数学学科研究性学习活动设计2---一元二次方程答案

一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a ≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x 2-81=0；4，0，-81（3）4x 2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x 2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0；（2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0；（3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得：a=-43. 四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.。

人教版九年级数学上册21.1一元二次方程导学案（含答案）21.1一元二次方程（导学案）学习目标1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，），能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；4.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣.重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点：由实际问题列出一元二次方程.准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项..学习过程一、创设问题情境阅读以下问题:问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛思考:(1)全场共比赛__________场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他__________个队各赛一场,全场共比赛__________场.由此,我们可以列方程__________.化简得__________.问题4一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得________．整理，得.二、揭示问题规律观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数它的最高次数是几它们有什么共同特点2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义: .3.下面哪些数是上述问题4方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．三、尝试应用【例1 】判断下列方程是否为一元二次方程.(1)3x+2=5y(2)x2=4(3)x2-4=(x+2)2(4)-1=x2【例2】将下列方程化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项及它们的系数:3x(x-1)=5(x+2).[例3]判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：(1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7)(2)五、自主总结1.本节重点学习的是什么方程一般形式是什么特别应该注意什么2.在把一元二次方程转化为一般形式的过程中需要注意什么问题3.本节课用了那些数学方法？六、达标测试1.若（p-2)x2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则（）A.p=2B.p≠0C.p>2D.p≠22.把方程(x-2)(x+2)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.5、-4、6B.1、-5、0C.5、-2、1D.5、-4、33.下列各未知数的值是方程的解的是（）A. B. C. D.4.方程的一次项是（）A. B. C. D.5.把化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______.6.已知m是方程的一个根，则代数式________.7.某药厂两年前生产某种药品每吨的成本是100万元，现在生产这种药品每吨的成本为81万元．设这种药品的成本的年平均下降百分率为x，则可列方程为__________.8.已知：关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是x=-a(a≠0)，则a-b的值为.根据题意列出方程（不必解答）两个连续整数的积是210，求这两个数；在一块长250米，宽150米的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1191平方米，求这条道路的宽度。

第二十一章一元二次方程单元要点分析教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：21．1 一元二次方程2课时21．2 降次──解一元二次方程7课时21．3 实际问题与一元二次方程4课时教学活动、习题课、小结3课时21．1 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．态度、情感、价值观4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材练习1、2四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材习题22．1 1、2．2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：所以，________<x<__________第二步：所以， （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．答案:一、1．A 2．B 3．C二、1．3，-2，-42．ax+bx+c=0（a ≠0）3．a ≠1三、1．化为：ax 2+（+1）x+1=0，所以，当a ≠0时是一元二次方程．2．可能，因为当21220m m m +=⎧⎨+≠⎩，∴当m=1时，该方程是一元二次方程．3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3数学选择题解题技巧1、排除法。

第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识点1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 .3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。

一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．5x+3=0B ．x 2-x （x+1）=0C ．4x 2=9D ．x 2-x 3+4=03．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．a=±2B ．a=-2C ．a=2D ．a 为任意实数4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或-1D ．06．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-17．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012二．填空题9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程； 10．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .11．方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 .12．（2012•柳州）一元二次方程3x 2+2x-5=0的一次项系数是 .13．关于x 的一元二次方程3x （x-2）=4的一般形式是 .14．（2005•武汉）方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .15．（2007•白银）已知x=-1是方程x 2+mx+1=0的一个根，则m= .16．（2010•河北）已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ．17．（2013•宝山区一模）若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 .18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c= ，a-b+c= ．三．解答题19．若（m+1）x|m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．20．（2013•沁阳市一模）关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．2１．一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求0222=-+c b a 的值的算术平方根．21.1 一元二次方程知识点1.一，最高次数是2的整式。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题02 解一元二次方程考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022八下·淮北期末）若实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，则（ ）A ．240b ac ->B ．240b ac -<C ．240b ac -≥D ．240b ac -≤【答案】C【完整解答】解：∵0a b c ++=，∴b a c =--，∴()2244b ac a c ac-=---2224a ac c ac =++-222a ac c =-+()2a c =-≥故答案为：C【思路引导】先求出b a c =--，再代入计算求解即可。

