2020高考数学热点问题分层特训卷：热点九 球(含解析)

2020年高考必刷卷09数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合A={x∈N||x−1|≤1},B={x|y=√1−x2}，则A∩B的真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8【答案】A【解析】【分析】先求出A∩B的交集，再依据求真子集个数公式求出，也可列举求出。

【详解】A={x∈N||x−1|≤1}={0,1,2}，B={x|y=√1−x2}=[−1,1]，A∩B={0,1}，所以A∩B的真子集的个数为22−1=3，故选A。

【点睛】有限集合{a1,a2,⋯a n}的子集个数为2n个，真子集个数为2n−1。

2．若复数22252x2i2x xxx-++---（）为纯虚数，则x的值为（）A ．2．B ．-1.C ．12-．D ．12． 【答案】D【解析】【分析】 由纯虚数的定义可得其实部为0但虚部不为0，解之可得答案．【详解】由纯虚数的定义可得22252020x x x x ⎧-+⎨--≠⎩＝，故x ＝12， 故选D ．【点睛】本题考查纯虚数的定义，涉及一元二次方程与不等式的解法，属基础题．3．若347log log log 2x y z ==<-，则（ ）A ．347x y z <<B ．743z y x <<C ．437y x z <<D ．734z x y <<【答案】B【解析】【分析】令347log log log 2x y z k ===<-,可得3k x =,4k y =,7k z =,进而得到133k x +=,144k y +=,177k z +=,画出3x y =,4x y =,7x y =的图象,利用图象比较大小即可. 【详解】令347log log log 2x y z k ===<-,则3k x =,4k y =,7k z =∴133k x +=,144k y +=,177k z +=,且11k +<-分别画出3x y =,4x y =,7x y =的图象可得,111743k k k +++∴<<,即743z y x <<故选：B.【点睛】本题考查指对互化,考查指数函数图象,考查利用图象比较值的大小.4．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ）A ．13B ．16C ．14D ．112【答案】A【解析】【分析】先排好医字，共有23C 种排法，再排国字，只有一种方法.【详解】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n=23C =3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=13． 故选：A【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．5．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（）A．128.5米B．132.5米C．136.5米D．110.5米【答案】C【解析】【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案。

热点特训8 各种平衡常数的计算1．[2024·全国乙卷，节选]硫酸亚铁在工农业生产中有很多用途，如可用作农药防治小麦黑穗病，制造磁性氧化铁、铁催化剂等。

回答下列问题：(3)将FeSO4置入抽空的刚性容器中，上升温度发生分解反应：2FeSO4(s)⇌Fe2O3(s)＋SO2(g)＋SO3(g)(Ⅰ)。

平衡时p SO3­T的关系如下图所示。

660K时，该反应的平衡总压p总＝________kPa、平衡常数K p(Ⅰ)===________(kPa)2。

K p(Ⅰ)随反应温度上升而________(填“增大”“减小”或“不变”)。

(4)提高温度，上述容器中进一步发生反应2SO3(g)⇌2SO2(g)＋O2(g)(Ⅱ)，平衡时p O2＝________(用p SO3、p SO2表示)。

在929K时，p总＝84.6kPa，p SO3＝35.7kPa，则p SO2＝________kPa，K p(Ⅱ)＝________kPa(列出计算式)。

2．[2024·全国甲卷，节选]甲烷选择性氧化制备甲醇是一种原子利用率高的方法。

回答下列问题：(1)已知下列反应的热化学方程式：①3O2(g)===2O3(g) K1ΔH1＝285kJ·mol－1②2CH4(g)＋O2(g)===2CH3OH(l) K2ΔH2＝－329kJ·mol－1反应③CH4(g)＋O3(g)===CH3OH(l)＋O2(g)的ΔH3＝________kJ·mol－1，平衡常数K3＝________(用K1、K2表示)。

(2)电喷雾电离等方法得到的M＋(Fe＋、Co＋、Ni＋等)与O3反应可得MO＋。

MO＋与CH4反应能高选择性地生成甲醇。

分别在300K和310K下(其他反应条件相同)进行反应MO＋＋CH4===M ＋＋CH3OH，结果如下图所示。

图中300K的曲线是________(填“a”或“b”)。

热点4东数西算工程我国“东数西算”工程是通过构建数据中心、云计算、大数据一体化的新型算力网络，充分发挥西部地区优势，将东部数据算力需求引导到西部，优化数据中心布局。

下图示意“东数西算”工程国家算力枢纽节点及主要业务方向(东部枢纽处理的业务对网络要求较西部高)。

据此完成1～3题。

1．我国“东数”可以实现“西算”的主要原因是西部地区()A．气候适宜B．环境优美C．能源丰富D．土地广阔2．以下项目最适宜在甘肃枢纽进行处理的是()A．离线分析B．远程医疗C．金融证券D．人工智能3．“东数西算”工程给我国企业带来的变化是()A．数据中心企业东西均衡布局B．提供算力的企业成本降低C．基建工程企业发展空间缩减D．使用算力的企业成本升高随着各行业数字化转型升级进度加快，数据存储、计算、传输和应用的需求大幅提升。

为此我国启动“东数西算”工程，即将东部地区所产生的数据传输到西部地区去进行存储和计算。

如图为我国建设的全国算力网络国家枢纽节点，它的建设和运营对于土地供应、气候和地质条件、能源保障等方面都有较高要求。

读图，完成4～5题。

4．图中占据单一省级行政区的枢纽节点所在地区()A．地势开阔、平坦B．气候温暖、湿润C．土地荒漠化严重D．可再生能源丰富5．“东数西算”工程()A．将加快京津冀地区的能源开发B．减少粤港澳大湾区的人口压力C．能进一步发挥长江的运输功能D．以数据为纽带促进区域协同发展2020年9月26日，国家“东数西算”产业联盟在甘肃省兰州市成立。

该产业联盟将搭建东西部算力供需对接平台，优化我国东中西部算力资源协同发展格局，有助于形成自由流通、按需配置、有效共享的数据要素市场。

甘肃省将利用自身优势建设西北人工智能数据中心集群和人工智能数据治理基地。

数据中心的规模以设备运行耗能的多少来衡量，规模越大，运营成本越高。

据此完成6～8题。

6．相对于上海、深圳等东部地区，甘肃省在承接“东数西算”中具有的优势条件是()A．人才众多B．技术先进C．能源丰富D．设施齐全7．近期，阿里云和腾讯都将投入千亿以上的资金用于数据中心建设。

基础套餐练09一、多选题1．（多选题）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）A ．样本中支出在[)50,60元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数为132C ．n 的值为200D ．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[)50,60元 【答案】BC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定. 【详解】样本中支出在[)50,60元的频率为()10.010.0240.036100.3-++⨯=，故A 错误； 样本中支出不少于40元的人数为0.03660601320.03⨯+=，故B 正确； 602000.3n ==，故n 的值为200，故C 正确； 若该校有2000名学生，则可能有0.32000⨯=600人支出在[50，60）元，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征. 2．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x xy y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){}2,1M x y y x ==+;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2M C ．3M D ．4M 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．3．已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ）A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心【答案】BD 【解析】 【分析】首先化简函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期求1ω=，然后再判断三角函数的性质. 【详解】()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，22ππω=，1ω∴= ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，故A 不正确；当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确； 当3x π=时，52366πππ⨯+=，51sin 162π=≠±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、当512x π=时，52126πππ⨯+=，sin 0π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确. 故选：BD 【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质，本题的思路是整体代入的思想，属于基础题型.4．如图()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是（ ）A ．曲线W 与x 轴围成的面积等于2π；B ．曲线W 上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C ．CB 所在圆的方程为：()2211x y +-=； D ．CB 与BA 的公切线方程为：21x y +=.【答案】BCD 【解析】 【分析】计算面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；计算圆方程得到C 正确；计算公切线得到D 正确；得到答案. 【详解】如图所示：连接BC ，过点C 作CK ⊥x 轴于K ，BL x ⊥轴于L . 则面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；CB 所在圆圆心为()0,1，半径为1，故圆的方程为：()2211x y +-=，C 正确；设CB 与BA 的公切线方程为：y kx b =+，根据图像知k 0<221111k b b kk+-==++，解得1k =-，21b =+，即21x y +=，D 正确；故选：BCD .【点睛】本题考查了圆的面积，圆方程，公切线，意在考查学生的计算能力.二、解答题5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若23cos 0S bc A +=． （1）求cos A ； （2）若39,3a b c =-=，求,b c 的值．【答案】（1）12-；（2）52b c =⎧⎨=⎩【解析】【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得A 的大小，进而求得cos A 的值.（2）结合（1）用A 的余弦定理，化简得出10bc =，结合3b c -=可求出,b c 点的值. 【试题解析】（1）由1sin 2S bc A =有sin 3cos 0bc A bc A =，得tan 3A =- 由0A π<<可得23A π=，故21cos cos32A π==-． （2）由余弦定理有：22222cos 3a b c bc π=+-，得2239b c bc ++=，即()2339b c bc -+=，可得10bc =，由510b c bc -=⎧⎨=⎩，解得：52b c =⎧⎨=⎩．6．已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）()2nn a n N +=∈（2）()()41nn N n +∈+ 【解析】 【分析】（1）直接利用公式1n n n a S S -=-计算得到答案.（2）22log 2n n b a n ==，1111141n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）由122n n S +=-可得：当2n ≥时，122n n S -=-，上述两式相减可得2nn a =.当1n =时：111112222a S +==-==成立故所求()2nn a n N +=∈；（2）2nn a =，22log 2n n b a n ==()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭故所求111111111141223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()41n n N n +=∈+.【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.7．已知平面PAB ⊥平面ABC ，P 、P 在平面ABC 的同侧，二面角Q AC B --的平面角为钝角，Q 到平面ABC 的距离为6，PAB △是边长为2的正三角形，4BC =，23AQ CQ ==，30ACB ∠=︒.（1）求证：面PAC ⊥平面PAB ；（2）求二面角P AC Q --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3236【解析】 【分析】（1）由正弦定理，可求得90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，再由平面PAB ⊥平面ABC ，可得AC ⊥平面P AB ，可证得面PAC ⊥平面P AB ；（2）以A 为坐标原点，AB ，AC 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 求出平面ACQ , 平面P AC 的法向量，即可求得二面角. 【详解】 （1）424sin sin 30BAC ==∠︒，所以sin 1BAC ∠=，90BAC ∠=︒AC AB ∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，AB =平面PABABC ，AC ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面P AB ，AC ⊂面P AC ，∴面PAC ⊥面P AB（2）以A 为坐标原点，AB ，AC 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()2,0,0B ，()0,23,0C ，(1,3P ，(3,3,6Q ，设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，则2303360AC m y AQ m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 令1z =，()2,0,1m ∴=设平面P AC 的法向量为(),,n x y z =，则23030AC n y PA n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =：()3,0,1n ∴=-，设二面角P AC Q --的平面角为θ，则323cos cos ,6m n θ==.而此二面角为锐角，故二面角P AC Q--【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.8．为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为1 2 .（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M，求证：3(1)(2)M m m m--.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）没有（2）分布列见解析，()2E X=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..（2）根据题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.（3）因为至少8个的偶数个十字路口，所以28m ，即4m .要证3(1)(2)M m m m --，即证(1)(2)3--m m m M，根据组合数公式，即证32m M C ；易知有1k k m m C C +>.成立.设2m 个路口中有(,2)p p N p m ∈个路口种植杨树，下面分类讨论①当{0,1,2}p ∈时，由33222--=m p m M C C 论证.②当{22,21,2}p m m m ∈--时，由3322p m M C C -=论证.③当323p m -时，332p m p M C C -=+，设332(),323p m p f p C C p m -=+-，再论证当p m = 时，332()-=+p m p f p C C 取得最小值即可.【详解】（1）本次实验中，221000(300250200250)10.110.828500500550450K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性. （2）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，4，故411(0)(4)216P X P X ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，434141(1)(3)2164P X C P X ⎛⎫====== ⎪⎝⎭， 424163(2)C 2168P X ⎛⎫==== ⎪⎝⎭故1()422=⨯=E X . （3）∵28m ，∴4m .要证3(1)(2)M m m m --，即证32m M C ；首先证明：对任意*,,m k N m k ∈，有1k km m C C +>.证明：因为110k k k m m m C C C -+-=>，所以1k km m C C +>. 设2m 个路口中有(,2)p p N p m ∈个路口种植杨树， ①当{0,1,2}p ∈时，33222(22)(23)(24)(1)(2)(23)466m p m m m m m m m M C C --------===⨯，因为4m ，所以23m m ->， 于是33(1)(2)4426m mm m m M C C -->⨯=>. ②当{22,21,2}p m m m ∈--时，3322p m M C C -=，同上可得32m M C > ③当323p m -时，332p m p M C C -=+，设332(),323p m p f p C C p m -=+-， 当324p m -时，333322121221(1)()p m p p m p p m p f p f p C C C C C C +-----+-=+--=-，显然21p m p ≠--，当21p m p >--即24m p m -时，(1)()f p f p +>， 当21p m p <--即31p m -时，(1)()f p f p +<， 即()(1)(23)f m f m f m <+<<-；(3)(4)()f f f m >>⋯>，因此3()()2m f p f m C =，即32m M C .综上，32m M C ，即3(1)(2)M m m m --.【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，还考查运算求解能力以及必然与或然思想，属于难题.9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点12⎫⎪⎭.直线l ：y x m =+与y 轴交于点P ，与椭圆交于M ，N 两点. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若3MP PN =，求实数m 的值.【答案】（1）2214x y +=（2）17m =±【解析】【分析】（1）根据离心率和过点12⎫⎪⎭代入计算得到答案. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()0,P m ，联立方程，利用韦达定理得到1285m x x +=-，212445m x x -⋅=，计算得到答案.【详解】（1）离心率2=E过点12⎫⎪⎭，即223114a b += 解得24a =，21b =，故所求椭圆E 的方程为：2214x y +=； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()0,P m 由2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立化简得：2258440x mx m ++-=1285m x x ∴+=-，212445m x x -⋅= 又3MP PN =，()()1122,3,x m y x y m ∴--=-123x x ∴=- 与1285x x m +=-联立解得：245x m =，1125x m =- 代入212445m x x -⋅=解得：2517m =，m ∴=验证：当m =时，>0∆成立，符合题意故所求17m =±. 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的综合应用能力. 10．已知函数()(sin 1)x f x ax x e =--⋅()a ∈R ，()f x '是其导函数．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（Ⅱ）若1a ≥，证明：()f x '在区间()0,π内至多有1个零点．【答案】（Ⅰ）10x y ++=；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，计算出()0f '与(0)f 利用点斜式求出直线方程；（Ⅱ）由()(sin cos 1)x f x ax x x a e '=--+-⋅，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，则()0f x '=，即()0g x =，对()g x 求导，研究其单调性及零点情况，即可得证.【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，()(sin cos )x f x x x x e '=--⋅，则()01f '=-，又(0)1f =-，则()f x 在0x =处的切线方程为：1y x +=-，即10x y ++=．（Ⅱ）()(sin cos 1)x f x ax x x a e '=--+-⋅，又0x e >，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，()0f x '∴=，()0g x ∴=()cos sin 4g x a x x x a π⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，因(0,)x π∈(4x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 又1a ≥，故()0g x '≥对(0,)x π∈恒成立，即()g x 在区间()0,π单调递增；又(0)2g a =-，()(1)0g a ππ=+>；故当12a ≤≤时，(0)20g a =-≤，此时()f x '在区间()0,π内恰好有1个零点．当2a >时，(0)20g a =->，此时()f x '在区间()0,π内没有零点；综上结论得证．【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.。

