ∠=o ，点D 是边BC 上的动点，且3AB =u u u r ,4AC =u u u r ,()0,0AD AB AC λμλμ=+>>u u u r u u u r u u u r，则当λμ取得最大值时，AD u u u r 的值为( ) A ．72 B ． 3 C. 52 D ．1258.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为17,14，则输出的a =( )A ． 4B ．3 C. 2 D ．19.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+B ．2490641π++ 4848π+ D ．2466641π++ 10.在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为,a b ,则函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率（ ） A ．18π-B ．14π-C.34 D ．4π11.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为（ ）A ．32B 5 C. 35 D 512.定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足，()()()1f b f a f x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a -'=-则称函数()f x 是[],a b 上的“中值函数”.已知函数()321132f x x x m =-+是[]0,m 上的“中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知角a 的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线()4300x y x -=≤上,则cos sin a a -= ．14.8x y ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答） 15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8......,该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()222132243354a aa a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅()2201520172016a a a +-=．16.已知()42,4,a x x a x f x x x a x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩①当1a =时，()3f x =,则x = . 当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a =___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 中，11a =其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()n N *∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围.18. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(]0,50内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(]0,10，(]10,20，(]20,30，(]30,40，(]40,50分组，整理如下图：(1)写出频率分布直方图（图乙）中a 的值：记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售的方差分别为21S ，22S ，试比较21S 与22S 的大小（只需写出结论）；(2)从甲种酸奶机日销量在区间(]0,20的数据样本中抽取3个，记在(]0,10内的数据个数为X ，求X 的分布列；(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间(]0,10中的个数.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=o .（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值： （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,13.（1）求椭圆E 的方程； （2）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.21.设函数()()2ln 11f x x ax x =-+++，()()21x g x x e ax =-+，a R ∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程； （2）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （3）证明()()f x g x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为cos 4p πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标. 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|3|||2x x m m +++≥的解集为R . （1）求m 的最大值；（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=,求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值.试卷答案一、选择题1-5:BDDDA 6-10:CCDDB 11、12：CB二、填空题13.15 14.70 15.1 16. 4，116- 三、解答题17.解：（1）()21n n S n a =+Q ，()1122n n S n a ++=+∴，()121n n a n a +=+∴，11n na a n n+=+∴， 11111n n a a a n n -==⋅⋅⋅==-∴()n a n n N *=∈∴. （2）23n n b n λ=-，()()()21213132321n n n n n b b n n n λλλ++-=-+--=⋅-+，Q 数列{}n b 为递增数列，()23210nn λ⋅-+>∴，即2321n n λ⋅<+.令2321nn c n ⋅=+，则112321631232323n n n nc n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+， {}n c ∴为递增数列，12c λ<=∴，即λ的取值范围为(),2-∞.18.解（1）由图（乙）知，()100.020.030.0250.0151a ++++=解得0.01a =，2212s s >.（2）X 的所有可能取值1，2，3.则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：(1)由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(]0,10内，又因为分层抽样共抽取了1200560%=⨯个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（I ）知，乙种酸奶的日销量数据在(]0,10内的频率为0.1, 故乙种酸奶的日常销量数据在区间(]0,10内有400.14⨯=个. 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(]0,10内. 所以，在1200个数据中，在区间(]0,10内的数据有160个.19.（1）因为四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥.又PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC.（2）设AC BD O =I .因为60BAD ∠=o ,2PA AB ==.