21.1 一元二次方程学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

其中为一元二次方程的是：【我学会了】2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

自主探究：自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（1）（2）【巩固练习】教材第27页练习2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）±1 ±2；（2）±2，±4（2）把方程 2（x-1）2+2x=16 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

2、要使是一元二次方程，则k=_______.3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。

一元二次方程的相关教案【优秀3篇】元二次方程篇一[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。

因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。

一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。

[学生分析]进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。

因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。

再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。

[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。

能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根及系数。

理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。

[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？由此疑问，导入新课。

(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。

初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。

我在这些方程中安排了两个无理根方程。

课题:22.2 二次函数与一元二次方程（1） 一、学习目标1．通过探索理解二次函数与一元二次方程之间的联系。

2．能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高用数学的意识。

3．进一步培养综合解题能力，掌握数形结合思想。

二、教材导学已知二次函数y ＝x 2－x －34，回答以下问题： （1）写出二次函数的顶点式；（2）画出函数图象；（3）指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.三、引领学习知识点1:如何确定自变量的值1.二次函数x x y 42+-=的值为2，求自变量x 的值，可以看作是解一元二次方程________________；解方程0962=+-x x 又可以看作是已知二次函数______________的值为0，求自变量的值。

2.12--=x x y（1）当x 为何值时，函数值y=1?（2）当x 为何值时，函数值y=5?（3）是否存在x 值，使函数值y=-3?若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由。

知识点2：二次函数与一元二次方程之间的关系问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。

考虑以下问题：⑴ 球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？⑵ 球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？分析：由于球的飞行高度h 与飞行时间t 有函数关系2205h t t =-，所以，可以将问题中h 的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h 的值。

解：（1）（2）（3）（4）归纳：二次函数与一元二次方程有如下关系①函数2y ax bx c =++,当函数值y 为某一确定值m 时,对应自变量x 的值就是方程_________________的根.②特别是0y =时，对应自变量x 的值就是方程_____________的根。