热门 (九)球1． (四棱柱外接球体积)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各极点均在同一个球面上，则该球的体积为()32 π4πA. 3 B ． 4πC． 2π D. 3答案： D分析：由于该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1 212＋ 12＋ 2 2＝1，4π4π所以 V 球＝3×13＝3，应选 D.2． (三棱柱外接球 )已知直三棱柱 ABC－ A B C 的 6 个极点都在球 O 的球面上，若AB1 1 1＝3， AC＝ 4， AB⊥AC ，AA1＝ 12，则球 O 的半径为 ( )3 17 13A. 2 B．2 10 C. 2 D．3 10答案： C分析：如图，过球心作平面ABC 的垂线，则垂足为线段1 BC 的中点 M.易知 AM＝ BC25 1 52＋ 62＝13＝2， OM ＝2AA1＝ 6，所以球 O 的半径 R＝ OA＝ 2 2，应选 C.3． (球体＋体积)如图，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，现将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为容器的厚度，则球的体积为()6 cm，假如不计A.500πcm3 3866πB. 3 cm31 372 πC.cm 33 D.2 048πcm 33 答案： A分析： 设球半径为 R cm ，依据已知条件知正方体的上底面与球订交所得截面圆的半径 为 4 cm ，球心到截面的距离为 (R － 2) cm ，所以由 42＋ (R － 2) 2＝ R 2，得 所以球的体积 V ＝ 4πR 3 ＝4π× 53＝ 500 πcm 3，应选 A.3 3 3R ＝ 5，4． (球与三视图)某几何体的三视图如下图，则该几何体外接球的表面积为()16πB ．4πA. 3C ．3D ．以上都不对 答案： A分析： 由题意可知该几何体是轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为 2，高为 3，∴ 外接球的半径 r ＝ 1＝ 2 3cos 30 3 ，°∴ 外接球的表面积为 4× π× 2 3 2 163 ＝ 3 π，应选 A.5． (球与圆锥 )如图，网络纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为 ( )16 11A. 3 πB. 2 π17 35 C. 3 π D. 6 π 答案： A分析：该几何体能够当作是一个半球上叠加一个1 14圆锥，而后挖掉一个同样的 4圆锥所形成的组合体，所以该几何体的体积和半球的体积相等．由题图可知，半球的半径为2，则该 2 3＝ 16 π几何体的体积 V ＝3πr3 .应选 A.6． (三棱锥外接球＋体积 )已知三棱锥 S － ABC 的全部极点都在球 O 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC ＝ 2，则此棱锥的体积为的球面上，△()ABC2A. 63 B. 62C. 3 2D. 2答案： A分析： 在直角三角形ASC 中， AC ＝ 1，∠ SAC ＝ 90°， SC ＝ 2，所以SA ＝4－ 1＝3，同理 SB ＝ 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连结 DB ，由于 △ SAC ≌△ SBC ，所以 BD ⊥ SC ，又由于 BD ∩ AD ＝D ， BD ? 平面 ABD ，AD ? 平面 ABD ，所以 SC ⊥ 平面 ABD ，且 △ABD 为等腰三角形，由于 ∠ASC ＝30 °，所以 1 3的面积为 1× 1× AD 2 － 1 2AD ＝2SA ＝ 2 ，则△ ABD2 2＝ 2 1× 2×2＝ 24 ，可得三棱锥的体积为3 4 6 ，应选 A.7． (三棱柱内切球＋最值)在关闭的直三棱柱 ABC －A B C 内有一个体积为 V 的球．若1 1 1AB ⊥ BC ，AB ＝ 6， BC ＝ 8， AA 1＝ 3，则 V 的最大值是 ()9πA ． 4π B. 232πC ．6π D. 3 答案： B分析： 由 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6， BC ＝ 8，得 AC ＝ 10.要使球的体积V 最大，则需球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ ABC 的内切圆的半径为r ，易知 1× 6× 8＝1× (6＋ 8＋ 10) ·r ，所以 r ＝ 2，2 2 此时 2r ＝4>3 ，不合题意．所以当球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大，3由 2R ＝ 3，得 R ＝ 2，49故球的最大概积 V ＝ 3πR 3＝ 2π，应选 B.8． (球体＋表面积 )如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互28π 垂直的半径．若该几何体的体积是3 ，则它的表面积是 ()A ． 17πB ． 18πC ．20πD ． 28π 答案： A分析： 由题知，该几何体的直观图如下图，它是一个球切掉18球( 被过球心O 且相互垂直的三个平面 )所剩的组合体，71其表面积是球面面积的 8和三个 4圆面积之和．设球的半径为 R ，则 7× 4πR 3＝ 28π? R ＝2.8 3 37 3故几何体的表面积 S ＝ 8×4πR 2＋ 4πR 2＝ 17 π，应选 A. 9．(三棱锥外接球＋体积 )已知球的直径 SC ＝ 4，A ，B 是该球球面上的两点， 且 AB ＝ 3， ∠ASC ＝∠ BSC ＝ 30°，则棱锥 A ．3 3 B ．2 3S －ABC 的体积为 ( )C. 3 D ．1答案： C分析： 由题可知线段AB必定在与直径 SC 所在直线垂直的小圆面上，作过线段AB的小圆面交直径SC 于点D ，设SD ＝ x ，则DC ＝ 4－ x ，此时所求棱锥即切割成两个棱锥S － ABD和 C － ABD ，在 △ SAD和△ SBD中，由已知条件可得AD ＝ BD ＝33x ，又由于 SC 为直径，所以 ∠ SBC ＝ ∠ SAC ＝ 90 °，所以 ∠ DCB ＝ ∠DCA ＝ 60 °，在 △ BDC 中， BD ＝ 3 ·(4－ x)，所以33x ＝3·(4－ x)? x ＝ 3，所以AD ＝ BD ＝3＝AB ，即三角形ABD 为正三角形，则1V ＝ 3×S △ ABD × 4＝3，应选C.10． (三棱锥外接球＋表面积 )如图，四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形，点 别为边 BC ， CD 的中点，将△ ABE ，△ ECF ，△ FDA 分别沿 AE ，EF ， FA 折起，使 D 三点重合于点 P ，若四周体 PAEF 的四个极点在同一个球面上，则该球的表面积是E ，F 分B ，C ，()A ． 6πB ． 12πC ．18πD ． 9 2π 答案： C分析： 由于 ∠ APE ＝∠ EPF ＝ ∠APF ＝ 90°，所以可将四周体补成一个长方体 (PA ， PE ，PF 是从同一极点出发的三条棱)，则四周体和补全的长方体有同样的外接球，设其半径为 R ，22223 2 2由题意知 2R ＝3 ＋ 3 ＋ 2 3 ＝ 3 2，故该球的表面积 S ＝4 πR ＝ 4π 2＝ 18 π，应选 C.11． (正方体内切球＋体积)设球 O 是正方体 ABCD －A B C D 的内切球，若平面 ACD11 1 1 1截球 O 所得的截面面积为6π，则球 O 的半径为 ()3A. 2 B ．33 C. 2 D. 3答案： B分析： 如图，易知直线 B 1D 过球心 O ，且 B 1D ⊥平面 ACD 1，不如设垂足为点 M ，正方a 1 1 3 体棱长为 a ，则球半径 R ＝2，易知 DM ＝ 3DB 1，所以 OM ＝ 6DB 1＝ 6 a ，所以截面圆半径 ra 6 6 ＝2 2－OM 2＝ 6 a ，由截面圆面积 S ＝ πr 2＝ 6 π，得 r ＝ 6 a ＝ 6，即 a ＝ 6，所以球 O 的a半径 R ＝2＝ 3，应选 B.12．(三棱锥外接球＋表面积 )已知正三棱锥 S － ABC 的极点均在球O 的球面上，过侧棱SA 及球心 O 的平面截三棱锥及球面所得截面如下图，若三棱锥的体积为2 3，则球 O 的表面积为 ()A ． 16πB ． 18πC ．24πD ． 32π 答案： A分析： 设正三棱锥的底面边长为a ，外接球的半径为R ，由于正三棱锥的底面为正三角形，边长为a ，32 3所以 AD ＝ 2 a ，则 AO ＝ 3AD ＝ 3 a ，3 所以 3 a ＝ R ，即 a ＝ 3R ，又由于三棱锥的体积为 2 3，所以 1× 3a 2R ＝ 1× 3× (3R)2× R ＝2 3，3434解得 R ＝ 2，所以球的表面积 S ＝4 πR 2＝ 16 π，应选 A.13． (三棱锥外接球＋表面积 )已知 S 、 A 、 B 、 C 是球 O 表面上的点， SA ⊥平面 ABC ，AB ⊥ BC ，SA ＝ AB ＝ 1，BC ＝ 2，则球 O 的表面积等于 ________．答案： 4π分析： 将三棱锥 S － ABC 补成以 SA 、AB 、BC 为棱的长方体，易得其对角线SC 为球 O的直径，即 2R ＝ SC ＝ 2? R ＝ 1，所以表面积为 4 πR 2＝ 4 π.14． (圆柱外接球＋体积 )已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ________．答案： 3π4分析： 画出圆柱的轴截面 ABCD ，如图， O 为球心，则球半径 R ＝OA ＝1，球心究竟面1圆的距离为 OM ＝2，2 233 2 3π所以底面圆半径 r ＝ OA －OM ＝ 2 ，故圆柱体积 V ＝ π× 2 × 1＝ 4 .15． [2019 ·汉市高中毕业生四月调研测试武 ]( 四周体外接球＋半径 )在四周体 ABCD 中， AD ＝DB ＝ AC ＝ CB ＝ 1，则当四周体的体积最大时，它的外接球半径R ＝ ________.答案：156分析：当平面 ADC 与平面 BCD 垂直时， 四周体 ABCD 的体积最大， 由于 AD ＝ AC ＝ 1，所以可设等腰三角形 ACD 的底边 CD ＝ 2x ，高为 h ，则 x 2＋ h 2＝1，此时四周体的体积 1 1 1 1 － x 2，令 V ′ ＝0，得 x ＝ 3 V ＝ × × 2x × h 2＝ x(1－ x 2)，则 V ′ ＝ 3 ，3 2 3 36进而 h ＝ 3 ，则 CD ＝AB ＝233，故可将四周体 ABCD 放入长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体中，a 2＋b 2＝ 1，如图，则b 2＋c 2＝ 1，a 2＋ c 2＝ 43，2 1解得 a 2＝c 2＝3，b 2＝ 3，则长方体的体对角线即四周体ABCD 的外接球直径， (2R)2＝ a 2＋b 2＋ c 2＝ 5 153， R ＝ 6 .16．[2019 ·州四校高三年级联考福 ]( 三棱锥外接球＋体积 )已知三棱锥 A － BCD 的全部顶 点都在球 O 的球面上， AB 为球 O 的直径，若该三棱锥的体积为 3，BC ＝ 3，BD ＝ 3，∠ CBD＝90°，则球 O 的体积为 ________．32π答案：3分析：设 A 到平面 BCD 的距离为h，∵三棱锥的体积为3，BC＝ 3，BD ＝3，∠CBD1 1＝90 °，∴3×2×3× 3× h＝ 3，∴h＝ 2，∴球心 O 到平面 BCD 的距离为 1.设 CD 的中点为 E，连结 OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面 CBD，∵△ BCD 外接圆的直径CD ＝ 23，32π∴球 O 的半径 OD＝ 2，∴球 O 的体积为 3 .。