所以1BO =，3AO CO ==，如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,3,2P -，()0,3,0A -，()1,0,0B ，()3,0C 所以，()3,2PB =-u u u r ，()0,23,0AC =u u u r .设PB 与AC 所成角为θ，则6cos ||||||2223PB AC PB AC θ⋅===⨯u u u r u u u ru u u r u u u r .（3）由（2）知()3,0BC =-u u u r ，设()()0,3,0P t t ->.则()1,3,BP t =-u u u r，设平面PBC 的法向量(),y,z m x =u r ，则0,0BC m BP m ⋅=⋅=u u u r u r u u u r u r ，所以3030x y x y tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3y =，则3x =，6z t =，所以63,m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r .同理，平面PDC 的法向量63,n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r .因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以0m n ⋅=u r r ，即23660t-+=，解得6t =所以6PA 20.解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为点()0,1在椭圆E 上，所以1b =.故221a c +=.又因为c e a ==c =，2a =.所以椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点为()00,y M x . 联立12y x m =+ 和22440x y +-=，得：222220x mx m ++-=.由()()2222422840m m m ∆=--=->，可得m <<.所以122x x m +=-，21222x x m =-. 所以AC 中点为1,2M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.弦长AC =又直线l 与x 轴的交点()2,0N m -，所以MN =.所以222221542BN BM MN AC MN =+=+=.所以B 、N . 21.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()1,+∞，()()2211x ax a f x x -+'=-.当1a =时，()2426f a '=+=，()2437f a =+=.所以函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为()762y x -=-. 即65y x =-.（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()()2x g x x e a '=+. ①当0a =时，函数()()1x g x x e =-只有一个零点； ②当0a >，因为20x e a +>，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增. 又()01g =-，()1g a =，因为0x <，所以10x -<，1x e <所以()11x e x x ->-，所以()21g x ax x >+-取01142ax a--+=，显然00x <且()00g x >所以()()010g g <，()()000g x g <.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当0a <时，由()()20x g x x e a '=+=，得0x =，或()12x n a =-. )i 当12a <-，则()120n a ->.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.)ii 当12a =-，则()120n a -=，()g x 在(),-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.若12a >-，则()120n a -≤.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到当0x <，0a <时，()()210x g x x e ax =-+<，()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是()0,+∞.（Ⅲ）证明：()()()()1111x g x f x x e n x x -=-----.设()()()1111x h x x e n x x =-----，其定义域为()1,+∞，则证明()0h x ≥即可. 因为()111t x x x h x xe x e x x ⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭，取311X e -=+，则()()1310x t h x x e e =-<，且()20t h >.又因为()()()21101tt x h x x e x =++>-，所以函数()t h x 在()1,+∞上单增.所以()0t h x =有唯一的实根()01,2x ∈，且0011x e x =-. 当01x x <<时，()0t h x <；当0x x >时，()0t h x >. 所以函数()h x 的最小值为()0h x .所以()()()()00000001111110x h x h x x e n x x x x ≥=-----=+--=. 所以()()f x g x ≤.22.解：（1）1C 的普通方程为2213y x +=，2C 的直角坐标方程为60x y +-=.（2）由题意，可设点P的直角坐标为()cos αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()36d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭.当且仅当()23k k Z παπ=+∈时，PQ取得最小值，最小值为P 的直角坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23.解：（1）因为()()333x x m x x m m +++≥+-+=-， 当3x m -≤≤-或3m x -≤≤-时取等号， 令32m m -≥所以32m m -≥或32m m -≤-. 解得3m ≤-或1m ≤， m ∴的最大值为1.（2）1a b c ++=Q .由柯西不等式，()()22221112341234a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，2221223413a b c ++≥∴，等号当且仅当234a b c ==，且1a b c ++=时成立.即当且仅当613a =，413b =，313c =时，2222342a b c ++的最小值为1213.。

河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次模拟考试数学（理工）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，满足，，若，则集合( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，化简,再由可得结果.【详解】因，所以，由可得，所以,所以，可得,解得，即集合，故选C.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z（1﹣i）=2，得z=，∴．则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】正视图：从前向后看；侧视图：从左向右看；俯视图：从上向下看。

【详解】由题可知该圆柱的正视图与俯视图是矩形，侧视图是圆形，故选A【点睛】本题考查三视图，属于简单题。

4.函数的图象大致为 ( )A. B.C. D.【答案】A【分析】令，求出的单调区间及最值，即可排除错误选项。

【详解】令，则，令，得，即在上单调递增；令，得，即在上单调递减。

所以当时，有最小值，所有，所以对于任意，都有，故排除B,C,D，故选A。

【点睛】本题考查函数图形的判断，需借助导函数求单调区间与最值，结合函数与导数的关系，即可排除错误选项，考查分析解题的能力，属基础题。