（1）依据平方根的意义，将形如2x p =的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．（2）步骤：①将方程转化为2x p =（或()2mx n p +=）的形式；②分三种情况降次求解：（ⅰ）当0p >时，1x =2x =；（ⅱ）当0p =时，120x x ==；（ⅲ）当0p <时，方程无实数根．典型例题例题1．（2022·江苏宿迁·九年级期末）一元二次方程x 2＝4的解是（ ）A ．x ＝±4B ．x ＝2C ．x ＝±2D ．x ＝﹣2【答案】C【详解】解：∵x 2=4，∴x =±2．故选C ．点评：例题1是简单的一元二次方程，可根据数的开方直接解，也可通过观察法求出其解．例题2．（2022·江苏·九年级）用直接开平方法解方程(x ﹣3)2＝8，得方程的根为（ ）A ．x ＝B ．x ＝3﹣C ．x ＝D ．x ＝【答案】D【详解】解：方程两边开平方得：x ﹣3＝，解得：x 1＝x 2＝3﹣，故选：D ．点评：例题2主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．例题3．（2022·全国·九年级单元测试）小明用直接降次法解方程()()22452x x -=-时，得出一元一次方程452x x -=-，则他漏掉的另一个方程为____．【答案】x -4=-（5-2x ）【详解】解：开平方，得x -4=±（5-2x ），∴x -4=5-2x 或x -4=-（5-2x ），∴他漏掉的另一个方程为x -4=-（5-2x ），故答案为：x -4=-（5-2x ）．点评：例题2、3主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．同类题型演练1．（2022·江苏·九年级专题练习）一元二次方程x 2﹣25＝0的解为（ ）A ．x 1＝x 2＝5B ．x 1＝5，x 2＝﹣5C ．x 1＝x 2＝﹣5D ．x 1＝x 2＝25【答案】B【详解】解：x 2﹣25＝0，则x 2＝25，解得：x 1＝5，x 2＝﹣5，故选：B ．2．（2022·全国·九年级）若方程（x ﹣1）2＝m ＋1有解，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤﹣1B ．m ≥﹣1C ．m 为任意实数D ．m ＞0【答案】B【详解】解：∵关于x 的方程（x ﹣1）2＝m +1有解，∴m +1≥0，∴m ≥﹣1．故选：B ．3．（2022·河南平顶山·九年级期末）方程()234-=x 的根为（ ）A ．125x x ==B ．15=x ，21x =C ．121x x ==D ．17x =，21x =-【答案】B【详解】解：由()234x -=，得-32x =±，解得125,1x x ==；故选：B ．4．（2022·全国·九年级课时练习）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程()2325x =＋可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋3＝5，则另一个一元一次方程是________．【答案】35x +=-【详解】解：()2325x =＋Q ，35x \+=或35x +=-，故答案为：35x +=-．5．（2022··23(21)0x --=的解是_______．【答案】12x x 【详解】解：23(21)0x --=即()2213x -=21x \-21x -=12x x \故答案为：1x 类型二：用配方法解一元二次方程1．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．利用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x ±m ）2=n 的形式；（4）用直接开平方解变形后的方程．解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．典型例题例题1．（2022·四川宜宾·九年级期末）方程221x x +=的左边配成完全平方后所得方程为（ ）A ．()2x 11+=B ．()212x -=C ．()212x +=D ．()211x -=【答案】C【详解】∵x 2+2x = 1∴x 2+2x +1= 2∴(x +1)2= 2故选： C ．点评：例题1考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例题2．（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程280x mx -+=用配方法化为23)x n -=（，则m n +的值是_______．【答案】7【详解】解：∵23)x n -=（，∴x 2-6x +9-n =0，∵280x mx -+=，∴-m =-6，9-n =8，则m =6，n =1．∴m +n =6+1=7故答案为：7．点评：例题2考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够把完全平方式化成一般式是解此题的关键．例题3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0（用配方法）【答案】x 1＝1，x 2＝1【详解】解：2x 2﹣4x ﹣1＝0x 2﹣2x 12-=0x 2﹣2x +112=+1（x ﹣1）232=∴x 1＝1x 2＝11．（2022·江苏·九年级阶段练习）将方程x 2−4x ＋1＝0化成（x ＋m ）2＝n 的形式是（ ）A ．（x −1）2＝12B ．（2x −1）2＝12C ．（x −1）2＝0D ．（x −2）2＝3【答案】D【详解】解：x 2-4x +1=0，x 2-4x =-1，配方，得x 2-4x +4=-1+4，即（x -2）2=3，故选：D ．2．（2022·全国·九年级单元测试）用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同时加上16的是（ ）A ．x 2+32x ＝3B ．x 2﹣4x ＝5C ．x 2+8x ＝1D ．x 2﹣16x ＝4【答案】C【详解】解：A ．用配方法解一元二次方程x 2＋32x ＝3时，应当在方程的两边同时加上256，不合题意；B ．用配方法解一元二次方程x 2−4x ＝5时，应当在方程的两边同时加上4，不合题意；C ．用配方法解一元二次方程x 2＋8x ＝1时，应当在方程的两边同时加上16，符合题意；D ．用配方法解一元二次方程x 2−16x ＝4时，应当在方程的两边同时加上64，不合题意；故选：C ．