考点过关检测9 函数的应用一、单项选择题1．[2022·湖北襄阳五中月考]下列函数在(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是( ) A ．y ＝x 2－x －3B ．y ＝－0.2xC ．y ＝sin2xD ．y ＝x －1x2．函数f (x )＝ex －1－2的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．[2022·山东临沂一中月考]方程log 4x ＝2－1x的解所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34 4．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2022·辽宁朝阳模拟]某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第x (1≤x ≤7，x ∈N )天进店消费的人数为y ，且y 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤5xx 2([t ]表示不大于t 的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为( )A ．74B ．76C ．78D ．806．[2022·江苏省镇江中学月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有f (x ＋2)＝f (x )且f (1)＝0，当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x－1，则方程f (x )－lg|x |＝0的实根个数为( )A ．6B ．8C ．10D ．127．[2022·北京丰台模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋m |，x ≤m x 2，x >m，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)8．[2022·福建福州月考]根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m 3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为 6.25mg/m 3，3周后室内甲醛浓度为1mg/m 3，且室内甲醛浓度ρ(t )(单位：mg/m 3)与竣工后保持良好通风的时间t (t ∈N *)(单位：周)近似满足函数关系式ρ(t )＝eat ＋b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )A ．5周B ．6周C ．7周D ．8周 二、多项选择题9．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f (－3)·f (6)<0，那么下列结论中正确的是( )A ．f (x )可能有三个零点B ．f (3)·f (－4)≥0C ．f (－4)<f (6)D ．f (0)<f (－6)10．[2022·广东揭阳一中月考]函数f (x )＝a x －cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤1的零点个数可能为( )A ．1B ．3C ．4D ．511．[2022·河北衡水中学月考]地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M ＝lgA maxA 0(其中常数A 0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，A max 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E (单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E ＝104.8×101.5M，其中M 为地震震级．下列说法正确的是( )A ．若地震震级M 增加1级，则最大振幅A max 增加到原来的10倍B ．若地震震级M 增加1级，则放出的能量E 增加到原来的10倍C ．若最大振幅A max 增加到原来的100倍，则放出的能量E 也增加到原来的100倍D ．若最大振幅A max 增加到原来的100倍，则放出的能量E 增加到原来的1000倍 12．[2022·海南昌茂花园学校月考]已知函数f (x )＝{ kx ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，下列是关于函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数的判断，其中不正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点 三、填空题13．设函数f (x )＝a x＋b ，其中a >0，a ≠1，b ∈R .若f (x )无零点，则b 的取值范围是________．14．[2022·广东肇庆一中月考]若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是________．15．有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定，大桥上的车距d (m)与车速v (km/h)和车长l (m)的关系满足：d ＝kv 2l ＋12l (k 为正的常数)，假定车身长为4m ，当车速为60(km/h)时，车距为2.66个车身长．应规定车速为________km/h 时，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？16．[2022·湖南师大附中模拟]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x ＋1，x <0，2－|2－x |，x ≥0，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则①m 的取值范围是__________；②x 1x 2x 3的取值范围是________．四、解答题17．[2022·河北张家口模拟]已知函数f (x )＝ln x －m .(1)若函数g (x )＝f (x )＋e x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内存在零点，求实数m 的取值范围；(2)若关于x 的方程f ()e x＋1＝x2有实数根，求实数m 的取值范围．18.[2022·北京四中月考]已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x－1，0≤x ≤47－12x ，4<x ≤14.某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于3克/升时，它能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求三分钟后水中洗衣液的浓度； (2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时(从第一次投放算起)，洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．考点过关检测9 函数的应用1．答案：D解析：y ＝x 2－x －3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，不合题意，A 错误；令－0.2x＝0，方程无解，不合题意，B 错误；y ＝sin2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减，不合题意，C 错误；y ＝x 与y ＝－1x 在(0，＋∞)上均单调递增，∴y ＝x －1x 在(0，＋∞)上单调递增；令x －1x＝0，解得：x ＝±1，则y ＝x －1x在(0，＋∞)上存在零点x ＝1，D 正确．2．答案：B解析：因为函数f (x )为单调递增函数，且f (2)＝e －2>0，f (1)＝－1<0，所以零点所在的区间是(1,2)．3．答案：B解析：令f (x )＝log 4x ＋1x －2，则f (x )为连续函数，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 413＋3－2＝log 413＋1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 412＋2－2＝log 412<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以方程的解所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.4．答案：C解析：由题得f (1)f (2)＝(0－a )(3－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3，故选C. 5．答案：C解析：由题可设y ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x x 2(k ≠0)，当x ＝1时，y ＝10代入可得10＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5112＝5k ，解得k＝2，所以y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5xx 2，令x ＝4，则y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5442＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤62516＝2×39＝78.6．答案：D解析：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有f (x ＋2)＝f (x )，可得f (x )为周期为2的奇函数，可得f (－x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，又f (1)＝0，∴f (2k －1)＝0(k ∈N )， 画出函数y ＝f (x )与y ＝lg|x |的图象，如图所示，当x >0时，y ＝f (x )与y ＝lg|x |有5个交点， 当x <0时，y ＝f (x )与y ＝lg|x |有7个交点， 故方程f (x )－lg|x |＝0有12个实数根，故D 正确． 7．答案：B解析：分情况讨论，当m >0时，要使f (x )＝b 有三个不同的根，则⎩⎪⎨⎪⎧|2m |>m2m >0⇒0<m <2；当m <0时，要使f (x )＝b 有三个不同的根，同理可知，需要⎩⎪⎨⎪⎧m 2>|2m |m <0⇒m <－2.当m ＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去． ∴m 的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)． 8．答案：B解析：由题意可知，ρ(1)＝ea ＋b＝6.25，ρ(3)＝e3a ＋b＝1，ρ3ρ1＝e 2a ＝425，解得ea＝25.设该文化娱乐场所竣工后放置t 0周后甲醛浓度达到安全开放标准，则ρ(t 0)＝e at 0＋b ＝ea ＋b·e a (t 0－1)＝6.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫25t 0－1≤0.1，整理得62.5≤⎝ ⎛⎭⎪⎫52t 0－1，设62.5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52m －1，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫524<62.5<⎝ ⎛⎭⎪⎫525，所以4<m －1<5，即5<m <6，则t 0－1≥m －1，即t 0≥m .故至少需要放置的时间为6周．9．答案：AC解析：因为f (x )是定义域为R 的偶函数，又f (－3)·f (6)<0，所以f (3)·f (6)<0.又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，且f (3)<0，f (6)>0，所以函数f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f (0)的值没有确定，所以函数f (x )可能有三个零点，故A 正确；又f (－4)＝f (4)，4∈(3,6)，所以f (－4)的符号不确定，故B 不正确；C 项显然正确；由于f (0)的值没有确定，所以f (0)与f (－6)的大小关系不确定，所以D 不正确．10．答案：AB解析：因为f (x )＝a x －cos x 的零点个数即函数y ＝a x ，y ＝cos x 图象交点的个数， 由图可知，当a ＝1时，交点只有1个；当a ＝13时，交点有3个．正数a 越大，交点个数越少．故零点个数可能为1，或2，或3. 11．答案：AD解析：因为M ′＝M ＋1＝lg A max A 0＋1＝lg 10A max A 0＝lg A ′maxA 0，所以A ′max ＝10A max ，故A 正确；因为E ′＝104.8×101.5(M ＋1)＝104.8×101.5M ＋1.5＝104.8×101.5M×101.5＝101.5E ，所以B 错误；因为M ′＝lg 100A max A 0＝2＋lg A max A 0＝2＋M ，E ′＝104.8×101.5(M ＋2)＝104.8×101.5M ＋3＝103E ，所以C 错误，D正确．12．答案：AB解析：函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数，即方程f [f (x )＋1]＝0的解的个数，x ≤0时， 由kx ＋1＝0得x ＝－1k ，k ≠0，若k >0，则x ＝－1k是f (x )＝0的一个解，k <0时，x ＝－1k不是f (x )＝0的解，x >0时，由f (x )＝log 2x ＝0，得x ＝1是f (x )＝0的一个解．所以若k <0，则由f [f (x )＋1]＝0得f (x )＋1＝1得f (x )＝0，x ＝1，D 正确； 若k >0，则由f [f (x )＋1]＝0得f (x )＋1＝1，或f (x )＋1＝－1k，f (x )＋1＝1即f (x )＝0⇒x ＝1或x ＝－1k，f (x )＋1＝－1k 即f (x )＝－1k －1，－1k －1<0，log 2x ＝－1k －1有一解x ＝2－1k －1，kx ＋1＝－1k －1，x ＝－1k 2－2k是一解， 综上方程f [f (x )＋1]＝0共4个解．C 正确． 13．答案：[0，＋∞)解析：因为指数函数y ＝a x的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )＝a x＋b 的值域为(b ，＋∞)， 因为函数f (x )无零点，则0∉(b ，＋∞)，所以，b ≥0.14．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析：由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解．设t ＝x＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.15．答案：50解析：由题设，2.66×4＝4×602k ＋12×4，解得k ＝6×10－4，∴d ＝2.4×10－3v 2＋2，要使大桥上每小时通过的车辆最多，则使y ＝1000v d ＋l 最大，∴由题意，y ＝1000v0.0024v 2＋6＝10000.0024v ＋6v ≤100020.0024v ·6v＝10000.24，当且仅当0.0024v ＝6v ，即v ＝50km/h 时等号成立．16．答案：①0<m <2 ②2(3－21)<x 1x 2x 3<0解析：当x <0时，由复合函数的单调性知：y ＝log 2(x 2－3x ＋1)单调递减，作出函数f (x )的图象，如图所示：由图可知，当0<m <2时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×2＝4≥2x 2x 3，∴0<x 2x 3<4.令log 2(x 2－3x ＋1)＝2，解得x ＝3＋212(舍去)或x ＝3－212.∴3－212<x 1<0，∴2(3－21)<x 1x 2x 3<0.17．解析：(1)因为函数f (x )＝ln x －m 与y ＝e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1都是增函数，所以函数g (x )＝f (x )＋e x ＝ln x ＋e x －m 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1也是增函数， 因为函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln 1e＋1－m <0，ln1＋e －m >0，解得0<m <e.所以实数m 的取值范围为(0，e)．(2)关于x 的方程f ()e x＋1＝x2有实数根等价于关于x 的方程2m ＝2ln(e x＋1)－x 有实数根，所以存在实数x 使2m ＝ln(e x＋1)2－lne x＝ln e x ＋12ex＝ln(e x＋1ex ＋2)成立．因为e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x＝1ex ，x ＝0时取等号)，所以ln(e x＋1e x ＋2)≥ln ⎝⎛⎭⎪⎫2＋2e x·1e x ＝2ln2，所以实数m 的取值范围是[ln2，＋∞)．18．解析：(1)因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x －1，0≤x ≤47－12x ，4<x ≤14.所以若只投放1个单位的洗衣液，则三分钟后水中洗衣液的浓度f (3)＝248－3－1＝3.8(克/升)；(2)若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于3(克/升)时，它能起到去污的作用．当0≤x ≤4时，248－x －1≥3，解得2≤x ≤4，当4≤x ≤14,7－12x ≥3，解得4<x ≤8，综上所述，有效去污时间为6分钟；(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12×12＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝5>3，所以在第12分钟起(从第一次投放算起)，洗衣液能起到有效去污的作用．。