3．（2022·江苏·九年级专题练习）用配方法将方程2230x x --=变为2()x a b -=的形式，则a b +=________．【答案】5【详解】解：方程2230x x --=，变形得：x 2−2x ＝3，配方得：x 2−2x ＋1＝4，即（x −1）2＝4，∴a ＝1，b ＝4，∴a ＋b ＝5故答案为：5．4．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程23210x x +-=．【答案】11x =-，213x =【详解】解：原方程可化为：22133x x +=22221113333x x æöæö++=+ç÷ç÷èøèø21439x æö+=ç÷èø1233x +=±，11x =-，213x =．5．（2022·江苏·九年级课时练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．23830x x +-=解：28103x x +-= 第一步22841033x x æö++-=ç÷èø 第二步24103x æö+-=ç÷èø 第三步2413x æö+=ç÷èø 第四步413x +=± 第五步所以，1217,33x x =-=- 第六步任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误；任务二：请你直接写出该方程的正确解．【答案】任务一：配方法；完全平方公式，二；任务二，13x =-，213x =【详解】解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上243æöç÷èø，∴第二步开始出现错误，故答案是：配方法，完全平方公式，二；任务二：解：23830x x +-=，∴28103x x +-=，∴2228441333x x æöæö++-=ç÷ç÷èøèø，∴242539x æö+=ç÷èø，∴4533x +=±，∴13x =-，213x =．类型三：用公式法解一元二次方程1．一元二次方程根的判别式：一般地，式子24b ac -叫做方程()200ax bx c a ++=¹根的判别式，通常用希腊字母D 表示，即24b ac D =-．（1）当D >0时，方程()200ax bx c a ++=¹有两个不相等的实数根，即x =．（2）当D =0时，方程()200ax bx c a ++=¹有两个相等的实数根，即122b x x a==-．（3）当D <0时，方程()200ax bx c a ++=¹没有实数根．2．求根公式：当0D ³时，方程()200ax bx c a ++=¹的实数根可写为x =的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式．3．公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式；（2）确定a 、b 、c 的值；（3）计算24b ac -的值；（4）当240b ac -³时，把a 、b 、c 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当240b ac -<时，方程没有实数根．典型例题例题1．（2021·广西桂林·九年级阶段练习）若关于x 的一元二次方程2240x x m --=有两个相等的实数根，那么m 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．1-【答案】A【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2240x x m --=有两个相等的实数根，∴()()24420m --´´-=△=，∴2m =-．故选：A ．点评：例题1考查根的判别式．一元二次方程()200++=¹ax bx c a 根的情况与根的判别式（24b ac =-△）有如下关系：①当0>V 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当0=V 时，方程有两个相等的两个实数根；③当0<V 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．解题的关键是熟练运用根的判别式．例题2．（2021·河北保定·九年级期末）如果关于x 的一元二次方程240x x k --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．4k <-B ．4k >-C ．4k <且0k ¹D ．4k >-且0k ¹【答案】B【详解】解：∵一元二次方程240x x k --=有两个不相等的实数根，∴Δ＝2b −4ac ＝16＋4k ＞0，解得4k >-．故选：B ．点评：例题2考查了根的判别式：一元二次方程2ax ＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与△＝2b −4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．例题3．（2022·河南三门峡·九年级期末）如果关于x 的方程250x x k -+=没有实数根，那么k 的取值范围是_________．【答案】254k >【详解】解：由题意得，D <0240b ac \-<2540k \-<\254k >故答案为：254k >．点评：例题3考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．例题4．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）解方程：2390x x --=．【答案】1x =，2x =【详解】解：∵1a =，3b =-，9b =-，∴93645D =+=>0，∴x ==∴1x 点评：例题4主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键．例题5．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +（m ﹣1）＝0有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若该一元二次方程的一个根为x ＝1，求m 的值．【答案】(1)全体实数(2)m ＝﹣1【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +（m ﹣1）＝0有实数根，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（2m +1）2﹣4×1×（m ﹣1）＝4m 2+5＞0，∴m 的取值范围是全体实数．（2）将x ＝1代入原方程，1﹣（2m +1）+（m ﹣1）＝0，解得：m ＝﹣1．点评：例题5考查了根的判别式、一元二次方程的解，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=b2-4ac≥0”是解题的关键．同类题型演练1．（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程 210x x -+= 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有一个实数根【答案】A【详解】解：∵一元二次方程 210x x -+=中，1,1,1a b c ==-=∴241430b ac D =-=-=-<，\该方程没有实数根，故选A ．2．（2021·广西玉林·九年级阶段练习）若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a <1B ．a ≤1C ．a ≠0D ．a <1且a ≠0【答案】D【详解】解：根据题意得a ≠0且Δ＝22﹣4a >0，所以a <1且a ≠0．故选：D ．3．（2022·上海·中考真题）已知x 2-+m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】m <3【详解】解：∵x -+m =0有两个不相等的实数根，∴Δ2-4m >0解得：m <3，故答案为: m <3．4．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期末）解方程(1)23840x x -+=(2)()()22213x x -=-【答案】(1)1222,3==x x(2)124,-23x x ==【详解】(1)Q 3,8,4a b c ==-=，∴x =∴1222,3==x x ；(2)原方程可化为： 23280x x +-=，∵3,2,-8a b c ===，∴x =∴124,-23x x ==5．（2022·江苏·九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +3）x +3m ＝0．(1)求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m 的值．【答案】(1)见解析(2)m 的值为4或3【解析】（1）证明：Δ＝[﹣（m +3）]2﹣4×1×3m ＝m 2﹣6m +9＝（m ﹣3）2．∵（m ﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当腰为4时，把x ＝4代入x 2﹣（m +3）x +3m ＝0，得，16﹣4m ﹣12+3m ＝0，解得m ＝4；当底为4时，则程x 2﹣（m +3）x +3m ＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m ﹣3）2＝0，∴m ＝3，综上所述，m 的值为4或3．类型四：用因式分解法解一元二次方程1．当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．2．当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为0．3．当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．典型例题例题1．（2021·河南南阳·九年级期中）方程()()236x x -+=-的解是（ ）A ．2x =B ．3x =-C ．12x =，23x =-D ．10x =，21x =-【答案】D【详解】解：()()236x x -+=-20x x +=()10x x +=10x =，21x =- ．故选D ．点评：例题1考查用因式分解法解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．例题2．（2022·广西河池·九年级期末）方程()()353x x x -=-的解是______．【答案】13x =，25x =【详解】解：原方程可化为：（x －3）（x －5）=0，∴x －3=0或x －5=0，解的：x 1=3，x 2=5．点评：例题2考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的解法是解答的关键．例题3．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：(1)2(3)(21)(3)x x x -=--；(2)23202x x --=．【答案】(1)3x =，2x =-(2)1x =1x =【详解】（1）解：2(3)(21)(3)x x x -=--原方程可化为2(3)(21)(3)0x x x ----=(3)[(x 3)(2x 1)]0x ----=(3)(2)0x x ---=∴13x =，22x =-；（2）23202x x --=原方程可化为23240x x --=a =3，b =-2，c =-424b acD =-2(2)43(4)=--´´-．1．（2020·海南省直辖县级单位·九年级期末）一元二次方程29x x =的根是（ ）A ．10x =，29x =B ．3x =C ．0x =D ．13x =，23x =-【答案】A【详解】解：∵29x x =，∴290,x x -=∴()90,x x -=∴0x =或90,x -=解得：120,9.x x ==故选：A ．2．（2022·河北承德·九年级期末）下列各数：4-，3-，2-，3，4，6，其中是一元二次方程2120x x +-=的解是（ ）A ．2-，6B ．3-，4C ．3，4D ．4-，3【答案】D【详解】解：∵2120x x +-=，∴(4)(3)0x x +-=，∴14x =-，23x =，故选：D3．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：1+22x -3x 2＝25解得 ____．【答案】1246,3x x ==【详解】解：1+22x -3x 2＝252322240-+=x x ()()6340x x --=解得：1246,3x x ==；故答案为1246,3x x ==．4．（2022·河北承德·九年级期末）解方程(1)220x x -=(2)2430x x -+=【答案】(1)1x ＝0，2x ＝2；(2)1x ＝3，2x ＝1【详解】（1）解：2x −2x ＝0，x （x −2）＝0，x ＝0或x −2＝0，所以1x ＝0，2x ＝2；（2）2x −4x ＋3＝0，（x −3）（x −1）＝0，x −3＝0或x −1＝0，所以1x ＝3，2x ＝1．