2020高考数学试题及答案解析题目一题目：某校高三年级有480名学生参加了数学高考，其中男生占总人数的4/9。

问女生的数量是多少？解析：题目中给出了男生占总人数的比例，即男生人数是总人数的4/9。

我们可以先计算出男生的人数，然后再计算女生的人数。

设男生的人数为x，则有：x = (4/9) * 480计算得到：x = 4 * 480 / 9x = 160所以男生的人数是160人。

由题目可知，总人数是480人，所以女生的人数为：女生人数 = 总人数 - 男生人数女生人数 = 480 - 160女生人数 = 320所以女生的数量是320人。

题目二题目：某商品在原价的基础上打8折后，售价为240元。

问商品的原价是多少？解析：题目中给出了商品的售价为原价的8折，即售价是原价的80%。

我们可以设商品的原价为x元，然后通过计算得到原价。

根据题目中的条件，我们可以得到下列等式：x * 80% = 240将80%转换为小数，得到：x * 0.8 = 240将等式两边同时除以0.8，得到：x = 240 / 0.8x = 300所以商品的原价是300元。

题目三题目：某校体育场的跑道为由两个圆环组成的复杂曲线。

其中内圆的半径为20m，外圆的半径为30m。

问整个跑道的长度是多少？解析：题目中给出了内外两个圆环的半径，我们需要计算整个跑道的长度。

跑道的长度可以分解为内圆的周长和外圆的周长之和，再加上两个圆弧的长度。

内圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中r为内圆的半径。

所以内圆的周长为：C1 = 2 * π * 20外圆的周长同样可以通过公式C = 2πr来计算，其中r为外圆的半径。

所以外圆的周长为：C2 = 2 * π * 30两个圆弧的长度可以通过公式C = 2πr来计算，其中r为圆环的半径差值。

所以圆弧的长度为：C3 = 2 * π * (30 - 20)整个跑道的长度为上述三个长度的和，即：整个跑道的长度 = C1 + C2 + C3将上述结果代入计算，即可得到整个跑道的长度。

热门 (四 ) 数列中的奇偶分类和最值1． (偶数项 ) 已知等差数列 { a } 的前 9 项和为 27，a ＝8，则 a＝ ()n10100A ．100B ．99C ．98D ． 97 答案： C分析： 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，因为 { a n } 为等差数列，且 S 9＝9a 5＝ 27，所以 a 5＝ 3. 又 a ＝ 8，所以 5d ＝ a － a ＝ 5，所以 d ＝ 1，所以 a ＝ a ＋ 95d ＝ 98，应选 C.1010 5 100 52．(项数的最值 ) 已知 S是等差数列 { a } 的前 n 项和， a ＝ 2，a ＋ a ＝ a ，若 S >32，则nn1 1 4 5 nn 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ． 6答案： D分析： 由 a 1＝1 45，可得公差 5 662 且 a ＋ a＝ad ＝ 2，所以 S ＝ 30， S ＝ 42，即 S >32，应选D.3．(奇数项和 )已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，当 n ≥2 时，a n ＋ 2S n － 1＝n ，则 S 2 017的值为()A ．2 017B ．2 016C ．1 009D ．1 007答案： C分析： 因为 a nn －1＝ n ，n ≥ 2，所以 a n ＋ 1n*，两式相减得 a n ＋ 1n＋ 2S ＋ 2S ＝n ＋ 1，n ∈ N＋ a＝ 1， n ≥ 2.又 a 1＝ 1，所以 S 2 017＝a 1＋( a 2＋ a 3 )＋ ＋ (a 2 016＋ 22 017)＝ 1 009，应选 C.4． (项数的最值问题 )设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若a 8<0，且 a 9 >|a 8 |，则使 S n >0建立的最小正整数 n 为 ()A ．15B ．16C ．17D ． 18 答案： B分析： 因为 a 8<0 ，且 a 9 >|a 8 |，所以此等差数列从第一项到第八项都是负数，从第九项开始是正数，因为 a 89710 1 16 8 9 8 n建立的最小正＋ a ＝ a ＋ a ＝ ＝ a ＋ a ，a ＋ a >0 ，a <0 ，所以使 S >0整数 n ＝ 16，应选 B.5．(数列中奇偶分类问题 )已知数列 { b n } 知足 b 1＝2n π n π1，b 2＝ 4，b n ＋ 2＝ 1＋ sin 2 b n ＋ cos 2，23 项的和为 ( )2则该数列的前A ．4 194B ．4 195C ．2 046D ．2 047 答案： A分析： b 1 2n ＋22n π 2n π＝ 1＋ sinn2，＝1， b ＝ 4， b 2 b ＋ cos当 n 为奇数时， b n ＋2＝ 2b n ，数列为以 2 为公比的等比数列，当 n 为偶数时， b n ＋2＝ b n ＋ 1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴前 23 项和 S 23132324221－ 21211× 11－1＋ 11× 4＋＝( b ＋b ＋ ＋ b ) ＋(b ＋ b ＋ ＋ b )＝1－ 22×1＝ 212－ 1＋ 44＋55＝ 4 194，应选 A. 6． (奇数项和 )已知等差数列 nn≠ 0，若 n ≥2 且 an －1n ＋ 122n －1n{ a } 中， a ＋ a－ a ＝0， S＝ 38，则 n 等于 ________．答案： 10分析： ∵ { a n } 是等差数列， ∴2a n ＝ a n －1 ＋ a n ＋1，又 ∵a n － 1＋ a n ＋12＝0，∴ 2a2－a n n － a n ＝ 0， 即 a n (2 －a n )＝0.∵ a n ≠ 0，∴ a n ＝ 2，∴ S 2n － 1＝ (2n － 1)a n ＝ 2(2n － 1)＝ 38，解得 n ＝ 10.7．(范围问题 )在等差数列 { a } 中， a ＝ 7，公差为 d ，前 n 项和为 S ，当且仅当 n ＝8 时，n1nS n 获得最大值，则 d 的取值范围为 ________．答案： － 1，－78d<0 ，d<0 ，分析： 由题意可得8即7＋ 7d>0 ，解得－ 1<d<－7a >0，8.a <0，7＋ 8d<0，98． (奇偶项和 )一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为 1，且中间两项的和为 24，则等比数列的项数为 ________．答案： 8分析： 由题意可知公比 q ＝ 2，设该数列为 a 1， a 2 ，a 3， ， a 2n ，则 a n ＋ a n ＋1＝24，又 a 1＝1， ∴ qn －1＋q n ＝ 24，即 2n －1＋ 2n ＝ 24，解得 n ＝ 4， ∴等比数列的项数为8.9． (和的最值问题 )已知数列 { a n } 知足 2a n ＋ 1＝a n ＋a n ＋ 2(n ∈ N * )，前 n 项和为 S n ，且 a 3＝110， S 6＝ 72，若 b n ＝ 2a n － 30，设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的最小值．分析： ∵ 2a n ＋1 n n ＋2 n ＋1 n ＝ a n ＋ 2 n ＋ 1 n＝ a ＋ a ， ∴ a －a － a ，故数列 { a } 为等差数列．设数列a ＋ 2d ＝ 10，1{ a n } 的公差为 d ，由 a 3＝ 10，S 6 ＝72 得6a 1 ＋15d ＝ 72， 解得 a 1＝ 2，d ＝ 4.故 a n ＝ 4n － 2，b ≤ 0，2n － 31≤ 0，1n29≤ n ≤31则 b n ＝ 2a n － 30＝ 2n － 31，令则 解得 22，b n ＋1≥ 0， 2n ＋ 2－ 31≥0，∵ n ∈N * ， ∴ n ＝ 15，即数列 { b n } 的前 15 项均为负值， ∴ T 15 最小．∵ 数列 { b n } 的首项为－ 29，公差为 2， ∴T 15＝－ 29× 15＋15× 14× 2＝－225， 2 ∴ T n 的最小值为－ 225.10． [2019 湖·南省联考 ]设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和， a 1＝ 1， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋1.(1)求数列 { a n } 的通项公式；n1(2)设 b n ＝ (－ 1) log 3a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .分析： (1)当 n ＝ 1 时， 2S 1＝ 5－ 3a 2＝ 2a 1＝2，求得 a 1＝ a 2＝ 1.当 n ≥2 时， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋ 1， 2S n －1＝ 5－ 3a n ，则 2S n － 2S n － 1＝ (5－3a n ＋1)－ (5－ 3a n )，a n ＋1 1整理得 2a n ＝ 3a n － 3a n ＋1，即 a n ＝3，1可知数列 { a n} 从第 2 项起为等比数列，且a2＝ 1，公比为3，1 n即当 n≥ 2 时， a n＝－ 23 .易知 a1＝1 不知足上式，所以数列 { a n} 的通项公式为1，n＝ 1，a n＝1 n－2*.3 ， n≥ 2，n∈ N0， n＝1，(2)由 (1) 得 b n＝－1 n n－ 2 ， n≥ 2，n∈ N*，则当 n≥ 2 时， T n＝ 0＋ 0－ 1＋ 2－ 3＋ 4－＋(－1)n(n－2)．n－ 2 当 n 为偶数时， T n＝ (－1＋ 2)＋ (－ 3＋4)＋＋ [－ (n－ 3)＋ (n－2)] ＝2；n－ 3 1－ n当 n 为奇数时， T n＝2－( n－ 2)＝2，且当 n＝1 时，知足该式．1－ n综上可得，数列 { b n2， n为奇数，n ＝} 的前 n 项和 Tn－ 22，n为偶数.。