5．（2022·河北保定·九年级期末）对于实数a b 、定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222´-´==☆，如果有方程12x =☆，请你求出这个方程的解．【答案】x ＝2，或x ＝﹣1【详解】解：根据题意由方程1☆x =2得：22x x -=整理得：220x x --=（x -2）（x +1）=0x -2=0或x +1=0解得：x ＝2，或x ＝﹣1类型五：一元二次方程的根与系数的关系1．根与系数的关系：如果方程()200ax bx c a ++=¹有两个实数根1x ，2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a×=．2．推导过程：在()200ax bx c a ++=¹中，当240b ac -³时，由求根公式可得1x =2x =所以12b x x a+==-，()()2212244b b ac c x x a a---×===．3．涉及两根的代数式的重要变形：（1）()2221212122x x x x x x +=+-；（2）()()221212124x x x x x x -=+-；（3）12121211x x x x x x ++=；（4）()212121221122x x x x x x x x x x +-+=．典型例题例题1．（2022·全国·九年级单元测试）若一元二次方程x 2-2x =0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2的值为（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．0【答案】D【详解】解：∵x 2-2x =0的两根分别为x 1和x 2，∴x 1x 2=0，故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于c a 是解题的关键．例题2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）若,m n 是220200x x --=的两个实数根，则22m m n ++的值为________．【答案】2022【详解】∵m 、n 是方程x 2+2x -1=0的两个实数根∴220200m m --=，m +n =1，∴m 2=2020+m ，∴222020220202()2022m m n m m n m n ++=+++=++=，故答案为：2022．点评：例题3考查一元二次方程的根及3根与系数的关系，解题的关键是掌握解的定义和韦达定理．例题3．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x 的一元二次方程()220x m x m +++=，(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若1x ，2x 是原方程的两根，且12112x x +=-，求m 的值．【答案】(1)见解析(2)2m =【详解】（1）证明：∵()22242440b ac m m m D ＞=-=+-=+，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题可知，()122m x x =-++，12x x m =，∴()1212122112m x x x x x x m-+++===-，解得2m =，经检验m =2有意义．1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知1x ，2x 是一元二次方程210x x --=的两根，则212x x +的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．－1【答案】B 【详解】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2−x −1=0的两个根，∴x 1+x 2=1，x 12−x 1−1=0，两式相加得：x 12−x 1−1+ x 1+x 2=1移项得：x 12 +x 2=2故选 B2．（2022·江苏·九年级单元测试）已知一元二次方程x 2-4x -2=0的两根分别为x 1，x 2，则1211+x x 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．12-D ．-2【答案】D【详解】解：根据根与系数的关系得，x 1+x 2=4，x 1·x 2=-2∴1211+x x 1212x x x x +=·42=- =-2．故选D ．3．（2020·山东威海·二模）已知a ，b 是方程240x x --=的两个实数根，则222020a a b --+=_________．【答案】2023【详解】解：根据题意得a +b =1．ab =-4，把x =a 代入x 2-x -4=0，得a 2-a =4，∴a 2-2a -b +2020=a 2-a -a -b +2020=4-1+2020=2023．故答案为：20234．（2022·河北保定·九年级期末）已知关于x 的一元二次方程250x x m -+=的一个根是2，则另一个根为________，m 的值是________．【答案】 3 6【详解】解：设方程另一个根为t ，则2+t =5，2t =m ，所以t =3，m =6，方程的另一个根为3，即m 的值为6；故答案为3，6．5．（2022·广西玉林·二模）关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k ---+=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为1x 、2x ，且22121219x x x x ++=，求k 的值．【答案】(1)见解析；(2)k =7或k =-3．【解析】（1）∵b 2-4ac =[-（k -3）]2-4×1×（-2k +2）=k 2+2k +1=（k +1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由根与系数关系得x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，∵22121219x x x x ++=，∴()2121219x x x x +-=，∴()232219k k ---+=（），即24210k k --=，解得：k =7或k =-3．。

阶 段 性 测 试(三)[考查范围：第2章 2.1～2.2 总分：100分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( C )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝02．方程x 2＝3x 的根是( D )A ．x ＝3B ．x ＝0C ．x 1＝－3, x 2＝0D ．x 1＝3, x 2＝03．已知命题“关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋1＝0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( A )A ．b ＝－1B ．b ＝－2C ．b ＝0D ．b ＝24．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( C )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 25．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是( B )A ．1B ．－1C ．1或－1 D.126．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中，a ，b ，c 满足4a ＋2b ＋c ＝0和4a －2b ＋c ＝0，则方程的根是( D )A ．1，0B ．－1，0C ．1，－1D ．2，－2二、填空题(每小题5分，共30分)7．将一元二次方程(3x －1)(2x ＋4)＝1化为一般形式为__6x 2＋10x －5＝0__．8．解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为两个一元一次方程： x ＋3＝0，x －1＝0 ．9．关于x 的一元二次方程x 2＋a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是__a ＞0__．10．设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且(a 2＋b 2)(a 2＋b 2＋1)＝12，则这个直角三角形的斜边长为．11．已知x ＝1x 2＋mx －n ＝0 的一个根，则m 2－2mn ＋n 2＝__1__．12．我们已经知道方程x 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程(2x －3)2＋b (2x －3)＋c ＝0，它的解是 x 1＝2，x 2＝0 ．三、解答题(共40分)13．(12分)选用适当的方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0；(2)x 2＋13x ＋42＝0；(3)(1－x )2＝1－x 2；(4)(x －2)2－9(x ＋1)2＝0.【答案】 (1)x 1＝3，x 2＝－3(2)x 1＝－6，x 2＝－7(3)x 1＝0，x 2＝1 (4)x 1＝－14，x 2＝－5214．(8分)(1)若（x －1）2＝1－x ，则x 的取值范围是________；(2)在(1)的条件下，试求方程x 2＋|x －1|－3＝0的解．解：(1)∵（x －1）2＝|x －1|＝1－x ，∴x －1≤0，即x ≤1.故答案为x ≤1.(2)由x≤1，方程化为：x2－x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0，∴x－2＝0或x＋1＝0，∴x1＝2，x2＝－1.又∵x≤1，∴x1＝－1，x2＝2(舍去)．15．(10分)已知关于x的方程2x2－(2m＋4)x＋4m＝0.(1)求证：不论m取何实数，方程总有两个实数根；(2)等腰△ABC的一边长b＝3，另两边长a，c恰好是此方程的两个根，求△ABC的周长．解：∵Δ＝[－(2m＋4)]2－4×2×4m＝4m2＋16m＋16－32m＝4m2－16m＋16＝4(m－2)2≥0，∴不论m取何实数，方程总有两个实数根；(2)①当a＝c时，则Δ＝0，即(m－2)2＝0，∴m＝2，方程可化为x2－4x＋4＝0，∴x1＝x2＝2，即a＝c＝2，经检验，符合三角形三边关系，∴△ABC的周长＝a＋b＋c＝3＋2＋2＝7；②若b＝3是等腰三角形的一腰长，即b＝a＝3时，∵2x2－(2m＋4)x＋4m＝0.∴2(x－2)(x－m)＝0，∴x＝2或x＝m.∵另两边长a，c恰好是这个方程的两个根，∴m＝a＝3，∴c＝2，经检验，符合三角形三边关系，∴△ABC的周长＝a＋b＋c＝3＋3＋2＝8.综上所述，△ABC的周长为7或8.16．(10分)阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5，故原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.请你仿照上述方法解方程：(1)x4－x2－6＝0；(2)(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6.解：(1)设x2＝y，则原方程可化为y2－y－6＝0，解得y1＝3，y2＝－2(舍去)，当y＝3时，x2＝3，∴x＝±3，∴原方程的解为x＝±3.(2)设x2＋x＝y，则原方程可化为y2＋y＝6，解得y1＝－3，y2＝2，当y＝－3时，x2＋x＝－3，此方程无解；当y＝2时，x2＋x＝2，解得x1＝－2，x2＝1，所以原方程的解为x1＝－2，x2＝1.。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法教学目标【知识与技能】1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程.2.学会用直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程.3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.【教学重点】运用配方法解一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为形如（x+n）2=d(d≥0)的过程.教学过程一、情景导入，初步认知1.根据完全平方公式填空：（1）x2＋6x＋9＝( )2（2）x2－8x＋16＝( )2（3）x2＋10x＋( )2＝( )2（4）x2－3x＋( )2＝( )22.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？3.你会解方程x2＋6x－16＝0吗?