热门 (十二 )图表在概率中的应用1． (频次散布直方图)200 辆汽车经过某一段公路时的时速的频次散布直方图以下图，则时速的众数、中位数的预计值分别为()A ． 62， 62.5B ．65， 62C．65， 63.5 D ．65， 65答案： D分析：由题图易知最高的矩形为第三个矩形，因此时速的众数为65.因为前两个矩形的0.2× 10＝ 5，因此中位数为60＋ 5＝ 65.应选面积为 (0.01＋0.02) × 10＝ 0.3， 0.5－ 0.3＝ 0.2，0.4D.2．(概率散布 )经过一年的新乡村建设，某地域乡村的经济收入增添了一倍，实现翻番．为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况，现统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入组成比率，获取以下饼图：则下边构造中不正确的选项是()A．新乡村建设后，栽种收入减少B．新乡村建设后，其余收入增添了一倍以上C．新乡村建设后，养殖收入增添了一倍D．新乡村建设后，养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半答案： A分析：设新乡村建设前的经济收入为M，则新乡村建设后的经济收入为2M.新乡村建设前栽种收入为0.6M，新乡村建设后的栽种收入为0.74M ，因此栽种收入增添了，因此 A 选项不正确；新乡村建设前其余收入为0.04M，新乡村建设后其余收入为0.1M，因此增添了一倍以上，因此 B 选项正确；新乡村建设前养殖收入为0.3M，新乡村建设后养殖收入为0.6M，因此增添了一倍，因此 C 选项正确；新乡村建设后，养殖收入与第三家产收入的总和占经济收入的30%＋ 28% ＝ 58%>50%，因此超出了经济收入的一半，因此 D 正确．应选 A.3． (频次散布折线图)某城市为认识旅客人数的变化规律，提升旅行服务质量，采集并整理了 2015 年 1 月至 2017 年 12 月期间月招待旅客量(单位：万人 )的数据，绘制了下边的折线图．依据该折线图，以下结论错误的选项是() A．年招待旅客量逐年增添B．各年的月招待旅客量顶峰期在8 月C．2015 年 1 月至 12 月月招待旅客量的中位数为D．各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相关于7 月至30 万人12 月，颠簸性更小，变化比较均衡答案： C分析：由折线图中2015 年1 月至2017 年12 月期间月招待旅客量(单位：万人)的数据可得：年招待旅客量奉上涨趋向，因此年招待旅客量逐年增添，故 A 正确；每一年的招待量八月份的最大，故 B 正确；折线图中没有详细数据，中位数没法计算，故 C 错误；各年1 月至 6 月的月招待旅客量相关于7 月至12 月，颠簸性更小，变化比较均衡，故D 正确．故选 C.4． (条形图 ) 如图是 2017 年第一季度五省GDP 状况图，则以下陈说正确的选项是()① 2017 年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有 1 个②与昨年同期对比，2017 年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增添③昨年同期的GDP 总量前三位是 D 省、B 省、 A 省④ 2016年同期A省的GDP总量也是第三位A ．①②C．②④B．②③④D．①③④答案： B分析：① 2017 年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省有 2 个，B 省和 C 省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由题图知②正确；由题图计算2016 年同期五省的GDP 总量，可知前三位为 D 省、B 省、 A 省，故③ 正确；由③知2016 年同期 A 省的GDP 总量是第三位，故④正确．应选 B.5． (雷达圆 ) 某旅行城市为向旅客介绍当地的气温状况，绘制了一年中各月均匀最高气平和均匀最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的均匀最高气温约为15 ℃， B 点表示四月的均匀最低气温约为 5 ℃ .下边表达不正确的选项是()A ．各月的均匀最低气温都在0 ℃以上B．七月的均匀温差比一月的均匀温差大C．三月和十一月的均匀最高气温基真同样D．均匀气温高于20 ℃的月份有 5 个答案： D分析：由题图可知0 ℃在虚线框内，因此各月的均匀最低气温都在0 ℃以上， A 正确；由题图可知七月的均匀温差比一月的均匀温差大， B 正确；由题图可知三月和十一月的均匀最高气温都约为10 ℃，基真同样， C 正确；由题图可知均匀最高气温高于20 ℃的月份是两个， D 不正确，应选 D.6．(扇形图＋分层抽样)已知某地域中小学生的人数和近视状况分别如图 1 和图 2 所示，为认识该地域中小学生的近视形成原由，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行检查，则抽取的高中生中近视的人数为________．答案： 20分析：分层抽样抽取的比率为2%，高中生抽取的学生数为40，抽取的高中生中近视人数为40× 50%＝ 20，故答案为20.7． [2019 ·汉市武昌区高三年级调研武]( 茎叶图 )某选手的7 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，节余 5 个得分的均匀数为91，如图，该选手的7 个得分的茎叶图有一个数据模糊，没法辩认，在图顶用x 表示，则节余 5 个得分的方差为________．答案： 6分析：由茎叶图知，最低分为87 分，最高分为99 分．依题意得，15× (87＋ 93＋ 90＋ 9× 10＋x＋ 91)＝ 91，解得 x＝ 4.则节余 5 个得分的方差 s2＝15× [(87 － 91)2＋ (93－ 91)2＋ (90－ 91)2＋(94－ 91)2＋ (91－ 91)2]＝15× (16＋ 4＋1＋ 9)＝ 6.8． (几何概型 )三国期间吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形联合的方法给出了勾股定理的详尽证明．以下图的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，此中一个直角三角形中较小的锐角α知足 tan α＝ 3，________． 4现向大正方形内随机扔掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是答案：1253π34分析： 由 tan α＝ 4且 α∈ 0， 2 得 sin α＝5， cos α＝5，不如设三角形的斜边长为 5，所以较小直角边长为 5sin α＝ 3，较大直角边长为5cos α＝ 4，因此小正方形的边长为1，而大1 1正方形面积为 25，因此飞镖落在小正方形内的概率 P ＝25，故答案是 25.9． (频次散布直方图 )“中国人均念书 4.3 本 (包含网络文学和教科书 )，比韩国的 11 本、 法国的 20 本、日本的 40 本、犹太人的 64 本少得多，是世界上人均念书最少的国家．”这 个论断被各种媒体频频引用． 出现这样的统计结果无疑是令人难堪的． 某小区为了提升小区 内人员的念书兴趣， 准备举办念书活动， 并进必定量的书本丰富小区图书站． 因为不一样年纪 段的人看不一样种类的书本， 为了合理装备资源， 现对小区内看书人员进行年纪检查， 随机抽取了 40 名念书者，将他们的年纪 (单位：岁 )分红 6 段： [20，30)，[30 ，40)，[40 ，50)， [50，60)，[60， 70)， [70 ， 80] ，获取以下图的频次散布直方图．(1)求这 40 名念书者中年纪散布在 [40 ， 70)的人数；(2)求这 40 名念书者年纪的均匀数和中位数．分析：(1) 由频次散布直方图知年纪在 [40，70)的频次为 (0.020＋ 0.030＋0.025)× 10＝0.75，故这 40 名念书者中年纪散布在 [40 ， 70)的人数为 40× 0.75＝ 30.(2)这 40 名念书者年纪的均匀数为25× 0.05＋ 35×0.10＋ 45× 0.20＋ 55× 0.30＋65× 0.25＋ 75× 0.10＝ 54. 设中位数为 x ，则 0.005×10＋ 0.010× 10＋ 0.020× 10＋0.030× (x － 50)＝0.5，解得 x ＝55，故这 40 名念书者年纪的中位数为55.10． (概率散布 )电影企业随机采集了电影的相关数据，经分类整理获取下表：电影种类 第一类 第二类第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数14050300200800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.20.1好评率是指一类电影中获取好评的部数与该类电影的部数的比值．假定全部电影能否获取好评互相独立．(1)从电影企业采集的电影中随机选用1 部，求这部电影是获取好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选用 1 部，预计恰有 1 部获取好评的概率；(3)假定每类电影获取人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第 k 类电影获取人们喜爱，“ξk＝ 0”表示第 k 类电影没有获取人们喜爱(k＝ 1， 2， 3，4，5， 6)，写出方差 Dξ1， Dξ2，Dξ3， Dξ4， Dξ5， Dξ6的大小关系．分析： (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋ 300＋ 200＋ 800＋ 510＝2 000，第四类电影中获取好评的电影部数是200× 0.25＝ 50.50故所求概率为2 000＝ 0.025.(2)设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获取好评影中随机选出的电影获取好评”，因此所求概率为P(A B ＋”，事件 B 为“从第五类电A B)＝ P(A B )＋ P( A B)＝P(A)((1 －P(B)) ＋((1－P(A))P(B)．由题意知，P(A)为 0.25， P(B)为0.2，故所求概率预计为0.25× 0.8＋ 0.75× 0.2＝ 0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2＝ Dξ5>Dξ3>Dξ6.。

2020年高考必刷卷09数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合A={x∈N||x−1|≤1},B={x|y=√1−x2}，则A∩B的真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8【答案】A【解析】【分析】先求出A∩B的交集，再依据求真子集个数公式求出，也可列举求出。

【详解】A={x∈N||x−1|≤1}={0,1,2}，B={x|y=√1−x2}=[−1,1]，A∩B={0,1}，所以A∩B的真子集的个数为22−1=3，故选A。

【点睛】有限集合{a1,a2,⋯a n}的子集个数为2n个，真子集个数为2n−1。

2．若复数22252x2i2x xxx-++---（）为纯虚数，则x的值为（）A ．2．B ．-1.C ．12-．D ．12． 【答案】D【解析】【分析】 由纯虚数的定义可得其实部为0但虚部不为0，解之可得答案．【详解】由纯虚数的定义可得22252020x x x x ⎧-+⎨--≠⎩＝，故x ＝12， 故选D ．【点睛】本题考查纯虚数的定义，涉及一元二次方程与不等式的解法，属基础题．3．若347log log log 2x y z ==<-，则（ ）A ．347x y z <<B ．743z y x <<C ．437y x z <<D ．734z x y <<【答案】B【解析】【分析】令347log log log 2x y z k ===<-,可得3k x =,4k y =,7k z =,进而得到133k x +=,144k y +=,177k z +=,画出3x y =,4x y =,7x y =的图象,利用图象比较大小即可. 【详解】令347log log log 2x y z k ===<-,则3k x =,4k y =,7k z =∴133k x +=,144k y +=,177k z +=,且11k +<-分别画出3x y =,4x y =,7x y =的图象可得,111743k k k +++∴<<,即743z y x <<故选：B.【点睛】本题考查指对互化,考查指数函数图象,考查利用图象比较值的大小.4．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ）A ．13B ．16C ．14D ．112【答案】A【解析】【分析】先排好医字，共有23C 种排法，再排国字，只有一种方法.【详解】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n=23C =3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=13． 故选：A【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．5．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（）A．128.5米B．132.5米C．136.5米D．110.5米【答案】C【解析】【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案。

热点(三) 等差、等比数列1．(等差数列的项和项数的关系)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37答案：C解析：∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列．∵a 1＋b 1＝25＋75＝100，a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }的公差为0.∴a 37＋b 37＝100，故选C.2．(等比数列的项数和项的关系)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( )A ．±64B ．64C ．32D ．16答案：B解析：由等比数列的性质可知a 2a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64，故选B.3．(求数列的项)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( ) A ．－45 B ．－54C.413D.134答案：A解析：由题意得1a 1＝1，1a 4＝14，所以等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n ＝1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－14＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A. 4．(项和项数的关系)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1， ∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.故选C.5．(项和项数的关系)已知正项等比数列{a n }，若a 1a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( )A ．20B ．25C ．50D ．不存在答案：A解析：(a 7＋a 14)2＝a 27＋a 214＋2a 7a 14≥4a 7a 14＝4a 1a 20＝400(当且仅当a 7＝a 14＝10时等号成立)，∴a 7＋a 14≥20.故选A.6．(等比数列前n 项和)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4答案：A解析：等比数列{a n }中，当公比q ≠1时，S n ＝a 1·(q n －1)q －1＝a 1q －1·q n －a 1q －1＝A ·q n －A ，∵S n ＝4n ＋b ，∴b ＝－1.故选A.7．(等差数列前n 项和)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12答案：B解析：3⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22×d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32×d ⇒9a 1＋9d ＝6a 1＋7d ⇒3a 1＋2d ＝0⇒6＋2d ＝0⇒d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.8．(等差数列和的性质)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．6答案：D解析：解法一 由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.解法二 因为S 11＝11a 6＝22，所以a 6＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝3a 6＝6，故选D.9．(和的最值问题)等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 221，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是( )A ．9B ．10C ．10或11D ．11或12答案：C解析：由d <0，得a 1≠a 21，又a 21＝a 221，∴a 1＋a 21＝0，∴a 11＝0，故选C.10．(等比数列和的性质)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B.73C.310D ．1或2 答案：B解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 11．(项和项数的关系)已知数列{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 答案：C解析：设{a n }的公比为q ，因为等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，所以a 5a 2＝q 3＝18，所以q ＝12.由等比数列的性质，易知数列{a n a n ＋1}为等比数列，其首项为a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{a n a n ＋1}的前n 项和．所以a 1a 2＋a 2a 3＋…a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )，故选C. 12．(等差性质＋向量共线)已知数列(a n }为等差数列，且满足OA →＝a 1OB →＋a 2 017OC →，若AB→＝λAC →(λ∈R )，点O 为直线BC 外一点，则a 1 009＝( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案：D解析：∵数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 1OB →＋a 2 017OC →，由AB →＝λAC →(λ∈R )得A ，B ，C 在一条直线上，又O 为直线BC 外一点，∴a 1＋a 2 017＝1，∵数列{a n }是等差数列，∴2a 1 009＝a 1＋a 2 017＝1，∴a 1 009＝12. 故答案为D.13．(等差数列和的性质)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．答案：4解析：设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.14．(等比数列前n 项和)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________.答案：6解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m 2n －2，∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3，∴m 2＝(m －3)·2m ， 整理得m 2－6m ＝0，则m ＝6或m ＝0(舍去)．15．(项和项数的关系)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.答案：14解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 所以q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.16．(项和项数的关系)已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.答案：1 024解析：∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2. ∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，∴a n ＝b 1b 2b 3…b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3…b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.。

2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第九卷3月一模精选基础卷（第9卷）1.设集合{}2|log 2,A x x =≤{5,3,2,4,6}B =--，则A B =I （ ） A ．{2,4} B ．{2}C ．{2,4,6}D ．{5,3,2,4}--【答案】A【解析】{}2|log 2A x x =≤Q ，{}|04Ax x ∴=<≤，{5,3,2,4,6}B =--Q ，{}2,4A B ∴=I .故选A.2.4等于（）A．1+ B ．1-+C．1D ．1--【答案】D24224(1113-+====-+， 故选：D.3.已知θ是第三象限角，且3sin()65πθ-=，则cos(2)6πθ+=( ) A ．2425-B ．2425C ．2425-或2425D ．725 【答案】B 【解析】3sin()65πθ-=Q ,θ是第三象限角,4cos()65πθ∴-=-, cos(2)cos 2()662πππθθ⎡⎤∴+=-+⎢⎥⎣⎦sin 2()6πθ=--2sin()cos()66ππθθ=---342()55=-⨯⨯- 2425=, 故选B.4.已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ） A ．()()()f b f a f c << B ．()()()f c f b f a << C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【解析】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D .5.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，6AB =，2BD =，则AB AD ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．12 B ．18C ．24D ．30【答案】D【解析】先用AB uuu r ，BC uuu r 表示出AD u u u r，再计算数量积．因为6AB =，2BD =，则13BD BC =u u u r u u u r ，13=+u u u r u u u r u u u rAD AB BC所以221111··666303332AB AD AB AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅=+=+=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D.6.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ） A ．-12B． C ．12D【答案】A【解析】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A7.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A ．22y x =- B ．1y x =- C ．22y x =-+D ．1y x =-+【解析】由题,设()()1122,,,A x y B x y ,则2114y x =①,2224y x =②,且1212y y +=, ①-②得()()()1212124y y y y x x -+=-,即121212124222y y y y x x y y -===+-+, 即直线AB 的斜率为2,设:2AB y x b =+,把()1,0F 代入直线方程得2b =-, ∴直线:22l y x =- 故选:A.8.已知函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()πcos 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数()()y f x g x =⋅的最小正周期为2π B ．函数()()y f x g x =⋅的最大值为2C ．将函数()y f x =的图象向左平移π2个单位后得()y g x =的图象 D ．将函数()y f x =的图象向右平移π2个单位后得()y g x =的图象【答案】D【解析】由题意，()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()πcos sin 2g x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则()()1cos sin sin 22y f x g x x x x =⋅=⋅=，最小正周期为2ππ2T ==，最大值为12，故选项A 、B 都不正确；将函数()y f x =的图象向左平移π2个单位后得πcos sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故选项C 不正确；将函数()y f x =的图象向右平移π2个单位后得πcos sin 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选项D 正确.故选D.9.62)x的展开式中的常数项是______. 【答案】60【解析】62)x的展开式通项为：()636216622rrrr rrr T C C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到常数项为：()226260C ⋅-=.10.设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+≤=⎨>⎩，则满足()23(2)f x f x -≤-的x 取值范围是______.【答案】(,[1,)-∞⋃+∞ 【解析】当0x ≤时，1()2019()2019xx f x ee-=+=+，因此函数是单调递减函数，因此有01()(0)()20192020f x f e≥=+=.当()23(2)f x f x -≤-时，则有222030(1)32x x x x-≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩或220(2)30x x -≤⎧⎨->⎩或220(3)30x x -≥⎧⎨-≥⎩ 解（1）得：1x ≤≤，解（2）得：x >3）得：x ≤综上所述：()23(2)f x f x -≤-的x取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞.故答案为：(,[1,)-∞⋃+∞11．已知{}n a 是递增的等比数列，548a =，2344,3,2a a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b a =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >， ∵24a ，33a ，42a 成等差数列，∴324642a a a =+，即23111642a q a q a q =+，∴2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍去）又45111648a a q a ===， ∴13a =.∴132n n a -=⋅.（2）由条件及（1）可得12326b a ==⨯=． ∵1n n n b b a +=+， ∴1n n n b b a +-=， ∴11(2)n n n b b a n ---=≥，∴()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L123216n n n a a a a a ---=++++++L1332612n --⋅=+-1323(2)n n -=⋅+≥．又16b =满足上式，∴1323(*)n n b n N -=⋅+∈∴11223(122)332233323(1)12nn n n n S b b b n n n --⋅=+++=+++++=+=⋅+--L L ．12.京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++ 【解析】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系. （2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.22261(2) 15A P X A ===，112242362(3) 15C C A P X A ===， 123243461(4) 5===C C A P X A ，13411452441245563(5) 5+===C C A C C C A P X A ， ∴随机变量X 的分布列为：∴随机变量X 的期望为：12131323451515553=⨯+⨯+⨯+⨯=EX13.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）．以坐标原点О为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B两点，定点M ，求11||MA MB -的值． 【解析】（1）∵2211t x t +=-，∴2101x t x -=≥+，∴1x <-或1x ≥． ∵222222221)1(1)444[(]4t x y t t t -=---=+， ∴C 的直角坐标方程为221(1)4y x x -=≠-．∵2cos()4ρθ=+(cos sin )θθ-=x y -=∴直线l的直角坐标方程为0x y -=．（2）由（1）可设l的参数方程为,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入C的方程得：231602t ++=， 其两根1t ，2t满足123t t +=-，12323t t =．∴1212121211111||||2t t MA MB t t t t --=-===±--． 14.已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 【解析】（1）由()2f x >，即|1||2|2x x -+->.而|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|2x x -+-=的点的坐标为12和52， 故不等式|1||2|2x x -+->的解集为15{|}22x x <>或.（2）证明：要证||||||()a b a b a f x ++-≥，只需证()||||||a b a b f x a ++-≤，∵||||||2||a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当()()0a b a b +-≥时取等号，∴||||2||a b a b a ++-≥由（1），当R x C M ∈时，()2f x ≤∴||||()||a b a b f x a ++-≤∴原命题成立.。

基础套餐练01一、多选题1．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）A ．成绩在[)70,80分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分 【来源】第九章统计本章达标检测 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图计算可得. 【详解】解：由频率分布直方图可得，成绩在[)70,80内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[)40,60的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为成绩在[)40,70内的频率为0.45，[)70,80的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误， 故选：ABC . 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题. 2．若函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，则结论不成立的是（ ） A ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]【来源】2020届山东省枣庄市第八中学东校区高三一调模拟考试数学试题 【答案】ABC 【解析】 【分析】先将点(0,2)代入()f x 中可得4πθ=,则化简后()cos21f x x =+,进而根据余弦型函数的性质依次判断选项即可 【详解】由函数()2sin(2)cos f x x x θ=+⋅02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2), 可得2sin 22θ=,即sin 21θ=,02θπ<<,22πθ∴=,4πθ∴=,故2()2sin(2)cos 2cos cos21f x x x x x θ=+⋅==+, 当4x π=时,()1f x =,故A 、B 都不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=,故C 不正确； 显然,()cos 21[0,2]f x x =+∈,故D 正确,故选:ABC 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1,F 2,F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若1215sin F PF ∠=，则对双曲线中,a ,b ,c e 的有关结论可能正确的是（ ） A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =【来源】2020届山东省临沂市费县高三上学期期末数学试题 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及焦点三角形中的余弦定理求解,a c 的关系再化简即可. 【详解】由双曲线的定义有122PF PF a -=,又122PF PF =,故22PFa =,14PF a =. 又1215sin F PF ∠=,所以212151cos 144F PF ⎛⎫∠=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭.在焦点三角形12F PF ∆中, 222121222122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠,即222141642424c a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅± ⎪⎝⎭,化简得226c a =或224c a =,即6e =2e =.当226c a =时2222265a b a b a +=⇒=即5b a =. 当224c a =时2222243a b a b a +=⇒=即3b a =. 综上,ABCD 均可能正确. 故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的性质与焦点三角形中的关系求解双曲线基本量关系的方法.属于中档题. 4．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，动点E 在线段11AC 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD DD ．三棱锥B CEF -的体积为定值【来源】2020届山东省临沂市费县高三上学期期末数学试题 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明BM CF ⊥再证明BM ⊥平面1CC F 即可. 对C,根据BF 与平面11CC D D 有交点判定即可.对D,根据三棱锥B CEF -以BCF 为底,且同底高不变,故体积不变判定即可. 【详解】在A 中,因为,F M 分别是,AD CD 的中点,所以11////FM AC AC ,故A 正确; 在B 中,因为tan 2BC BMC CM ∠==,tan 2CDCFD FD∠==,故BMC CFD ∠=∠, 故2BMC DCF CFD DCF π∠+∠=∠+∠=.故BM CF ⊥,又有1BM C C ⊥,所以BM ⊥平面1CC F ,故B 正确；在C 中,BF 与平面11CC D D 有交点,所以不存在点E ,使得平面//BEF 平面11CC D D ,故C 错误. 在D 中,三棱锥B CEF -以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B CEF -的体积为定值,故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.二、解答题5．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564. 【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷带解析) 【答案】（1）2;n a n =（2）见解析 【解析】 【详解】 （1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项， 所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项， 所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.6．在ABC 中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(233)m a b c =，向量(cos ,cos )n B C =，且m n ∥.（1）求角C 的大小； （2）求sin +3)3y A B π=-的最大值.【来源】2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试题 【答案】（1）6π（2）2 【解析】 【分析】（1）根据向量平行关系2cos 3cos 3cos 0a C b C c B =，结合正弦定理化简即可求解； （2）结合（1）的结果si sin +3)3n 32A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-，利用三角恒等变换，化简为52sin ,0,36A A ππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得最大值. 【详解】（1）因为//m n ，所以2cos 3cos 3cos 0a C b C c B = 由正弦定理知:2sin cos 3(sin cos sin cos )0A C B C C B +=，2sin cos 3sin()0A C B C -+=2sin cos 3sin()0A C A π--=，2sin cos 3sin 0A C A -=，又A 为三角形内角，故sin 0A >， 所以，2cos 30C -=，即3cos 2C =，C 为三角形内角，故6C π=；（2）由（1）知:56A B C ππ+=-=，则5,0,326B A A πππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以si sin +3sin()3n 3sin 2A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-5sin 3cos 2sin ,0,36A A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故32A ππ+=， 即6A π=时，y 取最大值2.【点睛】此题考查平面向量共线的坐标表示，利用正弦定理结合三角恒等变换求解最大值，需要注意考虑最大值取得的条件.7．如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠︒＝，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =.（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值； （2）求二面角A DE C --的正弦值.【来源】2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试题 【答案】（1）68（2）105【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据333(0,3,3),,,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭即可求解异面直线所成角的余弦值； （2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值. 【详解】矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，在平面AEB 内过O 作AB 的垂线交AE 于M ，根据面面垂直的性质可得MO ⊥平面ABCD ，同理在平面ABCD 内过O 作AB 的垂线交CD 于N ，根据面面垂直的性质可得NO ⊥平面AEB ，所以,,OM OB ON 两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，因为90,30AEB EAB ︒︒∠=∠=，所以132BE AB == 易得()333,3),(0,3,3),,0,3,02C D E A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（1）由上述点坐标可知，333(0,3,3),,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以直线OC 与DE 所成角的余弦值99||62||||92739944OC DE OC DE θ-⋅===⋅+⋅++（2）因为333(0,0,3),,,3,(0,23,0)22AD DE DC ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z =，则1111303333022AD m z DE m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得11130x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =，可得(3,1,0)m =-，设平面DEC 的法向量为()222,,n x y z =，则2222230333302DC n y DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 解得22220x z y =⎧⎨=⎩，取1z =，可得(2,0,1)n =，设二面角A DE C --的平面角为α，则||233|cos |||||31415m n m n α⋅===⋅+⋅+ 所以2310sin 1cos 155αα=-=-=【点睛】此题考查求异面直线的夹角和二面角的大小，建立空间直角坐标系，利用向量求解，需要注意准确计算，防止出现计算错误.8．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如表： AQI []0,50(]50,100(]100,150(]150,200(]200,250(]250,300空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为091002201002501480250300x y x x ≤≤⎧⎪=≤⎨⎪≤⎩，，＜，＜，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为11111163612126，，，，，.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.【来源】2020届河南省高三上学期末数学理科试题 【答案】（1）23114；（2）（i ）详见解析；（ii ）会超过；详见解析 【解析】 【分析】（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.（2）（i ）写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.（ii ）由（i ）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果. 【详解】（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P （ξ＝2）21614320738C C C ==，P （ξ＝3）36320157C C ==， 则这3天中空气质量至少有2天为优的概率 为71233857114+=； （2）（i ）()()201001001005P X P x ==≤≤==， ()()70722010025010010P X P x ==<≤==，()()101148025030010010P X P x ==<≤==，X 的分布列如下：X 0 220 1480 P15 710 110（ii ）由（i ）可得：E （X ）＝015⨯+220710⨯+1480110⨯=302（元）， 故该企业9月的经济损失的数学期望为30E （X ），即30E （X ）＝9060元，设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元，可得：()1110632P Y ==+=， ()1111220612123P Y ==++=，()114806P Y ==， E （Y ）＝016⨯+22013⨯+148016⨯=320（元）， 所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.【点睛】本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。