你会将它变成(x＋m)2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础.二、思考探究，获取新知1.解方程：x 2-2500=0.问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?把方程写成x 2=2500这表明x 是2500的平方根，根据平方根的意义，得因此，原方程的解为x 1=50,x 2=-50【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.2.解方程（2x+1）2=2解：根据平方根的有意义，得因此，原方程的根为x 1=2,x 2=-23.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？【归纳结论】对于形如（x+n ）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解.直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n ）2=d (d≥0)，然后直接开平方得和.4.解方程x 2+4x=12我们已知，如果把方程x 2+4x=12写成（x+n ）2=d 的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n ）2的形式呢？我们学过完全平方式，你能否将左边x 2+4x 添上一项使它成为一个完全平方式.请相互交流.写出解题过程.【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x 2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.5.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流.试着写出解题过程.6.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式.三、运用新知，深化理解1.见教材P33例3、P34例4.2.列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导.）（1）x2-10x+24=0；（2）(2x-1)(x+3)=5；（3）3x2-6x+4=0.解：（1）移项，得x2-10x=-24配方，得x2-10x+25=-24+25，由此可得(x-5)2=1，x-5=±1，∴x1=6，x2=4.（2）整理，得2x2+5x-8=0.移项，得2x2+5x=8二次项系数化为1得x 2+5/2x=4，配方，得x 2+5/2x+(5/4)2=4+(5/4)2(x+5/4)2=89/16，由此可得，x 1=54 － ，x 2=54－. （3）移项，得3x 2-6x=-4二次项系数化为1，得x 2-2x=-4/3，配方，得x 2-2x+12=-4/3+12,(x-1)2=-1/3因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.3.解方程x 2-8x+1=0分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式.解：x 2-8x+1=0移项得：x 2-8x=-1配方得：x 2-8x+16=-1+16即(x-4)2=15两边开平方得：x-∴x 1x 2=44.用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k 的形式.(1)-3x 2-6x+1；(2)2/3y 2+1/3y+2；(3)0.4x 2-0.8x-1.解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-1/3)=-3(x2+2x+12-12-1/3)=-3［(x+1)2-4/3］=-3(x+1)2+4(2)2/3y2+1/3y－2=2/3(y2+1/2y－3)=2/3［y2+1/2y+(1/4)2－(1/4)2－3］=2/3［(y+1/4)2－49/16］=2/3(y+1/4)2－49/24.(3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4［(x2-2x+12)-12-2.5］=0.4(x-1)2-1.4【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第1、2、3题.教学反思在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.。

初三数学一元二次方程题目分析及参考答案初三数学一元二次方程题目分析及参考答案在日常生活或是工作，学习中，大家一定都或多或少地接触过一些数学知识，下面是店铺为大家收集的有关初三数学一元二次方程题目分析及参考答案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

一元二次方程例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

(1)解：(3x+1)2=73x+1=±√7x=...∴x1=...,x2=...(2)解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=±√11x=...∴x1=...,x2=...用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±√n。

因式分解同步练习(解答题)关于因式分解同步练习知识学习，下面的题目需要同学们认真完成哦。

因式分解同步练习（解答题）解答题9．把下列各式分解因式：①a2+10a+25②m2-12mn+36n2③xy3-2x2y2+x3y④（x2+4y2）2-16x2y210．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．答案：9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，预祝同学们在考试中取得很好的成绩。

因式分解同步练习(填空题)同学们对因式分解的内容还熟悉吧，下面需要同学们很好的完成下面的题目练习。

因式分解同步练习（填空题）填空题5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．答案：5．y26．-30ab7．-y2；2x-y8．-2或-12通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，预祝同学们在考试中取得很好的成绩。