《2020年高考理科数学新课标必刷试卷九（含解析）》摘要：．．．．【答案，B．．．【答案，由题可知直线l与抛物线相切∴△＝6﹣6kb＝0即b．∴直线l方程＝kx．令x＝﹣得＝﹣k ∴Q（﹣﹣k）设切坐标（x00）则得（）设（0）则（）•（+k）＝（）（+）＝（﹣）（﹣）．当＝．故轨迹恒定（0）．【睛00年高考必刷卷09 数学（理）（试卷满分50分考试用0分钟）事项．答卷前考生必将己姓名、考生、考场和座位填写答题卡上用B铅笔将试卷类型（B）填涂答题卡相应位置上．作答选择题选出每题答案用B铅笔答题卡上对应题目选项答案信息涂黑；如改动用橡皮擦干净再选涂其它答案答案不能答试卷上3．非选择题必须用黑色迹钢笔或签笔作答答案必须写答题卡各题目指定区域相应位置上；如改动先划原答案然再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效．考生必须保证答题卡整洁考试结束将试卷和答题卡并交回Ⅰ卷（选择题) 、单选题题共题每题5分共60分每题给出四选项只有项是合题目要．若集合x∈x≤,Bx|x则∩B真子集数（）．3 B．．7 ．8 【答案】【析】【分析】先出∩B交集再依据真子集数公式出也可列举出【详】x∈x≤0,,Bx|x, ∩B0,所以∩B真子集数3故选【睛】有限集合,,⋯子集数真子集数．若复数纯虚数则x值（）．． B．．．．．【答案】【析】【分析】由纯虚数定义可得其实部0但虚部不0可得答案．【详】由纯虚数定义可得故x＝故选．【睛】题考纯虚数定义涉及元二次方程与不等式法属基础题． 3．若则（）． B．．．【答案】B 【析】【分析】令,可得,,,进而得到,,,画出,,图象,利用图象比较即可【详】令,则,, ,,,且分别画出,,图象可得, ,即故选B 【睛】题考指对化,考指数函数图象,考利用图象比较值．“上医医国”出《国语・晋语八》比喻高贤能治理国．现把这四分别写四张卡片上其“上”已排某幼童把剩余三张卡片进行排列则该幼童能将这句话排列正确概率是（）． B．．．【答案】【析】【分析】先排医共有种排法再排国只有种方法【详】幼童把这三张卡片进行随机排列基事件总数3 ∴该幼童能将这句话排列正确概率．故选【睛】有关古概型概率问题关键是正确出基事件总数和所事件包含基事件数．基事件总数较少用列举法把所有基事件列出要做到不重复、不遗漏可借助“树状图”列举；．区分排列与组合以及计数原理正确使用． 5．埃及金塔是古埃及帝王（法老）陵墓世界七奇迹其较著名是胡夫金塔．令人吃惊并不仅仅是胡夫金塔雄壮身姿还有发生胡夫金塔上数“巧合”．如胡夫金塔底部周长如除以其高两倍得到商359这就是圆周率较精确近似值．金塔底部形正方形整塔形正四棱锥古代能工巧匠建设完成底座边长约30米．因年久风化顶端剥落0米则胡夫金塔现高约（）．85米 B．35米．365米．05米【答案】【析】【分析】设出胡夫金塔原高根据题列出等式出等式即可根据题选出答案【详】胡夫金塔原高则即米则胡夫金塔现高约36米．故选．【睛】题属数学应用题般设出知数再根据题列出含知数等式出知数即可得到答案属常规题型6．函数（）图象致形状是（）． B．．．【答案】【析】故选 7．记等差数列{}前项和．若33＝＋＝则5＝( ) ．－ B．－0 ．0 ．【答案】B 【析】【分析】将已知条件化形式方程得由得值【详】设等差数列{}公差则3×(3＋3)＝＋＋＋6 则＝－又＝∴＝－3 ∴5＝＋＝－0 故选B 【睛】题主要考等差数列前项和公式以及通项公式属基础题 8．平行四边形若则（）． B．．．【答案】B 【析】【分析】根据平行四边形性质利用平面向量线性表示化简 ,再结合数量积运算即可出答案．【详】如图所示平行四边形BB＝3＝∴ 若• 则•（）•（）• 33××∠B＝∠B又∠B∈（0）∴∠B．故选B．【睛】题考了平面向量基定理平面向量数量积运算将向量表示是关键基础题目． 9．衍数列《乾坤谱》对易传“衍数五十“推论主要用释国传统化太极衍生原理数列每项都代表太极衍生程曾历两仪数量总和是华传统化隐藏着世界数学史上道数列题其规律是偶数项是序平方再除以奇数项是序平方减再除以其前0项依次是0883050…如图所示程序框图是了得到衍数列前00项而设计那么两判断框可以先填入( ) ．是偶数?? B．是奇数?? ．是偶数? ? ．是奇数?? 【答案】【析】根据偶数项是序平方再除以奇数项是序平方减再除以可知框应该是“奇数”执行程序框图结束所以二框应该填故选 0．国古代数学名著《九算术》记了种名“堑堵”几何体其三视图如图所示则其外接球表面积（）． B．．．【答案】B 【析】分析该题属已知几何体三视图其外接球表面积问题把三棱柱补成长方体则长方体对角线长等外接球直径从而得结详由已知可得该“堑堵”是半长方体直三棱柱且长宽高分别是该几何体外接球就是对应长方体外接球而长方体对角线是所以其外接球半径所以其外接球表面积故选B 睛该题关键是将根据三视图将几何体还原从而得到该几何体是半长方体三棱柱利用长方体外接球特征得结．已知是椭圆右焦是椭圆短轴端若椭圆弦三等分则椭圆离心率（）． B．．．【答案】B 【析】【分析】根据椭圆几何性质可把椭圆每条线段长用表示然利用余弦定理两三角形里分别表示角余弦得到关系出离心率【详】延长交椭圆设椭圆右焦连接根据题所以根据椭圆定义所以由余弦定理得由余弦定理得所以得所以椭圆离心率故选B项【睛】题考椭圆定义几何性质余弦定理等属档题．已知(x)x,x≤0x,0xx,x≥,若b,()(b)(),则实数+3b+取值围是（）．(∞,l]B．(∞,5l] ．(∞,5] ．(∞,5] 【答案】【析】试题分析设()(b)()作出函数(x)图象如图所示由图知0．由xb,得l,b,+所以+3b+l+33++＝l3++．令()l3++则＇()3+3+＝()()．令＇()0得0．令＇()0得所以()(0,)上单调递增(,)上单调递减所以()x()l．又因当→0()→∞所以()∈(∞,l)故选．考、分段函数；、函数图象；3、利用导数研究函数单调性．Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题题共题每题5分共0分把答案填题横线上3．已知随机变量从正态分布且则等【答案】03 【析】试题分析随机变量从正态分布所以正态曲线对称轴考正态分布评随机变量从正态分布则正态密曲线关对称．曲线处切线方程___________ 【答案】【析】【分析】出可得曲线处切线方程【详】故又所以曲线处切线方程【睛】对曲线切线问题“某处切线”和“某切线”差别切线问题核心是切横坐标5．设是等比数列前项和若则_____．【答案】或【析】【分析】由已知判断是否等再选择前项和公式出再运用通项公式得【详】得或又因所以或所以或故得【睛】题考等比数列通项公式和前项和公式属基础题6．已知分别双曲线左、右焦以直径圆与双曲线象限和三象限交分别设四边形周长面积且满足则该双曲线离心率______ 【答案】【析】【分析】题首先可根据题绘出图像并设出坐标然通圆与双曲线对称性得出再根据“即圆上也双曲线上”立方程组得出然根据图像以及可得和接下利用双曲线定义得出以及根据并通化简值即可得出结【详】如图所示根据题绘出双曲线与圆图像设由圆与双曲线对称性可知与关原对称所以因圆是以直径所以圆半径因圆上也双曲线上所以有立化简可得整理得所以因所以因所以因立可得因圆直径所以, 即所以离心率【睛】题考圆锥曲线相关性质主要考双曲线与圆相关性质考对双曲线以及圆定义灵活应用考化归与化思想以及方程思想考了学生计算能力体现了综合性是难题三、答题题共6题共70分答应写出必要说明、证明程或演算步骤7题必做题,每考生都必须作答3题选考题考生根据要作答（）必考题共60分 7．三边对角分别已知（）若；（）若边上线长面积【答案】（）；（）【析】【分析】（）利用正弦定理把等式边化成角利用三角恒等变换得到再利用正弦定理得；（）设边上线利用向量加法法则得对式子两边平方化成代数运算得再利用三角形面积公式面积值【详】（）因由正弦定理得所以所以又因所以因所以又因所以所以（）设边上线则所以即得或（舍）所以【睛】题考正弦定理、面积公式三角形运用题程向量关系两边平方质是余弦定理8．已知五面体四边形矩形且二面角（）证明平面；（）二面角余弦值【答案】（）见析；（）【析】【分析】（）先证平面由线面平行性质定理得所以由线面垂直判定定理得平面从而得平面；（）以坐标原以所直线轴平行直线轴所直线轴建立空直角坐标系【详】（）五面体四边形矩形所以因平面平面所以平面因平面平面平面所以又故因所以因所以平面又所以平面（）作垂足以坐标原以所直线轴平行直线轴所直线轴建立如图所示空直角坐标系分别平面平面法向量利用向量法即可则设平面法向量则即不妨令则设平面法向量则即不妨令则则由图知二面角锐角所以二面角余弦值【睛】题考了线面平行性质定理和线面垂直判定定理利用向量法二面角问题属档题 9．了研究用轿车高速公路上车速情况交通部门随机对50名用轿车驾驶员进行调得到其高速公路上行驶平车速情况30名男性驾驶员平车速超有0人不超有0人．0名女性驾驶员平车速超有5人不超有5人．（）完成下面列表并判断是否有995%把握认平车速超人与性别有关；（）以上述数据样估计总体现从高速公路上行驶量用轿车随机抽取3辆记这3辆车驾驶员女性且车速不超车辆数若每次抽取结是相独立数学期望参考公式其．参考数据 05 00 005 005 000 0005 000 07 706 38 50 6635 7879 088 【答案】（）有；（）【析】分析（）根据公示计算得到卡方值作出判断即可；（）根据条件可知由公式得到期望值详（）平车速超人数平车速不超人数合计男性驾驶员人数 0 0 30 女性驾驶员人数 5 5 0 合计5 5 50 ∵ ∴所以有把握认平车速超与性别有关（）根据样估计总体思想从高速公路上行驶量用轿车随即抽取辆驾驶员女性且车速不超车辆概率所以可能取值0,,,3且方法睛离散型随机变量数学期望般步骤步是“判断取值”即判断随机变量所有可能取值以及取每值所表示义；二步是“探概率”即利用排列组合、枚举法、概率公式出随机变量取每值概率；三步是“写分布列”即按规形式写出分布列并用分布列性质检验所分布列或某事件概率是否正确；四步是“期望值”般利用离散型随机变量数学期望定义期望值对有些实际问题随机变量如能够断定它从某常见型分布则随机变量期望可直接利用这种型分布期望公式得 0．平面直角坐标系x动到定和定直线距离相等（）动轨迹方程；（）设动直线与曲线有唯公共与直线相交Q若证轨迹恒定【答案】（）；（）见析【析】【分析】（）设出动坐标（x）然直接利用抛物线定义得抛物线方程；（）立直线方程和抛物线方程化关元二次方程由判别式等0得到k与b关系出Q坐标出切坐标再设出坐标然由证得答案．【详】（）由抛物线定义可知动轨迹是以（0）焦以x＝﹣准线抛物线其方程＝x；（）证明由消x得k﹣+b＝0．由题可知直线l与抛物线相切∴△＝6﹣6kb＝0即b．∴直线l方程＝kx．令x＝﹣得＝﹣k ∴Q（﹣﹣k）设切坐标（x00）则得（）设（0）则（）•（+k）＝（）（+）＝（﹣）（﹣）．当＝．故轨迹恒定（0）．【睛】题考了抛物线方程法考了直线与圆锥曲线位置关系训练了利用向量证明线段垂直问题是档题．．已知函数（Ⅰ）讨论单调性；（Ⅱ）若有两零实数取值围【答案】（Ⅰ）见析；（Ⅱ）【析】【分析】（Ⅰ）出函数定义域和导数然分和两种情况讨论分析上导数变化即可得出函数单调区；（Ⅱ）利用（Ⅰ）结论函数有两零则且有即可出实数取值围【详】（Ⅰ）函数定义域①当由知函数单调递增；②当由即得；由即得所以函数单调递增单调递减因当单调递增；当单调递增；单调递减；（Ⅱ）当则函数上增函数函数多零不合乎题舍；当由（Ⅰ）知函数单调递增单调递减且当当则即得因实数取值围是【睛】题考带参函数单调区也考了利用函数零数参数取值围考分类讨论思想应用属等题（二）选考题共0分请考生,3题任选题作答如多做,则按所做题计分．选修坐标系与参数方程平面直角坐标系曲线参数方程（参数）以平面直角坐标系原极x轴正半轴极轴建立极坐标系（）曲线极坐标方程；（）倾斜角直线l与曲线相交两值【答案】（）（）【析】【分析】（）利用消参数将曲线参数方程化普通方程再运用将曲线直角坐标方程化极坐标方程；（）根据条件出直线l具有几何义参数方程代入曲线普通方程利用韦达定理以及直线参数几何义即可【详】（）因曲线参数方程（参数）所以曲线直角坐标方程即将代入上式得（）直线l参数方程（参数）将代入整理得设所对应参数分别则因异所以【睛】题考参数方程化普通方程直角坐标方程化极坐标方程考直线参数方程几何义应用属档题 3．选修5不等式选讲已知实数满足且．（）证明；（）证明．【答案】() 证明见析 () 证明见析【析】【分析】（）利用相乘即可证明结论．（）利用相加证明即可．【详】证明（）相乘得．实数满足且．（）相加得【睛】题考综合法证明不等式方法应用考逻辑推理能力属基础题．以下容“高数学该怎么有效学习？” 、先把教材上知识、理论看明白买参考做些练习如没问题了就可以做些对应节试卷做练习要对答案把己错题记下平学习也是看到有比较题方法或者己做错题目做标记或者记错题上考前那出复习复习、首先从课概念开始要能举出例子说明概念要能举出反例要能用己话释概念（理概念）然由概念开始进行独立推理活动要能把课公式、定理己推导遍（搞清龙脉）课例题要己先试做尽量己能做出（依靠己才是可靠力量）主动挑战问题（兴趣是老师）要常攻关些问题（白天攻晚上钻梦还惦着它）先看笔记做作业有高学生感到老师讲己已听得明明白白了但是什么己做题就困难重重了呢？其原因学生对教师所讲容理还没能达到教师所要层次因每天做作业前定要把课有关容和当天课堂笔记先看看能否坚持如常常是学生与差学生区别尤其练习题不太配套作业往往没有老师刚刚讲题目类型因不能对比消化如己又不对落实天长日久就会造成极损失做题加强反思学生定要明确现正坐着题定不是考试题目而是要运用现正做着题目题思路与方法因要把己做每道题加以反思总结下己收获要总结出这是道什么容题用是什么方法做到知识成片问题成串日久天长构建起容与方法科学络系统主动复习总结提高进行节总结是非常重要初是教师替学生做总结做得细致深刻完整高是己给己做总结老师不但不给做而且是讲到哪考到哪不留复习也没有明确指出做总结积累随整理要积累复习把课堂笔记练习单元测试各种试卷都分门别类按顺序整理每次就上面标记出己下次重容这样复习才能越越精目了然精挑慎选课外物初学生学数学如不看课外物般地说不会有什么影响高则不相高数学考是学生新题能力作名高生如只是围着己老师不论老师水平有多高必然都会存着很局限性因要想学数学必须打开扇门看看外面世界当然也不要立门户另起炉灶旦脱离校教学和己老师教学体系也必将事半功倍配合老师主动学习高学生学习主动性要强学生常常是完成作业就尽情欢乐初生基也是如听话孩子就能学习高则不然作业虽多但是只知道做作业就绝对不够；老师话也不少但是谁该干些什么了老师并不具体指明因高学生必须提高己学习主动性准备向将学生学习方法渡合理规划步步营高学习是非常紧张每学生都要投入己几乎全部精力要想能迅速进步就要给己制定较长远切实可行学习目标和计划详细安排己零星事项我们学习高数学候除了上课认真听老师讲外学习方法学习习惯也很重要只要学生认真努力数学成绩提高是很容易数学学习程千万不要有心理包袱和顾虑任何学科也是样是慢慢学习和积累程但要记住这程我们是否能真正学初三数学课程（或者其他课程）除了以上方法我们终目是要养成良学习习惯要培养出己优质学习兴趣要掌握和形成套己学习方法。

1．(频率分布直方图)200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为( )A．62,62.5 B．65,62C．65,63.5 D．65,65答案：D解析：由题图易知最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65.因为前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3,0.5－0.3＝0.2，0.20.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.2．(概率分布)经过一年的新农村建设，某地区农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，现统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结构中不正确的是( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A解析：设新农村建设前的经济收入为M，则新农村建设后的经济收入为2M.新农村建设前种植收入为0.6M，新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A选项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，所以增加了一倍以上，所以B选项正确；新农村建设前养殖收入为0.3M，新农村建设后养殖收入为0.6M，所以增加了一倍，所以C选项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选A.3．(频率分布折线图)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了20xx年1月至20xx年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期在8月C．20xx年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平衡答案：C解析：由折线图中20xx年1月至20xx年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据可得：年接待游客量呈上升趋势，所以年接待游客量逐年增加，故A正确；每一年的接待量八月份的最大，故B正确；折线图中没有具体数据，中位数无法计算，故C错误；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平衡，故D正确．故选C.4．(条形图)如图是20xx年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是( )①20xx年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个②与去年同期相比，20xx年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省④20xx年同期A省的GDP总量也是第三位A．①② B．②③④C．②④ D．①③④答案：B解析：①20xx年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由题图知②正确；由题图计算20xx年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知20xx年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B.5．(雷达圆)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均气温高于20 ℃的月份有5个答案：D解析：由题图可知0 ℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；由题图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由题图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10 ℃，基本相同，C正确；由题图可知平均最高气温高于20 ℃的月份是两个，D不正确，故选D.6．(扇形图＋分层抽样)已知某地区中小学生的人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为____ ____．答案：20解析：分层抽样抽取的比例为2%，高中生抽取的学生数为40，抽取的高中生中近视人数为40×50%＝20，故答案为20.7．[20xx·××市××区高三年级调研](茎叶图)某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均数为91，如图，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辩认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为________.答案：6解析：由茎叶图知，最低分为87分，最高分为99分．依题意得，15×(87＋93＋90＋9×10＋x ＋91)＝91，解得x ＝4.则剩余5个得分的方差s 2＝15×[(87－91)2＋(93－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝15×(16＋4＋1＋9)＝6.8．(几何概型)三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角α满足tanα＝34，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．答案：125解析：由tan α＝34且α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2得sin α＝35，cos α＝45，不妨设三角形的斜边长为5，所以较小直角边长为5sin α＝3，较大直角边长为5cos α＝4，所以小正方形的边长为1，而大正方形面积为25，所以飞镖落在小正方形内的概率P＝125，故答案是125.9．(频率分布直方图)“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家．”这个论断被各类媒体反复引用．出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了4 0名读书者，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数．。

1．[20xx·江西赣州联考](数列中的文化)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里答案：A解析：根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1261－12≥378，则a 1≥192. 则第二天至少走96里．故选A.C.125斤 D.120斤答案：C解析：设此人持金x斤，根据题意知第1关所收税金为x 2斤；第2关所收税金为x6斤；第3关所收税金为x12斤；第4关所收税金为x20斤；第5关所收税金为x30斤．易知x2＋x6＋x12＋x20＋x30＝1，解得x＝65.则第5关所收税金为125斤．故选C.4．(立体几何中的文化)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V＝13πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分别表示上、下底面的半径，h为高) ( )A．2寸 B．3寸C．4寸 D．5寸答案：A解析：由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．高的数学水平．其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字用数学公式表示，即S＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤c2a2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫c2＋a2－b222(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为42＋25的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2＋1)5(2－1)，试用以上给出的数学公式计算△ABC的面积为( )A.3 B．23C.5 D．25答案：A解析：因为sin A sin B sin C＝(2＋1)5(2－1)，则由正弦定理得a b c＝(2＋1)5(2－1)．设a＝(2＋1)x，b＝5x，c＝(2－1)x，又周长为42＋25，所以42＋25＝(2＋1)x＋5x＋(2－1)x，解得x＝2.所以S＝＝3.故选A.9．(程序框图中的文化)《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：“今有物不如其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．此问题可以用计算机解决．记N≡r(M ODm)，表示正整数N除以正整数m的余数为r，例如10≡2(MOD 4)．执行如图所示的程序框图，则输出的i等于( )A．7 B．10C．8 D．23答案：C解析：根据框图可列表如下：N 12345678911112131415161718192212223i 01112223334445556667778故选C.10．[20xx·湖南长沙雅礼中学模拟](数列中的文化)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i(i＝1,2，…，10) ，且a1<a2<…<a10，若48a i＝5M，则i＝( )A．4 B．5C．6 D．7。

考点练99 抽样方法1．随着人们环保意识的增加，一次性筷子的运用率在降低．某调查小组为了了解目前一次性筷子的运用状况，在街头随机抽取了一部分人做了一次问卷调查，其中老年人、中年人、青年填写的问卷分别有200份、300份、500份，现在用分层抽样的方法抽出样本进行探讨，若抽取的样本中中年人填写的问卷有60份，则样本量为( )A．60 B．150C．200 D．3002．北京2024年冬奥会祥瑞物“冰墩墩(英文Bing Dwen Dwen)”设计造型可爱，市场供不应求，某厂的三个车间在一个小时内共生产450个冰墩墩，在出厂前要检查这批冰墩墩的质量，确定采纳分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的冰墩墩个数分别为a、b、c且a、b、c构成等差数列，则其次车间生产的冰墩墩数为( )A．200个 B．300个C．120个 D．150个3．(多选)下列抽样方法是简洁随机抽样的是( )A.某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B．用抽签的方法产生随机数C．福利彩票用摇奖机摇奖D．规定凡买到明信片最终四位号码是“6637”的人获三等奖4.[2024·安徽亳州期末]为了解某校1 200名高一学生的身高状况，按性别比例采纳分层抽样的方法从中抽取50人进行调查，若样本中男生比女生多10人，则该校高一学生中女生的人数为________．5．假设要考查某公司生产的500 g袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数起先向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行到第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954考点练99 抽样方法1．答案：C解析：设样本量为n ，则n 200＋300＋500＝60300，解得n ＝200.故选C. 2．答案：D解析：由题意，从一、二、三车间抽取的冰墩墩数分别为a 、b 、c 且a 、b 、c 构成等差数列，可得a ＋c ＝2b ，则其次车间生产的冰墩墩数为b a ＋b ＋c ×450＝b 3b×450＝150.故选D. 3．答案：BC解析：对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简洁随机抽样；对于D ，此为系统抽样．故选BC.4．答案：480解析：由抽取样本50人中，男生比女生多10人，可得样本中男生30人，女生20人，男女生比例为3∶2，所以该校高一学生中女生的人数为1 200×25＝480. 5．答案：068解析：依据随机数表法最先检测的3袋牛奶编号为331、572、455、068.。